練習問題＋解答 - MATH AQUARIUM

Math-Aquarium【練習問題＋解答】指数関数・対数関数
指数関数・対数関数
１
指数の計算
次の計算をせよ。ただし，(2)では x＞0，(3)では x＞0，y＞0 とする。
(1) 92×
(3)
4
1
÷33
27
x3 y ×
(2)
1
1
2 ÷
x
x3
(4)
3
y
y3
÷4
x
x
0.25
－8 ÷4
解答
(1) 92×
1
1
÷33＝34×3－3×3－3＝3－2＝
27
9
(2)
3
3
1
－
－
1
1
1
－2
－2
2
2
÷ 3 ＝x ÷ x ＝x × x ＝ x 2 ＝
x2
x
x
(3)
4
1
x3 y ×
3
1
3
1
1
1
1
1
－
－
y
y3
÷4
＝ ( x 3 y ) 4 × ( yx －1 ) 2 ÷ ( y 3 x －1 ) 4 ＝ x 4 ∙ y 4 × y 2 ∙ x 2 ÷ y 4 ∙ x 4
x
x
3
4
1
1
＝x ∙y4 × y2 ∙x
1
(4)
3
－8 ＝ 3 (－2) 3 ＝－2，
よって
3
－
1
2
×y
－
3
4
1
4
∙x ＝x
1
40.25＝ (2 2 ) 4 ＝ 2 2 ＝ 2
0.25
－8 ÷4
＝(－2)÷ 2 ＝－ 2
1
3 1 1
－＋
4 2 4
1
∙ y4
1 3
＋－
2 4
1
＝ x 2 y0＝ x
Math-Aquarium【練習問題＋解答】指数関数・対数関数
２
式の値
1
(1) x＞0， x 2 － x
1
(2) x＞0， x 3 ＋ x
－
－
1
2
1
3
＝－2 のとき，x＋x－1 の値を求めよ。
＝3 のとき，x＋x－1 の値を求めよ。
(3) 3x－3－x＝2 のとき，次の値を求めよ。
3x＋3－x
①
② 3x
解答
2
2
2
1
－
 12
－ 
 1
 －1 
1
 x －x 2  ＝  x 2  －2∙ x 2 ∙ x 2 ＋  x 2  ＝x－2＋x－


 




 


(1)
1
x2 －x
－
1
2
1
1
＝－2 から 4＝x－2＋x－1
3
3
2
よって x＋x－1＝6
2
3
1
1
1
－
－
 13
－ 
 1
 1
 －1 
 －1 
1
 x ＋x 3  ＝  x 3  ＋3∙  x 3  ∙ x 3 ＋3∙ x 3 ∙  x 3  ＋  x 3  ＝x＋3 x 3 ＋3 x 3 ＋x－


 
 






 
 




