交流電力

1
第5章
交流電力
本章では，正弦波交流の場合に特有の電力を表すパラ
メータについて学ぶ．
• 複素電力 S
フェーザ形式の電圧と電流を「あるルールに従っ
て」かけ算したもの．
• 皮相電力 |S |
上記複素電力の絶対値（大きさ）．フェーザ形式の
電圧と電流の大きさだけをかけ算したもの．
• 有効電力 P
以下に，上記の成分を導出する例題を設定したので，
各自で検証して欲しい．
課題
図 5.2 に示した交流回路の負荷インピーダンスにおけ
る電力の瞬時値を表す式を導出し，電力の一周期の平
均値がゼロになる成分と，ゼロにならない成分があるこ
とを示せ．なお，電源の周波数は ω，初期位相はゼロ，
フェーザ形式の電圧値は E とする．負荷インピーダン
スは
複素電力の実部．実際に消費される電力は，皮相電
Z = R + jX = | Z | exp(jθ )
力ではなく，この有効電力となる．
• 無効電力 Q
複素電力の虚部．実際には消費されない成分．
• 力率 cos θ
複素電力の実部と虚部がなす偏角の cos．皮相電力
に力率をかけることによって有効電力となる．力率
の値は 100 倍して % で表すことが多い．
5.1 交流電力の復習
コイルやコンデンサが関与する交流回路の場合，電力
とする．
略解
瞬時値が要求されているので，時間領域の実関数 e(t)
と i(t) を求めて，それらの積 p(t) = e(t)i(t) を計算する，
という方針をとる．
与えられた電圧とインピーダンスから，フェーザ形式
での電流は，
I=
E
|E |
|E | −jθ
=
=
e = | I |e−jθ
Z | Z |ejθ | Z |
(5.1)
が消費ばかりとは限らないことを以前に紹介した．本章
となる．従って，時間領域の実関数で表した電圧と電流
では，それを正弦波交流の場合についてもう少し詳しく
の波形， e(t) と i(t)，は
学ぶ．
図 5.1 は，電圧と電流の振幅は変えずに，位相だけを
変えて，電力を計算した結果である．この図から，電圧
e(t) = E m sin ω t,
(5.2)
i(t) = I m sin(ω t − θ )
(5.3)
p
p
2 |E |, I m = 2 | I | とした． e(t)
と電流の振幅が同じであっても，両者の位相差が異なる
となる．ここで，E m =
と，電力波形が変わり，その平均値も変わることが読み
と i(t) の積を計算すると，
取れる．従って，交流電力を議論する場合には，平均し
てゼロになる成分（反射される成分）と平均してもゼロ
にならない成分（正味の消費電力）に分ける必要がある，
p(t) = e(t)i(t)
(5.4)
= 2|E || I | sin ω t sin(ω t − θ )
(5.5)
= |EI | cos θ − |EI | cos(2ω t − θ )
(5.6)
ということを理解してもらえると思う．
となる．上式から，以下のことがわかる．
第5章
2
• 第二項目：
1.0
V(V), I(A), P(W)
交流電力
|EI | cos(2ω t − θ )
Power
0.5
は時間に依存し，電源の周波数の二倍の周波数で変
動する．従って，一周期で（或いは半周期でも）平
0.0
θ=0
-0.5
o
均するとゼロになる成分である．
Current
以上のように，交流電力の瞬時値の計算結果から，交
Voltage
-1.0
流電力には平均するとゼロになる成分とゼロにならない
o
V(V), I(A), P(W)
1.0
即ち，R, L, C の組み合わせ具合によって，その成分は
0.5
どのように異なるのであろうか？というのが次の検討課
Power
0.0
題である．
-0.5
5.2 負荷が R , L, C の場合の瞬時電力と平均
Current
-1.0
電力
Voltage
Voltage
1.0
V(V), I(A), P(W)
成分があることがわかった．では， Z の大きさや偏角，
θ = + 60
前節の e(t)i(t) の式を変形すると，
Current
p(t) = |EI | cos θ − |EI | cos(2ω t − θ )
Power
0.5
(5.7)
= |EI | cos θ
−|EI | cos θ cos 2ω t − |EI | sin θ cos 2ω t (5.8)
0.0
となる．
-0.5
o
θ = + 90
-1.0
5.2.1
0
2
4
6
Time (ms)
10
8
図 5.1 電圧波形と電流波形の位相差が 0◦ , 60◦ , 90◦ , −90◦
R のみの場合
これは，
θ = 0,
cos θ = 1,
sin θ = 0
の場合における電力の波形．同じ振幅の電圧と電流波形
