応用力学演習Ⅱ（2014-№1） d y M dx EI =

2014/09/02
応用力学演習Ⅱ（2014-№1）
【問題 D-1】下図に示す曲げ剛性 EI が一定で、A 点固定の“片持ばり”について、次の設問に答えよ。
(1) 支点反力 M A ， RA を求めよ。
(2) せん断力 Q  x  、曲げモーメント M  x  の式を求め、次に、断面力図、すなわち、せん断力図
（Q－図）、曲げモーメント図（M－図）を図示せよ。
d2y
M

を用いて、たわみ角   x  とたわみの式 y  x  を求めよ。
2
dx
EI
d4y
 q を用いて、たわみ角   x  とた
(4) はりのたわみと荷重の関係を表す 4 階の微分方程式 EI
dx 4
わみの式 y  x  を求めよ。
(3) はりの変形の基本式
q
MA
B
A
x

RA
y
EI=const
【解答】
(1) 鉛直方向の力の釣合より、 RA  q
A 点回りのモーメントの釣合より、 M A  q 

0
2
∴ MA  
1 2
q
2
(2) A 点から距離 x の点ではりを切断すると、下図のようになる。
q
MA
M
M
q
B
A
x
RA
Q
Q
x
x
y
左自由体について、釣合を考えると、次のようになる。
鉛直方向の力の釣合より、 Q  q  x  RA
∴ Q  x  q    q  x  q    x
切断点回りのモーメントの釣合より、
x
x2
1
q
2
M  q  x   M A  RA  x ∴ M  x   q   q  x  q 2      x 
2
2
2
2
右自由体について、釣合を考えると、次のようになる。
鉛直方向の力の釣合より、 Q  q     x 
∴ Q  x  q   x
切断点回りのモーメントの釣合より、 M  q     x  
x
0
2
∴ M  x  
よって、せん断力 Q  x  、曲げモーメント M  x  の式は、次のようになる。
q
2
  x
2
q
2
  x
2
次に、断面力図、即ち、せん断力図（Q－図）、曲げモーメント図（M－図）を図示すると、下図のよ
Q  x  q   x ， M  x  
うになる。
q
B
A

Q－図
q
1 2
 q
2
M－図
d2y
M
d2y
(3) はりの変形の基本式 2  
を変形すると、 EI
  M となり、これに(2)の曲げモーメン
dx 2
dx
EI
d2y
x2
1
q
2
q


 q  x  q 2     x  となる。
ト M  x  の式を代入すると、 EI
2
dx
2
2
2
《解法Ⅰ》
x2
1
 q  x  q 2 を用いて、逐次積分すると、
2
2
3
2
x
x q 2
x4
x3 q 2 x 2
EIy  q   q  
x  C1
EIy  q   q  
  C1 x  C2
6
2
2
24
6
2 2
これに、以下のような境界条件を与えて、積分定数 C1 ， C2 を求める。
① x  0 で、たわみがゼロ、即ち、 y  0 より、
C2  0
② x  0 で、たわみ角がゼロ、即ち、 y   0 より、 C1  0
よって、たわみ角   x  とたわみの式 y  x  は、次のようになる。
EIy  q 
x4
x 3 q 2 x 2
 q  

24
6
2 2
3
2

q 3
q
q 2
q3  x 
x
 x  
2

x 
x 
 x
  x   y  x  
   3     3    
6 EI
2 EI
2 EI
6 EI   

   

∴
4
3
2
q
q
q 2 2
q 4  x 

 x
 x  
4
3
 y  x   24 EI x  6 EI x  4 EI  x  24 EI     4      6     
 
  
 

EIy  q 
x3
x 2 q 2
x
 q  
6
2
2
EIy  q 
《解法Ⅱ》
q
2
   x  を用いて、逐次積分すると、
2
3
4
q     x  
q     x  
EIy   
EIy   
  C1 x  C2
  C1
2 
3 
2  12 
これに、以下のような境界条件を与えて、積分定数 C1 ， C2 を求める。
EIy 
① x  0 で、たわみがゼロ、即ち、 y  0 より、
q 4
  C2  0
2 12
q 4
∴ C2  
24
② x  0 で、たわみ角がゼロ、即ち、 y   0 より、
q 3
q3
   C1  0 ∴ C1 
6
2 3
よって、たわみ角   x  とたわみの式 y  x  は、次のようになる。
3
3
q    x  q 3 q 3
q3   x  
3
EIy  

      x 
 1  1   
6
6
6
6     
4
4
q     x   q3
q 4 q 4  x 
 x  
EIy   
x

 1    4    1

2  12  6
24
24   
   
3

q3   x  
  x   y  x  
1  1   
6 EI     

∴
4
q 4  x 

 x  
y
x
1


   24 EI     4     1

  




