B - 九州工業大学

プラズマ工学特論
九州工業大学
趙孟佑
No.7
磁界とプラズマ
参考書：真壁利明、プラズマエレクトロニクス、培風館
1
磁界中の荷電粒子の運動
磁力線
i
e
荷電粒子の動きによる電流が逆向きの磁場を作る
ように、荷電粒子は動く
反磁性
2
2
m
v
dv
= qv ! B
dt
B
ion
B
electron
v! B
磁界がz方向になるように軸を決める
take B in zˆ direction
" v˙x %
" vx % " 0 %
" vy B %
m $ v˙y ' = q$ vy ' ! $ 0 ' = q $ (vx B'
$
'
$ '
$ ' $ '
# 0 &
# v˙z &
# vz & # B&
take 2nd derivative
二階微分をとる
2
qB
qB
v˙˙x =
v˙y = ( " % vx = () c2 vx
# m&
m
2
qB
qB
v˙˙y = (
v˙ x = ( " % vy = () c2 vy
# m&
m
3
3
" q B%
!c = $
# m '&
ジャイロ周波数（ラーマー周波数）
Gyro-frequency (or Larmor frequency)
v&&x = !" c2 vx
v&&y = !" c2 vy
B
e
これは角周波数がωcの単振動の式
vx = v! cos (" ct + # )
の解を仮定する
# " c vx
qB
v&y = !
vx = $
m
%!" c vx
より
dvy
dt
電子
イオン
電子
= ! c v" cos (! ct + # )
イオン
dvy
dt
= !" c v# cos (" ct + $ )
4
電子
dvy
dt
vx = v! cos (" ct + # )
= ! c v" cos (! ct + # )
dvy
dt
イオン
= !" c v# cos (" ct + $ )
積分して
vy = v! sin (" ct + # )
vy = !v" sin (# ct + $ )
dx
= v! cos (" ct + # )
を積分して
dt
dy
= v! sin (" ct + # )
dt
v⊥ ( ω + δ − δ )
−
=
x xo ω sin( ct
) sin
c
v⊥ (
−
=
−
ω c t + δ ) − cos δ )
y yo
cos(
ωc
5
v⊥ ( ω + δ − δ )
−
=
x xo ω sin( ct
) sin
c
(xo , yo ) t=0での電子の初期位置
v⊥ (
−
=
−
ω c t + δ ) − cos δ )
y yo
cos(
ωc
イオンでは
変形する
x − xG = rL sin ω ct
x − xG = rL sin ω ct
y − yG = rL cos ω ct
y − yG = − rL cos ω c t
B
z
旋回中心
(xG , yG )
y
rL
x
v⊥
=
rL ω の半径で旋回する
c
電子の軌道
ジャイロ半径（ラーマー半径）6
Motion of a charged particle in E and B fields
電界と磁界が存在するときの荷電粒子の動き
r
dv
m
= q( E + v ! B)
dt
B
z
y
Ez
r
E
x
Ex
+
" v˙x %
" Ex
m $ v˙y ' = q$
$ '
$
# v˙z &
# Ez
v˙x
=
v˙y
=
v˙z
=
vy B %
(vx B '
'
&
eEx
(
( ) ce vy
me
) ce vx
eEz
(
me
v˙x
=
v˙y
=
v˙z
=
electron
) ce =
eE x
+ ) ci vy
mi
) ci vx
eEz
mi
ion
eB
eB
, ) ci =
me
mi
7
6
For an electron
v˙x
v˙y
v˙z
Integrate w/r/t time for vz
vz
eEx
! " ce vy
me
=
" ce vx
eE
=
! z
me
vzについて積分
eE
= vzo ! z t
me
=
!
Take 2nd derivative w/r/t time for vx and vy
vx = !" ce2 vx
˙˙
vxとvyの二階微分
# eE x
&
2 # Ex
%
(
v˙˙y = " ce v˙ x = " ce !
! " ce vy = !" ce
+ vy &
$B
'
$ me
'
The solution is given by
vx = v) cos(" cet)
vy = v) sin(" cet) !
