赤阪正純 (http://inupri.web.fc2.com) (1) Z cos2 xsin Z e Z eax cosx dx

赤阪正純 (http://inupri.web.fc2.com)
オリスタ
Z
140
3
2
cos x sin x dx (2)
(1)
この
140
Z
e
オリスタ解説
p
x
dx (3)
Z
eax cos x dx
の中に不定積分の計算に必要な基本的手法がすべて入っています．これだけできれば十分で
しょう．
(1) cos x の次数が 2，sin x の次数が 3 という
微分して，
ように次数が 1 ズレていることがポイント．さて，
(eax sin x)0 = aeax sin x + eax cos x Ý1
どっちを置換するのかな？
(eax cos x)0 = aeax cos x ¡ eax sin x Ý2
A cos2 x sin3 x = cos2 x sin2 x sin x
= cos2 x(1 ¡ cos2 x) sin x
1 + 2 £ a より，
cos x = t とおくと，¡ sin x dx = dt．
Z
cos2 x sin3 x dx
Z
= cos2 x(1 ¡ cos2 x) sin x dx
Z
= t2 (1 ¡ t2 ) (¡dt)
Z
= (t4 ¡ t2 ) dt
(eax sin x + aeax cos x)0 = (1 + a2 )eax cos x
∴
1 5
1
t ¡ t3 + C
5
3
1
1
5
= cos x ¡ cos3 x + C
5
2
からなければ質問に来ること．
x = t と置換するしかないでしょう．
t
eax cos x dx
Z
eax (sin x)0 dx
Z
=eax sin x ¡ (eax )0 sin x dx
Z
ax
=e sin x ¡ a eax sin x dx
Z
ax
=e sin x ¡ a eax (¡ cos x)0 dx
Z
=eax sin x ¡ a #eax (¡ cos x) ¡ (eax )0 (¡ cos x) dx;
Z
=eax sin x ¡ a #¡eax cos x +
aeax cos x dx;
Z
ax
ax
2
=e sin x + ae cos x ¡ a
eax cos x dx
=
cos2 x sin2 x dx はできますよね．分
A x = t とおくと，x = t2 より，dx = 2t dt
Z p
Z
e x dx =
et ¢ 2t dt
Z
= (et )0 2t dt
Z
t
= 2te ¡
2et dt
Z
A
るんでしたっけ？
Z
p
ex
(sin x+a cos x)+C
a2 + 1
なり慎重に計算しないと間違う可能性大です．
Q 指数のズレのない場合はどのように計算す
p
eax cos x dx =
分積分を 2 回やると元に戻ってくるタイプです．か
(2)
0
ex
(sin x + a cos x)k = eax cos x
+1
a2
Y 教科書的にやれば次のようになります．部
=
例えば，
Z
S
ここで，
Z
eax cos x dx = A とおくと，
t
= 2te ¡ 2e + C
p
p
= 2( x ¡ 1)e x + C
A = eax sin x + aeax cos x ¡ a2 A
(a2 + 1)A = eax (sin x + a cos x)
A=
(3) はうまいやり方がありました．教科書的に部
分積分を 2 回やってもかまいませんが，かなりメン
ドウです．
A まずは，eax sin x と eax cos x をそれぞれ
∴
Z
eax
(sin x + a cos x)
a2 + 1
eax cos x dx =
eax
(sin x+a cos x)+C
+1
a2

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