余米田の補題 alg-d http://alg-d.com/math/category/ 2015 年 3 月 28 日 P : C op −→ Set を関手とする．米田の補題 HomCb (y(c), P ) ∼ = P c は右 Kan 拡張を使って以下のように示すことができる． ‡ ‡ 右 Kan 拡張 idC P を考える．明らかに idC P ∼ = P である． C op id‡C P ∼ =P =⇒ idC id C op P Set 一方，Set は完備だから id‡ P は各点 Kan 拡張で書けるので，c ∈ C ，x ∈ Set に対して HomSet (x, id‡ P (c)) ∼ = HomCb (HomC op (c, id−), HomSet (x, P −)) が成り立つ．故に x = 1 とすれば Pc ∼ = id‡ P (c) ∼ = HomSet (1, id‡ P (c)) ∼ = Hom b (HomC op (c, −), HomSet (1, P −)) C ∼ = HomCb (HomC op (c, −), P −) ∼ = Hom b (y(c), P −) C である．故に米田の補題が示された． ‡ ∫ HomD (−, F c) ⋔ Ec を使えところで，エンドによる右 Kan 拡張の計算 F E = c∈C 1 ば，Set においては x ⋔ y = HomSet (x, y) だから P ∼ = id‡ P ∫ ∼ HomSet (HomC op (−, id(c)), P c) = c∈C op ∫ ∼ HomSet (HomC (c, −), P c) = c∈C op ∼ = HomCb (y(c), P ) となり，米田の補題が得られる．(但し，エンドによる計算は米田の補題を使って示したので，これは米田の補題の別証明にはならない．) ここで，右 Kan 拡張の代わりに左 Kan 拡張を使えば，次の余米田の補題が得られる．定理 (余米田の補題). 関手 P : C op −→ Set に対して P ∼ = ∫ † ∫ c∈C op y(c) × P c c∈C HomD (F c, −) ⊙ Ec であり，また Set においては x ⊙ y = x × y で証明. F E = ある．よって P ∼ = id† P ∫ c∈C op ∼ HomC op (id(c), −) × P c = ∫ c∈C op ∼ y(c) × P c = もしくは，y † y ∼ = id だったから P ∼ = y y(P ) ∼ = † ∫ c∈C HomCb (y(c), P ) × y(c) ∼ = と示すこともできる． 2 ∫ c∈C op y(c) × P c