品質設計特論 No. 9 動的SN比の考え方

品質設計特論 No. 9
和歌山大学システム工学研究科
鈴木新
木曜日 4限目 A203教室
動的SN比の考え方
• バネはかり
– 測りたいもの（測定対象）とバネの伸びの関係
→ 比例関係
良いはかりは
• 同じ対象は同じ：誤差が小さい
• 違う対象は違う：伸び（感度）が大きい
1kg
どのようなはかりが良いか？
2kg
1
おもりと伸びの関係
伸び
𝑦
大きく
小さく
𝛽
おもり 𝑀
おもさの違いは
大きく現れた方が
良い
𝑦 = 𝛽𝑀
各おもりにおいて
測定のばらつきは
小さい方が良い
産業的に有効と考えられるばねはかり
伸び
先ほどと比べて
明らかに差が大きい
𝑦
𝛽
おもり 𝑀
2
実測値と1次式のずれ
y  M より
e
𝑦
y  M  0 となる．
しかし，実際は誤差，
e  y  M (ex : y1  M 1 )
𝑀1
𝑀2
𝑀3
が存在
つまり

最小2乗法
e
を最小にする
が直線の傾き
（以前に説明したもっとも平均
的なところを通る）
最小二乗法
n
  y  M 
2
i
i 1
n
i
 y12  2M 1 y1   2 M 12  
n
  y  2   M i yi  
i 1

2
i
i 1
2
n
M
i 1
2
i
 Se
で微分
n
n
d
S e  2 M i yi  2  M i2  0
d
i 1
i 1

M y
M
i
i
2
i
3
動特性SN比の重要な特性（前提条件）
𝑦
𝛽
𝑀
• 因果の向き：Mから y へ
対象システムに M を入力して得られる出力 y を評価する
誤差は各 M における推定値と実測値の差（2乗の）
• ゼロ点比例式
入力されるエネルギー M が理想とする出力 y に変換され
たかを評価する
理想関係に近い＝利点
𝑦
𝑦
𝑀1
𝑀2
𝑀3
𝑀1
𝑀2
𝑀3
どちらが良いデータ（システム）か？
機能が理想関係に近いと
設計しやすい，ロバスト，省エネ，・・・
4
信号（感度）：SN比のS (Signal)
e3
𝑦
y2
y1
𝛽
y3
𝑀1
𝑀2
𝑀3
傾き 𝛽 が大きければ良い
相関が負の場合はマイナス
に，エネルギーは2乗で扱う，
信号とノイズの分離・・・2乗
和の分解
傾きの2乗を信号とする（実
際は不偏推定量）
 M y 
 2    i 2 i 
  Mi 
2
ノイズ（誤差）：SN比のN (Noise)
y
e3
M1
積算時に正負で相殺されな
いように，エネルギーは2乗
で扱う，信号とノイズの分
離・・・2乗和の分解
y2
y1
𝛽
y3
M2
実測値 𝑦 と推定値 𝛽𝑀 の
差が小さければ良い
M3
誤差の2乗（分散と同じ）をノ
イズとする
  y  M 
2
i
i
n 1
5
動特性SN比（誤差条件無し）
  M i yi 
2

  
2 
  Mi 
信号
ノイズ
2
  y  M 
2
i
i
n 1
信号とノイズの比に足し算の関係を成立させるため
2
にlog化
  M i yi 


2 

2

 Mi 
  10 log
 10 log 
2
Ve
  yi   M i 
n 1
動特性SN比の2乗和を考える
y
e3
全ての出力
M1
M2
M3
yi
の2乗和は
ST   yi2
y2
y1
𝛽
y3
これはどんな成分に分解で
きるか？
直線上の点，そこからの誤差。つまり，
全2乗の積算値＝直線上の積算値＋誤差の積算値
 yi2
 2  M i2
2


y


M
 i
i
6
2乗和の分解
全ての出力
yi
の2乗和は
ST   yi2  S   Se
S  は比例項変動
S e は誤差変動
理想値の２乗の項と
ばらつきの２乗の項に分解
ST  S   S e
  2  M i2    yi  M i 
2
2乗和の分解を利用してSN比を表現
ST  S   S e   2  M i2    yi  M i 
2
  M i yi 
S


