工業力学宿題解説・解答例担当：茨城大学工学部知能システム工学科井上康介 2015 年度版 6 剛体の運動 T 1. [Newton-Euler 法] Fig.6.1 に示すように，水平な地面に置かれた直径 1 [m]，質量 200 [kg] の円柱に巻き付けたワイヤを鉛直上方向に 20 [kgf] の力で引き上げたところ， mg R F’ 円柱は地面との滑りを生じることなく転がり始めた．このときの加速度を求めよ． Fig. 6.2 円柱が滑らずに転がることによる拘束条件は 20 [kgf] a = rω̇ (6.3) である．式 (6.3) を式 (6.2) に代入し，両辺を r で割って， Fig. 6.1 T − F = 考え方これに式 (6.1) を代入し，教科書 6.6 節「剛体の平面運動の方程式」を参照． Newton-Euler 法を素朴に適用する． T − ma = まずは円柱が受ける力，すなわちワイヤ張力，重力，垂直抗力および摩擦力をもれなく列挙する．次に運動方程式，角運動方程式，滑らない条件式の 3 つの拘束条件を定式化する． 1 ma 2 よって a= 摩擦力の方向が右向きか左向きかについては，円柱表面が右向きに滑ろうとするのを妨げる方向なので，左方向と分かる．ただし右向きに定義したとしても値がマイナスになるだけなので問題はない． 2 2 T = · 20g 0.653 [m/s2 ] 3m 3 · 200 2. [回転体のつりあい] Fig.6.3 に示すように，両端を軸受けで固定された軸があるとする．軸の右側に 2 つの質量 1 [kg] のおもりが図に示す位置で取り付けられており，左側には質量 2 [kg] のおもりを取り付けるとする．この軸解答例が静的および動的なつりあいとなるとき，左側のおもりの取り付け位置，r および h を求めよ．ただし図中の寸法の単位は [cm] とする． 10 円柱質量を m (= 200) [kg]，半径を r (= 0.5) [m]，ワイヤ張力を T (T = 20g) [N]，円柱の中心軸まわりの慣性モーメントを I = mr 2 /2 [kg m2 ] とする．円柱中心の加速度を水平左向きの a [m/s2 ]，円柱の角加速度を反時計回りに ω̇ [rad/s2 ] とする． r 20 40 Fig.6.2 に示すとおり，円柱が受ける力は，円柱右側面において鉛直上向きに作用するワイヤ張力 T ，円柱中心において鉛直下方向に作用する重力 mg ，接地点において鉛直上向きに作用する垂直抗力 R，接地点において水平左向きに作用する摩擦力 F である． h 40 10 円柱の運動方程式は F = ma, (6.1) Fig. 6.3 角運動方程式は (T − F )r = I ω̇ = 1 1 mrω̇ = ma 2 2 mr2 ω̇, 2 (6.2) 1 考え方教科書 6.7 節「回転体のつりあい」を参照．軸がある角速度 ω で回転しているときに各おもりに発生する遠心力を考慮し，その力のつりあいをとるのが静的つりあい，力のモーメントのつりあいをとるのが動的つりあいに対応する．解答例軸が回転する角速度を ω とすると，右側の上下のおもりによる遠心力はそれぞれ F1 = 1 · 0.2 · ω 2 = 0.2 ω 2 [N]， F2 = 1 · 0.4 · ω 2 = 0.4 ω 2 [N] である．また左側のおもりによる遠心力は F3 = 2 · r · ω 2 = 2rω 2 [N] である．静的釣り合いをとるにはこれらの力が釣り合う必要があるので， 0.2ω 2 + 0.4ω 2 − 2rω 2 = 0 よって，r = 0.3 [m]．また，動的つりあいをとるにはこれらの力による力のモーメントがつりあっている必要があり，下側の軸の根本のまわりのモーメントにおけるつりあい式は −0.2 ω 2 · 0.5 − 0.4 ω 2 · 0.1 + 2 · 0.3 · ω 2 · h = 0 よって h = 0.14/0.6 0.233 [m]． 2