不変多様体と制御系設計・最適制御からサーボ系まで

はじめに
不変多様体
安定多様体
不変多様体と制御系設計
中心多様体
応用例
最適制御からサーボ系まで
坂本登
名古屋大学工学研究科
航空宇宙工学専攻
於首都大学東京南大沢キャンパス
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
自己紹介
経歴：
年北海道大学理学部数学科卒業
年名古屋大学工学研究科博士後期課程修了（航空宇宙
工学）
助手，講師，助教授を経て現在，名古屋大学工学研究科准教
授（航空宇宙工学専攻）
専門：非線形制御理論とその応用
共同研究者：
（オランダ・グロニンゲン大学数学科）
（チェコ科学アカデミー自動化情報理論研
究所）
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
¯ 「数」
「電」「機」と制御工学
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
¯ 「数」
「電」「機」と制御工学
¯ 制御理論の基本問題
! 最適制御（安定化）
! サーボ系
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
¯ 「数」
「電」「機」と制御工学
¯ 制御理論の基本問題
! 最適制御（安定化）
! サーボ系
¯ 不変多様体と制御系設計理論
! ハミルトン・ヤコビ方程式と安定多様体
! サーボ系設計と中心多様体
! 近似アルゴリズム
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
¯ 「数」
「電」「機」と制御工学
¯ 制御理論の基本問題
! 最適制御（安定化）
! サーボ系
¯ 不変多様体と制御系設計理論
! ハミルトン・ヤコビ方程式と安定多様体
! サーボ系設計と中心多様体
! 近似アルゴリズム
¯ 応用例
! 入力飽和を含むシステム
! 倒立振子の最適振り上げ安定化
! 倒立振子のサーボ系設計
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
¯ 「数」
「電」「機」と制御工学
¯ 制御理論の基本問題
! 最適制御（安定化）
! サーボ系
¯ 不変多様体と制御系設計理論
! ハミルトン・ヤコビ方程式と安定多様体
! サーボ系設計と中心多様体
! 近似アルゴリズム
¯ 応用例
! 入力飽和を含むシステム
! 倒立振子の最適振り上げ安定化
! 倒立振子のサーボ系設計
¯ おわりに
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
「数」「電」「機」と制御工学
制御理論における偉人たち
" # $ %
$ 数
物
数
電
数
航空（機）
電
数
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
「数」「電」「機」と制御工学
制御理論における偉人たち
" # $ %
$ 数
物
数
電
数
航空（機）
電
数
制御工学：
「数学」
「電気」「機械」が入り乱れて出会うところ
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
制御理論における基本問題
安定化
¯ 制御入力
（ ¯
によって与えられたシステムを漸近安定化する
）
：小，：小が望ましい
（評価関数）
（最適制御）
出力レギュレーション（サーボ系）
¯ 制御したい量（位置，速度，姿勢）が目標値に追従する
¯ 系に加わる外乱が制御したい量に与える影響を除去
はじめに
不変多様体
最適制御
安定多様体
中心多様体
応用例
の解次の迎撃機に対して海抜メートルから指定された高度まで最短
時間で上昇する制御入力（迎角）を設計せよ
機体速度
機体速度が水平方向となす角
機体迎え角（制御量）
機体重量
水平距離
音速（高度の関数）
マッハ数
燃料消費率
推力
高度
抗力
はじめに
不変多様体
最適制御
安定多様体
中心多様体
の解応用例
¯ 従来経路の約半分の時間
¯ 制御工学分野の重要性が認識される契機
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
出力レギュレーション（サーボ系）
一定時間後に，
&制御量'
となるように入力
を設計せよ
ロボット工学，ファクトリーオートメー
ション，航空・船舶などにおける基本技術
´ª · µ
はじめに
不変多様体
制御系の設計
安定多様体
中心多様体
応用例
不変多様体の設計・計算
¯ 最適制御理論
ハミルトン・ヤコビ偏微分方程式
ハミルトン正準方程式の安定多様体
¯ サーボ系設計（出力レギュレーション問題）
レギュレータ偏微分方程式
中心多様体
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
不変多様体とは
Ê 上の動的システム
に対し，
ならば
Ê となる多様体 Ê
¯ 安定多様体 Ê が純虚数固有値をもたなければ存在する
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
不変多様体とは
Ê 上の動的システム
に対し，
ならば
Ê となる多様体 Ê
¯ 安定多様体 Ê が純虚数固有値をもたなければ存在する
¯ 中心多様体は不変多様体，を接空間にもつ．ここでは
の純虚数固有値に対応する一般化固有ベクトルが張る
空間．
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
安定多様体の例
ローレンツシステム（カオス）
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
安定多様体の例
（" () による）
安定多様体，中心多様体を調べることで動的システムの性質がよ
りよく理解できる．
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
安定多様体の例
（" () による）