(2)
1
1
1
 1
－ 
＝x＋x－1＋ 3 x 3＋x 3 


1
x3＋x
(3) ①
－
1
3
＝3 から 33＝x＋x－1＋3∙3
よって x＋x－1＝18
(3x－3－x)2＝(3x)2－2∙3x∙(3－x)＋(3－x)2＝32x＋3－2x－2
ここで，3x－3－x＝2 から 32x＋3－2x＝22＋2＝6
また，(3x＋3－x)2＝32x＋3－2x＋2 から
(3x＋3－x)2＝6＋2＝8
ここで，3x＞0，3－x＞0 であるから 3x＋3－x＞0
②
3x－3－x＝2，3x＋3－x＝ 2 2 から
3x＝1＋ 2
2
よって 3x＋3－x＝ 2 2
Math-Aquarium【練習問題＋解答】指数関数・対数関数
３
指数関数のグラフ
次の関数のグラフをかき，y＝3x との位置関係を答えよ。
1
(2) y＝－ 
 3
x＋1
(1) y＝3
x
解答
(1) f (x)＝3x とすると，3x＋1＝f (x＋1)である
x＋1
ので，y＝3
y＝3x
3
x
のグラフは y＝3 のグラフ
を x 軸方向に－1 だけ平行移動したグラフ
である。
y＝3x＋1
1
－1
y＝3x
(2) f (x)＝3x とする。
x
1
－  ＝－(3－1)x＝－3－x＝－f (－x)
 3
1
1
x
1
であるので，y＝－  のグラフは y＝3x の
 3
－
1
3
－1
グラフを原点に関して対称移動したグラフ
1
y＝－ 
 3
である。
3
x
Math-Aquarium【練習問題＋解答】指数関数・対数関数
４
累乗・累乗根の大小比較
4
(1) 次の 3 数の大小を比較せよ。
6
(2) 次の 2 数の大小を比較せよ。
2
，5
2
2
4
6
， 10
2
2
2 ，5 6
解答
1
4
(1)
6
2
2
＝
24
1
＝2
＝2
3－2
12
1
12
＝2 ，
2
5
26
底 2 は 1 より大きく，指数の大小は，
6
すなわち
(2)
1
1
1 1
－
4 6
10
2
2
4
＜6
2
2
＜5
4
＝
22
2
＝2
1 2
－
2 5
＝2
5－4
10
＝ 2 ， 10
25
1
1
1
＜＜であるから
15 12 10
2
4
2 ， 5 6 のそれぞれを 10 乗すると
 2
10
10
 1
＝  2 2  ＝25＝32，
 
 
32＜36 であるから
 6
5
6
1
10
10
10
 1
＝  6 5  ＝62＝36
 
 
2 ＜5 6
4
1
2
2
＝
1
26
＝26
1
2 10
1
1
2 15 ＜ 2 12 ＜ 2 10
1
－
10
＝2
5－3
30
1
＝ 2 15
Math-Aquarium【練習問題＋解答】指数関数・対数関数
５
指数方程式・指数不等式
(1) 4x－1＝ 2 2
(2) 4x－1≧ 2 2
x
(3)
1
1
  ＜
3
9
(4) 8x－2x＋2＝0
解答
1
(1) 4x－1＝(22)x－1＝22x－2，
よって 2x－2＝
3
2
1
2 2 ＝2 ∙ 2 2 ＝ 2
したがって x＝
1＋
1
2
3
3
22x－2＝ 2 2
＝ 2 2 より
7
4
3
(2) (1)より 22x－2≧ 2 2
2 は 1 より大きいから 2x－2≧
3
2
したがって x≧
7
4
(3) 底を 3 にそろえる。
x
1
2 x
2x
  ＝(3－ ) ＝3－，
9
1
3
－
＝3
1
2
3 は 1 より大きいから－2x＜－
別解
－
よって 3－2x＜ 3
1
2
1
2
したがって x＞
1
4
1
底をにそろえる。
3
1
x
2x
2
x

1
 1  

1
  ＝    ＝   ，
 3

9
 3  

1
は 1 より小さいから
3
2x＞
1 12
＝
＝ 
3  3
3
1
1
2
2x
よって
したがって x＞
(4) 8x＝(23)x＝23x＝(2x)3， 2x＋2＝4∙2x より (2x)3－4∙2x＝0
3
このとき，方程式は t －4t＝0
x
すなわち 2 ＝2
t(t＋2)(t－2)＝0
これを解いて x＝1
5
1
12
1
  ＜ 
 3
 3
1
4
ここで，2x＝t とおくと
t＞0 であるから t＝2
t＞0
Math-Aquarium【練習問題＋解答】指数関数・対数関数
６
指数関数の最大・最小
(1) 関数 y＝6∙3x－9x＋1 における最大値を求めよ。
(2) y＝2(2x＋2－x)＋4x＋4－x とする。2x＋2－x＝t とおくとき，y を t を用いて表せ。
また，関数 y の最小値を求めよ。
解答
(1) 3x＝t とおくと t＞0
このとき関数は y＝6∙3x－9x＋1＝－9∙(3x)2＋6∙3x
1
2
1

