工業力学 (A コース) 中間テスト解答例・解説

工業力学 (A コース) 中間テスト
茨城大学工学部知能システム工学科
解答例・解説
井上康介
2014/12/16 10:30∼12:00 実施
全体的なできぐあい・総評
ば，(9：反力) の方向は ( 10：接触面に垂直 ) と
なる．
• 鉄橋や鉄塔などのような骨組み構造を単純化し
たモデルに ( 11：トラス ) がある．(11：トラス)
は，棒状の要素である ( 12：部材 (メンバ) ) が，
( 13：節点 (ジョイント) ) と呼ばれる回転自由
‫ ع ع ع ع ع ع ع ع ع ع‬
平均点 74.5 点．最高点は 99 点．受験者 61 名 (欠試者
4 名)．それなりに理解度はあるとは思われたが，必ず出
すと宣言した 4 番の問題 (Newton-Eulre 法) の得点率が
52% と低迷した．
各設問について
1. 以下の文章の空欄に入る言葉・数式を記せ．
• 複数の力が同時に作用したときの効果と同じ効果
を持つ単一の力を ( 1：合力 ) という．逆に，単
一の力を同じ効果を持つ複数の力に変換すること
を力の ( 2：分解 ) といい，その際のそれぞれの
力を ( 3：分力 ) という．
なピンで結合され，相対運動ができない構造と
なっている．(11：トラス) の内部ではそれぞれの
(12：部材) が引張力や圧縮力という内力を受け
るが，その解析に利用できる 2 つの方法のうち，
( 14：節点法 ) と呼ばれる方法では，まず (11：ト
ラス) 全体のつりあい条件を用いて (11：トラス)
が受ける (9：反力) などの外力を導出し，続いて
各 (13：節点) が受ける力のつりあいの条件を用
いて各 (12：部材) の内力を計算していく．平面
上の (11：トラス) の解析では，作用している未
知力が ( 15：3 ) つ以上の (13：節点) については
まだ計算が解けないため，解ける (13：節点) か
ら順次計算していかなければならない．
• 物体に作用する重力の作用線は物体上のある一点
を常に通る．この点を物体の ( 16：重心 ) とい
う．物体上に微小部位をとり，その位置を x，そ
(16：重心)
の微小質量を dm とするとき，物体の
dm ) のように積分計
の位置は ( 17： x dm
算により求められる．
• 物体上で作用する力の作用線が物体上のある点
A を通らない時，力は物体を点 A まわりに回転
させる作用をもつ．この作用を ( 4：力のモーメ
ント ) といい，その大きさは，力の大きさと ( 5：
点 A と力の作用線の距離 ) との積である．その
• (16：重心) は物体のすわりのよさ，つまり安定性
値の正負については，回転させる作用の方向が反
時計回りの時，( 6：正 ) である．
• 物体が現在の速度を維持しようとする傾向，つま
• 大きさが等しく，向きが反対の 2 つの平行力を
( 7：偶力 ) という．(7：偶力) は物体を回転させ
る作用はもつが並進運動させる作用はない．2 つ
の力の作用線の間隔を d とし，それぞれの力の大
きさを F とするとき，(7：偶力) がもつ (4：力の
モーメント) の大きさは ( 8：F d ) と計算できる．
• 物体 A が他の物体 B を押す時，作用・反作用の
法則により，A は B により同じ大きさの逆向き
の力で押し返される．この力を ( 9：反力 ) とい
う．このとき，接触面がなめらかで摩擦がなけれ
の重要な指標となる．水平面上にある物体を少し
傾けた時，(16:重心) の位置が最初の位置より上
る場合の安定性は ( 18：安定なすわり ) と呼ば
れる．
り並進運動に関する慣性に対応する量を質量とす
れば，現在の角速度を維持しようとする傾向，つ
まり回転運動に関する慣性に対応する量は ( 19：
慣性モーメント ) と呼ばれる．物体の (19：慣性
モーメント) を I とし，この物体にトルク N を
加えた時の物体の角加速度を ω˙ とすると，これ
らの間には ( 20：N = I ω˙ ) のような式で表され
る関係が成り立つ．この式を ( 21：角運動方程式
(Euler の運動方程式) ) という．
• 物体上に微小部位をとり，その質量を dm，ある
回転軸と微小部位の距離を r とするとき，この
回転軸まわりの物体の (19：慣性モーメント) は
( 22： r2 dm ) のような積分で計算できる．
