物理数学
平成 26 年 12 月 8 日版原稿
まえがき
このテキストは数学 IE の講義範囲を大部分カバーするように作った。なお、現バージョンは変分法を
含んでいないが、いずれ含ませる予定である。
（冬休み前には出す予定）ベクトル解析の部分だけは「東
大工学教程」という一連のテキストシリーズ（本当に出るのか？）の 1 冊として書かれたものの筆者担
当部分を初めの約束通りそのまま流用してある。残りの部分も本テキストの統一性を計るため、丸善出
版のご厚意により特別に、本来はテキストシリーズ用に作られたスタイルを流用して使わせていただい
た。（ただし A4 版が使えるようになっているので元の版とは異なる A4 版とした）多変数解析の基礎及
び微分方程式、変分法（今の時点では書いていない）の部分は簡単にチェックしただけできちんと校正
は行っていず、またベクトル解析の部分も簡単な校正を 2 回（筆者及び第三者）行っただけで最終校正
前なので色々ミスはあるかも知れないが容赦して欲しい。
ベクトル解析のテキストのうち、幸いにも数学 IE 講義内容と重なる部分の大半は筆者が担当であった
が、一章分は他の先生の担当であった。恐らく流用していいのは本人執筆部分だけだろうから（執筆手
引書を見るとそのように読める）、その部分（曲線座標系）は適当に差し替えてある。（ごく一部の表式
は曲線座標担当部分の執筆者の先生のソースファイルからコピーペーストさせて戴いた。
（もしかしたら
結局削除して書き換えたかも知れない。ごちゃごちゃ書いているうちに分らなくなった）実はその結果
表式の（体裁の）統一が取れなくなっている）
–i–
目
1
次
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1
今まで習ってきたはずの事 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
高次の微小量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
テイラー展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4
多変数解析の基礎 I – テイラー展開と停留値問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
多変数関数の停留値問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
多変数解析の基礎 II – 多次元空間の写像と逆関数定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
解析簡単まとめ
1.4.1
1.5
陰関数定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
多変数解析の基礎 III – 拘束条件下の停留値問題：未定乗数法 . . . . . . . . . . . . . . .
13
拘束条件下の停留点の性格 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5.1
1.6
1.6.1
2
多変数解析の基礎の補遺 – 関数空間と逆関数定理の証明及び微分方程式の解の存在と一意性定理
の証明
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.1
距離空間の公理
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.2
縮小写像の原理
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.3
行列のノルム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.4
逆関数定理の証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.5
微分方程式の解の存在と一意性
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
微分方程式の解のパラメター依存性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.1
微分方程式の導入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.2
基本的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.3
簡単な微分方程式とその解法（1 階方程式） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.3.1
変数分離法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.3.2
同次形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.3.3
線形方程式：定数変化法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.3.4
その他の方法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.4.1
線形方程式の基本的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.4.2
解の存在範囲
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.4.3
非斉次方程式の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.4.4
まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
定数係数線形微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.5.1
特性多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.5.2
複素指数関数
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.5.3
非斉次方程式の解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.5.4
非斉次方程式としての共鳴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
平衡点とその安定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.5.1
3
常微分方程式
3.4
3.5
3.6
線形微分方程式
– iii –
目
iv
3.6.1
線形方程式の安定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.6.2
リャプーノフ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
微分方程式補遺（力学系の続き） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.7.1
カオス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.7.2
平衡点以外の無限時間での解の挙動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
ベクトル解析 I – 場の諸微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
4.1
初めに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
4.2
スカラー関数の勾配 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.7
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
4.3
ベクトル場の発散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
4.4
ベクトル場の回転 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
5.1
2 次元，3 次元積分の復習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
5.2
線積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
5.2.1
線積分の直感的意味 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
5.2.2
パラメターを用いた線積分の定式化，線積分の具体例 . . . . . . . . . . . . . . .
65
面積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
パラメターを用いた面積分の定義と具体例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
ベクトル解析 III – 積分定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
6.1
Stokes の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
6.2
Green の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
6.3
Gauss の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
ベクトル解析の諸公式とその応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
4.2.1
5
5.3.1
7
ベクトル解析における有用な公式とその導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
7.1.1
Kronecker のデルタと Levi-Civita 記号，及びその基本的な性質 . . . . . . . . . .
