計算流体力学 1．流れの支配方程式とその特徴流体の分類流れの記述法

計算流体力学（第１回資料）
計算流体力学
2014年9月26日
計算流体力学（Computational Fluid Dynamics）における各種離散化解析手法
について理解する。なお，講義に関連した演習を随時行う予定である．
１．流れの支配方程式とその特徴
第1回流れの支配方程式とその特徴・離散化解析手法
第2回有限差分法（１）：差分近似（空間・時間の離散化）
第3回有限差分法（２）：安定化手法
第4回有限差分法（３）：一般化座標
第5回有限体積法（１）
第6回有限体積法（２）
第7回有限要素法（１）：移流拡散方程式
第8回有限要素法（２）：Navier-Stoke方程式
第9回有限要素法（３）：安定化有限要素法
第10回有限要素法（４）：直接法と分離型解法
第11回有限要素法（５）：要素の近似特性
第12回乱流モデル、自由表面流れ
第13回連成問題
第14回並列計算法、可視化手法
第15回期末試験
評価：出席（50％），レポート・期末試験（50％）
参考書：土木学会編「いまさら聞けない計算力学の常識」丸善（3,200円＋税）
流体の分類
力学的に重要な流体の性質：圧縮性と粘性
→応力成分に関係
圧縮性(compressibility)：圧力によって体積が変化する性質
粘性(viscosity)：せん断変形速度に抵抗する性質
マッハ数：0.3程度
（流速が音速の0.3倍）
1.1 流れと物質の移流拡散問題（13話、14話）
流れの記述法
未知変数と支配方程式－保存則（質量、運動量、エネルギー）
流れ・物質の移流拡散問題の物理現象の特徴
1.2 支配方程式の型と特徴（13話）
偏微分方程式の型と特徴
物理法則に従った離散化の必要性
3
流れの記述法
Euler的方法：空間の各点各瞬間の流体の状態量（流速・圧力
密度）を固定座標系の位置と時間（x, y, z, t）の関数として記述
する方法。（ある固定した視点から流れを観察する立場）
Lagrange的方法：ある流体粒子の時々刻々の位置を追跡し、
これをその粒子の最初の位置と時間の関数として記述する方法。
（ある流体粒子の視点から流れを観察する立場）
Euler的方法
Lagrange的方法
4
流れを記述する未知変数と方程式
5
6
保存則
運動学的状態を表す未知変数：u,v,w（速度成分）
内部状態を表す未知量：p（圧力）, ρ（密度）
J
流体の力学的変化を記述する方程式（支配方程式）
・質量保存則（式１本）
・運動量保存則（式３本）
・エネルギー保存則（式１本）

n

未知数5つに対して、式が5つ成立するので未知数を決定することができる
非圧縮性流体の場合には、密度が一定なので未知数が4つになる
→質量保存則と運動量保存則のみで未知数を決定することができる
流れの支配方程式
7
保存則
質量保存則
Gaussの発散定理
運動量保存則
エネルギー保存則
：微分形の保存式
J・n
支配方程式の導出（微視的見方）
流れの支配方程式の導出（微視的見方）
連続式の導出（2次元）
dt時間内に微小四辺形内に運ばれる流体の質量
  ( u )  ( u ) 
dxdydt
 

y 
 x
面ABをdt時間内に通過する流体の質量
dx  ( u ) 

M AB   u 
dydt
(1)
2 x 

dt時間内における微小四辺形内の流体の質量の増加量
 ( dxdy)

dt 
dxdydt
t
t
面CDをdt時間内に通過する流体の質量
dx  ( u ) 

M CD   u 
(2)
dydt
2

x軸に垂直な面を通してdt時間内に微小四面体に運び込まれる流体の質量
dx  ( u ) 
dx  ( u ) 


M AB  M CD   u 
dydt   u 
dydt
2 x 
 ( u )
dxdydt

x

2
x 
(3)
y軸に垂直な面を通してdt時間内に微小四面体に運び込まれる流体の質量
 ( u )
M BC  M AD  
dxdydt
(4)
y
流れの支配方程式（微視的見方）
質量
(7)
質量保存則（オイラーの連続方程式）
   ( u )  ( v) 
0


t  x
y 
(8)
非圧縮性流体の場合（  一定の場合）
u v

0
x y
(9)
外力（質量力，圧力，粘性力）
p dx 
p dx 


Fx  dxdyX   p 
dy
dy   p 
x 2 
x 2 


 dx 
 dx 


  x  x
dy
dy    x  x
x 2 
x
2




(1)
m : 質量， : 加速度，F : 外力
m  dxdy
  ( u )  ( u ) 

