Kan 拡張

Kan 拡張
alg-d
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2014 年 5 月 25 日
目次
1
Kan 拡張とは
1
2
各点 Kan 拡張
3
3
米田埋込と Kan 拡張
12
4
普遍随伴
19
5
Adjoint Functor Theorem
26
1 Kan 拡張とは
定義. C, D, U を圏，F : C −→ D，E : C −→ U を関手とする．F に沿った E の左 Kan
拡張とは組 ⟨F † E, η⟩ であって，以下の条件を満たすものである．
(1) F † E は関手 D −→ U ，η は自然変換 E =⇒ F † E ◦ F である．
DO LLL
L
KS LLFLL† E
LLL
F
η
L&
/U
C
E
(2) 他に関手 S : D −→ U と自然変換 θ : E =⇒ S ◦ F が存在したとき，自然変換
1
τ : F † E =⇒ S が一意に存在して θ = τF ◦ η となる．
EE
DO E τ E>F EE
EE
ES
KS EEE EEE
EE ECK EE
F
E"
†
η F E EEE
EθE
"/
C
U
E
同様にして，F に沿った E の右 Kan 拡張 ⟨F ‡ E, η⟩ が自然変換の向きを逆にして得ら
れる．
EE
DO E τ EEE
EE~
EE EEESE
EE
E EEE
f
η F ‡ E EEEθ E"
EE"
/U
C
E
左 Kan 拡張 F † E を LanF E ，右 Kan 拡張 F ‡ E を RanF E と書くこともある．以下，左
Kan 拡張を単に Kan 拡張と書く．
関手 F : C −→ D に対して，関手 F −1 : U D −→ U C が F −1 (S) := S ◦ F により
定まるのであった．このとき，Kan 拡張 ⟨F † E, η⟩ とは E ∈ U C から F −1 への普遍射
η : E −→ F −1 (F † E) = F † E ◦ F である．
/ F †E ◦ F
EH
HH
HH
HH
τF
θ HH
# S◦F
η
f †E
S
τ
故に，普遍射の性質から次が分かる．
命題 1. F : C −→ D ，E : C −→ U に対して関手 HomU C (E, F −1 (−)) : U D −→ Set が
得られる．このとき
Hom(E, F −1 (−)) が表現可能関手 ⇐⇒ F † E が存在する
が成り立つ．またこの同値な条件を満たすとき，Hom(E, F −1 (−)) ∼
= Hom(F † E, −) で
ある．
命題 2. 各 E ∈ U C に対して F に沿った Kan 拡張 F † E ∈ U D が存在するとする．こ
のとき F † : U C −→ U D は関手 F −1 : U D −→ U C の左随伴関手である．同様にして
2
右 Kan 拡張 F ‡ : U C −→ U D は F −1 の右随伴関手である．即ち F † ⊣ F −1 ⊣ F ‡ とな
る．
例. 関手 E : J −→ U に対して余極限 colim E とは E から対角関手 ∆ : U −→ U J への
普遍射 E −→ ∆(colim E) であった．一方，1 = {∗} を一点圏として F : J −→ 1 を唯一
の関手とすれば F −1 : U 1 ∼
= U −→ U J は ∆ と一致する．よって F に沿った E の Kan
拡張は普遍射 E −→ ∆(F † E) であり，普遍射の一意性から F † E ∼
= colim E が分かる．
1O EE
E †
KS EFEEE=colim E
F
EE
"
/U
J
E
即ち，余極限は Kan 拡張である．同様にして，極限は右 Kan 拡張であることも分か
る．
2 各点 Kan 拡張
余極限が Kan 拡張であることを使って，各点 Kan 拡張という方法を使って Kan 拡張
を計算することができる．
C, D, U を圏，f : C −→ D, E : C −→ U を関手とする．簡単のため，U は任意の余極
限を持つとする．
DO
F
C
/U
E
Kan 拡張 F † E を定義するため，まず d ∈ D に対して F † E(d) を定める．d : 1 −→ D を
d(∗) = d なる関手としてコンマ圏 F ↓ d を考えれば次の図式を得る．
1O
π
F↓d
d
[c ???
?
/D
O
F
/C
E
/U
E
E
U は任意の余極限を持つから，Kan 拡張 π † (F ↓ d → C −
→ U ) = colim(F ↓ d → C −
→ U)
E
は存在する．これを使って F † E(d) := colim(F ↓ d → C −
→ U ) と定める．
3
次に射 h : d −→ d′ に対して F † E(h) を定める．h : d −→ d′ は自然変換
d′
⇑
1
d
/
/D
と同一視できることに注意する．コンマ圏 F ↓ d，F ↓ d′ を考える．
1O
π
d
[c ???
????
?
θ
F↓d
/D
O
d′
1O
π
F
[c ???
????
′ ?
θ
′
/C
/D
O
F
/C
F↓d
左の図式と h を組み合わせて，次の右の図式が得られる．
1O
π
d′
h⇑
[c ???d
????
?
θ
F↓d
/
/ DO
1O
=
F
/C
d′
/D
O
[c ??h?π ◦θ
????
F
?
/C
F↓d
π
コンマ圏 F ↓ d′ の普遍性により射 F ↓ d −→ F ↓ d′ が得られる．
d′
B 1O
θ
/D
[c ??? O
? F
′
/C
;
′
F? ↓ d
E
/U
F↓d
故に，余極限の普遍性により射
colim(F ↓ d → C → U ) −→ colim(F ↓ d′ → C → U )
が得られる．F † E(d) = colim(F ↓ d → C → U ) だったから，射 F † E(h) : F † E(d) −→
F † E(d′ ) が定義される．以上により，関手 F † E : D −→ U が定まるが，これが F に沿っ
た E の左 Kan 拡張となることが分かる．(読者の演習問題とする．)
E
以上の議論から分かるように，任意の d ∈ D に対して余極限 colim(f ↓ d → C −
→ U)
が存在すれば Kan 拡張 f † E が存在することが分かる．故に次の定理が得られた．
4
定理 3. C, D, U を圏，F : C −→ D ，E : C −→ U を関手とする．各 d ∈ D に対して余
E
極限 colim(F ↓ d → C −
→ U ) が存在するならば，F に沿った E の左 Kan 拡張 F † E が
E
存在し，F † E(d) = colim(F ↓ d → C −
→ U ) となる．
C が小圏ならば F ↓ d も小圏となる．故に次の定理が得られる．
定理 4. C, D, U を圏，F : C −→ D，E : C −→ U を関手とする．U が余完備で，C が