Ex
B
8
7
9
イオンの場合
B
t1 v⊥ min
減速
t4
v⊥o
r
E
v⊥ max
t2 v⊥o
v⊥o
v⊥ min
減速
t3 v⊥ max
v⊥
=
rL ω
c
加速
v⊥
加速
from t2 to t4 (下の半周期)
from t4 to t2 (上の半周期)
t1
t2
t3
t4
t1
t
ジャイロ半径が大きい
ジャイロ半径が小さい
10
ExB ドリフト
荷電粒子に力が働いているとき、粒子は以下の速度で
ドリフト（横滑り）する
r r
r 1F!B
v=
q B2
r
r
力が電界の時、 F = qE
r r
r E!B
v=
B2
粒子の電荷、質量によらない
電子もイオンも同じ速度で横滑りしていく
11
r r
E!B
B
B
r
E
cathode
electron
ion
anode
magnetron
12
•
•
•
•
•
•
Gravitational field
Grad B drift
Curve B drift
Magnetic mirror
Adiabatic invariant
Aurora Physics
13
grad B drift
ｙ
ｘ
!|B|
ｚ
B
ion
B
electron
• 上側に行くほど磁界が強い
– ラーマー半径が縮小
14
grad B drift
v
ｙ
vx
ｘ
ｚ
B
• y方向の力を考える
Fy = !qvx Bz (y)
vx = v! cos " ct x方向速度
!Bz
Bz (y) = Bo + y
+ L ある基準点周りにTaylor展開
15
!y
grad B drift
• 基準点を旋回中心で考える
B
z
y
x − xG = rL sin ω ct
y − yG = − rL cos ω ct
"B
Bz (y) = Bo ± rL cos ! ct
+L
"y
旋回中心
(xG , yG )
rL
x
電子の軌道
y方向の力は
%
$B (
Fy = !qvx Bz (y) = !qv" ( cos # ct ) ' Bo ± rL ( cos # ct ) *
$y )
&
これはラーマー半径rLがBが変化するスケール長さLに比べて
十分ちいさければ成り立つ。(rLではBが少ししか変化しない）
16
grad B drift
• 基準点を旋回中心で考える
%
$B (
Fy = !qvx Bz (y) = !qv" ( cos # ct ) ' Bo ± rL ( cos # ct ) *
$y )
&
一回の回転あたりの平均を取る
1
Fy =
fc
1
fc
1
#B
!0 Fy dt = m 2 qv" rL #y
平均してy方向に力を受けることになる。旋回中心のドリフトが発生
r r
1 F ! B 1 Fy
1 v" rL #B
ˆ
vgc =
=
x=m
2
q B
q B
2 B #y
17
grad B drift
平均してy方向に力を受けることになる。旋回中心のドリフトが発生
r r
1 F ! B 1 Fy
1 v" rL #B
ˆ
vgc =
=
x=m
2
q B
q B
2 B #y
ベクトル形式で一般化すると、
1
B " #B
vgc = ± v! rL
2
B2
+は正イオン、-は電子・負イオン
電子と正イオンで反対向き
!|B|
ion
B
electron
18
curvature drift
• 湾曲した磁界に沿って動くと遠心力が働く
r
mv
2 Rc
ˆ
Fcf =
r = mv 2
Rc
Rc
r
2
!
磁界に垂直に力が働くので、ドリフトが起きる
r
r
r
r
2
1 Fcf ! B mv Rc ! B
vgc =
=
2
q B
qB 2 Rc2
B
Rc
curvatureドリフトという
19
curvature drift + grad B drift
• 磁界が湾曲するということは、必ず磁界に勾配
がある。
r
!"B=0
r
!
B
円筒座標系で
(
r
1 #Br )
&1 #
!"B z = (
rB$ ) %
(
r #r +*
' r #r
)
Rc
径方向の磁界Brは無視して、周方向のみを考える
r
1 #Br ) 1 #
&1 #
!"B z = (
rB$ ) %
=
rB$ ) = 0
(
(
+
r #r * r #r
' r #r
周方向の磁界は半径に反比例
1
B! "
rB! = const
r
(
)
20
curvature drift + grad B drift
• 径方向に磁界の勾配がある
1
B !
Rc
r
r
!B
Rc
=" 2
B
Rc
これをgrad-Bドリフトの式
v!B
!
B
Rc
1
B # !B
= ± v" rL
2
B2
r
r
r
r
r
に代入
2
1 v" rL r
Rc
1 v" Rc # B 1 m 2 Rc # B
v!B = m
B# B 2 = ±
=
v"
2
2
2 B
Rc
2 $ c Rc B
2 q
Rc2 B 2
v!
rL =
"c
qB
!c = ±
m
21
curvature drift + grad B drift
• 二つのドリフトを足し合わせる
vR + v!B
r
r
m Rc " B $ 2 1 2 '
=
&% v + v# )(
2
q Rc B
2
r
!
B
二つのドリフトは共に同じ方向
Rc
電子と正イオンは反対方向にドリフト
22
磁気ミラー
!ˆ
z
• 磁場がz方向に行くにつれて強くなっている。
• 磁界の方向はzと径方向のみ
▽・B=0より
1 #
1 #
#
(rBr ) +
!" B =
B$ + Bz
r #r
r #$
#z
1 !