• ある回転軸まわりの物体 A の (19：慣性モーメン
ト) が I であり，この物体の一部分 B の回転軸ま
わりの (19：慣性モーメント) が I であるとする
と，A から B を除去した残りの部分の (19：慣性
モーメント) は ( 23：I − I ) となる．
配点・部分点
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
46 点 (各 2 点)．
スカラーが太字・ベクトルが細字：−1
(2) 分割：NG
(3) 直角分力：1
(4) トルク：(ホントはダメだけど) OK．
(5)「作用線からの距離」「点 A からの距離」「距
「腕」
：1
離」
：1，「モーメントアーム」
(8) F d：1，2F d：1
(10)「垂直」のみ：1
(14)「接点法」：1
(18)「安定」のみ：OK
(21) Euler (オイラー) の運動方程式：OK
(22) r dm：NG， r2 dm：1
多かった間違い・補足
が受けている力を全て列挙し，次に力および力のモー
メントのつりあい条件を定式化して解けば良い．ここ
で，平面上で考える場合は力のつりあい条件は直交す
る 2 方向についてそれぞれ成り立ち，この問題では水
平方向のつりあいと鉛直方向のつりあいを式にすれば
良い．一方，力のモーメントはどの点まわりで考える
かにより値が変わるが，力がつりあっている場合，ど
の点まわりで式を立てても等価な式となるため，任意
の点まわりで計算して良い．したがって，未知力 2 つ
の作用線が貫いているジョイントの点を基準に計算す
ることで (式 (2.3))，計算を簡略化してミスの可能性
を減らすべきである．
なお，斜面から受ける反力 (Fig.2 の R2 ) が持つジョ
イントまわりの力のモーメントは，教科書 p.8 の
例題 1.3 のように N = fy x − fx y の式を用いて求
める場合，ジョイントを原点とした斜面との接触点
の座標 (l cos 30◦ , l sin 30◦ )T と反力ベクトル R2 =
(−R2 cos 30◦ , R2 sin 30◦ )T から求められる．あるい
は，R2 が棒と 60◦ の傾きをもつことから，R2 のう
ちの棒に垂直な成分の大きさが R2 sin 60◦ であり，こ
れにモーメントアーム l をかけてもよい．重力のモー
メントを求める方法についても同様である．
解答例
• (5) でモーメントアームを OK にしなかったのは
「この場合，モーメントアームとはどこか」を問
うているから．(10) で「垂直」のみがダメなのも
同様で「何と何が垂直なのか」を問うている．
• (10) で「押したのと逆」だけなら，滑らかでない
面でも同様 (作用・反作用の法則)．
できぐあい平均得点率 83%．(5), (10), (17) のでき
が 60% を切った．
2. Fig.1 に示すように，質量が 400 [g]，長さが 20 [cm]
の細い棒の一端を地面上の自由回転ジョイントに固定
し，他端を地面からの傾き 60 [deg] のなめらかな斜面
に乗せたところ，棒の傾きは地面から 30 [deg] となっ
た．このとき，棒がジョイントおよび斜面から受ける
反力を求めよ．
棒の質量を m (= 0.4 [kg])，長さを l (= 0.2 [m]) と
表記する．
水平右，鉛直上方向にそれぞれ x 軸，y 軸をとる．
斜面と棒の接触はなめらかなので，棒が斜面から
受ける反力は斜面に垂直である．これを踏まえ，
棒がジョイントおよび斜面との接触点において受
ける反力をそれぞれ R1 = (R1x , R1y )T ，R2 =
(−R2 cos 30◦ , R2 sin 30◦ )T とする．棒はこれら反力
の他に，重心 (中点) において y 軸負の方向に重力 mg
を受けている (Fig.2)．
R2
30r
R1
30r
mg
60r
3
l
4
30r
60r
Fig.1
Fig.2
棒が受ける水平方向の力のつりあい式は，
R1x − R2 cos 30◦ = 0，
考え方
物体のつりあいの解析 (教科書 2.3 節) では，まず物体
(2.1)
鉛直方向の力のつりあい式は，
R1y + R2 sin 30◦ − mg = 0，
(2.2)
y [cm]
ジョイントまわりの力のモーメントのつりあい式は，
R2 sin 60◦ · 0.2 − mg sin 60◦ · 0.1 = 0.