安定多様体，中心多様体を調べることで動的システムの性質がよ
りよく理解できる．
今日のお話：現象の解析ではなく，設計理論に現れる不変多様体
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
最適制御理論と安定多様体
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
最適制御理論と安定多様体
定理
以下の条件 *' **' を満たす解が存在すれば，に
対する最適入力は次式で与えられる．
&" +'
は漸近安定なベクトル場
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
最適制御理論と安定多様体
定理
以下の条件 *' **' を満たす解が存在すれば，に
対する最適入力は次式で与えられる．
&" +'
は漸近安定なベクトル場
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
ハミルトン・ヤコビ方程式
, 独立変数
状態空間 , 未知関数
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
ハミルトン・ヤコビ方程式
, 独立変数
状態空間 , 未知関数
が漸近安定となる解を求めよ．
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
ハミルトン・ヤコビ方程式と安定多様体
が漸近安定となる解を求める
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
ハミルトン・ヤコビ方程式と安定多様体
が漸近安定となる解を求める
階偏微分方程式の理論より
ハミルトンの正準方程式の安定多様体を求める
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
ハミルトン・ヤコビ方程式と安定多様体
が漸近安定となる解を求める
階偏微分方程式の理論より
ハミルトンの正準方程式の安定多様体を求める
-, 正準方程式の安定多様体は，ラグランジュ部分多様体で
あり，上が独立変数にとれるなら，次のようにかける．
（解の存在定理）
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
安定多様体の近似
, . 赤：ハミルトン行列のブロック対角化
, 高次項
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
安定多様体の近似
, 関数列を構成,
. 赤：ハミルトン行列のブロック対角化
, 高次項
ここで Ê は任意パラメータ（十分小）
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
安定多様体の近似
定理,
¯ はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
安定多様体の近似
定理,
¯ ¯ は，
のときの解へ上一様収束
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
安定多様体の近似
定理,
は，
のときの解へ上一様収束
（極限関
数）もとなる（の安定多様体
¯ ¯ ¯
上の解）
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
安定多様体の近似
Ê
安定多様体の媒介変数表示/
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
安定多様体の近似
Ê
安定多様体の近似/
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
安定多様体の近似
Ê
安定多様体の近似/
¯ 逐次計算であり，コンピュータ処理に適する
¯
0 計算プログラムを開発し，様々な応用を行っている
（後述）
¯ 非線形制御における 1 年にわたる壁を越えられるか？
？？
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
サーボ系設計と中心多様体
´ª · µ
一定時間後に，
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
サーボ系設計と中心多様体
´ª · µ
一定時間後に，
不変多様体に収束（と仮定）
不変多様体条件（偏微分方程式）
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
サーボ系設計と中心多様体
x(t)
x
u(t) = 0
x(0) ∈ M
e(t)
M
0
w
t
w(t)
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
サーボ系設計と中心多様体
x
u(t) = c(w(t))
x(0) ∈ M
x(t)
x = π(w)
e(t)
M
0
w
t
w(t)
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
サーボ系設計と中心多様体
x(0)
x
x(t)
u(t) = c(w(t)) + Kx (x(t) − π(w(t)))
e(t)
x = π(w)
M
0
w
t
w(t)
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
サーボ系設計と中心多様体
) ! 中心多様体
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
サーボ系設計と中心多様体
) ! 中心多様体
（不変性条件）
（レギュレータ方程式）
はじめに
不変多様体
十分小なる
中心多様体
応用例
中心多様体の近似計算
アルゴリズム：
安定多様体
に対して，関数列は一様に
へ収束し，は中心多様体偏微分方程式を満たす：
はじめに
不変多様体
十分小なる