dxdydt
dxdydt  

y 
t
 x
流れの支配方程式（微視的見方）
Newtonの運動の第2法則
m  F
(6)
(5)=(6)
x 

(5)
(2)
 xy dy 
 dy 


dx   xy  xy
dx
  xy 
y 2 
y 2 


 xy

p
 dxdyX  dxdy  x dxdy 
dxdy
y
x
x
加速度
 u
u u 
 v  dt
u ( x  udt , y  vdt , t  dt )  u ( x, y, t )   u
y t 
 x
 v
v v 
v( x  udt , y  vdt , t  dt )  v( x, y, t )   u  v  dt
y t 
 x
(3)
(4)
 x  lim
u Du
u
u ( x  udt , y  vdt , t  dt )  u ( x, y, t ) u

u
v

dt 0
t
x
y Dt
dt
(5)
 xy 

p 
dxdy
  X   x 


y 
x
x

v
v Dv
v( x  udt , y  vdt , t  dt )  v( x, y, t ) v
 y  lim
 u v 
dt 0
t
x
y Dt
dt
(6)

p  xy  y

Fy   Y  
y x
y


dxdy

(7)
(8)
流れの支配方程式（微視的見方）
 xy
 u
u
u 
p 
u
 v   X   x 



x
y

x

x
y
t


(9)
 
 v
p  xy  y
v
v 

 u  v   Y  
y x
y
x
y 
 t
(10)
 
粘性応力
偏微分方程式の型と特徴
判別式

  x  2 u

x
v

  y  2

y

 v u 

 xy    x  y 



(11)
  2u  2u 
1 p
u
u
u
u
v
X
   2  2 
 x  x y 
t
x
y
(12)
平衡問題のように閉じた境界条件が関係する問題（定常問題）
・・・・楕円型
伝播問題のように開いた境界条件が関係する問題（非定常問題）
・・・・放物型or双曲型
  2v  2v 
v
v
v
1 p
  2  2 
u v Y 
y
t
x
 y  x y 
(13)
Q: なぜ型を意識するのか？
A: 型により解の特徴が異なる→ふさわしい数値解法が異なる
Navier-Stokesの運動方程式
放物型方程式
楕円型方程式
Laplace方程式
u  2u

t x 2
 

0
x 2 y 2
2
2
境界条件：板の境界で温度が
単調（直線的に）増加
y
t=0.001
(t  0,  x  )
t=0.003
初期条件： u ( x,0)   ( x) (  x  )
y
l
境界条件： u (, t )  0 (t  0)
2
P
y
0
x
0
x
l
x
特徴：
任意の点における楕円型方程式の解は，その周辺の点の値の平均値になる
→差分法、有限体積法では中心差分近似，有限要素法ではGalerkin法が
ふさわしい
多くの定常の場の問題
u
拡散方程式
T
u  u ( x, t ) 
山の高さは
1
2 t
e

