Generalized Nested Logit モデルの基本的性質と
マーケティングへの応用に関する研究
Studies on Fundamentals of the Generalized Nested Logit
Model and Its Applications to Marketing
2013 年 2 月
早稲田大学大学院 創造理工学研究科
経営システム工学専攻 プロフィットデザイン研究
高橋 啓
Kei TAKAHASHI
目次
第 1 章 序論
1
1.1
本研究の背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
本研究の目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
本研究の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
第 2 章 離散選択モデル：GNL モデルの導出と諸性質
7
2.1
はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2
離散選択モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2.1
MNL モデルと I.I.A 特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.2
I.I.A 特性の緩和と NL モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2.3
さらなる I.I.A 特性の緩和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
ランダム効用理論からの選択確率の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.3.1
MNL モデルの導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.3.2
GNL モデルの導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Generalized Extreme Value Family からの選択確率の導出 . . . . . . . . . . . . .
16
2.4.1
MNL モデルの導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.4.2
GNL モデルの導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.4.3
GNL モデルの異なる定式化の等価性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
公理的アプローチ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.5.1
確率的選択系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.5.2
ランダム効用最大化仮説 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.5.3
確率的顕示選好の強公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.5.4
選好の集計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.5.5
Williams-Daly-Zachary 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.3
2.4
2.5
i
ii
公理的アプローチのまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.6
離散選択モデルと集計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.7
GNL モデルの特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.7.1
GNL モデルと他の GEV モデルとの対応 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.7.2
GNL モデルの価格弾力性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.7.3
GNL モデルにおける擬似相関係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.A 2 章の付録：関連する公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.A.1 Luce の選択公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.A.2 確定的な場合における顕示選好公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.5.6
第 3 章 GNL モデルの情報理論的解釈
39
3.1
3 章の目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.2
集計レベルにおけるエントロピー・モデルとの等価性 . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.2.1
集計 GNL モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.2.2
数理計画問題：エントロピー・モデル
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.2.3
集計レベルの等価性の証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.2.4
非集計レベルへの対応 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
非集計レベルにおけるエントロピー・モデルとの等価性 . . . . . . . . . . . . . . .
46
3.3.1
主問題：段階的パラメータ最尤推定問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
3.3.2
双対問題：等価エントロピー・モデル
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.3.3
非集計レベルの等価性の証明
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.3.4
GNL モデルにおけるパラメータ推定への示唆 . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3 章のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.A 付録 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.A.1 GNL における同時推定時の等価エントロピー・モデル構築の問題点 . . . .
57
3.A.2 式 (3.33)–(3.36) の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.3
3.4
第 4 章 ブランド選択モデルへの GNL モデルの適用
61
4.1
4 章の目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.2
既存の GNL モデルのネスティング・ルール . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
iii
4.3
提案するネスティング・ルール . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.4
パラメータ推定方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.5
GNL モデルの適用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
4.5.1
対象データ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
4.5.2
効用関数，選択構造の同定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4.5.3
MNL, NL モデルとの比較，検証 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4.5.4
感度分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4 章のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4.6
第 5 章 GNL モデルの拡張：消費者異質性の導入
74
5.1
5 章の目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
5.2
既存の消費者異質性を考慮したモデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
5.2.1
消費者異質性を考慮したモデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
5.2.2
既存の消費者異質性を考慮したモデルの問題点 . . . . . . . . . . . . . . .
77
LGNL モデルの定式化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
5.3.1
選択確率の定式化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
5.3.2
パラメータ推定方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
5.3.3
ランダム効用最大化行動との整合性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
LGNL モデルの適用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
5.4.1
対象データ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
5.4.2
効用関数，選択構造の同定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
5.4.3
既存モデルとの比較，検証 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
5.4.4
感度分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
5 章のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
5.3
5.4
5.5
第 6 章 心理的効果の GNL モデルによる表現
94
6.1
6 章の目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
6.2
心理的効果を表現可能なモデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
6.3
心理的効果の再定義
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
妥協効果の再定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
6.3.1
iv
6.3.2
6.4
6.5
魅力効果の再定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
妥協効果の GNL モデルにおける生起 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.4.1
弱妥協効果の数値例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.4.2
GNL モデルによる弱妥協効果に関する性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.4.3
強妥協効果の数値例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
魅力効果 GNL モデルにおける生起 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.5.1
弱魅力効果の数値例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.5.2
強魅力効果と GNL モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.6
心理的効果の表現に関する既存モデルとの比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.7
6 章のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.A 6 章の付録 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.A.1 Roe et al. (2001) における妥協効果の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.A.2 弱妥協効果最大化の一階条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
第 7 章 GNL モデルにおける集計ルールの導出
121
7.1
7 章の目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.2
GNL モデルにおける集計問題の生起例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.3
集計ルールが満たすべき条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.4
GNL モデルにおける集計ルールの導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.5
7.6
7.4.1
ブランド選択モデル 1 ：ネストの集計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.4.2
ブランド選択モデル 2 ：選択肢の集計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.4.3
交通機関選択モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
MNL，NL モデルとの集計ルールの比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.5.1
ネストを集計した場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.5.2
選択肢を集計した場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7 章のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
第 8 章 結論
138
8.1
本研究のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.2
今後の展望
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
v
変数表
142
謝辞
152
参考文献
153
図目次
3.1
Vovsha [128] の提案アルゴリズム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.2
本研究の提案アルゴリズム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
4.1
Vovsha and Bekhor (1998) [129] におけるネスティング・ルール . . . . . . . . . .
63
4.2
属性分割による GNL モデルの構造 (ペットボトル・コーラ) . . . . . . . . . . . .
67
5.1
既存の潜在クラス・ロジット・モデルの構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
5.2
LGNL モデルの構造例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
5.3
適用例における LGNL モデルの構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
6.1
妥協効果，魅力効果が生起する状況 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
6.2
弱妥協効果が生起する GNL モデルの構造
6.3
NL モデルによる選択肢 {A, B, C} のネスティング . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.4
類似度パラメータ µ1 の変化に対する弱妥協効果の大きさ . . . . . . . . . . . . . . 110
6.5
アロケーションパラメータ γA2 の変化に対する弱妥協効果の大きさ
6.6
確定的効用値の比 VC /VA の変化に対する弱妥協効果の大きさ . . . . . . . . . . . . 110
6.7
弱魅力効果が生起する GNL モデルの構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.8
NL モデルによる選択肢 {A, B, D} のネスティング
7.1
集計問題生起例における GNL モデルの構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
vi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
. . . . . . . . 110
. . . . . . . . . . . . . . . . . 114
表目次
2.1
GEV Family の各モデルにおける価格弾力性，交差弾力性 . . . . . . . . . . . . .
34
3.1
本章により明らかとなる離散選択モデルの等価性の範囲 . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.2
段階推定時 (Step)，同時推定時 (Sim.) のパラメータ . . . . . . . . . . . . . . . .
56
4.1
交通計画分野における GNL/CNL モデルのネスティング・ルール . . . . . . . . .
63
4.2
マーケティング・サイエンスにおける GNL/CNL モデルのネスティング・ルール
64
4.3
推定，検証用データの概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
4.4
統計量の比較（GNL vs. MNL, NL） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
4.5
確定的効用関数パラメータの比較（GNL vs. MNL, NL） . . . . . . . . . . . . . .
69
4.6
パラメータの金銭換算（GNL vs. MNL, NL） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
4.7
集計量の比較（GNL vs. MNL, NL） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4.8
商品売切れ時の選択割合の比較（GNL vs. MNL, NL） . . . . . . . . . . . . . . .
73
4.9
価格プロモーション時の選択割合の比較（GNL vs. MNL, NL） . . . . . . . . . .
73
5.1
統計量の比較（LGNL vs. MNL, LCL, GNL） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
5.2
確定的効用関数パラメータ及びセグメント・サイズの比較（LGNL vs. MNL, LCL,
GNL） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
5.3
類似度パラメータの比較（LGNL vs. MNL, LCL, GNL） . . . . . . . . . . . . . .
89
5.4
アロケーション・パラメータの比較（LGNL vs. MNL, LCL, GNL） . . . . . . .
90
5.5
パラメータの金銭換算（LGNL vs. MNL, LCL, GNL） . . . . . . . . . . . . . . .
91
5.6
集計量の比較（LGNL vs. MNL, LCL, GNL） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
5.7
商品売切れ時の選択確率の比較（LGNL vs. MNL, LCL, GNL） . . . . . . . . . .
92
5.8
価格プロモーション時の選択確率の比較（LGNL vs. MNL, LCL, GNL） . . . . .
93
6.1
弱妥協効果の生起例パラメータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
vii
viii
6.2
弱妥協効果の大きさと再現可能性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.3
強妥協効果の生起例パラメータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.4
弱魅力効果の生起例パラメータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.5
弱魅力効果の大きさと再現可能性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.6
弱妥協効果が最大となるパラメータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.1
選択構造例において最尤推定されたパラメータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.2
間違った集計ルールの適用例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.3
MNL, NL, GNL モデルにおける集計ルール：ネスト j を集計する場合 . . . . . . 133
7.4
MNL, NL, GNL モデルにおける集計ルール：選択肢 k を集計する場合 . . . . . . 134
第 1 章 序論
1.1
本研究の背景
消費者の行動や反応を表現するということは，社会科学の大きな目的の一つであり，特に経済
学と心理学の分野で幾多の研究がなされている．これらはあるときは繋がりを持ち，あるときは
互いを批判し合うことにより発展している．特に，現実的な選択行動を取扱う離散的選択モデル
では，双方の分野の観点から各種のモデルが提示されている．これらの成果の工学的応用の一つ
として，マーケティング・サイエンス1 が挙げられる．
この分野の主要なモデルの一つとしてブランド選択モデルが挙げられる．これは，商品カテゴ
リー及びその環境が提示されている状況で，消費者がどの商品（ブランド）を選択するのかとい
うことを記述するモデルである．実務においても，しばしばこのモデルを用い，需要予測や価格
その他のプロモーション効果の測定が行なわれている [100]．ブランド選択モデルの多くが，離散
選択モデルの応用・拡張であり，Point of Sales (POS) データ等からのパラメータ推定が可能であ
る．ブランド選択モデルをより精緻に記述したり，さらにその選択行動規範自体を拡張したりす
ることは，消費者の需要を予測する上で，実務においても重要 [70] となる．
モデルの精緻化や拡張を考える上で，離散選択モデルの一つの頂点にあると考えられるモデル
が，Generalized Nested Logit (GNL) モデル [130] である．このモデルは，マーケティング・サイ
エンス以外の離散選択モデルの主要な適用分野である交通計画分野 [128, 129] で開発されたもの
である．GNL モデルは，既存のモデルである Multinomial Logit (MNL) モデル [81] や Nested
Logit (NL) モデル [10] が表わし得なかった柔軟な選択肢間の相関構造を，擬似的に表現すること
が可能である．GNL モデルの基本的性質に関する研究は，その多くがこの擬似的な相関構造につ
いてのみなされており，その他はほとんど行なわれていない．また，交通計画分野においては多
くの適用例があるものの，マーケティング・サイエンス分野においては皆無に等しい．交通計画
1
学問分野としてのマーケティングを指す際には，本研究では，マーケティング・サイエンスを用いる．同種の言葉
としてマーケティング・リサーチがあるが，これは実際の調査を指す際に用いることとする．
1
2
分野における適用例は交通機関選択，経路選択等の問題であり，複数の交通機関を乗り継ぐ幹線
交通や，複数の経路が存在する大都市鉄道等に限られている．マーケティング・サイエンスで対
象とする商品には，交通機関や経路と比較し相関構造を持つ多くの属性が存在し，消費者はそれ
らの属性を考慮して商品を選択していると考えられる．したがって，複雑な選択肢間の属性の重
複を表現し，その消費者の反応を記述するのに GNL モデルは有用であると考えられる．
マーケティング・サイエンスでは，交通計画分野と異なるこの分野特有の問題が存在する．ま
ず，消費者の異質性を陽に捉えることが難しい点である．また，現象的な側面として，消費者心
理学で取り上げられている心理学的効果が挙げられる．最後に，実務面からマーケティングに関
する情報開示の問題がある．
消費者の異質性は，交通計画分野ではほとんど考慮されることがない，マーケティング・サイ
エンス特有の問題である．交通計画分野では，センサス等の行動後のアンケート調査で，トリッ
プの目的やデモグラフィックな要因を得ることができ，その目的により料金も変わってくる．その
ため，基本的にはその目的のみで，アプリオリに消費者の異質性を捉える．しかし，マーケティ
ングでは，POS データ等の行動実績に基づいた把握がほとんどであり，デモグラフィックな要因
を得ることが難しい．このため，顧客の囲いこみと顧客情報の把握を目的にお客様カード等の優
遇策を設け，それにより顧客の異質性を捉える動きが一般的であるが，初期登録時の情報がその
まま残り，必ずしも正確な情報の把握が可能とはいえない．一方，消費者の異質性は，マーケティ
ングでは消費者が複数のセグメントに属しているため [114] と解釈される．そして，各セグメント
内の選好関係が異なっていると考えるのである．このセグメント分けは，年収，世帯構成といっ
たデモグラフィックな要因だけではなく，選好が異なるという意味での潜在的なセグメント分けも
広く行なわれている [46]．
選択肢間に複雑な相関関係が存在するような問題は，消費者心理学では多属性意思決定問題（例
えば Tversky, 1972a [123]）と呼ばれ，その中で多くの心理学的効果 [124] が取り上げられている．
この効果は経済学的モデルでは表現できないとされ，実際の市場やアンケート・データにより，複
数の心理的効果が実際に確認されている．これらをモデルで複数表現できることは，モデルの心
理学的な妥当性をある程度補強することとなる．
情報開示に関する問題は，実際のデータ解析において，膨大な POS データからある分析者がモ
デルを推定する際に顕著である．2 社以上のデータが存在し，これらが別々に得られている際に，
あるメーカーに提示する結果に他のメーカーの結果をどこまで表現するのかという問題である．具
3
体的にはブランド・レベルで集計するのか，更に詳細なレベルで集計するのかが実務で決められ
るが，どちらのレベルでモデルを構築し，相手方に開示するにせよ，その集計を行なう前後では，
ある種の整合性がモデル間に求められる．
1.2
本研究の目的
本研究では，GNL モデルをマーケティングへ応用することを考え，GNL モデルに関して基礎
的な性質を明らかにし，適用・拡張及び効率的利用のためのツールの開発を行なう．これらによ
り，GNL モデルのマーケティング分野における利用を促進することを目指す．
具体的には次の 4 つの点を明らかにする：
1. GNL モデルと情報理論の関係性を集計された選択結果，パラメータ最尤推定問題双方で明
らかにし，GNL モデルが価値最大化モデルであることを示し，GNL モデルのパラメータの
意味解釈を加える．
2. GNL モデルをマーケティング・サイエンスにおける代表的なモデルであるブランド選択モ
デル2 に適用，更に消費者の異質性を考慮できるように拡張して，その有用性を実際の POS
データに適用することにより検証する．
3. 代表的な心理的効果である妥協効果，魅力効果，類似性効果が，GNL モデルのある構造に
より表現できることを示す．
4. 多くのネスト，選択肢が存在することが多い GNL モデルにおいて，選択肢，ネストの集計
を行なうとき，その前後で整合的な集計が行なえる集計ルールを示す．
1. では， GNL モデル自身が持つ情報理論的な解釈を行なう．具体的には，その選択確率式，
及びそのパラメータ最尤推定問題が，変形することにより，情報理論的に解釈できることを示す．
前者については，またその選択確率式が最適化問題へと帰着できることを示し，後に用いる．後者
については，段階的パラメータ推定問題の各段階がそれぞれ，情報理論的に解釈できることを示
し，各パラメータの制約条件が，効用最大化と整合的であるための条件と，情報理論的に整合的
2
購買生起，ブランド選択，購買量という消費者の購買決定プロセスのうち，ブランド選択に焦点をあてたモデル
[41]．ここでいうブランドは，所謂ブランドと異なり他との区別という意味であり，一般的には個々の商品を指す．
最も実務において離散選択モデルが用いられているモデルの一つである．
4
であるための条件とを区分する．また，最後に，この段階推定の性質を利用した新たなパラメー
タ推定方法を提案する．
2. では，マーケティング・サイエンスにおいて適用されていない GNL モデルを，代表的なマー
ケティング・サイエンスのモデルであるブランド選択モデルに適用する．この適用する際に，具体
的なモデルの構造を規定するネスティング・ルールを提案する．そして，それを実際のデータに適
用し，パラメータ推定することで既存の MNL，NL の各モデルとの比較を行ない，GNL モデル
の優位性を示す．さらに，構築したブランド選択モデルを消費者の異質性を考慮可能なように拡
張した Latent Generalized Nested Logit (LGNL) モデルを提案する．消費者が潜在的なセグメン
トに所属すると仮定し，潜在クラスの意味付けをアドホックに行なう Latent Class Logit (LCL)
モデルとは異なり，商品構成要素により潜在クラス分けを行なうことを提案する．GNL モデルの
検証と同様に，実際のデータに適用し，パラメータ推定することで MNL，LCL，GNL の各モデ
ルとの比較を行ない，LGNL モデルの優位性を示す．
3. では，GNL モデルを用いて，代表的な心理的効果である妥協効果，魅力効果，類似性効果
が（ランダム）効用最大化と整合的に生起することを示す．また，Simonson and Tversky (1992)
[113] でいう価値最大化モデルとして GNL モデルが解釈できることから，Simonson and Tversky
(1992) [113] の指摘が間違っていることを示す．これにより，心理的効果を考慮したプロダクト・
ラインの拡張 [18] 時の需要予測が可能となる．
4. では，具体的に GNL モデルを予測等に適用する場合を想定し，選択肢，ネストを集計した
場合に，その前後で，選択確率，効用が整合的であるような集計ルールを提示する．このように，
集計前後で整合性がとれなくなる問題は，集計問題と呼ばれ，完全なる解決策は見つかっていな
い．本研究は，限定的ながら，GNL モデルにモデル構造を特定化した上で，これを克服するもの
である．GNL モデルはその構造から，多くの属性，選択肢を持つことが容易に想像され，このこ
とから集計することに直面することが多いと考えられる．すなわち，整合性を有した集計ルール
の需要は大きいといえる．
本研究は，単に経済学的な側面だけではなく，様々な側面から GNL モデルの妥当性を示すも
のであるともいえる．1. については GNL モデルが情報理論の側面から持つ性質について明らか
にするといえる．2. については GNL モデルの実際の統計的側面からの性質について妥当性を示
す．3. については GNL モデルの心理学的側面からの性質について，その妥当性をある程度示す
こととなる．4. については実務的な側面への提案である．これらの GNL モデルが持つ様々な性
5
質を示すことにより， GNL モデルの妥当性を示し，マーケティング分野における利用を促進で
きるものと考えられる．
1.3
本研究の構成
本研究は，全 8 章からなる．次章以降は次のように構成されている．
2 章では，準備として GNL モデルの基本的性質を示す．3 章では，GNL モデル自身に対し情報
理論的な解釈を与える．具体的には，その選択確率式，及びそのパラメータ最尤推定問題を変形
することにより，情報理論的に解釈できることを示す．前者は，その選択確率式が最適化問題の
解へと帰着できることを示す．後者は，段階的パラメータ推定問題の各段階がそれぞれ，エント
ロピー・モデルとして解釈できることを示し，各パラメータの制約条件を，効用最大化の際の条
件と整合的なものと，情報理論的に整合的なものに区分する．4 章では，マーケティング・サイエ
ンスにおいて未だ適用されていない GNL モデルを，代表的なマーケティング・サイエンスのモデ
ルであるブランド選択モデルに適用する．この際に，具体的なモデルの構造を規定するネスティ
ング・ルールを提案する．そして，それを実際のデータに適用し，パラメータ推定を行なうこと
により，既存の MNL，NL の各モデルと比較を行ない，これにより GNL モデルの優位性を示す．
さらに，5 章では構築したブランド選択モデルを消費者の異質性を考慮可能となるよう拡張した
Latent Generalized Nested Logit (LGNL) モデルを提案する．これは，消費者が潜在的なセグメ
ントに所属すると仮定し，潜在クラスの意味付けをアドホックに行なう Latent Class Logit (LCL)
モデルとは異なり，商品構成要素により潜在クラス分けを行なう方法である．4 章で用いた実デー
タを適用し同様にパラメータ推定することにより，MNL，LCL，GNL の各モデルとの比較を行な
い，LGNL モデルの優位性を示す．6 章では，GNL モデルのある構造を用いて，代表的な心理的
効果である妥協効果，魅力効果，類似性効果が効用最大化と整合的に生起することを示す．GNL
モデルは，対数尤度最大化によりパラメータ推定が可能であることから，心理的効果を考慮した
プロダクト・ライン拡張時の需要予測が可能となる．7 章では，具体的に GNL モデルを予測等に
適用する場合を想定し，選択肢やネストを集計した場合に，その前後で，選択確率，効用が整合
的であるような集計ルールを提示する．集計前後で整合性がとれなくなる問題は，集計問題と呼
ばれ，完全なる解決策は見つかっていない．本研究は，限定的ながらモデル構造を GNL モデルに
特定化した上で，これを克服する方法を示している．GNL モデルはその構造から，多くの属性，
6
選択肢を持つことが想定され，このことから集計の際の課題に直面することが多いと考えられる．
そのため，本研究の成果である整合性を有した集計ルールの需要は大きいといえる．最後に 8 章
で本研究の結論と今後の展望を述べる．
第 2 章 離散選択モデル：GNL モデルの導出と諸
性質
2.1
はじめに
本章では，本研究で一貫して用いることとなる GNL モデルについて説明する．GNL モデルは
Wen and Koppelman (2001) [130] で示された，極めて高い自由度があり，なおかつ（ランダム）
効用最大化と整合的な離散選択モデルである．GNL モデルが導出されるまでには，長い離散選択
モデル発展の流れがある．これらは離散選択モデルの主要な適用対象である，交通計画分野，マー
ケティング・サイエンス分野でその多くがなされている．
本章の構成は次のとおりである．まず，2 節で GNL モデルに至るまでの離散選択モデルをレ
ビューする．3 節では GNL モデルのランダム効用最大化仮説からの選択確率式の導出を行なう．
4 節では，
（ランダム）効用最大化と整合的であるモデル族である GEV Family からの選択確率
式の導出を行ない，3 節の定式化と等価であることを示す．次に 5 節で公理的アプローチを用い，
ランダム効用最大化モデルが，
（ランダム）効用最大化と整合的であることを示す．最後に 6 節で
GNL モデルが持つ性質について示す．
2.2
離散選択モデル
離散選択モデルとは，選択肢の様々な属性に応じて選択者個人が選択集合の中からどの選択肢
を選ぶかという行動を表現するモデルである．ここで，選択（肢）集合は次のような性質を持た
なければならない [122]：
1. 選択肢は互いに排他的，
2. 選択（肢）集合は網羅的，
3. 選択肢の数は有限．
7
8
2.2.1
MNL モデルと I.I.A 特性
もともと，離散的な個々人選択行動についての研究がなされていた分野は，心理学である．こ
の類のモデルの先駆的なモデルとして，Thurstone (1927) [120] の Binary Probit (BP) モデルが
挙げられる．このモデルは確率項に独立な正規分布を仮定したものであり，効用 （Utility） とい
う経済学の言葉ではなく，刺激 (Stimuli) という心理学用語を用い記述されている．ただし，選択
そのものがバイナリであり，確率項が独立としている．
これに対し，特に確率項を明示的には考えず，公理的な立場からモデルを構築したのが Luce
(1958)[72]，Luce (1959) [73] である．Luce は選択公理1 という公理を提唱し，これを満たす選択
モデル（Luce モデル）は次の形となるとなることを示している：
Uh
Uh
Qhk = ∑ k h = N k .
∑k h
Uk′
Uk′
k′ ∈K
(2.1)
k′ =1
ここで，Qhk は消費者 h の選択肢 k の（濃度）選択確率，Ukh は選択肢 k の重みであり，通常経
済学では効用と呼ばれる．また，K は選択肢集合であり，Nk は選択肢数である．Luce の選択公
理については付録 2.A.1 に詳しく示す．ここで注意すべきは，Ukh という効用が選択を行なう消費
者，観測者にとっても確定的であるという点である．
これに対し，Marschek (1960) [78] は，モデル内の確率的な要素を消費者にとって確定的であ
り，観測者にとって確率的であるとしたランダム効用仮説を提唱している．その代表的なモデル
が，McFadden (1973) [81] により厳密な導出が行なわれた Multinomial Logit (MNL) モデルで
ある．MNL モデルの選択確率式は，
exp Vkh
exp Vkh
Qhk = ∑
=
Nk
∑
exp Vkh′
exp Vkh′
k′ ∈K
(2.2)
k′ =1
となる．ここで，Vkh は消費者 h 選択肢 k の確定的効用である．賢明な読者は，式 (2.2) で表され
た選択確率式が，Luce モデルの特殊形であることに気づくだろう．実際，MNL モデルは Luce の
選択公理から導かれる Independence from Irrelevant Alternatives (I.I.A) 特性2 を満たしている．
ここで，I.I.A 特性とは次に示す条件を選択確率が満たすことである．
1
2
数学の選択公理とは異なる．この選択公理の導出については，何ら数学とは関係なく，合理性とも関係ないという
批判が，当初からある [32]．
確定的な場合の I.I.A 特性は，[5] により導かれた．ただし，確定的な場合と確率的な場合とは直接的な繋がりが
ないことが示されている [102]．
9
定義 2.2.1 (I.I.A 特性) もし Qhk|{k,k′ } ̸= 0, 1 ∀ k, k ′ ∈ K, Nk ≥ 3 ならば，
Qhk|{k,k′ }
Qhk′ |{k,k′ }
Qhk|K
=
Qhk′ |K
.
(2.3)
しかし，実際の選択行動では，この I.I.A 特性を犯した消費者行動が多く観察され，MNL モデル
は選択行動を記述するには不十分である．
2.2.2
I.I.A 特性の緩和と NL モデル
これに対し，離散選択モデルにおいて画期的な解決策をもたらしたのが，Ben-Akiva (1973) [10]
により開発された Nested Logit (NL) モデル：
h
Qhk = Pjh Pk|j
,
(
Pjh
=
(2.4)
∑ (
k′ ∈Kj
Nj
∑
(
j ′ =1
)
h 1/µj
)µ j
exp Vk′
∑ (
k′ ∈Kj ′
)
h 1/µj ′
)µj ′ ,
(2.5)
exp Vk′
)1/µj
exp Vkh
= ∑ (
)1/µj
exp Vkh′
(
h
Pk|j
(2.6)
k′ ∈Kj
である．ここで，Nj はネスト数，Kj はネスト j に属する選択肢集合である．NL モデルは消費
者がネスト j を選択し，その次にそのネストに所属する選択肢集合 Kj から選択肢 k を選ぶとい
う構造により，I.I.A 特性を緩和したものである．NL モデルの µj は類似度パラメータと呼ばれ，
0 < µj ≤ 1, ∀j
(2.7)
のとき，ランダム効用最大化と整合的である．
このように画期的な NL モデルであるが，I.I.A 特性の緩和は十分とはいえない．これは，NL
モデルにおいて選択肢はただ一つのネストにしか所属できないためであり，複雑な相関関係を表
現できないためである．
2.2.3
さらなる I.I.A 特性の緩和
NL モデルでは同一ネスト内に属する選択肢の間には，擬似的に相関が定義できるが，違うネス
トに属する選択肢の間は独立となる．同じ選択肢は複数のネストに属することができないため，複
10
雑な相関関係をモデルの構造として与えることができない．これを解決すべく，選択肢を一対比較
することによる NL モデルの構造を提案したのが Pair Combination Logit (PCL) モデル [24, 25]
である．しかし，一対比較は，選択肢数が多くなるとネストが増加し，類似度パラメータも増加
するという欠点があるため，実務においてはほとんど用いられることはない．
NL モデルでは表現できない複雑な相関関係を与えることができるモデルとして，Multinomial
Probit (MNP) モデル [26] や Mixed Logit (MXL) モデル [86] が考案されている．MNP モデルの
選択確率は次のように表わされる：
∫
Qhk
=
ϵˆ
h
f (ˆϵh )dˆϵh ,
∈Ξ
(2.8)
(
)
1
exp − ϵhT Ω−1 ϵh ,
2
(2.9)
Ξ := {ϵh s.t. Vkh + ϵhk > Vkh′ + ϵhk′ ∀k ′ ̸= k}.
(2.10)
f (ϵh ) :=
1
(2π)Nk /2 |Ω|1/2
ここで，f (ϵh ) は，ϵh の同時確率密度関数，ϵ は消費者 h の誤差項ベクトルであり，0 の平均，Ω
の分散・共分散を持つ多次元正規分布である．BP モデルでは，この分散・共分散行列が 2 × 2 で
構成され，対角成分以外は 0 となる．一方 MXL モデルにおける選択確率は，
)
( T )
∫ (
exp
α
x
k
∑
f (α)dα
Qhk =
T
k′ ∈K exp (α xk′ )
(2.11)
となる．ここで，α は効用関数パラメータ・ベクトル，xk はそのパラメータに対応する選択肢 k
の属性値ベクトルである．MNP，MXL 両方のモデルにいえることは，多重積分を内包し，選択
確率が閉形式3 で求まらないことである．そのため，パラメータ推定，利用時ともにモンテカルロ・
シミュレーションが必要となる．このようなシミュレーションを内包したモデルは，学者にとって
は利用しやすいため，多くの研究，拡張がなされている．
しかし，シミュレーションを内包したモデルは，実務家にとって必ずしも利用しやすいものと
はいえない．これは次の理由による：
1. 同じデータセットを用いても，乱数を利用したシミュレーションでは，パラメータ推定時に
パラメータが一意に定まらない，
2. 同様に，選択確率も一意に定まらない，
3
閉形式とは，方程式の解が初等関数として求まらないことをいう．ここでは，積分が右辺に残るため閉形式とはな
らない．より詳しい議論は，Chow (1999)[23] を参照のこと．
11
3. 解が解析的に求まらないため，余剰等の副次的な数値についても解析的には得ることが出来
ない．
また，相関構造がパラメタライズに求められるため，その選択構造自体を十分説明しているとは
いえないという批判もある．
これらの問題点を解決すべく開発されたモデルが，本研究で対象とする GNL モデル [130] であ
る．GNL モデルは NL モデルにおいて，アロケーション・パラメータというパラメータを新たに
導入することにより，複数のネストへの帰属を可能とし，複雑な相関関係が表現可能なモデルで
ある．次節において，GNL モデルの選択確率式の導出を行なう．
2.3
ランダム効用理論からの選択確率の導出
一般的な経済学においては，ある財の組み合わせをある連続的な量を選ぶという連続量を選択
することを想定している．しかし，離散選択モデルでは，ある離散的な選択肢集合から，一つの
選択肢を選ぶこととなる．
離散選択モデルは，その多くが，
（ランダム）効用最大化の仮定より，選択確率式が導出される．
代表的な離散選択モデルである Multinomial Logit (MNL) モデルを，実際に導出しよう．ある消
費者 h が選択可能な選択肢集合を K とし，その中に含まれている選択肢 k を選択することによ
り得られる効用を Ukh とすると，消費者 h が B の中から選択肢 k を選ぶ条件は，
Ukh > Ukh′ , ∀ k ′ ̸= k, k, k ′ ∈ K
(2.12)
となる．
ランダム効用理論 [78, 81, 76, 87] では，この効用 Ukh が次に示す理由で，観測者にとって確率
的であるとする：
1. 観察者は，消費者の効用を完全に把握できない，
2. 把握できるとしても，測定誤差が存在する．
ˆ h が次のように分解可能であるとしよう：
効用 U
k
Ukh = Vkh + ϵhk .
(2.13)
12
ここで，Vkh は観測者にとって観測可能な効用であり，確定的効用と呼ばれる．ϵhk は真の効用 Ukh
と観測可能な効用 Vkh との差であり，確率的効用と呼ばれる．注意すべきは，確率的効用 ϵhk が消
費者の選択状況に依存するのではなく，観測者の選択状況の描写に依存していると考えることで
ある．Luce (1959)[73], Tversky (1972b) [124] といった心理学的なモデルの多くは，この確率的
効用を消費者の選択状況に依存するものと考えている．この解釈の違いが，合理性（効用最大化）
との整合性を巡る議論の原因である．これを，心理学の用語を用いて説明するならば，ランダム
効用最大化に従がうモデルでは，客観的評価の定義にランダム性があるのに対し，心理学的なモ
デル（一定効用モデル）では，消費者の意思決定ルール自体にランダム性があるとしている．
さて，式 (2.12),(2.13) から各選択肢の選択確率を導出しよう．消費者 h が選択肢 k を選択する
確率 Qhk は，効用最大化より次のとおり表わすことができる：
Qhk = Prob(Ukh > Ukh′ ∀k ′ ̸= k)
= Prob(Vkh + ϵhk > Vkh′ + ϵhk′ )
= Prob(ϵhk′ − ϵhk < Vkh − Vkh′ ).
(2.14)
この確率は，ランダム項 ϵhk′ − ϵhk が，確定項 Vkh − Vkh′ を下回る確率の累積分布により表される．
同時密度関数 f (ϵh ) を用い，この累積確率は，次のように表わすことができる：
Qhk = Prob(ϵhk′ − ϵhk < Vkh − Vkh′ )
∫
=
1{Prob(ϵh′ −ϵh <V h −V h′ )} f (ϵh )dϵh ,
ϵh
k
k
k
(2.15)
k
ここで，1{} は {} 内の条件を満たすとき 1，それ以外は 0 を示す指示関数である．式 (2.15) は
ランダム項の確率密度関数 f (ϵh ) に関しての多重積分となっており，選択確率は，ランダム項に
依存していることが分かる．このランダム項の密度分布がある特定の密度関数に従がう場合のみ，
多重積分が陽に解け，閉形式で解が求まる．
2.3.1
MNL モデルの導出
ここでは，多くのモデルの基本となる，MNL モデルについてランダム効用最大化からの選択確
率の導出を行なう．ϵhk の確率密度関数を次のように，独立同分布のガンベル分布と特定しよう：
f (ϵhk ) := exp(−ϵhk ) exp(exp(−ϵhk )),
(2.16)
13
F (ϵhk ) := exp(exp(−ϵhk )),
(2.17)
ここで，F (ϵhk ) は累積確率密度関数である．選択肢の数を Nk とすると，同時累積確率密度関数
F (ϵh1 , ϵh2 , . . . , ϵhk , . . . , ϵhNk ) は， ϵhk が互いに独立であるため，
F (ϵh1 , ϵh2 , . . . , ϵhk . . . , ϵhNk ) = F (ϵh1 ) · F (ϵh2 ) . . . F (ϵhk ) . . . F (ϵhNk )
=
Nk
∏
F (ϵhk′ )
Nk
∏
=
k′ =1
(
exp(exp(−ϵhk′ ))
= exp −
k′ =1
Nk
∑
)
exp(−ϵhk′ )
k′ =1
(2.18)
となる．ここで，例えば ϵh1 で偏微分すると，
∂F (ϵh1 , ϵh2 , . . . , ϵhk . . . , ϵhNk )
∂ϵh1
=
∂F (ϵhk )
· (F (ϵh2 ) . . . F (ϵhk ) . . . F (ϵhNk ))
∂ϵh1
=
exp(−ϵh1 ) exp(− exp(−ϵh1 ))
Nk
∏
F (ϵhk′ )
k′ =2
=
Nk
∏
exp(−ϵh1 )
F (ϵhk′ )
k′ =1
(
= exp(−ϵh1 ) exp −
Nk
∑
)
exp(−ϵhk′ )
(2.19)
k′ =1
を得る．ここで，式 (2.19) を 1 → k とし，(2.15) に代入すると，
∫
Qhk
∞
=
−∞
∫
∞
=
−∞
F (ϵh1 , ϵh2 , . . . , ϵhk . . . , ϵhNk )dϵhk
(
exp(−ϵhk ) exp − exp(−ϵhk )
Nk
∑
)
exp(Vkh′ − Vkh ) dϵhk
(2.20)
k=1
を得る．ここで，
Θ :=
Nk
∑
exp(Vkh′ − Vkh )
(2.21)
k=1
とすると，
Qhk =
1
Θ
∫
∞
−∞
exp(−Θ exp(−ϵhk ))Θ exp(−ϵhk )dϵhk =
exp Vkh
Nk
∑
exp Vkh′
k′ =1
(2.22)
14
と Mulitinomial Logit (MNL) モデル [81] の選択確率式が導かれる．ここで，(2.22) に示した選
択確率式は，数学の確率公理：
ˆ h ≤ 1 ∀k ∈ K,
0≤Q
k
∑
Qhk′ = 1,
(2.23)
(2.24)
k′ ∈K
k, k ′ ∈ K and k ∩ k ′ = ∅ ⇒ Qhk∪k′ = Qhk + Qhk′
(2.25)
を明らかに満たす．ここで，K は Nk 個の単集合を持つ選択肢集合である．
2.3.2
GNL モデルの導出
本研究で対象とする Generalized Nested Logit (GNL) モデルの選択確率も，ランダム効用最大
化仮説から，MNL モデルと同様に導出することができる．ここでは，Ben-Akiva and Bierlaire
(1999) [13] に習い，効用関数を次のとおり仮定する：
h
Ujk
=Vkh + ϵhk ,
(2.26)
h
Vkh :=V˜jh + Vjk
+ Vˆkh + ln γkj ,
(2.27)
ϵhk + ϵhjk .
ϵhk :=ˆ
(2.28)
h は選択肢 k をネスト j で選択し
ここで，Vjh はネスト j を選択したことによる確定的効用，Vjk
たことによる確定的効用，Vˆkh は選択肢 k にのみ依存する確定的効用，そして Vkh はそれらの和
である．同様に，ϵˆhk は選択肢 k を選択したことのみによる確率的効用，ϵˆhjk は選択肢 k の残りの
確率的効用であり，
ˆ h がスケール・パラメータ µj のガンベル分布となるような分布，
• ϵˆhk は max U
jk
k∈Kj
• ϵhjk は独立同分布 (i.i.d) のガンベル分布，
• ϵˆhk と ϵhjk は ∀j, k に関して独立
と仮定する．ここで，Kj は j に属する選択肢集合である．最後に γkj は，後に意味を示すが，こ
こでは k ，j に依存するパラメータと捉えて構わない．
15
効用関数を MNL モデルと同様に捉え，ネスト j ，選択肢 k の同時選択確率 Qh(k,j) を導出す
ると，
exp Vkh
∑
exp Vkh′
Qh(k,j) =
(2.29)
(k′ ,j ′ )∈R
となる．ここで，R は，k × j の選択肢集合である．選択肢 k の選択確率 Qhk が
Qhk
=
Nj
∑
h
Pjh′ Pk|j
′
(2.30)
j ′ =1
と条件付き確率で表されるとする．そして，選択肢 k がネスト j に属することを，k ∈ Kj と標
記する．すると，式 (2.29), (2.30) より，
(
)
∑
h +V
ˆ h′ + ln γk′ j
exp V˜jh + Vjk
′
k
Pjh =
k′ ∈Kj
Nj
∑
∑
j ′ =1 k′ ∈Kj ′
(2.31)
(
)
exp V˜jh′ + Vjh′ k′ + Vˆkh′ + ln γk′ j ′
となる．ここで，Vjh は k とは独立であるため，
( ) ∑
(
)
h +V
ˆ h′ + ln γk′ j
exp V˜jh
exp Vjk
′
k
Pjh =
(
Nj
∑
j ′ =1
k′ ∈K
) ∑
(
exp V˜jh′
exp Vjh′ k′
k′ ∈K
(
)
exp V˜jh + Vj′h
)= ∑
(
)
Nj
h
ˆ
+ Vk′ + ln γk′ j ′
exp V˜jh′ + Vj′h
′
(2.32)
j ′ =1
を得る．ここで，
∑ (
Vj′ := µj ln
(
))1/µj
h
ˆh
γk′ j exp Vjk
.
′ + Vk ′
(2.33)
k′ ∈Kj
さらに，式 (2.29) と (2.32) を (2.30) に代入し，整理すると，
))1/µj
(
h +V
ˆh
γkj exp Vjk
k
=
(
))1/µj
∑ (
h +V
ˆ h′
γk′ j exp Vjk
′
k
(
h
Pk|j
(2.34)
k′ ∈Kj
を得る．
GNL モデルの選択確率式は，式 (2.30),(2.32),(2.34) となる．これ以外に，ランダム効用最大化
と整合的であるためには，類似度パラメータ µj が
0 < µj ≤ 1,
∀j
(2.35)
16
を満たす必要がある．同様に γkj はアロケーション・パラメータであり，
Nj
∑
γkj ≥0,
∀j, k,
(2.36)
γkj ′ =1,
∀k
(2.37)
j ′ =1
が必要となる．このパラメータの制約条件については後に 3 章で詳しく議論する．
2.4
Generalized Extreme Value Family からの選択確率の導出
離散選択モデルのうち解析的に選択確率を求めることができ，ランダム効用最大化と整合的な
モデルの族として，McFadden (1978) [82], McFadden (1980) [83] が Generalized Extreme Value
（GEV) Family を提唱している．この族に属しているモデルでは， GEV 母関数と呼ばれる選択
確率の特性関数がある条件を満たせば，ランダム効用最大化と整合的となる．
GEV 母関数，GEV Family とは，次のようなものである．
定義 2.4.1 (GEV 母関数) Ykh := exp Vkh としよう．すると，Yk は非負となる．次に，Yk ∀k の
関数，GEV 母関数 G を考え，G = G(Y1 , . . . , YNk ) と標記する．GEV 母関数の Yk による偏微分
を Gk と標記しよう，すなわち Gk = ∂G/∂Yk ．すると，G によりもたらされる選択確率 Qhk は次
のようになる：
Qhk =
Ykh Gk
G
(2.38)
定理 2.4.1 (GEV Family) GEV 母関数 G が次の条件を満たすとき，その母関数 G に対応する
選択確率 Qhk は，ランダム効用最大化と整合的である．
[条件 1 ] G(Y1h , . . . , YNhk ) ≥ 0．
[条件 2 ] G は n 次同次関数．いかなる実数 a に関しても G(aY1h , . . . , aYNhk ) = an G(Y1h , . . . , YNhk )
が成立．
[条件 3 ] 全ての k に関して Ykh → ∞ とすると，G → ∞.
[条件 4 ] G の相互偏導関数の符号が次のように変化する．全ての k に関して Gk ≥ 0, 全ての k ̸= l
に関して Gkl = ∂Gk /∂Yl ≤ 0, 全ての異なる k, l, m に関して Gklm = ∂Gkl /∂Ym ≥ 0，そして
より高次についても同様．
17
証明 2.4.1 McFadden (1978) [82], McFadden (1980) [83], Ben-Akiva and Francois (1983) [11]
2
もしくは，McFadden (1984) [85] をみよ．
2.4.1
MNL モデルの導出
離散選択モデルの基本となる MNL モデルも GEV Family に属している．次のような GEV 母
関数を考える：
G=
Nk
∑
Ykh′ .
(2.39)
k′ =1
式 (2.29) は，明らかに条件 1.– 4. を満たしている．
この母関数を式 (2.38) に代入し整理すると，選択確率 Qhk は
Qk =
Yh
Ykh Gk
exp Vkh
= N k
= N
G
∑k h
∑k
Yk ′
exp Vkh′
k′ =1
(2.40)
k′ =1
となり，式 (2.22) と同様の MNL モデルの選択確率が導出される．
2.4.2
GNL モデルの導出
MNL モデルと同様に，GNL モデルも GEV Family に属し，ランダム効用最大化と整合的であ
る．次のような GEV 母関数を考える：