小圏ならば F に沿った E の Kan 拡張 F † E が存在する．
※ 同様にして，F に沿った E の右 Kan 拡張が，各点右 Kan 拡張
/D
O ??
??F ‡ E
????
??
F
#
?
/
d↓ F
C E /U
d
1O
により F ‡ E = lim(d↓ F → C → U ) として得られる．
例. X, Y を集合，f : X −→ Y を写像とする．集合を離散圏とみなせば f : X −→ Y は
関手である．また (順序集合を圏とみなして)f −1 : P(Y ) −→ P(X) も関手である．
圏 2 := {0 → 1} を考えれば P(X) ∼
= 2X であり，このとき関手 f −1 は 2Y ∋ A 7−→
A ◦ f ∈ 2X である．
YO DD
DD
DDA
DD
f
DD
D"
/2
X −1
f
(A)
故に関手 f −1 : P(Y ) −→ P(X) の左随伴関手が Kan 拡張 f † である．これを各点 Kan
拡張で計算してみる．
A : X −→ 2 に対して f † A を求める．y ∈ Y を取りコンマ圏 f ↓ y を考える．コンマ圏
の定義から f ↓ y = {x ∈ X | f (x) = y} = f −1 (y) である．
1O
f↓y
y
[c ???
?
/Y
O
f
/X
5
A
/2
故に
f † A(y) = colim(f ↓ y → X −
→ 2) =
A
⨿
A(x)
x∈f −1 (y)
となるから
{
†
f A(y) =
1
0
(ある x ∈ f −1 (y) が存在して A(x) = 1)
(そうでないとき)
である．即ち A ∈ P(X) に対して f † A = f (A) ∈ P(Y ) となる．従って f −1 : P(Y ) −→
P(X) の左随伴関手は f : P(X) ∋ A 7−→ f (A) ∈ P(Y ) である．
更にこの場合，f −1 の右随伴関手 (= 右 Kan 拡張) も存在する．それには各点右 Kan
拡張を同様に計算すればよい．すると
1O
/Y
O
y
????
#
f
/X
y↓ f
A
/2
f ‡ A(y) = lim(y ↓ f → X −
→ 2) =
A
∏
A(x)
x∈f −1 (y)
となるから
‡
f A(y) =
{
0
1
(ある x ∈ f −1 (y) が存在して A(x) = 0)
(そうでないとき)
であり，f ‡ A = Y \ f (X \ A) =: f! (A) となることが分かる．
以上により，f −1 : P(Y ) −→ P(X) は左随伴，右随伴両方を持つ．
f
P(X) o
⊥
f −1
⊥
f!
/
P(Y )
/
従って f −1 は余極限，極限両方と交換する．特に以下が成り立つ．
f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B),
f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B)
一方 f は左随伴を持たない．実際，f と極限は交換しないのである．例えば f (A ∩ B) =
f (A) ∩ f (B) は成立しない．
6
例. X を位相空間，O(X) を X の開集合全体がなす圏とする．X 上の (集合の) 前層と
は関手 P : O(X)op −→ Set のことであった．よって SetO(X)
op
が X 上の前層の圏で
ある．
X, Y を位相空間，f : X −→ Y を連続写像とする．このとき，X 上の前層 P に対し
て Y 上の前層 f∗ P が f∗ P (U ) := P (f −1 (U )) により定まり，関手 f∗ : SetO(X)
op
Set
O(Y )op
−→
を順像というのであった．また関手 f∗ は左随伴関手 f ∗ を持ち，これを逆像と
いうのであった．
さて，F を関手 O(Y )op ∋ U 7−→ f −1 (U ) ∈ O(X)op とすれば，定義から f∗ =
F −1 : SetO(X)
op
−→ SetO(Y )
op
である．
O(X)opI
O
II
II P
II
II
F
II
$
op
/
O(Y )
Set
f (P )
∗
故に f ∗ = F † である．そこで前層 P ∈ SetO(Y )
op
の逆像 f ∗ (P ) を各点 Kan 拡張で計算
してみる．
U ∈ O(X) を取りコンマ圏 F ↓ U を考える．
U
1O
F↓U
/ O(X)op
O
[c ???
?
F
/ O(Y )op
P
/ Set
P
F † P (U ) = colim(F ↓ U → O(Y )op −
→ Set) = colim P (V ) となる．コンマ圏の定義
⟨V,h⟩
から
⟨V, h⟩ ∈ F ↓ U ⇐⇒ h : F (V ) −→ U
in O(X)op
⇐⇒ F (V ) ⊃ U
⇐⇒ f −1 (V ) ⊃ U
⇐⇒ V ⊃ f (U )
となるので F † P (U ) = colim P (V ) となり，普段見る逆像の定義が現れる．
V ⊃f (U )
例. 各点 Kan 拡張で書けない Kan 拡張は存在する．C := 1 = {∗}，D := 2 = {0 → 1}，
7
U = {a, b} とする．F : 1 −→ 2 を F (∗) := 1，E : 1 −→ U を E(∗) := a で定める．
2O
1
1
a
/ {a, b}
関手 2 −→ U は ∆a と ∆b の二つしかない．また自然変換 a =⇒ ∆b は存在せず，
a =⇒ ∆a は唯一つ存在する．よって 1† a = ∆a である．一方，0 ∈ 2 に対して各点 Kan
拡張を考えると
1O
0
[c ???
?
/2
O
1
/1
1↓ 0
a
/ {a, b}
a
1↓ 0 = 0 だから，colim(1↓ 0 → 1 −
→ U ) は始対象となるが，{a, b} は明らかに始対象を
持たない．
定義. 関手 K : U −→ V が Kan 拡張 ⟨F † E, η⟩ と交換する
⇐⇒ K を合成して得られる次の図式も Kan 拡張となる．
DO RRRRR
†
RR
RRR E)
KS RK◦(F
R
F
RRR
Kη
RRR
)
/
/V
C
U
E
K
定理 5. Kan 拡張 F † E が各点 Kan 拡張で書けているとする．関手 K : U −→ V は余極
限と交換するとする．このとき K は Kan 拡張 F † E と交換する．
証明. 各点 Kan 拡張により
K ◦ F † E(d) = K(colim(E ◦ π)) = colim(K ◦ E ◦ π) = F † (K ◦ E).
1O
F↓d
d
π
/ D RHRR
O HHHRRRRF † (K◦E)
HH RRRR
HH
F
†
HH RRRRRR
F E
#
R)
/C
/U
/V
E
K
各点 Kan 拡張により得られる自然変換を η : E =⇒ F † E ◦ F ，η ′ : KE =⇒ F † (KE) ◦ F
