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2次元写像におけるヘテロクリニック接触の存在に対する
定理とその応用(カオスとその周辺,研究会報告)
山口, 喜博; 谷川, 清隆
物性研究 (1990), 53(5): 686-689
1990-02-20
http://hdl.handle.net/2433/93939
Right
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Departmental Bulletin Paper
publisher
Kyoto University
研究会報告
2次元写像におけるヘテロクリニック接触の存在に対する定理とその応用
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帝京技術科学大学･一般教育山口喜博､国立天文台･水沢谷川清隆
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§ 1.
はじめに
一般的な 2次元写像のうちヤコピアン Jの存在する写像 (可微分写像 )T :R2
-R2を考える｡
ここではヤコピアンの値に対して次のように制限する｡
1
･
J>1
3
.0<J<1.
-1<J<0.
これはヤコピアンが領域によって正 (負)から負 (
正 )に変化したり､J>1(
J<-1)から
･
J
<-1･
2
･
J-1.
-1
.
0<J< 1 (
-1<Jく 0)に変化するような写像はここでは扱わか 1
事を意味する｡
J>0の写像は方向保存性を､J<0の写像は方向逆転性を有する｡これらの概念についての
詳しい事は参考文献日日こある｡ここで用いる証明の方法は幾何学的であり､写像の方向保
Or
d
a
n
曲線定理が重要な役割を損ずる｡J
or
d
a
B
曲線定理については参考文
存 (
逆転 )性ならびにJ
2)に詳しく議論されている｡
献(
サドルは､その近傍で線形解析より決まる固有値 Au
,人S
より次のように分類される｡
J>0の場合 :Opt:
Au
)l
〉As
〉
0. O
P
2:
人u
〈
-1
く人S
く0
.
J<0の場合 :偶数周期は J>0の場合と同じ｡
Rl:
人u
〉1
,
-1
く入S
く
0
,O
R2:
人u
く
-1
,
0
く入S
く1
.
奇数周期 :O
最後に接触に関する定義を述べる｡
定義 1
:
F i
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D i re c
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H
o
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H e t eroc lini c )
n
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安定多様体と不安定多様体が直接的に接し､交差はない接触｡
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y
定義 2 :Fi
不安定 (
安定 )多様体が安定 (
不安定 )多様体に漸近的に接し､交差はない接触｡または不安
定多様体と安定多様体がともに漸近して接し､交差はない接触｡
不安定多様体と安定多様体の交差が生じた後は 2次的な接触が生じるが､ここでは 2次的接触
は扱わない｡本稿に関する詳しい内容は文献桝を見られたい｡
§ 2.
ホモクリニック接触に関する定理
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a
n
g
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n
c
y
の接点において不安定多様体と安定
定理 1:Fi
多様体の方向は一致する｡◆
証明 :Fi
g
.1
のように Pで接したとして矛盾を導く｡方向保存でサドルがO
Pl
の場合についてのみ
は 1周期のサドルとする｡J
o
r
d
a
n
曲線r
証明するが､その他の場合も同じように証明できる｡0
をOPi
nWu(不安定多様体 )とP
Oi
nWs(
安定多様体 )で構成する｡Pは写像Tで図のように
TPに写される｡Wu
は連続である事よりPとTPを結ぶ曲線は｢のWs
の部分と交わる｡これは
wuとWs
が交差する事を意味し矛盾である｡一般の n周期の場合についてもこの方法を拡張して
-6
8
6-
｢カオスとその周辺｣
1
1
1
ヽ
ヽ
ヽ
ヽ
′
_
_
_
_
J
I
F
i
g
.
1
F
i
g
.
2
定理 2:F
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tn
o
m
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l
i
n
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a
n
g
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n
c
y
は､J≦-1､ J≧1の系では生じない｡◆
証明 :写像による面積保存､または面積の増大により自明｡◆
R
l(Au〉1,-1く入Sく0)の性質をもつ場合､
定理 3 :方向逆転の写像において､奇数周期のサドルでO
F
i
r
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)
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o
皿
O
C
l
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n
i
cT
a
n
g
e
B
C
y
は生じない｡◆
i
g
.
2
で0
ほ 1周期のサドルで､Wu
とWs
が Pで接しているとする｡PはTによってJ
o
r
d
a
n
証明 :F
曲線 (
O
Pi
nWu
十P
Oi
nWs
)の外に写される｡PとTPを結ぶ曲線は｢と交差する｡よって矛
盾である｡一般の奇数周期についてもこの方法を拡張して証明できる｡◆
§ 3.