6
(2.3)
3
式 (2.3) より
R2 =
x [cm]
1
mg ．
2
O
3
これを式 (2.1)，式 (2.2) に代入して，
R1x
√
3
1
3
mg ， R1y = mg − R2 = mg
=
4
2
4
mg = 4 [N] なので，ジョイントから受ける反力は水
√
平右方向に 3 1.73 [N]，鉛直上方向に 3 [N] であ
り，斜面から受ける反力は斜面に垂直な方向に 2 [N]
である．
配点・部分点 18 点．水平力・鉛直力・モーメントの
つりあい式：各 4 点，変数設定等・残りの計算：6 点．
•
•
•
•
正負のミス：−1∼−2
斜面からの反力の方向のミス：−2
単位変換ミス (1[N] = 1[g·m·s−2 ])：−1
最初の設定の段階で，ジョイント反力の要素・壁
反力の方向を指定していない：−2
Fig.3
取り除いた際の重心 xG は，
(mA − mB )xG = mA xA − mB xB
により求まる (教科書 p.36 例題 3.2)．
回転体の体積については教科書 3.2.2 項のパップス・
ギュルダンの定理を愚直に適用すれば良い．
解答例
平面図形を正方形の物体 1 から直角二等辺三角形の
物体 2 を除去したものと考え，物体 1 の面積・重心
を A1 ，x1 = (x1 , y1 )T ，物体 2 の面積・重心を A2 ，
x2 = (x2 , y2 )T とする (Fig.4)．
y [cm]
6
多かった間違い
• 力のモーメントの計算ができていない例が非常
に多かった．ジョイントまわリで計算するなら，
方法は 2 つある．ひとつはジョイントを原点と
して水平右向き・鉛直上向きに xy 座標軸をと
り，壁との接点の座標は (l cos 30◦ , l sin 30◦ )T ，
力ベクトルは (−R cos 30◦ , R sin 30◦ )T だから，
N = fy x − fx y を適用して
◦
6
A2
3
x2
x1
A1
O
3
x [cm]
6
Fig.4
◦
N = R sin 30 · l cos 30
−(−R cos 30◦ ) · l sin 30◦
−mg · (l/2) cos 30◦
とする方法．もう一つは，2 つの力，mg ，R の
うちの棒に直交する成分を求め，棒に沿ったモー
メントアーム (l/2 と l) をかける方法 (力のうち
の棒に沿った成分はモーメントを作らないので)．
できぐあい
平均得点率は 76%．
3. Fig.3 に示すように，一辺が 6 [cm] の正方形から斜辺
が 6 [cm] の直角二等辺三角形を切り取った形状の平
面図形を考え，図のように座標軸をとった時，この図
形を x 軸および y 軸まわりに一回転させてできる回
転体の体積をそれぞれ求めよ．
考え方
物体の重心 (図心) を考える時，質量 mA ，重心位置
xA の物体 A から質量 mB ，重心位置 xB の物体 B を
物体 1，2 はそれぞれ直線 x = 3 に関して線対称なの
で，x1 = x2 = 3 であり，物体 1 は y = 3 に関して
対象なので y1 = 3 である．物体 2 は三角形なので，
重心は上の水平な辺の中点へ頂点から下ろした線分を
2:1 に内分した点であることから，y2 = 5 である．
よって平面図形の重心を xG = (xG , yG )T とすると，
xG = 3, yG =
7
36 · 3 − 9 · 5
=
36 − 9
3
と求まる．
平面図形を x 軸および y 軸まわりに一回転させてで
きる回転体の体積をそれぞれ Vx ，Vy とし，平面図形
の面積を S = 36 − 9 = 27 とすると，Vx = 2πyG S =
126π 396 [cm3 ]，Vy = 2πxG S = 162π 509
[cm3 ] である．
別解図形的に考えると，x 軸まわりに回転してでき
る回転体は，上面が半径 3，底面が半径 6，高さが 3
の円錐台を 2 つつなげた物体の体積として計算でき，
2 · (π/3)(216 − 27) = 126π となる．
y 軸まわりに回転してできる回転体は，半径 3，高さ 6
の円柱から上記の円錐台の分をくりぬき，半径 3，高さ