とする．c ∈ C に対して
ηc : Ec −→ F † E(F c) = colim(F ↓ F c → C −
→ U)
E
8
は余極限の標準的射である．
ηc′ : KEc −→ F † (KE)(F c) = colim(F ↓ F c → C −
→ U −→ V )
E
K
も余極限の標準的射である．K は余極限と交換するから
E
E
K
Kηc : KEc −→ K colim(F ↓ F c → C −
→ U ) = colim(F ↓ F c → C −
→ U −→ V )
も標準的射である．よって Kη = η ′ が分かる．
定理 6. 左随伴関手は Kan 拡張 F † E と交換する．
証明. L ⊣ R : U −→ V とする．L ⊣ R : U D −→ V D となるのであった．このとき
S ∈ V D に対して自然に
HomV C (LE, F −1 (S)) = HomV C (LE, SF )
∼
= HomU C (E, RSF )
= HomU C (E, F −1 (RS))
∼
= HomU D (F † E, RS)
∼
= HomV D (L ◦ F † E, S)
となるから関手 Hom(LE, F −1 (−)) は表現可能関手であり，F † (LE) = L ◦ F † E となる．
Kan 拡張 F † (LE) の自然変換 η ′ : LE =⇒ F † (LE) ◦ F は自然同型 Hom(LE, F −1 (L ◦
F † E)) ∼
= Hom(L ◦ F † E, L ◦ F † E) で id に対応する自然変換であった．一方，この同型
で id に対応するのは，随伴 L ⊣ R の unit を α とすれば
∈ Hom(L ◦ F † E, L ◦ F † E)
id
_
†
αF † E
∈
Hom(F
E,
R
◦ L ◦ F † E)
_
αF † E◦F ◦ RLη ∈ Hom(E, R ◦ L ◦ F † E ◦ F )
_
Lη
∈ Hom(LE, L ◦ F † E ◦ F )
DO HH
H †E
KS HHF
HH
F
HH
η
H#
/U
C
L
E
/V
KS
R
α
id
となるから η ′ = Lη である．
9
/U
:
定理 7. Kan 拡張 F † E が各点 Kan 拡張で書けていて，F が忠実充満とする．このとき
η : E =⇒ F † E ◦ F は同型である．
E
証明. 各点 Kan 拡張により F † E ◦ F (c) = F † E(F (c)) = colim(F ↓ (F c) → C −
→ U) で
ある．コンマ圏 F ↓ (F c) の対象は g : F (c′ ) −→ F (c) であるが，今 F が忠実充満関手だ
から g は c′ −→ c と対応する．よって F ↓ (F c) ∼
= idC ↓ c が分かる．コンマ圏 idC ↓ c は
E
終対象 idc : c −→ c を持つから，colim(F ↓ (F c) → C −
→ U ) = E(c) となる．よって同
型E ∼
= F † E ◦ F が成り立つ．
逆に
b に対して η : y =⇒ F † y ◦ F が同型ならば，F は忠実充満
定理 8. 米田埋込 y : C −→ C
である．
DO HH
H †
KS HHHFH y
F
HH
η
H#
/C
b
C
y
証明. F † y(d) ∼
= HomD (F −, d) だから，y(c) ∼
= F † y ◦ F (c) ∼
= HomD (F −, F c) である．
故に HomC (c, c) ∼
= HomD (F c, F c)
定理 9. F : C −→ D ，E : C −→ U で，Kan 拡張 ⟨F † E, η⟩ が存在すると仮定する．
DO LLL
L
KS LLFLL† E
LLL
F
η
L&
/U
C
E
このとき G : D −→ B に対して
Kan 拡張 ⟨(GF )† E, σ⟩ が存在する ⇐⇒ Kan 拡張 ⟨G† (F † E), τ ⟩ が存在する．
BO 8
88
KS 88
G
8
τ 88 † †
88G (F E)
88
DO LLL
KS LLLL 88
LLL 88
F
η
8
†
F E LL& /
C
U
E
BO 8
88
KS 888
G
88
88(GF )† E
88
DO σ
88
88
F
8
/
C
U
E
更に，これらが存在するとき (GF )† E = G† (F † E)，σ = τF ◦ η である．
10
証明. (=⇒) Kan 拡張 ⟨(GF )† E, σ⟩ が存在するとする．⟨F † E, η⟩ の普遍性により
τ : F † E =⇒ (GF )† E ◦ G が存在して，σ = τF ◦ η となる．
BO ?
??
KS ??
G
KS ???
? (GF )† E
τ ??
??
DO PPP
P
P
KS PPP ???
σ
PPP ??
F
η
PPP ?
†
F E
P(
/U
C
E
任意の関手 S : B −→ U と θ : F † E =⇒ S ◦ G を取る．
?
BO ? ??
??ρ ?;C ?
KS ?? ??
?
G
KS ??? ??S
? ?
τ ?? ??
?θ? ;C ??
DO PPP
?
P
P
KS PPP??? ???
σ
PPP ?? F
η
PPP ?
F †E
P(
/U
C
E
(GF )† E の普遍性から，ρ : (GF )† E =⇒ S が一意に存在して ρGF ◦ σ = θF ◦ η となる．
σ = τF ◦ η だったから ρGF ◦ τF ◦ η = θF ◦ η である．よって Kan 拡張 F † E の普遍性か
ら ρG ◦ τ = θ となる．従って ⟨(GF )† E, τ ⟩ が G に沿った F † E の Kan 拡張である．
(⇐=) Kan 拡張 ⟨G† (F † E), τ ⟩ が存在するとする．任意の関手 S : B −→ U と
θ : F † E =⇒ S ◦ G を取る．
?
BO ? ??
??ρ ?;C ?
KS ??? ??BJ ?
G
? ?S
τ µ ?? ??
?? ??
?? CK ??
DO PPP
KS PPPP ?? ???
PPθP ?? ?
F
PP ? η
PPP?( /U
C
E
F † E の普遍性から µ : F † E =⇒ SG が一意に存在して µGF ◦ η = θ となる．よって
G† (F † E) の普遍性から µ : G† (F † E) =⇒ S が一意に存在して ρG ◦ τ = µ となる．この
とき µGF ◦ (τF ◦ η) = θ である．従って ⟨G† (F † E), τF ◦ η⟩ が GF に沿った E の Kan 拡
張である．
11
3 米田埋込と Kan 拡張
圏 C1 , C2 に対して圏 Span(C1 , C2 ) を次のように定める．まず対象を
Ob(Span(C1 , C2 )) := {⟨C, f, g⟩ | C は圏, f : C → C1 , g : C → C2 }