＝－9t2＋6t＝－9 t－  ＋1
3

2
3
1
t＞0 であるから，右のグラフより，t＝のとき最大値 1
3
1
3
をとる。
1
1
t＝のとき 3x＝
3
3
よって
x＝－1
したがって，この関数は x＝－1 のとき最大値 1 をとる。
(2) (2x＋2－x)2＝(2x)2＋2∙2x∙2－x＋(2－x)2＝22x＋2∙2x－x＋2－2x＝(22)x＋2∙20＋(22)－x＝4x＋2＋4－x
よって，4x＋4－x＝(2x＋2－x)2－2＝t2－2 と表すことができる。
したがって y＝2(2x＋2－x)＋4x＋4－x＝2t＋(t2－2)＝t2＋2t－2
また，2x＞0，2－x＞0 であるから，相加平均と相乗平均の大小関係により
t＝2x＋2－x≧ 2 2 x  2－x ＝2
ここで y＝t2＋2t－2＝(t＋1)2－3
6
右のグラフより，t＝2 のとき最小値 6 をとる。
ここで t＝2
すなわち
2x＋2－x＝2 を満たす x は
相加平均と相乗平均の大小関係において等号が成立し
－1
ているときであるから
x
2 ＝2
－x
よって x＝－x
2
－2
－3
x＝0
したがって，この関数は x＝0 のとき最小値 6 をとる。
6
Math-Aquarium【練習問題＋解答】指数関数・対数関数
７
対数の計算
(1) 次の対数の値を求めよ。
①
1
8
log 2
②
log 3 3
(2) 次の式を簡単にせよ。
①
② log128＋log1218
log48－log42
(3) 次の式を簡単にせよ。
①
log
2
1
4
②
log49∙log38
解答
(1) ①
log 2
1
＝log22－3＝－3
8
1
②
(2) ①
②
log 3 3 ＝ log 3 3 2 ＝
1
2
log48－log42＝ log 4
8
＝log44＝1
2
log128＋log1218＝log12144＝log2122＝2
(3) ① 底を 2 に変換する。
②
log
2
1
log 2
－2
log 2 2－2
1
4
＝
＝
1 ＝ 1 ＝－4
4 log 2 2
log 2 2 2
2
底を 2 にそろえる。 log49∙log38＝
別解
log 2 9 log 2 8
log 2 3 2 log 2 2 3
2 log 2 3
3
∙
＝
＝
∙
＝3
2 ∙
log 2 3
log 2 4 log 2 3
log 2 3
log 2 2
2
底を 3 にそろえる。
log 3 9
log 3 3 2
2
log49∙log38＝
∙log38＝
∙log323＝
∙3log32＝3
2 log 3 2
log 3 4
log 3 2 2
7
Math-Aquarium【練習問題＋解答】指数関数・対数関数
８
対数の表現
log35＝a，log79＝b とするとき，log57 を a，b で表せ。
解答
log57＝
log 3 7 log 3 7
＝
log 3 5
a
log 3 9 log 3 3 2
2
ここで，b＝log79＝
＝
＝
であるから
log 3 7
log 3 7
log 3 7
log37＝
2
b
2
2
b
よって log57＝＝
a
ab
９
対数関数のグラフ
次の空欄を埋めよ。
y＝log84(x－1)3 のグラフは，y＝log2x のグラフを x 軸方向に
，y 軸方向に
だけ平行移動した
グラフである。
解答
底を変換公式を利用して，log84(x－1)3 の底を 2 に変換する。
log 2 2 2 ＋3 log 2 ( x－1) 2
log 2 4( x－1) 3
log 2 4＋log 2 ( x－1) 3
log84(x－1) ＝
＝
＝
＝＋log2(x－1)
3
3
log 2 8
log 2 2 3
3
f (x)＝log2x とすると，log2(x－1)＝f (x－1)であるから，y＝log84(x－1)3 のグラフは y＝log2x のグラフを
x 軸方向に 1 ，y 軸方向に
2
だけ平行移動したグラフである。
3
8
Math-Aquarium【練習問題＋解答】指数関数・対数関数
１０
対数の大小比較
(1) 次の 3 数の大小を比較せよ。
2，log26， log 1
4
(2) 次の 2 数の大小を比較せよ。
1
27
log23，log34
解答
(1) 2＝2∙log22＝log222＝log24
1
3
log 2 3－3
－3 log 2 3 3
1
27
2
log
3
＝
＝
＝
＝
∙log
3＝
＝ log 2 27
log 1
2
2
－2
1
2
log
2
－
2
27
2
4
log 2
4
log 2
底 2 は 1 より大きく，4＜ 27 ＜6 であるから log24＜ log 2 27 ＜log26