µ ′
Nj
)1/µj ′ j
∑
∑ (

 .
G=
γk′ j ′ Ykh′
j ′ =1
(2.41)
k′ ∈Kj ′
式 (2.41) が，条件 1.–4. を満たしているか確かめよう．1. については，Ykh ≥ 0 より自明である．2.
については，1 次同次関数である．3. についても自明である．4. については，条件 (2.35)–(2.37)
のもとでは満たす．したがって，式 (2.41) より導かれる選択確率は，ランダム効用最大化と整合
的である．
この母関数を式 (2.38) に代入し整理すると，選択確率 Qhk は
Nj
∑
Qhk =
j ′ =1
[
(
)1/µj ′
γkj ′ exp Vkh
Nj
∑
j ′′ =1
(
(
∑ (
k′ ∈Kj ′′
∑ (
k′ ∈Kj ′
)1/µj ′
γk′ j ′ exp Vkh′
)
h 1/µj ′′
γkj ′′ exp Vk′
)µj ′′
)µj ′ −1 ]
18

(
∑ (
)
h 1/µj ′
)µj ′



γkj ′ exp Vk′
(
)1/µj ′
Nj 

∑
k′ ∈Kj ′
γkj ′ exp Vkh


(
)
=
 ∑ (
)
µ
′′ 
j
1/µ
′
N
j


)1/µj ′′
∑j
∑ (
γk′ j ′ exp Vkh′
j ′ =1 

γk′ j ′′ exp Vkh′
k′ ∈Kj ′
j ′′ =1
(2.42)
k′ ∈Kj ′′
となる．ここで式 (2.30) と同様に次のような条件付き確率を用いて Qhk が次のように表わせると
する：
Qhk =
Nj
∑
h
Pjh′ Pk|j
′.
(2.43)
j ′ =1
h は
すると，次のように Pjh ，Pk|j
(
)µj
)1/µj
∑ (
h
γk′ j exp Vk′
Pjh =
k′ ∈Kj
Nj
∑
(
j ′ =1
∑ (
k′ ∈Kj ′
)1/µj ′
γk′ j ′ exp Vkh′
)µj ′
)1/µj
γkj exp Vkh
= ∑ (
)1/µj
γk′ j exp Vkh′
(2.44)
(
h
Pk|j
(2.45)
k′ ∈Kj
となり，GNL モデルの選択確率式 (2.43)–(2.45) が導かれる．
2.4.3
GNL モデルの異なる定式化の等価性
直接ランダム効用最大化から導かれた選択式：(2.30),(2.32),(2.34) と，GEV Family から導出
された選択確率式 (2.43)–(2.45) は一見形が異なるようにみえる．しかし，この両者は等価である．
定義 2.4.2 (GNL モデルの選択確率式) 次のように，GNL モデルの選択確率を二つ定義する：
[LS-GNL]
ˆh =
Q
k
Nj
∑
h
Pˆjh′ Pˆk|j
′,
(2.46)
j ′ =1
(
)
exp V˜jh + Vj′h
Pˆjh = N
(
),
∑j
h
′h
˜
exp Vj ′ + Vj ′
(2.47)
j ′ =1
))1/µj
(
h +V
ˆh
γkj exp Vjk
k
=
(
(
))1/µj .
∑
h
h
ˆ
γk′ j exp Vjk′ + Vk′
(
h
Pˆk|j
k′ ∈Kj
(2.48)
19
[O-GNL]
Nj
∑
Qhk =
h
Pjh′ Pk|j
′,
(2.49)
j ′ =1
(
∑ (
k′ ∈Kj
Pjh =
(
Nj
∑
j ′ =1
)
h 1/µj
)µj
γk′ j exp Vk′
∑ (
k′ ∈Kj ′
γk′ j ′ exp Vk′
)1/µj ′
)µj ′ :=
Φ1
,
Φ2
(2.50)
(
h
Pk|j
)1/µj
γkj exp Vkh
Φ3
= ∑ (
)1/µj := Φ .
h
4
γk′ j exp Vk′
(2.51)
k′ ∈Kj
ˆ をつけていなかったが，ここでは，[O-GNL] と区別するため
[LS-GNL] については，Vˆk 以外は 確率，効用の各項につけるものとする．[LS-GNL] は一般的にログサム・ベースの定式化と呼ばれ，
[O-GNL] は通常の定式化もしくは選択ベースの定式化と呼ばれる．
命題 2.4.2 [LS-GNL] と [O-GNL] は等価である．
証明 2.4.2 基本的な導出の流れは，NL モデルにおける等価性を示している Train [122] と同様
である．式 (2.39) より，

(
∑ (
)
h 1/µj ′
)µj ′



γk′ j ′ exp Vk′
)
(
Nj 

h 1/µj ′
∑
k′ ∈Kj ′
′ exp V
γ
kj


k
(
)
Qhk =
 ∑ (
)
µj ′ 
1/µ
′
Nj
j


)1/µj ′
∑
∑ (
γk′ j ′ exp Vkh′
j ′ =1 

γk′ j ′ exp Vkh′
k′ ∈Kj ′
j ′ =1
k′ ∈Kj ′
である．ここで，式 (2.42) の Vkh に式 (2.17) を代入し整理すると，

(
(
))1/µj ′
Nj 
˜ h′ + V h′ + Vˆ h
′ exp V
γ
∑
kj
k
j
jk

Qhk =
 ∑ (
(
))1/µj ′

j ′ =1
γk′ j ′ exp V˜jh′ + Vjh′ k′ + Vˆkh′
k′ ∈Kj ′
(
·
(
))1/µj ′
∑ (
γk′ j ′ exp V˜jh′ + Vjh′ k′ + Vˆkh′
k′ ∈Kj ′
Nj
∑
(
j ′ =1
∑ (
k′ ∈Kj ′′
(
γk′ j ′′ exp V˜jh′′ + Vjh′′ k′

)µj ′



)µj ′′ 
))1/µj ′′


+ Vˆ h′
k

1/µ ′
Nj 
∑
γkj ′ j exp V˜jh′ /µj ′ exp Vjh′ k /µj ′ exp Vˆkh /µj ′

)
=
 ∑ ( 1/µ ′

′
γ j exp V˜ h /µ ′ exp V h /µ ′ exp Vˆ h /µ ′
j =1
k′ ∈Kj ′
k′ j ′
j′
j
k′ j ′
j
k′
j
(2.52)
20
(
·
∑ (
k′ ∈Kj ′
(
Nj
∑
j ′′ =1
1/µ ′
γk′ j ′ j
∑ (
k′ ∈Kj ′′
1/µ
γk′ j ′′j
)µj ′




)µj ′′ 
)


exp V˜jh′′ /µj ′′ exp Vjh′ k′ /µj ′′ exp Vˆkh′ /µj ′′
exp V˜jh′ /µj ′ exp Vjh′ k′ /µj ′ exp Vˆkh′ /µj ′
′′
)

1/µ ′
Nj 
∑
γkj ′ j exp V˜jh′ /µj ′ exp Vjh′ k /µj ′ exp Vˆkh /µj ′

(
)
=

 exp Vˆ h /µ ′ ∑ γ 1/µj ′ exp V h /µ ′ exp Vˆ h /µ ′
′
j′
j =1
j
(
exp V˜jh′
·
j ′′ =1
exp Vˆjh′′

=
Nj 
∑



′
j =1 
k′ ∈Kj ′
∑ ( 1/µj ′′
γk′ j ′′
k′ ∈Kj ′
=
k′ j ′
j
k′
j
)µj ′




)µj ′′ 
)


exp Vjh′ k′ /µj ′′ exp Vˆkh′ /µj ′′

(
(
))1/µj ′
(
)

γkj ′ exp Vjh′ k + Vˆkh
exp V˜jh′ + Vj′h
′


(
(
))
1/µj ′ Nj
(
)
∑
∑
h
h

ˆ
γk′ j ′ exp Vj ′ k′ + Vk′
exp V˜jh′′ + Vj′h
′′
′
k ∈Kj ′
Nj
∑
k′ j ′
)
∑ ( 1/µj ′
γk′ j ′ exp Vjh′ k′ /µj ′ exp Vˆkh′ /µj ′
(
Nj
∑
k′ ∈Kj ′
j ′′ =1
h
h
h
Pk|j
′ Pj ′ = Qk
(2.53)
j ′ =1
となり，両者は等価である．また，最後から 2 番目の等号の箇所では，式 (2.33) 及び
exp(x)bc = exp(x + c ln b)
(2.54)
という関係を用いている．
2.5
2
公理的アプローチ
2.2, 2.3 節の選択確率の導出は，ランダム効用最大化に消費者，観測者が従がうと仮定のもとで
の議論である．しかし，実際に観測者にとって観測可能なものは，消費者の効用 i.e. Vkh そのもの
ではなく，何の選択肢が選択されたか否かという顕示される選好のみである．選択結果，より一
般的な経済学の言葉でいうなら，需要から消費者の選好関係を導く手法を，顕示選好理論と呼ぶ．
確定的な状況における顕示選好理論は，Samuelson (1947) [110], Houthakker (1950) [53], Richter
(1966) [103] により確立され，ある顕示された結果が，効用最大化と整合的であるための必要十分
条件が導かれている．この確定的な状況における顕示選好理論については付録 2.A.2 に示す．
21
確率的な状況における顕示選好理論は，最初に Marschek (1960) [78] により提唱された．特に離
散的な選択をする際の強公理について McFadden and Richter (1971) [80]，McFadden (1980) [83]
，McFadden (2005) [89] が発展させている．弱公理については，Bandyopadhyay et al. (1999) [6]，
Bandyopadhyay et al. (2002) [7]，Bandyopadhyay et al. (2004) [8]，Dasgupta and Pattanaik
(2007) [29] が提唱，拡張している．確定的な場合における弱公理と強公理の関係と同様の明確な
関係性についての議論は発展途上である．
2.5.1
確率的選択系
定義 2.5.1 (準備：確率的選択系) 確率的選択系 （PCS) とはベクトル
(K , X , ξ, B, S , Q)
(2.55)
で定義される．ここで，K は選択肢を添え字付けする集合，X は観測された選択肢の属性ベクト
ルの母集団 (Universe), ξ : K → X なる観測された選択肢の属性を特定する写像，B は K より
得られる有限，非空の選択肢集合族であり，一般的には予算集合と呼ばれる．S は観測された選
択者の属性ベクトル母集団，そして Q : K × B × S → [0, 1] は選択確率である．添字集合 I は分
析者により課されたものであり，実際の選択行動とは無関係である．選択に影響を与えるいかな
る自然もしくは本質的な属性の添え字は，観測された属性ベクトル x ∈ X に含まれる．観測され
た属性の母集団 X は，ここでは抽象集合である．選択が，選択肢集合 B ∈ B のもとで s ∈ S の
性質を持つ選択者によりなされるとすると，k ∈ K を選択する確率として，選択確率 Q(k|B , s)
∑
は特定される．ここで，Q(C |B , s) = k∈C Q(k|B , s) という標記を用いる．選択確率は次の 2
つの条件を満たす：
PCS 1 選択確率は非負であり，合計が 1 となる：Q(B |B , s) = 1，
PCS 2 選択確率は観測された選択肢の属性と個々人の性質にのみ依存する．もし，B = {1, . . . , k,
. . . , Nk }，B ′ = {1, . . . , k′ , . . . , Nk } が ∀k, k ′ において xm = ξ(k)|B = ξ(k ′ )|B ′ ならば，
Q(k|B , s) = Q(k|B ′ , s)
ここで，m は m 番目属性を表わす．
22
2.5.2
ランダム効用最大化仮説
定義 2.5.2 (ランダム効用最大化仮説) ランダム効用最大化 (RUM) 仮説は，ベクトル
(K , X , ξ, S , σ)
(2.56)
により定義される．ここで，(K , X , ξ, S ) は PCS の定義と同様であり，σ は，K 上の効用関数空
間において，s ∈ S に依存する確率測度である．σ は，特性 s ∈ S を持つ個人の母集団において，
その分布を与える．
QB を確率 Q を B ∈ B に対応付ける制約とする．すると，次の仮定が σ に課される：
RUM 1 もし，B = {1, . . . , k, . . . , Nk }，B ′ = {1, . . . , k ′ , . . . , Nk } が ∀k, k ′ において xm =
ξ(k)|B = ξ(k ′ )|B ′ であるならば，σB = σB ′
RUM 2 選択肢属性が集計（合算）されることによる確率の増分は 0：σ({U ∈ RK |U (k) =
U (k ′ )}, s) = 0．
ここで，U は効用関数，U は個別選択肢の効用である．
次の仮定は，選択が効用最大化により決定されることを述べている：
RUM 3 各々の RUM (K , X , ξ, S , σ) と選択肢集合族 B ∈ B は次の写像により，B ∈ B, s ∈
S , k ∈ K に関して，PCS (K , X , ξ, B, S , Q) を生み出す：
Q(k|B , s) = σ({U ∈ RK |U (k) ≥ U (k ′ ) ∀ k, k ′ ∈ K}, s)
(2.57)
RUM 2 はほとんど確かに，一意に効用最大となる選択肢があることを保証している．すな
わち，式 (2.57) は矛盾なく定まり，Q(B |B , s) = 1 となる．
予算集合 B ∈ B への σ の制約が，確率密度関数 f B として表わされるなら，任意の可測集合
M ∈ RNk に対し，
∫
σB (M , s) =
M
f B (U1 , . . . , UNk ; s)dU1 . . . dUNk
と書き表わされるため，選択確率も，例えば選択肢 1 の場合，
∫
∞
∫
U1
Q(1|B , s) =
U1 =−∞
U2 =−∞
∫
···
U1
UNk =−∞
FB (U1 , . . . , UNk ; s)dU1 . . . dUNk
(2.58)
23
∫
∞
=
U =−∞
∂F B
(U, . . . , U ; s)dU
∂U1
(2.59)
となる．ここで，F B は f B は，予算集合 B のもとでの累積確率密度関数である．さらに，
GB ,1 (w2 , . . . , wNk ; s) を (w2 , . . . , wNk ) = (U2 − U1 , . . . , UNk − U1 ) の累積確率密度関数とする．
すると，選択確率は，
Q(1|B , s) = GB ,1 (0, . . . , 0; s)
(2.60)
を満たす．
RUM と整合的な実現可能な PCS を探すという問題は，
1. 式 (2.59) を用い，確率のパラメータ付き族 σ から構成的に選択確率を導く，もしくは
2. ある PCS の候補が，構成的に，間接的にある確率 σ と整合的である
ことを示すことによりなされる．
2.5.3
確率的顕示選好の強公理
公理 2.5.1 (B , C ) を B ∈ B ，C ⊆ B なる集合のペアとしよう．消費者が B より選択肢を選択
する状況で，C より選択したとすると，試行 (B , C ) は成功であるという．ここで，確率的顕示選
好の強公理を満たすとは，有限かつ繰返しを許容した試行の列 (B 1 , C 1 ), . . . , (B Nt , C Nt ) が次の
条件を満たすことである：
Nt
∑
′
′
P (C t |B t , s) ≤ #((B 1 , C 1 ), . . . , (B T , C T )).
(2.61)
t′ =1
ここで，#((B 1 , C 1 ), . . . , (B Nt , C Nt )) はある一つの選好に基づく順序と整合的な列における成功
となる試行の最大値であり，t は試行を表わす添え字，Nt は試行回数である．
2.5.4
選好の集計
PCS が RUM と整合的であることを調べる方法として，整合的であるための十分条件に適合す
るかを調べればよい．その一つが，集計化された選好を調べるというものである．端的にいうな
らば，この PCS から計算される社会的余剰と，RUM からもたらされる 社会的需要関数により
24
計算される社会的余剰が一致すればよい．これが Williams-Daly-Zachary 定理である．Williams-
Daly-Zachary 定理は GEV Family の一般化とも解釈できる．この定理は Williams (1977) [132]，
Daly and Zachary (1979) [27] が独立に導いている．
PCS と RUM の整合性を説明する有用の方法の一つは，整合性のための十分条件に互換性があ
るかを確かめることである．著者が知る限り，RUM にとって代わる一般的な代替可能な理論は存
在しない．制約があるものの有用な方法の一つとして，集計された需要を持つ社会的間接効用関
数に，個人の選好がある十分な構造を持ち集計されることにより得られる．この場合，経済学の
古典的代表的消費者は，断片的消費割合を持ち，社会的効用関数を持つ．この方法を解析的かつ
手短に示すために，離散的選択をする（潜在的）効用最大化集団と整合的であるかを示す．
個人の消費は，可分の量ベクトル z と属性ベクトル w を持つ離散的選択肢 k により定義され
˜ : Z ×W
˜ × K −→ [0, 1] を持つ．ここで，Z
˜ × W はベクトルの
るとしよう．個人は，効用関数 U
ペア (z , w) で構成される空間である．効用関数は次に示す直接効用関数の仮定を満たすという．
定義 2.5.3 (DU) Z は有限の実ベクトル空間における非負象限であり，W は実ベクトル空間に
˜ は Z × W 上で k ∈ K に関して連続である．また，
おける閉集合である．このとき，効用関数 U
˜ /∂ z ≥ 0 かつ |∂ 2 U
˜ /∂ z 2 | > 0 である．最後に，効用
効用関数は Z 上で二回微分可能であり，∂ U
関数は w ∈ W 及び k ∈ K に関して狭義準凹であるとする．
個人は収入 p を持ち，可分財に対し価格ベクトル r > 0 を持ち，離散的選択肢に対し，q の対価を払う
としよう．属性 w を持つある特定の選択肢 k を仮定したとき，個人は予算制約 r · x +q = p を満足す
˜ I (p−q, r, w, k; U
˜)
るように効用最大化するように z を選択する．この結果，条件付き間接効用関数 U
は p − q < 0，r > 0，w ∈ W ，k ∈ K で定義され，
˜ I (p − q, r, w, k; U
˜ ) = max{U (z , w, k)|r · z ≤ p − q} U
z
(2.62)
で定義される．この間接効用関数は，次の特性を満たす．
˜ が直接効用関数の定義 [DU] を持たすとき，U
˜I
IU1 r > 0，p − q > 0，w ∈ W k ∈ K かつ U
˜ ) に関して連続であり，(p − q, r) に関して二回連続微分可能であり，0 次
は (p − q, r , w; U
˜ /∂(p − q) > 0 となる．
同次であるとする．そして，r に関して狭義準凸であり，∂ U
˜ (z , w, k) の最大化は，ある特異ベク
IU2 (ロワの恒等式) 制約条件 r · z ≤ p − q のもとで効用 U
25
˜ ) によりなされ，次の条件を満たす：
トル z = z ∗ (p − q, r , w, k; U
∗
z (p − q, r , w, k) =
˜I
∂U
∂r
˜I
∂U
∂p
.
(2.63)
˜ の単調変換：
r > 0 かつ p − q > 0 がコンパクト集合であるとき，U
˜ = (eβU − 1)/(eβ − 1)
U
(2.64)
˜ は r に関して凸となる．すなわち，ほと
が存在する．ここで β が十分大きいとき，対応する U
˜ は一般性を損なうことなく r に関して凸となる．
んど全ての U
有限の離散選択肢集合 B ∈ B に直面している消費者を考えよう．選択肢 k ∈ B は観測された
属性 xk = (qk , r , wk ) = ξ(k) により関連付けされる．収入 p は消費者の属性ベクトル s の要素と
なる．すなわち，条件なしの間接効用関数は，
˜ I (p − qk , r, wk , B ; U
˜)
˜ I∗ (p − q , r, wB , B ; U
˜ ) = max U
U
B
k∈B
(2.65)
となる．ここで，p − q B は p − qk を要素として持つベクトル，wB は wk を要素として持つベク
トルである．離散的選択肢への需要は，ロワの恒等式より，


˜ I∗

∂U
1 if k ∈ B and νk ≥ νk′ for k ′ ∈ B ,
∂q
k
˜
δk = D(k|B , s; U ) := − ˜ I∗ =
∂U


0 otherwise
∂p
(2.66)
˜ I (p − q k , r, wk ; U
˜ ) である．ある集団（ポピュレーション）の選択確率
を得る．ここで，νk := U
（割合）は，
˜)
Q(k|B, s) = EU |s D(k|B, s; U
˜ ∈ RNk |U
˜ I (p − qk , r, wk , k; U
˜) ≥ U
˜ I (p − qk′ , r, wk′ , k ′ ; U
˜ ) for k ′ ∈ B }, s)
= σ({U
(2.67)
となる．
さて，PCS を導く離散選択の消費割合を持つ社会的効用関数が定義できるような選好の十分条
件を探そう．まず，この消費割合を持つ効用関数を定義しよう．その前に，∆ := {δ ∈ RNk |δk ≥
∑
0 and
k δk = 1} 及び ∆B = {δ ∈ ∆|δk = 0 for k ̸∈ B } を B ∈ B を定義する．ここで，次のよ
26
¯ : Z˜ × ∆ × S → [0, 1]. r > 0，B ∈ B ，p − q B > 0，wB ∈ W
うな社会的効用関数を考えよう：U
において
I
U (p − qB , r, wB , B , s) = max{U (z , δ , s|z ∈ Z , δ ∈ ∆B , r · z + q B · δ B ≤ p}
z ,δ
ここで，U は社会的効用関数，U
I
(2.68)
は社会的間接効用関数がロワの恒等式：
I
Q(k|B , s) = −
∂U
∂qk
(2.69)
I
∂U
∂p
を満たすとき，社会的間接効用関数である．
個々人の条件付間接効用関数が次の形をとるものとしよう：
U I (p − q, r, w, k) =
˜)
p − q − κ(r, w, k; U
.
ω(r)
(2.70)
ここで，p > q + κ であり， κ，ω は一次同次の凹関数であり r に関して非減少関数である．(p − q)
˜ に関して独立な項と p に関して独立な項への加法分離性をもたら
に関する線形性は，U I∗ の U
す．同様に，間接効用関数 U
I
が，
I
˜)
U (p − q B , r, wB , B , s) =EU |s max U I (p − qk , r, wk , k; U
k∈B
1
:=
ω(r)
{
}
˜
p + EU |s max[−qk − κ(r, wk , k; U )] .
k∈B
(2.71)
と表わされるとしよう．ここで [−qk − κ(q B , r )] という項は，(q B , r ) に関して凸である．凸関数
の最大値は凸であり，凸関数の非負の線形結合は凸であることから，
˜ )]
G(q B , r, wB , B , s) := EU |s max[−qk − κ(r, wk , k; U
(2.72)
k∈B
は (q B , r) に関して凹である．すると，U
I
= (p + G(q B , r, wB , B , s)/ω(r) は，a ≥ 0 に関して
凸の支出関数 p = aω(r ) − G(q B , r, wB , B , s) の逆元であり，すなわち間接効用関数である．式
(2.66) をこの選好構造に適用すると，
U(k|B , s) := −
∂
˜ )]
max[−qk − κ(r, wk , k; U
∂qk k∈B
(2.73)
を得る．さらに，式 (2.67) より，
I
˜ ) = − ∂G(q B , r, wB , B , s) = − ∂U /∂qk
Q(k|B , s) = EU |s U(k|B , s; U
I
∂qk
∂U /∂p
(2.74)
27
となり，U
I
は PCS を導く社会的間接効用関数となる．
この結論が保たれるとき，需要の分布は「個々人は離散的選択に関してある選択割合を持ち，社
会的間接効用関数 U
I
を持つ同じ趣向の集団によってもたらされる」という形で分析される．効
˜ の分
用関数の構造 (2.70) は，選択確率の収入からの独立をもたらす．しかし，趣向（効用関数 U
布）は個人特性に依存しており，収入と相関がある．すなわち，これらの変数は PCS に組み込ま
れている．
2.5.5
Williams-Daly-Zachary 定理
式 (2.70) の選好構造から導かれる結論は，結果としてもたらされる選択確率は式 (2.72)–(2.74)
を満たす消費者余剰関数のグラディエントよりもたらされ，式 (2.72)–(2.74) が保たれることによ
り，M に関して必要条件と十分条件を与え，補強される．つまり，これらの条件は，RUM と整
合的な PCS の導出について判定基準をもたらす．
RUM を満たす選好構造として代表的な加法分離的な形：式 (2.70) を考えよう．B ∈ B のもと
˜ ，要素 ϵk = −α(r, wk , k) なる要素を持つランダム・ベクト
で F (ϵB , r , wB , B , s) を効用関数 U
ル ϵB の集合上の確率測度によりもたらされる累積確率密度関数とする．ここで，F が確率密度
f (ϵB , r, wB , B , s) により特徴づけされるとすると，このランダムな選好構造は加法的予算ランダ
ム効用最大化，AIRUM であるといえる．
関数 M (q B , r, wB , B , s) は次の特性を満たす時，社会的余剰となる：
˜ ，r > 0，wB ∈ W Nk の実数値関数
SS1 B = {1, . . . , m} ∈ B において，M は q B ∈ Rm ，r ∈ X
である．
SS2 M は (q B , r) に関して，非負の線形同次凹関数である．
SS3 M は，次に示す加法性をもつ：
M (q B + ar, wB , s) = G(q B , r, wB , s) − a
(2.75)
ここで，a は任意の実数値であり，q B + a は qk + a を要素としてもつベクトルである．
SS4 M の q B に関する混合偏導関数は全て存在し，負であり，偏微分の次数と独立で，次の条件
28
を満たす：
∫
G(q B , r, wB , s) − G(0B , r, wB , s) =
1
d/dtG(ζ(t), r, wB , s)dt.
(2.76)
0
ここで，ζ は ζ(0) = 0B と ζ(1) = q B の間の任意の（積分）経路である．
SS5
lim Mk (q B , r, wB , s) = −1 ∀ k ∈ B .
qk →−∞
SS6 B (1, . . . , Nk ), B ′ (1, . . . , Nk , . . . , Nk′ ) ∈ B が k = 1, . . . , Nk に関して (qk , wk ) = (qk′ , wk′ ) を
満たすとき，M (q B , r, wB , B , s) = M ((q ′B , ∞, . . . , ∞), r, wB , B ′ , s)．
Q(k|B , s) = πk (q B , r, wB , B , s) で選択確率が与えられる PCS を考えよう．このシステムは次
の条件を満たすとき，線形変換不変システム：TPCS であるという．
˜ の関数として定
TPCS1 πk は，r ∈> 0，w ∈ W m ，s ∈ S 上に，k ∈ B ∈ B ，q B ∈ Rm ，r ∈ X
義される．
TPCS2 pik は (q B , r) に関して 0 次同次である．
TPCS3 任意の実数値 a に関して，πk (q B + a, r, wB , B , s) = πk (q B , r, wB , B , s) が成立．
TPCS4
lim πk (q B , r, wB , B , s) = 1．
qk →−∞
TPCS5 πk の q B の要素である qk の交互偏微分は，非負であり，偏微分の次数と独立であり，
次を満たす：
∫
π1 =
q2
−∞
∫
···
qm
−∞
π1,2,...,m (q1 , qˆ2 , · · · , qˆm , r, wB , B , s)dˆ
q2 , . . . , qˆm ,
(2.77)
そして，π2 , . . . , πNk も同様．
TPCS6
∂πk
∂qk′
=
∂πk′
∂qk ．
TPCS7 B (1, . . . , Nk ), B ′ (1, . . . , Nk , . . . , Nk′ ) ∈ B が k = 1, . . . , Nk に関して (qk , wk ) = (qk′ , wk′ )
を満たすとき，πk (q B , r, wB , B , s) = πk ((q ′B , ∞, . . . , ∞), r , wB , B , s)．
次の定理は，AIRUM と SS と TPCS を結びつける．
定理 2.5.1 B = 1, . . . , Nk ∈ B を考えよう．
29
1. u(k) = (p−qk +ϵk )/ω(r) という形の間接効用関数に AIRUN が成立すると仮定する．ここで，
ϵB は，ある集団内で，累積確率密度関数 F (ϵB , r , wB , B , s)，確率密度関数 f (ϵB , r , wB , B , s)
で分布している．
∫
∞
G(q B , r, wB , B , s) =
[F (0B + r, r, wB , B , s) − F (q B + r, r, wB , B , s)]dt
t=−∞
(2.78)
を定義する．すると，G は存在し，社会的余剰関数は SS を満たす．さらに，
I
U (y − q B , r, wB , B , s) = (y + G(y − q B , r, wB , B , s))/ω(r)
(2.79)
は，社会的間接効用関数である．すると，AIRUM による PCS は，
Q(k|B , s) = πk (q B , r, wB , B , s) − Gk (q B , r, wB , B , s)
(2.80)
を満たし，TPCS を満たす．
2. G(q B , r, wB , B , s) を SS を満たす社会的余剰関数としよう．すると，式 (2.80) は，TPCS
を満たす PCS を定義する．さらに，G が式 (2.78)，(2.79) を満たす AIRUM が存在する．
3. Q(k|B , s) = πk (q B , r, wB , B , s) を TPCS を満たす PCS と仮定する．すると，AIRUM 並
びに SS 及び式 (2.78)–(2.80) を満たす社会的余剰関数が存在する．
証明 2.5.1 McFadden (1981)[84] 5.23 節を見よ．
補題 2.5.2 AIRUM が成立している場合，累積確率密度関数 F (ϵB , r, wB , B , s) は一次モーメン
トが存在し，式 (2.78) で定義される G は，
∫
G(q B , r, wB , B , s) =
∞
−∞
{
}
max(ϵk − qk ) − max ϵk f (ϵB )dϵB
k∈B
(2.81)
となる．
証明 2.5.2 McFadden (1981)[84] 5.23 節を見よ．
社会的余剰関数の定義 (2.81) は，いかなるその価値を q B = 0B のとき 0 と一般化している．そ
のため，社会的間接効用関数は価格に関しない属性が変化した場合に厚生の比較ができない．こ
のような場合にために，次の補題が必要となる：
30
補題 2.5.3 AIRUM が成立するとしよう．累積確率密度関数 F (ϵB , r, wB , B , s) に一次モーメン
トが存在する場合，
∫
G(q B , r, wB , B , s) =
∞
max(ϵk − qk )f (ϵB )dϵB
−∞ k∈B
(2.82)
は，SS を満たす社会的余剰関数であり，式 (2.79) に代入することにより，社会的間接効用関数が
導かれ，非価格属性の変化を比較可能とする．
証明 2.5.3 McFadden (1981)[84] 5.23 節を見よ．
2.5.6
公理的アプローチのまとめ
確率選択系から，Williams-Daly-Zachary 定理にかけてのインプリケーションをまとめると次
の 3 点となる [17]：
CC1 Qhk > 0 ∀ k, h，
∑Nk
h
k′ =1 Qk′
= 1，Qhk (V ) = Qhk (V + r), ∀ h, r ∈ R, where V :=
(V1 , . . . , Vk , . . . , VNk ),
CC2
∂Qh
k
∂Vk′
=
∂Qh
k′
∂Vk ,
CC3 Qhk の V の k ではない要素に対する n 次交差偏微分項が，n が偶数の場合非負，奇数の場
合非正．
これらの条件のもとで，確率的効用項に一般化極値分布を仮定すると，GEV Family の条件が導
かれる．
2.6
離散選択モデルと集計
「集計する (Aggregate)」とは，選択肢やネストというモデル自体の離散量を束ねる場合と，モ
デルの推定で用いるデータもしくはモデルの推定された結果を束ねる場合とが存在する．
前者は，例えば選択肢コーラ 500ml と，コーラ 1, 500ml とを一つの選択肢コーラとするという
ような場合を指す．この場合，離散選択モデルでは，選択肢により異なる効用が，ある合成され
た選択肢の効用に置き換わることとなる．このような場合に，選択確率は集計の前後で等しくな
31
ければ整合的ではない．本研究で対象とする GNL モデルにおいても同様であり，7 章でこの整合
的な集計ルールを示す．
後者は，選択結果が，個々人の δk 0h = 0, 1 で表わされるのではなく，ある集団の 0–1 の値をと
h
る「割合 QA
k 」で表わされるような場合である．ここで，δ は消費者 h が選択肢 k を選択した結
果であり，選択された場合 1，選択されない場合は 0 を示す．また，QA
k は，その消費者が属する
集団の選択肢 k の選択割合を示し，上添え字 A は，集計化されたことを示す．
当然，集計化された場合とされない場合では，両者選択結果の値は一致しないため，そこから
推定されるモデルのパラメータも異なることとなる．ただし，集計された割合を用いる場合には，
個々人の場合と比較し，サンプル数が少なくなるという利点はある．この不一致を解消するため
に，平均的な個人を仮定する，統計的な性質の利用，様々なサンプリング等の手法が考えられて
いる (Ben-Akiva and Lerman, 1985 [12])．しかし，どの手法も短所があり，また完全な解消はで
きない．
2.7
GNL モデルの特性
本節では，GNL モデルの特性について，既存の離散選択モデルとの比較を行ないながら示す．
2.7.1
GNL モデルと他の GEV モデルとの対応
GNL モデルは，パラメータを特定することで，多くの GEV モデルを内包する [130]．ここで
はその対応付けを示そう．
MNL モデルとの対応
MNL モデルとの対応付けをする方法は二つある．これは，GNL モデルのネスト・レベルを
MNL モデルの選択肢レベルとして対応付けするのか，互いに選択肢レベルを対応付けするのかと
いうことである．
32
ネストレベルでの対応 (2.49)–(2.51) において µj → 1, γkj → 1, γkj ′ → 0∀j ′ ̸= j とする：

(
∑ (
)
h 1/µj ′

)µj ′


γk′ j ′ exp Vk′
(
)
Nj 

h 1/µj ′
∑
k′ ∈Kj ′
′ exp V
γ
kj


k
(
)µj ′′ · ∑ (
Qhk =


)
1/µ
′
N
j 
 j
)1/µj ′′
∑ (
γk′ j ′ exp Vkh′
j ′ =1  ∑

h
γk′ j ′′ exp Vk′
k′ ∈Kj ′
j ′′ =1
k′ ∈Kj ′′
exp Vˆkh′
= ∑
exp Vˆkh′
(2.83)
k∈Kj
となり，k を選択する MNL モデルに帰着する．
選択肢レベルでの対応 (2.49)–(2.51) において µj → 0 とする：
(
Qhk =
∑ (
k′ ∈Kj
Nj
∑
(
j ′ =1
)1/µj
γk′ j exp Vkh′
∑ (
k′ ∈Kj ′
)µj
)1/µj ′
γk′ j ′ exp Vkh′
)µj ′ =
exp Vj′h
Nj
∑
j ′ =1
(2.84)
exp Vj′h
′
となり，j を選択する MNL モデルに帰着する．
NL モデルとの対応
NL モデルは，GNL モデルにおいて，γkj ̸= 0 のうち，任意のものを γkj = 1 とし，その他を
γkj = 0 としたものである．つまり，選択肢とネストの帰属関係を，多対多だったものを，1 対多
にしたものである．
PCL モデルとの対応
PCL モデルは，GNL モデルにおいて，Kj → {kk′ } 及び γkj →
2
Nk (Nk −1)
とすればよい．ここ
で，{kk′ } は，選択肢 k の一対比較のペア集合である．二番目の条件は，重み付けをなくすとい
う意味である．
CNL モデルとの対応
CNL モデルは，単に GNL モデルの類似度パラメータを全て一定：µj ∀j ∈ Kj ⇒ µ とすれば
よい．
33
2.7.2
GNL モデルの価格弾力性
選択肢間の複雑な相関関係を表現できるとは，別の表現を用いるならば複雑な代替関係を表現
できるということである．ここでは，価格に関して線形の（確定的）効用関数を仮定する：
Vkh = α1 X1k + V hk
(2.85)
ここで，X1k は選択肢 k の価格，α1 はそのパラメータであり，通常負である．また，V hk は残り
の確定的効用である．すると，価格弾力性 E(k)，交差弾力性 E(k, k ′ ) は次のように定義できる：
E（k) =
X1k ∂Qhk
,
Qhk ∂X1k
(2.86)
E(k, k ′ ) =
X1k ∂Q′h
k
.
Qhk′ ∂X1k
(2.87)
GNL モデルを始め，解析的に弾力性を求めることができる GEV Family の各モデルの弾力性
h は k ，k ′ で構成されるネストの選択確率を表
について表 2.1 に示す．ここで，PCL モデルの Pkk
′
わし，µkk′ も同様である．表 2.1 より，弾力性，交差弾力性ともに NL モデルでは同じネストに
他の選択肢が所属しているか否かで決定される．しかし，GNL モデルでは複数のネストに所属す
るため，ネストの数，その所属確率，類似度パラメータにより，多様な弾力性，交差弾力性が表
現できることが分かる．また，NL モデル，PCL モデルを内包していることが直感的に理解する
ことができるだろう．
GNL
PCL
NL
MNL
Model
−Qhk α1 X1k
(1 − Qhk )α1 X1k
1
µj
)
]
h ) α X
(1 − Pk|j
1 1k
Qh +
k
µkk′
Qh
k′
 α1 X1k
«

h Ph
h
−1 Pkk
′ k|kk′ Pk′ |kk′
 α1 X1k
Qh
k
j′
»
«
–
„
PNj
1
hPh
h )+
h )
P
(1−Q
(1−P
′
′
′
′
k
µ
k|j
j =1 j k|j
α1 X1k
k が 1 以上のネストに所属する場合
Qh +
k
j
j ′ =1
h Ph
−1 Pjh′ Pk|j
′ k′ |j ′
Qh
k′
 α1 X1k
k と k ′ が 1 つ以上の共通のネストに所属する場合
„
«


PN
1
µj ′
−Qhk α1 X1k
α1 X1k
1
Qh
k′
(1 − Qhk )α1 X1k
kk′
„
1
µj
k と k ′ が別のネストに所属する場合
Qh
k

Qh +
k
k のみで構成されるネストに所属する場合
k′ ̸=k
(
»
„
«
–
1
h Ph
h
h
Pkk
−1 (1−Pk|kk
′ k|kk′ (1−Qk )+ µ
′)
(1 − Qhk ) +
P
[
k と k ′ が同じネストに所属する場合
«
„


h Ph
−1 Pjh Pk|j
k′ |j
k と k ′ が別のネストに所属する場合
k のみで構成されるネストに所属する場合
k の所属するネストに k 以外も所属する場合
−Qhk α1 X1k
Cross-elasticity
(1 − Qhk )α1 X1k
Direct elasticity
表 2.1: GEV Family の各モデルにおける価格弾力性，交差弾力性
34
35
2.7.3
GNL モデルにおける擬似相関係数
GNL モデルに関して，選択確率の擬似相関係数に関するものが多く行なわれている [97, 1, 75]．
これらのうち，Papola (2004) [97] では，擬似的な相関係数を解析的に求めている：
v
uN
j
u∑
u
1/2 1/2
ρkk′ ≈ t
γkj ′ γk′ j ′ (1 − µ2j ) ∀k, k ′ ∈ K.
(2.88)
j ′ =1
ここから NL モデルの擬似相関係数 [15] を逆算すると，
ρkk′ ≈