に相当する．従って，電力の瞬時値と平均値は，以下の
であっても，位相差によって電力の時間平均値が異なる
ようになる．
ことが読み取れる．
• 瞬時値
p(t) = |EI | − |EI | cos 2ω t
(5.9)
〈 p(t)〉 = |EI |
(5.10)
I
• 平均値
E
Z
jX
Z
θ
R
具体的に図示すると図 5.3(a) のようになる．電力波形
が常に正であり，電源周波数の二倍の周波数で変動して
図 5.2 瞬時電力計算例題のための図．
いることがわかる．
5.2.2
• 第一項目：
L のみの場合
これは，
|EI | cos θ
π
θ=− ,
2
cos θ = 0,
sin θ = −1
は時間に依存しない項である．即ち，平均しても残
に相当する．従って，電力の瞬時値と平均値は，以下の
る項である．
ようになる．
5.3 交流電力を定義する三つのパラメータの導入
• 瞬時値
V(V), I(A), P(W)
1.0
(a) R
Power
0.5
θ=0
-0.5
o
V(V), I(A), P(W)
〈 p(t)〉 = 0
(5.14)
具体的に図示すると図 5.3(c) のようになる．電力波形
Current
は，電源周波数の二倍の周波数で変動しており，その振
Voltage
動の中心がゼロであるため，平均値はゼロになってしま
Voltage
う．L の場合と異なる点は，電力波形の位相が異なって
Current
いる点である．二倍の周波数となっているため，もとの
Power
0.5
電圧電流に対する位相で議論することはできないが，L
の場合と C の場合で，電力の波形が反転していること
0.0
は読み取れると思う．
-0.5
o
5.3 交流電力を定義する三つのパラメータの
θ = + 90
-1.0
導入
Voltage
1.0
V(V), I(A), P(W)
(5.13)
0.0
1.0
(c) C
p(t) = +|EI | sin 2ω t
• 平均値
-1.0
(b) L
3
電力の瞬時値を表す式をもう一度見てみよう．
Current
Power
0.5
p(t) = |EI | cos θ − |EI | cos θ cos 2ω t
−|EI | sin sin 2ω t
0.0
(5.15)
電力の波形を見てわかるように，電力波形は基本的に電
-0.5
源周波数の二倍の周波数で変動する．従って，二倍の周
o
θ = - 90
波数で変動することを前提として，平均するとゼロにな
-1.0
0
2
4
6
Time (ms)
8
10
る部分とそうでない部分に分けてみよう．この式を，以
下のように分離する
図 5.3 R, L, C だけの回路素子の電圧，電流，電力波形．
• 変動するが，平均値がゼロにはならない成分
|EI | cos θ − |EI | cos θ cos 2ω t
• 瞬時値
p(t) = −|EI | sin 2ω t
(5.11)
= |EI | cos θ (2 sin ω t)2
(5.16)
• 変動して，かつ，平均値がゼロになる成分
• 平均値
〈 p(t)〉 = 0
(5.12)
具体的に図示すると図 5.3(b) のようになる．電力波形
は，電源周波数の二倍の周波数で変動しており，その振
−|EI | sin θ sin 2ω t
これより，交流電力の特徴を表すパラメータとして以
下の三つのパラメータを定義する．
動の中心がゼロであるため，平均値はゼロになってし
• 皮相電力実効値の単純積
まう．
|EI |
5.2.3
C のみの場合
• 有効電力平均が非ゼロとなる振動成分の平均値
これは，
π
θ=+ ,
2
cos θ = 0,
sin θ = +1
に相当する．従って，電力の瞬時値と平均値は，以下の
ようになる．
|EI | cos θ
• 無効電力平均がゼロとなる振動成分の振幅
|EI | sin θ
第5章
4
交流電力
|S|
5.4 皮相電力
(a)
Q
θ
P
皮相電力とは，後述の複素電力 S の絶対値であり，
フェーザ形式で表した電圧と電流の大きさをかけ算した
(b)
だけの「見せかけの電力」である．
|S | = |EI | = | Z I 2 | = |E 2 /Z |
S
Q
θ
P
S
⓹ả⯍‫מ‬
|S| ᫾ᭀ⯍‫מ‬
P
ሱ‫מ⯍׼‬
Q
ᠪ‫מ⯍׼‬
cos θ‫᤹מ‬
(5.17)
単位として，実効的に電力を消費する [W]（ワット）と
区別するために [VA]（ボルトアンペア）という単位が
使われている．
図 5.4 複素電力を定義するための図．(a) 皮相電力 |S |，
有効電力 P ，無効電力 Q ，偏角 θ の関係と，(b) これら
の関係を満足するように定義した複素電力の複素平面上
での描像．