2
 M 
M i2
2
i 


  10 log
 10 log
 10 log
2
ST  S 
Ve


y


M
 i
i
n 1
n 1
2
7
SN比（不偏推定値補正）
𝛽 は平均的に大きくも小さくもない推定値
•
 
期待値をみると E  2   2  V (  )
V (  ) の不偏推定値は
Ve
 M i2
正のバイアス有
正のバイアスを引いてあげるとSN比は
  10 log
S
Ve

 M i2  M i2
Ve
 10 log
S   Ve
 M i2
Ve
補正値の算出
 y   x  e
x y  x x e
x y    xe
x
x
xe
b 
x
xe 

b     

 x 
i
i
i
2
i
i
i
i
i
i i
i i
2
i
2
i
i i
2
i
2
2
i i
2
i
誤差の直交性を利用
Ve
 xi2
今までの書き方に合
わせると
Ve
 M i2
8
機能性評価の方法（復習）
デジタルカメラの機能は
x
a
y
被写体
デジカメ
撮影画像
y  ax
出力
入力
被写体の寸法
寸法の転写性
被写体の色
色の転写性
撮影画像の寸法
撮影画像の色
17
演習（復習）
• ２つの班に分かれる
• 機能を乱すノイズを決める
– 照明環境（日光 or 蛍光灯）
– 撮影角度（真上 or 斜め45℃）
– 背景（白バック or 黒バック）
– 撮影距離（15cm or 30cm）・・・
真上
スケール
上側
• それぞれのノイズ条件において自分のカメラでグレースケー
ルを撮影しPCに取り込む。
A
M
19
読み取る場所は
「A」「M」「19」の色
18
9
𝑦
SN比計算法（詳細は後日）
𝑦23 𝑁2
L12  L22
S N  
 S
2r
S e  ST  S   S N  
𝑁1
𝑦13
𝑀1 𝑀2 𝑀3 33, 116, 242
r  M 12  M 22  
L1  M 1 y11  M 2 y12  
L2  M 1 y21  M 2 y22  
2
ST  y112  y122    y21