f
C1
C?
??g
??
C2
として射 ⟨C, f, g⟩ −→ ⟨C ′ , f ′ , g ′ ⟩ は次の図式を可換にする関手 h : C −→ C ′ とする．
C7
777
h 7
f 77g
′
p C NN 777
NNN 7
p
xpppfp′
N& g′
C1
C2
補題 10. C1 , C2 , D, E を圏，fi : Ci −→ D，gi : Ci −→ E を関手とする．
C1 ?
??
??
f1
D
C2

f2
C1 ?
??
?
g1 ?
E
C2

g2
このとき
HomSpan(C1 ,C2 ) (f1 ↓ f2 , g1 ↓ g2 )
∼
= Hom C op ×C (HomD (f1 (□), f2 (−)), HomE (g1 (□), g2 (−))).
Set
1
2
証明. h ∈ Hom(f1 ↓ f2 , g1 ↓ g2 ) とすると，⟨c1 , c2 , k⟩ ∈ f1 ↓ f2 に対して h(⟨c1 , c2 , k⟩) =
⟨c1 , c2 , hc1 ,c2 (k)⟩ と書ける．そこで写像
φ : Hom(f1 ↓ f2 , g1 ↓ g2 ) −→ Hom(Hom(f1 (□), f2 (−)), Hom(g1 (□), g2 (−)))
を h ∈ Hom(f1 ↓ f2 , g1 ↓ g2 ) に対して
∈
/ HomE (g1 (c1 ), g2 (c2 ))
∈
φ(h)c1 ,c2 : HomD (f1 (c1 ), f2 (c2 ))
k
/ hc1 ,c2 (k)
により定める．φ が同型であることは容易にわかる．
12
b := SetC op と書く．
small な圏 C に対して C
定理 11. C, D, U を圏，f : C −→ D, E : C −→ U として，Kan 拡張 f † E が存在する
とする．d ∈ D, u ∈ U を取る．このとき
HomU (f † E(d), u) ∼
= HomCb (HomD (f (−), d), HomU (E(−), u)).
証明. 補題により HomSpan(C,1) (f ↓ d, E ↓ u) ∼
= Hom(Hom(f (−), d), Hom(E(−), u)) で
ある．故に HomU (f † E(d), u) ∼
= HomSpan(C,1) (f ↓ d, E ↓ u) を示せばよい．今，次の図
式が成り立っている．
u
;1F
xx KS FFFF KS
x
x
d FF θ
xx
#
f ↓ dF
D
x; KS η
FF
f xx
FF
F# xxx
E
C
f †E
"
/U
<
;1F
xx KS FFFFu
x
x
FF
xx
#
E ↓ uF
;U
FF
xx
x
FF
F# xxx E
C
θ ∈ Hom(f † E(d), u) が存在すれば，コンマ圏 E ↓ u の普遍性により射 f ↓ d −→ E ↓ u が
一意に存在する．これにより Hom(f † E(d), u) −→ Hom(f ↓ d, E ↓ u) が定まる．
逆に，g ∈ Hom(f ↓ d, E ↓ u) が与えられたとする．このとき自然変換 E ◦ π2 =⇒
u ◦ π1 = ∆u が存在する．
/
x; 1 FFFFu
x
FF
⟲ xxxx KS
F#
/ E↓ u
;U
FF
xx
F
x
F
⟲
x
FF
# xx E
π2
/C
π1
f↓d
g
よって余極限の性質から f † E(d) = colim(E ◦ π2 ) −→ u が一意に存在する．
系 12. f : C −→ D に対して f † y(d) ∼
= HomD (f (−), d)．
b に対して
証明. 任意の P ∈ C
Hom(f † y(d), P ) ∼
= Hom(Hom(f (−), d), Hom(y(−), P ))
∼
= Hom(Hom(f (−), d), P ).
故に米田の補題により f † y(d) ∼
= Hom(f (−), d) である．
13
b を米田関手とするとき y † y ∼
系 13. C を圏，y : C −→ C
= id．
b EE
C
O
E † ∼
KS EyEEy = id
y
id EE"
/C
b
C
y
b に対して前系により y † y(P ) ∼
証明. 任意の P ∈ C
= Hom(y(−), P ) ∼
= P．
b は y(c) の余極限で書ける．
系 14. 任意の前層 P ∈ C
証明. 系 13 により y † y(P ) = P であるが，一方各点 Kan 拡張
/C
b EE
O
EEy† y ∼
[c ???
EE = id
y
?
EE
E"
/C
/
b
y↓ P
C
y
1O
P
b =
により P = y † y(P ) = colim(y ↓ P → C −
→ C)
y
colim y(c) である．
⟨c,f ⟩∈y↓P
b に対して
系 15. 前層 P ∈ C
P が表現可能 ⇐⇒ コンマ圏 y ↓ P が終対象を持つ．
証明. (=⇒) P = y(c) とする．y ↓ P = y ↓ y(c) = {⟨d, f ⟩ | f : y(d) −→ y(c)} で，y は忠
実充満なので y ↓ P = idC ↓ c である．よって終対象 idc : c −→ c が存在する．
(⇐=) コンマ圏 y ↓ P が終対象 ⟨c, f ⟩ を持つとすれば，系 14 により P = colim(y ↓ P →
b = y(c) である．
C → C)
b は極限と交換する．
定理 16. 米田埋込 y : C −→ C
証明. 関手 T : I −→ C の極限 lim T が存在するとする．標準的な射を pi : T i −→ lim T
b の極限であることを示せばよい．
とする．y(lim T ) が関手 y ◦ T : I −→ C
TO i bE
EE
EEpj
EE
EE
T j o pi lim T
y(T i)
O dJJ
JJy(pj )
JJ
JJ
J
o
y(lim T )
y(T j)
y(pi )
b と自然変換 µ : ∆P =⇒ y ◦ T を任意に取る．(射 P −→ y(lim T ) が一意
その為に，P ∈ C
に伸びることを示せばよい．) 系 14 によりある S : K −→ C が存在して P = colim(y◦S)
14
と書ける．このときの標準的な射を αk : y(Sk) −→ P とする．
y(T i) ogP
µi
O
PPPy(pi )
PPP
PP
o
y(T j)
y(lim T )
e y(pj )
αk
y(Sk)
P eLo L
O
LLL
LLL
αl
L
y(Sl)
µj
このとき，k ∈ K に対して次の可換図式が得られる．
y(T i) iR
