「電気回路第三」講義資料 ２０１４年度版 熊本大学工学部情報電気電子工学科 勝木 淳 ２．基本的回路の過渡現象 (1) ２.１ 考え方 ２.２ RC回路（１階常微分方程式） ２.１ 身近な過渡現象 ◆ 一般 ・車の急加速，急減速 ・車などの懸架装置，ばね ・物体の衝突 ・爆発現象 ・ある系に新しいシステム(制度)を導入したとき など． ◆ 電気関係 ・スイッチON/OFF直後の回路現象 ・落雷，および落雷による誘導電圧(サージ) ・静電気の放電 など． 過渡現象 回路のある状態から別の状態へ切換が行なわれる場合 （印加電圧または回路素子定数の変化、 ← スイッチング、非線形素子、素子の劣化などによる ） はじめの回路の電圧や電流に一時的な変化 ⇒ 過渡現象 過渡現象を経て、回路は新しい状態の定常値となる。 ある回路の 定常状態 過渡現象 次の回路の 定常状態 負荷に直流電圧を印加する場合 直流定常回路 V V 200 150 100 E 50 R 0 0 2 3 4 5 t 過渡現象を伴う回路 スイッチ t=1 1 V V 過渡現象 200 150 定常状態２ 100 E 50 定常状態１ R 0 0 1 2 3 4 5 t 交流電圧を印加する場合 過渡現象を伴う回路 スイッチ t=2 過渡現象 V V 定常状態２ 200 E1 定常状態１ 150 E2 100 50 E3 0 -50 Z -100 0 1 2 3 4 5 t なぜ過渡現象が起きるのか？ 例えば、スイッチON/OFF t=0 v E i Z RLC回路における定常現象と過渡現象の比較 RLC回路 スイッチのある回路 回路の過渡現象の解法 エネルギーを蓄えるような素子（コン デンサやコイル）を回路中に含んでい ると、キルヒホッフの電圧則により得ら れる回路方程式は微分方程式となる。 ayʹ′ʹ′ + byʹ′ + cy + d = 0 ただし、a, b, c, d は定数 過渡現象を解析する ⇒ 微分方程式を解く v R 微分方程式を解く 微分方程式 ayʹ′ʹ′ + byʹ′ + cy + d = 0 の解は次のように表される。 一般解（y） ＝ 過渡解（yt） ＋ 定常解（ys） 過渡現象の項： ある時間の後に 常にゼロとなる 定常状態の項 定常解 (steady state term) 過渡解 (transient term) 解法 ★ ヘビサイドの演算子法 ・ d/dt = p とおいて代数演算 ・ p の代わりに複素変数 s を用いてラプラス変換 ★ ミクシンスキーの演算子法 積分演算子と合成積を定義 代数演算 回路過渡現象の例 微分方程式の一般解（v) ＝ 過渡解（vt） ＋ 定常解（vs） スイッチ （t = t0) v R E=100 vt 200 150 過渡解 100 v 200 一般解 50 0 150 vs 50 200 0 -50 t -50 100 t0 t 150 定常解 100 50 0 -50 t ２.２ ＲＣ直列回路 右図において、時刻 t = 0 でスイッチ を入れる場合を考える。 回路方程式は、 RC直列回路 （１） 自由振動（過渡解を求める） 回路に定常電源が無い場合の回路現象 右図の閉路方程式は、 q0 RC直列回路の自由振動 初期条件（t = 0 においてq = q0）から、 q = q0 e − t / τ 電流は q0 −t / τ dq i= =− e dt RC q, i （２） 直流電圧を加えた場合 右図において、 dq q R + =E dt C 過渡項 qt は自由振動と同じ。 定常項 qs は t = ∞ のときのCの電荷量なので、 直流電源を含むRC直列回路 q = CE + (q 0 − CE)e − t /τ dq 1 i= = (CE − q0 )e −t / τ dt RC q, i CE (CE − q 0 ) RC q0 q(t ) i(t ) 【問２.１】 右の回路において、スイッチSを閉じ た後の過渡電流を求めよ。但し、e(t) は電圧 E の直流電源とし、C の初期 電荷をゼロとする。 （３） 正弦波電圧を加えた場合 e(t ) = E sin(ωt + ϕ ) 回路方程式は、 ～ dq q R + = E sin( ωt + ϕ) dt C 一般解は、 q= Em ω R 2 + (1 ωC )2 cos(ωt + ϕ − θ ) + Ae −t /τ 1 ⎞ θ = tan ⎜ ⎟ , τ = RC ⎝ ωCR ⎠ −1 ⎛ 過渡解 定常解 電流は、 dq i= = dt Em R 2 + (1 ωC ) 2 sin(ωt + ϕ − θ ) − A τ e −t / τ 初期条件として、t = 0 において q = q0 とすると、 Em ω A = q0 − 2 R + (1 ωC ) 2 cos(ϕ − θ ) 1 ⎞ ⎟ ⎝ ωCR ⎠ θ = tan −1 ⎛⎜ これを前ページの式に代入して 電流 i を求める。 # q0、φ、θの条件によって、 過渡項が現れない場合がある。 （A=0のとき） RC直列回路に正弦波電圧を加えた 場合の電流 【問２.２】 右の回路における定常項を 導出せよ。 qs = Em ω 2 R + (1 ωC ) 2 ⎛ 1 ⎞ ∵θ = tan ⎜ ⎟ ⎝ ωCR ⎠ −1 e(t ) = E sin(ωt + ϕ ) cos(ωt + ϕ − θ ) ～
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