制御システム設計 第7回 ~定常特性~ 東京都市大学 工学部 機械システム工学科 野中謙一郎 http://www.cl.mse.tcu.ac.jp/lab/edu/dcs/ 最初に小テストを行う.PCを起動しログオンしておく 制御システム設計 2014年前期 1 PID制御系の特性(まとめ) P制御(Proportional control) 比例ゲイン (8.4) 大で定常偏差小,振動的 PI制御(Proportional‐Integral control) (8.5) 定常偏差は零,収束が遅い,オーバーシュート PID制御(Proportional ‐Integral‐Derivative control) (8.11) 定常偏差は零,過渡応答を改善←誤差の変化を用いて修正(変化大で操作量増加) 1.6 1.8 KP=1.00 KP=10.00 KP=50.00 1.4 1.2 1.6 1 1.4 1.2 1.2 1 0.8 1 0.8 0.6 0.8 0.6 0.6 0.4 0.2 0 0.4 0.4 0.2 0 1 2 3 4 P制御:誤差を抑制 が大→定常偏差小,振動大 2014年前期 5 0 0 1 2 KP=1.00,KI=1.00 KP=1.00,KI=10.00 KP=10.00,KI=1.00 KP=10.00,KI=10.00 3 4 0.2 5 PI制御:定常偏差零 が大→振動大 , が大→収束早い, (オ)が大 制御システム設計 0 0 1 KP=10.00,KI=10.00,KD=0.00 KP=10.00,KI=10.00,KD=1.00 KP=10.00,KI=10.00,KD=5.00 KP=10.00,KI=10.00,KD=10.00 2 3 4 PID制御:PIの過渡応答改善 が大→(オ)を抑制 2 5 4.2 定常特性:様々な目標値への追従 フィードバック制御系 制御量 を目標値 → 0) に追従させる( フィードバック制御系の設計 制御器 をどのように選ぶか? ⇒制御対象 と目標値 による フィードバック制御系 1 1 追従誤差 感度関数 代表的な目標値 〔1〕 ステップ入力(一定値) 1の場合 1 目標値が 1.2 〔3〕 一定加速度入力 目標値が 目標値が の場合 1 r(t) KP=4.00 KP=1.00,KI=1.00 1 〔2〕 ランプ入力(一定速度) /2の場合 1 10 100 8 80 6 60 4 40 2 20 0.8 0.6 0.4 1 1 0.2 0 0 2 4 6 8 0 10 0 2 4 6 0 10 0 2 4 6 ? :定常偏差 :偏差零 P制御 PI制御 8 8 ? ∞ 0 0とするための条件は? 制御システム設計 2014年前期 10 3 〔1〕 ステップ入力の場合 一巡伝達関数(開ループ伝達関数) (4.18) 閉ループ伝達関数( → の伝達関数) 1 目標値から誤差への関係式 1 1 1 (4.19) 1 lim → lim → lim → 1 (4.20) 1 1 1 1 0 1 0 1 4 1 2 1 4 1 極は 1 1 1 5 1型 1 1 4.21 制御システム設計 5で安定 定常偏差 1 0 1 極は 5 例題1(PI制御) 1 4 4 1 ∞ 0となる条件は 0 ∞,すなわち が積分器1/ を持つこと(1型) 1 ⋯ ⋅ ⋯ 2014年前期 1 4 〔1〕 ステップ入力(一定値) 目標値が 1の場合 1 (積分1個) 定常偏差 1 1 ∞ lim lim → → 1 1 ∞ 例題1(P制御) 1 定常偏差(最終値の定理を利用) ∞ の極で安定性を確認 ← 1 1 1 1, 1で安定 定常偏差 ∞ 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 ∞ 4 0 〔2〕 ランプ入力,〔3〕 一定加速度入力 〔2〕 ランプ入力(一定速度入力) の場合 目標値が 1 (積分2個) 〔3〕 一定加速度入力 /2の場合 目標値が 1 (積分3個) 定常偏差 定常偏差 ∞ lim lim → lim → 1 → 1 lim → 1 lim 1 1 lim → ∞ 1 1 ∞ 1 1 1 → → lim ∞,すなわち / ! の場合 1 1 1 1 1 1 4.25 lim → ∞ 0となる条件はlim ∞,すなわち → が3重積分器1/ を持つ3型 ⋯ ⋅ ⋯ 1 一巡伝達関数 が と同じ数の積分器を 持つ場合に定常偏差が零になる 0となる条件はlim ∞,すなわち → 1 lim 1 が2重積分器1/ を持つ2型 ⋯ ⋅ ⋯ → 1 → → ∞ 1 1 4.23 0となる条件はlim 一般に目標値が lim → lim → 1 lim 1 が 重積分器1/ を持つ 型 ⋯ ⋅ ⋯ 制御システム設計 2014年前期 5 4.2 定常特性のまとめ 目標値 が 個の積分器を含む場合に 定常偏差 ∞ が零になる条件は 閉ループ伝達関数 が安定である 一巡伝達関数 が型 表4.1 制御系の型と定常偏差(p.74) 1 1 の型 0型 1型 2型 3型 ※ 1 1 1 0 1 1 /2 1 1 1 0 0 0 0 ∞ ※ → lim → lim → 2014年前期 0 1 に対して①~③の に対する安定性を調べ 安定な場合には定常偏差を求めよ. 5 1 5 1 ② ① ③ ∞ 1 ※ 1 0 (4.22) (位置偏差定数) (4.24) (速度偏差定数) (4.26) (加速度偏差定数) 1 ※ ③ではラウス=フルビッツの安定判別法(p.57,p.61) を用いて, の安定性を判別する. ① ※安定でも誤差が無限に増加 lim 1 練習問題 1 (0型) 1 ∞ lim → 1 1 1 1 1 2 1 1 lim 2で安定 極は 1 ∞ 0⋅ → 0 1 1 5 1演習課題 5 (1型) ② 計算をノートにまとめる. 5 1 5 1 極は 3 2 2 シミュレーションで定常偏差の値を確認し, 1 6 1 で安定 1 1 1 1 Wordのレポートにグラフを示した上で, ∞ 1 5 1 1 5 1 lim グラフ上の定常偏差の値が lim ⋅ lim → 1 1 1 → → 5計算結果と一致していることを 1 5 1 (2型) ③ 5 説明し,WebClassで提出する. 1 5 1 ラウスフルビッツの 1 ∞ 制御システム設計 5 1 lim → lim ⋅ → 1 5 1 1 1 安定判別法より安定 1 1 0 1 5 1 lim 06 1 → 練習問題解答とシミュレーション 1 練習問題 1 に対して①~③の に対する安定性を調べ 安定な場合には定常偏差を求めよ. 5 1 5 1 ② ① ③ 1 ※ ③ではラウス=フルビッツの安定判別法(p.57,p.61) を用いて, の安定性を判別する. ① ∞ ② 1 (0型) 1 1 1 lim → 1 1 5 5 5 ∞ 1 1 lim 1 lim ⋅ → (1型) 1 5 1 6 1 1 → 5 1 5 1 5 1 1 1 lim → 2014年前期 極は 1 1 0⋅ 0 1 2 5 → ∞ 1 1 1 1 lim ③ 1 → シミュレーションはP制御に変換してから ∞ 3 2 2 1 1 1 1 の係数の設定 5 1 1 5 1 5 1⋅ 1 1⋅ 0 (2型) 5 lim ⋅ 極は 1 で安定 1 5 1 lim 1 → 2で安定 1 5 1 5 1 1 ラウスフルビッツの 1 安定判別法より安定 1 1 0 1 5 1 lim 0 1 → 制御システム設計 7
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