RRR µ ◦α
O
RRiR k
RRR
RR
o
y(T j)
y(Sk)
µj ◦αk
y は忠実充満だから，ある fik : Sk −→ T i が存在して y(fik ) = µi ◦ αk となる．
TO i iRRR
RRR f
RRRik
RRR
RRR
o
Tj
Sk
y(T i) iR
RRR µ ◦α
O
RRiR k
RRR
RR
o
y(T j)
y(Sk)
µj ◦αk
fjk
よって lim T の普遍性から gk : Sk −→ lim T が存在して次が可換となる．
TO i mgPPP
PPPpi
fik
PPP
PP
T j io
lim T m
pj
gk
Sk
fjk
故に y(gk ) : y(Sk) −→ y(lim T ) が得られる．
y(T i) ogP
µi
O
PPPy(pi )
PPP
PP
r
o
y(T j)
y(lim T )
_
f y(pj )
µj
15
y(gk )
αk
y(Sk)
P oeLL
O
LLL
LLL
αl
L
y(gl )
y(Sl)
よって P = colim(y ◦ S) の普遍性により h : P −→ y(lim T ) が存在する．このとき
y(pi ) ◦ h = µi である．
. .
. ) i, k に対して次の図式が得られる．
y(T i) o
O
µi
P
tt O
t
h tt
αk
y(pi )
tt
t
t
zt
y(lim T ) o
y(Sk)
y(gk )
この図式の外側の四角は gk の取り方により可換である．また右下の三角形は h の取
り方により可換である．よって µi ◦ αk = y(pi ) ◦ h ◦ αk が成り立つ．故に次の図式を
考えれば
y(T i) mgPp
y(pi )◦y(gi )
Z PP
µi
PPP
P
y(pi ) PP
y(lim T ) kWW
WWWW
h
y(pi )◦y(gl )
αk
y(Sk)
P eLo L
O
LLL
LLL
αl
L
y(Sl)
P = colim(y ◦ S) の普遍性により µi = y(pi ) ◦ h が分かる．
h の一意性も普遍性により分かるので，y(lim T ) = lim(y ◦ T ) である．
定理 17. 関手 f : C −→ D に対して f † ◦ y ∼
= y ◦ f である．
b
C
O
f†
y
C
b
/D
O
y
f
/D
b に関して自然に
証明. まず c ∈ C に対して f † (y(c)) ∼
= y(f (c)) を示す．P ∈ D
Hom(y(f (c)), P ) ∼
= P (f (c)) ∼
= Hom(y(c), P ◦ f ) = Hom(y(c), f −1 P )
∼
= Hom(f † (y(c)), P )
であるから米田の補題により y(f (c)) ∼
= f † (y(c)) である．同型の与え方から分かるよう
にこれは c に関して自然なので f † ◦ y ∼
= y ◦ f である．
16
b −→ D
b が得られる．このとき次は同値
定理 18. f : C −→ D を関手とすれば f † , f ‡ : C
である．
(1) f が忠実充満
(2) f † が忠実充満
(3) f ‡ が忠実充満
証明. (1 =⇒ 2) 随伴 f † ⊣ f −1 の unit を η とすれば「f † が忠実充満 ⇐⇒ η が同型」で
あった．仮定 1 により f が忠実充満だから η が同型となり (定理 7)，f † も忠実充満で
ある．
(2 =⇒ 1) 定理 17 により f † ◦ y ∼
= y ◦ f である．仮定 2 より f † が忠実充満で，y も忠
実充満だから f † ◦ y ∼
= y ◦ f も忠実充満である．よって f も忠実充満と分かる．
(2 ⇐⇒ 3) f † ⊣ f −1 ⊣ f ‡ より分かる．
定理 19. C, D を圏として，C は有限極限を持つとする．このとき
関手 F : C −→ D が有限極限と交換する
b −→ D
b が有限極限と交換する．
⇐⇒ F † : C
証明. (⇐=) 定理 17 により F † ◦ y ∼
= y ◦ F である．y と F が有限極限と交換するから，
y◦F ∼
= F † ◦ y も有限極限と交換する．y は極限を創出するから F が有限極限と交換す
ることが分かる．
b の有限極限 lim Pi に対して F † (lim Pi ) = lim F † Pi を示す．その為には
(=⇒) C
各 d ∈ D に対して F † (lim Pi )(d) = (lim F † Pi )(d) を示せばよい．(lim F † Pi )(d) =
b −→ Set が
lim(F † Pi (d)) であるから F † (lim Pi )(d) = lim(F † Pi (d))，即ち F † (−)(d) : C
有限極限と交換することを示せばよい．
b に対して，各点 Kan 拡張により F † P (d) = colim P ◦ π である．
P ∈C
/ Dop E
O EE †
[c ???
KS EEFE P
?
F
EE
"
/ Set
F ↓ d π / C op
P
1O
π −1
d
b −−→ SetF ↓d −−−→ Set である．π † ⊣ π −1 だから π −1 は右随伴，
故に F † (−)(d) = C
colim
よって極限と交換する．故に colim : SetF ↓d −→ Set が有限極限と交換することを示せ
ばよい．その為には F ↓ d がフィルター圏であればよい．
定義により，F ↓ d の対象は D の射 d −→ F c，射 (d → F c0 ) −→ (d → F c1 ) は次を可
17
換にする C の射 c1 −→ c0 である．
j4 F cO 0
jjjj
j
d TTTTT
T*
F c1
c0O
c1
(i) まず F ↓ d ̸= 0 を示す．C は有限極限を持つから終対象 1 ∈ C が存在する．F が有
限極限と交換するから F (1) ∈ D は終対象．よって D の射 d −→ F (1) が存在する．故
に F ↓ d ̸= 0 である．
f
g
(ii) d −
→ F c0 , d −
→ F c1 ∈ F ↓ d を取る．C は有限極限を持ち F が有限極限と交換する
から F c0 × F c1 = F (c0 × c1 ) は存在して D の射 ⟨f, g⟩ : d −→ F c0 × F c1 = F (c0 × c1 )
が得られる．このとき次が可換である．
c1O
Fc
ll5 O 1
l
l
ll
lll
lRll
/ F (c0 × c1 )
d RRR
RRR
RRR
RR) F c0