中心多様体
応用例
中心多様体の近似計算
アルゴリズム：
安定多様体
に対して，関数列は一様に
へ収束し，は中心多様体偏微分方程式を満たす：
この近似アルゴリズムを用いて，レギュレータ方程式を解く
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
ここまでのまとめ
¯ 二大制御問題
最適安定化
サーボ系
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
ここまでのまとめ
¯ 二大制御問題
最適安定化
サーボ系
¯ 不変多様体の計算
安定多様体
中心多様体
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
ここまでのまとめ
¯ 二大制御問題
最適安定化
サーボ系
¯ 不変多様体の計算
安定多様体
中心多様体
¯ 設計理論
構成的証明
計算プログラム開発
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
ここまでのまとめ
¯ 二大制御問題
最適安定化
サーボ系
¯ 不変多様体の計算
安定多様体
中心多様体
¯ 設計理論
構成的証明
計算プログラム開発
¯ 泥臭い非線形性も扱う
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
応用例
¯ 入力に飽和をもつシステム（絶対値飽和，速度飽和）
¯ 倒立振子の最適振り上げ制御（実験）
¯ 倒立振子の出力レギュレーション（実験）
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
入力飽和システム
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
入力飽和システム
ここでは入力飽和関数を表す
2
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
入力飽和システム
ハミルトン・ヤコビ方程式
¯ 従来法（級数展開法）ではほぼ不可能
¯ 安定多様体法では扱うことができる
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
入力速度飽和をもつシステム
- 3 2
4*(&4 *5 (' の主要因
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
入力速度飽和をもつシステム
·
667 はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
入力速度飽和をもつシステム
数値例（振動系）,
0.8
0.6
x1
0.4
x2
us
0.4
0.2
x2
us
0.2
u
x1 , x2 , us , u
x1 , x2 , us , u
x1
0.6
0
-0.2
-0.4
u
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.6
-0.8
0
1
2
3
t
4
8 9!
5
-0.8
0
1
2
3
4
5
t
3 9!
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
倒立振子
" "
" # " （状態方程式）
m
θ
l
u
M
x
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
最適振り上げ制御
（状態方程式）
: :
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
最適振り上げ制御
（状態方程式）
: :
実験装置の制約により入力電圧飽和
;<=>
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
最適振り上げ制御
安定多様体法により，入力飽和付 " 方程式を解き．
．
．
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
最適振り上げ制御
安定多様体法により，入力飽和付 " 方程式を解き．
．
．
15
15
pendulum angle(rad)
pendulum angle(rad)
angular velocity(rad/s)
angular velocity(rad/s)
cart position(m)
10
cart position(m)
10
cart velocity(m/s)
cart velocity(m/s)
5
5
0
0
-5
0
1
2
3
4
5
-5
0
1
2
6&5'
20
4
5
6&76'
20
control input(V)
15
control input(V)
15
10
10
5
5
0
0
-5
-5
-10
-10
-15
-20
3
time(s)
time(s)
-15
0
1
2
3
4
time(s)
*65&5'
5
-20
0
1
2
time(s)
3
4
5
*65&76'
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
最適振り上げ制御
入力飽和なしハミルトン・ヤコビを解いても実験できなかった．
．
．
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
最適振り上げ制御
入力飽和なしハミルトン・ヤコビを解いても実験できなかった．
．
．
15
15
pendulum angle(rad)
pendulum angle(rad)
angular velocity(rad/s)
angular velocity(rad/s)
cart position(m)
10
cart position(m)
10
cart velocity(m/s)
cart velocity(m/s)
5
5
0
0
-5
0
1
2
3
4
5
-5
0
1
2
time(s)
6&5'
45
5
