数学 A2 §6 全微分と合成関数の微分演習問題

数学 A2 §6 全微分と合成関数の微分演習問題
演習の進め方：以下の問題を解き, 裏面の解答例を見て答え合わせをすること. 赤ペンなどを用
い, 正解ならば○, 誤りは×をつけたうえで訂正せよ. 解答例を見ても分からない個所や, 質問
があれば⃝
? のマークを付けて, 不明な点をできるだけ明確にすること.
ウォーム・アップ問題 1. 2 変数関数 z = f (x, y) は全微分可能であるとする. 以下の空欄にあてはまる数値を入れ, (偏)
微分を完成させよ.
(1) z = f (2t, 3t − 1) のとき, z ′ = zx + zy .
{
zu = zx + zy
.
(2) z = f (3u + 7v, 5u + 2v) のとき,
zv = zx + zy
課題 dz
を求めよ.
dt
dz
問題 3. z = xy 2 − x2 y; x = t2 , y = et とするとき, 合成関数の微分法を用いて
を求めよ.
dt
問題 4. z = xy; x = u + v, y = 3u + 2v とするとき, 合成関数の微分法を用いて zu , zv を求めよ.
sin x
v
問題 5. z =
; x = , y = u2 + v 2 とするとき, 合成関数の微分法を用いて zu , zv を求めよ.
y
u
問題 2. z = ex+y ; x = cos t, y = t2 とするとき, 合成関数の微分法を用いて
問題 6. z = tan−1 (x + y); x = 2u2 − v 2 , y = u2 v とするとき, 合成関数の微分法を用いて zu , zv を求
めよ.
dz
を zx , zy および t の式で表わせ.
dt
問題 8. z = f (x2 + y 2 ) を (x, y) の 2 変数関数とみなすとき, yzx = xzy が成り立つことを示せ.
問題 7. z = f (x, y) が全微分可能で, x = cos 3t, y = sin 2t のとき
問題 9. z = f (x, y), y = g(x) の合成関数 z = f (x, g(x)) に対し
dz
を求めよ.
dx
追加課題提出すれば答案は添削する1.
問題 10. 2 変数関数 f (x, y) がすべての正の数 t に対して f (tx, ty) = tn f (x, y) を満たすならば,
xfx (x, y) + yfy (x, y) = nf (x, y) であることを示せ. [条件式の両辺を t で微分せよ. なお, この条
件を満たす関数を n 次の同次関数とよぶ.]
問題 11. 2 変数関数 z = f (x, y) について xfx + yfy = 0 が成り立つとする. このとき f (x, y) を極座
標 (r, θ) で表わすと θ のみの関数になることを示せ.
fx
fy
=
が成り立つとする. このとき f (x, y) を極座標 (r, θ)
x
y
で表わすと r のみの関数になることを示せ.
{ xy
(x, y) ̸= (0, 0)
2
2
問題 13. 関数 f (x, y) = x +y
の原点 (0, 0) における偏微分係数は fx (0, 0) =
0
(x, y) = (0, 0)
0, fy (0, 0) = 0 であった (前回の演習問題). f (x, y) が (0, 0) で全微分可能かどうか調べよ.
問題 12. 2 変数関数 z = f (x, y) について
問題 14. 前問の f (x, y) の x についての偏導関数 fx (x, y) は連続か.
√
問題 15. 関数 f (x, y) = |xy| は (0, 0) において偏微分可能で連続であるが, 全微分可能でないこと
を示せ.
1解答例の公開
(約 2 週間) → http://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/c/math/noda/
解 1. (1) z ′ = 2zx + 3zy
解 2.
(2) zu = 3zx + 5zy , zv = 7zx + 2zy .
dz
∂z dx ∂z dy
2
=
+
= ex+y (− sin t) + ex+y · 2t = ecos t+t (2t − sin t)
dt
∂x dt
∂y dt
解 3.
dz
∂z dx ∂z dy
=
+
= (y 2 − 2xy) · 2t + (2xy − x2 )et
dt
∂x dt
∂y dt
= 2t(e2t − 2t2 et ) + (2t2 et − t4 )et
= 2e2t (t + t2 ) − et (4t3 + t4 )
解 4. zx = y, zy = x, xu = xv = 1, yu = 3, yv = 2 より,
zu = zx xu + zy yu = y · 1 + x · 3 = y + 3x = 6u + 5v
zv = zx xv + zy yv = y · 1 + x · 2 = y + 2x = 5u + 4v
cos x
sin x
v
1
, zy = − 2 , xu = − 2 , xv = , yu = 2u, yv = 2v より,
y
y
u
u
(u2 + v 2 )v cos uv + 2u3 sin uv
cos x
v
sin x
zu = zx xu + zy yu =
· (− 2 ) − 2 · 2u = −
y
u
y
u2 (u2 + v 2 )2
v
(u2 + v 2 ) cos u − 2uv sin uv
cos x 1 sin x
zv = zx xv + zy yv =
· − 2 · 2v =
y
u
y
u(u2 + v 2 )2
解 5. zx =
解 6. zx =
zu
zv
解 7.
1
1
, zy =
, xu = 4u, xv = −2v, yu = 2uv, yv = u2 より,
2
2
1 + (x + y)
1 + (x + y)
1
1
4u + 2uv
= zx xu + zy yu =
· 4u +
· 2uv =
2
2
1 + (x + y)
1 + (x + y)
1 + (2u2 − v 2 + u2 v)2
1
1
u2 − 2v
2
= zx xv + zy yv =
·
(−2v)
+
·
u
=
1 + (x + y)2
1 + (x + y)2
1 + (2u2 − v 2 + u2 v)2
dx
dy
= −3 sin 3t,
= 2 cos 2t より,
dt
dt
dz
∂z dx ∂z dy
=
+
= (−3 sin 3t)zx + (2 cos 2t)zy = −3zx sin 3t + 2zy cos 2t
dt
∂x dt
∂y dt
注本題とはずれるが, この答を “−3 sin 3tzx + 2 cos 2tzy ”のように書くべきではない. “−3 sin(3tzx ) +
2 cos(2tzy )”と読めてしまい, 曖昧さが生じてしまうからである.
解 8. zx = f ′ (x2 + y 2 )(2x) = 2xf ′ (x2 + y 2 ), zy = f ′ (x2 + y 2 )(2y) = 2yf ′ (x2 + y 2 ) より yzx =
2xyf ′ (x2 + y 2 ) = xzy .
解 9.
dz
∂f dx ∂f dy
=
+
= fx (x, y) + fy (x, y)g ′ (x)
dx
∂x dx ∂y dx

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