水素原子の電子の波動方程式のハミルトニアンは極座標でとなることを

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問題
水素原子の電子の波動方程式のハミルトニアンは極座標で
ˆ =−
H
2
1 ∂
r2 ∂r
2me
r2
∂
∂r
+
r2
1
∂
sin θ ∂θ
sin θ
∂
∂θ
+
r2
1
∂2
e2
2 ∂φ2 − 4π r
sin θ
0
✭✶✮
となることを示せ．
解答
極座標とデカルト座標の関係：x = r sin θ cos φ，y = r sin θ sin φ，z = r cos θ を用いて，デカルト座標
でのハミルトニアン：
ˆ =−
H
2
2me
∂2
∂2
∂2
+ 2+ 2 −
2
∂x
∂y
∂z
4π
e2
0
x2 + y 2 + z 2
✭✷✮
を変形する．
ポテンシャル項が式のように変換されるのは自明である．よって，目的はラプラシアン：
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∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
の極座標での形を求めることになる．
r = (x, y, z) の関数 f (r) を考える．dr に対する f (r) の微小変化は
df (r) = dr · gradf (r)
= dr · ∇f (r)
dr
✭✸✮
✭✹✮
を極座標の基底ベクトルを用いて表すと，
dr = er dr + eθ rdθ + eφ r sin θdφ
✭✺✮
であるから，これを式に代入して，
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df (r) = er · ∇f (r) dr + eθ · ∇f (r) rdθ + eφ · ∇f (r) r sin θdφ
✭✻✮
となる．この式と全微分の定義より，
∂f (r)
= er · ∇f (r)
∂r
∂f (r)
= eθ · ∇f (r) r
∂θ
∂f (r)
= eφ · ∇f (r) r sin θ
∂φ
✭✼✮
✭✽✮
✭✾✮
✷
これより，
∇f (r) = er
1 ∂f (r)
1 ∂f (r)
∂f (r)
+ eθ
+ eφ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
✭✶✵✮
したがって，極座標でのナブラは
∇ = er
∂
1 ∂
1
∂
+ eθ
+ eφ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
✭✶✶✮
極座標でのナブラから極座標でのラプラシアンを求めるためには，極座標の基底ベクトルの r，θ，φ
に対する微分をあらかじめ知っておく必要がある．
デカルト座標と極座標の基底ベクトル間の関係は
er = ex sin θ cos φ + ey sin θ sin φ + ez cos θ
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eθ = ex cos θ cos φ + ey cos θ sin φ − ez sin θ
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eφ = −ex sin φ + ey cos φ
✭✶✹✮
である．e ，e ，e は座標変数（x，y，z，r，θ，φ）の関数ではないが，e ，e ，e は θ，φ の関数で
あることに注意すると，以下の関係が導かれる．
x
y
z
∂er
= 0,
∂r
∂er
= eθ ,
∂θ
∂er
= eφ sin θ,
∂φ
r
∂eθ
= 0,
∂r
∂eθ
= −er ,
∂θ
∂eθ
= eφ cos θ,
∂φ
θ
φ
∂eφ
=0
∂r
∂eφ
=0
∂θ
∂eφ
= −er sin θ − eθ cos θ
∂φ
✭✶✺✮
✭✶✻✮
✭✶✼✮
したがって，
∂
1 ∂
1
∂
∂
1 ∂
1
∂
+ eθ
+ eφ
· er
+ eθ
+ eφ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
∂
∂
1 ∂
∂
1 ∂
1 ∂
= er
· er
+ eθ
· er
+ eθ
· eθ
∂r
∂r
r ∂θ
∂r
r ∂θ
r ∂θ
1
∂
∂
1
∂
1 ∂
1
∂
+ eφ
· er
+ eφ
· eθ
+ eφ
r sin θ ∂φ
∂r
r sin θ ∂φ
r ∂θ
r sin θ ∂φ
∂2
1 ∂
1 ∂2
1 ∂
cos θ ∂
1
∂2
= 2+
+
+
+
+
∂r
r ∂r r2 ∂θ2
r ∂r r2 sin θ ∂θ r2 sin2 θ ∂φ2
1 ∂
∂
1
∂
∂
1
∂2
= 2
r2
+ 2
sin θ
+ 2 2
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂φ2
∇·∇=
er
· eφ
1
∂
r sin θ ∂φ
✭✶✽✮
✭✶✾✮
これを用いてハミルトニアンのラプラシアンを書き換えると，題意の式となる．
（
✷✵✶✹
年月日作成，
✼
✷✾
✷✵✶✹
年月日改訂）
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