√


 (1 − µ2j ) k, k ′ ∈ Kj


0
(2.89)
otherwise
を得る．
式 (2.88) と (2.89) を比較することにより，GNL モデルが NL モデルに比べ多様な相関構造が
表現可能であることが分かる．これは，複数のネストへの帰属を可能にしたアロケーション・パ
ラメータの導入によるものである．また，式 (2.88) より，GNL モデルにおいて表現可能な相関
係数の範囲は，0 ≤ ρkk′ ≤ 1 となり，負の相関は表現不可能であることが分かる．
2.A
2.A.1
2 章の付録：関連する公理
Luce の選択公理
Luce の選択公理は，Luce (1959) [73] で提示された，個々人が確率的な選択を行なう際の公理
である．特に公理を心理学や経済学に限定している [74] ものではなく，心理学，経済学，学習理
論へと適用している．
公理 2.A.1 (Luce の選択公理) B を B の有限な部分集合であり，全ての M ⊂ B について選択
h が定義されるとする．次の 2 つの条件を満たすとき，その意思決定ルールは Luce の選
確率 PM
択公理に従がうという：
h
′
h
h
1. もし Pk|{k,k
= PNh |M PM|
′ } ̸= 0, 1 ∀ k, k ∈ B ならば，N ⊂ M ⊂ B において，P
N |B
B，
h
h
h
= PM\k|
2. 任意の k, k ′ ∈ B において Pk|{k,k
′ } = 0 ならば，P
M|B
B \k ．
36
この二つの公理のうち，1. より Independence from irelevant alternatives (I.I.A) 特性が導か
れる：明らかに，NL，PCL，MNP，MXL，GNL の各モデルは式 (2.3) を犯している．つまり，
Luce の選択公理に反している．実際，Luce の選択公理に従がうモデルは，紹介したもののうち，
BP，MNL モデルだけである [81]．
I.I.A 特性に類似した性質として，Regularity が挙げられる4 ．Regularity を満たすとは，次の
条件を満たすことである [77]．
定義 2.A.1 (Regularity) もし，N ⊆ M ⊆ B ならば，
QhN |M ≥ QhN |B
(2.90)
となる．
Luce (1959) [73] は，経済学に適用する際に，期待効用理論 [111] に公理を当てはめ，期待効用
最大化と矛盾しないことを示している．つまり，I.I.A は，期待効用最大化の公理の一つである，
独立性の公理の確率的選択時の表現と捉えられる．しかし，RUM 理論は効用に関しては確定的
に扱っている5 ため，期待効用理論の公理を満たす必要はない．
2.A.2
確定的な場合における顕示選好公理
確率的な場合における顕示選好公理と比較し，確定的な場合は，
「合理的」であることと選好関
係との間の関係は容易に定めることができる．ここでは，なるべく確率的な場合と比較するのが
容易なように，
定義 2.A.2 (確定的な選択における選択構造) 選択構造は，(K , X , ξ, B, C) で与えられる．ここ
で，K は選択肢を添え字付けする集合，X は観測された選択肢の属性ベクトルの母集団 (Universe),
ξ : K → X なる観測された選択肢の属性を特定する写像，B は K より得られる有限，非空の
選択肢集合族であり，一般的には予算集合と呼ばれる．C は選択ルールであり，任意の予算制約
B ⊂ B のもとで非空の選択集合 C(B ) ⊂ B を対応づける．ただし，C(B ) は単集合である必要は
ない．
4
5
ただし，I.I.A とは独立に導かれる
当然組み込むことはできる．その一例が de Palma et al. (2007)[33] である．
37
個々人の選択行動をモデリングするのに選択構造を用いるとき，個々人の行動を規定するある
種の制約を用いる．これが，顕示選好の弱公理 [110, 94] (Weak axiom of revealed preference) で
ある．
公理 2.A.2 (顕示選好の弱公理) 選択構造 (K , X , ξ, B, C) が与えられ，これが顕示選好の弱公理
を満たすとは，任意の B ∈ B, B, B ′ ∈ B において，B ∈ C(B ) であるなら，いかなる B, B ′ ∈
B ′ , B ′ ∈ C(B ′ ) なる B ′ ∈ B においても，B ∈ C(B ′ ) が成立する．
上記の顕示選好の弱公理は，選好関係について直接定義したものではない．あくまで，ある選
択された状況（顕示された状況）から導かれる選好が合理的であるかということを述べている．
この選好関係について，それ自体を直接定義する方法も存在する．
公理 2.A.3 (選好関係) 選好関係 ≽ が合理的であるとは，次の二つの性質を持つことをいう．
完備性: ∀B, B ′ ∈ N , x ≽ B ′ もしくは B ′ ≽ B が成立．
推移性: ∀B, B ′ , B ′′ ∈ N , B ≽ B ′ かつ B ′ ≽ B ′′ ならば，B ≽ B ′′ が成立．
このうち，推移性について今後，選択行動自体の置かれている環境により，変化していく．
これら二つの定義はある限られた状況下では等価である．
命題 2.A.1 (≽⇒≽∗ ) 合理的選好関係 ≽ を持つ意思決定者が B に含まれる予算集合から選択を
する際，この意思決定者は，顕示選好の弱公理を満たす選択構造を必ずとる．
証明 2.A.1 Mas-Colell et al. (1995) [79] p.12 を見よ．
命題 2.A.2 (≽∗ ⇒≽) 選択構造 (B, C(· · · )) が弱公理を満たし，B が三つまでの元からなる N の
全ての部分集合を含むとき，合理的選好関係 ≽ は B に関して C(· · · ) を合理的であるとする，す
なわち
C(B) = C ∗ (B, ≽) ∀B ⊂ B.
さらに，この合理的選好関係は唯一のものである．
証明 2.A.2 Mas-Colell et al. (1995) p.13–14 を見よ．
(2.91)
38
弱顕示選好は，限られた場合にしかその顕示された選好が合理的ではないことを意味している．
Houthakker (1950) [53] はこれを多資産下における選択行動に拡張し，顕示された選好が合理
的である，より一般的な条件を示している．
公理 2.A.4 (顕示選好の強公理) 選択構造 (X , B, C(·)) が与えられ，B, B ′ ∈ B ∈ B かつ B, B ′ ∈
B ∈ B ′ であり，B ∈ C(B ) かつ B ′ ∈ C(B ′ ) のとき，B ∈ C(B ′ ) を満たすとき，その選択構造
は，顕示選好の強公理を満たすという．
第 3 章 GNL モデルの情報理論的解釈
3.1
3 章の目的
マーケティングにおける離散選択においては，MNL や NL モデルに代表される離散選択モデ
ル，エントロピー・モデルが広く用いられている．前者は 2 章で示したように経済学における（ラ
ンダム）効用最大化と整合的であり，後者は情報理論における情報量最小化（エントロピー最大
化）と整合的である．つまり，前者は（ランダム）効用を最大化するように選択肢を決定し，後者
は情報量を最小化するように選択確率を決定していることとなる．
一部のモデルにおいては，この両者は等価であることが知られている．基本となる MNL モデ
ルでは Roy and Lesse (1981) [108] が，その発展形となる NL モデルでは Roy and Lesse (1985)
[109] が，集計的に等価であることを証明している．さらに注目すべき事実として，Anas (1983)
[3] は非集計離散選択モデル，エントロピー・モデルこの両者が，非集計レベルで等価であること
を示している．具体的には，MNL モデルの対数尤度最大化問題が制約条件付エントロピー最大化
問題と等価であるとしている．
本章では，GNL モデルについて，MNL，NL モデルと同様に，集計的，非集計的にエントロ
ピー・モデルと等価であることを示す．これにより，エントロピー・モデルにおいて（ランダム）
効用最大化と整合的であるクラスが明らかになり，意味づけが容易となる．また，GNL モデルの
情報理論的解釈が可能となる．GNL モデルがエントロピー・モデルであるとの解釈が可能である
ならば，Kullback-Leibler (KL) 情報量等の情報理論的手法の利用も可能となる．本研究により明
らかとなる等価性の範囲は，表 3.1 の非集計の箇所全てに相当する．この表内のうち，記載があ
る箇所が既存研究の範囲であり，何も記載がない箇所が本研究独自の箇所である．GNL モデルは
MNL, NL, CNL の各モデルを内包するため，非集計全ての範囲において等価性を示すこととなる．
集計的な等価性については，集計 GNL モデルがエントロピー制約付き最大化問題に帰着するこ
とを示す．そして，集計単位を個人としたとき，価値最大化問題として，GNL モデルが捉えられ
ることを示す．
39
40
表 3.1: 本章により明らかとなる離散選択モデルの等価性の範囲
MNL
NL
Prashker & Bekhor(1999)[99]∗
集計
Roy & Lesse(1981)[108]
非集計
CNL, GNL
Roy & Lesse(1985)[109]
Bekhor & Prashker(2001)[9]∗
Anas(1983)[3]
∗ 正確には，確率的利用者均衡配分問題 [38] との等価性である．
非集計的な等価性では，主問題として与えられる GNL モデルの Full Information Maximum
Likelihood (FIML) の対数尤度関数が凸ではないため，双対問題として明らかに等価最適化問題
を構成することはできない．これは，GNL モデルだけではなく，NL モデルにおいても同様であ
る．そのため，本研究では一般的に NL モデルで用いられている二段階推定法（例えば Ben-Akiva
and Lerman, 1985 [12]; Train 2009 [122]）により，二段階の各段階の問題がそれぞれ等価なエン
トロピー問題として表わされ，それが入れ子として構成されることを示す．また，情報理論的解
釈により，GNL モデルの段階的パラメータ推定時における，各パラメータと段階との理論的対応
を明らかにする．パラメータ推定と等価なエントロピー問題の結果より，Vovsha (1997)[128] で
提案されている，GNL モデルのヒューリスティックなパラメータ推定方法を改良し，この解釈に
基づく GNL モデルのパラメータ推定アルゴリズムを提案する．さらに双対性という特徴に着目
したアルゴリズムも提案する．
本章の構成は次のとおりである．2 節では，集計レベルの GNL モデルとエントロピー・モデ
ルの等価性を示す．3 節では，非集計レベルの GNL モデルとエントロピー・モデルの等価性を示
す．最後に 4 節で本章のまとめを示す．
41
集計レベルにおけるエントロピー・モデルとの等価性
3.2
集計 GNL モデル
3.2.1
集計 GNL モデルは，次のように表わされる：
[O-GNL-A]
QA
k =
Nj
∑
A
PjA
′ Pk|j ′ ,
(3.1)
j ′ =1
(
)µA
j
k′ ∈Kj
PjA =
Nj
∑
(
j ′ =1
(
A =
Pk|j
)1/µA
∑ ( A
j
γk′ j exp VkA
′
)1/µA′
∑ ( A
j
γk′ j ′ exp VkA
′
)µA′
,
(3.2)
j
k′ ∈Kj ′
A exp V A
γkj
k
)1/µA
j
)1/µA
∑ ( A
j
γk′ j exp VkA
′
, ∀k, j
(3.3)
k′ ∈Kj
A は，単なる選択確率ではなく，期
ここで，上付きの A は集計した場合を表わし，PkA ，PjA ，Pk|j
待選択確率もしくは，割合である．パラメータの制約条件は式 (2.35)–(2.37) と同様である：
0 < µA
j ≤ 1,
Nj
∑
∀j,
(3.4)
A ≥0,
γkj
∀j, k,
(3.5)
A =1,
γkj
′
∀k.
(3.6)
j′
集計 GNL モデルは，マーケット・シェアのように，日次データ等の集計的なデータのみしか得
ることができない場合に有効な方法 [71, 50] である．ただし，一般的な最尤推定法により推定され
たパラメータ同士は異なること：
∗
θ ̸= θ
A∗
(3.7)
に注意されたい．ここで，θ はパラメータ集合，上添字 ∗ 及びオーバーラインは最尤推定された
ことを表わす．
42
3.2.2
数理計画問題：エントロピー・モデル
式 (3.1)–(3.3) で表わされる集計 GNL モデルの選択確率 [O-GNL-A] は，次に示す数理計画問
題（エントロピー・モデル）[MP-GNL-A] と等価である：
[MP-GNL-A]

Nj Nk
Nj Nk
 ∑∑ A A ∑∑ A A
E : = inf −
Pj ′ k′ Vk′ +
µj ′ Pj ′ k′ ln
A
Pjk
+
j ′ =1 k′ =1
Nj
∑
{
(
1 − µA
j′
j ′ =1
γkA′ j ′
j ′ =1 k′ =1
)
(
Nk
∑
)
PjA
′ k′
PjA
′ k′
(
ln
k′ =1
Nk
∑
1/µA
j′
)}
PjA
′ k′
 := Z1 + Z2 + Z3
(3.8)
k′ =1
s.t.
Nj Nk
∑
∑
PjA
′ k ′ = 1,
(3.9)
j ′ =1 k′ =1
A = 0 or γ A = 0 ⇒ P A ln
if Pjk
kj
jk
A
Pjk
A
= 0.
(3.10)
A )1/µj
(γkj
A は集団 A がネスト j により選択肢 k を選ぶ割合である．
ここで，Pjk
式 (3.8) は，3 つの項に大きく分けることができる．最初の項 (Z1 ) は社会的効用最大化行動を
示し，2 番目 (Z2 ) ，3 番目 (Z3 ) の項は Z1 にエントロピー制約をかけていると解釈できる．そし
て，それらの割合は µj : 1 − µj の割合となっていると解釈できる．また，Z2 は選択肢 k ，Z3 は
ネスト j にそれぞれ相当するエントロピー制約である．最後に，式 (3.9) は，Pjk が割合であるた
めの条件である．
ここで注目すべき点は，各 j–k 間の構造に，この数理計画問題が触れていない点である．これ
A が内生的に 0 となることでもたらされる．つまりは数理計画問題の解として GNL
は，割合 Pjk
モデルの構造推定が可能であることを示唆している．
3.2.3
集計レベルの等価性の証明
命題 3.2.1 (集計レベルの等価性) 式 (3.8)–(3.10) で表される数理計画問題 [MP-GNL-A] と，式
(3.1)–(3.3) で表される GNL モデルに基づく選択割合 [O-GNL-A] は等価である．
43
証明 3.2.1 補題 3.2.2 より，式 (3.8)–(3.10) で表される数理計画問題 [MP-GNL-A] の解として式
(3.1)–(3.3) GNL にモデル基づく選択割合 [O-GNL-A] が存在し，補題 3.2.3 より，それが一意で
2
ある．したがって，両者は等価である．
補題 3.2.2 (存在条件) 式 (3.8)–(3.10) で表わされる数理計画問題 [MP-GNL-A] の解として，式
(3.1)–(3.3) で表される GNL モデルに基づく選択割合 [O-GNL-A] が存在する．
証明 3.2.2 式 (3.8)–(3.10) に対応するラグランジアン Λ は，
(N
)
k
∑
A
Λ :=Z1 + Z2 + Z3 + λ
Pjk′ − 1
(3.11)
k′ =1
となる．ここで λ は，式 (3.9) に対応したラグランジェ乗数である．式 (3.10) については，Z2 内
A による偏微分
に反映されているため，特にラグランジェ乗数は必要としない．Z1 –Z3 各項の Pjk
は次のとおりとなる：
∂Z1
A
∂Pjk
∂Z2
A
∂Pjk
∂Z3
A
∂Pjk
= −VkA ,
= µA
j ln
A
Pjk
+ µA
j ,
A )1/µj
(γkj
)
(N
k
(
)
∑
A + 1 − µA ,
= 1 − µA
ln
Pjk
′
j
j
∀j, k,
(3.12)
∀j, k,
(3.13)
∀j, k.
(3.14)
k′ =1
ここで，式 (3.11)–(3.14) より，
(
A
Pjk
Nk
∑
A
A
µ
) 1−µj
A
Pjk
′
j
{
}
(
)
A )1/µA
j exp V A /µA
= exp (λ − 1)/µA
(γ
j
j
k
kj
(3.15)
k′ =1
を得る．両辺を選択肢 k で足し上げると，
(N
) 1
{N
}
k
k
{
} ∑
(
)
∑
µA
A
j
1/µ
A
A
Pjk
= exp (λ − 1)/µA
(γkA′ j ) j exp VkA
′
′ /µj
j
k′ =1
(3.16)
k′ =1
を得る．次に，ここで両辺を µA
j 乗すると，
Nk
∑
{
}
A = exp (λ − 1)/µA
Pjk
′
j
{
k′ =1
Nk
∑
}µA
j
(
)
A
A
(γkA′ j )1/µj exp VkA
′ /µj
(3.17)
k′ =1
を得る．さらに，両辺をネスト j で足し上げると．
Nj Nk
∑
∑
j ′ =1 k′ =1
PjA
′ k ′ = exp(λ − 1)
Nj
∑
j ′ =1
{
Nk
∑
k′ =1
}µA
j′
1/µA
A
(γkA′ j ′ ) j ′ exp(VkA
′ /µj ′ )
=1
(3.18)
44
となる．ここで，式 (3.17) を (3.18) で割ることにより，
(
PjA =
Nk
∑
)µA
j
k′ =1
A =
Pjk
′
k′ =1
)1/µA
Nk (
∑
j
γkA′ j exp VkA
′
(
Nj
∑
j ′ =1
Nk
∑
k′ =1
(
γkA′ j ′ exp VkA
′
)1/µA′
)µA′
j
を得る．最後に，選択肢 k が有さないネスト j への帰属を排除，すなわち式 (3.10) を用い，
∑
を k′ ∈Kj とすると，
(
)1/µA
∑ ( A
j
γk′ j exp VkA
′
(
Nj
∑
j ′ =1
∑N k
k′ =1
)µA
j
k′ ∈Kj
PjA =
(3.19)
j
)1/µA′
∑ ( A
j
γk′ j ′ exp VkA
′
(3.20)
)µA′
j
k′ ∈Kj ′
∑ k
∑
A
A
を得る．ここで， N
k′ ∈Kj としても，式 (3.10) より，Pjk = 0 もしくは γkj = 0 の場合，
k′ =1 を
A
A ln(P A /(γ A )1/µj ) = 0 としているため，対応は問題ない．
Pjk
jk
kj
A は
同様に，式 (3.15) を (3.16) で割ることにより，条件付き確率 Pk|j
(
A
Pjk
A =
Pk|j
∑N k
A
k′ =1 Pjk
=
A exp V A
γkj
k
)1/µA
j
(3.21)
)1/µA
Nk (
∑
j
γkA′ j exp VkA
′
k′ =1
となる．ここで，PjA の場合と同様に
A =
Pk|j
∑Nk
k′ =1
を
∑
k′ ∈Kj
とすると
(
)1/µA
j
A exp V A
γkj
k
)1/µA
∑ ( A
j
γk′ j exp VkA
′
(3.22)
k′ ∈Kj
を得る．
式 (3.20)，(3.22) はそれぞれ，GNL モデルにおける各選択確率（割合）式 (3.2)，(3.3) に対応
している．以上より，式 (3.8)–(3.10) の解として，GNL モデルに基づく選択割合が導かれた． 2
補題 3.2.3 (一意性) 式 (3.8)–(3.10) の解は，一意に定まる．
証明 3.2.3 式 (3.8) の各項のヘシアンの各成分について調べよう：


j

 µA
k = k′
∂ 2 Z2
Pjk
=
,
A ∂P A

∂Pjk

jk′
 0
otherwise
(3.23)
45




∂ 2 Z3
=
A ∂P A
∂Pjk
jk′
1−µA
j
PNk
PA
k′ =1 jk′
A, P A > 0
Pjk
jk′


 0
.
(3.24)
otherwise
ここで，式 (3.4) 及び Pjk ≥ 0 より，∇2 Z2 の各対角要素は正となり，∇2 Z2 は正定値行列となる．
同様に 式 (3.4) 及び Pjk ≥ 0 より，∇2 Z3 についても各 j–k ペアごとに各要素は正の定数となる．
∇2 Z3 の要素を Hx,y と要素表示するとすると，
Hx,x ≥ Hx,y , ∀y ̸= x,
(3.25)
Hy,y ≥ Hx,y , ∀x ̸= y
(3.26)
である．したがって，∇2 Z3 の固有値は非負であり，∇2 Z3 は半正定値行列である．以上より，式
A に関して凸性があり，一意な解 (3.20)，(3.22) をもつ．
(3.8) は Pjk
3.2.4
2
非集計レベルへの対応
集計レベルと同様に，非集計レベルの選択確率もエントロピー制約付き最大化問題へと変換で
きる．これは，明らかに 式 (3.8)–(3.10) の問題において A を h とすればよい：
[MP-GNL h]

E : = inf −
h
Pjk
Nj Nk
∑
∑
Pjh′ k′ Vkh′
+
+
{
(
1 − µj ′
j ′ =1
µj ′ Pjh′ k′ ln
j ′ =1 k′ =1
j ′ =1 k′ =1
Nj
∑
Nj Nk
∑
∑
)
(
)
Nk
∑
Pjh′ k′
(
ln
Nk
∑
Pjh′ k′
1/µ
γk′ j ′ j
′
)}
Pjh′ k′

(3.27)
k′ =1
k′ =1
s.t.
Nj Nk
∑
∑
Pjh′ k′ = 1, ∀h
(3.28)
j ′ =1 k′ =1
h
h
if Pjk
= 0 or γkj = 0 ⇒ Pjk
ln
h
Pjk
(γkj )1/µj
= 0, ∀k, j, h.
(3.29)
ただし，ここで，Pjk は割合ではなく，確率である．式 (3.27)–(3.29) は，個人の行動が選択確率
を決めることによる，エントロピー制約付き最小化（最大化），Value Maximizing 問題として表
現できることを意味する．GNL モデルが内包している各 GEV モデルの等価数理最適化問題は，
高橋・大野 (2012) [118] を参照せよ．
46
非集計レベルにおけるエントロピー・モデルとの等価性
3.3
本節では，GNL モデルの段階的パラメータ最尤推定問題が段階的エントロピー・モデルとして
表わされることを示そう．同質な消費者 h を考えよう．そして，ネスト j を持つ選択肢 k が存在
するものとする．ここで，同じ選択肢 k はある特定のネスト j ′ には複数の帰属を許さないものと
する．選択肢 k の効用 Uk は，線形の関数である1 とし，その効用関数は選択肢 k の説明変数の値
に依存するものとする：
Ukh =
Nm
∑
αm′ Xkm′ + α0k + ϵhjk := Vkh + ϵk .
(3.30)
m′ =1
ここで，Xkm は選択肢 k の m 番目の説明変数，αm は対応するパラメータ，α0k は固有選好度，
ϵk は確率的効用である．したがって，Vkh は確定的効用と捉えることができる．
3.3.1
主問題：段階的パラメータ最尤推定問題
式 (2.49)–(2.51) で表される GNL モデルにおけるパラメータの段階推定対数尤度最大化問題
[Primal-L] は，
[Primal-L]
[Step 1]
Nj
Nh ∑
∑
∑
L1 := max
αm ∀m ′
α0k ∀k h =1 j ′ =1 k′ ∈Kj ′
γ kj ∀(k,j)
′
′
δkh′ ln Pkh′ |j ′ (αm′ , α0k′ , γ k′ j ′ ),
(3.31)
[Step 2]
L2 := max
µj ∀j

Nj
Nh ∑
∑

h′ =1 j ′ =1
¯ 
¯ 
′
′
¯
δjh′ ln Pjh′ (µj ′ )¯L∗1
¯ 
(3.32)
となる．ここで，Nh は消費者数もしくはサンプル数，δjh ，δkh はそれぞれ消費者 h がネスト j ，
選択肢 k を選択した場合 1，それ以外は 0 を示す二値変数であり，変数上のラインは明示的にパ
h はそれぞれ式 (2.43)–(2.45) で表わさ
ラメータを推定することを意味する．また，Qhk ，Pjh ，Pk|j
れる GNL モデルの選択確率式である．[Step 1] では，ネスト j に関する情報，すなわち類似度パ
1
線形でなくともよいが，パラメータ推定時により高い非線形性が生ずる [121]．
47
ラメータ µj について与件とし，αm ，α0k ，γ kj を推定する．次に，[Step 2] において [Step 1] で
最尤推定されたパラメータ α∗m ，α∗0k ，γ ∗kj を与件とし，µj を最尤推定する．
式 (3.31)，(3.32) の最大化の一階条件より，
Nj
Nj
Nh ∑
Nh ∑
∑
∑
∑
∑
∂L1
Xk ′ m
′
h′ Xk′ m
= 0 =⇒
δk′ |j ′
=
Pkh′ |j ′
,
∂αm
µj ′
µj ′
′
′
′
′
′
′
h =1 j =1 k ∈Kj ′
′
h =1
k′ ∈K
∀(j, k),
(3.35)
∀j,
(3.36)
h =1
Nh
Nh
∑
∑
∂L2
′
′
= 0 =⇒
δjh ln Φ4 =
Pjh ln Φ4 ,
∂µj
′
′
γk′ j exp Vk′
(3.34)
′
Nh
Nh
h
h
∑
∑
δk|j
Pk|j
∂L1
= 0 =⇒
=
,
∂γ kj
µj γ kj
µj γ kj
′
′
∑ (
∀k,
h =1 j =1
h =1 j =1
Φ4 :=
(3.33)
′
′
Nj
Nj
Nh ∑
Nh ∑
∑
∑
Pkh′ |j ′
δkh′ |j ′
∂L1
=
,
= 0 =⇒
∂α0k
µj ′
µj ′
′
′
′
′
h =1
∀m,
h =1 j =1 k ∈Kj ′
h =1
)1/µj
(3.37)
j
を得る．式 (3.34)–(3.37) の詳細な導出は，付録 3.A.2 に示す．
段階推定時の最適性条件 (3.33)–(3.36) はその意味解釈が可能である．まず，式 (3.33) の左辺は，
パラメータ推定に用いるデータで実際に購買された選択肢 k の m 番目の属性値（観測値）の合計
を µj で除したものである．もし，j に関するデータが欠損している場合（選択肢 k が選択されて
いることのみ分かる場合）は，そのすべての可能性の場合の数となる．一方，式 (3.33) の右辺は，
h で重み付けされた選択肢 k の m 番目の属性値（推定値）の合計を µ で除
推定される確率 Pk|j
j
したものである．[Step 1] では，µj は推定対象ではなく単なるパラメータであるため，式 (3.33)
はこの両者が等しいことを意味している．式 (3.34) は，パラメータ推定に用いるデータで実際に
h の
選択された選択肢 k の合計値（すなわち購買回数）を µj で除したものが推定される確率 Pk|j
合計値を µj で除したものと等しいことを意味している．さらに，式 (3.35) は，式 (3.35) の µj を
∑N j
を取り外したものである．ただし，µj は [Step 1] において推定するパ
µj γkj に置き換え， j ′ =1
ラメータではないため，条件 (3.4) を満たす任意の定数と考えることができる．式 (3.36) は観測
されたネスト選択数（観測値）にログサムをかけたものが，推定される確率 Pjh で重み付けされ
たログサムと等しいことを意味する．ここで，賢明な読者は最大化問題 (3.31)–(3.32) に制約条件
(3.4)–(3.6) が含まれていないことに気付くだろう．
パラメータ制約条件 (3.4)–(3.6) のうちいくつかは十分条件であり，式 (3.31)–(3.32) 内に含まれ
48
ている．まず，式 (3.36) が成立するためには，
µj ̸= 0 ∀ j =⇒ (2.35)
(3.38)
となる．同様に，式 (3.35) が成立するためには，
γ kj > 0 ∀ (j, k) ⇐⇒ (2.36)
(3.39)
となる．最後に式 (3.34)，(3.35) より，次式が導かれる：
∑
γ kj ′ = const., ∀ k ⇐⇒ (2.37).
(3.40)
j ′ =1
ここでは便宜上 const.= 1 とする．この点について Abbe et al. (2007) [1] は情報量を各ネストで
揃えるためと述べているが，対数尤度最大化問題では，明示的な制約条件として考慮する必要が
ないことが分かる．この点は同時推定時も同様である．詳細は付録 3.A.1 を参照されたい．以上
より，µj > 1, µj < 0 という条件を除き，式 (3.31)–(3.32) 内にパラメータ制約条件 (3.4)–(3.6) は
含まれている．条件 (3.4) はあくまで（ランダム）効用最大化と整合的であるための条件であり，
等価最適化問題を構成する上では無視できる．この点は Train (2009) [122]，Kling and Herriges
[65]，Herriges and Kling [52] に詳しく述べられている．
3.3.2
双対問題：等価エントロピー・モデル
本節では，第 2 節で示された二段階の主問題に対し，双対問題として等価なエントロピー・モ
デルを示す．同時推定時には双対問題をつくることができないが，段階推定の双対問題 [Dual] に
ついて示そう．なお，同時推定時の等価エントロピー・モデル構築における問題点は，付録 3.A.1
を参照されたい．
段階推定による GNL モデルにおけるパラメータ推定の対数尤度最大化問題 [Primal-L] は，次
に示す段階的情報量最小化（エントロピー最大化）問題 [Dual-E] と等価となる:
[Dual-E]
[Step 1] E1 :=
inf
Nj Nk [
Nh ∑
∑
∑
h ∀h,j,k
Pk|j
[Step 2] E2 := inf
Pjh ∀h,j
h′ =1 j ′ =1 k′ =1
Nj [
Nh ∑
∑
h′ =1 j ′ =1
′
Pjh′
]
′
′
Pkh′ |j ′ ln Pkh′ |j ′ ,
¯
¯
′
ln Pjh′ ¯¯E1∗
(3.41)
]
,
(3.42)
49
s.t.(3.33)–(3.36),
Nk
∑
k′ =1
Nj
∑
(3.43)
Pkh′ |j = 1, ∀j, h,
(3.44)
Pjh′ = 1, ∀h,
(3.45)
j ′ =1
h
h
h
if Pk|j
= 0 or γkj = 0 ⇒ Pk|j
ln Pk|j
= 0, ∀h, j, k.
(3.46)
h ，P h が確率であるための条件である．また，式 (3.41) に
ここで，(3.44)，(3.45) はそれぞれ，Pk|j
j
おいて，µj は任意のパラメータである．
具体的に，この情報量最小化問題 [Dual-E] が満たす条件を明らかにしよう．主問題 [Primal-L]
において，まず類似度パラメータ αj について与件とし，αm ，α0k ，γkj を推定し，その下で µj
h を推定し，次に P h を推定する．
を推定するのと同様に，まず Pk|j
j
ˆ 1 を用い，
まず，入れ子の内側，式 (3.41) に制約条件式 (3.33)–(3.41) を考慮した Lagrangian Λ
h について解こう：
制約条件付き最小化問題を Pk|j
[Step 1]
ˆ 1 :=
Λ
Nj Nk
Nh ∑
∑
∑
h′ =1 j ′ =1 k′ =1
+
Nk
∑


′
′
Pkh′ |j ′ ln Pkh′ |j ′ +
′
λk′ N k′ −
k′ =1
Nj
Nh ∑
∑
Pkh′ |j ′
h′ =1 j ′ =1
µj ′

Nm
∑

λm′ 
m′ =1
Nh
∑
′
X km′ j −
h′ =1
[
+ λˆ′ N k′ j −
k
h′ =1 j ′ =1 k′ =1
′
Nh
∑
Pkh′ |j
h′ =1
Nj Nk
Nh ∑
∑
∑ Pkh′ |j ′ Xk′ m′
µj γ k′ j
µj ′


] N N j
]
[
h ∑
∑ ′
∑
+
λh ′ j ′ 1 −
Pkh′ |j ′ .
h′ =1 j ′ =1
k′
(3.47)
ここで，λm ，λk ，λkˆ ，λhj は，制約条件 (3.33)，(3.34)，(3.35)，(3.44) に対応したラグランジュ
乗数である．また，
X kmj :=
Nj Nk
∑ δkh′ |j ′ Xk′ m
∑
j ′ =1
µj ′
k′ =1
(3.48)
は，観測された m 番目属性値をネスト j の類似度パラメータの逆数 1/µj で重み付けした集計値，
同様に，
′
N k :=
Nj
Nh ∑
h
∑
δk|j
′
h′ =1 j ′ =1
µj ′
,
(3.49)
′
N kj :=
Nj
Nh ∑
h
∑
δk|j
′
h′ =1 j ′ =1
µj ′ γ kj ′
(3.50)
50
は，それぞれサンプル数をネスト j の類似度パラメータの逆数 1/µj もしくは それをさらに 1/γ kj
ˆ 1 の P h に関する最小化の一階条件より，
で重み付けした集計値である．Λ
k|j
Nm
(
)
∑
λˆ
h
µj ln Pk|j
+ 1 − µj λhj −
λm′ Xkm′ − λk − k = 0
γ kj
′
(3.51)
m =1
h について解くと，
を得る．式 (3.51) を Pk|j
(
h
Pk|j
= exp (−1) exp (λhj ) exp(λkˆ /(γ kj µj ) exp
λk +
∑Nm
m′ =1
λm′ Xkm′
)
(3.52)
µj
を得る．ここで，式 (3.52) において前二つの exp 項は k に依存しないのに対し，後二つの exp 項
は k に依存していることに注意されたい．これより，式 (3.52) を式 (3.40) に代入し，整理すると，
exp (−1) exp (λhj ) =
Nk
∑
k′ =1
1
))1/µj
(
(
∑ m
exp(λkˆ′ /γ k′ j ) exp λk′ + N
m′ =1 λm′ Xkm′
(3.53)
を得る．これをさらに式 (3.52) に代入すると，
))1/µj
(
(
∑ m
′ Xkm′
λ
exp(λkˆ /γ kj ) exp λk + N
′
m
m =1
h
Pk|j
= N (
))1/µj
(
k
∑
∑ m
′ Xk ′ m′
λ
exp(λkˆ′ /γ k′ j ) exp λk′ + N
′
m
m =1
(3.54)
k′ =1
となる．ここで，条件 (3.46) を考えると，
))1/µj
(
(
∑N m
′ Xkm′
λ
exp(λk/
′
ˆ γ kj ) exp λk +
m
m =1
h
Pk|j
=
))1/µj
(
∑ (
∑ m
′
′
′
exp(λkˆ′ /γ k′ j ) exp λk′ + N
λ
X
km
m′ =1 m
(3.55)
k′ ∈Kj
となる．これは，式 (2.51) のネスト j を与件とした時の選択肢 k の選択確率式に他ならない．
λk ，λm がそれぞれ，α0k ，αm に対応するのは容易に分かるが，λkˆ と γ kj は対応するだろうか．
ここで，exp(λkˆ /γ kj ) は λkˆ に関して単調増加もしくは減少関数であるため，γkj と一対一対応す
る．ただし，exp(λkˆ /γ kj ) > 0 であり，ネスト j に選択肢 k が所属しない場合（γkj = 0）を含め，
exp(λkˆ /γ kj ) =⇒ γkj ≥ 0 ⇐⇒ (2.36)
(3.56)
が導かれる．
ˆ2 も
[Step 1] と同様に，[Step 2] のラグラジアン Λ
[Step 2]
ˆ 2 :=
Λ
Nj [
Nh ∑
∑
h′ =1 j ′ =1
′
]
′
Pjh′ ln Pjh′ +
Nj
∑
j ′ =1
[
λj ′ Ψ j ′ −
Nh
∑
h′ =1
]
′
Pjh′ ln Φ4 +
Nh
∑
h=1

λ h 1 −
Nj
∑
j=1

Pjh 
(3.57)
51
としよう．ここで，λj ，λh はそれぞれ制約条件 (3.36), (3.45) に対応したラグランジュ乗数であ
∑ h h′
h
る．また，Ψj := N
h′ =1 δj ln Φ4 は観測されたログサム変数の集計値である．Pj についても，一
階条件より，

