離散数理工学 (7) 演習問題 2014 年 11 月 25 日 岡本 吉央 提出締切： 2014 年 12 月 2 日 復習問題 7.1 群 G が集合 X に作用するとき，任意の x ∈ X 追加問題 7.8 5 個の石を持つブレスレットで，その石の色 に対して，|G/StabG (x)| = |G.x| が成り立つことを以下の が赤 1 つ，青 2 つ，緑 2 つのものの総数は何か？ ただし， 方針に従って証明せよ． ブレスレットにおいては，回転そして裏返しにして同じ石 の配置は同じブレスレットであると見なす．ヒント：演習 1. 写像 f : G/StabG (x) → G.x を，任意の gStabG (x) ∈ 問題 7.3 を用いてもよい． G/StabG (x) に対して，f (gStabG (x)) = g.x であると して定義する．この f が写像として成り立っているこ 追加問題 7.9 6 個の石を持つネックレスで，その石の色が と，すなわち，gStabG (x), g StabG (x) ∈ G/StabG (x) 赤 1 つ，青 3 つ，緑 2 つのものの総数は何か？ ただし，ネッ が gStabG (x) = g StabG (x) を満たすとき，g.x = g .x クレスにおいては，回転して同じ石の配置は同じネックレ スであると見なす．ヒント：演習問題 7.3 を用いてもよい． が成り立つことを証明せよ． 追加問題 7.10 6 個の石を持つブレスレットで，その石の 2. この f が全射であることを証明せよ． 色が赤 1 つ，青 3 つ，緑 2 つのものの総数は何か？ ただし， 3. この f が単射であることを証明せよ． ブレスレットにおいては，回転そして裏返しにして同じ石 の配置は同じブレスレットであると見なす．ヒント：演習 復習問題 7.2 群 G が集合 X に作用するとき，任意の x, y ∈ 問題 7.3 を用いてもよい． X に対して，x ∼ y であることを G.x = G.y であることと して定義する．このとき，X 上の二項関係 ∼ が同値関係で 追加問題 7.11 6 個の石を持つネックレスで，その石の色 が赤 3 つ，青 3 つのものの総数は何か？ ただし，ネックレ あることを証明せよ． スにおいては，回転して同じ石の配置は同じネックレスで 発展復習問題 7.3 有限群 G が有限集合 X に作用すると仮 あると見なす．ヒント：演習問題 7.3 を用いてもよい． 定する．このとき，次の等式が成立することを証明せよ． 追加問題 7.12 6 個の石を持つブレスレットで，その石の 1 ∑ 1 ∑ |X/G| = |StabG (x)| = |FixX (g)|. 色が赤 3 つ，青 3 つのものの総数は何か？ ただし，ブレス |G| |G| x∈X g∈G レットにおいては，回転そして裏返しにして同じ石の配置 ヒント：演習問題 7.1，7.2，7.6，および，ラグランジュの は同じブレスレットであると見なす．ヒント：演習問題 7.3 定理を用いてもよい． を用いてもよい． 復習問題 7.4 6 個の石を持つネックレスで，その石の色が 発展追加問題 7.13 正四面体の 6 個の辺に色を塗って，赤 赤 2 つ，青 2 つ，緑 2 つのものの総数は何か？ ただし，ネッ い辺を 3 個，青い辺を 3 個作る方法の総数は何か？ ただし， クレスにおいては，回転して同じ石の配置は同じネックレ 正四面体を回転させて同じになる塗り方は同じであると見 スであると見なす．ヒント：演習問題 7.3 を用いてもよい． なす．ヒント：演習問題 5.13.3，5.15，あるいは，演習問題 6.7 を用いるとよい． 復習問題 7.5 6 個の石を持つブレスレットで，その石の色 が赤 2 つ，青 2 つ，緑 2 つのものの総数は何か？ ただし， ブレスレットにおいては，回転そして裏返しにして同じ石 の配置は同じブレスレットであると見なす．ヒント：演習 問題 7.3 を用いてもよい． 補足問題 7.6 群 G が集合 X に作用するとき，任意の x, y ∈ X に対して，y ∈ G.x ならば |StabG (x)| = |StabG (y)| とな ることを証明せよ． 追加問題 7.7 5 個の石を持つネックレスで，その石の色が 赤 1 つ，青 2 つ，緑 2 つのものの総数は何か？ ただし，ネッ クレスにおいては，回転して同じ石の配置は同じネックレ スであると見なす．ヒント：演習問題 7.3 を用いてもよい． 1
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