(4) はりのたわみと荷重の関係を表す 4 階の微分方程式 EI
d4y
 q を逐次積分すると、次のようにな
dx 4
る。
EIy   qx  C1
q
EIy   x 2  C1 x  C2
2
C
q
EIy   x 3  1 x 2  C2 x  C3
6
2
q 4 C1 3 C2 2
EIy 
x 
x 
x  C3 x  C4
24
6
2
これに、以下のような境界条件を与えて、積分定数 C1 ， C2 ， C3 ， C4 を求める。
① x  0 で、たわみ角がゼロ、即ち、 y   0 より、 C3  0
② x  0 で、たわみがゼロ、即ち、 y  0 より、
C4  0
③ x   で、せん断力がゼロ、即ち、 y  0 より、 q  C1  0
∴ C1   q
q 2
q 2
2
④ x   で、曲げモーメントがゼロ、即ち、 y   0 より、   q  C2  0
∴ C2  
2
2
よって、たわみ角   x  とたわみの式 y  x  は、次のようになる。
EIy  qx  q
q 2
q
x  qx   2
2
2
q
q
q
EIy  x 3  x 2   2 x
6
2
2
q 4 q 3 q 2 2
EIy 
x  x   x
24
6
4
EIy 
q 3
q
q 2

2


x
y
x
x

x
 x









6 EI
2 EI
2 EI

3
2

q3  x 
 x
 x  
3



 

   3   
6 EI   

   

∴
 y  x   q x 4  q x 3  q  2 x 2

24 EI
6 EI
4 EI

4
3
2
q 4  x 
x
 x  


   4     6    

24
EI

   
  

【問題 T-1】下図に示す静定ワーレントラスの部材力 U 1 ， D3 ， D4 ， L2 を求めよ。
E
5kN
F
U1
D3
A
HA
4 kN
G
D4
4m
L2
C
RA
B
D
8 kN
6m
【解答】
まず、支点反力 H A ， R A ， RB を求めると、
水平方向の力の釣合から、
鉛直方向の力の釣合から、
A 点回りのモーメントの釣合から、
RB
6m
6m
HA  5  0
 H A  5 kN 
R A  R B  8  4  12
RB  18m  8kN  6m  4kN  15m  5kN  4m
 48  60  20  128
128 64
44
kN  よって、 RA  kN 
 RB 

18
9
9
次に、下図に示すように t－t で切断して、左自由体と右自由体それぞれについて考えると、
E
5kN
HA
A
RA
U1
U1
F
G
D3
D3

F
D4
6m
C
C
3m
［左自由体について］
水平方向の力の釣合から、
B
D
6m
6m
RB
［右自由体について］
3
H A  5  U 1  D3  L2  0
5
3
U 1  L2  D3  0
5
鉛直方向の力の釣合から、
4
D3  R A  8
5
44 28
4
 D3  8 

9
9
5
4
D3  4  R B
5
28
4
64
 D3 
4 
9
5
9
 D3 
28 5 35
kN 
 
9 4 9
F 点回りのモーメントの釣合から、
4 L2  4 H A  8kN  3m  RA  9m
 4 L2  20  24  44
 4 L2  40
 L2  10 kN 
C 点回りのモーメントの釣合から、
4U1  5kN  4m  RA  6m  0
sin  
4
5
cos 
3
5
4m
L2
L2
8kN
4kN
4 L2  4kN  6m  RB  9m
 4 L2  24  64
4U1  RB  12m  4kN  9m
44
6  0
9
148
88
 4U 1    20  
3
3
 4U 1  20 
64
 12  36
9
256
148
 4U 1  36 

3
3
148 1
37
kN 
 U1  
 
3 4
3
 4U 1 
さらに、F 点での力の釣合を考えると、
U1

D3
F
U 2 水平方向の力の釣合から、 U  3 D  U  3 D
1
3
2
4
5
5

4
4
鉛直方向の力の釣合から、 D3  D4  0
D4
5
5
 D4   D3  
以上をまとめると、
U1  
37
35
35
 kN  ， D3   kN  ， D4    kN  ， L2  10  kN 
3
9
9
35
kN 
9

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