(ln Pjh + 1) − λh − λj ln 
∑

(γk′ j exp Vk′ )1/µj  = 0
(3.58)
k′ ∈Kj
となる．式 (3.58) を Pjh について解くと，

Pjh = exp(λh ) exp(−1) 
∑
λj
(γk′ j exp Vk′ )1/µj 
(3.59)
k′ ∈Kj
を得る．これを (3.41) に代入し，整理すると，
exp(λh ) exp(−1) =
Nj
∑
j ′ =1
(
1
∑
k′ ∈Kj ′
)λj
(3.60)
(γk′ j exp Vk′ )1/µj
を得る．これをさらに式 (3.41) に代入し，整理すると，
(
)λj
∑N m
∑
1/µ
(γk′ j exp( m′ =1 αm′ Xm′ k′ + α0k′ )) j
Pjh =
k′ ∈Kj
Nj
∑
j ′ =1
(
∑
k′ ∈Kj ′
∑ m
1/µj ′
(γk′ j ′ exp( N
m′ =1 αm′ Xm′ k′ + α0k′ ))
)λj ′
(3.61)
を得る．ただし，αm ，α0k は，[Step 1] で推定されたパラメータ（ラグランジュ乗数）であり，µj
は 0 ではなく，ネスト j により異なる任意の数である．従がって，λj ⇔ µj と交換可能である．
ここでさらに，λj ⇔ µj とすると，式 (3.61) は，式 (2.50) のネストの選択確率式に他ならない．
h 間の “マルコフ性” より次式を得る：
最後に，Pjh , Pk|j
Qhk
=
Nj
∑
h
Pjh′ Pk|j
′.
(3.62)
j ′ =1
情報量最小化問題 E における 式 (3.62)，(3.61)，(3.55) がそれぞれ，最尤推定問題 L における
GNL モデルの選択確率式の式 (2.49)–(2.51) に対応する．
3.3.3
非集計レベルの等価性の証明
本章では，GNL モデルが，パラメータの最尤推定，ラグランジュ乗数による情報量最小化，そ
れぞれ同じに同定されることを示す．また，Anas (1983) [3] と同様に各パラメータとラグランジュ
乗数との関係を示す．
52
∗
∗
命題 3.3.1 (モデルの等価性) θ1 ，θ2 をそれぞれ式 (3.31)，(3.32) により二段階で最尤推定された，
∗
∗
パラメータ・ベクトル θ1 ，θ 2 としよう．同様に，λ1 ，λ2 をそれぞれ式 (3.41)，(3.42) に (3.43)–
(3.46) の制約条件を考慮して二段階で情報量最小化された，ラグランジュ乗数ベクトル λ1 ，λ2 とし
よう．同じデータ（δ hk|j ，δ hj ，X hm ）が与えられたならば，この二つの問題（[Primal-L]，[Dual-E]）
∗
∗
∗
∗
は，それぞれ同じ解（θ1 = λ1 ，θ 2 = λ2 ）を持つ．
証明 3.3.1 最尤推定問題 L と，情報量最小化問題 E は互いに交換可能な形で GNL モデルの選
択確率：式 (2.49)–(2.51) もしくは，式 (3.62)，(3.61)，(3.55) を得る．これらの二つの式の集合は
h (θ )，P h (θ ) は，それぞれ P h (λ )，P h (λ ) とそれぞれ同じ関数であるため，
恒等であり，Pk|j
1
2
2
j
j
k|j 1
∗
∗
∗
∗
2
θ 1 = λ1 ，θ 2 = λ2 を得る．
補題 3.3.2 m 番目の属性の限界効用 αm は，観測される選択肢の選択結果及び m 番目の説明変
数値を 1/µj で重み付けした集計値 X kmj の変化によるレベル 1 のエントロピーの限界変化に等
しい．
∗ = ∂U h /∂X h ∀k かつ λ∗ = ∂E /∂X
∗
∗
h
h
証明 3.3.2 αm
1
m であり，αm = λm から，∂Uk /∂Xkm =
m
k
mk
∂E1 /∂X kmj ∀k を得る．
2
補題 3.3.3 固有選好度 α0k は，観測される選択肢の k の選択結果を 1/µj で重み付けした集計値
N k の変化によるレベル 1 のエントロピーの限界変化に等しい．
∗ = λ∗ から，α∗ = ∂E /∂N ∀k となる．
証明 3.3.3 λ∗k = ∂E1 /∂N k であり，α0k
1
k
k
0k
補題 3.3.4 アロケーション・パラメータ γkj は，観測される選択肢の k の選択結果を
2
1
µj γkj
で重
み付けした集計値 N kj の変化によるレベル 1 のエントロピーの限界変化に等しい．
∗ = λ∗ から，γ ∗ = ∂E /∂N
証明 3.3.4 λ∗ˆ = E1 /∂N kj であり，γkj
1
kj ∀(k, j) となる．
ˆ
kj
k
k
2
補題 3.3.5 類似度パラメータ µj は，ログサム Φ4 の変化によるレベル 2 のエントロピーの限界
変化に等しい．
証明 3.3.5 λ∗j = ∂E2 /∂Ψ であり，µ∗j = λ∗j から，µ∗j = ∂E2 /∂Ψ ∀j となる．
2
53
3.3.4
GNL モデルにおけるパラメータ推定への示唆
本節では，3 節で示された GNL モデルにおけるパラメータ最尤推定問題の段階におけるパラ
メータ割当，双対性から，GNL モデルにおけるパラメータ推定問題へ二つの示唆を与える．まず，
前者について，提案されている Vovsha (1997)[128] のアルゴリズムにおけるパラメータ割当の問
題点を指摘し，改良を行なう．次に，後者について，双対性を利用した前者から更に発展させた
アルゴリズムの提案を行なう．
Vovsha (1997)[128] は GNL モデルの特殊形である CNL (µj := µ ∀j) を提案するにあたり，
ヒューリスティックと断り書きをした上で，パラメータ推定アルゴリズムを提案している．ただし，
Vovsha では，固有選好度 α0k を省略しており，このことがアルゴリズムの特殊性へと繋がって
いる．α0k は選択肢 k に依存するため，ネスト j を与件とした場合，アロケーション・パラメー
タ γkj との関係性が強い．Vovsha のアルゴリズムはこの点を踏まえ，γkj を一旦設定し，その後
α0k を推定し，それを γkj に変換している．しかし，この方法は， α0k と γkj 両方がある場合に
は適用することができない．
図 3.3.4 に Vovsha (1997)[128] の提案したアルゴリズムを示す．ただし，図 3.3.4 のアルゴリズ
ムは，CNL モデルのそれから GNL モデルのそれへ µ ⇒ µj としていることに注意されたい．こ
0 ，µ0 と初期値を設定する．次
のアルゴリズムは以下のようなものである．まず，Step 1 で，γkj
j
l のみから算入確率 P ′l というものを計算する．この算入確率から，欠損
に，Step 2 として，γkj
k|j
l,h′
しているネスト j に関する情報を補うために，Step 3 でダミーの選択情報 δk|j = δkh を生成する．
′l を算入確率 P ′l を用い，100 × P l に一番近い整数とする．そして，
このとき，サンプル数 Hk|j
k|j
k|j
∗ ，µ∗ 及び αl∗ を推定する．Step.5 では，推
Step 4 で通常の同時最尤推定法 [FIML–GNL] で αm
j
kj0
l∗ から γ l∗ への変換：
定された αkj0
kj
(
l
γkj
= exp
)
l∗
αkj0
−
l∗
max
αkj
′0
j′
(3.63)
l を正規化する．この正規化された γ l を Step 2 に代
を行ない，Step. 6 では，条件 (2.37) で γkj
kj
入し，Step 2–6 を収束するまで繰り返す．しかし，この方法では固有選好度 α0k と アロケーショ
ン・パラメータ γkj 両方がある，一般的な GNL には適用することができない．
本章で提案する手法は，図 3.3.4 に示すものである．Vovsha [128] のアルゴリズムとは，大きく
二つの点が異なる．一つ目は，同時推定時の初期値の扱いが異なる．提案手法では，まず 3,4 章で
確かめられた段階推定時のパラメータの分担をもとに，各パラメータを [Sk –GNL] 及び [Sj –GNL]
54
1.初期設定
Start
0 ∀(k, j), µ0 ∀j
γkj
j
2. 算入確率計算′l
( )µlj ∑ (
)µlj′
l
l
Pk|j = γkj
/ j ′ γkj
′
3. 欠損データ補完
l,h
′
′l H ′l ≈ 100 × P ′l
δk|j = δkh h′ ∈ Hk|j
k|j
k|j
4. 同時推定 [FIML−GNL]
∗ , µ∗ , αl∗
αm
j
kj0
5. アロケーション・パラメータへ変換
l
l∗
l∗
γkj = exp(αkj0 − max
αkj ′ 0 )
′
j
6. 正規化
l =l+1
No
∑
j
l =1
γkj
Convergence?
Yes
End
図 3.1: Vovsha [128] の提案アルゴリズム
で段階推定する．ここで，Sk ，Sj は選択肢段階，ネスト段階の段階最尤推定を意味する．GNL
モデルはその性質から，Marzano and Papola (2008) [75] により，一般的に対数尤度最大化時に
局所最適に陥りやすいことが知られている．これをなるべく回避するため，段階推定されたパラ
メータを初期値として一括推定を行なう．初期値として段階推定を行なうのは，段階推定では同
時推定時には保証されない凸性が（各段階内においては）保証されており，Newton 法などの比
較的収束が早いアルゴリズムを用いても解が発散する恐れが少ないためである．段階推定された
パラメータを同時推定時の初期値として用いることは，NL モデルにおいては，構造推定上問題
があることが Hensher (1986) [51] により指摘されている．しかし，GNL モデルでは，複数のネ
ストへの帰属を可能とし，構造推定上の制約がないため，上記の問題点は存在しない．二つ目は，
制約条件 (2.37) をパラメータ推定時にキャリブレーション内で明示的に課さない点にある．これ
は，条件 (3.34)，(3.35) より，対数尤度最大化においては，アロケーション・パラメータの制約条
件 (2.37) を明示的に考慮する必要がないためである．従がって，キャリブレーションを終了して
55
1. 初期設定
Start
0 ∀(k, j), µ0 ∀j
γkj
j
2. 算入確率計算
( )µlj ∑ (
)µlj′
′l = γ l
l
Pk|j
/
γ
′
′
j
kj
kj
3. 欠損データ補完
l,h
′
′l H ′l ≈ 100 × P l
δk|j = δkh h′ ∈ Hk|j
k|j
k|j
4. 一段階目推定 [Sk − GNL]
l∗ , αl∗ , γ l∗
αm
k0
kj
5. 二段階目推定 [Sj − GNL]
l =l+1
No
Convergence?
Yes
6. 正規化
∑
j
7. 初期値に代入
8. 同時推定
µl∗
j
段階
推定
l =1
γkj
0 = αl∗ , α0 = αl∗
αm
m
k0
k0
0 = γ l∗ , µ0 = µl∗
γkj
j
j
kj
[FIML−GNL]
∗ , α∗ , γ ∗ , µ∗
αm
j
k0
kj
同時
推定
End
図 3.2: 本研究の提案アルゴリズム
から一括して正規化する．これは，段階推定時，同時推定時両方ともに適用できる．実際に推定
する際には，固有選好度や類似度パラメータと同様に，0 になりそうにない特定の γkj を 1 なり
何らかの非負の数に固定すればよい．
実際に Takahashi (2011) [117] の問題に適用し，提案されたパラメータ手法を用い，同じパラ
メータが推定できるかを試す．その結果， 表 3.2 に示すように Takahashi (2011) [117] で複数回の
初期値からスタートしたものから最良のパラメータと同様のパラメータを段階推定したパラメー
タを初期値として得ることができる．ただし，類似度パラメータ，アロケーション・パラメータの
一部に値の乖離がみられる．
また，3, 4 節で証明された双対性を利用したアルゴリズムをパラメータ推定に用いることも考
えられる．具体的には，主双対内点法 [90, 126] が挙げられる．図 3.3.4 における Step. 4, 5 におい
56
表 3.2: 段階推定時 (Step)，同時推定時 (Sim.) のパラメータ
Step
Sim.
Step
Sim.
Step
Sim.
Step
Sim.
Step
Sim.
α1 −0.021 −0.014 γ11 0.271 0.272 γ31 0.189 0.090 γ52 0.095 0.103 γ72 0.138 0.090
α2
0.623
0.485 γ13 0.624 0.271 γ33 0.426 0.543 γ53 0.805 0.680 γ73 0.570 0.910
α3
0.004
0.002 γ15 0.104 0.456 γ36 0.385 0.367 γ55 0.100 0.217 γ76 0.292 0.000
α4 −0.384 −0.370 γ21 0.576 0.608 γ41 0.382 0.239 γ62 0.391 1.000 γ82 0.195 0.000
α5
1.258
0.731 γ24 0.129 0.222 γ44 0.077 0.170 γ64 0.227 0.000 γ84 0.093 0.218
µ1
0.503
0.185 γ25 0.295 0.170 γ46 0.541 0.591 γ65 0.382 0.000 γ86 0.713 0.782
µ2
Fix∗
Fix∗ µ3 0.225 0.342 µ4 0.626 0.573 µ5 1.000 0.462 µ6 0.146 0.397
∗1.0000 に固定．
てこの主双対内点法を適用することにより，より効率的に局所最適に陥っているか確かめること
h ，P h ∀ j, k, h）
ができる．ただし非集計の場合，双対問題の推定パラメータ数が膨大になる（Pk|j
j
ため，ある程度集計した方が，主双対内点法を用いる際には現実的である．
3.4
3 章のまとめ
本研究では（ランダム）効用最大化と整合的である GNL モデルについて，集計レベル，非集計
レベルにおいてエントロピー・モデルとの等価性を示した．これにより，GNL もエントロピー・
モデルとして解釈可能であることを示し，その情報理論的な側面からの意味を示すことができた．
まず，集計レベルでは，GNL モデルは 2 つのエントロピー制約を持つ数理計画問題と等価であ
ることが示された．これらの結果により， GNL と等価なエントロピー・モデル（式 (3.8)）に内
包される全てのエントロピー・モデルは，
（ランダム）効用最大化と整合的な行動を記述している
こととなる．すなわち，そのようなエントロピー・モデルの下では，消費者は（ランダム）効用
最大化するように行動している．これは，エントロピーというある種の系の集計量と，
（ランダム）
効用最大化という非集計的な個々の行動（の集計量）がある特別な場合には矛盾しないというこ
とを意味している．
（ランダム）効用最大化という消費者行動の仮定もしくは記述は，一般的には
将来的にも担保されるものとマーケティング・サイエンスでは考えられ，これに基づき需要予測
等の各種の予測がされることとなる．つまり，ある種のエントロピー・モデルも同様に需要予測
57
において行動記述を担保として，将来も（ランダム）効用最大化行動を行なっているものとして
予測が可能であることを意味する．
次に，非集計レベルでは，GNL モデルのパラメータ推定における段階推定対数尤度最大化問題
の一段階目，二段階目それぞれが，段階的情報量最小化問題のそれぞれに対応することを示した．
これにより，GNL モデルが非集計的にエントロピー・モデルとして解釈可能であることを示し，
その情報理論的な側面の意味を示すことができた．また，パラメータ推定を行なう上で，アロケー
ション・パラメータに関する制約条件は明示的に考慮する必要がなく，制約なしの対数尤度最大
化問題にその条件が含まれていることを示した．これらの事実を基に，Vovsha で提案されたパラ
メータ推定方法の改良を提案した．ここでは，Vovsha の特徴である固有選好度がある場合でも適
用可能かつ安定的なパラメータ推定方法を提案した．これは，一度段階推定したパラメータを初
期値として同時推定することにより得られる．また，アロケーション・パラメータの正規化はそ
の各段階で行なう必要がないことを等価性の証明より導いた．最後に，対数尤度最大化問題と情
報量最小化問題の双対性に着目した主双対内点法を利用したアルゴリズムの提案をした．
今後の課題としては，情報理論的にあいまいさを考慮している Fuzzy Logit Model[49] や，そ
の拡張モデルについてもエントロピー・モデルとの等価性を示すことが挙げられる．式 (3.8) に
ファジー・エントロピー項や更なるエントロピー項を追加しても，GNL モデルの選択確率式と同
様に，ファジー項がついた MNL，Three-level NL 等のモデルの選択確率式が結果として得られ
ることは，想像するに難くない．また，提案されたアルゴリズムの実装，適用が挙げられる．た
だし，主双対内点法を利用したアルゴリズムについては，計算速度の向上を狙ったものではない
ことに注意する必要がある．
3.A
3.A.1
付録
GNL における同時推定時の等価エントロピー・モデル構築の問題点
GNL における最尤パラメータ推定では，本研究で採用した段階推定と，同時推定がある．同時
推定では，段階推定の煩わしさや段階推定における一段階目の t 値の過大推定の問題点がなくな
るという利点がある．
同時推定時のパラメータ推定問題 [Primal-L′ ] は次のように表わすことができる：
58
[Primal-L′ ]
′
L :=
Nj
Nh ∑
∑
∑
sup
αm ∀m h′ =1 j ′ =1 k′ ∈K
j′
α0k ∀k
γ kj ∀(k,j)
µj ∀j
)
(
′
′
′
δjh′ ,k′ ln Pjh′ + ln Pkh′ |j ′ .
(3.64)
h は，消費者 h がネスト j により選択肢 k を選択した場合 1，それ以外は 0 を示す変
ここで，δj,k
数である．式 (3.64) の一階条件は，例えば µj の場合，


Nh
(
)
′
∑
∑
1/µ
∂L
j
′
′

=
Pkh′ |j ln γk′ j ′ exp Vkh′
(1 − Pjh ) ln Φ4 (µj ) −
∂µj
′
′
k ∈Kj
h =1


Nh
(
)
∑
∑
1/µ
1 
j
 , ∀j
+
ln Φ3 (µj ) −
Pkh′ |j ln γk′ j exp Vk′ h
µ
j
′
′
(3.65)
k ∈Kj
h =1
となる．しかし式 (3.65) は，明らかに µj に関して非線形である．従がって，同時推定の場合，陽
には，段階推定と同様な対数尤度最大化問題と等価なエントロピー・モデルを構築することはで
きない．
ただし，同時推定でも
∑N j
j ′ =1 γkj
′
= 1 (Const.）∀k という条件は対数尤度最大化問題に内包さ
れている．α0k に関する対数尤度関数 L′ の偏微分は，
Nj [
Nh ∑
( ′
)
)]
∑
∂L′
1 ( h
h′
h
h′
h
Pk|j ′ δj ′ ,k − Pj ′ +
⇒
δ ′ − Pk|j ′ = 0, ∀k
∂α0k
µj ′ j ,k
′
′
(3.66)
h =1 j =1
となる．同様に，γ kj に関する対数尤度関数 L′ の偏微分は，
Nh [
( ′
)
)]
1 ∑
1 ( h′
∂L′
h′
h
h′
h′
=
Pk|j δj,k − Pj +
δ − Pk|j , ∀(k, j)
∂γ kj γ kj ′
µj j,k
(3.67)
h =1
∑N j
となる．式 (3.66)，(3.67) より， j ′ =1
γkj ′ = 1(Const.）∀k が導かれる．つまり，同時推定にお
いても条件 (2.35) を明示的に制約条件として考慮する必要はない．
3.A.2
式 (3.33)–(3.36) の導出
ここでは，本文中で省略した式 (3.33)–(3.36) の導出について，段階を追って詳細を示す．
αm に関する L1 の偏微分
まず，Φ3 , Φ4 各項の αm に関する偏微分は次のとおり求まる：
∂Φ3 (αm )
Xkm
=
F (αm ),
∂αm
µj
(3.68)
59
(
)
)1/µj
1
∂Φ4 (αm )
1 ∑ (
h′
Xk′ m :=
=
γ k′ j exp Vk′
Φ5 (αm ).
∂αm
µj ′
µj
(3.69)
k ∈Kj
式 (3.68)–(3.69) を用いて，Pk|j の αm に関する偏微分は，次のとおり表わせられる：
h
∂Pk|j
∂αm
=
∂Φ3 (αm )
∂αm Φ4 (αm )
∂Φ4 (αm )
∂αm Φ3 (αm )
Φ4 (αm )2
−
=
Pk|j
µj
(
Xkm −
Φ5 (αm )
Φ4 (αm )
)
.
(3.70)
最後に，式 (3.70) を式 (3.41) に代入することにより，最終的な対数尤度関数の偏微分は次のとお
り表わせられる：


Nj
Nj
Nh ∑
Nh ∑
h′ X ′
h′ X ′
∑
∑
∑
∑
δ
P
′
′
′
′
km
km
∂L1
k |j
k |j
 , ∀m ⇒ (3.33).
=
−
′
′
∂αm
µ
µ
j
j
′
′
′
′
′
′
h =1 j =1 k ∈Kj ′
(3.71)
h =1 j =1 k ∈Kj
α0k に関する L1 の偏微分
αm と同様の手順で最終的な偏微分を導こう．ここで注意すべきは，αm は j, k 共通であるのに
対し，α0k は k により異なるという点である．Φ3 , Φ4 各項の α0k に関する偏微分は次のとおり
求まる：
∂Φ4 (α0k )
Φ3 (α0k )
∂Φ3 (α0k )
=
=
.
∂α0k
∂α0k
µj
(3.72)
式 (3.72) を用いて，Pk|j の α0k に関する偏微分は，次のとおり表わせられる：
h
∂Pk|j
∂α0k
=
h (
)
Pk|j
h
1 − Pk|j
.
µj
(3.73)
最後に，式 (3.73) を式 (3.41) に代入することにより，最終的な対数尤度関数の偏微分は次のとお
り表わせられる：


Nj
Nj
Nh ∑
Nh ∑
h′
h′
∑
∑
δk|j
Pk|j
′
′
∂L1
 , ∀k ⇒ (3.34).
=
−
∂α0k
µj ′
µj ′
′
′
′
′
h =1 j =1
ここで
∑
k′ ∈Kj
(3.74)
h =1 j =1
が式中より消えているのは，この条件が任意の k について成立するためである．
γ kj に関する L1 の偏微分
Φ3 , Φ4 各項の γ kj に関する偏微分は次のとおり求まる：
∂Φ3 (γ kj )
∂Φ4 (γ kj )
Φ3 (γ kj )
=
=
.
∂γ kj
∂γ kj
γ kj µj
(3.75)
60
式 (3.75) を用いて，Pk|j の γ kj に関する偏微分は，次のとおり表わせられる：
h
∂Pk|j
∂γ kj
h (
)
Pk|j
h
1 − Pk|j
.
γ kj µj
=
(3.76)
最後に，式 (3.76) を式 (3.41) に代入することにより，最終的な対数尤度関数の偏微分は次のとお
り表わせられる：
∂L1
1
=
∂γ kj
γ kj µj
[
Nh
∑
h′
δk|j
h′ =1
Nh
∑
−
]
h′
Pk|j
, ∀(k, j) ⇒ (3.35).
(3.77)
h′ =1
∑N j ∑
ここで， j ′ =1
, k′ ∈K が式中より消えているのは，任意の (k, j) ペアについて，この条件が成立
するためである．
µj に関する L2 の偏微分
µj に関する L2 の偏微分を求める際に注意すべきは，確率 Pjh がここでは，
(
Pjh
=
∑ (
k′ ∈Nj
∑
j
(
)µj
γk′ j exp Vk′
∑ (
k′ ∈Nj
)
h 1/µj
)
h 1/µj
)µj :=
Φ1 (µj )
Φ2 (µj )
(3.78)
γk′ j exp Vk′
となることである．内側の µj は一段階目で定めた j ごとの 0 ではない定数であり，ここでは変
数ではない．
Φ1 , Φ2 各項の µj に関する偏微分は次のとおり求まる：
∂Φ1 (µj )
∂Φ2 (µj )
=
= Φ1 (µj ) ln Φ4 .
∂µj
∂µj
(3.79)
式 (3.79) を用いて，Pj の µj に関する偏微分は，次のとおり表わせられる：
∂Pjh
=
∂µj
∂Φ1 (µj )
∂µj Φ2 (µj )
∂Φ2 (µj )
∂µj Φ1 (µj ) h
Pj (1
Φ2 (µj )2
−
− Pjh ) ln Φ4 .
(3.80)
最後に，式 (3.80) を式 (3.42) に代入することにより，最終的な対数尤度関数の偏微分は次のとお
り表わせられる：
]
[N
Nh
h
∑
∑
∂L2
h′
h′
Pj ln Φ4 , ∀j ⇒ (3.36).
=
δj ln Φ4 −
∂µj
′
′
h =1
ここで
∑Nj
j ′ =1
(3.81)
h =1
が式中より消えているのは，この条件が任意の j について成立するためである．
第 4 章 ブランド選択モデルへの GNL モデルの
適用
4.1
4 章の目的
近年の IT 技術の進歩により，顧客の購買履歴や消費者行動に関するデータの入手が容易になっ
ている．そして，これらのデータを分析し，市場ニーズにあった商品を開発することが重要となっ
ている．しかし，実際の市場において消費者が商品を購買する過程においては，商品の類似性が
存在する．
商品の類似性による影響としては，ある商品が売り切れた場合，その商品により類似した商品の
購買回数が増加するといったものが挙げられる．マーケッティング・サイエンスにおいては，入れ
子構造を仮定しモデル構築される場合が多い (Louviere and Woodworth, 1983 [71]; Kannan and
Wright, 1991 [60]; Bodapati, 1996 [16]; Kwak, 2007 [68])．これらのモデルは全て NL モデルであ
り，モデル内では消費者はいくつかの階層を踏んで商品を選択するとし，上位階層における確定
的効用の説明変数に下位階層の統合値であるカテゴリー・バリュー (ログサム) が用いられる．例
えば，紙パック牛乳の選択行動では，まず，ブランドを選択し，次に個別商品を選択するといった
モデルが考えられる．しかし，紙パック牛乳には，ブランド以外にも成分 (成分無調整，低脂肪)，
容量といった属性が存在し，これらの属性による構造化 (ネスティング) も考えられる．つまり，
単なるブランド選択レベルではなく，多くの属性を有する SKU レベルの商品選択モデルでは多
属性による構造化が必要となる．しかし，通常の NL モデルでは個別の選択肢は複数の上位階層
に帰属することはできない．NL モデルを拡張し，複数の上位階層への帰属を可能とすることはモ
デルの精緻化，市場構造の把握，ひいては需要予測において有用である．
そこで，本章では GNL モデルを用い，ブランド選択モデルを構築する．GNL モデルは，その多
くが交通計画分野において適用されている．ここでは，目的にあわせ，様々な具体的な構造：ネス
ティング・ルールが提案されている．しかし，数少ないマーケティング分野における研究 [19, 127]
では，その明示的なルールが示されていない．
61
62
本研究では，2 つのネスティング・ルールを提案する．一つ目が，属性によるネスティングを行
なう，属性分割である．このネスティング・ルールを実際のデータに適用することにより，より精
緻な需要予測等が可能になるものと期待される．日本の市場は，その商品ラインナップの多さか
ら稀有な市場（例えば Lindstrom, 2008 [69]）といわれており，商品が多くの属性を持つことが多
く，GNL モデルを適用する機会は多いといえる．
二つ目が，よりアドホックなルールであり，マーケティングで広く取り入れられている消費者潜
在クラスである．一般的な潜在クラスは，そのセグメントサイズの決定は，定数であったり，デ
モグラフィック変数であるのに対し，下位階層の効用の集計値であるログサムとなる．また，属性
分割においては，あるネストにはその属性を持つ選択肢のみが所属するのに対し，潜在クラスに
は基本的に全ての選択肢が所属する．このルールは，次章で心理的現象を（ランダム）効用最大
化と整合的に説明するのに用いられる．
本論文の構成は以下のとおりである．まず，4.2 節では，既存の GNL モデルのネスティング・
ルールについてレビューを行なう．次に 4.3 節では提案するネスティング・ルールを示す．そして，
4.4 節では，4.3 節で提案されたネスティング・ルールを実際のデータに適用し，パラメータ推定
を行なう．また， MNL,，NL，計四つのモデルと GNL モデルを比較，検証し，感度分析を行な
う．最後に，4.5 章において本章のまとめを述べる．
4.2
既存の GNL モデルのネスティング・ルール
交通計画分野における GNL/CNL モデルの適用例として，表 4.1 が挙げられる．ここでは，い
くつかのネスティング・ルールが提案，実施・検証されている．
Vovsha (1997) [128]， Wen and Koppelman (2001) [130]，溝上 (2003) [92] は複数の交通機関
の乗り継ぎが考えられる際の交通機関選択を対象としている．ここでは，ある単一の交通機関（バ
ス，鉄道，飛行機）がネストに配置され，それの組み合わせにより実現される交通機関の乗り継
ぎが選択肢となる．例えば，世田谷区に在住の人が大阪の難波までのトリップを考えよう．まず，
リムジンバスで羽田空港まで向かい，飛行機で大阪伊丹空港まで飛び，そのあと地下鉄で難波ま
で向かったとする．この選択肢（経路）は，バス，飛行機，鉄道を利用しているため，この選択
肢とこれらのネスト（単一交通機関）の間にアロケーション・パラメータが設定される．同様に，
Vovsha and Bekhor (1998) [129] は，道路交通における経路選択に GNL モデルを応用している．
63
表 4.1: 交通計画分野における GNL/CNL モデルのネスティング・ルール
Article
Nest
Alternative
Target
single mode
mode (with transit)
intra-city
traffic link
road route
intra-city road
Wen and Koppelman (2001) [130]
single mode
mode (with transit)
inter-city
溝上 (2003) [92]
single mode
mode (with transit)
intra-city
Koppelman and Sethi (2005) [67]
latent class
mode
inter-city
Vovsha (1997) [128]
Vovsha and Bekhor (1998) [129]
Link A
O
Link D
Link C
Link B
D
D
A
C
E
B
Nest (Link) j
Link E
Route 1:{A, D}
Route 2:{A, C, E}
Route 3:{B, E}
Alternative (Route) k
1
2
3
図 4.1: Vovsha and Bekhor (1998) [129] におけるネスティング・ルール
ここでは，ある経路を選択肢とし，その経路を構成するリンクをネストとする．図 4.1 左図のよ
うな Braess ネットワーク [40] において，出発地 O から目的地 D までの経路を考えた場合，具体
的なネスティングは右図のようになる．一例として，リンク A, C, E で構成されるルート 1 は，
A, C, E の三つのネストに所属する形となる．最後に， Koppelman and Sethi (2005) [67] では，
消費者がある潜在的なクラスに属するものとし，交通機関を選択するとしている．ここでは，あ
る潜在クラスがネストに配置され，選択肢として交通機関がある．この潜在クラスにより，確率
項が，ある種歪んだ構造を持ち，この歪みにより消費者の異質な反応を表現している．いずれも，
明確なネスティング・ルールが存在する．
マーケティング・サイエンスにおいては，GNL/CNL モデルのネスティング・ルールについて定
まったものは存在しない．マーケティング・サイエンスにおいても，表 4.2 に示すように，少ない
ながら GNL/CNL モデルが適用されている．しかし，明確なネスティング・ルールが存在する交
通計画分野に対し，マーケティング・サイエンスでは明確ではない．Bresnahan et al. (1997) [19]
64
表 4.2: マーケティング・サイエンスにおける GNL/CNL モデルのネスティング・ルール
Article
Bresnahan et al.
(1997)[19]
Nest
Alternative
Target
single product
personal computer
single lodge
lodge
the newest model or not,
and branded or not
Venkataraman and
obscurity
Kadiyali (2005) [127]
はパソコンの購買に CNL モデルを適用している．ただし，ネストは各時期に最新か否か，もし
くはブランドかノンブランドの 4 つとしており，理由は詳しくは書かれていない．Venkataraman
and Kadiyali (2005) [127] に至ってはネストの意味を全く述べていない．つまり，マーケティン
グ・サイエンスにおいては，GNL/CNL モデルのネスティング・ルールは確立されていないとい
える．
4.3
提案するネスティング・ルール
本節では，マーケティング・サイエンスにおける代表的なモデルである，ブランド選択モデルへの
適用を考えた GNL/CNL のネスティング・ルールを提案する．具体的には，属性分割 （Attribute
Separation） と消費者潜在クラス（Consumer Latent Class) である．
前者は，商品の持つ属性に着目し，それをネストに配置するものである．交通計画分野の Vovsha
and Bekhor (1998) [129] のネスティング・ルールをマーケティング・サイエンスとして捉えたも
のと解釈できる．具体的には，次の手順で構造が決定される：
1. カテゴリー内の商品の属性を列挙する，
2. その属性を（∼がないというのを含め）ネストとして平行に並べる，
3. 商品を選択肢として並べ，ある属性とその属性を持つ商品をアロケーション・パラメータで
接続．
この手法は，パソコン等の多くの属性を持つカテゴリーに有効であると考えられる．本章で，ペッ
トボトル・コーラへと適用し，その妥当性を検証する．
65
後者は，消費者の異質性に着目し，消費者が潜在的なクラスに属するものと仮定するものであ
る．各クラスは，原則全ての商品との間をアロケーション・パラメータで接続する．交通計画分
野の Koppelman and Sethi (2005) [67] のネスティング・ルールをマーケティング・サイエンスに
応用したものである．5 章で GNL モデルを拡張したものに適用し，6 章でも心理的効果を表現す
るのに用いる．
4.4
パラメータ推定方法
GNL モデルのパラメータ推定は最尤推定により行なわれるのが一般的である．3 章で示したよ
うに，最尤推定にも段階推定と同時推定があるが，本章では，同時推定を採用する．
同時推定時の GNL モデルの尤度関数 L は次のとおり書ける：
L(θ) =
Nj
Nh ∏
∏
∏ {
}δh′
Pk′ |j ′ (θ)Pj ′ (θ) j ′ ,k′ .
(4.1)
h′ =1 j ′ =1 k′ ∈Kj ′
h は消費
ここで，θ はモデルのパラメータの集合，Nh は購買機会数（サンプル数） そして，δj,k
者 h が属性 j によりブランド（商品） k を選択した場合 1 , しない場合 0 となる変数である．式
(4.1) の対数をとると，対数尤度関数
L(θ) := ln(L(θ)) =
Nj
Nh ∑
∑
∑
h′ =1 j ′ =1
k′ ∈Kj ′
′
′
′
δjh′ ,k′ ln Pkh′ |j ′ (θ)Pjh′ (θ).
(4.2)
が導かれる．この対数尤度を最大化するように，パラメータを推定する．ただし，一般的な NL
モデルは階層別に段階推定が可能であるが，本モデルでは，潜在クラス及びサブクラスの選択結
果が直接観測できないため，すべてのパラメータを同時推定する必要がある．
この種のモデルでは，同一データより異なるパラメータが推定される可能性がある (Marzano
and Papola, 2008 [75])．そこで，本研究では，NL モデルで一旦パラメータ推定を行ない，そのパ
ラメータを初期値として LGNL モデルのパラメータ推定を行なう．ただし，Marzano and Papola
(2008) [75] は，一般的な初期値依存問題を述べているのではなく，同じ相関構造を持つまったく
異なるパラメータ・セットが存在することを指摘している．この現象は最小二乗法により小数の
データより回帰係数を求める際に最尤推定量が一意に求まらない場合とは異なり，ニューラル・
ネットワークの構造推定等と同様の，同程度の対数尤度がまったく異なるパラメータ・セットよ
り推定される可能性を示唆している．交通計画分野において，Zhuang et al. (2007) [134] はこの
66
表 4.3: 推定，検証用データの概要
Employ
Name
Portion (%)
# of purchase
k
or not
Estimation
Verification
Total
1, 605
employ
29.5
32.5
30.5
1
Coca-Cola 500ml
506
employ
9.6
9.9
9.6
2
Diet Coke 1.5l
707
employ
13.8
12.6
13.4
3
Diet Coke 500ml
180
employ
3.6
3.0
3.4
4
1, 024
employ
18.8
20.8
19.4
5
Pepsi 500ml
525
employ
10.1
9.7
10.0
6
Diet Pepsi 1.5l
611
employ
12.1
10.5
11.6
7
Diet Pepsi 500ml
111
employ
2.2
2.0
2.1
8
–
–
–
–
Coca-Cola 1.5l
Pepsi 1.5l
US Coke 500ml
75
問題点が実際の問題として生起していることを示している．これを極力回避するために，GNL モ
デルに内包される NL モデルでまずパラメータ推定を行ない，類似度パラメータの大きさを確認
し，それを初期値（初期値は潜在クラス数に依存し，単純に各 NL モデルが一意に収束した場合
には（後に示す検証では 3 つ，一意に収束しない場合にはそれ以上）とし，類似度パラメータの
大きさが大幅にずれないように，パラメータ推定を行なう．
4.5
4.5.1
GNL モデルの適用
対象データ
本研究では，同一スーパー・チェーン 2 店舗で 2001 年年間に販売されているペットボトル・
コーラのスキャン・パネル・データを用い，パラメータの推定を行なう．データ詳細を表 4.3 に示
す．データの対象商品数は全 9 商品のうち購買機会 100 回以上である表に示す 8 種類とする．全
サンプル数は 903 世帯，5, 269 購買機会であり，約 2/3 に相当する 545 世帯，3, 505 購買機会を
推定用サンプルとし，残り約 1/3 に相当する 458 世帯，1, 764 購買機会を検証用サンプルとする．
67
j=1
2
3
4
5
6
Attribute j
SKU Level Product k
k=1
2
3
4
5
6
7
8
図 4.2: 属性分割による GNL モデルの構造 (ペットボトル・コーラ)
4.5.2
効用関数，選択構造の同定
選択肢の確定的効用関数は，以下に示す変数を用い，一般的な線形とする：
Vkh = α1 X1k + α2 X2k + α3 X3k + α4 X4k + α5 X5k ∀k.
(4.3)
ここで X1k は商品 k の価格（円），X2k はコカコーラ・ダミー（コカコーラ = 1），X3k は容量
(ml)，X4k はノンシュガー・ダミー（ノンシュガー = 1），X5k は前回購買商品ダミー（前回購
買商品 = 1）である．なお，初期購買時においては，すべての商品を X5k = 1 と設定する．
ネスティング・ルールとして属性分割を用いる．ネストは，ブランド：コカ・コーラ（j = 1），
ブランド：ペプシ（j = 2），容量：1.5l（j = 3），容量：500ml（j = 4），内容：通常（j = 1），
内容：低糖，無糖（j = 2）の 6 つを仮定する．以上より，具体的な選択ツリーは図 4.2 に示すと
おりとなる．
4.5.3
MNL, NL モデルとの比較，検証
商品属性の類似性（構造異質性）の有無によるモデル適合度を比較するため，類似性をまった
く仮定しないモデル [MNL]，ブランドによる類似性のみを考慮したモデル [NL1]，量による類似
性のみを考慮したモデル [NL2]，内容の違い（低糖，無糖か否か）による類似性を考慮したモデル
[NL3]，そして 3 つ全てを考慮するモデル [GNL] の 5 つのモデルを比較することとする．
68
表 4.4: 統計量の比較（GNL vs. MNL, NL）
[MNL]
[NL1]
[NL2]
[NL3]
[GNL]
−3, 006
−2, 994
−2, 998
−2, 915
−2, 842
AIC
6, 022
6, 003
6, 010
5, 845
5, 734
ρ¯2
0.1781
0.1806
0.1797
0.2021
0.2199
Hit Ratio
0.4042
0.4070
0.4031
0.4105
0.4184
L
統計量の比較
5 つのモデルの統計量の比較を表 4.4 に示す．全ての属性の類似性を考慮している [GNL] は，ρ¯2
が 0.2199 と 0.2 を上回る値を示しており，十分な再現性を有しているといえる．5 つのモデルの
比較においても，対数尤度，AIC，BIC，的中率すべてにおいて，[GNL] がまさっており，全ての
属性の類似性を考慮することが再現性を向上しているといえる．また，[NL1]，[NL2]，[NL3] を
比較した場合，一番統計量の面から優れているのは [NL3] である．このことから，消費者は一番
内容の違いを気にしており，次にブランド，最後に容量といえる．ただし，NL モデルの全ての統
計量は，MNL モデルとの差は小さいため，全ての類似性を考える意味は大きいといえる．このよ
うな結果となった理由としては，データ取得場所が大手スーパーであるため，特売日のまとめ買
い等，我々が買ってすぐに飲むという場合と比較し，ブランドによる類似性は過小に見積もられ，
内容に焦点があたった点が挙げられる．本研究で対象としてスーパーではなく，コンビニエンス・
ストア等ではまた違う結果が出る可能性がある．
パラメータの比較
5 つのモデルの主要パラメータを表 4.5 に示す．また，確定的効用関数パラメータを金銭換算し
たものを表 4.6 に示す．
表 4.5 より，各モデルの確定的効用関数パラメータは概ね 99% で統計的有意といえる．ただ
し，MNL モデルでは，ノンシュガー・ダミーが有意となっていない．また，モデル間でブランド・
ダミーとノンシュガー・ダミーにモデル間で特に大きな差が存在していることがわかる．これは
MNL，NL モデルにおいてネスティングされない属性が確定的効用関数の値に大きな影響を及ぼ
していると考えられる．
69
表 4.5: 確定的効用関数パラメータの比較（GNL vs. MNL, NL）
[MNL]
[NL1]
[NL2]
[NL3]
[GNL]
−0.020
−0.020
−0.017
−0.016
−0.011
Fixed
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
0.446
0.390
0.304
0.373
0.043
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
0.002
0.002
0.002
0.001
0.002
∗
∗∗
∗
∗
∗∗
−0.001
−0.801
−0.800
−1.285
−0.256
∗
∗∗
∗∗
∗∗
1.362
1.197
1.051
1.115
0.587
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
α1
α2
α3
α4
α5
t 検定において ∗∗99%有意，∗95%有意
表 4.6 は，価格に関するパラメータ α1 で各パラメータを除すことで，各パラメータを金銭換算
している．一番統計量の比較において優れている GNL モデルの値を真とするならば，単位あた
り容量については，MNL，NL の各モデルは過小評価，内容ダミーについては，MNL モデルは
過小評価，NL の各モデルは過大評価していることとなる．これは，集計量の比較において大きな
差となって現れる．
表 4.7 は，検証用データの集計量の比較結果を示している．この集計量は所謂マーケット・シェ
アであり，実務において最もモデルの適合度を判断するのに使われる．各統計量が劣っている，
[MNL]，[NL2]，[NL1]，[NL3]，[GNL] の順に最小二乗誤差 (M SE) が小さくなっていることがわ
かる．特に [GNL] は他のモデルと比較し，最小二乗誤差が 1/10 程度と極めて小さい．つまり，
集計量からも GNL モデルの優位性が示されたといえる．
4.5.4
感度分析
ここでは，前節までで推定されたパラメータのもと，感度分析を行なう．具体的には，特定商
品（今回は k = 1，コカコーラ 1.5l）を売切れとした場合，特定商品（今回はダイエットペプシ
70
表 4.6: パラメータの金銭換算（GNL vs. MNL, NL）
[MNL]
[NL1]
[NL2]
[NL3]
[GNL]
22.06
36.06
23.41
23.24
38.59
0.12
0.08
0.11
0.05
0.18
α2 /α1
(yen)
α3 /α1
(yen/ml)
α4 /α1
(yen)
−0.06
−40.60
−47.96
−80.10
−23.16
α5 /α1
(yen)
67.37
60.69
63.04
69.54
53.18
1.5l，500ml）に価格プロモーションを行なった場合の選択確率の変化を，モデル間で比較する．
特定商品を売切れとした場合の選択確率の比較
本小節では，特定商品（今回は k = 1，コカコーラ 1.5l）を売切れとし，消費者がすべて代替商
品を購買するという仮定のもと，選択確率の変化をモデル間で比較する．ただし，価格その他の
値については，パラメータ推定時と同様とする．通常時の各商品の選択割合，売切れ時，そして
その差について表 4.8 に示す．
k = 1 の商品は購入割合も大きいため，売切れ時の割合の変動も大きい．モデル間で比較した
場合，k = 4，k = 5 の値のばらつきが大きくなっている．これは，属性の類似性を考慮したかし
ないか，そしてその大きさに依存するものと考えられる．k = 4 はブランドが k = 1, 2 と同じで
あり，容量も k = 2 と同じである．同様に k = 5 は k = 1 と容量，内容が同じである．このよう
に商品属性の類似性を考慮することにより，大きく予測結果が異なることがわかる．
特定商品価格プロモーション時の選択確率の比較
本小節では，特定商品（今回はダイエットペプシ 2 商品 k = 7, 8）について，価格を表示価格
の 30% 引きとした場合の選択確率の変化をモデル間で比較する．通常時，プロモーション時，そ
の差について表 4.9 に示す．
モデル間で比較した場合，k = 5，k = 8 の値のばらつきが大きくなっている．これも売切れ時
と同様に，属性の類似性を考慮したかしないか，そしてその大きさに依存するものと考えられる．
k = 5 はブランドが k = 7, 8 と同じであり，容量も k = 7 と同じである．同様に k = 8 は k = 7
とブランド，内容が同じである．一般的に商品 k = 7 の方が k = 8 より魅力的であり，GNL モ
71
表 4.7: 集計量の比較（GNL vs. MNL, NL）
Actual
[MNL]
[NL1]
[NL2]
[NL3]
[GNL]
P1A
32.46
23.34
24.25
23.88
25.69
30.35
P2A
9.04
8.56
8.02
8.24
11.33
9.08
P3A
12.62
18.31
18.69
18.45
16.13
14.09
P4A
2.96
6.94
6.23
7.03
4.35
3.65
P5A
20.75
19.14
18.48
18.8
21.39
20.25
P6A
9.67
5.08
5.43
5.17
7.30
10.04
P7A
10.52
14.23
14.04
13.66
11.57
10.43
P8A
1.99
4.40
4.86
4.74
2.25
2.11
MSE∗
–
21.85
19.97
20.77
9.07
0.94
K-L Div.
0
7.11 × 10−2
6.56 × 10−2
7.03 × 10−2
2.16 × 10−2
2.39 × 10−3
∗ 平均二乗誤差
デルではこの間に複数の類似性を考慮することにより，k = 7 の選択割合がさらに伸び，その分
k = 8 は伸び悩んだと考えられる．このように商品属性の類似性を考慮することにより，大きく予
測結果が異なることがわかる．
4.6
4 章のまとめ
本章では，今まで明確に定義されることのなかった，マーケティング分野における GNL モデ
ルのネスティング・ルールについて，1) 商品異質性を捉える：属性分割，2) 消費者の異質性を捉
える：潜在クラス の２つを提案した．そして，属性分割について，実際の POS データに適用し，
既存の MNL，NL モデルと比較することでその有効性を検証した．
検証の結果，対数尤度，AIC，BIC，McFadden の自由度調整済 ρ2 いずれの統計量も MNL，NL
モデルと比較し，GNL モデルが優れていることがわかった．また，確定的効用関数のパラメータ
が MNL，NL，GNL の各モデル間で大きく異なることがわかった．仮に GNL モデルのパラメー
タが真だとするならば，MNL，NL の各モデルは，需要予測等において大きな誤差を生む可能性
がある．これは，検証用データにおける集計量の誤差にも現れている．集計された選択確率，すな
72
わちマーケット・シェアの誤差は，GNL モデルが小さく，他のモデルの 1/10 程度であった．こ
れらの事実から，既存の MNL，NL モデルと比較し，GNL モデルをブランド選択モデルに適用
することは有効であるといえる．
今後の課題としては，より多くの属性をもった商品カテゴリー，例えばパソコンへの適用が挙
げられる．このような場合，アロケーション・パラメータの数が膨大となる恐れがあり，構造化が
必要となるだろう．
73
表 4.8: 商品売切れ時の選択割合の比較（GNL vs. MNL, NL）
QA
k
Normal(%)
[MNL]
[NL1]
[NL2]
Sell out(%)
[NL3] [GNL] [MNL]
[NL1]
[NL2]
Difference (point)
[NL3] [GNL]
[MNL]
[NL1]
[NL2]
[NL3]
[GNL]
QA
1 23.3 24.3 23.9 25.7 30.4 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 −23.3 −24.3 −23.9 −25.7 −30.4
QA
2
9.1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
−8.6
−8.0
QA
3 18.3 18.7 18.5 16.1 14.1 27.1 30.6 28.3 25.8 26.1
8.8
11.9
9.9
9.7
12.0
QA
4
6.4
3.5
4.3
2.7
2.8
2.8
QA
5 19.1 18.5 18.8 21.4 20.3 27.3 25.0 27.5 33.3 34.2
8.1
6.5
8.6
11.9
14.0
QA
6
7.1 11.8 13.5
2.5
2.1
2.0
4.5
3.4
QA
7 14.2 14.0 13.7 11.6 10.4 20.9 19.5 20.7 18.3 16.5
6.6
5.4
7.0
6.8
6.1
QA
8
2.3
2.1
1.9
1.5
1.2
8.6
6.9
5.1
4.4
8.0
6.2
5.4
4.9
8.2 11.3
7.0
5.2
4.7
4.3
3.6 10.5 10.5
7.3 10.0
2.2
2.1
7.5
6.7
7.6
6.9
9.8
6.6
7.1
3.7
3.3
−8.2 −11.3
−9.1
表 4.9: 価格プロモーション時の選択割合の比較（GNL vs. MNL, NL）
QA
k
Normal(%)
[MNL]
[NL1]
[NL2]
Under promotion(%)
[NL3] [GNL] [MNL]
[NL1]
[NL2]
[NL3] [GNL]
Difference (point)
[MNL]
[NL1]
[NL2]
[NL3]
[GNL]
QA
1 23.3 24.3 23.9 25.7 30.4 18.6 19.4 18.3 22.1 24.8 −4.7 −4.8 −5.6 −3.5 −5.6
QA
2
9.7
7.9 −1.9 −1.7 −1.5 −1.7 −1.1
QA
3 18.3 18.7 18.5 16.1 14.1 14.4 14.8 13.9 11.1
8.0 −3.8 −3.9 −4.6 −5.0 −6.1
QA
4
2.7 −1.5 −1.4 −1.3 −1.5 −0.9
8.6
6.9
8.0
6.2
8.2 11.3
7.0
4.3
9.1
3.6
6.7
5.4
6.3
4.9
6.7
5.7 28.5
QA
5 19.1 18.5 18.8 21.4 20.3 15.3 14.7 14.4 18.5 14.3 −3.8 −3.7 −4.4 −2.9 −5.9
QA
6
5.1
5.4
5.2
7.3 10.0 39.5
4.2
4.2
6.2
8.9 −1.1 −1.2 −1.0 −1.1 −1.1
QA
7 14.2 14.0 13.7 11.6 10.4 29.0 28.5 30.2 26.0 27.2 14.8 14.5 16.5 14.5 16.8
QA
8
4.4
4.9
4.7
2.2
2.1
6.6
7.2
6.6
3.5
6.1
2.2
2.3
1.8
1.2
4.0
第 5 章 GNL モデルの拡張：消費者異質性の導入
5.1
5 章の目的
前章までで，市場に存在する商品の複雑な類似性については，GNL モデルで表現でき，既存の
モデルと比較し再現性の面で優れていることがわかった．しかし，実際の市場において消費者が
商品を購買する過程においては，消費者の異質性が存在する．
消費者の異質性とは，商品を購買する消費者に異質性の存在を仮定するものであり，マーケティ
ング・サイエンスにおいては，消費者が潜在的なクラスに所属すると仮定し，モデル構築がされ
る場合が多い (Kamakura and Russell, 1989 [59]; Gupta and Chintagunta, 1994 [45]; Kamakura
et al., 1996 [58]; Andrews and Currim, 2002 [4])．これらのモデルは潜在クラス・モデルと呼ば
れ，0, 1 で表わされる商品購買履歴であるスキャン・パネル・データのみから潜在クラスへの帰
属確率，各クラスの確定的効用関数のパラメータ推定が可能である．また，潜在クラス自体の数
についても，AIC (Kamakura and Russell, 1989 [59]; BIC (Gupta and Chintagunta, 1994 [45];
Kamakura et al., 1996 [58]; Andrews and Currim, 2002 [4]) といった情報量基準により内生的に
決定される．そして，推定された確定的効用関数のパラメータ，商品の選択確率より各潜在クラス
の意味づけを解釈することとなる．しかし，因子分析における因子の解釈と同様に，クラス数が
多い場合，この意味づけが困難な場合がある．また実務において，新規の類似商品が登場し，そ
の需要を予測するといった場合にも，潜在クラスの意味づけが困難であり，意味づけができても，
現実にそぐわないクラスが生起する場合もある．これは，MNL モデルや MPL モデルといった非
集計モデルの主要な適用範囲である需要予測，特に新規商品を導入した際，既存の類似商品への
影響について意味解釈が伴った予測が困難となることを意味する．
しかし，CNL，GNL モデルの階層構造は，あくまで経路選択モデルでは，経路選択行動におけ
る交通ネットワークの複雑さ，ブランド選択モデルでは，商品間の類似性を表わしたものである．
したがって，これをそのまま商品購買行動における消費者の異質性のある意思決定に適用するこ
とは難しい．
74
75
そこで，本章では CNL，GNL モデルを基に商品選択行動において消費者異質性，商品類似性
を同時に考慮できるモデル，Latent Generalized Nested Logit (LGNL) モデルを提案する．この
モデルは，価格.com のようなサイトにおいて商品を選択する際に顕著である，商品構成要素，具
体的構成要素指標，具体的商品という 3 段階の選択行動を表現する．このようなサイトにおいて
は，商品を構成する要素のスペックにより商品を絞り込んで表示し，多くの商品からそのスペッ
クに合致した商品のみが列挙，比較検討することが可能である．本研究で提案するモデルにおい
ても，各商品構成要素指標に適合しない具体的商品はその下位階層には帰属しない．例えばメモ
リーが 4 GB という具体的構成要素指標の下位階層には，メモリーが 2 GB の商品は帰属しない．
これはすべての商品が下位階層に所属する潜在クラス・モデルとは大きく異なる．この対応付け
を外生的に定義することにより，潜在クラスの意味解釈が容易となる．この 3 段階の選択行動の
表現及び，潜在クラスの設定方法は本研究のオリジナルであり，既存の研究にはみられないもの
である．次に，このモデルを具体的商品カテゴリーに適用し，スキャン・パネル・データよりパ
ラメータ推定を行なうことにより，消費者異質性，商品類似性を考慮することによるモデルの妥
当性の検証を行なう．
本章の構成は次のとおりである．まず，5.2 節では既存の消費者異質性，商品（選択肢）類似性
を表現するモデルについてレビューし，これらの問題点についてそれぞれ指摘する．次に 5.3 節で
は提案モデル，LGNL モデルの定式化を行なう．そしてこのモデルが GNL モデルと同様に（ラ
ンダム）効用最大化と整合的であることを示す．また，5.4 節では，提案モデルを具体的な商品に
適用し，パラメータ推定を行なう．そして MNL，Latent Class Multinomial Logit (LCL)，GNL，
LGNL 計四つのモデルを比較，感度分析を行なう．最後に，5.5 節において本章のまとめを述べる．
5.2
既存の消費者異質性を考慮したモデル
本節では，既存の消費者異質性を考慮したモデルについてレビューし，それぞれの問題点を指
摘する．
5.2.1
消費者異質性を考慮したモデル
一般的に消費者は異質であると考えられるが，これをスキャン・パネル・データから直接推定
することは難しいため，潜在的なクラスを考え，そこに消費者が潜在的に所属すると仮定する潜
76
図 5.1: 既存の潜在クラス・ロジット・モデルの構造
在クラス・モデルというものが広く用いられている．消費者の異質性を考慮する潜在クラス・モ
デルには大きく分け，LCL（例えば [59]）と Latent Class Probit (LPL) （例えば [31]）の各モデ
ルが存在する．前者は効用関数の誤差項に一般化極値分布を，後者は正規分布を仮定したもので
ある．後者については，選択確率の算出に多重積分が必要となり，多数の選択肢がある場合 ( 5 選
択肢以上) には事実上計算が不可能である．そのため，LCL モデルに絞ってレビューを行なう．
LCL モデルの代表的な研究としては，次に示す研究が挙げられる．これらのモデルの選択構造
を図 5.1 に示す．
Kamakura and Russell (1989) [59] では消費者に潜在的な異質性を仮定し，潜在クラスに確率
的に所属するものとしている．そして消費者の潜在クラスへの所属確率 (セグメント・サイズ) の
説明変数は λ と定数としている．これを拡張した研究が Gupta and Chintagunta (1994) [45] で
あり，消費者の年齢，世帯人数といったデモグラフィック変数によりこの λ を説明（構造化）し
ている．ただし，現実的にはデモグラフィック変数は通常スキャン・パネル・データには含まれず，
含まれている場合もデータ更新がほとんどされないといった問題がある．
これらに対し，Kamakura et al. (1996) [58], Moriguchi (2003) [93] では，Gupta and Chinta-
77
gunta (1994) [45] や一般的な消費者セグメントとは異なり，外生的に商品が持つ属性によりセグ
メントを行なっていることが特徴である．Kamakura et al. (1996) [58] はこの潜在クラスの構造
自体を拡張し，ネスティングされた異質性 (Structured Heterogeneity [60]) を仮定している．消
費者はブランド優先か，商品の形状優先か，無差別かという外生的な潜在クラスを選択し，その
下に存在する商品を選択するとしている．また，Moriguchi (2003) [93] は特定のブランドにロイ
ヤルティを感じるロイヤル・セグメントという外生的な潜在クラスの規定を導入している．ただ
し，Moriguchi (2003) [93] では，あるブランドにロイヤルティを感じるセグメントに属していて
も，それ以外のブランドの商品も含め，すべての商品の選択が可能である．
5.2.2
既存の消費者異質性を考慮したモデルの問題点
既存の潜在クラス・ロジット・モデルの特徴は，以下に示す二点である．
1. ある種，各潜在クラスへの所属確率を効用と独立に決定している，従がって（ランダム）効
用最大化行動と整合的ではない．
2. 潜在クラスを外生的に決定し，いかなる潜在クラスに所属している場合でもすべての商品が
選択可能である．
前者については，
（ランダム）効用最大化行動と整合的なモデルである場合，店舗選択モデル，購
買生起モデルといった，さらなるモデルの拡張を容易に行なうことが可能となる．また，店舗間競
争といったゲーム論的状況についても，ミクロ経済学と整合的にモデルの拡張が可能となる．消
費者の行動が明確に記述できない場合には，こういったシステマティックな拡張は行なえず，モデ
ル拡張時に新たな拡張部との接続方法，その意味解釈がその都度必要となる．
後者については，パラメータ推定時に，各クラスの意味解釈が行なえない可能性がある．例え
ば，Kamakura and Russell (1989) [59] では，重回帰分析において符号条件が一致しないような
確定的効用関数パラメータが推定される可能性が大いにある．これは，あまり消費者に異質性が
存在しない場合，平行的に消費者の潜在クラスを情報量を最大化するように内生的に定めるため，
多重共線性に類似した問題が生起していると捉えることができる．例えば，後の適用において出
てくる数値例のように，あるセグメントにおいて価格パラメータが負になってしまう可能性があ
る．これは，価格が高いほど効用が高いことを意味し，そのようなセグメントはコーラ等の一般
消費財においてはありえない．また，ブランド・ロイヤルティにより外生的にセグメント分けし
78
図 5.2: LGNL モデルの構造例
ている Moriguchi (2003) [93] では，あるブランドにロイヤルティを感じる潜在クラスにおいても
結果として，そのブランドの選択割合が低くなってしまう可能性がある．こういったことは，セ
グメント分けの失敗だけではなくモデル自体の説明力不足に繋がるため，極力避けるべきである．
CNL，GNL モデルをそのまま，ブランド選択ではなく，Stock Keeping Unit (SKU) レベルの
商品選択モデルへ適用した場合，つまり 3 章を考えよう．例えば対象商品としてパソコンを考えた
場合，HDD 何 GB，メモリー何 GB，ディスプレイ何インチという具体的な商品構成要素により
ネスティングされ，次に具体的商品を選択することとなる．しかし，商品選択行動において，我々
は一般的に，まず HDD で選ぶ，ディスプレイで選ぶという構成要素を選択し，次に何 GB，何
インチという具体的要素を選択するという 2 段階の事前選択行動をしていると考えられる．これ
は Elimination by Aspects (EBA) モデル [124] における商品構成要素とそのカット・オフ値に相
当する．したがって，CNL，GNL モデルを拡張し，消費者が辿るような詳細な商品選択行動を表
現するには，上記の商品選択とあわせ計 3 段階の選択行動を構造的に表現する必要がある．
5.3
5.3.1
LGNL モデルの定式化
選択確率の定式化
本節では，消費者の異質性を GNL モデルに付加した提案モデル，LGNL モデルの定式化を行
なう．LGNL モデルは，図 5.2 に示すツリー構造を持つものとする．
このモデル内で消費者はある商品カテゴリーの中から，まず商品を構成する要素 i を選択，次
にその具体的な数値 (もしくは有無) j 1 を選択，最後にその具体的な数値を満たす商品 k を選択す
1
今回は，GNL モデルの拡張ということで設定しなかったが，複数の要素，複数のスペックを，一般的な想起集合
モデルと同様に潜在クラス，サブ潜在クラスとして明示的に設定することも可能である．
79
る．この商品構成要素 i ごとに確定的効用関数のパラメータが異なるものとし，i を潜在クラス，
j をサブ潜在クラスと呼ぶこととする．そして，潜在クラス i に所属する消費者はさらにサブ潜
在クラス j を選択し，商品 k を選択することにより，効用 Ui,j,k を得るものとする．
このような商品の属性に着目した実際にみられる選択行動として，EBA [123] が挙げられる．こ
の選択行動は，自己が重視する商品属性値により考慮集合を考え，その考慮集合内において実際
の選択を行なうというものである．本モデルはこのプロセスを確率的に複数の属性に拡張したも
のと捉えることもできる．
h
h と確率的効用 ϵh
効用 Ui,j,k
は確定的効用 Vi,k
i,j,k に分解される：
h
h
Ui,j,k
= Vi,k
+ ϵhi,j,k ∀i, j, k.
(5.1)
確定的効用には線形の効用関数を仮定し，
h
Vi,k
=
Nm
∑
αm′ Xm′ k +
Nl
∑
αil′ Xl′ k + α0ik ∀i, k
(5.2)
l′ =1
m′ =1
と表わされるものとする．ここで Xmk は商品 k 固有の m 番目の説明変数，Xlik は商品 k が属す
る潜在クラス固有の l 番目の説明変数，αm ，αil はそれぞれのパラメータ，そして α0ik は固有選
好度である．つまり，潜在クラス i に属する消費者の商品 k に対する確定的効用は，各潜在クラ
ス共通の説明変数及び潜在クラス i 固有の説明変数により説明されるものとする．以下の説明に
おいては，簡便化のため，理解を妨げない範囲で Vi,k を Vk と略す．
確率的効用が一般化極値分布に従がうとすると，各商品 k の選択確率 Qhk は，


