演習プリント第 1 回非線形方程式の数値解法 (不動点反復法・NR 法) 学籍番号氏名提出しなくてはいけない場合は, 学籍番号と氏名をはっきり書くこと. 解読できない場合は無効とする. また, 複数枚に渡る場合は本用紙を表紙にすること. √ 1. 【反復法一般】 2 の近似値を反復法を用いて求めるため, x2 = 2 の数値解を求めたい. まず f (x) = x2 − 2 と置くと以下が成り立つ. f (x) = 0 ⇔ x2 = 2 次に関数 gi (x) (i = 1, 2, 3) を考えよう. 1 1 2 + x − , g3 (x) = 2 x 2 x いずれに対しても「f (x) = 0 ⇐⇒ gi (x) = x」が成立する. (各自確認せよ.) g1 (x) = x2 + x − 2, g2 (x) = 以下の問に従って, x2 = 2 の数値解を求めよ. ただし, 「c が数値解である」の定義は「|f (c)| < 10−4 」とする. (1) g(x) = g1 (x) として反復法を行い, 下の表を埋めよ. (2) g(x) = g2 (x) として反復法を行い, 下の表を埋めよ. (3) g(x) = g3 (x) として反復法を行い, 下の表を埋めよ. (4) (1)-(3) の結果を比較し, 考察せよ. 特に, 収束するものについてはその速度 (1 次収束, 2 次収束) についても考察せよ. (1) (2) (3) n xn |f (xn )| n xn |f (xn )| n xn |f (xn )| 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 12 13 13 13 14 14 14 http://www2.kobe-u.ac.jp/~akagi56/class/ にこれまで配布したプリント, 未解説の演習の解答などがあります. 確認してください. √ 2. 【NR 法】 2 の近似値を求めるため, x2 = 2 の数値解を求めたい. そこで f (x) = x2 − 2 = 0 の数値解を求めるために, 以下で定義される関数 g(x) を用いた反復法を計算せよ. g(x) = x − f (x) f 0 (x) (1) 上の g(x) の式に f (x) = x2 − 2 を代入し, g(x) を x の式として表せ (つまり, f (x) を含まない形で表せ) (2) 初期値 x0 を一つ選べ (3) 反復法を実施し, 計算結果を下表に記入せよ. ただし, 数値解の条件は |f (x)| < 10−4 とする n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 xn |f (xn )|