ヘテロクリニック接触に関する定理
nと､m
周期のサドルの一つから
定義 3:n周期のサドルの一つから出ている不安定多様体をWu
mとする｡
出ている安定多様体をWs
定理4:
方向保存の写像において､不安定多様体Wu
n
と安定多様体Ws
n
の間のF
i
r
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tD
i
r
e
c
tt
l
e
t
は下記の 3つの場合以外に生じない｡
e
r
o
c
l
i
n
i
cT
a
n
g
e
n
c
y
P
l
｡
川 n-mで､ 2つのサドルはともにO
(
2
)
孤-2nで､n周期のサドルはO
P
2
､m周期のサドルはO
P
l
｡
(
3
3n-2mで､ n周期のサドルはO
P
l
､m周期のサドルはO
P
2
｡ ◆
証明 :サドルの性質による分類とnとmの大小比較によって 12の場合に分かれる｡ここでは 2
つのケースについて紹介する｡これら以外のケースについても同様に証明できる｡
Wu
n(
O
p
t
)とWs
m(
O
p
t
) (n<m､または n-m)
ケース 1:
F
i
g
.
3
において ul
は n周期のサドルの一つで､ sl
はm周期のサドルの一つである｡k-LC
班 (n､m )である｡Pでヘテロクリニック接触が生じたとすると､Tk
Pで同じブランチ間で
で PはTn
Pに写されるが､そこでもヘテロクリニック
ヘテロクリニック接触が生じる｡写像Tn
接触が生じる｡･
ただし不安定多様体に接する安定多様体は S∩
.
1
から出ている事に注意する｡ユ
o
r
曲線 rは P
T
k
Pi
nWu
nとT
k
P
Pi
nWs
nとで構成される｡
矢印 a､bほrの左右に分かれてい
d
a
n
る事より､Tk
PとTk
=Pをむすぶ曲線はrと交わる｡よって矛盾である｡a-mの場合は knとなり､F
i
g
.
3
より矛盾を導くことができない｡すなわち (
I
)
の場合にはF
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r
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-6
87-
研究会報告
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皿
g
e
n
C
y
が可能である｡F
i
g
･
3
で nを2nと読みかえて (
2
1
の場合がわかり､Wu
とWs
の役
割を入れ換えて t
3
)
の場合がわかる｡
ケース 2:Wu
n(
O
P
2
)とWs
n(
O
P
2) (n-m )
この場合にF
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n
g
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n
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y
が生じない事を示す｡状況はF
i
g
.
4
に示され
o
r
d
a
n
曲線はrはP
u
T
n
Pi
nWu
nとT
n
P
S
I
Pi
nWs
nで構成され､有限の面積 A (
r)を
ている｡J
有する｡斜線を付けた領域は 0< J<1の場合､逆写像により面積が増大しいずれ A (ド)を越
す｡点を打った領域は J>1の場合には､写像によって面積が増大しA (
ド)を超す｡保測の場
合は斜線を付けた領域の逆写像による全ての領域を加えるとA (｢ )を越す｡よって J>0の場
合に必ず交差が生じる事が分かり矛盾が導けた｡◆
F
i
g
.
3
F
i
g
.
4
方向逆転の写像については､40のケースに分かれる｡しかし多くのケースが方向保存の場合
に帰着できる｡2､3のケースで未解決の部分があるのでここでは報告しない｡
§ 4.
漸近的な接触
既に述べてきたように直接的な接触が起きない場合にはどのような接触が可能であろうか｡筆
i
g
.
5
は漸近
者としては､漸近的な接触が生じると考えている｡ここでは例を示すにとどめる｡F
的なホモクリニック接触である｡この場合O
R
lとO
R
2(●印)の 2つのサドルがある｡図ではO
R
l
からでた不安定多様体が直接的に安定多様体に接しているように見えるが､実際はO
R
2
のサドル
から出た不安定多様体に集積しているのである｡すなわちこの接触は直接的なヘテロクリニック
接触でかつ漸近的なホモクリニック接触である｡
Fi
g
.
6
ほ原点から出たフラクタル化した不安定多様体Wu
l
が､フラクタル化したぺイスン境界
2) に互いに漸近接触しているシーンである｡ここで安定多様体は黒または白で
(
安定多様体Ws
表されたベイスンの境界として見て欲しい｡
漸近的な接触についてはまだ未解決の問題もあり今後の発展が望まれる｡
-6
8
8-
｢カオスとその周辺｣
一
二
巨
弓
F
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2
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2
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∫
0
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+1-aYn-Y｡
2-JX｡
Y｡.I-aY｡
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参考文献
(
1
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Gu
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S
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(
2
)
小平邦彦､複素解析 (
岩波講座基礎数学､岩波書店 ).
(
3
)
Y
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.
T
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k
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a(投稿中､投稿準備中 ).
ー6
8
9-

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