Ni
)
∑
∑ (
h
Pih′
,
Qhk =
Pjh′ |i′ Pk|i
′ ,j ′
i′ =1


Pih =
j ′ ∈Ji′
j ′ ∈Ji
Ni
∑


i′ =1
=
∑
∑ (
k′ ∈Kj ′
(
∑ (
k′ ∈Kj
∑
j ′ ∈Ji
(
)
h 1/ηj ′
γk′ j ′ exp Vk′
∑ (
k′ ∈Kj ′
j∈Ji′
(
h
Pj|i
(
∑
)ηj ′ /µi µi

)
h 1/ηj ′
)ηj ′ /µi′ µi′ ,
(5.4)

γk′ j ′ exp Vk′
)
h 1/ηj
(5.3)
)ηj /µi
γk′ j exp Vk′
∑ (
k′ ∈Kj ′
)
h 1/ηj ′
γk′ j ′ exp Vk′
)ηj ′ /µ ,
i
(5.5)
80
(
h
Pk|i,j
)1/ηj
γkj exp Vkh
= ∑ (
)1/ηj .
γk′ j exp Vkh′
(5.6)
k′ ∈Kj
と表わされる．ここで，Ni は潜在クラス集合，Nj はサブ潜在クラス集合である．そして γkj は
アロケーション・パラメータ，ηj , µi は類似度パラメータであり，それぞれ，
0 ≤ γkj ≤ 1
∀k, j
(5.7)
0 ≤ µi ≤ 1
∀i
(5.8)
0 ≤ ηj ≤ 1
∀j
(5.9)
∀i, j
(5.10)
ηj ≤ µi
を満たすものとする．ここで新たに加わった式 (5.10) の条件は，Three-Level Nested Logit モデ
ルの類似度パラメータの制約条件と同様である [22, 43]．このモデルは，Daly and M. Bierlaire
(2006) [28] の一例と捉えることもできる．
以上のように定式化した LGNL モデルの利点は，次のようにまとめることができる．
1. 従来の LCL モデルと比較し，潜在クラスを商品属性により外生的に定義しているためクラ
スの意味解釈が容易であり，マーケット・セグメンテーションの考え方に適合的である．
2. 従来の LCL モデルと比較し，多重共線性に類似した問題に起因するパラメータの符号条件
が満たされない可能性が低い．
3. （ランダム）効用最大化行動と整合的であり，モデルのシステマティックな拡張が可能である．
4. GNL モデルとの商品間の類似性（構造的異質性）を NL モデルと比較し，より構造的に表
現することが可能である．
5.3.2
パラメータ推定方法
LGNL モデルのパラメータ推定は一般的な最尤法を用いることが可能である．消費者（もしく
h (θ ) と
は購買機会） h が，潜在クラス i，サブクラス j に属し，選択肢 k を選択する確率を Pijk
しよう．すると，尤度関数 L(θ ) 及び対数尤度関数 L(θ ) は次の式で表される；
L(θ) =
Nh ∏
Ni ∏
∏
∏
h′ =1 i′ =1 j ′ ∈Ji′
k′ ∈Kj′
′
′
δih′ ,j ′ ,k′
Pih′ j ′ k′ (θ)
,
(5.11)
81
L(θ) = ln(L(θ)) =
Nh ∑
Ni ∑
∑
∑
h′ =1 i′ =1 j ′ ∈Ji′
k′ ∈Kj ′
′
′
δih′ ,j ′ ,k′ ln(Pih′ j ′ k′ (θ)).
(5.12)
h
ここで，δi,j,k
は消費者 h が潜在クラス i，サブクラス j ，商品 k を選択した場合 1 , しない場合
0 となる変数である．この対数尤度を最大化するように，パラメータを推定する．ただし，一般的
な NL モデルは階層別に段階推定が可能であるが，本モデルでは，潜在クラス及びサブクラスの
選択結果が直接観測できないため，すべてのパラメータを同時推定する必要がある．パラメータ
推定時の注意は，GNL モデルの推定時と同様である．
5.3.3
ランダム効用最大化行動との整合性
モデルが（ランダム）効用最大化行動と整合的であることを確かめることは，モデルの適用，拡
張を考えるうえで重要である．しかし，従来のマーケティング・サイエンスにおける離散選択モ
デルの多くは，消費者がどのような行動をしているのかという点に関心が払われていない．より
具体的にいうならば，消費者の効用というものを定義しておきながら，それを最大化するといっ
た行動原理を示していない．特に，確定的効用に他の選択肢の（部分的）効用値を説明変数とし
て入れるということが多々行なわれており，多分にアドホックなモデルが多い．
需要予測を行なう際には，将来にわたって消費者が効用を最大化するという仮定を置くことは
妥当であり，インフレによる価格上昇，選択肢の変化があってもこの仮定は不変であると考えら
れる．集計的なモデルでは，このような変化があった場合への対応が恣意的になる恐れがある．ま
た，商品選択モデルの上位に商店選択モデル等がある場合，その間には関連性があると考えるの
が妥当であり，それがカテゴリー・バリューで説明できる（ランダム）効用最大化行動と整合的な
モデルでは拡張が容易となる．
定理 5.3.1 式 (5.3)–(5.9) で表わされる LGNL モデルは，ランダム効用最大化と整合的である．
証明 5.3.1 ここでは，LGNL モデルの GEV 母関数が定理 2.4.1 の 4 つの条件を満たし，GEV
Family に属し，
（ランダム）効用最大化行動と整合的であることを証明する．Papola (2004) [97]
と同様の手順で，まず GEV 母関数 G を次のとおり仮定しよう：

η ′ /µ ′ µi′

Ni
(
)1/ηj ′ j i
∑
∑
∑




γk′ j ′ Ykh′
G=
 .

i′ =1
j ′ ∈Ji′
k′ ∈Kj ′
(5.13)
82
すると，選択確率 Qhk は次のとおり導かれる：
′
Qhk
Y h′ Gk
= k
G


−1
)ηj ′ /µi′ µi′(
(
)(ηj ′ /µi′ )−1
)
)
(
Ni
1/η
1/η
′
′
∑
∑(
∑
∑
j
j
′
′
′


γk′ j ′ Ykh′
γk′ j ′ Ykh′
(γk′ j ′ Ykh′ )1/ηj ′
i′ =1
j∈Ji′ k∈Kj ′
=
Ni
∑


i′ =1
 
∑
(
k∈Kj ′
∑
(
j∈Ji′
)ηj ′ /µi′ µi′
∑ (
′ )1/ηj ′

γk′ j ′ Ykh′
k∈Kj ′
)
∑ (
′ 1/ηj ′
γk′ j ′ Ykh′
)ηj ′ /µi′ µi′

 
Ni 
j∈Ji′ k∈Kj ′
∑



=
(
)ηj ′ /µi′ µi′


N
′
i
∑
∑ (
i =1  ∑
′ )1/ηj ′


γk′ j ′ Ykh′
i′ =1
j∈Ji′
k∈Kj ′

(
)
∑ (
′ 1/ηj ′
γk′ j ′ Ykh′

∑ 
k∈Kj ′

·

(

∑ (
k∈Kj ′  ∑
j ′ ∈Ji′
=
Ni
∑
i′ =1

Pih′
k∈Kj ′
γk′ j ′ Y
h′
k′
)ηj ′ /µi′
)1/ηj ′
)ηj ′ /µi′

(
)

′ 1/ηj ′

γk′ j ′ Ykh′

· ∑ (

′ )1/ηj ′ 
h
γk′ j ′ Yk′

k∈Kj ′

)
∑ (
Pjh′ |i′ Pkh′ |i′ ,j ′  .
(5.14)
j ′ ∈Ji′
したがって，この GEV 母関数 G は LGNL モデルと対応する．定理 2.4.1 で示した，GEV Family
の各条件を満たすかを Papola (2004) [97] と同様に確かめよう．
[条件 1]
条件 1 については，次の条件を満たせば，いかなる Vk , ηj , µi のもとでも成立する：
γkj ≥ 0
∀k, j.
この条件はアロケーション・パラメータが満たすべき条件であり，式 (5.6) に対応する．
[条件 2]
(5.15)
83
条件 2 については，次のとおり関数 G が一次同次であることが示される：


ηj ′ /µi′ µi′
N
i
(
)
∑∑
∑
1/ηj ′



G(nY1h , nY2h , . . . , nYNhk ) =
γk′ j ′ aYkh′


i′ =1
k′ ∈Kj ′
j∈Ji′

η ′ /µ ′ µi′

Ni
(
)1/ηj ′ j i
∑
∑
∑


a1/ηj ′

γk′ j ′ Ykh′
=


i′ =1
k′ ∈Kj ′
j∈Ji′
ηj ′ /µi′ µi′
)1/ηj ′
∑ (
∑



γk′ j ′ Ykh′


=
Ni
∑

 1/µi′
a
i′ =1
j∈Ji′
ηj ′ /µi′ µi′
(
)
1/ηj ′

∑  ∑

γk′ j ′ Ykh′



=a
Ni
∑
k′ ∈Kj ′
i′ =1

k′ ∈Kj ′
j∈Ji′
=aG(Y1h , Y2h , . . . , YNhk ).
(5.16)
[条件 3]
条件 3 については，次のとおり自明である：
lim G(Y1h , Y2h , . . . , YNhk ) = ∞
∀k.
Yk →∞
(5.17)
[条件 4]
まず，関数 G の Ylh についての一階偏微分 Glh について考えよう：

Gm =

ηj ′ /µi′ µi′ −1
(
)
1/ηj
 ∑  ∑


γkj Ykh′
γlj 

Ni
∑
i′ =1

j ′ ∈Ji′

·
∑ (
k′ ∈Kj ′
γk′ j Ykh′
)1/ηj
(ηj /µi′ )−1



(γlj Ylh )(1/ηj )−1 
k′ ∈Kj
:=
Ni [
∑
γlj ϕµk i −1 χk j
(η /µi )−1
(1/ηj )−1
ψl
]
.
(5.18)
i′ =1
ここで式 (5.7) より，ϕk ≥ 0, χk ≥ 0, ψk ≥ 0 であるため，Glh ≥ 0 となる．同様に関数 G の二階相
84
h について考えよう：
互偏微分 Gln
Gln =
Ni [
∑
(
)
]
2((η /µ )−1)
η −2
1/η 1/η
γlj γnj (µi − 1)ϕµk i −2 φk j i
+ ((ηj /µi ) − 1)ϕµk i −1 φkj
χl j χn j
i′ =1
.
(5.19)
ここで，式 (5.7) より，µi − 1 ≤ 0，同様に式 (5.7)，(5.8)，(5.9) より，(ηj /µi ) − 1 ≤ 0 であるた
h ≤ 0 となる．さらに高次の相互偏微分についても式 (5.16)，(5.17) が保たれる場合，同
め，Gmn
様の符号が成立する．
以上より，LGNL モデルは GEV Family であり，ランダム効用最大化行動と整合的であること
が示された．
2
LGNL モデルの適用
5.4
5.4.1
対象データ
本章では，3 章と同様に，同一スーパーチェーン 2 店舗 で 2001 年年間に販売されているペッ
トボトル・コーラのスキャン・パネル・データを用い，パラメータの推定を行なう．全サンプル数
は 903 世帯，5, 269 購買機会であり，約 2/3 に相当する 545 世帯，3, 505 購買機会を推定用サン
プルとし，残り約 1/3 に相当する 458 世帯，1, 764 購買機会を検証用サンプルとする．この設定
もすべて 3 章と同様である．
5.4.2
効用関数，選択構造の同定
選択肢の確定的効用関数は，異質性を考慮することによる再現性の違いを比較し，需要予測に
も適用可能とするため固有選好度を説明変数より省き，4 章の式 (4.3) と同様に以下に示す変数を
用いる：
h
Vi,k
= αi1 X1k + αi2 X2k + αi3 X3k + αi4 X4k + αi5 X5k ∀i, k.
(5.20)
ここで X1k は商品 k の価格（円），X2k はコカコーラ・ダミー（コカコーラ = 1），X3k は容
量 (ml)，X4k はノンシュガー・ダミー（ノンシュガー = 1），X5k は前回購買商品ダミー（前回
購買商品 = 1）である．なお，初期購買時においては，すべての商品を X5k = 1 と設定する．潜
在クラスとしては，ブランド選択 (i = 1)，容量選択 (i = 2)，内容（ノンシュガーか否か）選択
85
図 5.3: 適用例における LGNL モデルの構造
(i = 3) の 3 つを仮定する．以上より，具体的な選択ツリーは潜在クラス数 I = 3，サブ潜在クラ
ス数 6，商品数 8 で構成される図 5.3 に示すとおりとなる．
確定的効用関数に線形を仮定したため，効用は基数的であり，説明変数内に（円）という単位
を持つ価格が存在するため，各パラメータを αi1 で除し正規化することで，各説明変数の価値を
金銭換算可能である．金銭換算することで各潜在クラス間の比較が容易となるため，これについ
ても比較，検証時に併せて示す．
5.4.3
既存モデルとの比較，検証
異質性の有無によるモデル適合度を比較するため，異質性をまったく仮定しないモデル [MNL]，
消費者の異質性を仮定するモデル [LCL] (通常の潜在クラス・ロジット・モデル)，商品の類似性
を仮定するモデル [GNL]，そして両者を仮定するモデル [LGNL] の 4 つのモデルを比較すること
とする．ただし，[LCL] については潜在クラス数を [LGNL] と揃えるため，3 クラスとする．
統計量の比較
4 つのモデルの統計量の比較を表 5.1 に示す．消費者，商品に異質性を考慮している [LGNL] は，
ρ¯2 が 0.2230 と 0.2 を上回る値を示しており，十分な再現性を有しているといえる．4 つのモデル
の比較においても，対数尤度，AIC，BIC，的中率すべてにおいて，[LGNL] がまさっており，両
86
表 5.1: 統計量の比較（LGNL vs. MNL, LCL, GNL）
[MNL]
[LCL]
[GNL]
[LGNL]
−3, 006
−2, 859
−2, 844
−2, 825
AIC
6, 022
5, 752
5, 738
5, 722
ρ¯2
0.1781
0.2162
0.2194
0.2230
Hit Ratio
0.4042
0.4076
0.4173
0.4218
L
者の異質性を考慮することが再現性を向上しているといえる．また，[LCL]，[GNL] を比較した場
合，[GNL] の方がまさっていることから，今回の対象商品であるコーラにおいては，消費者の異
質性を考慮するよりも商品の異質性を考慮するほうが重要であることが分かる．これは，[MNL]
と [LCL]，[GNL] を比較しても，その各統計量の改善度より確認できる．このような結果となっ
た理由としては，コーラが比較的安価な商品であり，自動車やパソコンといった高額商品に存在
する予算制約がなく，消費者の異質性があまり存在しないことが考えられる．本研究で取り扱っ
たコーラより異質性があると考えられる商品や異質性が的確に把握できる状況，パソコン，家電
製品のオンライン・ショップ等に LGNL モデルを適用した場合は，また違った結果が得られると
考えられる．
パラメータの比較
4 つのモデルの主要パラメータを表 5.2, 5.3, 5.4 に示す．また，確定的効用関数パラメータを金
銭換算したものを表 5.5 に示す．
表 5.2 より，各モデルの確定的効用関数パラメータは概ね 99% で統計的有意といえる．ただし，
価格，容量については，[LCL]，[LGNL] については有意水準を満たさないパラメータが存在する．
これは，価格と容量の間に強いマイナスの相関があるためであると考えられる．また，[LCL] の
セグメント 3 の前回購買ダミーについても，有意水準が低くなっている．このセグメントではこ
の 2 つのパラメータの大きさが突出しており，ノンシュガーを避け，前回購買した商品とは異な
る商品を選好するセグメントと位置付けられる．しかし，このようなセグメントが実際に 16.3%
も存在するということは現実には考えられないため，この位置づけの解釈は妥当とはいえず，5.1
節で述べた潜在クラス・ロジット・モデルの欠点を如実に示している．これは，セグメント・サ
87
イズを単なる τ という定数により説明しており，比較的サイズの小さなセグメントでは極端なパ
ラメータが推定されやすいためであると考えられる．一方，[LGNL] の各セグメントへの所属確率
より，消費者は 20.5% がブランド優位，39.6% が内容量優位，39.9% が内容物優位で購買してい
ることが推計される．この結果については，確定的効用関数のパラメータが極端にはなっておら
ず，セグメント・サイズも偏りがないため妥当であるといえる．また，表 5.5 より i = 3 内容物優
位セグメントの α4 /α1 が他のセグメントと比較し小さいことから，内容物優位で購買生起してい
る消費者はノンシュガーに対し比較的不効用を感じず，選択しやすいことが分かる．同様に，や
や意外ではあるが，i = 2 内容量優位セグメントの α2 /α1 が他のセグメントと比較し大きいこと
から，内容量優位で購買生起している消費者はコカコーラというブランドに対し大きなロイヤル
ティをもっているといえる．
表 5.3 より，商品類似性に加え消費者異質性を導入することにより，一部のネストにおいて商品
類似性が緩和されていることが分かる．これは，特に η5 で顕著である．このパラメータの相違は，
次のように説明される．表 5.5 に示すように [LGNL]，i = 2 内容量優位セグメントのコカコーラ・
ダミーの値が [GNL] のそれと比較し大きい．これにより商品の異質性がむしろ消費者の異質性と
して表現されたためであると考えられる．他方では，µ1 は逆に [LGNL] の方がより商品異質性が
大きいという結果となっている．
表 5.4 より，[LGNL] においてはアロケーション・パラメータ γ11 ，γ55 がそれぞれ 0 であるこ
とから，図 5.3 で示された選択行動は縮小され，それぞれ，コカコーラ 1.5l はブランド優位選択，
ペプシコーラ 1.5l は内容物優位選択はされていないことが分かる．消費者異質性を考慮しない
[GNL] でもそれぞれのアロケーション・パラメータの値は 0 もしくは比較的小さいことから，こ
の結果は妥当であるといえる．
表 5.6 は，検証用データの集計量の比較結果を示している．各統計量が劣っている，[MNL]，
[LCL]，[GNL]，[LGNL] の順に平均二乗誤差 (MSE) が小さくなっていることがわかる．ただし，
[MNL]-[LCL] 間，[MNL]-[GNL] 間の MSE の減少幅を比較すると，選択肢間の類似性による誤差
への影響と比較し，消費者の異質性を考慮することによる誤差への影響はわずかであるといえる．
この理由として，対象商品がコーラという比較的低価格のカテゴリーであり，消費者の異質性が
小さかったことが考えられる．
88
表 5.2: 確定的効用関数パラメータ及びセグメント・サイズの比較（LGNL vs. MNL, LCL, GNL）
[LCL]
[MNL]
[LGNL]
i=1
=2
=3
i=1
=2
=3
−0.020
−0.036
−0.023
−0.024
−0.011
−0.006
−0.006
−0.028
Fixed
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
0.446
0.778
0.304
1.877
0.041
0.0911
0.487
0.262
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
0.003
0.043
0.002
0.003
0.002
0.0014
0.001
0.004
∗
∗∗
∗
∗
∗∗
∗∗
−0.000
−0.041
−0.426
−14.477
−0.208
−0.819
−1.045
−0.410
∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
1.362
2.376
1.458
−14.410
0.569
0.254
0.364
1.673
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗
∗∗
–
0.438
0.399
0.163
–
0.205
0.396
0.399
α1
α2
α3
α4
α5
[GNL]
∗
Segment
Size
t 検定において ∗∗99%有意，∗95%有意
5.4.4
感度分析
ここでは，前節までで推定されたパラメータのもと，感度分析を行なう．具体的には，特定商
品（今回は k = 1，コカコーラ 1.5l）を売切れとした場合，特定商品（今回はダイエットペプシ
1.5l，500ml）に価格プロモーションを行なった場合の選択確率の変化を，モデル間で比較する．
特定商品を売切れとした場合の選択確率の比較
本小節では，特定商品（今回は k = 1，コカコーラ 1.5l）を売切れとし，消費者がすべて代替商
品を購買するという仮定のもと，選択確率の変化をモデル間で比較する．ただし，価格その他の
値については，パラメータ推定時と同様とする．通常時の各商品の選択確率，売切れ時，そして
その差について表 5.7 に示す．通常時の選択確率についても [GNL] は表 5.7 の実際の選択確率と
大きく異なり，再現性が悪いことが分かる．また k = 2 の選択確率の変化が [GNL] では 6.5% で
89
表 5.3: 類似度パラメータの比較（LGNL vs. MNL, LCL, GNL）
µ1
[GNL]
[LGNL]
0.3249
0.1417
∗∗
∗∗
1.0000
1.0000
µ2
µ3
(Fixed)
1.0000
1.0000
∗∗
∗∗
[LGNL]
0.3249
0.1417
η1
η2
(Fixed)
[GNL]
η3
[GNL]
[LGNL]
1.0000
1.0000
(Fixed)
(Fixed)
0.2008
0.4781
∗
∗∗
1.0000
1.0000
(Fixed)
(Fixed)
η4
(Fixed)
(Fixed)
0.3249
0.1417
∗∗
∗∗
0.3018
0.3110
∗∗
∗∗
η5
η6
t 検定において ∗∗99%有意，∗95%有意
あるのに対し，[LGNL] では 13.9% と大きく異なる．これは，商品及び消費者の異質性をモデル
内で考慮することにより生まれた差であると考えられる．k = 1 と k = 2 はブランド，内容物が
同じであるため，代替的に買い求める割合が高くなる．逆に，k = 7 は，k = 1 とブランド，内容
物が異なるため代替的に買い求める割合は低い．つまり，消費者の異質性，商品の類似性を考慮
することにより，売切れ時の選択確率は大きく異なることが分かる．
特定商品価格プロモーション時の選択確率の比較
本小節では，特定商品（今回はダイエットペプシ 2 商品 k = 7, 8）について，価格を表示価格の
30% 引きとした場合の選択確率の変化をモデル間で比較する．通常時，プロモーション時，その差
について表 5.8 に示す．k = 1 の選択確率の変化が [MNL] では −4.7% であるのに対し，[LGNL]
では 0.9% と大きく異なる．これは，売切れ時と同様に商品及び消費者の異質性をモデル内で考
慮することにより生まれた差である．k = 1 と k = 7, 8 はブランド，内容物が異なるため，価格プ
ロモーションの影響が少ない．逆に，k = 5 は，k = 7, 8 とブランドが同じであるため，影響が大
きい．また，k = 6 が [LGNL] において −0.5% と比較的影響が少ない理由は，アロケーション・
パラメータ γ62 ，
γ65 が γ64 と比較し小さく，同一ブランド，同一内容量である影響を受けづらいた
めであると考えられる．以上より，消費者の異質性，商品の類似性を考慮することにより，価格
プロモーション時の選択確率は大きく異なるといえる．
90
表 5.4: アロケーション・パラメータの比較（LGNL vs. MNL, LCL, GNL）
[GNL] [LGNL]
0.0000
0.0000
γ11
γ13
γ15
–
–
0.6546
0.5192
∗∗
∗∗
0.3459
0.4008
∗∗
∗∗
0.2087
0.0348
γ33
γ36
γ41
0.1278
γ25
0.7589
γ31
γ21
γ24
[GNL] [LGNL]
0.1459
∗
∗
0.6635
0.8193
∗∗
∗∗
γ44
[GNL] [LGNL]
0.6760
∗∗
∗∗
0.1594
0.0935
∗∗
∗
0.0817
0.2305
∗
∗
0.8917
0.4393
∗∗
∗∗
0.1083
0.1810
∗
∗∗
0.0000
0.3786
γ46
–
∗∗
0.6110
γ52
γ53
[GNL] [LGNL]
0.3012
∗∗
∗∗
0.3031
0.6988
∗∗
∗∗
0.0859
0.0000
γ55
γ72
γ73
0.0057
0.0663
γ62
γ82
0.4233
γ65
0.4681
∗∗
∗∗
0.4768
0.0860
∗∗
0.0000
0.4459
–
∗∗
1.0000
0.5378
∗∗
∗∗
0.0000
0.2250
–
∗
0.0000
0.2372
–
∗∗
γ76
–
γ64
0.5232
0.6988
∗∗
∗∗
0.5710
0.3128
∗∗
∗∗
γ84
γ86
t 検定において ∗∗ 99% 有意，∗95 % 有意
5.5
5 章のまとめ
本章では，まず GNL モデルを拡張し，一般的な商品選択行動と整合的な商品選択行動モデル
LGNL モデルを構築した．次に，このモデルが GEV Family であることより（ランダム）効用最
大化行動と整合的であることを示した．モデルが（ランダム）効用最大化行動と整合的であるこ
とは，幾多の経済学的アプローチを用いた拡張が可能であることを示し，実務においても非常に
有用である．例えば，LGNL モデルの上位階層及び内部に商店選択モデル，購買生起モデル等を
効用最大化の枠内で統合することが可能である．
さらに，実際の商品カテゴリー（ペットボトル・コーラ）に適用し，パラメータ推定を行なう
ことにより，消費者の異質性，商品の類似性の大きさについて比較した．その結果，消費者の異
質性を考慮した場合に比べ，商品の類似性を考慮した場合が再現性を向上させることがわかった．
また，パラメータを金銭換算することにより，異質性を考慮した場合により大きく，各属性の金
銭的価値が異なることがわかった．最後に，感度分析を行ない，消費者の異質性，商品の類似性
91
表 5.5: パラメータの金銭換算（LGNL vs. MNL, LCL, GNL）
[LGNL]
[GNL]
i=1
=2
=3
α2 /α1
(yen)
3.84
14.90
76.44
9.49
α3 /α1
(yen/ml)
0.15
0.23
0.13
0.13
α4 /α1
(yen)
−19.44
−133.93
−164.00
−14.83
α5 /α1
(yen)
53.11
41.44
57.14
60.56
双方を考慮することにより，売切れ時，価格プロモーション時に商品の選択確率に大きな差が生
まれることが分かった．
今後の課題としては，より商品構成要素の区分が明確な商品，例えばパソコン，携帯電話への
適用がまず挙げられる．iPod 等のように，商品だけの要素ではなく，それに付随するサービスを
含め選択行動をモデル化する際には，LGNL は多属性を構造的に取り扱うことが可能であるため，
有用であると考えられる．特に，店頭ではなくオンライン・ショップでこれらの商品を購入する
場合には，多属性を比較検討することや，属性により検討商品を絞り込むことが容易であるため，
本章のモデルの有用性が増すものと考えられる．
次に，今回はすべて単純パラメータとしたアロケーション・パラメータの構造化が挙げられる．
交通計画における経路選択行動では，Prashker and Bekhor (1999) [99] により CNL モデルのア
ロケーション・パラメータの構造化が提案されている．アロケーション・パラメータは選択肢数，
サブ潜在クラス数の双方の増加に伴い，増加してしまう．商品選択行動においてもこの膨大にな
る恐れがあるアロケーション・パラメータを構造化することにより，より少ないパラメータでの
モデル構築，新たなネストが誕生した場合のパラメータ設定が容易になると期待される．ただし，
この構造そのものは適用する商品カテゴリーにより大きく異なることが予期されるため，適用す
る商品カテゴリーの範囲，応用には熟慮が必要である．
92
表 5.6: 集計量の比較（LGNL vs. MNL, LCL, GNL）
Actual
[MNL]
[LCL]
[GNL]
[LGNL]
QA
1
32.46
23.34
30.09
30.35
30.51
QA
2
9.04
8.56
10.60
9.08
9.14
QA
3
12.62
18.31
13.72
14.09
13.61
QA
4
2.96
6.94
3.34
3.65
3.62
QA
5
20.75
19.14
20.32
20.25
19.73
QA
6
9.67
5.08
8.28
10.04
10.15
QA
7
10.52
14.23
11.17
10.43
11.09
QA
8
1.99
4.40
2.47
2.11
2.16
MSE
–
21.85
1.52
0.94
0.85
K-L Div.
0
7.11 × 10−2
4.65 × 10−3
2.39 × 10−3
2.22 × 10−3
表 5.7: 商品売切れ時の選択確率の比較（LGNL vs. MNL, LCL, GNL）
QA
k
Normal(%)
[MNL]
QA
1
QA
2
QA
3
QA
4
QA
5
QA
6
QA
7
QA
8
[LCL]
[GNL]
23.3 30.1 30.2
8.6 10.6
Sell out (%)
[LGNL]
[MNL]
[LCL]
[GNL]
31.4 0.00 0.00 0.00
Difference (point)
[LGNL]
[MNL]
[LCL]
[GNL]
[LGNL]
0.00 −23.3 −30.1 −30.2 −31.4
8.9
9.4 11.2 17.9 15.5
23.3
2.7
7.3
6.5
13.9
18.3 13.7 13.6
14.0 24.1 20.1 14.0
13.6
5.8
6.4
0.5
−0.4
3.5
3.6
2.3
0.6
0.0
−0.1
20.3 24.3 20.7 30.4
34.9
5.2
9.3
9.1
14.6
10.4
9.8 12.2
11.4
1.6
1.5
2.1
0.9
11.4 18.7 15.7 22.3
11.1
4.4
4.5
12.0
−0.3
2.2
1.5
0.5
0.0
−0.1
6.9
3.3
3.5
19.1 20.3 21.3
5.1
8.3 10.0
14.2 11.2 10.3
4.4
2.5
2.3
3.7
2.2
9.2
6.6
5.9
4.0
3.0
2.3
93
表 5.8: 価格プロモーション時の選択確率の比較（LGNL vs. MNL, LCL, GNL）
QA
k
Normal(%)
[MNL]
QA
1
QA
2
QA
3
QA
4
QA
5
QA
6
QA
7
QA
8
[LCL]
[GNL]
23.3 30.1 30.2
8.6 10.6
8.9
18.3 13.7 13.6
6.9
3.3
3.5
19.1 20.3 21.3
5.1
8.3 10.0
14.2 11.2 10.3
4.4
2.5
2.3
Under promotion (%)
[LGNL]
[MNL]
[LCL]
[GNL]
31.4 18.6 24.6 23.5
9.4
6.7
14.0 14.4
9.3
8.9
9.5 13.5
[LGNL]
Difference (point)
[MNL]
[LCL]
[GNL]
[LGNL]
30.5 −4.7 −5.4 −6.7
−0.9
9.1 −1.9 −1.4
0.0
−0.3
10.8 −3.9 −4.2 −0.1
−3.2
0.0
−1.3
20.3 15.3 15.6 13.4
17.4 −3.8 −4.8 −7.9
−2.9
10.4
10.0 −1.1 −1.0
0.0
−0.5
3.7
5.4
4.0
2.6
3.5
7.3 10.0
11.4 29.0 27.2 23.9
2.2
6.6
3.9
3.2
2.4 −1.5 −0.8
17.5
14.8
16.0
13.7
6.1
2.4
2.2
1.4
1.0
0.1
第 6 章 心理的効果の GNL モデルによる表現
6.1
6 章の目的
効用最大化行動は，個々の主体の行動を記述するミクロ経済学における消費者の重要な行動原
理であり，マーケッティング・サイエンスの分野においても，心理学を基本とした記述的行動原理
に対し，効用最大化行動は規範的行動原理 [42] として捉えられている．特にマーケティング・サ
イエンスの分野において広く用いられている離散選択モデル（例えば Train, 2009 [122]) は，その
多くが効用最大化を緩和したランダム効用最大化行動（RUM）[76] より導くことができる．しか
し，実際の選択行動において，この効用最大化と矛盾するとされる現象が現実の選択行動におい
ていくつか示されている．
効用最大化と矛盾する現象として，妥協効果 [112]，魅力効果 [54]，類似性効果 [123] が挙げら
れる．類似性効果については，McFadden (1984)[85] が Nested Logit (NL) モデルを用いること
で効用最大化と対応し，その生起を POS データ等の選好結果のみから非集計的に推定可能であ
ることを示している．類似性効果は，I.I.A. (Independence from Irrelevant Alternatives) 特性を
犯しており，多くの製品カテゴリー，特に交通市場 [10] において顕著である．マーケッティング・
サイエンスにおいても，特に需要予測，プロモーション効果の測定といった目的でモデルを構築
する際には，これらの現象をモデル内において表現できることは重要である．プロダクト・ライ
ンの拡張を考えた場合，属性空間上のどこに新製品を投入したらシェアを増すことが出来るのか
ということが分析可能となる．また，店頭においてもどの商品を陳列したらよいかということに
つながるだろう．
妥協効果，魅力効果については，多くの製品カテゴリーや分野において観測されている [55, 14,
34, 64, 95]．妥協効果，魅力効果については，ランダム効用最大化行動に基づくモデルで具体的に
表現可能とした研究は存在しない．また，魅力効果，妥協効果については，効用最大化と対応して
生起することは具体的には示されていない．妥協効果については，Rieskamp et al. (2006)[104] に
おいて効用最大化と整合的な GEV (Generalized Extreme Value) モデルにおいて表現可能と記さ
94
95
れているが，具体的なモデルや研究の言及はない．Rieskamp et al. では，魅力効果は Regularity
を犯しているため，効用最大化と整合的な GEV モデルでは表現できないとしている．
複数のこのような現象を同じモデルで表現できることは，市場で起こりうる事象を模写できる
という意味において，そのモデルの妥当性を示しているといえる．Tversky and Simonson (1993)
[125] では，同じモデルで妥協効果と類似性効果を表現できるとしている．また，Roe et al. (2001)
[105] では，妥協効果，魅力効果，類似性効果の三つ全てが同じモデルで表現できるとしている．
これ以外にも，妥協効果を表現可能としている心理学のモデルは数多い [34, 62, 96]．ただし，こ
れらのモデルは心理学的なモデルであり，効用最大化と整合的ではない．また，魅力効果につい
ては，表現可能であるとしたモデルの数自体が少ない．
本研究では，効用最大化と矛盾するとされている三つの現象，類似性効果，魅力効果，妥協効
果，全てが効用最大化と整合的に，一つのモデルで起こり得ることを示す．具体的には，GEV モ
デル [82, 84] に属する Generalized Nested Logit （GNL）モデル [130] を用いる．GNL モデルは
NL モデルを内包しているため，このモデルを用いることにより，妥協効果，魅力効果だけではな
く類似性効果を併せ，三つ全ての効果を一つのモデルで説明可能となる．妥協効果についてはい
くつかの定義が考えられるが，このうち文脈依存ではない定義についてはいずれも GNL モデル
により説明することができる．魅力効果についてもいくつかの定義が考えられるが，このうち相
対的な確率のもとで定義した弱魅力効果について，GNL モデルにより説明できることを示す．
GNL モデルは非集計モデルであるため，今まで集計的な確率で述べられていたこれらの効果に
ついて，異なる状況設定下での心理的効果の検証が非集計的に可能となることを意味している．つ
まり，実験として行なわれている心理的効果の検証が，POS データ等の実際の購買行動から直接，
非集計的に観測可能になることを意味している．このことは，今までその大半が実験的環境下で
生起することが確かめられていた心理的効果が，広く市場で生起するか観測可能になることに繋
がる．
本論文の構成は次のとおりである．まず 2 節において，合理的意思決定と心理的効果について
既存研究を紹介し，それらの問題点を整理する．次に 3 節では本研究で用いる GNL モデルにつ
いて，その定式化及び効用最大化行動との対応を示す．また，4 節では心理的効果の定義を数式を
用い行ない，その関係性を示す．5 節では，4 節で定義された弱妥協効果，強妥協効果それぞれが
GNL モデルを用いて効用最大化と対応して生起することを示す．また，その効果の表現の限界を
示す．同じく 6 章において 4 節で定義された弱魅力効果が GNL モデルを用いて効用最大化と対
96
応して生起することを示す．7 節では，本研究で得られた結果と既存研究の意味の違いについて
議論する．最後に 8 節で本章の結論及び今後の課題を示す．
6.2
心理的効果を表現可能なモデル
心理的効果が表現できるモデルとしては，妥協効果について説明している Wernerfelt (1995)
[131]，Kiverz et al. (2004a) [63]，類似性効果について説明している McFadden (1984) が挙げら
れる．また，妥協効果，魅力効果，類似性効果 ，計三つの効果を合理的意思決定のもとで同時に
表現できるとした既存研究として Rooderkerk et al. (2011) [107] がある．これら三つの効果はい
ずれも市場もしくは実験により実際に観測された事実である．すなわちこれら三つの効果を同じ
モデルで表現可能であることは，そのモデルの妥当性を示すこととなる [105]．
妥協効果について説明している Wernerfelt (1995)，Kiverz et al. (2004a)，Rooderkerk et al.
(2011) について紹介しよう．Wernerfelt は消費者に異質性を仮定しランクオーダー意思決定ルー
ルに従がうとすると，妥協効果が生起するとしている．このルールのもとでは，消費者は選択肢
が多い場合には十分比較できることから合理的選択が可能であり，少ない場合には比較対象も少
なくなるため合理的選択ができなくなるとしている．このルールは選択肢集合の大きさに意思決
定が依存するある種の文脈依存を表現しており，効用最大化行動とは異なるものである．また，各
選択肢の効用値をスキャン・パネル・データ等から推定するには多くのデータを必要とし，現実
問題への適用も困難である．
Kiverz et al. は Contextual Concavity Model (CCM)，Normalized Contextual Concavity
Model (NCCM)，Relative Advantage Model (RAM)，Loss-Aversion Model (LAM) という四つ
の離散選択モデルを提案し，四つのモデルそれぞれで妥協効果が生起するとしている．それぞれ
のモデルにおける確定的効用は次のとおりである：
[CCM]
h
Vk|K
=θ
Nm (
)θ
∑
Kh m
h
vm
−
v
,
′k
m′
(6.1)
m′ =1
[NCCM]
h
Vk|K
=θ
Nm (
) [ v h − v Kh ]θm
∑
Kh
m′
m′ k
v Kh
,
−
v
m′
m′
Kh − v Kh
v
′
′
′
m
m
m =1
(6.2)
97
[RAM]