89
7.1.2
Laplace 演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
積分定理と微分公式の応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
7.2.1
スカラー場，テンソル場に対する Gauss-Stokes の定理 . . . . . . . . . . . . . . .
92
7.2.2
Green の積分公式と Poisson 方程式の解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
7.3
完全微分（ポテンシャル）の条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
7.4
Helmholtz の分解定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
曲線座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
直交曲線座標における変換規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
8.2.1
勾配（grad） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
8.2.2
回転（rot） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
8.2.3
発散（div） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
8.2.4
ラプラシアン（∆ 作用素） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
具体例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
8.3.1
球座標における種々の微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
8.3.2
円筒座標系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
7.1
7.2
8
全微分と勾配
ベクトル解析 II – 線積分, 面積分
5.3
6
次
座標変換と曲線座標系
8.1
8.1.1
8.2
8.3
一般直交座標系での微分作用素
目
9
v
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
古典力学から . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
9.1.1
角運動量保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
9.1.2
Kepler 問題の解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
9.2
拡散方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
9.3
流体力学への応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
9.3.1
流体の運動方程式– Euler 方程式– . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
9.3.2
流体力学における Euler 方程式の慣性項の書き換え . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
9.3.3
応力とその基本的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
9.3.4
Newton 流体における応力の速度勾配依存性と Navier-Stokes 方程式 . . . . . . . .
128
9.3.5
流体における運動量保存 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
電磁気学から . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
9.4.1
Maxwell 方程式の積分形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
9.4.2
Maxwell 方程式の微分形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
9.4.3
電磁場の担うエネルギーと運動量– Poynting ベクトルと Maxwell の応力テンソル – 133
9.4.4
ベクトルポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
ベクトル解析 V – ベクトル方程式の例
9.1
9.4
文
次
1
解析簡単まとめ
1.1 今まで習ってきたはずの事
大学、高校で既習のはずのことの中から本当に基本的な事項以外で重要な事をここで簡単に述べて
おく。
a. ボルツァーノ・ワイヤシュトラスの定理、ハイネボレルの被覆定理、及び関連事項
閉集合とは境界を自分自身として含む領域のことを言う。例えば球体 x ≤ r や球面 x = r は閉集合
であるが、球体の内部 x < r は閉集合ではない。そして球体のように「中身が詰まった」閉集合は特
に閉領域と呼ぶ。そして球体の内部は開領域と称する。また半平面 {(x, y) | y ≥ 0} も、境界は自分自身
に属するので閉集合とする。半平面のようなのとは違って、有限範囲のみから構成される閉集合を有界
閉集合と呼ぶ。また xy 平面から原点を除いた部分を「全空間」として考える場合、その空間での単位円
√
板 x = x2 + y2 ≤ 1 は閉集合として扱うことになる。
（ここでもし全空間を xy 平面とするなら x ≤ 1
から原点を抜いた集合は閉でも開でもなくなる）このような「穴」が存在しない、ちゃんと「詰まった」
空間は完備と呼ばれる。標題の定理群は完備な有界閉集合 F と、その上で定義された連続関数に関する
一連の性質を述べたものである。
まず、ボルツァーノ・ワイヤシュトラスの定理、ハイネボレルの被覆定理とは完備有界閉集合 F を特
徴付ける 2 つの同値なもので、
命題 1.1 （ボルツァーノ・ワイヤシュトラスの定理）完備有界閉集合 F における任意の無限点列 x1 , x2 , · · · ,
に対してその部分列 xn1 , xn2 , · · · , を選んでそれが収束するようにできる。つまり F 内の点 x∞ で xni → x∞
となるような部分列が選べる。
命題 1.2 （ハイネボレルの被覆定理）上と同じ条件を満たす F を覆う無限個の開集合 Ui があったとす
る。つまり F ⊂ ∪i Ui となるなら、このうちの有限個 Ui1 ∼ UiN を取り出して、これらが既に F を F ⊂ j Ui j
と覆うようにできる。
というものである。これらの定理を用いれば以下も分かる。
命題 1.3 ある完備有界閉集合 F 上で定義された連続関数 f (x) は必ず F 内で最大、最小値を取る。すな
わち点 amax,min があって F の全ての点における関数値 f は f (amax ) ≥ f ≥ f (amin ) を満たす。
b.