( L1  L2 ) 2
S 
2r
Ve 
VN 
Se
2(3  1)
S e  S N 
2  3 1
1
( S   Ve )
2
r
dB
  10 log
VN
上記のSN比を計算し考察
消費者のことを考えた設計へ
t
cT
m
W
沸騰までの時間は変化する！
季節，地域，・・・
冷蔵庫内で実験，評価
可愛い子には旅をさせよ！
ばらつきの原因はそのまま
従来には無い考え方
10
誤差を考えた（取り入れた）評価
• バネはかりの評価では誤差が無かった
– のびを測る簡単なシステム
– 乱れる要因が少ない
• 紙飛行機では？
– 投げる人，風，紙，他・・・
• エンジンでは？
– 温度，湿度，燃料の質，運転の方法，部品のばら
つき，他・・・
• デジカメでは？
– 照明，背景，撮影距離，他・・・
意図的に誤差条件を与える
• 例：電気ケトル
– 初期水温が低いと遅い→冷水，外気温が低いと
遅い→風，冬場，古いヒーターは遅い→劣化（マ
イナス条件）
– 電圧が高いと速い→高電圧（プラス条件）
• これらを誤差因子と呼ぶ
– 設計によって（設計者が）変更できない因子
– 外乱：気温や風，内乱：部品の劣化やばらつき
11
誤差因子を考える
• まずはばらつきについて考える
• ばらつきの要因は何か？消費者の立場で
• ケトルで湯を沸かすとき
ケトル内部のばらつき【内乱】
ヒーター消費電力や摩耗劣化，金属板の厚み，部品
ばらつき（抵抗値），部品精度（熱の逃げ），他
ケトル外部のばらつき【外乱】
外気温の変化，水温の変化，風による冷却，他
誤差因子
•
•
設計パラメータ：設計者が自由に変更可能
誤差因子：設計者が変更不可（手出しできない）
例：
1. 季節による温度，湿度の変化（外乱）
2. 抵抗のばらつきと経時変化（内乱）
•
単純繰り返しとは違う意図的な誤差を与え評価
– わざとばらつかせるという考え方 → 画期的！
誤差（内乱，外乱）
水の量
𝑀
𝛽
沸騰までの時間
𝑦
例：ケトル
12
誤差因子導入とロバストネス
• 実用誤差を考慮
成果
タグチメソッドの最大の
Mが大きくなれば誤差も
大きくなる（当たり前）
𝑁2
𝑦
𝑁1
しかし，誤差が意図した
ものであれば解釈は異
なる（繰返しは無意味）
𝑀1
𝑀2
𝑀3
可愛い子には旅をさせよ！
意図的誤差を与え評価
誤差因子の設定（例：ケトル）
• 誤差因子は外気温（初期水温）
– 外気温は設計者が変更できない（使用者によって変化）
𝑁1 と 𝑁2 の差が最小と
なる組み合わせを求める
𝑁2
𝑦
𝑁1
𝑀1
𝑀2
𝑀3
外気温が低温
熱の逃げが多いために，出
力（沸騰時間）は大きく（長
く）なる
外気温が高温
熱の逃げが少ないために，
出力（沸騰時間）は小さく
（短く）なる
13
誤差因子有SN比の概念
𝑁2
𝑦
𝑁1
本来のエネルギー
S
誤差因子によるばらつき
S N 
比例関係からのばらつき
𝑀1
𝑀2
Se
𝑀3
ST  S   S N    S e
二乗和の分解
誤差因子の導入
𝑁2
𝑦23
𝑦
𝑦22
𝑦21
𝑦11
𝑀1
S
傾き 𝛽 が変動
𝑁1
𝑦12
𝑀2
は比例項変動
𝑦13
𝑀3
全ての出力 𝑦𝑖𝑗 の2乗和は
ST   yij2
 S   S e  S N 
S e は誤差変動 S N  は誤差による変動
14
二乗和の分解１
𝛽2
ST  S   Se  S N 
𝑁2
𝑦23
𝑦
𝑦22
𝑦21
𝑦11
𝑀1
𝛽
1  
𝑦13
𝛽1
𝑀2
𝛽2
𝑦22
𝑦11
𝑀1
M j y1 j
M
M y

M
2
j
j
2j
2
j
ST  S   Se  S N 
𝛽
𝑁1
𝑀2
M j yij
S   2 2  M 2j
𝑁2
𝑦23
𝑦12
2
𝑀3
二乗和の分解２
𝑦21
  
𝑁1
𝑦12
j  1, 2 , 3
2 M 2j
回帰直線上の点
𝑦
i  1, 2
𝑦13
𝛽1
誤差因子による変化
S N 
  M j  i  M j  
2
  M 2j  i   
2
𝑀3
原点比例式の
•傾きが共通 𝛽 の回帰変動と
•傾きが異なる 𝛽1,2 回帰変動の差
【誤差因子による変動成分】
15
二乗和の分解３
𝛽2
𝑦
𝑁2
𝑦23
𝑦22
𝑦21
𝑀1
S e  ST  S   S N  
𝑁1
𝑀2
   y ji  M i  j 
𝑦13
𝑦12
𝑦11
ST  S   Se  S N 
𝛽
2
𝛽1
Se
を自由度で割る（不偏分散）
3個のデータから1個の直線
𝑀3
それらが2個あるので
𝑗 = 1,2,3 𝑖 = 1,2
Ve 
Se
23  1
誤差因子SN比1
不偏推定値補正をしたSN比（誤差因子数：I，信号水準：J）
シグナルは傾き
S   I 2  M 2j
2 
S
I  M 2j
ノイズはばらつきをすべて合計し自由度で割る
S N   S e
IJ  1 で割る
全ノイズの自由度は IJ  1
 S e の自由度は I ( J  1)
を自由度
N
S N   S e
IJ  1
16
誤差因子SN比2
不偏推定値補正をしたSN比（誤差因子数：I，信号水準：J）
S
  10 log
S