h
Vk|K

∑

= θ θ1 vk + θ2
N
m

∑
l̸=k
N
m
∑
m′ =1

(vm′ k − vm′ l )1{vm′ k >vm′ l }
(vm′ k − vm′ l )1{vm′ k >vm′ l } +
m′ =1
N
m
∑
(vm′ l − vm′ k )1{vm′ k ≤vm′ l }


,

m′ =1
(6.3)
[LAM]
Nm [
∑
(
Vk|K = θ
m′ =1
)
K
vm′ k − vm
K
′ kR 1{v
m′ k ≥v ′
m kR
(
)
K
} + θm vm′ k − vm′ kR 1{vm′ k <v K ′
m kR
]
}
.
(6.4)
h
ここで，VkKh は選択肢集合 K が提示されたとき，消費者 h の選択肢 k ∈ K の確定的効用，vmk
Kh
は選択肢 k の m 番目の属性に関する部分確定的効用，v Kh
m ，v m はそれぞれ選択肢集合 K のもと
Kh は選択肢集合 K のも
での m 番目の属性に関する部分確定的効用の最大値，最小値であり，vmR
とでの m 番目の属性の参照点である．また，1{·} は，{·} 内の条件のとき 1，それ以外は 0 となる
指示関数である．そして，θ，θ1 ，θ2 はそれぞれパラメータ，θm は m 番目属性ごとのパラメータ
である．なお，簡便化のため消費者に関する添字は省略している．選択肢集合 K が提示され，式
(6.1)–(6.4) の確定的効用が与えられた場合の各モデルにおける選択肢 k 選択確率 PkK は，MNL
モデルのそれ：
QKh
k =
h
exp Vk|K
Nk
∑
k′ =1
(6.5)
exp Vkh′ |K
で与えられる．
これら四つのモデルは全て（ランダム）効用最大化と矛盾している．これは，端的に述べると確
定的効用 VkK が選択肢集合 K に依存し，他の選択肢の影響が反映されているためである．CCM，
NCCM は，選択肢の各属性に関する（確定的）部分効用が提示された選択肢の最低値を基底とす
るため，確定的効用が他の選択肢の影響を受けている．RAM は確定的効用項に累積アドバンテー
ジ，ディスアドバンテージ項が入っているため，他の選択肢 (l ̸= k) の効用の影響を受けている．
K
が選択肢集合 K に依存しているため，確定的効用が他の選択肢の影響を受
LAM も参照点 vmkR
けている．つまり，距離空間が歪んでおり，
（ランダム）効用最大化と整合的ではない．またこの
ことは，パラメータ推定時に異なる選択肢集合において複数回の推定が必要となることを意味し
ている．これは，実行可能性の面が大きく損なわれているといえるだろう．
98
同様に，Rooderkerk et al. は，Multinomial Probit (MNP) モデルの説明変数に文脈依存項を
設け，それにより妥協効果，魅力効果，類似性効果全てが説明できるとしている．Rooderkerk et
al. のモデルにおける確定的効用関数は，一般的な効用項 Vk と文脈依存項 Vˆk|K に分けられる：
Vk|K = Vk + Vˆk|K .
(6.6)
COM ，魅力効果項 X ATT ，類似性効果項 X SIM の 3 つに分
さらに，文脈依存項は，妥協効果項 Xk|K
k|K
k|K
かれ，それぞれ線形となっている：
COM
ATT
SIM
Vˆk|K = αCOM Xk|K
+ αATT Xk|K
+ αSIM Xk|K
,
COM
Xk|K
= −diskM |K ,
ATT
Xk|K




diskk′ |K




= −diskk′ |K






0
(6.7)
(6.8)
if k dominates k ′ in set K,
if k is dominated by k ′ in set K,
(6.9)
if k is neither dominating nor dominated in set K,
SIM
Xk|K
= ′ min −diskk′ |K .
k ̸=k,∈K
(6.10)
ここで，diskk′ は，属性空間上における選択肢 k と k ′ 間の距離であり，M は，選択肢集合 K 内の
それぞれの属性の最大値と最小値の中点，αCOM , αATT , αSIM は，それぞれ妥協効果項，魅力効果
項，類似性効果項に対応するパラメータである．Rooderkerk et al. のモデルの選択確率は，MNP
モデルのそれで与えられるが，その確率項については，平均 0，分散 1 の i.i.d で与えられる．つま
り，各選択枝の選択確率は独立であるとしている．この仮定は厳しいものであり，MNP モデルの
選択確率間に相関を直接設定可能であるという利点を活かしているとはいえない．
これらのモデルは全て，Zhang et al.(2004)[133] でいう相対的効用モデルであるといえる．こ
こで，相対的効用モデルとは，他の選択肢や自己の行動履歴に，その期のある選択肢の選択確率
が影響を受けるとするものである．特に，他の選択肢の影響のみを受けている Type A といえる．
これは，それぞれの選択肢の確定的効用が，選択肢集合 K に依存していることから容易に判る．
しかし，このことは，ある選択肢 k の効用が提示されている選択肢が異なるだけで変化してしま
うことを意味している．これが，正しいか正しくないかは別とし，異なる選択肢集合の下での選
択確率を比較する際には，基準が異なるもとでの比較となることとなる．
99
Attribute 1
D
A
C
B
Attribute 2
図 6.1: 妥協効果，魅力効果が生起する状況
6.3
心理的効果の再定義
本章では，Simonson(1989)，Huber et al. (1982) により示された妥協効果，魅力効果の数式を
用いた再定義を行なう．前者については，Simonson が厳密な定義を行なわなかったために，論
文により複数の定義が用いられているためである．後者については，数式による厳密な定義は，
Rooderkerk et al. (2011) のみで行なわれており，ここでは本来の Regularity とは異なる定義が
行なわれている．いずれの場合においても，選択肢集合の提示順序が選択確率に影響を与える場
合 (文脈依存効果) が考えられるが，本研究ではそれを排除する．
6.3.1
妥協効果の再定義
妥協効果については，条件の強弱により弱妥協効果と強妥協効果二つの定義を行なう．Simonson
(1989) [112] は三つの選択肢集合で実験を行ない，妥協効果を示している．妥協効果とは，言葉で
書き表わすならば，二つの属性による属性空間において A，B いずれの選択肢も支配的でない状
況でその中間の属性を持つ新たな選択肢 C を加えた場合，中庸な新たな選択肢 C の選択確率が
一番高くなるというものである（図 6.1）．または，同様の空間，選択肢において A, C が提示さ
れている状況で新たな選択肢 B を加えることにより，選択肢 C が極端な選択肢ではなくなり，選
択肢 C の選択確率が上昇するというものである．
100
定義 6.3.1 弱妥協効果 2 属性空間において，互いに支配的でない選択肢 A，B が存在し，その中
間に選択肢 C が存在するとしよう：
XA1 > XC1 > XB1 ,
(6.11)
XB2 > XC2 > XA2 .
(6.12)
ここで，XA1 は選択肢 A の属性 1 の属性値を表わす．このとき，各選択肢集合における各選択
確率が以下の条件を満たす場合，弱妥協効果 CW が生起しているという：
QhC|{A,B,C}
QhC|{A,B,C}
+
QhA|{A,B,C}
QhC|{A,B,C}
QhC|{A,B,C} + QhB|{A,B,C}
> QhC|{A,C} ,
(6.13)
> QhC|{B,C} .
(6.14)
ここで，QhC|{A,B,C} は選択肢集合 A, B, C が提示されている場合に選択肢 C を選択する確率を表
わす．上式は，新たな選択肢を加えることにより，選択肢 C が極端な選択肢ではなくなり，相対
的確率が上昇することを意味している．弱妥協効果は，Simonson，Simonson and Tversky (1992)
[113]，Tversky and Simonson (1993) [125]，Wernerfelt (1995) [131]，Kivetz et al. (2004a) [63]，
Kivetz et al. (2004b) [64] で用いられている定義に相当する．なお，式 (6.13)，
（6.14）いずれかし
か満たしていない場合は，ポラリゼーションと呼び，妥協効果と区別するものとする．
（6.14）それぞれの左辺
定義 6.3.2 弱妥協効果の大きさ 弱妥協効果の大きさ SC は，式 (6.13)，
から右辺を引いたものの最小値とする：
(
)
QhC|{A,B,C}
QhC|{A,B,C}
SC := min
− QhC|{A,C} , h
− QhC|{B,C} . (6.15)
QhC|{A,B,C} + QhA|{A,B,C}
QC|{A,B,C} + QhB|{A,B,C}
つまり，SC > 0 ならば弱妥協効果が成立していることとなる．
一方，Roe et al. (2001) [105] では，相対的ではなく，絶対的確率に基づく妥協効果の定義をし
ている．ただし，これらの選択肢集合の提示順序については特に定めてはいない．
定義 6.3.3 強妥協効果 2 属性以上の空間において，互いに支配的でない選択肢 A，B が存在
し，その中間に選択肢 C が存在するとき，各選択肢集合における各選択確率は以下の条件を満た
すとき強妥協効果 CS が生起しているという：
1
QhA|{A,B} = QhA|{A,C} = QhB|{B,C} = ,
2
(6.16)
101
QhC|{A,B,C} > QhA|{A,B,C} ,
(6.17)
QhC|{A,B,C} > QhB|{A,B,C} . (6.18)
強妥協効果は，Roe et al. (2001) [105]，Busmeyer et al. (2007) [20] で用いられている定義に
相当する．Roe et al. (2001) とは条件 (6.16) が異なる．この点については，付録 6.A.1 に示す．
補題 6.3.1 弱妥協効果は強妥協効果を包含する：
CS =⇒ CW .
(6.19)
証明 6.3.1 式 (6.17)，式 (6.18) を足し合わせることにより，
QhC|{A,B,C} >
) 1(
)
1( h
1
QA|{A,B,C} + QhB|{A,B,C} =
1 − QhC|{A,B,C} =⇒ QhC|{A,B,C} > 2
2
3
(6.20)
が導かれる．式 (6.17)，式 (6.20) より，QA|{A,B,C} < 1/3 であるため，式 (6.16)，式 (6.20) より，
QhC|{A,B,C}
QhC|{A,B,C}
+
QhA|{A,B,C}
>
1
= 1 − QhA|{A,C} = QhC|{A,C}
2
(6.21)
となり，式 (6.13) を満たす．選択肢 B についても式 (6.16), (6.18), (6.20) より式 (6.14) を満たす
ことが同様に示せる．また，CS ̸⇔ CW であることは自明である．
6.3.2
2
魅力効果の再定義
魅力効果についても，条件の強弱により弱魅力効果，強魅力効果二つの定義を行なう．魅力効
果を言葉で書き表わすならば，二つの属性による属性空間において A，B いずれの選択肢も支配
的でない状況で選択肢 A に類似しているが，魅力的ではない選択肢 D を加えた場合，新たな選
択肢 D に類似している選択肢 A の選択確率が高くなるというものである (図 6.1）．魅力効果を
最初に定義した Huber et al.(1982) では，これは選択公理における Regularity を犯す現象として
定義している．しかし，Hagerty(1983), Ratneshwar et al.(1987), Rooderkerk et al.(2011) では，
絶対的選択確率が増すという定義をより広く捉え，相対的選択確率が増すという場合も含むよう
定義している．
102
定義 6.3.4 弱魅力効果 2 属性の空間において，互いに支配的でない選択肢 A，B が存在し，選
択肢 A に属性は類似し，選択肢 A に支配されている（選択肢 B には支配されない）選択肢 D が
存在するとしよう：
XA1 > XD1 > XB1 ,
(6.22)
XB2 > XA2 > XD2 .
(6.23)
このとき，各選択肢集合における各選択確率が以下の条件を満たす場合，弱魅力効果 AW が生起
しているという：
QhA|{A,B,D}
QhA|{A,B,D} + QhB|{A,B,D}
> QhA|{A,B} .
(6.24)
式 (6.24) は，新たな選択肢 D を加えることにより，選択肢 D に近い属性を持つ選択肢 A が魅力
的になり，相対的確率が上昇することを意味している．
定義 6.3.5 弱魅力効果の大きさ 弱魅力効果の大きさ SA は，式 (6.24) の左辺から右辺を引いた
ものとする：
SA :=
QhA|{A,B,D}
QhA|{A,B,D} + QhB|{A,B,D}
− QhA|{A,B} .
(6.25)
つまり，SA > 0 ならば魅力効果が成立していることとなる．
定義 6.3.6 強魅力効果 2 属性の空間において，互いに支配的でない選択肢 A，B が存在し，選
択肢 A に属性は類似し，選択肢 A に支配されている（選択肢 B には支配されない）選択肢 D が
存在するとしよう：
XA1 > XD1 > XB1 ,
(6.26)
XB2 > XA2 > XD2 .
(6.27)
このとき，各選択肢集合における各選択確率が以下の条件を満たす場合，強魅力効果 AS が生起
しているという：
QhA|{A,B,D} > QhA|{A,B} .
(6.28)
上式は，新たな選択肢 D を加えることにより，選択肢 D に近い属性を持つ選択肢 A が魅力的に
なり，絶対的確率が上昇することを意味している．
103
補題 6.3.2 弱魅力効果は強魅力効果を包含する：
AS =⇒ AW .
(6.29)
証明 6.3.2 QhA|{A,B,D} ，QhB|{A,B,D} は確率であるため，
QhA|{A,B,D} + QhB|{A,B,D} ≤ 1
(6.30)
である．従がって，
QhA|{A,B,D}
QhA|{A,B,D}
+
QhB|{A,B,D}
≥ QhA|{A,B,D} > QhA|{A,B}
となり，式 (6.28) は (6.24) を満たしている．また，AS ̸⇔ AW であることは自明である．
(6.31)
2
妥協効果の GNL モデルにおける生起
6.4
本章では，まず弱，強妥協効果それぞれが実際に GNL モデルを用いて生起することを示し，意
味解釈を行なう．また，各状況下での興味深い性質についても示す．
6.4.1
弱妥協効果の数値例
具体的な数値を示す前に，いくつかの仮定を置く．対象商品を乗用車とし，属性を走行性能と
燃費の二つとする．そして，消費者の効用関数の確定項 Vkh を補償型とする：
Vkh = α1 X1k + α2 X2k .
(6.32)
ここで，Vkh は選択肢 k の確定的効用，X1k は選択肢 k の走行性能，X2k は燃費，α1 ，α2 はそれ
ぞれのパラメータである．固有選好度はここでは意味をなさないため，省略する．そして，GNL
モデルのネスト数 Nj を 3 とし，それぞれに全ての選択肢 A，B，C がネスティングされるもの
とする．具体的な構造を図 6.2 に示す．
以上の仮定のもと 表 6.1 に示すパラメータを用い，選択肢 C の追加前後の選択確率を計算す
ると，
QhA|{A,B} = QhB|{A,B} = 0.5,
QhA|{A.B,C} = QhB|{A,B,C} = 0.332,
(6.33)
(6.34)
104
表 6.1: 弱妥協効果の生起例パラメータ
Variable
Variable
X1A
3.0
X1B
Similarity Parameter
µ3
0.9
1.0
γA1
0.7
X1C
2.0
γA2
0.2
X2A
1.0
γA3
0.1
X2B
3.0
γB1
0.2
X2C
2.0
γB2
0.6
α1
1.0
γB3
0.2
α2
1.0
γC1
0.1
µ1
0.9
γC2
0.2
µ2
0.7
γC3
0.7
Attribute Value
Allocation Parameter
Definite Utility Parameter
Similarity Parameter
1
2
3
Nests
Alternatives
A
C
B
図 6.2: 弱妥協効果が生起する GNL モデルの構造
QhC|{A,B,C} = 0.336,
(6.35)
となる．式 (6.33)–(6.35) は式 (6.13)，式 (6.14) を満たしており，GNL モデルにおいて弱妥協効果
が生起していることがわかる．ただし，強妥協効果については，QA|{A,C} = QB|{B,C} ̸= 0.5 であ
るため，この数値例では生起していない．
妥協効果が生起するこの GNL モデルの構造についての意味解釈をしよう．既存の適用分野で
ある交通機関選択や経路選択において，GNL モデルのネスティングは交通機関や経路の重なりあ
いを表現している．単に GNL モデルという場合にはその構造について意味し，そのネスティン
グの意味解釈には何らかの客観的基準が求められる．ここでは，意味解釈を容易にするため次に
105
示す仮定を置く：
γA1 > γC1 > γB1 , γB3 > γC3 > γA3 ,
(6.36)
γC2 > γA2 , γC2 > γB2 ,
(6.37)
γA1 > γA2 > γA3 , γB3 > γB2 > γB1 ,
(6.38)
γC2 > γC1 , γC2 > γC3 .
(6.39)
式 (6.36) は，ネスト 1, 3 への所属割合がネスト 1 では A, C, B の順に高く，ネスト 3 では逆であ
ることを意味している．同様に式 (6.37) は，ネスト 2 への所属割合は C が A，B より高いことを
示している．また，式 (6.38) は選択肢 A, B の所属割合が選択肢 A では 1，2，3 の順に高く，選択
肢 B では逆であることを意味している．最後に式 (6.39) は，選択肢 C の所属割合が 2 が 1，3 よ
り高いことを示している．
この仮定より，このモデルの構造は，ネスト 1，3 は極端な属性を持つ選択肢を好むクラス，ネ
スト 2 は中庸な属性を持つ選択肢を好むクラスといえる．ここでは，ネスト 1 は走行性能が高い
選択肢を好むクラス，ネスト 3 は燃費がよい選択肢を好むクラス，そしてネスト 2 は両者のバラ
ンスを重視するクラスと解釈できる．そして，消費者はこれらの潜在的なクラスを選択し，次に
各クラスに属する選択肢を選択するという意思決定過程をたどっていると解釈できる．表 6.1 に
示すパラメータは明らかに式 (6.35)–(6.39) を満たしており，この意思決定過程をたどる場合，弱
妥協効果が生起することがあるといえる．
補題 6.4.1 NL モデルにおいてネスティング時にオーバラップを許さない場合，弱妥協効果を表
現することはできない．
証明 6.4.1 NL モデルにおいて選択肢 A, B, C をオーバーラップせずにネスティングする方法は
図 6.3 に示す 3 とおりである．このうち (I), (II) は対称であるため，(I), (III) の二つのついて考
えればよい．まず (I) の場合を考えよう．選択肢 A, B の対称性より，VAh = VBh := V h である．弱
妥協効果の大きさは，

((
)1/µ1 (
)1/µ1 )µ1 −1
1/µ


exp VCh 1 exp V h
+ exp VCh
exp VCh
SC = min
−
,
(
)
µ −1
(
)

exp V h + exp VCh
 exp V h + exp V h 1/µ1 (exp V h )1/µ1 + exp V h 1/µ1 1
C
C
106
(I)
1
(II)
2
1
(III)
2
1
2
Nest
Alternative
A
C
B A
C
B A
C
B
図 6.3: NL モデルによる選択肢 {A, B, C} のネスティング
}
)1/µ1
(
)1/µ1
exp VCh
exp VCh
(
)1/µ1 −
(
)1/µ1
1/µ
1/µ
(exp V h ) 1 + exp VCh
(exp V h ) 1 + exp VCh
(
(6.40)
となり，SC = 0 となる．次に (III) の場合を考える．この場合は A, B の配置についても対称であ
るため演算子 min がなくなり，弱妥協効果の大きさは，
SC =
1
2
(
exp VCh
exp VCh
)µ1
−
h
h
1/µ
(2 exp V h ) 1
+ exp VCh exp V + exp VC
となり，SC = 0 となる．
6.4.2
(6.41)
2
GNL モデルによる弱妥協効果に関する性質
本節では，前節で生起することが確かめられた，GNL モデルにおける弱妥協効果の生起に関す
るいくつかの興味深い結果を示す．
ネスト数と効果の生起の関係
補題 6.4.2 GNL モデルにおいてネスト数 Nj が 3 未満かつ，各選択肢の確定的効用関数 Vkh ∀k ∈ K
が線形の場合，弱妥協効果は生起しない．
Nj < 3, Vkh := V h , ∀k ∈ K =⇒ QhC ≤ QhA = QhB .
(6.42)
証明 6.4.2 Nj = 1 のとき，GNL モデルは MNL モデルとなるため，その I.I.A. 特性より自明．
Nj = 2 のとき，選択肢 A, B 及びネスト 1, 2 の対称性より，γA1 = γB2 := γA ，γA2 = γB1 = 1−γA ，
γC1 = γC2 := γC ，µ1 = µ2 := µ を得る．また，同様に，VAh = VBh = VCh := V h であり，さらに
107
exp V h := Y h としよう．すると，各選択肢集合下における選択肢 C の選択確率は，
1/µ
QhC|{A,B,C}
=
γC
1/µ
1/µ
γA + (1 − γA )1/µ + γC
QhC|{A,C} =
1/µ
γC
1/µ
1/µ
γA + γC
+
1/µ
γC
γA )1/µ
,
(6.43)
(
)
1/µ
1/µ µ
γA + γC
(
)
(
)
1/µ
1/µ µ
1/µ µ
γA + γC
+ (1 − γA )1/µ + γC
(
(1 −
)
1/µ µ
(1 − γA )1/µ + γC
(
(
)
)
1/µ
1/µ
1/µ µ
1/µ µ
+ γC
γA + γC
+ (1 − γA )1/µ + γC
(6.44)
と表わされる．ここで，0 < µ ≤ 1 であるため，
QhC|{A,B,C} ≤
QhC|{A,C} ≥
1
,
3
1
3
(6.45)
(6.46)
を得る．ここで，再び対称性より，弱妥協効果の大きさ Sc は，
QhC|{A,B,C}
(
) − QhC|{A,C}
Sc =
1 h
h
QC|{A,B,C} + 1 − 2 QC|{A,B,C}
=
QhC|{A,B,C}
1+
1 h
2 QC|{A,B,C}
− QhC|{A,C}
(
)
:=Γ QhC|{A,B,C} − QhC|{A,C}
(6.47)
と表わされる．Γ(QhC|{A,B,C} ) は，区間 (0, 1] において QhC|{A,B,C} に関して単調増加であるため，
Γ(QhC|{A,B,C} ) ≤
2
= g(1)
7
(6.48)
である．式 (6.44), (6.48) より，
Sc ≤
2 1
1
− =− <0
7 3
21
を得る．
(6.49)
2
弱妥協効果の最大値
本節では，提示された GNL モデルによる弱妥協効果の最大値を示し，現実がそれを超えるか
どうかを検証する．
108
表 6.2: 弱妥協効果の大きさと再現可能性
Category
max Sc
min Sc
Our model
Camera
0.071
0.071
possible
Battery
0.170
0.060
possible
Calculator
0.139
0.134
possible
Portable Grill
0.247
0.200
impossible
補題 6.4.3 選択肢数，ネスト数ともに 3 の GNL モデルにおいて，確定的効用関数が線形の場合，
弱妥協効果の大きさ SC には上限が存在し，その大きさは，
SC =
1
6
(6.50)
となる．ここで，S C は弱妥協効果の最大値を表わす．
2
証明 6.4.3 付録 6.A.2 を参照せよ．
Simonson and Tvesky (1992) [113] では，表 6.2 に示す四つのカテゴリーで弱妥協効果の大きさ
を測定している．それぞれのカテゴリーで複数の選択肢集合を提示しているため，その中で最も
大きいものと，小さいものとを示している．ただし，Simonson and Tvesky (1992) [113] は集計
値，つまり割合である．本章の GNL モデルは非集計モデルであるため，確率であるため，あく
まで期待値として再現できるかを比較する．値を比較すると，ポータブル・グリル以外はいずれ
もこのモデルを用いて表現可能であることが分かる．従がって，これら表現可能なカテゴリーに
ついては，直ちに（期待）効用最大化と矛盾する現象の生起とは決めつけられないだろう．
擬似相関係数からみた弱妥協効果の解釈
GNL モデルにおける選択肢 x, y 間の相関係数 ρxy は，2 章で示したように，近似的に以下の
式で表わされる：
ρxy =
Nj
∑
1/2 1/2 (
γxj γyj
)
1 − µ2j .
(6.51)
j=1
類似度パラメータが小さく，同じネストに所属するアロケーション・パラメータが大きいほど相
関係数が大きい．弱妥協効果は，中央（ネスト 2）の類似度パラメータが相対的に小さく，外側へ
109
の選択肢 A，B の帰属度が高いほど大きくなる．すなわち，A，B の相関係数が高く，A，C 及
び B，C の相関係数が低い場合，弱妥協効果が生起しやすいといえる．相関係数が高いというこ
とは，一般的にはランダム効用における誤差項が大きいことを示し，比較的狭い属性空間に三つ
の選択肢が存在していると考えられる．このことから，比較的狭い属性空間上において，弱妥協
効果は生起しやすいといえる．
弱妥協効果の大きさに関する感度分析
ここでは，より一般的な状況を考え，弱妥協効果の大きさについて，GNL モデルの各パラメー
タによる感度分析を行なう．表 6.1 の数値を基本ケースと考え，ここから各パラメータの変化によ
る感度を調べる．数あるパラメータの内，妥協効果の大きさに大きな影響を与えるパラメータは，
効果の対称性から，µ1 (= µ3 )，γA2 (= γB2 )，VC /VA (= VC /VB ) であることが分かっている．これ
らについて順に結果を示そう．
図 6.4 は類似度パラメータ µ1 の変化に対する弱妥協効果の大きさを示している．µ1 の減少とと
もに，急速に弱妥協効果の大きさは小さくなる．µ2 = 0.01 とネスト 2 内の類似度が非常に高い場
合においても，µ1 は 0.6 を下回ると弱妥協効果が生起しなくなる．これは，µ1 が小さくなること
により，式 (6.51) で表わされる相関係数 ρAB が ρAC ，ρBC と比較し，小さくなるためであると考
えられる．
図 6.5 は類似度パラメータ γA2 の変化に対する弱妥協効果の大きさを示している．γA2 の減少と
ともに，弱妥協効果の大きさは小さくなる．そして，γA2 = γC2 となると弱妥協効果が生起しな
いことが分かる．これは，γA2 = γC2 となると，ネスト 2 内の ρAB ，ρAC ，ρBC の寄与度が同じと
なり，ネスト 1, 3 の類似度パラメータが 1 であるため，相対的に I.I.A となるためである．ここで
γA2 の分析領域が狭いのは，(6.36)–(6.39) を満たすような領域を対象としているからである．
図 6.6 は確定的効用値の比 VC /VA の変化に対する弱妥協効果の大きさを示している．効用値の
比 VC /VA の増加とともに，弱妥協効果の大きさは緩やかに上昇し，0.4 を越えるあたりから急速
に下降する．そして，1.2 を越えると弱妥協効果は生起しなくなる．この結果は，GNL モデルを
用いているため，ネスト選択段階で同じネストに所属する他の選択肢の効用に影響を受けるため
である．VC が VA ，VB と比較し高くなると，VC に引っ張られる形でネスト 2 のログサム値が大
きくなり，結果として ρAB の影響が減ずることとなる．
110
0.07
µ2 = 0.01
0.06
0.05
0.1
0.2
0.05
SC 0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
µ1
図 6.4: 類似度パラメータ µ1 の変化に対する弱妥協効果の大きさ
0.07
γC2 = 0.1
0.06
0.2
0.3
0.4
0.05
δC 0.04
0.03
0.02
0.01
0
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
γA2
図 6.5: アロケーションパラメータ γA2 の変化に対する弱妥協効果の大きさ
0.07
0.06
0.05
SC 0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
VC /VA
図 6.6: 確定的効用値の比 VC /VA の変化に対する弱妥協効果の大きさ
111
表 6.3: 強妥協効果の生起例パラメータ
Variable
Variable
X1A
3.0
X1B
Similarity Parameter
µ3
0.614
1.0
γA1
0.7
X1C
2.0
γA2
0.1
X2A
1.0
γA3
0.2
X2B
3.0
γB1
0.2
X2C
2.0
γB2
0.1
α1
1.0
γB3
0.7
α2
1.0
γC1
0.1
µ1
0.614
γC2
0.8
µ2
0.5
γC3
0.1
Attribute Value
Allocation Parameter
Definite Utility Parameter
Similarity Parameter
6.4.3
強妥協効果の数値例
本章では，GNL モデルにおける強妥協効果の生起について述べる．ネストの構造，選択肢数，
確定的効用関数の仮定は，弱妥協効果と同様としよう．これらの仮定のもと，表 6.3 に示すパラ
メータを用い，各条件のもとでの選択肢の選択確率を計算すると，
QhA|{A,B} = QhA|{A,C} = QhB|{B,C} = 0.5,
(6.52)
QhA|{A,B,C} = QhB|{A,B,C} = 0.321,
(6.53)
QhC|{A,B,C} = 0.358
(6.54)
となる．式 (6.52)–(6.54) は式 (6.16)–(6.18) を満たしており，GNL モデルにおいて強妥協効果が
生起していることがわかる．
ただし，表 6.3 のパラメータは式 (6.16)，(6.18) を満たしていないことに注意されたい．これは，
いくつかの可能性を示唆している．まず，もし GNL モデル及び仮定 (6.35)–(6.38) にしたがって
消費者が意思決定を行なっているとしたら，確定的効用関数が線形ではなく，VCh > VAh = VBh と
なる非線形性が存在する．もしくは，走行性能，燃費以外の属性が存在し，それにより式 (6.35)，
(6.37) を満たさない関係が生まれている．
112
表 6.4: 弱魅力効果の生起例パラメータ
Variable
Variable
X1A
1.0
X1B
Similarity Parameter
µ3
0.1
0.0
γA1
0.90
X1D
0.9
γA2
0.06
X2A
0.0
γA3
0.05
X2B
1.0
γB1
0.19
X2D
−0.1
γB2
0.40
Attribute Value
Allocation Parameter
α1
1.0
γB3
0.41
α2
1.0
γD1
0.20
µ1
0.7
γD2
0.41
µ2
0.2
γD3
0.39
Definite Utility Parameter
Similarity Parameter
1
2
3
Nests
Alternatives
A
D
B
図 6.7: 弱魅力効果が生起する GNL モデルの構造
6.5
6.5.1
魅力効果 GNL モデルにおける生起
弱魅力効果の数値例
魅力効果についても妥協効果と同様に数値例を用いて生起することを示そう．対象商品を妥協
効果と同様に乗用車とし，属性についても走行性能と燃費の二つとする．そして，消費者の効用
関数の確定項 Vkh も式 (6.19) に示すものと同様とする．そして，GNL モデルのネスト数 Nj を 3
とし，それぞれに全ての選択肢 A，B，D がネスティングされるものとする．具体的な構造を図
6.7 に示す．
以上の仮定のもと，表 6.4 に示すパラメータを用い，選択肢 D の追加前後の選択確率を計算す
113
ると，
QhA|{A,B} =0.508, QhB|{A,B} = 0.492,
(6.55)
QhA|{A,B,D} =0.409, QhB|{A,B,D} = 0.392,
(6.56)
QhD|{A,B,D} =0.198
(6.57)
となる．式 (6.55)–(6.57) は式 (6.24) を満たしており，GNL モデルにおいて弱魅力効果が生起して
いることがわかる．表 6.4 に示すパラメータは，条件 (6.36)–(6.39) と同様の仮定を満たしている．
弱魅力効果が生起するこの GNL モデルの構造について，弱妥協効果と同様に意味解釈をする
ことは難しい．これは，弱妥協効果と異なり，類似度という尺度だけではなく，効用値の優劣関
係を加えないと，その効果を定義できないためである．表 6.4 に示すパラメータは，弱妥協効果
に類似した，次の条件を満たしている．
V A = V B > VC ,
(6.58)
γA1 > γD1 > γB1 , γB3 > γD3 > γA3 ,
(6.59)
γA1 > γA2 > γA3 , γB3 > γB2 > γB1 ,
(6.60)
γD2 > γD1 , γD2 > γD3 .
(6.61)
これらの条件について，個々に意味解釈を行なうことは可能であるが，これらが弱魅力効果の定
義に沿うものかという点については，議論の余地があるだろう．特に，類似性効果との違いにつ
いて考える必要がある．ここでは類似度パラメータ，アロケーション・パラメータに一応の制約
(6.58)–(6.61) を設けているが，これらのパラメータがどういう意味を持つのかという点で，意味
解釈が異なるであろう．特に，類似度パラメータについて，これが類似度を表していると解釈す
るのか，Rooderkerk et al. (2011) のように単に心理的な効果を表わすダミー変数パラメータと捉
えるのかということである．
さて，弱魅力効果は NL モデルで表現できるだろうか．NL モデルでは一般的に，属性が近い
選択肢を同じネストに配置する．
補題 6.5.1 NL モデルにおいてネスティング時にオーバラップを許さず，属性によるネスティン
グを行なった場合，弱魅力効果を表現することはできない．
114
(IV)
1
2
Nest
Alternative
A
C
B
図 6.8: NL モデルによる選択肢 {A, B, D} のネスティング
証明 6.5.1 条件を満たす NL モデルの構造は図 6.8 のみとなる．このとき，A と B は違うネス
トに属し，I.I.A を満たすため，
SA :=
QhA|{A,B,D}
QhA|{A,B,D} + QhB|{A,B,D}
− QhA|{A,B} = 0 となる．式 (6.62) は (6.24) を満たさないため，弱魅力効果は生起しない．
(6.62)
2
弱魅力効果についても，弱妥協効果と同様に，GNL モデルを用いて表現可能な上限が存在する．
補題 6.5.2 選択肢数，ネスト数ともに 3 の GNL モデルにおいて，効用関数が線形の場合，弱魅
力効果の大きさ SA には上限が存在し，その大きさは，
S A = 0.7414
(6.63)
となる．ここで，S A は弱魅力効果の最大値を表わす．ただし，この最大値は，式 (6.58)–(6.61) の
仮定のもとでの値である．
証明 6.5.2 弱妥協効果の場合の証明とほぼ同様であるため，省略．
2
Ratneshwar (1987)[101] では，表 6.5 に示す二つのカテゴリーで，選択肢 A，B をそれぞれター
ゲットとして設定し，条件を変え，それぞれ魅力効果の大きさを示している1 ．それぞれについて，
表現可能か，不可能かを表 6.5 に示す．ここでは，全ての場合において，GNL モデルにおいて表
現可能であることが判る．したがって，魅力効果についても，直ちに効用最大化と矛盾する現象
の生起とは決めつけられないだろう．
1
正確には強妥協効果についてである．ただし，Huber et al. (1982) と異なり，全ての選択肢の選択確率が示され
ているため，弱妥協効果の大きさについても計算可能である．
115
表 6.5: 弱魅力効果の大きさと再現可能性
Category
max δA
min δA
Our model
TV sets (Original)
0.389
0.052
possible
TV sets (Elaborated)
0.245
−0.068
possible
Orange Juice (Original)
0.367
0.129
possible
Orange Juice (Elaborated)
0.182
−0.086
possible
6.5.2
強魅力効果と GNL モデル
強魅力効果は，強妥協効果とは異なり，GNL モデルを用いて表現することはできない．これは，
GNL モデルが RUM モデルの一種であり，Regularity を犯していないことから自明である．
補題 6.5.3 GNL モデルにおいて強魅力効果を表現することはできない．
証明 6.5.3 選択肢集合 K の部分集合 K′ ⊂ K を考えよう．各々の集合の下での任意の選択肢
k ∈ K′ の選択確率の差，すなわち強妥協効果の大きさは，
 (
)µj ′
)
∑ (
1/µ
′
V
j