6&76'
control input(V)
15
35
10
30
5
25
20
0
15
-5
10
-10
5
-15
0
0
4
20
control input(V)
40
-5
3
time(s)
1
2
3
4
time(s)
*65&5'
5
-20
0
1
2
time(s)
3
4
5
*65&76'
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
最適振り上げ制御
(6 2) 56
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
最適振り上げ制御
5 はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
サーボ系設計
振子を倒すことなく台車を正弦波に追従させたい
（目標値発生システム）
（台車の位置）（目標信号）
?（制御出力）
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
サーボ系設計
振子を倒すことなく台車を正弦波に追従させたい
（目標値発生システム）
（台車の位置）（目標信号）
?（制御出力）
（零ダイナミクス）
"
設計：
目標値発生システムと零ダイナミクスの合成系の中心多様体を
計算
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
サーボ系設計
Reference signal
Linear
Nonlinear(k=0)
Nonlinear(k=1)
1
1
1
w ,x
0
-1
-2
0
5
10
15
20
25
30
time
台車の位置 &5'
Linear
Nonlinear(k=0)
Nonlinear(k=1)
e
0
-0.5
-1
0
5
10
15
20
25
30
time
誤差 &5'
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
サーボ系設計
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
おわりに
¯ 制御系設計
不変多様体の計算・設計
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
おわりに
¯ 制御系設計
不変多様体の計算・設計
¯ 安定多様体（最適制御），中心多様体（サーボ系）
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
おわりに
¯ 制御系設計
不変多様体の計算・設計
¯ 安定多様体（最適制御），中心多様体（サーボ系）
¯ 設計論のための不変多様体
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
おわりに
¯ 制御系設計
不変多様体の計算・設計
¯ 安定多様体（最適制御），中心多様体（サーボ系）
¯ 設計論のための不変多様体
¯ 構成的アプローチ，計算アルゴリズム
実際に使う！
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
おわりに
¯ 制御系設計
不変多様体の計算・設計
¯ 安定多様体（最適制御），中心多様体（サーボ系）
¯ 設計論のための不変多様体
¯ 構成的アプローチ，計算アルゴリズム
実際に使う！
¯ 制御工学：小型化，高性能，大規模化，省エネルギー化など
次世代技術の中核をなす
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
おわりに
¯ 制御系設計
不変多様体の計算・設計
¯ 安定多様体（最適制御），中心多様体（サーボ系）
¯ 設計論のための不変多様体
¯ 構成的アプローチ，計算アルゴリズム
実際に使う！
¯ 制御工学：小型化，高性能，大規模化，省エネルギー化など
次世代技術の中核をなす
¯ 制御工学：
「数」「電」「機」三者がバランスよく協力
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
おわりに
¯ 制御系設計
不変多様体の計算・設計
¯ 安定多様体（最適制御），中心多様体（サーボ系）
¯ 設計論のための不変多様体
¯ 構成的アプローチ，計算アルゴリズム
実際に使う！
¯ 制御工学：小型化，高性能，大規模化，省エネルギー化など
次世代技術の中核をなす
¯ 制御工学：
「数」「電」「機」三者がバランスよく協力
¯ 課題（私案）
：
数学：物理教育の充実
電気，機械：システム化思考（数理教育）による「職人芸的
ものつくり」からの脱却
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
おわりに
¯ 制御系設計
不変多様体の計算・設計
¯ 安定多様体（最適制御），中心多様体（サーボ系）
¯ 設計論のための不変多様体
¯ 構成的アプローチ，計算アルゴリズム
実際に使う！
¯ 制御工学：小型化，高性能，大規模化，省エネルギー化など
次世代技術の中核をなす
¯ 制御工学：
「数」「電」「機」三者がバランスよく協力
¯ 課題（私案）
：
数学：物理教育の充実
電気，機械：システム化思考（数理教育）による「職人芸的
ものつくり」からの脱却
はじめに
不変多様体
安定多様体
中心多様体
応用例
おわりに
¯ 制御系設計
不変多様体の計算・設計
¯ 安定多様体（最適制御），中心多様体（サーボ系）
¯ 設計論のための不変多様体
¯ 構成的アプローチ，計算アルゴリズム
実際に使う！
¯ 制御工学：小型化，高性能，大規模化，省エネルギー化など
次世代技術の中核をなす
¯ 制御工学：
「数」「電」「機」三者がバランスよく協力
¯ 課題（私案）
：
数学：物理教育の充実
電気，機械：システム化思考（数理教育）による「職人芸的
ものつくり」からの脱却
ご清聴ありがとうございました

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