すなわち 2＜ log 1
4
1
＜log26
27
(2) P＝log23－log34 とおく。
P＝log23－
2
log 2 4 (log 2 3) －2
＝
log 2 3
log 2 3
ここで (log23)2－2＝(log23＋ 2 )(log23－ 2 )
log23＞0 より
1
＞0，log23＋ 2 ＞0
log 2 3
であるから，log23－ 2 の正負と P の正負が一致する。
ここで， 2 ＜
3
であるから
2
3 1
1
1
log23－ 2 ＞log23－＝ (2log23－3)＝ (log232－log223)＝ (log29－log28)＞0
2 2
2
2
したがって，P＞0 であるから
log23＞log34
9
Math-Aquarium【練習問題＋解答】指数関数・対数関数
１１
対数方程式・対数不等式
4 log2
(1)
2
の値を求めよ。
(2) 次の方程式を解け。
①
( log 1 x )2＋ log 1 x 2 ＝0
②
log3(x＋1)＝log9(x＋3)
2
2
(3) 次の不等式を解け。
①
log 1 ( x 2＋5) ＞－2
② log2x＋log4(x＋1)＜
3
1
2
解答
(1)
4 log2
2
＝x とおき，両辺の 2 を底とする対数をとると
log 2 4 log2
ここで
2
＝log2x
すなわち
log 2 2 ∙log24＝log2x
log 2 2 ∙log24＝2 log 2 2 ＝ log 2 ( 2 ) 2 ＝log22
よって log22＝log2x
したがって x＝2
(2) ① 真数は正であるから x＋1＞0 かつ x＋3＞0
ここで，log9(x＋3)＝
すなわち x＞－1 ……(ⅰ)
log 3 ( x＋3) log 3 ( x＋3)
＝
であるから，方程式の両辺に 2 を掛けると
2
log 3 9
2log3(x＋1)＝log3(x＋3)
よって，(x＋1)2＝(x＋3)から
すなわち log3(x＋1)2＝log3(x＋3)
x2＋2x＋1＝x＋3
整理すると (x＋2)(x－1)＝0
(ⅰ)から x＝1
真数は正であるから x＞0 かつ x2＞0
②
すなわち x＞0 ……(ⅰ)
log 1 x ＝t とおくと， log 1 x 2 ＝2 log 1 x ＝2t から，方程式は t2＋2t＝0
2
2
t(t＋2)＝0
2
0
これを解くと t＝0，－2
すなわち
log 1 x ＝0，－2
2
したがって x＝1，4
これは，(ⅰ)を満たす。
10
1
1
よって x＝   ，  
 2
 2
－2
Math-Aquarium【練習問題＋解答】指数関数・対数関数
(3) ① x2＋5＞0 であるから，真数はつねに正である。
1
－2＝ log 1  
3
3 
－2
＝ log 1 9
よって，不等式は
3
x2－4＜0
真数は正であるから x＞0 かつ x＋1＞0
ここで，log4(x＋1)＝
3
3
1
底は 1 より小さいから x2＋5＜9
3
②
log 1 ( x 2＋5) ＞ log 1 9
したがって－2＜x＜2
すなわち x＞0 ……(ⅰ)
log 2 ( x＋1) log 2 ( x＋1)
＝
であるから，不等式の両辺に 2 を掛けると
log 2 4
2
2log2x＋log2(x＋1)＜1
すなわち log2x2(x＋1)＜log22
よって，底 2 は 1 より大きいから x2(x＋1)＜2
すなわち x3＋x2－2＜0
左辺を因数分解すると
2
1
1
(x－1)(x2＋2x＋2)＜0
1
0
－2
1
2
2
2
2
0
2
x ＋2x＋2＝(x＋1) ＋1＞0 であることから，
1
不等式の解は x＜1 ……(ⅱ)
(ⅰ)，(ⅱ)の共通な範囲を求めて 0＜x＜1
11
Math-Aquarium【練習問題＋解答】指数関数・対数関数
１２
対数関数の最大・最小
(1) 関数 y＝( log 1 x )2＋log3x の最小値を求めよ。
9
(2) 関数 y＝(log22x)( log 1 x ) の最大値を求めよ。
4
解答
(1)
log 1 x ＝
9
log 3 x
log 3 x
(log 3 x) 2
＝
より，y＝
＋log3x であるから
1
－2
4
log 3
9
log3x＝t とおくと y＝
1
1
1
t2
＋t＝ (t2＋4t)＝ {(t＋2)2－4}＝ (t＋2)2－1
4
4
4
4
t＝－2 のとき最小値－1 をとる。t＝－2 のとき log3x＝－2
よって x＝3－2＝
1
9
1
したがって，この関数は x＝のとき最小値－1 をとる。
9