3 の円錐を乗せたとみなせるので，(216 − 63 + 9)π =
162π と計算できる．
※ 試験において，重心を利用して計算せよと指示す
るのを忘れていたため，この解法で正解した場合も満
点とします．試験中はこの解法をやめて欲しかった
ので「こっちの方が面倒だぞ」的なことを言っていた
わけですが，実際には労力は同程度．だけど…それを
やっちゃったらもう工業力学じゃねーじゃん，とい
う…．かといって，途中までこれで計算しちゃった人
にいきなり「それだと 0 点です」というのも，その人
達が不利になるのでできないと判断しました．
まず Fig.6 のように物体に作用する力をもれなく列挙
すると，物体は 300 [N] の力 F の他に，重心 (中心軸
上) に鉛直下に作用する重力 mg ，地面との接地点で
鉛直上方向に作用する垂直抗力 R，地面との接地点
で水平右もしくは左方向に作用する摩擦力 F を受け
ている．ここで，摩擦力が左右どちらを向くかは分か
らなくてよく，反対を正として定義した場合は値がマ
イナスになるだけである．物体は鉛直方向に運動しな
いので，mg と R，および F の鉛直方向成分はつり
あい状態であり，ここでは問題にしなくて良い．
F
45r
配点・部分点 18 点．重心で解く場合は，各部位の重
心：計 8 点，全体の重心：6 点，変数設定等・残りの
計算等：4 点．図形的に解く場合は，考え方の説明：6
点，それぞれの軸まわりの体積：各 6 点．
• 部位ごとの重心の導出過程が抜けている：−4
• 部分・全体の重心の導出過程がまるごと抜けてい
る：−8
• x 軸まわりと y 軸まわりの取り違え：−1
できぐあい平均得点率 72%．まあ理解できている
みたい．ただし，こちらのミスのせいもあって，重心
を使ってない解答例が多かった．図形的にやる場合に
ついて，この程度の計算をミスなくやれないのでは困
るという認識をもつこと．
4. Fig.5 に示すように，質量 100 [kg]，直径 1 [m] の均
一な円柱を水平な地面におき，図の位置において斜め
下 45 [deg] 方向に 300 [N] の力を加えたところ，円
柱は地面との間に滑りを生じずに右方向に転がった．
この際の円柱中心の加速度を求めよ．ただし，質量
m，半径 r の円柱の中心軸まわりの慣性モーメントは
I = mr2 /2 である．
300 [N]
45r
Fig.5
mg
R
F’
Fig.6
あとは水平方向に受けている力を用いて運動方程式
を，重心周りに受ける力のモーメントを用いて角運動
方程式を立てれば良い．
ただし，未知数は円柱の加速度 a，角加速度 ω˙ ，摩擦
力の大きさ F の 3 つなのに対して，これでは拘束条
件が 2 つしかない．もう一つの条件は「滑らずに転が
る」ということである．物体が転がらずに右に距離 x
進むため回転しなければならない角度を θ とすると，
回転が時計回りであることを踏まえて x = −rθ が成
り立つ．この式を 2 階微分すると，a = −r ω˙ となり，
これが 3 つ目の拘束条件となる．
解答例
円柱に加える 300 [N] の力を Fig.6 に示すように F
と表記し，円柱の質量を m (= 100 [kg])，半径を r
(= 0.5 [m]) と表記する．円柱の加速度は右向きで，
その大きさを a [m/s2 ] とし，円柱の角加速度を反時
計回りを正として ω˙ [rad/s2 ] とする．
図に示す通り円柱が受ける力は F ，重心における鉛直
下向きの重力 mg ，地面との接触点で水平方向に作用
する摩擦力 F (ここでは右を正とする)，接触点で鉛
直上に作用する垂直抗力 R である．
以上から，円柱の運動方程式は
F sin 45◦ + F = ma,
考え方
剛体の動力学解析 (教科書 6.6 節) では，並進運動の
基本式である Newton の運動方程式と回転運動の基
本式である Euler の運動方程式 (角運動方程式) を連
立させて解く (Newton-Euler 法)．
(4.1)
角運動方程式は
(F − F )r =
である．
mr2
ω˙
2
(4.2)
• 最終的な答えは有効数値 3 桁で数値化しなければな
また，円柱は滑ることなく転がることから，
a = −rω.
