(2) a = 1 1 - SUUGAKU.JP

年番号
1
xyz 空間において，原点を中心とする xy 平面上の半径 1 の円周上を点 P
p
が動き，点 (0; 0; 3) を中心とする xz 平面上の半径 1 の円周上を点 Q が
動く．
2
氏名
放物線 C : y = x2 上に異なる 2 点 P，Q をとる．P，Q の x 座標をそれぞ
れ p，q（ただし，p < q ）とする．直線 PQ の傾きを a とおく．以下の問い
に答えよ．
(1) 線分 PQ の長さの最小値と，そのときの点 P，Q の座標を求めよ．
(1) a を p; q を用いて表せ．
(2) 線分 PQ の長さの最大値と，そのときの点 P，Q の座標を求めよ．
(2) a = 1 とする．直線 PQ と x 軸の正の向きとなす角 µ1（ただし，0 < µ1 < ¼ ）
（一橋大学 2015 ）
を求めよ．
(3) a = 1 とする．放物線 C 上に点 R をとる．R の x 座標を r（ただし，r < p ）
とする．三角形 PQR が正三角形になるとき，直線 PR と x 軸の正の向きと
のなす角 µ2（ただし，0 < µ2 < ¼ ）を求めよ．また，このとき直線 PR の
傾き，および直線 QR の傾きを，それぞれ求めよ．さらに，正三角形 PQR
の面積を求めよ．
(4) a = 2 とする．放物線 C 上に点 S(1; 1) をとる．三角形 PQS が ÎS =
¼
2
である直角三角形になるとき，この三角形の面積を求めよ．
（長崎大学 2015 ）
3
4
以下の問いに答えよ．
座標平面上に，2 つの円 C1 : x2 + y2 = 1，C2 : (x ¡ 2)2 + (y ¡ 1)2 = 4
があり，C1 と C2 の共通接線を n1 ; n2（ただし n1 の傾きより n2 の傾きの方
(1) 自然数 n に対して，
が大きい）とする．また，C1 と C2 の中心を結ぶ直線を ` とし，C1 と C2 の
n
(cos µ + i sin µ) = cos(nµ) + i sin(nµ)
2 つの交点を結ぶ直線を m とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(2) cos(nµ) = 0 をみたすような µ をすべて求めよ．
(1) 直線 ` の方程式，および ` と n1 の交点の座標を求めよ．
¼
; とし，tan ® およ
(2) 直線 n1 と直線 ` とのなす角を ® #ただし 0 5 ® 5
2
び tan 2® の値を求めよ．
(3) t = cos µ とする．(1) の等式を使って，cos 5µ = f(t) をみたす多項式 f(t)
(3) 直線 n2 の方程式を求めよ．
が成り立つことを n に関する数学的帰納法により証明せよ．ただし，i は虚
数単位とする．
(4) 直線 m の方程式を求めよ．
を求めよ．
(4) f(t) = 0 のすべての解を cos ® (0 5 ® 5 ¼) の形で表せ．また，それらを
(5) 3 つの直線 n1 ; n2 ; m で囲まれた三角形の面積を求めよ．
大きい順に並べよ．
3
¼ を求めよ．
(5) cos
10
（甲南大学 2013 ）
（電気通信大学 2013 ）
5
n を 3 以上の自然数とする．平面上の点 O を中心とする半径 1 の円に内接す
る正 n 角形の面積を an ，外接する正 n 角形の面積を bn とする．このとき，
次の問いに答えよ．
(1) an を求めよ．
(2) bn を求めよ．
(3)
bn
4
<
となる最小の n を求めよ．
an
3
補足：円に内接する正 n 角形とは，円周を n 等分して隣り合う点を線分で結ん
7
次の
でできる正 n 角形をいう．円に外接する正 n 角形とは，円周を n 等分し
た各点において円の接線をひき，隣り合う点における 2 つの接線の交点
(1)
をうめよ．
¼
¼
¼
=
¡
より，
12
3
4
C
を頂点とする正 n 角形をいう．
+
4
1
¼
=
cos
12
C
2
（神奈川大学 2013 ）
である．ただし，
1
と
2
は整数であり，
1
<
2
と
する．
(2) 0 < µ < ¼ かつ
C
cos µ =
6
座標平面において，2 点 A(1; 0)，B(2; 0) を原点のまわりに µ だけ回転し
¼
た点をそれぞれ C，D とおく，ただし，0 < µ <
とする．点 C を通り直
2
線 CD と垂直に交わる直線を ` とし，点 D を通り直線 CD と垂直に交わる直
線を m とする．また，直線 ` と直線 m によりはさまれた領域を S とし，不
1
であるとき，µ =
¡
4
C
2
である．
¼
(3) 適当な整数 a; b に対し，cos
は 4 次方程式
12
3
ax4 + bx2 + 1 = 0
等式 0 5 y 5 x の表す領域を T とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1) 直線 `; m の方程式を求めなさい．
¼
(2) µ が 0 < µ <
の範囲を動くとき，領域 S と領域 T の共通部分の面積を
2
最小にする µ の値を求めなさい．
（山口大学 2011 ）
の解となる．このとき，a =
4
，b =
5
である．
（関西大学 2011 ）
8
O を原点とする座標平面上に点 A(¡3; 0) をとり，0± < µ < 120± の範囲に
10 図に示す点 O を原点とする直交座標空間に点 P(1; 0; 0) をとる．点 P を，
ある µ に対して，次の条件 (i)，(ii) をみたす 2 点 B，C を考える．
xy 平面内で原点 O を中心として図に示す矢印の方向に角度 µ 回転させた位
(i) B は y > 0 の部分にあり，OB = 2 かつ ÎAOB = 180± ¡ µ である．
置に点 Q をとる．さらに，点 Q および z 軸を含む平面内で，点 O を中心と
(ii) C は y < 0 の部分にあり，OC = 1 かつ ÎBOC = 120± である．ただし
4ABC は O を含むものとする．
して点 Q を矢印の方向に角度 µ 回転させた位置に点 R をとる．ただし，角
¼
度 µ の範囲は 0 5 µ 5
とする．以下の問いに答えよ．
2
次の問 (1)，(2) に答えよ．
(1) 4OAB と 4OAC の面積が等しいとき，µ の値を求めよ．
(2) µ を 0± < µ < 120± の範囲で動かすとき，4OAB と 4OAC の面積の和の
最大値と，そのときの sin µ の値を求めよ．
（東京大学 2010 ）
9
(1) 点 R の座標 (xR ; yR ; zR ) を，角度 µ を用いて表せ．
¼
であるとき，角度 µ の値を求めよ．
(2) ÎORP =
3
(3) 点 R から平面 x + y = 0 に下ろした垂線の長さ l を，角度 µ の関数で表せ．
4ABC において，次の等式が成立することを示せ．
(4) (3) で求めた垂線の長さ l が最大となるときの角度 µ の値とそのときの l の
A
B
C
(1) sin A + sin B + sin C = 4 cos
cos
cos
2
2
2
A
B
C
(2) cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin
sin
sin
2
2
2
(3) tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C
値を求めよ．
（豊橋技術科学大学 2010 ）
（香川大学 2010 ）

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