,
 S  / IJ  1
 Ve  / I  M 2j
N 
e

Se 
Ve 

I
(
J

1
)


誤差無と同じく分子は不偏推定値
分子は正のバイアスを引いた形
海外では単なる傾きの2乗が多い
本講義では正のバイアスを引いた形を用いる
誤差因子有SN比計算法1
1
S   Ve 
I  M 2j
  10 log
1
S  S 
IJ  1 N  e

Ve 
Se
I ( J  1)

を求める
𝑆𝑒 を求めなければいけない
S e  ST  S   S N  
ST   yij2
は既知の値
（実測値）なので求めること可能
S   I 2  M 2j
なので
𝛽 2 を求める
𝛽 は全データIJ個の傾き
17
誤差因子有SN比計算法2
S   I 2  M 2j

M j yij
IM
となり，次に
i  
Se  ST  S   S N 
S N  を考える
M j yij 
 
2  1
M
 j 
S N    M j  i
Se
も求まるので
I ( J  1)
Ve 
2
j
M y
M
M 
j 1j
2
j
2
j
ST , S  , S N  を得たので




これによりSN比が算出できた
1
S   Ve 
I  M 2j
  10 log
1
S  S 
IJ  1 N  e


信号水準 𝐽 誤差水準 𝐼
SN比（誤差因子有無の比較）
不偏推定値補正をした推定値（誤差因子無し） I は繰り返し数
S
  10 log

 Ve  / I  M 2j
Ve
S 

, Ve  e 
IJ  1 

不偏推定値補正をした推定値（誤差因子有り） I は誤差因子数
S
  10 log
S


,
 S  / IJ  1
 Ve  / I  M 2j
N 
e

Se 
Ve 

I
(
J

1
)


信号 𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝐽 誤差or繰り返し 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝐼
18
SN比について
• 機能性の評価や誤差因子の考え方など（聞
いてしまえば）当たり前に感じるが最初に提
案することは難しい → 独創的
• 設計法が体系的にまとめられ誰でも（それな
りの）解を得ることができる
• ただSN比についてはまだ議論の余地がある
（期待値のバイアスなど）というか必要だ
• 新しいSN比を考えていく必要がある（例えば
エネルギー比型など）
実験計画
•
•
•
•
•
SN比は理解できた（？）
どうやってSN比が高いシステムを設計するか？
設計の手順も規定されている（おせっかい？）
タグチメソッドの流れを思い出す
システム選択
創造したものを調節する方法
– 技術者の知恵，創造
• パラメータ設計
つまり最適化
調節には直交表を利用
– タグチメソッドが提供する設計手順
• 許容差設計
– タグチメソッドが提供する安全率，コストの設定
19
直交表
• 直交とはすべてがバランス良く組み合わされる
• 直交表の作成には一貫した理論は無い
問題
大佐，中佐，少佐が3人ずついる。
3×3配列にバランスよく並べよ。
大
中
少
中
少
大
少
大
中
直交表
• 直交とはすべてがバランス良く組み合わされる
• 直交表の作成には一貫した理論は無い
問題
大佐，中佐，少佐が3人ずついる。
3×3配列にバランスよく並べよ。
L1
L2
L3
L4
A
1
1
2
2
B
1
2
1
2
C
1
2
2
1
20

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