 log x 
log 2 x 
2
 ＝(1＋log2x) 
 であるから
(2) y＝(log22x)( log 1 x )＝(1＋log2x) 
1

 －2 
4
log


2
4

1
1
 1 
log2x＝t とおくと y＝(1＋t) － t  ＝－ (t2＋t)＝－
2
2
 2 
1
1
1
t＝－のとき最大値をとる。t＝－のとき
8
2
2
したがって，この関数は x＝
2
2

1
1
1
1


1
 t＋  －  ＝－  t＋  ＋
8
2
4
2
2



log2x＝－
1
2
2
1
のとき最大値をとる。
2
8
12
よって x＝ 2
－
1
2
＝
2
1
＝
2
2
Math-Aquarium【練習問題＋解答】指数関数・対数関数
１３
常用対数の利用
log102＝0.3010 とする。次の問いに答えよ。
(1) 520 は何桁の整数か。
25
(2)
1
  は小数で表すと，小数第何位に初めて 0 でない数字が現れるか。
 4
解答
(1) 520 の常用対数の値を求める。
log10520＝20log105＝ 20 log 10
よって 520＝1013.98
10
＝20(log1010－log102)＝20(1－0.3010)＝13.98
2
1013＜1013.98＜1014 であるから
1013＜520＜1014
したがって，520 は 14 桁の整数である。
25
(2)
1
1
log 10   ＝ 25 log 10 ＝25∙(－log104)＝25∙(－2log102)＝25∙(－2∙0.3010)＝－15.05
4
 4
25
よって
1
  ＝10－15.05
 4
25
10
－16
－15.05
＜10
－15
＜10
25
であるから
1
したがって，   は小数第 16 位に初めて 0 でない数字が現れる。
 4
13
10
1
＜   ＜10－15
 4
－16
Math-Aquarium【練習問題＋解答】指数関数・対数関数
１４
最高位の数，一の位の数
log102＝0.3010，log103＝0.4771 とし，N＝620 とする。次の問いに答えよ。
(1) N は何桁の整数か。
(2) N の最高位の数を求めよ。
(3) N の一の位の数を求めよ。
解答
(1) log10620＝20log106＝20(log102＋log103)＝20(0.3010＋0.4771)＝15.562
よって 620＝1015.562
1015＜1015.562＜1016 であるから
1015＜620＜1016
したがって，620 は 16 桁の整数である。
(2) (1)から log10620＝15.562＝15＋0.562
ここで，log103＝0.4771，log104＝2log102＝0.6020 で
よって 3＜100.562＜4
あるから log103＜0.562＜log104
辺々に 1015 を掛けると 3∙1015＜1015.562＜4∙1015
すなわち 3∙1015＜620＜4∙1015
したがって，620 の最高位の数は 3
(3) 6 を n 乗したときの一の位の数を an とする。
61＝6 より a1＝6，
62＝36 より a2＝6，
n
6 の一の位の数はつねに 6 である。よって a20＝6
したがって，620 の一の位の数は 6
14
63＝216 より
a3＝6，……

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