10 進数を n 進数に変換した場合の桁数 1．

埼玉工業大学
テーマ B50：
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
10 進数を n 進数に変換した場合の桁数－1/3
10 進数を n 進数に変換した場合の桁数
１．10 進数の桁数
n 進数の数を 
n で表すことにします．たとえば，10 進数の 123 は 12310 と表されます．
この数を 10m-1 と 10m の範囲で表すと
10 2  123 10  10 3
となります．10 進数の 123 は 3 桁の数ですが，10m-1 と 10m の範囲で表した場合の m (=3)が
10 進数での桁数を表すことがわかります．
２．10 進数を n 進数に変換した場合の桁数
10 進数の数 
nm 1  
10 を上述のように
10  nm
として nm-1 と nm の範囲で表した際の，m が n 進数に変換した場合の桁数になります．m を
求めるには，10 を底として与式の対数をとります．
m  1log n  log 10  m log n
式を変形すると，
log 10
m 1 
m
log 2
となりますが，
m
log 10
1
log 2
log 10
m
log 2
なので，m の範囲は
log 10
log 10
m
1
log 2
log 2
となります．m は式を満たす整数でなければなりません．
計算例１．(123)10 は 2 進数では何桁の数になるか？
解答
12310 を 2 進数に変換した場合，
2m 1  12310  2m
とおいて，10 を底とする対数をとると
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10 進数を n 進数に変換した場合の桁数－2/3
log 2m 1  log123 10  log 2m
m  1log 2  log123 10  m log 2
log123 10
m 1 
m
log 2
m  1  6.9425  m
6.9425  m  7.9425
m は整数のため，m =7 となり，7 桁の数であることがわかります．
参考：変換値は，下記の計算より 12310  1111011 2 になります．
2)
2)
2)
2)
2)
2)
2)
123
61
30
15
7
3
1
0
余り 1
余り 1
余り 0
余り 1
余り 1
余り 1
余り 1
計算例２．(410)10 は 2 進数では何桁の数になるか？
解答
4 
10
10
を 2 進数に変換した場合，
 
2m 1  410 10  2m
とおいて，10 を底とする対数をとると
 
log 2m 1  log 410
10
 log 2m
m  1log 2  10 log 4  m log 2
m  1log 2  20 log 2  m log 2
m  1  20  m
20  m  21
m =20 となり，20 桁の数であることがわかります．
計算例３．(16)10 は 2 進数では何桁の数になるか？
解答
16 10 を 2 進数に変換した場合，
2 m 1  16 10  2 m
とおいて，10 を底とする対数をとると
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10 進数を n 進数に変換した場合の桁数－3/3
log 2m 1  log16 10  log 2m
m  1log 2  4 log 2  m log 2
m 1  4  m
4m5
m は整数のため，m =5 となり，5 桁の数であることがわかります．
参考：変換値は，下記の計算より 1610  10000 2 になります．
2)
2)
2)
2)
2)
16
8
4
2
1
0
余り 0
余り 0
余り 0
余り 0
余り 1
計算例４．(123)10 は 8 進数では何桁の数になるか？
解答
12310 を 8 進数に変換した場合，
8n 1  123 10  8n
とおいて，10 を底とする対数をとると
log 8m 1  log123 10  log 8m
m  1log 8  log123 10  m log 8
log123 10
m 1 
m
log 8
m  1  2.3142  m
2.3142  m  3.3142
m は整数のため，m =3 となり，3 桁の数であることがわかります．
参考：変換値は，下記の計算より 12310  1738 になります．
8)
8)
8)
123
15
1
0
余り 3
余り 7
余り 1
http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support/SupportPDF/DigitsOfConvertedNumber.pdf
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