c0 × c1
c0
よって射 (d → F c0 ) −→ (d → F (c0 × c1 )) と (d → F c1 ) −→ (d → F (c0 × c1 )) が得ら
れた．
f
g
f
g
(iii) d −
→ F c0 , d −
→ F c1 ∈ F ↓ d と二つの射 p, q : (d −
→ F c0 ) −→ (d −
→ F c1 ) を取る．
即ち次の図式を考える．
5 F c0
jjjj O O
j
j
j
jj
d TTTTT F p F q
TT
g TT)
F c1
cO 0O
f
C は有限極限を持つので，equalizer b
交換するので F b
Fe
/ F c1
Fp
Fq
e
/ c1
p
q
c1
p
q
// c0 が存在する．F は有限極限と
// F c も equalizer である．今 F p ◦ g = f = F q ◦ g だ
0
18
から，equalizer F e の普遍性により次の図式が可換となる射 d −→ F b が存在する．
cO 0O
F c0
u: O O
u
f uu
uu F p F q
u
u
uu
/ F c1
d
g
O
p
q
c1O
e
Fe
$
Fb
b
よって
(d → F c0 )
Fp
Fq
/
/ (d → F c1 )
Fe
/ (d → F b)
が可換になる射が存在することが分かった．
以上の (i)(ii)(iii) により F ↓ d はフィルター圏である．
4 普遍随伴
補題 20. C, D, U を圏，U は余完備で F : C −→ D ，E : C −→ U を関手とする．この
とき F † E = y † E ◦ F † y かつ η = η1 ◦ η2 である．
F †y
/ b
y< C
y
y y
η1
yy KS
y
y
F
y† E
y
y
yy η2
yy
/U
C
DO E
EE
KS EEEEF † E
EE
F
EE
η
EE
"
/U
C
E
DO
KS
E
証明. 任意の d ∈ D を取る．コンマ圏 f ↓ d を取る．
1O
F↓d
d
F †y
/ b
y< C
y
y y
η1
yy KS
y
y
y† E
y
y
yy η2
yy
/U
/C
/D
O
KS
[c ???
???
???? F
????
E
19
このとき次の図式は lax pullback である．
1O
F↓d
F † y(d)
/ b
<C
y
&OW &&&
yy
y yyy
&&&&
y
&&
yy
y
y
yy
/C
. .
. ) A を圏，K : A −→ C ，! : A −→ 1 を関手，θ : y ◦ K =⇒ F † y ◦ d ◦ ! を自然変換
とする．
F † y(d)
/ b
1
w; C
G [c ?????θ
w
y ww
????
???
ww
w
ww
! ll5 C
lll
l
l
l
lllll K
A
このとき a ∈ A に対して射 θa : y(Ka) −→ F † y(d) が得られる．系 12 により
F † y(d) ∼
= Hom(F (−), d) だから
θa ∈ Hom(y(Ka), F † y(d)) ∼
= Hom(y(Ka), Hom(F (−), d))
∼
= Hom(F (K(a)), d)
である．これにより L : A −→ F ↓ d を La := ⟨Ka, ∗, θa ⟩ で定めれば，次の図式は可
換である．
1
G O
F↓d
zz<
z
zz L
K
A
d
†
/D F y /C
b
w;
(PX (((
w
y ww
((((
ww
w
w
w
/C
:
このような L は明らかに一意だから，lax pullback であることが分かる．
故に y † E ◦ F † y(d) = y † E(F † y(d)) = colim(F ↓ d → C → U ) = F † E(d) である．
定理 21. C を圏，U を余完備な圏とすると，関手 F : C −→ U から二つの関手 y † F ，
20
F † y が得られる．このとき随伴 y † F ⊣ F † y が成り立つ．
b EE
C
O bEE EE
EE EE y† F
EEDEE
EE EE
y
EE EE
F †y
EE E"
E
/U
C
F
※ この随伴を，twitter 等で一部の人が普遍随伴と呼んでいる．
証明. まず Kan 拡張 y † F ，F † y の定義から次の図式が得られる．
y† F
/U
<
y
y
F yy
α
y KS
y
yy
F †y
y
y β
y
y
yy
/C
b
C
y
b
C
O
KS
二つの自然変換 α, β を合成して図式
b
C
O
y
C
KS
y† F
α◦β
y
/U
F †y
/C
b
が得られる (但し，合成 (Rα) ◦ β を単に α ◦ β と書いた．以下同様にする)．よって Kan 拡
張の普遍性により自然変換 η : id = y † y =⇒ F † y ◦ y † F が一意に存在して，η ◦ id = α ◦ β
となる．
†
y F
/U
bE
C
O EE η =E
FN
KS EEE α◦β EE F † y
y
EE id
id
EE
E
/" b
C
C
y
21
次に，補題 20 により F † F = y † F ◦ F † y だった．
DO E
EE
KS EEEEF † F
EE
F
EE
EE
"
/U
C
F
F †y
/C
< b
y
y yy
y
β
yy KS
y
F
y† F
yy α
y
y
yy
/U
C
F
DO
=
KS
図式
UO EE
E
KS EEidEU
F
id EE"
/U
C
F
に対して F † F の普遍性を使い自然変換 ε : F † F = y † F ◦ F † y =⇒ idU が得られる．この
とき ε ◦ β ◦ α = id である．
EE
E
D
ε
O EE >F EEE
id
EE
KS EE EEE
EE EEM EE
F
EE E"
β◦α
F †F E
EEid
"/
C
U
F
随伴 y † F ⊣ F † y を示すためには εy† F ◦ y † F η = id と F † yε ◦ ηF † y = id を示せばよいの
であった．
まず εy† F ◦ y † F η = id を示す．その為には α = ε ◦ η ◦ α を示せばよい．(α の普遍性に
よる．) まず α ◦ id = α だから，次の合成は α である．
y † F lll6 U
M
ll
l
lks l
b
C
Y44 α
44
44 F y 44
44 4 C
JR
id
F
22
idU
/U
この図式は，ε の取り方から
idU
H
y † F lll6 U
M V^ 5 HHHHF † y
C
;
ll
l
l