5.5 有効電力と力率
有効電力とは，実際に負荷で消費される電力であり，
5.7 複素電力の定義
電力波形の平均値である．
電圧と電流がフェーザ形式で与えられているとき，そ
P = |EI | cos θ = |S | cos θ
(5.18)
この電力は，実効的に電力を消費するものであるから，
[W]（ワット）と同じ単位が用いられている．
cos θ
れらの積を計算すると電力らしきものが得られると想定
される．その際，前節までで導入した三つの電力成分と
つじつまの合う形で電圧と電流の積，即ち，電力を定義
しなければならない．
(5.19)
皮相電力 |S |，有効電力 P ，無効電力 Q ，偏角 θ の関
係を図示すると，図 5.4(a) のようになる．これとつじつ
は力率と呼ばれており，皮相電力の内，どれだけの割合
まの合うように複素電力を定義すると，図 5.4(b) のよう
が実効的に消費される電力なのかを表す指標となってい
になる．
る．cos θ は 0 から 1 の間の値を取るが，それを 100 倍
し，
「% 」を用いて表すことが多い．
5.8 複素電力の計算式
力率の中の θ は，インピーダンスの偏角である．従っ
前節のように複素電力が定義されたが，それを計算す
て，インピーダンスの偏角と大きさが与えられれば，電
るときに，単純にフェーザ形式の電圧とフェーザ形式の
圧もしくは電流の実効値を用いて，有効電力を計算する
電流の積を計算したらよい，という訳では無い，という
ことができる．
のがこの節である．
結論から先に述べると，複素電力を定義通りに算出す
5.6 無効電力
るためには，以下のように計算しなければならない．
無効電力は，蓄積と放出が繰り返される成分であり，
S = E I¯
実効的には消費されない成分である．
Q = |S | sin θ
S = EI ∗
(5.22)
ここで， I¯ や I ∗ は I の共役複素数であることを示すも
(5.20)
単位としては，[var]（バール）という単位が用いられ
のである．即ち，フェーザ形式の電圧とフェーザ形式の
電流の共役複素数をかけ算する，という作法になる．
ている．
課題
sin θ
(5.21)
電圧電流をフェーザ形式で表したときに，複素電力を
計算するためには，それらの単純な積ではダメであり，
はリアクタンス率という名前が付いているが，ほとんど
電流を共役複素数にしてかけ算しなければならないこと
利用されない．
を示せ．
5.8 複素電力の計算式
5
略解
電圧を E = |E |ejω t ，負荷のインピーダンスを Z =
| Z |ejθ とする．このとき，電流は， I = | I |e−jθ となる．
E と I の単純な積を計算すると，
EI = |E || I |e−jθ
(5.23)
となり，単純な EI の積を計算すると複素電力の偏角の
符号が定義と逆になる．
一方，電流を複素共役にして計算すると，
EI ∗ = |E || I |ejθ
(5.24)
となり，複素電力の定義と偏角の符号が一致することが
確認できる．
＊＊＊
第5章
6
±+
v
i
R
i
±
Current coil
±
−
Voltage
coil
+
v ZL
−
i
±
図 5.5 Wattmeter [1]．
豆知識
Wattmeter [1]
When the two coils are energized, the mechanical inertia of the moving system produces a deflection angle
that is proportional to the average value fo the product v(t)i(t). If the current and voltage of the load are
v(t) = Vm cos(ω t + θv ) and i(t) = I m cos(ω t + θi ), their corresponding rms phasors are
Vm
Vrms = p ∠θv
2
Im
I rms = p ∠θi
2
(5.25)
and the wattmeter measures the average power given
by
P = |Vrms || I rms | cos(θv − θi )
1
= Vm I m cos(θv − θi )
2
(5.26)
交流電力
7
参考文献
[1] C. K. Alexander and M. N. O. Sadiku: Fundamentals of Electric Circuits 5th Ed. (McGraw-Hill, New York,
2013) pp. 483-484.

Download Report