(rBr ) + !Bz = 0
r !r
!z
23
磁気ミラー
∂Bz/ ∂z：r=0で与えられ rとともにあまり大きく変化しないとする
近似的に変数ではなく初期値のままの定数と考えられる
"Bz
1 2 % "Bz '
rBr = ! #0 r
dr $ ! r
"z
2 & "z ( r = 0
r
1 # "Bz %
Br = ! r
2 $ "z & r =0
24
磁気ミラー
ローレンツ力
ラーマー運動
Fr = q(v! Bz " vz B! )
F! = q("vr Bz + vz Br )
Bθ=0
Fz = q(vr B! " v! Br )
Fzに注目して
1
Fz = qv! r("Bz / "z)
2
1 # "Bz %
Br = ! r
2 $ "z & r =0
１周期で平均をとる
旋回中心が軸上の粒子について考える
v! = mv" , r = rL
"Bz
1
1 v!2 "Bz
1 mv!2 "Bz
Fz = m qv! rL
=m q
=$
2
"z
2 # c "z
2 B "z
25
磁気モーメント
回転粒子の磁気モーメント
1 2
µ ! mv" / B ・・・④
2
Fz = ! µ("Bz / "z)
反磁性粒子に働く力の一例
一般化すると
"B
F|| = ! µ r = ! µ#|| B
"s
ds：Bの方向にそった線要素
26
磁気モーメント
円電流に関する磁気モーメント
μ=IA
I=eωc/2π
I：電流
A：面積
A=πrL2=πv⊥2/ωc2
!v"2 e# c 1 v"2 e 1 mv2"
µ= 2
=
=
# c 2! 2 # c 2 B
④と同じ
粒子が磁界の強弱のあるところを移動する時、
ラーマー半径は変わるが、磁気モーメントは変わらない。
27
磁気モーメント不変性
粒子が強磁場、弱磁場に移動
↓
ラーマー半径変化
しかしμ：一定
運動方程式
左辺×v||
dv||
"B
m
= !µ
右辺×ds/dt
dt
"s
dv|| d 1 2
"B ds
dB
mv||
= ( mv|| ) = ! µ
= !µ
dt dt 2
"s dt
dt
エネルギー保存
④
d 1 2 1 2
d 1 2
( mv|| + mv! ) = ( mv|| + µ B) = 0
dt 2
2
dt 2
dB d
!µ
+ ( µB) = 0
dµ / dt = 028
dt dt
磁気ミラー
μの不変性
粒子：弱磁場領域→強磁場領域（熱運動）
↓
B増大
↓
μ一定のためv⊥増大 ↓
全運動エネルギー一定のためv||減少 B：throatで十分強い時
↓
V||→0
↓
F||により反射→弱磁場領域へ
throat
29
磁気ミラー
C2
C1
B0
Bm
磁気ミラー間に捕獲されたプラズマ
Bmcv
Bmcv
B0
イオン、電子共に有効
B0：磁場の最小値
Bm：磁場の最大値
Bz分布
2つの同じ大きさの環状コイルC1,C2同方向で電流を流す
30
ロスコーン
粒子を完全に閉じ込めているわけではない
V⊥=0の粒子は磁気モーメントを持たない
↓
Bと平行方向の速度しかもたず、ローレンツ力を受けない
B=B0でv⊥/v||小さいとき
Bmが大きくないと逃げる
31
ロスコーン
磁場が最小値：B0
v⊥=v⊥0,v||=v||0
④でμの不変性
1 2
1 2
mv! 0 / B0 = mv! / B'
2
2
反射点：B’
v⊥=v⊥’,v||=0
エネルギー保存
v!2 = v!2 0 + v||02 " v02
B0 v!2 0 v!2 0
2
=
=
"
sin
#
'
2
2
B v! 0
v0
θ：弱磁場領域の
ピッチ角
v⊥0
v0
θ
v||0
32
ロスコーン
θ小さい→B’大きい
θを小さくし過ぎる→B’がBmをこえる
↓
反射されない
sin 2 ! m = B0 / Bm " 1 / Rm
θ m：閉じ込められる最小のθ
Rm：ミラー比
弱磁場領域でのピッチ角がこれより小さいと
Throat部から粒子は失われる
33
ロスコーン
v||
速度空間上で円錐形の
境界を定める
v
円錐：ロスコーン
θm
v⊥
vx
ロスコーン
vy
q,mに依存しない
イオンも電子も同様
円錐状領域内：磁気ミラーの外へ
円錐状領域外：磁気ミラー内
衝突する→ピッチ角変化→外へ
ミラー効果の例：Van Allen帯（極で強く赤道で弱い磁場）
34
Radiation Belt
http://ssdoo.gsfc.nasa.gov/education/lectures/magnetosphere/Van_Allen.jpg
35
地球磁場まわりの荷電粒子の動き
http://image.gsfc.nasa.gov/poetry/tour/AAvan.html
36
aurora
http://www.meted.ucar.edu/hao/aurora/txt/x_m_3_2.php
を読んで、オーロラとロスコーンの関係について考える
37

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