555 HH
l

b ks α
C
55555 H# ε
Y44
b
44
β 55555 z< C
KS 55
F
44
z
55 y† F
y zzz
y 44
55
α
44 zzz
55
z
4 zz
F
/U
C
と分解できる．η の取り方から
l6 U
idU
lll η HP HHHHF † y
;C
l
l
l
H

b [[[[[[[[[ [[ HHH#
C
ε
[[[[[Y44 X` 99
b
44 9999 id
C
<
z KS 55
44 9999
zz
55 y† F
9
id
z
y
9
4
9 zz
y 4
9
55
α
44
z
55
4 zzzz
F
/U
C
y† F
となる．よって
l6 U
idU
lll IQ HHHHF † y
;C
l
l
HH

ll
HH
b
C
#
ε
Y44
b
44
C
<
η KS 5
44
y zzzz 55 †
55y F
y 44
z
α
44 zzz
55
4 zzz
5 F
/U
C
y† F
となり，α = ε ◦ η ◦ α が分かった．次に F † yε ◦ ηF † y = id を示す．その為には β = ε ◦ η ◦ β
を示せばよい．まず id ◦ β = β だから
†
idU
ks
U o
id
F
23
-U F y / b
C
T((
J
(( β
(( ks
((
((F y
(( (( C
となる．ε の取り方から
†
idU
F y
/C
b
8 UT(
r
†
J
r
y F rr
(
[c ????
r
( β
??ε rrr
r eeeee (( ks
((
b cH nv e α
C
((F y
K HHHH
HH y
(( F † y HHH
HH (( HH ( H β
o
U
C
F
である．η の取り方から
†
idU
-U F y / b
8
r
†
*PX * η iiii4 C
y F rrr
[c ????
J
iii
r
i
ε
i
r
??
i
r
rr iiii id
b cHiii ai LLLLLL
C
K HH
LLLLid
L
HH
HH y LLLLLLLL y
L H
F † y HHHH
β
HH H U o
C
F
となる．よって
†
idU
-U F y / b
8
r
*PX * η iiiii4 C
J
y † F rrr
[c ????
i
r
i
??ε rrr iiiii i
r i
id
b iii
C
K ks
y
β
F †y
U o
C
F
であり β = ε ◦ η ◦ β が分かった．
逆に次が成り立つ．
b −→ U はこのようにして得られる．
定理 22. 随伴 f ⊣ g : C
証明. F := f ◦ y : C −→ U とする．随伴 y † F ⊣ F † y が得られる．一方，左随伴関手 f
は Kan 拡張と交換する (定理 6) から y † F = y † (f ◦ y) = f ◦ (y † y) = f ◦ id = f である．
よって随伴の一意性から g = F † y である．
24
定義. 関手 F : C −→ D が conservative
⇐⇒ f ∈ C が射で F (f ) ∈ D が同型射ならば，f も同型射である．
定理 23. 圏 C に対して，次の同値が成り立つ．
b と書ける
ある小さい圏 A により C ∼
=A
⇐⇒ C が余完備で，小さい充満部分圏 A ⊂ C が存在して，i† y が余連続かつ conservative．
b は米田埋込．)
(ただし i : A −→ C は包含関手で y : A −→ A
b のとき，C は余完備で，y : A −→ C は充満部分圏である．また
証明. (=⇒) C ∼
= A
y† y ∼
= id は明らかに余連続かつ conservative．
b −→ C を得る．
(⇐=) 定理 21 により随伴 y † i ⊣ i† y : A
b EEE
A
O bEE E
EE EE y† i
EEDEE
EE EE
y
EE EE
†
i y
EE E"
E
/C
A
i
この随伴の unit，counit を η ，ε とする (定理 21 の証明を参照)．η の取り方から
y† i
/C
KS
y<
y
i yy
α
y KS
y
y
y
i† y
y
y
β
yy
yy
/A
b
A
b
A
O
y† i
=
y
/
bE
A
>F C
O EE
η
KS EEE EE
y
i† y
id EEE
id
EE "
/A
b
A
y
i は忠実充満なので定理 7 により β : y =⇒ i† y ◦ i は同型である．仮定により i† y は余連
∼ y † (i† y ◦ i) ∼
続で C が余完備だから，定理 5 より Kan 拡張と交換するので i† y ◦ y † i =
=
25
y† y ∼
= idAb となる．この同型を γ : i† y ◦ y † i =⇒ idAb とする．このとき
y† i
/C
b QQQ
A
O
DL 1
QQQ
111
QQQ id
QQQAb γ −1 1 i† y
KS
y
1
QQQ
QQQ 11
QQQ 1
id
Q(
b
A
:A
y† i
=
/C
b QQQ
A
O :: QQ
DL 1
111
:: QQQQ id
KS :: † QQQQAb γ −1 11i† y
y
::y i
1
CK QQQ
α
::
γ QQQQ 11
QQ(
/A
/ C KS
A
: b
i
i† y
β
y
y
=
y† i
/C
<
y
y
i yy
α
y KS
y
yy
i† y
y
y
β
yy
yy
/A
b
A
y
b
A
O
KS
となる．故に Kan 拡張の普遍性から η ∼
= γ −1 で，η : i† y ◦ y † i =⇒ idAb は同型となる．
一方 ε : y † i ◦ i† y −→ idC から (i† y)ε : i† y ◦ y † i ◦ i† y −→ i† y が得られる．任意の c ∈ C
を取る．(i† y)ε ◦ ηi† y ∼
= idi† y から i† y(εc ) ◦ ηi† y(c) ∼
= idi† y(c) である．既に示したように
†
η は同型だから，i† y(εc ) = ηi−1
† y(c) も同型である．今 i y は conservative だったから，εc
b −→ C は圏同値で
が同型射である．c ∈ C は任意だったから ε も同型射．従って y † i : A
ある．
5 Adjoint Functor Theorem
定理 24. F : C −→ D を関手とする．F に沿った idC の Kan 拡張 ⟨F † idC , η⟩ が存在し，
F が Kan 拡張 F † idC と交換するとする．
DO RERR
EE RRR
EE RRRR †
KS EEE FRRRFR=F ◦(F † idC )
F
EEF † idC RRKC RR
EE
η
R
E" id RRRRR
/C
/( D
C
F
id
C
このとき F ⊣ F † idC であり η がその unit である．
証明. G := F † idC と置く．Kan 拡張 F † F = F ◦ G の普遍性により，自然変換 ε : F ◦
26
G =⇒ idD が一意に存在し，εF ◦ F η = idF が成り立つ．
DO RERR
EE RRR
EE RRRR
RRidD
KS EEE
F
EEG RRRRKC RR
EE
η
R
E" ε RRRRR
/( D
/C
C
F
id
C
故に後は Gε ◦ ηG = idG を示せばよい．
DO RERR
EE RRR
EE RRRR
RRidD
KS EEE
F
EEG RRRRKC RR
EE
η
R
E" ε RRRRR
/ C TT F
/( D
C
TTT
idC
TTT η FN 222G
TTT 2
TTT idC
)
C
その為には，Kan 拡張 ⟨G, η⟩ の普遍性により，(Gε ◦ ηG )F ◦ η = η を示せばよい．
(Gε ◦ ηG )F ◦ η = GεF ◦ ηGF ◦ η
= GεF ◦ GF η ◦ η
= G(εF ◦ F η) ◦ η
= GidF ◦ η
= η.
定理 25 (General Adjoint Functor Theorem). C, D を圏，C は余完備で関手 F : C −→
D は余連続であるとする．更に，任意の d ∈ D に対してある集合 S ⊂ Ob(F ↓ d) が存在
して次を満たすとする．
任意の ⟨c, f ⟩ ∈ F ↓ d に対してある ⟨s, k⟩ ∈ S と射 ⟨c, f ⟩ −→ ⟨s, k⟩ が存在する
Fc
> F s NNN k
NNN
NNN
f
'
7/ d
p
p
p
ppp
ppp k′
F s′
このとき F は右随伴を持つ．
27
π
証明. 各 d ∈ D に対して colim(F ↓ d −
→ C) が存在することを示せばよい．
. .
idC
. ) この余極限 colim(F ↓ d → C) = colim(F ↓ d → C −−→
C) が存在したとする．
1O
F↓d
d
[c ???
?
/D
O
F
/C
π
idC
/C
idC
このとき Kan 拡張 F † idC が存在し，F † idC (d) = colim(F ↓ d → C −−→ C) である．
今 F が余連続だから，F は Kan 拡張 F † idC と交換する．従って定理 24 により F は
右随伴を持つ．
d ∈ D とすると，仮定の条件を満たす集合 S ⊂ Ob(F ↓ d) が存在する．S ⊂ F ↓ d を充
満部分圏とみなす．π を S に制限した関手 π|S : S −→ C を考える．S は small で C は
余完備だから，余極限 θ : π|S =⇒ ∆(colim(π|S )) が存在する．colim(π|S ) が π の余極限
であることを示せばよい．
まず自然変換 η : π =⇒ ∆(colim(π|S )) を定める．⟨c, f ⟩ ∈ F ↓ d を取る．このとき S
の取り方から，ある ⟨s, k⟩ ∈ S と g : c −→ s が存在して f = k ◦ F g となる．
g
>s
c
Fg
Fc
> F s NNN k
NNN
NNN
f
/7' d
p
pp
pp′p
p
p
p k
F s′
これを使って η⟨c,f ⟩ := θ⟨s,k⟩ ◦ g と定める．
sN
|> NNNNθ⟨s,k⟩
|
NNN
||
'
η⟨c,f ⟩
||
/ colim(π|S )
c
7
ppp
p
p
ppp θ⟨s′ ,k′ ⟩
s′
g
これは well-defined である．
. .
. ) ⟨s0 , k0 ⟩, ⟨s1 , k1 ⟩ ∈ S と g0 : c −→ s0 ，g1 : c −→ s1 が f = k0 ◦ F g0 = k1 ◦ F g1
28
を満たすとする．
s0
?

c?
??
?
g1 ?
s1
g0
F s0
?

k0
F g0
5/) d
f
F c?
??
??
F g1
F s1
k1
C が余完備だから，左の図式の pushout p が存在する．また F が余連続だから，F p
も pushout である．
? s0 ??

p
c?
??
?

g1 ?

s1
g0
F s0
? ???

Fp
F c?
??
?

F g1
F s1
k0
F g0
5) d
k1
よって pushout の普遍性により，射 F p −→ d が一意に伸びる．
F s0
? ???

F c?
?F p
??

F g1
F s1
k0
F g0
/)5 d
k1
k
2
S の性質により，この射 F p −→ d はある ⟨s2 , k2 ⟩ ∈ S を使って F p → F s2 −→
dと
書ける．
F s0
? ???

F c?
?F p
??