γk′ j ′ e k′
Nj 
′ ∈K ′
∑
k
j

(
)µj ′′
Qk|K − Qk|K′ =

N

j
(
)
∑
∑
′
1/µ
′′
j =1 
j
γ ′ ′′ eVk′
j ′′ =1


k′ ∈Kj ′′
kj
∑ (
)1/µj ′
j ′′ =1
k′ ∈Kj′ ′′

)1/µj ′

γkj ′ eVk

)1/µj ′ 
∑ (

V
′
γk′ j ′ e k

(
k′ ∈Kj ′
µj ′

 
γk′ j ′ eVk′

′
′
k ∈Kj ′
∑

µj ′′
−
 N′ 
j
′
(
)
∑
∑
j =1 
1/µ

j ′′ 

γk′ j ′′ eVk′
Nj′





γkj

)
∑ (
1/µj ′ 

γk′ j ′ eVk′

k′ ∈K′
(
)
V 1/µj ′
′e k
(6.64)
j′
となる．ここで，Nj′ は部分集合 K′ ⊂ K のもとでのネスト数を表わし，Kj′ は K′ ⊂ K のもとで
のネスト j に属する選択肢集合を表わす．このとき，式 (6.64) の各項の関係は，
(
)1/µj
(
)1/µj
γkj eVk
γkj eVk
)1/µj ∀(k, j),
)1/µj < ∑ (
∑ (
γk′ j eVk′
γk′ j eVk′
k′ ∈Kj
k′ ∈Kj′
(6.65)
116
(
∑ (
k′ ∈Kj
Nj
∑
j ′ =1
(
γk′ j eVk′
∑ (
k′ ∈Kj ′
)1/µj
γk′ j ′ eVk′

)µj
)1/µj ′
)µj ′ <
∑ (

k′ ∈Kj′
′
Nj
∑


j ′ =1
γk′ j eVk′
∑ (
k′ ∈Kj′ ′
)1/µj
γk′ j ′ eVk′
µj

)1/µj ′
µj ′ ∀(k, j)
(6.66)

である．したがって，Qk|K − Qk|K′ < 0 であり，GNL モデルは Regularity を満たす．したがっ
て，強魅力効果を表現することはできない．
6.6
2
心理的効果の表現に関する既存モデルとの比較
ここでは，GNL モデルを用いた心理的効果の表現が何故可能となったのかについて議論しよう．
前章までで 三つのネストを持つ GNL モデルを用いて，妥協効果，魅力効果，類似性効果を全て
表現できることが示された．これは，NL モデルをはじめとする従来の離散選択モデルでは成し得
なかった結果である．それについて議論することは非常に有意義であろう．
この答えは，単に，全ての心理的効果による歪みを観測不可能とされる効用である確率的効用
内の同時分布で表現している点にある．つまり，心理的効果に関する効用は，観測者にとって観
測不可能であると仮定し，その観測不可能な各選択肢の効用間に相関が存在していることとなる．
これに対し，Kiverz et al.，Rooderkerk et al. に代表される相対的効用モデルは，心理的効果に
よる歪みを確定的効用にダミー変数等の形で取り組み説明している．相対的効用モデルで説明を
行なうことは，その効果を確定的に取り込むことが可能である一方，違う環境，つまり異なる選
択肢集合が提示されている状況間を比較するということが難しい．なぜなら，相対的な基準が選
択肢集合により異なってしまうからである．例えば，新たな選択肢を加えたことにより，元々から
ある選択肢の確定的効用は変化してしまう．各々の選択肢集合の元では，効用最大化からの乖離
はみられないが，それぞれ別の基準で効用を推定していることとなる．一方 GNL モデルは，効
用の基準となる価格等の相当する説明変数を加えてさえいれば，絶対的効用モデルとなり，新た
な選択肢を加えたことにより，元々からある選択肢の確定的効用は変化しない．これは，消費者
余剰や，さらなる階層によるネスティングを考える際に重要となるだろう．
また別の見方をすれば，Kiverz et al.，Rooderkerk et al. は心理的効果がある条件で発生する
と仮定し，それにダミーを設定し，その変数を推定しているとも考えることができる．これと同
様の研究として，Casseta et al. (1996) [21] が挙げられる．ここでは，類似した選択肢についてコ
117
モナリティー・ファクターという確定的効用項を設定し，これを減ずることにより類似性効果を
表現している．しかし，この研究に対しては，羽藤 (2002)[48] で「アドホック」であるとの指摘
がなされている．筆者は，誤差項との多重共線性や，余剰の計算が難しく，選択肢集合が異なる
際に比較する際の基準が存在しない相対的効用モデルで効果を表現することに，理論的な意味を
見いだすことができないと考えている．
6.7
6 章のまとめ
本研究では，まず数理的に曖昧さや混同のある心理的効果について，数式を用いた定義を行なっ
た．まず，複数の定義がある妥協効果について，二つの定義，弱妥協効果，強妥協効果を定義し，
強妥協効果は弱妥協効果に内包されることを示した．同様に魅力効果について，二つの定義，弱
魅力効果，強魅力効果を定義し，強魅力効果は弱魅力効果に内包されることを示した．
次に効用最大化行動と矛盾するとされ，NL モデルでは表現することが不可能であったこれらの
効果について，効用最大化と整合的なランダム効用モデルである GNL モデルにおいて生起するこ
とを示した．妥協効果については，弱妥協効果，強妥協効果双方が同じネスティング構造を持つ
GNL モデルで表現可能であることが分かった．また，このうち弱妥協効果については，GNL モ
デルにおいて表現可能な大きさの範囲を示し，実際の実験結果と比較することにより，おおよそ
実測に用いることができることが可能となった．特にこの効果の生起については，擬似的な選択
肢間の相関係数により解釈することができ，そのためにネスト数が 3 つ必要であることが分かっ
た．魅力効果については，弱魅力効果についてのみ，妥協効果と同じ構造を持つ GNL モデルで
表現可能であることが分かった．ただし，この表現可能な構造の意味解釈は，類似性効果との兼
ね合いから議論の余地があるだろう．
GNL モデルは NL モデルを内包するため，GNL モデルでは，同じネスティング構造で，類似
性効果，妥協効果，魅力効果全ての心理的効果を表現可能である．このことから，規範的なモデ
ルといえる GNL モデルが，心理的効果を全て表現できるという記述的側面からも，妥当である
ということがいえるだろう．GNL モデルは非集計モデルであり，対数尤度最大化により，容易に
実際の POS データからパラメータ推定が可能である．この事実は，ほとんど従来不可能であった
実際の購買データからの心理的効果の測定が技術的に可能になったことを意味する．従来研究の
結果はそのほとんどがアンケートによるものであり，過度に抽象化された環境のもとでの結果で
118
あると筆者は考えている．
今後の課題としては，今回取り上げることがなかった，幻効果等のその他の心理的効果の効用
最大化と整合的な表現，非集計モデルにおける表現が挙げられる．また，今回開発した非集計的
な側面を活用した，POS データ上での実際のミクロなマーケット・データからの心理的効果の検
証も必要となるだろう．これらは別の機会に報告したい
6 章の付録
6.A
6.A.1
Roe et al. (2001) における妥協効果の定義
Roe et al. (2001) [105] では，式 (6.16) を
ˇh
QhA|{A,B} = QhA|{A,C} = QhB|{B,C} := Q
(6.67)
ˇ h = 0.3 < 0.5 のような場合も
のみとして，妥協効果を定義している．しかし，この定義では，Q
許容している．このような場合について式 (6.17)，(6.18) と併せて考えてみると，単に選択肢 C
が他の選択枝 A, B と比較し魅力的であることを述べていることとなる．つまり，提示された選択
肢集合とは何ら関係がなくなっており，これはもはや妥協効果とは呼べない．そのため，本研究
では，強妥協効果の定義として Roe et al. (2001) [105] での定義を用いていない．
6.A.2
弱妥協効果最大化の一階条件
証明 6.4.2 と同様に確定的効用関数の仮定及び弱妥協効果の選択肢 A, B に関する対称性より，
exp VAh = exp VBh = exp VCh := Y h を得る．すると，弱妥協効果の大きさは，
(

)µj −1
3
(
)
∑
∑
1/µj


γk′ j Y h
γCj Y h
SC =
3
∑
(

j ′ =1
)µj −1
∑
k′ ∈Kj
j=1

(
k′ ∈Kj
γk′ Y h
∑ (
(
1/µj
(γCj Y h )
)
h 1/µj
+
∑
k′ ∈Kj
1/µj 
(γCj Y h )
γk′ j Y

)µj


γk′ j Y
(
)
3 

h 1/µj
∑
′ ∈K
γ
Y
k
j
Cj


(
)µj ′
−


3 (
)
∑
∑
3
1/µ
(
)
′ 
∑
j
1/µ
h
′
j=1 

j
γk′ j ′ Y
γk′ j ′ Y h
′
j ′ =1
k′ ∈Kj ′

)µj −1
j =1
(6.68)
119
表 6.6: 弱妥協効果が最大となるパラメータ
Variable
Variable
γ1
0.5
γ2
0.0
γC
1.0
2
µ
0+
µ2
不定3
Similarity Parameter
Allocation Parameter
ここで対称性より，
γA1 = γB3 := γ1 ,
(6.69)
γA2 = γB2 := γ2 ,
(6.70)
γA3 = γB1 := γ3 = 1 − γ1 − γ2 ,
(6.71)
γC1 = γC3 := γC ,
(6.72)
γC2 = 1 − 2γC ,
(6.73)
µ1 = µ3 := µ
(6.74)
とする．ここで，制約条件 (2.35)–(2.37) を考慮したラグランジアン Λ を以下のようにたてる：
Λ(γ1 , γ2 , γC , µ, µ2 , λj1 , λj2 , λkj ) :=SC (γ1 , γ2 , γC , µ, µ2 )
−
3
∑
j=1
λj1 µj −
3
∑
j=1
λj2 (µj − 1) −
3 ∑
∑
λk′ j γk′ j
(6.75)
j=1 k′ ∈j
ここで，λj1 ，λj2 ，λkj はそれぞれ制約条件 (2.35) の下限，上限，(2.37) に対応するラグランジェ
乗数である．なお，式 (2.36) については考慮済であるため含めない．また，GEV モデルの定義よ
り，絶対的な確定的効用の値は選択確率に影響を及ぼさないため，Y は変数とならない．ここで，
式 (6.75) の KKT 条件より，最大値 S C を求める．すると，表 6.6 に示すパラメータのとき，最
大値
SC =
2
3
1
6
0 ではない，0 に最も近い正の実数を表わす．
今回は γ2 = 0.0，γC = 1.0 であるため，ネスト 2 に所属する選択肢が C のみであり，不定となる．
(6.76)
120
が求まる．
第 7 章 GNL モデルにおける集計ルールの導出
7.1
7 章の目的
離散選択モデルの構築において，どの単位で離散的な選択肢とすべきかという点は重要である．
例えば，コカ・コーラというブランドを一つの選択肢にすべきか，ペットボトルのコーラという
商品容器の違いを一つの選択肢とすべきかということである．これらはそれぞれの選択肢集合に
おいてモデルを構築することが可能であるが，一般的な確定的効用関数形，特に線形の場合にお
いても，ある選択肢同士を一つの選択肢として束ねると，束ねる前後で選択確率の整合性が取れ
なくなってしまう．このような問題は通称集計問題と呼ばれ，特に立地選択や目的地選択におい
て問題とされている．これらの選択問題において問題とされる理由として，空間上の広がりは実
質的には連続で，離散ではないことが挙げられる．つまり，データの入手可能性を無視すれば，町
丁目，メッシュ等いかようにもゾーンを設定できてしまう．
選択肢が本質的に連続的ではなく離散的なブランド選択モデルにおいても，どのレベルで選択
肢集合を構築するべきか，またその場合，異なる選択肢集合間で整合性が取れるのかという問題
が存在する．特に，選択肢が多数存在する場合には，分析対象以外の商品については束ねること
により，なるべく選択肢を少なくしたい．これは，分析者が分析に要する時間，労力を減らすと
いう点以外にも，実際の消費者が並行して多くの選択肢を比較，検討できないという心理学的特
性 (Miller, 1956 [91]) をも反映しているものとなる．
本章では，前章までに引き続き Generalized Nested Logit (GNL) モデルにおいて，集計問題を
回避するための集計ルールを提示する．これにより，GNL モデルにおいて容易に選択肢の併呑す
ることにより選択肢の減少が可能になり，ひいては分析が容易になる．一般的に GNL モデルは
選択肢数の増加によるパラメータ数の増加が著しいため，集計の効果は大きい．集計ルールの導
出により無駄な計算が省かれ，パラメータ推定の計算時間，負荷の削減に寄与することとなる．
本章では，マーケティング・サイエンスにおいて多く用いられている一般的なブランド選択モ
デルを例に，集計問題を回避する集計ルールを導出する．ここで集計的とは，単に集計的ではな
121
122
く，理想的消費者の選択行動をミクロ経済学の効用理論に基づいて記述し，この理想的消費者で
ある個人，あるいは全体の行動を指す．また，その拡張として，先行研究で行なわれている目的
地と交通機関を選択する交通機関選択モデルにおける GNL モデルの集計ルールを導出する．
本章の先行研究として，Sweet (1997) [115]，Ivanova (2005) [57] が挙げられる．Sweet，Ivanova
はそれぞれ GNL モデルの基となる MNL, NL モデルについて集計問題を克服できる集計ルール
を示している．ただし Sweet，Ivanova は，最初に目的地を選択し，次に交通機関を選択するとい
うステップを踏む限定的な交通機関選択モデルにおけるネストの集計ルールを示しており，構造
面では一例を示しているに過ぎない．GNL モデルは 既に示した MNL, NL, CNL, PCL の各モデ
ルだけではなく，商圏分析や商業施設計画で広く用いられている Huff モデル [56] についても同
様の条件を示していることとなる．これは Huff モデルが MNL モデルに内包されるためである．
本章では，集計ルールの導出に Sweet の条件を利用する．この条件は MNL モデルのもとでの
ルールであり，GNL モデルに適用するためには若干の修正が必要である．Ivanova は，これを NL
モデルに適用する際に拡張しているものの，明示的に示してはいない．この条件についても本章
で検討する．
本章の構成は次のとおりである．まず，第 2 節において GNL モデルにおいて集計問題が発生
し，単純な集計ルールが適用できないことをブランド選択モデルを例に示す．次に第 3 節で，集
計ルールが満たすべき条件について示す．第 4 節は本章の核心であり，実際に GNL モデルにお
いて集計問題を克服可能な集計ルールを，ブランド選択モデルとして 1) ネストを集計化したもの，
2) 選択肢を集計化したもの，3) 交通機関選択モデルとしてネストを集計化したものの計三つの場
合において求める．第 5 節は，4 節で得られた GNL モデルにおける集計ルールと，MNL，NL
の各モデルにおけるルールとの比較，考察である．そして最後に第 6 節で結論と今後の課題につ
いて述べる．
7.2
GNL モデルにおける集計問題の生起例
本節では，実際に GNL モデルにおいて集計問題が発生し，直感的に思いつく集計ルールでは
克服できないことを例（ブランド選択モデル：ペットボトル・コーラ）を用いて説明しよう．ここ
で用いるデータ，設定は 4 章，5 章もしくは Takahashi (2011) [117] ，高橋 (2012) [119] で用い
たものである．
123
Nests
Alternatives
図 7.1: 集計問題生起例における GNL モデルの構造
表 7.1: 選択構造例において最尤推定されたパラメータ
Para.
Value
Para.
Value
Para.
Value
Para.
Value
Para.
Value
α1
−0.0147
γ11
0.4760
γ31
0.1038
γ52
0.0061
γ72
0.1604
α2
0.4755
γ13
0.1149
γ33
0.4621
γ53
0.6821
γ73
0.8396
α3
0.0021
γ15
0.4091
γ36
0.4341
γ55
0.3118
γ76
0.0000
α4
−0.3597
γ21
0.7870
γ41
0.2955
γ62
1.0000
γ82
0.0357
α5
0.8506
γ24
0.1001
γ44
0.0346
γ64
0.0000
γ84
0.1129
µ
0.4650
γ25
0.1129
γ46
0.6700
γ65
0.0000
γ86
0.8514
選択肢数は八つ，そしてその選択構造は図 7.1 左図に示すように，ネスト数六つの構造としよ
う．ここでのネスティング・ルールはブランド（商品）が持つ属性（値）をネストとする属性分割
を用いている．ブランド k の確定的効用は，次に示す線形の効用関数とする：
Vkh = α1 X1k + α2 X2k + α3 X3k + α4 X4k + α5 X5k .
(7.1)
ここで， X1k は k の価格, X2k はブランド・ダミー (Coca-Cola = 1, Pepsi = 0)，X3k は k の容
量, X4k は低糖・無糖ダミー（低糖・無糖 = 1, 普通 = 0), X5k は前回購買ダミー (前回購買商品
= 1, それ以外 = 0)，αi は i 番目の変数に対応するパラメータである．また，類似度パラメータ
は煩雑な議論を避けるため，µj = µJ := µ ∀j, J とする．スキャン・パネル・データより最尤推
定した集計前のパラメータは 表 7.1 に示すとおりである．
実際に集計化する上で，ネスト 1, 2; 3, 4; 5, 6 を集計化することを具体的に考えよう．すなわち，
図 7.1 右図の構造に集計化するものとする．ここでは，
ルール 1 算術平均 VˇJh =
P
j∈J
NJ
Vjh
,
124
表 7.2: 間違った集計ルールの適用例
j
PjA
PJA (Rule 1)
PJA (Rule 2)
1
0.239
2
0.103
3
0.303
4
0.018
5
0.196
6
0.140
k
QA
k
QA
K (Rule 1)
QA
K (Rule 2)
1
0.303
0.326(7.9%)
0.404(33.5%)
2
0.095
0.091(4.8%)
0.109(14.6%)
3
0.139
0.131(6.0%)
0.129(8.3%)
4
0.037
0.028(25.4%)
0.038(2.4%)
5
0.208
0.242(16.5%)
0.174(16.4%)
6
0.092
0.049(53.0%)
0.063(31.9%)
7
0.103
0.119(15.3%)
0.064(38.2%)
8
0.023
0.014(37.6%)
0.020(13.9%)
0.324(5.2%)∗
0.392(14.6%)
0.376(16.8%)
0.190(41.1%)
0.300(10.8%)
0.419(24.5%)
∗() 内は集計前との相対誤差を表わす．
ルール 2 幾何平均 VˇJh =
(∏
h
j∈J Vj
)1/NJ
の適用を試みる．以後，本章では，ネスト j がネスト J に集計される場合，j ∈ J という標記を
用いる．ルール 1 は誰しもが一番最初に思いつくであろうもの，ルール 2 は効用項が exp の肩の
上に乗っていることを反映したものである．ここで，Vˇj は，
Vˇjh :=
∑ (
k′ ∈K
(
))1/µj
h
ˆh
γk′ j exp Vjk
′ + Vk ′
(7.2)
j
である．Vjh と V˜jh ，Vj′h の関係は，式 (2.53) を参照せよ．また，NJ は集計後のネスト J に属す
る集計前のネスト j の数である．
それぞれ集計前，集計後の各選択肢，ネストの選択確率は表 7.2 のとおりである．ネスト j ，商
125
品 k どちらのレベルにおいても，単純な算術平均や幾何平均による集計ルールは選択割合（確率）
の整合性がとれていないことがわかる．特に，選択確率が小さい選択肢 6 の選択割合 QA
6 は集計
ルールの非整合性による影響が大きく，相対誤差がルール 1 では 53.0%，ルール 2 でも 31.9% と
大きくなっている．つまり，整合的な集計ルールとは，算術，幾何平均のような単純なルールで
はない．
7.3
集計ルールが満たすべき条件
Sweet は集計が整合的に行なわれているために満たすべき条件として，MNL モデルのもとで，
次の二つの条件を示している．
条件 1 固定需要 個人 h が集計化された選択肢 K を選ぶ周辺確率 QhK は，集計化前の選択肢 k
(k は K に包含されるものとする：k ∈ K) の確定的効用 Vkh を共通の確定的効用である VKh
に置き換えても変化がない．
条件 2 選択確率の整合性 個人 h が集計化された選択肢 K を選ぶ周辺確率 QhK は，集計化され
る前の選択肢 k (k ∈ K) の選択確率と等しい：
QhK =
∑
Qhk .
(7.3)
k∈K
これらの条件は，選択行動が 1 段階である MNL モデルの下での条件であることに留意されたい．
つまり，これをそのまま 2 段階の選択行動である NL，GNL の各モデルには適用できない．
Ivanova はこれらの条件を拡張し，NL モデルに適用している．Ivanova では，ネスト j につい
て集計化しているモデルについて考えているが，条件 2 をネスト j 及び選択肢 k について計 2 回
適用をしている．
本研究で対象とする GNL モデルでは，これ以外に，アロケーション・パラメータの条件が必要
となる．ここでは，次の条件を提示する：
条件 3 アロケーション・パラメータの整合性 ネスト j が J に集計化された場合（j ∈ J ），アロ
ケーション・ パラメータは次の条件を満たす必要がある：
γkJ =
∑
j∈J
γkj , ∀k.
(7.4)
126
条件 3 は集計が式 (7.10) と整合的であるための条件である．ただし，これはネストが集計化され
る場合についてのみの条件であり，選択肢が集計化される場合には適用することができない．
GNL モデルにおける集計ルールの導出
7.4
本節では，まず 1 回の集計を行なうブランド選択モデルにおいて，1) ネストの集計，2) 選択
肢の集計，それぞれの場合について集計ルールを示し，1) の拡張として，出発地，目的地計 2 回
の集計を行なう，3) 交通機関選択モデルにおけるネストの集計について集計ルールを示す．なお，
ここから先は，すべて消費者を表わす上添字 h が付くため，これを省略する．
7.4.1
ブランド選択モデル 1 ：ネストの集計
ここでは集計例と同様に，まずネストとして商品構成要素 j を選択し，次に商品 k を選択する
ものとする．ネスト（商品構成要素）を j ∈ J という表現を用いよう．ここで j は統合前のネス
ト，J は統合後のネストを意味している．
ここで求めるべき集計ルールとは，V˜J ，VJ′ ，VJk に関しての条件を指す．条件 2 をネスト j に
適用し， GNL モデルの選択確率式 (2.47) に代入することにより，
(
) ∑
(
)
exp V˜J + VJ′ =
exp V˜j + Vj′
(7.5)
j∈J
を得る．ここで，条件 1 より
VJ′ = ln
∑
exp Vj′
∀j
(7.6)
j∈J
であるため，式 (7.5) は，
(
) ∑
(
)
exp V˜J + VJ′ =
exp V˜j + VJ′
(7.7)
j∈J
と書き直せる．ここで，式 (7.7) より V˜J に関する部分を消去し，
V˜J = ln
∑
exp V˜j
(7.8)
j∈J
を得る．式 (7.8) を式 (7.7) に代入し，これを整理することにより，
VJ′ = ln
∑
j∈J
(
)
∑
exp V˜j + Vj′ − ln
exp V˜j
j∈J
(7.9)
127
ˆ k (j)，Q
ˆ k (J) について適用する：
を得る．さらに条件 2 を結合確率 Q
∑
ˆ k (j) = Q
ˆ k (J).
Q
(7.10)
j∈J
ˆ k (j)，Q
ˆ k (J) は，
ここで，結合確率 Q
ˆ k (j) :=Pj Pk|j ,
Q
(7.11)
ˆ k (J) :=PJ Pk|J
Q
(7.12)
なる確率である．読者は，Ivanova の NL モデルへの適用例を見て，
ˆ k (j) :=
Q
NJ ∑
∑
Pj Pk|j ,
(7.13)
J=1 j∈J
ˆ k (J) :=
Q
NJ
∑
PJ Pk|J
(7.14)
J=1
として条件 2 が適用されるのではないかと考えるかもしれない．しかし，このような適用の場合，
VJk に関する条件を明示的には求めることができなくなる．
ここで条件 2 が適用されるのは，本質的には Pk|j ，Pk|J に関してであり，j → k という「選
択経路」ごとに集計ルールが適用されるべきである．データとして j が観測可能か否かに限らず，
集計ルールとして「選択経路」ごとの整合性が必要である．集計前の選択肢において Pˆj は計算さ
れており，これと整合的に PJ も計算される．つまり，Qk について整合的であるルールは，Pj ，
PJ と Pk|j ，Pk|J がマルコフ性を有するため，残りの Pk|j ，Pk|J に関して整合的である必要があ
る．これはブランド選択モデルだけではなく，交通機関選択モデルの出発地側も同様である．
式 (7.10) は
PJ Pk|J =
∑
∑
j∈J
Pj Pk|j ⇐⇒ Pk|J = ∑
Pj Pk|j
j ′ ∈J
j∈J
Pj ′
(7.15)
と修正される．式 (7.15) は
(
Pk|J
(
))1/µJ
(
(
))1/µJ
γkJ exp VJk + Vˆk
γkJ exp VJk + Vˆk
=
(
))1/µJ =
(
)1/µJ
∑ (
exp VJ′
ˆ
γk′ J exp VJk′ + Vk
k′ ∈NJ
∑
j∈J
= ∑
Pj Pk|j
j ′ ∈J
Pj ′
(7.16)
128
と等価である．式 (7.16) について対数を取り，1/µJ で除すことにより，
( ∑
)
P
P
j
k|j
j∈J
VJk = VJ′ − Vˆk + µJ ln
1/µ ∑
γkJ J j ′ ∈J Pj ′
(7.17)
を得る．最後に条件 3 を式 (7.17) に代入し，
VJk =VJ′ − Vˆk + Υ,


Υ :=µJ ln  (
∑
(7.18)

∑
j∈J Pj Pk|j
)1/µJ ∑
γ
kj
j∈J
j ′ ∈J


(7.19)
Pj ′
となる．
これらの式のうち，式 (7.8)，(7.9)，(7.18) が，GNL モデルにおけるネストを集計した場合の
満たすべき集計ルールとなる．ここで注意すべきは，γkJ と異なり，µJ に関するルールは導出さ
れないという点である．これは，ネストごとの類似度パラメータが同一（µJ = µj := µ ∀j, J ）で
ない限り，集計後に新たに最尤推定もしくはその他の方法，ルールでパラメータ設定をしなけれ
ばならないことを意味している．
ブランド選択モデル 2 ：選択肢の集計
7.4.2
次に，ネストを構成する商品構成要素を集計するのではなく，選択肢であるブランドを集計す
る場合を考える．ネストの集計と同様に，選択肢（ブランド）を k ∈ K という表現を用いよう．
ここで k は統合前の選択肢，K は統合後の選択肢を意味している．
ネストを集計した場合は，V˜J ，VJ′ ，VˆJk に関しての条件三つが必要であったが，今回は VˆjK ，
VˆK に関しての二つとなる．条件 2 を Pˆk|j ，PˆK|j に適用することにより，
(
(
))1/µj
(
))1/µj
∑(
γKj exp VjK + VˆK
=
γkj exp Vjk + Vˆk
(7.20)
k∈K
を得る．ここで，条件 1 より，
(
(
))1/µj
(
))1/µj
∑(
γKj exp VjK + VˆK
=
γkj exp VjK + Vˆk
(7.21)
k∈K
となる．式 (7.21) を VˆK について解くと，
(
)
)1/µj
∑(
1
γkj exp Vˆk
VˆK = µj ln
γKj
k∈K
(7.22)
129
を得る．ちなみに式 (7.22) の条件は，Pˆj′ に条件 1 を適用しても同様に得られる．次に，式 (7.22)
を式 (7.20) に代入し，整理すると，次の条件を得る:
(
)
(
)
)1/µj
1 ∑
1 ∑(
1/µj
VjK = µj ln
(γkj exp Vjk )
− µj ln
γkj exp Vˆk
.
γKj
γKj
k∈K
(7.23)
k∈K
これらの式のうち，式 (7.22)，(7.23) が，GNL モデルにおけるブランド選択モデルでネストを
集計した場合の満たすべき集計ルールとなる．選択肢を集計化した場合には，ネストを集計化し
た場合のようなアロケーション・パラメータに関するルールは存在しない．そのため，集計化に
伴なう新たなパラメータ推定を行なうことを避ける意味において，説明変数により構造化した構
造化 GNL モデル [99] のような形で，アロケーション・パラメータを集計前に推定することが望
ましい．
7.4.3
交通機関選択モデル
ここでは，まずネストとして目的地のゾーン d を選択し，次に交通機関 k を選択するモデルを
考える．交通計画分野に精通していない方にとっては，この選択構造（順番）は奇異に映るかも
しれないが，四段階推計法 (例えば [35]) のステップに準拠したものである．当然，各交通機関の
効用にはその交通機関により行くことが出来る目的地の効用が説明変数として加わることとなる．
交通機関選択モデルの場合，集計化された選択人数は出発地のゾーン o ，目的地のゾーン d を
用い，
Hko

=H
o
Qok
Nd 
∑

=H


′
o
d =1

(
(
))1/µd′

γkd′ exp Vdo′ k + Vˆko
exp V˜do′ + Vd′o′

 (7.24)
(
(
))
(
)
1/µ
N
′
∑
d
d 
∑
o +V
o
ˆ
o
′o
˜
′
′
γ
exp
V
kd
exp Vd′′ + Vd′′
d′ k ′
k′
(
d′′ =1
)
k′ ∈Nd′
と修正される．ここで， Hko はゾーン o において交通機関 k を利用する人数，H o はゾーン o を
出発地とする人数，Qok はゾーン o における交通機関 k の選択確率であり，式 (7.3)–(7.10) と対応
する部分についても上添字 o がつく．式 (7.24) の意味するところは，交通機関選択モデルにおい
ては，選択確率における選択肢だけではなく，ゾーンの人数 H o についても集計化されるというこ
とである．つまり，ブランド選択モデルで示した集計ルールはそのまま適用することができない．
前節までと同様に，ゾーンの集計化を o ∈ O，d ∈ D という表現を用いよう．ここで o, d はネ
ストを統合前，O, D はネスト統合後のゾーンであり，それぞれ o, d は O, D に統合（集計）され
ることを意味している．
130
さて，我々は，式 (7.24) と同様の

(
)
O + V ′O
˜
N
D

exp
V
∑
D′
D′
HkO =H I
 N
(
)
D
 ∑
D′ =1
exp V˜DO′′ + VD′O′′
D ′′ =1

))1/µD′
(

γkD′ exp VDO′ k + VˆkO

(
))1/µD′ 
∑ (

γk′ D′ exp VDO′ k′ + VˆkO′
(
(7.25)
k′ ∈KD′
O ) に関する集計ルールを見
に関して集計化された場合の O, D における確定的効用 (VDO , VD′O , VDk
つけたい．ここで，VD′O は以下の式で表される効用である：
VD′O := µD ln
(
))1/µD
∑ (
O
ˆO
γk′ D exp VDk
.
′ + Vk ′
(7.26)
k′ ∈KD
Ivanova と同様に，まず 目的地 d についてのみ集計化しよう．目的地側の集計ルールは，ブラ
ンド選択モデルにおいてネストを集計した場合と同様に，
V˜Do = ln
∑
exp Vˆdo ,
(7.27)
(
)
∑
exp Vˆdo + Vˆd′o − ln
exp Vˆdo ,
(7.28)
d∈D
VD′o = ln
∑
d∈D
o
VDk
=
VD′o
−
(
Vˆko
+ µD ln
d∈D
)
∑
o o
d∈D Pd Pk|d
)1/µD ∑
(∑
d∈D γkd
d′ ∈D
Pdo′
(7.29)
となる．ここでブランド選択モデルとの違いは，添字 o がつく点以外には存在しない．
次に出発地側の満たすべき集計ルールを示そう．条件 1 を V˜Do ，VD′o に適用し，
(
) ∑ Ho
(
) ∑ Ho
(
)
˜Do + VD′o =
˜DO + VD′O
exp V˜DO + VD′O =
exp
V
exp
V
HO
HO
o∈O
i∈I
を得る．ここから目的地側と同様に，
)
∑ ( Ho
O
o
˜
˜
VD = ln
exp VD ,
HO
o∈O
VD′O
= ln
(7.31)
∑ ( Ho
o∈O
(7.30)
)
(
))
∑ ( Ho
o
′o
o
˜
˜
exp VD + VD
exp VD
− ln
HO
HO
(7.32)
o∈O
O に適用すると，
を得る．さらに，標本抽出理論を条件付き確率 Pk|D
O
Pk|D
ˆ O (D)
Q
= k O =
Pd
∑
Ho ˆ o
o∈O HO Qk (D)
∑
Ho o
o∈O HO PD
と書き表わされる．これは，目的地側と同様に，
))1/µD
(
(
O +V
ˆO
γkD exp VDk
k
O
Pk|D
=
(
))1/µD
∑ (
O +V
ˆ O′
γk′ D exp VDk
′
k
k′ ∈KD
(7.33)
131
(
(
))1/µD
∑
O +V
ˆO
γkD exp VDk
ˆo
k
o∈O Ho Qk (D)
∑
=
=
(
)
o
1/µD
o∈O Ho PD
exp VD′O
と等価である．式 (7.34) について対数を取り，1/µD で除すことにより，
)
(
∑
ˆ o (D)
H
Q
o
o∈O
k
O
VDk
= VD′O − VˆkO + µD ln (∑
)1/µD ∑
o′
γ
o′ ∈O Ho′ PD
d∈D kd
(7.34)
(7.35)
を得る．これらの式のうち，式 (7.29)，(7.31)，(7.34) が，GNL モデルにおける出発地側の満た
すべき集計ルールとなる．
出発地，目的地あわせ，式 (7.27)–(7.29)，(7.31)，(7.32)，(7.35) が全体として満たすべき集計
ルールである．
7.5
MNL，NL モデルとの集計ルールの比較
本節では，前節で導出されたブランド選択モデルにおける集計ルールを MNL，NL モデルと比
較する．ネストを集計した場合と選択肢を集計した場合では，MNL，NL，GNL モデルというモ
デル拡張の順番と特徴の出現が異なるため，別々に比較する．
7.5.1
ネストを集計した場合
ネストを集計した場合の集計ルールを表 7.3 に示す．以下では，モデルの比較を行なうため，同
じ条件でもモデルを特定する必要がある場合には，V˜j|NL とモデル名を明記した表記を用いること
がある．
まず，各モデルにおける集計ルールを比較する．ネストを集計した場合には， V˜j に関するルー
ルには，MNL，NL，GNL の各モデル間で変化がない．これは，NL，GNL モデルの ネスト選
択時の構造が MNL モデルのそれと同じく，アロケーション・パラメータが肩の上にかかってい
たり，類似度パラメータが加わっていないため，これらが式中に現われないためである．同様に，
MNL モデルにおける Vjk ，NL，GNL モデルにおける Vj′ も同様である．ただし，MNL モデル
においては，j ，k に相当する部分が 1 段階の選択に集約されているため，NL，GNL モデルでは
現われない −Vˆk の項が現われる．MNL モデルにおける Vj′ に関する条件と，NL，GNL モデル
における Vjk に関する条件の同型性から，ログサム Vj′ は Vjk に端を発する項であることがわか
る．非常に荒っぽい表現となるが，MNL モデルにおける Vjk に関する条件は，NL，GNL モデル
132
においては Vj′ ，Vjk に分離することとなる．そして，最後の Vjk についてはモデルにより加わる
項が異なる．この事実から，さらにネストを重ねたモデルや GNL モデルにさらにネストを付加
したもの (高橋・大野，2001 [116]；Koppelman and Sethi，2005 [67]) では，この項のみが変化
するものと容易に推測できる．これは，NL，GNL モデルの Vjk に関する条件に含まれる Vj′ に
ついてその集計ルールの条件を代入し，整理すると，異なるのが最後の項 (Υ) のみとなる．
次に，集計により各確定的効用項がどのように変化するのかを示そう．どのモデルにおいても，
V˜J については，Sweet でいうセントラル・ログサムにあたる．従がって，Sweet の式 (12) と同
様に，
min V˜j ≤ V˜J ≤ max V˜j
j∈J
(7.36)
j∈J
となる．V˜J′ についても同様に，
(
)
(
)
min V˜j + Vj′ − max Vj′ ≤ VJ′ ≤ max V˜j + Vj′ − min Vj′
j∈J
j∈J
j∈J
j∈J
(7.37)
を得る．VJk については，VJ′ は式 (7.37) に示すとおりであり，Vˆk は集計と無関係であるため定
数である．従がって，VJk の上限，下限は最後の項 Υ に左右される．Υ は，Pk|j を Pj で重み付
けしたものを µj 乗したものを，γkJ で除し，対数をとったものである：
(∑
(
)µj )
P
P
j
1
k|j
j∈j
∑
Υ = ln ∑
.
γ
kj
j∈J
j ′ ∈J Pj ′
(7.38)
ここで，式 (7.9)，(7.10) より，
0≤
∑
j∈J
である．
γkj = γkJ ≤ 1
(7.39)
GNL
NL
MNL
Model
VJ′
∑
V˜J = ln
exp Vˆj
j∈J
= ln
VJ′ = ln
∑
V˜J = ln
exp V˜j
j∈J
j∈J
∑
V˜J = ln
exp V˜j
V˜J
j∈J
∑
j∈J
∑
j∈J
j∈J
(
)
∑
exp V˜j + Vj′ − ln
exp V˜j
(
)
∑
exp V˜j + Vj′ − ln
exp V˜j
—
VJ′
j∈J
∑
VJk =
VJ′
− Vˆk + µJ ln
(
(
)
)
j∈J Pj Pk|j
P
1/µJ P
j ′ ∈J
j∈J γkj
P
Pj Pk|j
′
j ∈J Pj ′
exp V˜j − Vˆk
j∈J
P
j∈J
∑
VJk
(P
exp Vjk − ln
VJk = VJ′ − Vˆk + µJ ln
VJk = ln
表 7.3: MNL, NL, GNL モデルにおける集計ルール：ネスト j を集計する場合
Pj ′
)
133
VˆK = µj ln
(
γKj
1
k∈K
k∈K
)1/µj )
∑ (
γkj exp Vˆk
)1/µj
∑ (
VˆK = µj ln
exp Vˆk
VjK = µj ln
(
γKj
1
k∈K
k∈K
∑
k∈K
∑
VjK
(γkj exp Vjk )1/µj
)
− µj ln
k∈K
(
γKj
1
)1/µj )
∑ (
γkj exp Vˆk
k∈K
)1/µj
∑ (
exp Vˆk
exp Vˆk − V˜j
(exp Vjk )1/µj − µj ln
exp Vjk − ln
∑
k∈K
∑
VjK = µj ln
VjK = ln
∑
VˆK = ln
exp Vˆk
k∈K
VˆK
Ivanova をはじめ，既存研究では，NL モデルにおいて選択肢を集計した場合を求めているものはない．今回は GNL モデルの場合と同様に
求めた．
∗
GNL
NL∗
MNL
Model
表 7.4: MNL, NL, GNL モデルにおける集計ルール：選択肢 k を集計する場合
134
135
一般的に γkJ が大きい場合，つまり多くのネストを束ねた場合，Υ はマイナスになりやすくなる．
また，式 (7.8)，0 ≤ Pj ≤ 1，0 ≤ Pk|j ≤ 1 より，
(∑
)µj
j∈J Pj Pk|j
∑
0≤
≤1
j ′ ∈J Pj ′
(7.40)
である．一般的に Pk|j が大きい場合，つまりネスト j に属する選択肢が魅力的な場合，Υ はプラ
スになりやすくなる．最終的な Υ の正負は式 (7.39)，(7.40) の大小で決まる．しかし，Υ の最大
値，最小値は決めることはできず，VJk についても同様となる．
最後に，各モデルの選択確率 (Wen and Koppelman) と，各モデルのネストの集計ルールにお
ける条件間は整合的であることを示そう．µJ → 0 とすると，NL モデルの場合の VˆJk に関する条
件は，
VJk|NL =VJ′ − Vˆk = ln
∑
exp Vjk − ln
j∈J
∑
exp V˜j − Vˆk = VJk|MNL
(7.41)
j∈J
となり，NL モデルの条件は MNL モデルのそれに帰着する．同様に，γkj → 1 とすると GNL モ
デルにおける VˆJk に関する条件は，