˙
(4.3)
式 (4.3) を式 (4.2) に代入し，
F − F =
1
ma.
2
(4.4)
式 (4.1) と式 (4.4) を両辺足しあわせて，
√ 2
3
1+
F = ma
2
2
これを解いて，
√
2+ 2
F
a=
3m
これに m = 100，F = 300 を代入し，a = 2 +
3.41 [m/s2 ]．
√
2
配点・部分点 18 点．運動方程式・角運動方程式・転
がり拘束の式：各 4 点，変数設定等・残りの計算：6
点．
•
•
•
•
r = 1 とした：−1
摩擦力をそもそも設定していない：−3
摩擦力の位置・方向を設定していない：−1
ω˙ を時計回りを正として定義しているがその旨を
明記していない：−1
• 転がり拘束の式 a = −rω˙ の符号が逆：−2
多かった間違い・補足
• 興味深いこととして，2 +
√
2 3.14 とした計算
ミスがすごい勢いで多発した．これをやってし
まった人は，エンジニアとしての神経質さが足り
ないという自覚を持つこと．
できぐあい
らないが，その計算は最後の最後に行うこと．途中途
中で何度も四捨五入を行うと，そのたびに四捨五入に
よる誤差 (丸め誤差) が累積していき，最終回答にズ
レが出ます．
• 変な計算ミスがやたら多いようです．いつも言ってい
るように，我々は少しでもややこしい問題につきあた
ると，ほぼ必ずミスをします．これはプログラミング
でも，機械設計や電子回路製作でも全く同じです．そ
して，ミスを徹底的になくすチェックの努力を惜しむ
ことによって，後々，チェックすることの数倍の努力
をかけてデバッグする結果につながることもしばしば
です (井上研の卒論でも例年起こっている事態で，と
きには数ヶ月スパンのロス (金額にして数十万) にな
ります)．特に，早めに試験会場を退出したにも関わ
らず凡ミスが残っていた学生は反省して下さい．
• 技術的な内容を相手に説明するための方法が理解でき
ていないように思われる解答例が多いことが気がか
り．例えば変数をきちんと定義しなければ，いくら式
を書いても相手にはそれがどういう式なのかが理解で
きません．一般的な説明の方法については，例えば以
下の書籍などの安価な入門書があります．
また，今後 (研究室でも会社でも) プレゼンなどの機
会が増えていくことを考えれば，プレゼンの参考書な
ども今から読んで，パワポをどう作れば相手に伝わる
のかの訓練を自分でこなしていくことも重要．森先生
の講義はあるものの，こういうのはいちいち大学教員
が手取り足取り細かいところまで教えてくれるもの
ではないということが，のちのち分かってくると思い
ます．
説明の厳密性と，説明に必要な情報をもれなく提示
することを神経質に実施することが求められるわけ
です．
参考文献
平均得点率が 52% と低迷．
「必ず出す」と宣言して
おいた Newton-Euler 法であり，またこの講義での中
心的な項目であるだけに，教員としてはかなり残念．
できなかった人はきちんと Newton-Euler 法 (教科書
6.6 節) を復習しておいてください．もしかしたら期
末にも出すかもしれない．
全体的な注意点
• 力の表示方法を理解していない例が多い．平面上の力
学では，力は 2 次元ベクトルである．ということは，
力を記述するには (1) 2 つの直角分力を提示する，あ
るいは (2) 力の大きさと方向を提示する，のいずれか
を行う必要があります．この 2 つは情報量として等
価ですから，いずれかだけを行えば良いです (両方や
るのは冗長)．(1) を行っているなら力の大きさを示
す必要はないし，力の大きさを示したのであれば力の
方向もあわせて表示しなければ意味がありません．
• 藤沢晃治：
「分かりやすい説明」の技術，講談社ブルーバッ
クス，864 円
以上

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