F g1
F s1
k0
F g0
/ F s2
k1
29
k2
/)5 d
このとき C の次の図式を得る．
s0
? ???

c?
?p
??

g1 ?

s1
g0
θ⟨s0 ,k0 ⟩
θ⟨s2 ,k2 ⟩
/ s2
)
/ colim(π|S )
5
θ⟨s1 ,k1 ⟩
図式の左側は，pushout だから可換である．また右側は，θ が自然変換であること
により可換である ( S が充満部分圏であることに注意する)．よって全体が可換で，
θ⟨s0 ,k0 ⟩ ◦ g0 = θ⟨s1 ,k1 ⟩ ◦ g1 となり，well-defined 性が分かった．
また，η は自然変換となる．
. .
. ) 射 h : ⟨c, f ⟩ −→ ⟨c′ , f ′ ⟩ を取る．このとき，well-defined のときと同様にして次
の可換図式が得られる．(h = id の場合が，先の図式である．)
cD
DD g0
DD
D"
s02
22
2
π(h)
Ep
s1
z<
z
z
zzz g1
c′
η⟨c,f ⟩
θ⟨s0 ,k0 ⟩
/ s2
θ⟨s2 ,k2 ⟩
) "
/ colim(π|S )
5 <
θ⟨s1 ,k1 ⟩
η⟨c′ ,f ′ ⟩
故に η が自然変換であることが分かった．
x ∈ C と自然変換 φ : π =⇒ ∆x を任意に取る．このとき自然変換 φ|S : π|S =⇒
(∆x)|S が得られるから，colim(π|S ) の普遍性により，射 h : colim π|S −→ x が一意に伸
びて φ⟨s,k⟩ = h ◦ θ⟨s,k⟩ となる．即ち次の図式の下の三角形は可換である．
φ⟨c,f ⟩
c) UUUU
UUUU
))
) η⟨c,f ⟩ U*
g ))
colim(π|S )
)) θ⟨s,k⟩lll5
lll
φ⟨s,k⟩
sl
h
/*5 x
また η の定義から左の三角形は可換で，φ の自然性から外側の三角形も可換だから，上の
30
三角形も可換であり，φ⟨c,f ⟩ = h ◦ η⟨c,f ⟩ が分かる．よって φ = ∆h ◦ η となる h が一意
に存在するから colim π = colim(π|S ) である．
補題 26. C, D, U を圏で U は co-wellpowered で余完備，F : C −→ D，S, T : C −→ U
を関手，φ : S =⇒ T をエピな自然変換とする．このとき Kan 拡張 F † S が存在するなら
ば F † T も存在する．
DO LLL
L
KS LLFLL† S
LLL
F
η
L&
S
/
C
U
φ
/
T
π
T
証明. d ∈ D に対して colim(F ↓ d −
→C−
→ U ) が存在することを示せばよい．
π
S
各点 Kan 拡張により F † S(d) = colim(F ↓ d −
→C−
→ U ) である．⟨c, f ⟩ ∈ F ↓ d に対
して，標準的な射を σ⟨c,f ⟩ : Sc −→ F † S(d) と書く．これと自然変換 φ : S =⇒ T を合わ
せて，次の可換図式を得る．
F † S(d)
O

F † S(d)
σ⟨c1 ,f1 ⟩
O
σ⟨c0 ,f0 ⟩
Sc1
?

Sc0
φc0
φc1
/ T c1
?

/ T c0
今 U は余完備だから，次の図式のように pushout を取ることができる．(また，pushout
の普遍性から点線の射が延びる)
F † S(d)
O

mi
F † S(d)
O
Sci
mj
/ ui
O
φcj
Scj
?

/ T ci
φci
31
/ uj
? O
/ T cj
?

仮定から φci はエピ射で，エピ射の pushout はエピ射だから，mi もエピ射である．
余極限 v を取る．(この余極限は co-wellpowered 性から存在する．) v = colim(F ↓
π
T
d−
→C−
→ U ) であることを示そう．
その為に任意の θ : T ◦ π =⇒ ∆w を取る．このとき θ ◦ φ : S ◦ π =⇒ ∆w が得られる
から，普遍性により F † S(d) −→ w が一意に延びる．
よって pushout の普遍性から ui −→ w が一意に延びる．
よって v の普遍性から v −→ w が一意に延びる．
397: CwK
jjj4 B v j
j
j
/ u1 j
? O

/ u0
O
φc1
/ T c1
?

/ T c0
F † S(d)
O

F † S(d)
O
Sc1
?

Sc0
φc0
π
T
以上により v = colim(F ↓ d −
→C−
→ U ) である．
定理 27 (Special Adjoint Functor Theorem). C, D が圏で，C は余完備，co-wellpowered
で，small generating set S を持つとする．このとき
関手 F : C −→ D が余連続 ⇐⇒ F が右随伴を持つ．
証明. (=⇒) 各点 Kan 拡張 F † idC が存在することを示せばよい．
generating set S ⊂ C を充満部分圏とみなし，i : S −→ C を包含関手とする．S が
small で C が余完備だから Kan 拡張 i† i，(F ◦ i)† i が存在する．
DO 8
88
KS 888
F
88
88(F ◦i)† i
8
L
CO LL
LLLi† i888
KS LLL 88
i
LLL8
&
/
S
C
i
32
故に定理 9 より F † (i† i) も存在して，F † (i† i) = (F ◦ i)† i が成り立つ．また idC : C −→ C
を考えれば，Kan 拡張の普遍性により φ : i† i =⇒ idC が一意に取れる．
EE
CO E φ E>F EE
EE
E idC
KS EEE EEE
EE ECK EE
i
E E"
†
η
i i EE
idi
EE"
/C
S
i
φ はエピ射である．
. .
. ) c ∈ C に対して φc : i† i(c) −→ c がエピ射であることを示せばよい．各点 Kan 拡
張の構成を思い出せば，φc は i† i(c) = colim(i ↓ c → S → C) = colim c の普遍性
⟨c,f ⟩∈i↓c
から定まる射である．
cj
t
t
t
ttt
ztt
c dJJ
JJJ
JJJ
fk
ck
fj
cj F
fj
FF
FF
#
i† i(c)
x;
xx
x
x
fk
ck
/ 8& c
φc
s, t : c −→ d を射で，s ̸= t とする．S が generating set だったから，ある s ∈ S と
g : s −→ c が存在して s ◦ g ̸= t ◦ g となる．このとき ⟨s, g⟩ ∈ i↓ c である．
cj F
fj
FF
FF
#
i† i(c)
x;
xx
x
xx
g
s
/&8 c
φc
s
t
/
/d
よって s ◦ φc ̸= t ◦ φc でなければならない．故に φc はエピ射である．
DO LLL † †
L
KS LLFLL(i i)
LLL
F
η
L&
i† i
/
C
C
φ
/
idC
よって補題 26 により F † idC が存在し，各点 Kan 拡張で書ける．
33
参考文献
[1] Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, Springer, 2nd ed.
1978 版 (1998)
[2] ft math さんによる圏論祭, 2012 年 12 月 8 日, http://alg-d.com/math/ft_math/
[3] ft math さんによる圏論祭, 2013 年 12 月 7 日・8 日, http://alg-d.com/math/ft_
math/
34

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