VJk|GNL =VJ′ − Vˆk + µJ ln  (
∑
∑
j∈J
(∑
=VJ′ − Vˆk + µJ ln
j∈J
∑

j∈J Pj Pk|j
)1/µJ ∑
1
Pj Pk|j
j∈J
Pj
j∈J


Pj
)
= VJk|NL
(7.42)
となり，GNL モデルの条件は NL モデルのそれに帰着する．VJ 及び Vj′ に関する条件は NL モ
デルと GNL モデルで同じであるため，各モデルにおける選択確率の関係性と，ネストの集計ルー
ルの条件の関係性は整合的であるといえる．
7.5.2
選択肢を集計した場合
次に，選択肢を集計した場合の集計ルールを表 7.4 に示す．まず，ネストを集計した場合と同様
に，各モデルにおける集計ルールを比較する．VˆK に関する条件は，各モデルのログサムそのもの
である．VjK に関しても，Vjk のログサムから Vˆk のログサムを差し引いたものとなる．ただし，
MNL モデルでは，NL，GNL の各モデルにおいてネスト段階の確定的効用となる V˜j が差し引か
れる．これは，ネスト j を与件とすれば，k の選択は，NL，GNL モデルともに MNL モデルと
同様となるためである．
136
当然各項の集計による確定的効用の変化は，ネストを集計した場合と同様に，次のとおりとなる:
min Vˆk|NL ≤ Vˆk|NL ≤ max Vˆk|NL ,
(7.43)
min γkj Vˆk|GNL ≤ γKj Vˆk|GNL ≤ max γkj Vˆk|GNL ,
(7.44)
k∈K
k∈K
k∈K
k∈K
min Vjk|NL − max Vˆk|NL ≤ VjK|NL ≤ max Vjk|NL − min Vˆk|NL,
k∈K
k∈K
k∈K
(7.45)
k∈K
min γkj Vjk|GNL − max γkj Vˆk|GNL ≤ γKj VjK|GNL ≤ max γkj Vjk|GNL − min γkj Vˆk|GNL .
k∈K
k∈K
k∈K
k∈K
(7.46)
選択肢を集計した場合にも，モデルの選択確率と，集計ルールとの間には整合性が保たれる．
µJ → 1 とすると，NL モデルの場合の VjK に関する条件は，
VjK|NL = ln
∑
(exp Vjk )1/1 − ln
∑(
exp Vˆk
)1/1
= ln
k∈K
k∈K
∑
exp Vjk − ln
k∈K
∑
exp Vˆk
(7.47)
k∈K
となる．ここで，NL モデルから MNL モデルへの帰着は，2 段階から 1 段階の選択構造に変化
するため，ネスト選択における確定的効用項 Vˆj が現われる．ただし，Vˆj は，k に関する集計と
は無関係であるため，ここでは定数である．そのため，それを差し引く形で NL モデルの条件は
MNL モデルの条件に帰着する．同様に，γkj → 1 とすると GNL モデルの場合の VˆjK に関する
条件は，
(
VjK|GNL =µj ln
1∑
(1 exp Vjk )1/µj
1
k∈K
=VjK|NL
)
(
− µj ln
)1/µj
1 ∑(
1 exp Vˆk
1
)
k∈K
(7.48)
となり，GNL モデルの条件は NL モデルの条件に帰着する． VˆK についても同様に示すことがで
きる．従がって，選択肢の集計ルールにおける各条件の関係性についても，各モデルの選択確率
[130] の関係性と整合的であるといえる．
7.6
7 章のまとめ
本章では，複数の要素間の相関を考慮可能な Generalized Nested Logit (GNL) モデルについて，
集計問題を克服可能な集計ルールを導出した．まず，集計問題が GNL モデルにおいて実際に生
起することを，スキャン・パネル・データより推定した GNL モデルを用い，ネストを集計するこ
137
とにより，その前後で選択確率が整合的であるかを確かめた．このとき，特に算術平均，幾何平
均といった単純な集計ルールではその差が大きいことを示した．次に GNL モデルにおいて用い
るべき集計ルールが満たすべき条件を示した．具体的には，Sweet の条件にアロケーション・パ
ラメータの条件を追加した．この導出した集計ルールを用いて， GNL モデルにおいてその集計
問題が克服可能な条件を，ブランド選択モデルにおいて，1) ネストを集計した場合，2) ブランド
を選択した場合，2 段階の集計がある交通機関選択モデルにおいて 3) ネストを集計した場合，そ
れぞれについて集計問題を回避する集計ルールを導出した．この際に，GNL モデルにおいては，
集計ルールが満たすべき条件の適用を，Ivanova が示した周辺確率ごとではなく，ネストと選択肢
のそれぞれの選択の結合確率ごとにすべきことを明らかにした．
さらに，集計ルールをブランド選択モデルを例に，1) ネストを集計した場合，2) 選択枝を集計
した場合，それぞれについて MNL，NL，GNL の各モデル間で比較し，その性質を明らかにし
た．その結果，次に示すことがわかった; 1) 各モデルの選択確率と集計ルールは整合性，2) 限定
的ではあるがほぼ全ての場合において，集計化された各確定的効用項には，最大値，最小値が存
在．1) については， GNL モデルは MNL，NL，PCL の各モデルを内包しているため，GNL に
おいて得られた集計ルールをもとに，これらのモデルの集計ルールを容易に得られることを意味
している．2) については，実際に分析者が集計を行なう際に，集計が整合的に行なわれたかを確
かめる際に用いることができる．
これらの事実及び集計ルールは，複数のモデル間の整合性を図る上で非常に有意義なことであ
る．特に GNL モデルでは，モデルの構造上選択肢の複数のネストへの帰属を許すため，ネスティ
ングの方法により選択肢そのものの概念が大きく異なることが予想される．また，選択肢数，ネ
スト数の増加は，類似度パラメータ，アロケーション・パラメータの著しい増加につながる．この
パラメータの増加は，パラメータ推定時の次元の増加だけではなく尤度関数の多峰性を増すこと
になる．そのため，分析対象に適したネスティング，選択肢の定義，集計を行なう必要性がある．
例えば，マーケット・シェアの低い商品は「その他」という選択肢に束ねることが多くのマーケ
ティングの研究で行なわれている．そのような場合には，今回導いたルールを用いることは，分
析者にとって計算量を減らし，同時にモデル間の整合性を保つために非常に有益であろう．
第 8 章 結論
8.1
本研究のまとめ
本研究では，複雑な選択肢間の異質性を考慮できる Generalized Nested Logit （GNL) モデ
ルについて基本的な性質を明らかにし，マーケティング分野において適用，拡張，及び効率的利
用のためのツールの開発を行なった．本研究で明らかになった成果は次のとおりである．
2 章では，GNL モデルが持つ，集計的，非集計的な側面からの情報理論との対応付けを行なっ
た．その結果，次のことがわかった：
1. GNL モデルは集計的に，エントロピー制約付き社会的効用最大化問題として解釈可能，
2. 集計的なモデルにおいて，サンプル数を 1 とすると個人レベルでの（ランダム）効用最大化
問題として解釈可能，
3. GNL モデルの段階的最尤推定問題は，その各段階がそれぞれ共役なエントロピー最大化（情
報量最小化）問題と等価，
4. 一般的に（ランダム）効用最大化と整合的であるためとされたパラメータの制約条件は，情
報整合的な制約と，
（ランダム）効用最大化と整合的であるための条件があることが判明．
これらの事実により，新たなパラメータ推定の方法や，パラメータの制約条件の付加の仕方が提
案され，情報理論的な GNL モデルの解釈が可能となった．この成果の一部は，実際に 4, 5 章の
実証で活用されている．
4–6 章では，従来ほとんど例がなかった GNL モデルのマーケティング分野への適用，ブランド
選択モデルへの適用を行なった．まず，4 章では具体的な GNL モデルの構造を決定するネスティ
ング・ルールとして，要素分割を提案し，商品カテゴリーとしてコーラに対し，適用，検証を行
なった．その結果，次のことがわかった：
1. MNL，NL，GNL の各モデルを比較し，各基本統計量において，GNL モデルが優位，
138
139
2. 集計した選択割合においても，GNL モデルが優位，
3. 上記のモデル間には，確定的効用関数パラメータの大きな相違が見られる．
5 章では，4 章で提案した GNL モデルの適用を，消費者に異質性について考慮できるように拡張
した LGNL モデルを提案した．そして 4 章と同様に商品カテゴリーとしてコーラに対し，LGNL
モデルの適用，検証を行なった．
1. MNL，LML，GNL，LGNL の各モデルを比較し，各基本統計量において，LGNL モデル
が優位，
2. 集計した選択割合においても，LGNL モデルが優位．
4,5 章の実証結果により，統計学的な側面から LGNL，GNL モデルの妥当性が示されたといえる．
6 章では，
（期待）効用最大化と矛盾するとされる心理的効果について，GNL モデルを用いて表現
することを試みた．その結果，GNL モデルのある特定のネスティング構造を用いることで，次に
示す結果を得た：
1. 弱妥協効果，強妥協効果については表現可能，
2. 弱妥協効果については，その表現可能な大きさは Simonson ans Tversky (1992) [113] の結
果と比較し，十分，
3. 弱魅力効果についても表現可能．
4. （期待）効用最大化と矛盾するとされた現象が，
（ランダム）効用最大化と整合的に生起．
これらの結果は，GNL モデルの妥当性をある程度心理学的に裏付けるものであるといえる．
7 章では，実務面での GNL モデルの適用を考え，集計問題を克服できる集計ルールを提案し
た．その結果，次に示す結果を得た：
1. ネストを集計した場合，満たすべきルールとして三つのルールを導出，
2. 選択肢を集計した場合，満たすべきルールとして二つのルールを導出，
3. GNL モデルの集計ルールが，MNL，NL の各モデルのルールと整合的であることを検証，
4. 集計した場合の効用の変化について限定的ながら上限，下限を導出．
140
これらの結果は，GNL モデルを実務で適用する際に有用であり，GNL モデルの工学的な性質を
明らかにしたものであるといえる．
本研究では，経済学的なモデルである GNL モデルについて，その性質，妥当性を多方面から提
示，実証した．離散選択モデルについて画期的な研究を行ない，本研究でもその著作の多くを引用
した McFadden のノーベル経済学賞受賞記念原稿（reprinted to [88]）では，10 人の学者に対し謝
辞を冒頭で贈っている，共同受賞者の James Heckman, それ以外に Zvi Griliches, L. L. Thurstone,
Jacob Marschak, Duncan Luce, Amos Tversky, Danny Kahneman, Mashe Ben-Akiva, Charlles
Manski, Kenneth Train である．これらのうち，純粋な経済学者と目されるのは，Zvi Grilliches,
Chalies Manski, Kenneth Train だけである．James Heckman と Jacob Marschak は統計学者と
しての側面が大きい．残りの L. L. Thurstone, Duncan Luce, Amos Tversky, Danny Kahneman
は心理学者，Ben-Akiva は工学者である．本研究では，これら全ての方面から，経済学的なモデ
ルである GNL モデルについて検討したこととなる．
8.2
今後の展望
前節に示したように，本研究では，様々な方面から GNL モデルについてその性質や意味づけ
を研究した．しかし，なお若干の理論的課題，技術的課題と，様々な場面での実証が必要である．
理論的課題として，確率的顕示選好の弱公理と強公理の明確な対応を示し，GNL モデルの弱公
理的な意味合いを示すことである．また，Aditive Utility Theory との近似性についても理論的解
明が期待される．近年，Fosgerau et al. (2010) [39] が示しているように，GNL モデルの構造と
ある種のモデルのクラスとの関係性が明らかになりつつあり，今後の発展が期待される．
マーケティングにおけるブランド選択モデルにおける課題は，本研究では行なわれていない POS
データからの心理的効果の実証が挙げられる．ただし，単なる最尤推定では，選択肢集合の違い
による心理的効果を十分推定することは難しいと考えられ，重み付け等の手法が必要となるだろ
う．また，現在，心理的効果を考えずに，ヒューリスティクスに行なわれているライン拡張 [36]
が行なわれた際のデータでの効果の検証も実務に適用する際には必要となるだろう．
技術的課題としては，ブランド選択モデルにおける GNL モデルのパラメータ推定方法の改良が
挙げられる．これは，GNL モデルの同時最尤推定を行なう際の対数尤度関数が凸とならず，安定
的にパラメータ推定ができないこと [134] を克服しようとするものである．この問題に対し，メタ
141
ヒューリスティクスを活用したパラメータ推定方法 [106, 37, 66] が GNL モデル以外の離散選択
モデルで提案されている．その多くが実数値 Genetic Algorithm （例えば Davis, 1991 [30]） を
用いたものであるが，筆者は特に，複数の NL モデルの線形和的に構築される GNL モデルの構
造を考えると，Particle Swarm Optimization (PSO) [61] が有力な方法論の基本となると考えて
いる．また，推定対象のパラメータ数を減らし，凸性を減少させ，計算不可を低減する上では，パ
ラメータをデモグラフィック要因や商品の構成要素に起因する要因で説明する，パラメータの構造
化（例えば，Prashker and S. Bekhor, 1998 [98]; Adachi et al., 2011 [2]) が有力な手法となり得
るだろう．
変数表
次に本研究で用いた変数をまとめる．
変数
定義
Γ
Γ(x) := x/(1 + 21 x) なる関数
∑
:= {δ ∈ RNk |δk ≥ 0 and
k δk = 1}
N
∑k
:=
exp(Vkh′ − Vk )
∆
Θ
k=1
Λ
ラグランジアン
Λ：集計レベルの等価エントロピー・モデルのラグランジアン
ˆ 1 ：非集計レベルの [step1] における等価エントロピー・モデルのラグランジアン
Λ
ˆ 2 ：非集計レベルの [step2] における等価エントロピー・モデルのラグランジアン
Λ
Ξ
Υ
:= {ϵh s.t. Vkh + ϵhk > Vkh′ + ϵhk′ ∀ k ′ ̸= k}
(
( P P P )µj )
j∈J k|j j
P
:= ln P 1 γ
P ′
′
kj
j ∈J
j∈J
Φ
j
GNL モデルの選択確率式各項
(
)µj
)1/µj
∑ (
h
Φ1 :=
γk′ j exp Vk′
k′ ∈Kj
(
)µ ′
Nj
)1/µj ′ j
∑
∑ (
Φ2 :=
γk′ j ′ exp Vk′
j ′ =1
(
k′ ∈Kj ′
)1/µj
Φ3 := γkj exp Vkh
)1/µj
∑ (
Φ4 :=
γk′ j exp Vkh′
k′ ∈Kj
Φ5 :=
∑ ((
k′ ∈Kj
γk′ j exp Vkh′
)1/µj
)
Xk ′ m
∑Nh
Ψ
:=
Ω
分散共分散行列
h′ =1 ln Φ4
142
143
変数
定義
α
効用関数パラメータ
α1 ：価格に関するパラメータ
α2 , α3 , . . . ：その他の属性に関するパラメータ
α0k ：固有選好度（選択肢 k 固有のパラメータ）
αil ：潜在クラス i の l 番目属性に関するパラメータ
α0ik ：潜在クラス i の固有選好度（潜在クラス i，選択肢 k 固有のパラメータ）
β
効用関数の単調変換パラメータ
γ
アロケーション・パラメータ
γkj ：選択肢 k ，ネスト j のアロケーション・パラメータ
δ
選択結果を表わす二値変数
δk ：選択肢 k を選択した場合 1，その他 0
h ：ネスト j ，選択肢 k を選択した場合 1，その他 0
δj,k
h ：潜在クラス i，サブ潜在クラス j ，選択肢 k を選択した場合 1，その他 0
δi,j,k
ϵ
確率的効用，誤差項
ϵhk ：消費者 h の選択肢 k の確率的効用
ϵˆhk ：GNL モデルにおける選択肢 k のみに依存する確率的効用
ϵhjk := ϵhk − ϵˆhk
ζ
社会的余剰の積分経路
η
サブ潜在クラスの類似度パラメータ（5 章）
ηj ：サブ潜在クラス j の類似度パラメータ
θ
汎用パラメータ
θm ：[CCM], [NCCM], [LAM] における m 番目属性のパラメータ
θ1 ，θ：[RAM] におけるパラメータ
ι
セグメント・サイズ
κ
ω とともに一次同次の凹関数であり r に関して非減少である関数（2 章）
144
変数
定義
λ
ラグランジェ乗数
λ：集計レベルにおける確率としての制約条件に対応するラグランジェ乗数
ˆ 2 における確率としての制約条件に対応するラグランジェ乗数
λh ： Λ
ˆ 1 における確率としての制約条件に対応するラグランジェ乗数
λhj ：Λ
λk ：∂L1 /∂α0k に対応するラグランジェ乗数
λkˆ ：∂L1 /∂γ kj に対応するラグランジェ乗数
λj ：∂L2 /∂µj に対応するラグランジェ乗数
λm ：∂L1 /∂αm に対応するラグランジェ乗数
µ
類似度パラメータ
µj ：ネスト j の類似度パラメータ
µi ：潜在クラス i の類似度パラメータ
ν
˜ I (p − q k , r, wk ; U
˜)
νk := U
ξ
観測された選択肢の属性を特定する写像
π
選択確率関数：πk (QB , r, wB , s) := Q(k|B , s)
ρ
相関係数
ρkk′ ：選択肢 k, k ′ の選択確率間の相関係数
σ
確率測度
τ
セグメント・サイズ
(
)ηj ′ /µi′
)
∑
∑ (
1/η
j
ϕk :=
γkj Ykh′
ϕ
j ′ ∈Ji′
χ
χk :=
∑ (
k′ ∈Kj
k′ ∈Kj ′
γk′ j Ykh′
)1/ηj
ψ
ψl := (γlj Ylh )
ω
κ とともに一次同次の凹関数であり r に関して非減少である関数（2 章）
145
変数
定義
α
効用関数パラメータ・ベクトル
δ
選択結果ベクトル
ϵ
誤差項集合
θ
パラメータ集合
θ ∗ ：最尤推定されたパラメータ集合
θ A ：集計された場合のパラメータ集合
λ
ラグランジェ乗数集合
ω
Z3 の要素表示
変数
定義
B
予算（確定的な財の消費数の組み）
C
選択ルール
D
集計された（束ねられた）目的地ゾーン（7 章）
E
弾力性
E(k)：選択肢 k の価格弾力性
E(k, k ′ )：選択肢 k ，k ′ 間の交差弾力性
F
累積確率密度関数
F B ：予算集合 B の下での，確率密度関数
G
社会的余剰関数
H
人数
Hko ：ゾーン o を交通機関 k を用いて出発する人数
H o ：ゾーン o を出発する人数
J
集計された（束ねられた）ネスト（7 章）
K
集計された（束ねられた）選択肢（7 章）
L
尤度関数
M
属性空間の中央値（6 章）
146
変数
定義
N
数
Nk ：選択肢数
Nj ：ネスト数
Ni ：潜在クラス数
Nm ：効用関数属性数
Nt ：試行回数
∑ h ∑Nj
N k := N
h′ =1
j ′ =1
N kj :=
∑N h ∑N j
h′ =1
′
h
δk|j
′
µj ′
′
h
δk|j
′
j ′ =1 µj ′ γ kj ′
O
集計された（束ねられた）出発地ゾーン（7 章）
P
選択確率
Pjh ：消費者 h のネスト j の選択確率
PjA ：集計された集団 A のネスト j の選択割合
h ：消費者 h のネスト j ，選択肢 k の同時選択確率
Pjk
h ：消費者 h の潜在クラス i，サブ潜在クラス j ，選択肢 k の同時選択確率
Pijk
h ：消費者 h がネスト j が選択された状況で，選択肢 k を選択する確率
Pk|j
A ：集計された集団 A がネスト j が選択された状況で，選択肢 k の選択確率
Pk|j
h ：消費者 h が潜在クラス i，サブ潜在クラス j に所属した上で選択肢 k の選択確率
Pk|i,j
Q
選択確率
Qhk ：消費者 h の選択肢 k 選択確率
QA
k ：集計された集団 A の選択肢 k の選択割合
ˆ k (j) := Pj Pk|j ：結合確率
Q
R
参照点を表わす添え字
S
心理的効果の大きさ
Z C ：弱妥協効果の大きさ
Z A ：弱魅力効果の大きさ
T
T として行列の転置
147
変数
定義
U
直接効用関数
Ukh ：選択肢 k の消費者 h にとっての効用
h ：潜在クラス i，サブ潜在クラス j に消費者 h が所属するときの選択肢 k の効用
Ui,j,k
U I ：間接効用関数
V
確定的効用関数 = 確定項
Vkh ：選択肢 k の消費者 h にとっての確定的効用
V˜jh ：ネスト j のみに依存する消費者 h にとっての確定的効用
h ：選択肢 k ，ネスト j 両方に依存する消費者 h にとっての確定的効用
Vjk
(
)1/µj
∑
h +V
ˆ h)
Vj′ := µj ln k′ ∈Kj γk′ j exp(Vjk
：ログサム
′
k
h
Vˆkh := Vkh − V˜jh − Vjk
h ：潜在クラス i に属する消費者 h の選択肢 k の確定的効用
Vi,k
X
属性値
Xkm ：選択肢 k の m 番目属性値
∑Nj ∑Nk δkh′ |j ′ Xk′ m
X kmj := j ′ =1
k′ =1
µ ′
j
Y
:= exp V
Ykh = exp Vkh
Z
集計的等価エントロピー・モデルのラグラジアン各項
∑Nj ∑Nk
A A
Z1 := − j ′ =1
k′ =1 Pj ′ k′ Vk′
Z2 :=
Z3 :=
∑Nj ∑Nk
j ′ =1
A P A ln
j ′ k′
k′ =1 µj ′
PjA
′ k′
γkA
′ j′
A
1/µ ′
j
)}
) (
) (∑
∑Nj {(
Nk
A ln ∑Nk P A
A
P
1
−
µ
j′
k′ =1 j ′ k′
k′ =1 j ′ k′
j ′ =1
148
変数
定義
A
魅力効果
B
予算集合の元（ユニバース）
C
妥協効果
D
離散的選択肢の需要関数
˜ I∗
∂U
k
˜ ) := − ∂q
D(k|B , s; U
˜ I∗
∂U
∂p
E
エントロピー・最大化問題
]
∑ h ∑N j ∑N k [ h ′
h′
E1 := inf P h ∀h,j,k N
ln
P
P
′ ′
h′ =1
j ′ =1
k′ =1
k′ |j ′
k|j
¯k |j]
[
¯
∑Nh ∑Nj
′
′
E2 := inf P h ∀h,j h′ =1 j ′ =1 Pjh′ ln Pjh′ ¯¯E1∗
j
G
GEV 母関数，Gk := ∂G/∂Ykh より高次偏微分についても同様
H
:= ∇2 Z3
I
間接効用関数を表わす添え字
J
サブ潜在クラス集合
K
選択肢集合
Kj ：ネスト j に所属する選択肢集合
L
対数尤度最大化問題
∑Nh ∑Nj ∑
h′
h′
L1 := max αm ∀m
k′ ∈K ′ δk′ ln Pk′ |j ′ (αm′ , α0k′ , γ k′ j ′ )
h′ =1
j ′ =1
j
α0k ∀k
γ kj ∀(k,j)
∑ h ∑N j h ′
h′
∗
L2 := maxµj ∀j { N
h′ =1
j ′ =1 δj ′ ln Pj ′ (µj ′ )|L1 }
(
)
∑N h ∑N j ∑
h′
h′ + ln P h′
L′ := sup αm ∀m
δ
ln
P
k′ ∈K ′ j ′ ,k′
j′
h′ =1
j ′ =1
k′ |j ′
j
α0k ∀k
γ kj ∀(k,j)
µj ∀j
M
B の部分集合
N
B の部分集合，ただし，M ⊂ N
R
k × j の集合
S
強効果を表わす添え字
T
ネスト集合
Ti ：潜在クラス i に属するサブ潜在クラス集合
U
˜ )]
U(k|B , s) = − ∂q∂k max[−qk − κ(r, wk , k; U
W
弱効果を表わす添え字
k∈B
149
変数
定義
A
集計された集団という意味を表わす添え字
B
予算集合
C
汎用集合
D
離散的選択肢の需要数（0, 1）（2 章）
K
選択肢の（添え字）集合
M
可測集合
S
消費者の属性ユニバース
V
確定的効用ベクトル
W
観測された選択肢の属性ユニバース
X
属性値集合ユニバース
Z
可分財の消費量ユニバース
150
変数
定義
a
汎用定数
b
汎用定数
c
汎用定数
d
目的地ゾーン（7 章）
e
–
f
（同時）確率密度関数
f B ：予算集合 B の下での，確率密度関数
h
消費者を表わす添え字
i
潜在クラスを表わす添え字（5 章）
j
ネストを表わす添え字
k
選択肢を表わす添え字
l
汎用添え字
m
効用関数の属性を表わす添え字
n
汎用添え字
o
出発地ゾーン（7 章）
p
収入
q
離散的選択肢の価格（費用）（2 章）
t
試行（購買機会）を表わす添え字
v
部分的確定的効用
h ：選択肢 k の m 番目属性の部分的確定的効用
vmk
v Kh
m ：m 番目属性の部分的確定的効用の K 内の最低値
v Kh
m ：m 番目属性の部分的確定的効用の K 内の最高値
Kh ：m 番目属性のの部分的確定的効用の K 内の参照点
vmR
w
効用差を表わす変数
wk := Uk − U1
x
汎用変数
y
汎用変数
151
変数
定義
r
可分財の価格ベクトル
s
個別消費者の属性集合
w
観測された（単独の）選択肢の属性ベクトル
x
属性ベクトル
xk ：選択肢 k の持つ属性ベクトル
z
可分財の消費量ベクトル
謝辞
本論文は，著者が早稲田大学大学院創造理工学研究科経営システム工学専攻に在学中の研究をま
とめたものであります．また，この研究の一部は，科学研究費 若手 (B) 研究課題番号：23730415
の支援を受けたものです．本論文作成にあたり，数多くの方々のご理解，ご助力を賜りましたこ
とを，ここに深く感謝いたします．
指導教員である早稲田大学創造理工学部経営システム工学科 大野髙裕教授には，研究全般に渡
りご指導，ご助言を頂きました．突然の訪問から 4 年，自由な研究環境を与えてくださり，温か
く見守って頂きました．深く感謝し，厚く御礼申し上げます．副査を務めて頂きました早稲田大
学創造理工学部経営システム工学科 高橋真吾教授，後藤正幸教授には，検討会や審査会を通して，
ご専門の立場から数多くのご助言を頂きました．深く感謝し，御礼申し上げます．
早稲田大学創造理工学部経営システム工学科 大野研究室の諸氏とは，ゼミなどを通して有意義
な議論をすることができました．特に，Stochastic & Dynamic Control Group のメンバとは，報
告会をはじめ様々な場面で時には大いに脱線しつつも，様々な議論をすることができました．深
く感謝します．
最後に，社会人から一学生に戻るのに何も言わず，著者を支えてくれた妻詩織に，心から感謝
します．
2013 年 2 月
高橋 啓
152
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研究業績
著者，題目，発表・発行掲載誌名，発表・発行年
論文
◎ [1]
(査読付き論文)
高橋啓, 大野髙裕: GNL モデルとエントロピー・モデルの等価性：非集計レベルの
等価性. 日本経営工学会論文誌, 64-1 (2012), 掲載決定.
◎ [2]
高橋啓: GNL における集計問題を回避するための集計ルールの導出. 日本経営工学
会論文誌, 63-2 (2012), pp. 63–75.
◎ [3]
高橋啓, 大野髙裕: GNL とエントロピー・モデルの等価性: 集計レベルにおける等
価性. 日本経営システム学会誌, 28-3 (2012), 189–195.
◎ [4]
K. Takahashi: Multi-attribute choice model: an application of the generalized
nested logit model at the stock-keeping unit level. B. Hu, K. Morasch, S. Pickl and
M. Sieqle (eds.), Operations Research Proceedings 2010 (Springer-Verlag, Berlin,
2011), 617–622.
◎ [5]
高橋啓, 大野髙裕: 商品選択モデルにおける商品類似性, 消費者異質性の同時考慮:
Latent Generalized Nested Logit Model の提案. 経営情報学会誌, 19-4 (2011),
261–284.
◎ [6]
高橋啓, 大野髙裕: 効用最大化と矛盾する心理的効果の GEV モデルにおける表現.
日本オペレーションズ・リサーチ学会和文論文誌（投稿中）.
165
166
著者，題目，発表・発行掲載誌名，発表・発行年
○ [7]
高橋啓, 赤松隆, 水谷剛: 金利リスクを考慮したリアル・オプション問題に関する研
究. 土木計画学・研究論文集 (現土木学会論文集 D), 24 (2007), 111–119.
○ [8]
高橋啓, 赤松隆: グローバル企業の参入・撤退に伴う地域経済リスクのマネジメン
ト：金融オプションを活用したヘッジ戦略の分析. 土木計画学・研究論文集 (現土木
学会論文集 D), 23 (2006), 51–58.
[9]
T. Horiuchi, K. Takahashi and T. Ohno: An efficient method for option pricing
with finite elements: an endogenous element length approach. Operations Research
Proceedings 2012 (Springer-Verlag, Berlin, 2013), Accept.
[10]
K. Kumagai, K. Takahashi and T. Ohno: Solving an option game problem with finite expiration: optimizing terms of patent license agreements. B. Hu, K. Morasch,
S. Pickl and M. Sieqle (eds.), Operations Research Proceedings 2010 (SpringerVerlag, Berlin, 2011), 129–134.
○ [11]
高橋啓, 大野髙裕: スパイクジャンプに伴う非完備性を考慮した電力市場におけるス
パークスプレッドオプションの評価. 電気学会論文誌 B, (投稿中).
[12]
堀内知弥, 松岡幸一郎, 高橋啓: オプション・プライシングにおける有限要素法分割
幅の内生的決定手法. 日本オペレーションズ・リサーチ学会和文論文誌, (投稿中).
[13]
田山諭, 高橋啓, 大野髙裕: 企業の投資行動を考慮したコミットメントライン契約の
設計. 日本経営システム学会誌, (投稿中).
論文
○ [14]
(解説論文)
高橋啓, 山下良久, 宋志強: 交通流を計測する−実道路における計測−. 自動車技術,
63-5 (2009), 79–84.
167
著者，題目，発表・発行掲載誌名，発表・発行年
講演
○ [1]
(国際会議)
K. Takahashi: The newsvendor problem as a real option game. International
Conference on Operations Research 2012, Hannover, Germany (2012, September).
○ [2]
K. Takahashi, T. Ohno and R. Watanabe: A generalize framework for evaluating
pumping-up power plants. INFORMS Annual Meeting, Charlotte, USA (2011,
November).
○ [3]
K. Takahashi and T. Ohno: A real option route search. International Conference
on Operations Research 2011, Z¨
urich, Switzerland (2011, September).
○ [4]
K. Takahashi, K. Kumagai and T. Ohno: Patent license arrangements and con-.
tracts: an option game approach. INFORMS Annual Meeting, Austin, USA (2010,
November)
○ [5]
K. Takahashi: Multi-attribute choice model: an application of the generalized
nested logit model at the level of the stock-keeping unit. International Conference
on Operations Research 2010, M¨
unich, Germany (2010, September).
[6]
T. Horiuchi, K. Takahashi, T. Ohno: An efficient method for option pricing with
finite elements: an endogenous element length approach. International Conference
on Operations Research 2012, Hannover, Germany (2012, September).
[7]
T. Terada, K. Takahashi and T. Ohno: A determination of optimal periods of
due diligence under a bidding contest. International Conference on Operations
Research 2011, Z¨
urich, Switzerland (2011, September).
168
著者，題目，発表・発行掲載誌名，発表・発行年
[8]
T. Horiuchi, K. Takahashi and T. Ohno: A valuation method of credit default
swaps with correlated jumps of the firm’s asset value. International Conference
on Operations Research 2011, Z¨
urich, Switzerland (2011, September).
[9]
T. Adachi, K. Takahashi, H. Suzuki and T. Ohno: A cross-category analysis: an
application of the structured c-logit model. International Conference on Operations Research 2011, Z¨
urich, Switzerland (2011, September).
[10]
E. Naito, K. Takahashi and T. Ohno: Modeling the firm size distribution including
real option games about merger and acquisition. INFORMS Annual Meeting,
Austin, USA (2010, November).
[11]
K. Kumagai, K. Takahashi and T. Ohno: Solving an option game problem with
finite expiration: optimizing terms of patent license agreements. International
Conference on Operations Research 2010, M¨
unich, Germany (2010, September).
講演
○ [12]
(国内会議)
高橋啓, 大野髙裕: GNL モデルとエントロピー・モデルの等価性：非集計レベルの
等価性. 平成 24 年度日本経営工学会秋季発表大会, 大阪 (2012/11).
○ [13]
高橋啓: 集計問題を克服可能な GNL における集計ルールの導出. 平成 24 年度日本
経営工学会春季発表大会, 東京 (2012/5).
○ [14]
高橋啓, 大野髙裕: 心理的効果の単一 GEV モデルによる表現. 2012 年日本オペレー
ションズ・リサーチ学会春季研究発表大会, 神奈川 (2012/3).
○ [15]
高橋啓, 大野髙裕: 集計問題を克服可能な GNL における集計ルールの導出. 第 47
回日本経営システム学会全国大会, 山梨 (2011/12).
169
著者，題目，発表・発行掲載誌名，発表・発行年
○ [16]
高橋啓: マーケティングにおける心理的「効果」のランダム効用最大化モデルにお
ける表現. 第 4 回横幹連合コンファレンス (招待講演), 石川 (2011/11).
○ [17]
高橋啓, 大野髙裕: GNL とエントロピー・モデルの等価性. 第 46 回日本経営システ
ム学会全国大会, 東京 (2011/5).
○ [18]
高橋啓, 大野髙裕: 妥協効果の離散選択モデルにおける表現. 2010 年日本オペレー
ションズ・リサーチ学会秋季研究発表大会, 福島 (2010/9).
○ [19]
高橋啓, 大野髙裕: Compromise Effect の期待効用最大化枠内における生起. 第 44
回日本経営システム学会全国研究発表大会, 東京 (2010/6).
○ [20]
高橋啓, 大野髙裕: 明示的な潜在クラスを考えた商品選択モデル: Generalized Cross-
Nested Logit Model の提案. 第 43 回日本経営システム学会全国研究発表大会, 福
岡 (2009/11).
○ [21]
高橋啓, 水谷剛, 赤松隆: 金利リスクを考慮したリアル・オプション問題に関する研
究. 第 32 回土木計画学研究発表会, 高松 (2006/11).
○ [22]
高橋啓, 赤松隆: グローバル企業の参入・撤退に伴う地域経済リスクのマネジメント:
金融オプションを活用したヘッジ戦略の分析. 第 30 回土木計画学研究発表会, 宮崎
(2005/11).
○ [23]
高橋啓, 宮本和明, 佐藤有希也: 実データに基づく一般道路事業におけるリスクの定
量分析. 第 58 回土木学会年次学術講演会, 徳島 (2003/8).
○ [24]
高橋啓, 宮本和明, 佐藤有希也: 一般道路事業におけるリスク定量化のための実証分
析. 平成 14 年度土木学会東北支部技術研究発表会, 宮城 (2003/3).
170
著者，題目，発表・発行掲載誌名，発表・発行年
[25]
寺田起也, 高橋啓, 大野髙裕: 不確実性下における動的な最適経路選択: 最小二乗モン
テカルロ法の適用. 第 48 回日本経営システム学会全国研究発表大会, 兵庫 (2012/12).
[26]
堀内知弥, 高橋啓, 大野髙裕: 有限要素法を用いた効率的なオプション・プライシン
グ: 要素幅の内生的な決定手法. 第 48 回日本経営システム学会全国研究発表大会,
兵庫 (2012/12).
[27]
福長翔, 高橋啓, 大野髙裕: 電子マネー規格間における競争分析: 利用者間及び電子
マネー提供主体間における外部性. 第 48 回日本経営システム学会全国研究発表大
会, 兵庫 (2012/12).
[28]
上村諒, 高橋啓, 大野髙裕: 購買料モデルを考慮した投資格付ビジネスに内在する利
益相反に関する理論的研究. 第 48 回日本経営システム学会全国研究発表大会, 兵庫
(2012/12).
[29]
寺田起也, 高橋啓, 大野髙裕: 企業買収における入札競争. 2012 年日本リアルオプ
ション学会研究発表大会, 東京 (2012/11).
[30]
田山諭, 高橋啓, 大野髙裕: 企業の投資行動を考慮したコミットメントライン契約の
設計. 2012 年日本リアルオプション学会研究発表大会, 東京 (2012/11).
[31]
田山諭, 高橋啓, 大野髙裕: 企業の投資行動を考慮したコミットメントライン契約の
設計. 第 48 回日本経営システム学会全国研究発表大会, 東京 (2012/6).
[32]
鳥居壮士郎, 高橋啓, 大野髙裕: 不確実な広告効果を考慮した寡占市場における広告
戦略の分析. 第 48 回日本経営システム学会全国研究発表大会, 東京 (2012/6).
171
著者，題目，発表・発行掲載誌名，発表・発行年
[33]
吉原啓介, 高橋啓, 大野髙裕: 与信ネットワークの構造を考慮したグループレンディ
ングの分析. 2012 年日本オペレーションズ・リサーチ学会春季研究発表大会, 神奈
川 (2012/3).
[34]
野崎翔也, 高橋啓, 大野髙裕: 火力発電事業の価値評価: 電力価格のスパイクに伴う
非完備性の考慮. 第 47 回日本経営システム学会全国研究発表大会, 山梨 (2011/12).
[35]
大森友貴, 高橋啓, 大野髙裕: 積雪リスク・スワップ取引の評価モデル. 第 45 回日本
経営システム学会全国研究発表大会, 高松 (2010/12).
[36]
高田浩基, 高橋啓, 大野髙裕: CDS 価格の予測と金利の期間構造を考慮したシンセ
ティック CDO の価格付け. 第 45 回日本経営システム学会全国研究発表大会, 高松
(2010/12).
[37]
棟近剛史, 高橋啓, 大野髙裕: 電力小売事業における最適電力調達戦略に関する研究：
市場取引，相対契約，自前発電の最適ミックス. 第 45 回日本経営システム学会全国
研究発表大会, 高松 (2010/12).
[38]
友永隼人, 高橋啓, 大野髙裕: グローバル・サプライチェーンにおけるルート切替オ
プションを考慮した意思決定モデル. 平成 22 年度日本経営工学会春季発表大会, 東
京 (2010/5).
[39]
後藤允, 高橋啓, 大野髙裕: スキー場経営の近未来の描き方. 日本リアルオプション
学会 2009 年研究発表大会 (招待講演), 長野 (2009/12).
[40]
杉山聡, 高橋啓, 後藤允, 大野髙裕: 揚水発電所における最適稼働政策決定モデル. 第
43 回日本経営システム学会全国研究発表大会, 福岡 (2009/11).
172
著者，題目，発表・発行掲載誌名，発表・発行年
[41]
石田恒太, 高橋啓, 後藤允, 大野髙裕: 在庫量による影響を考慮したコモディティ先物
価格評価モデル. 第 43 回日本経営システム学会全国研究発表大会, 福岡 (2009/11).
[42]
中林貢, 高橋啓, 後藤允, 大野髙裕: ジャンプリスクと再建型倒産を考慮した最適資
本構成モデル. 第 43 回日本経営システム学会全国研究発表大会, 福岡 (2009/11).

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パターン認識と機械学習

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物性物理学序論

数理シミュレーションによる個体群管理技術の検討と生

モデル推定結果の発表

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ベイズ的ロジスティックモデル における研究

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