x
4t

1
2 t
e
1 x
 ( )( ) 2
4
t
t=0. 01
t=0.1
x
t に反比例して小さくなり，山の裾は t に比例して広がる
特徴：１）解の空間的広がりに方向性がない→差分法・有限体積法では中心
差分近似，有限要素法ではGalerkin法がふさわしい
２）解の時間的変化は領域全体にわたり，時間に関して指数関数的
（瞬時）に拡散する →陰的方法が望ましい
熱伝導問題，拡散問題，地下水流れなど
まとめ
双曲型方程式
波動方程式
2
 2u
2  u
c
x 2
t 2
u
u
c
 0 (t  0,  x  )
t
x
(  x  )
初期条件： u ( x,0)   ( x) 厳密解： u  u ( x, t )   ( x  ct )
u
u2
u2
t
u1
解の空間的、時間的特徴
u1
x
特徴：
１）解の空間的広がりに方向性があり，与えた伝播速度で形を保ちながら伝わる
→空間の離散化には差分法・有限体積法では風上差分近似，有限要素法では
安定化有限要素法（Petrov-Galerkin法）を用いる
２）解の時間的変化は，局所的であり，領域全体にわたらない
→陽的方法を有効に用いることが可能となる
ふさわしい離散化
楕円型周辺の値の平均値になる
中心差分近似，Galerkin 有限要素法
放物型・方向性がない
・大域的な時間的変化
中心差分近似，Galerkin 有限要素法
陰解法
双曲型・方向性がある
・局所的な時間的変化
風上差分近似，安定化有限要素法
陰解法、陽解法
波動問題，流れ問題など
方程式の共通性（混合型方程式）
物質の移流拡散問題
拡散方程式
（放物型）
移流拡散方程式
移流項が卓越：双曲型
拡散項が卓越：放物型
拡散項
拡散現象
移流方程式
（双曲型）
類似性が強い
移流項
移流現象
非圧縮性粘性流体解析（Navier-Stokes方程式と連続式）
移流拡散方程式
（混合型）
移流項
移流項が卓越：双曲型
粘性項が卓越：放物型
拡散項
移流拡散現象
流れ問題
流れ問題
Laplace方程式
（楕円型）
Stokes方程式
（放物型）
・・・・粘性流体（遅い流れ）
粘性項
Euler方程式
（双曲型）
・・・・非粘性流体、渦あり流れ
移流項（非線形項）
Navier-Stokes方程式
（混合型）
・・・・粘性流体
移流項
圧力のPoisson方程式
（楕円型）
・・・・非圧縮性粘性流体
粘性項
（Fractional Step法）
完全流体で、静止状態から発生した流れは渦なし流れ
（非粘性なので流体粒子を回転させる力が生じない）
非圧縮粘性流れ（Navier-Stokes方程式）
慣性力項（双曲型）
混合型
無次元化
放物型
楕円型
双曲型
渦あり流れ
・・・・完全流体、渦なし流れ
流体と熱の数理モデル化
放物型
渦なし流れ
混合型
圧力項
物体力項
粘性力項（放物型）
流れの発生により生じる項
Navier-Stokes方程式の特徴
Reynolds数とは
慣性力
と
粘性力
の大きさの比を表す無次元のパラメータ
小さい  遅い流れ、ねばねばした流れ
Re 
大きい  速い流れ、さらさらした流れ
１）Re数の大きさにより方程式の性質が変化する
２）Re数の大きさにより境界層厚さが変化する
３）Re数の大きさにより渦の大きさが変化する
４）Re数が大きくなると3次元性が容易に現れる
Navier-Stokes方程式の特徴
Navier-Stokes方程式の特徴
２）Re数の大きさにより境界層厚さが変化する
境界条件 u (0)  1, u (1)  0
慣性力項（双曲型）
圧力項
物体力項
粘性項（放物型）
u
厳密解
Re=100
1
Re=50
Re=10
１）Re数の大きさにより方程式の性質が変化する
Reynolds数が小さい→放物型方程式の特徴を呈する
Reynolds数が大きい→双曲型方程式の特徴を呈する
この場合注意→風上化の必要性
Re : 小
Re : 大
0.5
0
0
粘性流れの場合:境界層厚さが薄くなる
0.2
0.4
0.6
0.8
1 x
Navier-Stokes方程式の特徴
Navier-Stokes方程式の特徴
有限要素分割図
円柱近傍の有限要素分割図
u = fre e ,v = 0
16h
u=1,v=0
円柱周り；
u=v=0
計算条件
u = fre e ,v= 0
Re=50,500,5000
Δt=0.005
32h
総節点数；11924
総要素数；23424
最小メッシュ幅；0.00548h
Navier-Stokes方程式の特徴
Navier-Stokes方程式の特徴
Re=50
Time=100
双子渦の形成
Re=500
Time=100
規則的な後流渦
Re=50
Re=500
Re=5000   1
Re
Reが大きくなると境界層厚さが薄くなる
→壁付近で細かい要素分割が必要になる
Re=5000
Time=100
後流渦に乱れ
Navier-Stokes方程式の特徴
Navier-Stokes方程式の特徴
３）Re数の大きさにより渦の大きさが変化する
１次元を仮定： u
u
x
Re=1,000
速度の一つのフーリエ成分
または外部的に与えられた撹乱
1 2
非線形項の働きにより，振幅 u は u
2
波数 k は 2k
高周波成分を作り出す
Re=10,000
小さな渦の発生
Navier-Stokes方程式の特徴
４）Re数が大きくなると3次元性が容易に現れる
Navier-Stokes方程式の特徴
円柱周りの流れ解析
u=v=w=free
u=1, v=w=0
16D
u= w= fre e , v= 0
u= w= fre e , v= 0
8D
24D
Re  103
Re  105
3D
pe rio dic bo nda ry
pe rio dic bo nda ry
Navier-Stokes方程式の特徴
Re=100
Navier-Stokes方程式の特徴
2次元計算の結果を鉛直方向に
積み重ねて3次元計算を行った
Re=100
2.0
CD
C D and C L
1.0
CL
0.0
2D cal.
3D cal.
-1.0
-2.0
100
Navier-Stokes方程式の特徴
140
160
Time
180
200
Navier-Stokes方程式の特徴
2次元計算の結果を鉛直方向に
積み重ねて3次元計算を行った
Re=1,000
2.0
CD
1.0
C D and C L
Re=1,000
120
CL
0.0
2D cal.
3D cal.
-1.0
-2.0
100
120
140
160
Time
180
200
Navier-Stokes方程式の特徴
Navier-Stokes方程式の特徴（まとめ）
抗力係数
3.0
exp.: Cantwell
2D cal.
3D cal.
2.5
CD
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0 1
10
102
10 3
104
Re
105
106
107
１）Re数の大きさにより方程式の性質が変化する
（Re大：双曲型，Re小：放物型）
２）Re数の大きさにより境界層厚さが変化する
（Re大：境界層厚さが薄くなる）
３）Re数の大きさにより渦の大きさが変化する
（移流項は小さい渦を発生させる働きがある）
４）3次元性が容易に現れる（Re>200）
この特徴の理解は，離散化とメッシュ生成を行う上で重要

Download Report