一様収束
ある閉集合 D 上の各点 x で n 変数関数の列 fn (x) が別の関数 f (x) に収束する、つまり
lim fn (x) = f (x),
n→∞
となり、さらにその収束の仕方がどの点でも大体同じである時、この関数列 fn は f に一様収束すると言う。
「大体同じ」というのは D 上で | fn (x) − f (x)| の上限値 Mn（D 上のどの点 x に対しても Mn ≥ | fn (x) − f (x)|
となる数値のうち最小のもの）をが存在して、n → ∞ の時 Mn → 0 となることとする。
（本当はもっと面
倒な定義を用いる。そしてその定義から今述べた Mn の存在を定理として導く。正直言って上の定義は
相当いい加減である。（いわゆる general nonsense 一歩手前）厳密にやろうとするとどうしてもコーシー
列を考える必要がありそうである）一連の収束性に関する概念図を図 1.1 に載せておく。
–1–
2
1. 解析簡単まとめ
y
y
fn(x)
f1(x)
f2(x)
f1(x)
fn(x)
f2(x)
f∞(x)
f∞(x)
x
(a)
x
(b)
y
y
fn(x)
f∞(x)
fn(x)
f2(x)
f2(x)
f1(x)
f1(x)
x
f∞(x)
(c)
x
(d)
図 1.1 (a) 連続関数の列 fn が f∞ に一様収束する例 (b) 同じ f∞ に収束する、一様収束では無い例 (c)
連続関数が一様収束しない場合、不連続関数に収束することもある例 (d) 一部でピークがどんどん高く
なっていくが、それ自体はどんどん幅が狭くなっていって結局 (a)、(b) 同様 f∞ に収束する関数列の例。鋭
いピーク下の面積が大体 n に関係ないように作ったつもりである。言い換えると fn の積分値は全ての n に
ついて f∞ のそれより一定値以上大きい
注意 1.1 閉区間 [−1, 1] 上の関数 fn (x) = tanh[nx] = (enx − e−nx )/(enx + e−nx ) は n → ∞ で不連続関数 g(x)、
g(x > 0) = 1、g(0) = 0、g(x < 0) = −1 に各点 x ∈ [−1, 1] で収束する。（実際には全実数に対して同じ収
束をする）そして | fn (x) − g(x)| の上限値はどのような n に対しても 1 になる。1/mm → ∞ に対して m が
十分大きければ tanh[n/m] ≈ n/m ≈ 0 なのに対し m < ∞ である限り g(1/m) = 1 だからである。一様収束
というのはこのような状況にはならない、ということである。
この時以下が成立する。
定理 1.1 閉集合 F 上連続関数 fn がある関数 f に一様収束するなら f もまた必然的に連続となる。
定理 1.2 上と同じ状況で D が有界閉領域すなわち有限の範囲にある閉領域に対して
∫
∫
lim
fn (x)dx =
f (x)dx
n→∞
D
D
となる。つまり関数 fn を積分した値の収束値と収束関数 f を積分した値は一致する。
注意 1.2 無限を含む領域における一様収束、あるいは一様収束でない収束に対しては、上は成立しない。
前者の例として fn (x) = n/(n2 + x2 ) が挙げられる。これは明らかに全実数に対して 0 に一様収束するが、
この全実数に対する積分値は n に関係なくいつでも π になる。よって積分した後 n → ∞ とすると π と
なり、収束関数（定数 0 のこと）を積分したものは 0 になる。
1.1 今まで習ってきたはずの事
3
定理 1.3 微分可能な 1 変数関数列 fn (x) が有限閉区間 [a, b] 上で f (x)（定理 1.1 より連続は保証されてい
る）一様収束し、かつその導関数の列 fn (x) も連続関数列となり、そしれある g(x) に一様収束するなら
f は微分可能であって f = g となる。
c. 三角不等式
解析の話をしているのに唐突だがベクトルの話をここでする。
√（解析でも必要だから）n 次元ベクトル
a = (a1 , a2 , · · · , an ) の（ユークリッド的）大きさ a は a = a21 + a22 + · · · + a2n で定義されるが、この
とき
a+b ≤ a + b
となる。ここで等号が成立するのはどちらかが 0 ベクトルになる時か、 a, b が同じ方向を向いていると
き、そのときに限る。この定理と同時に成立が分るのが次の定理である。
定理 1.4 （コーシー・シュワルツの不等式）|a · b| ≤ a b が成立する。等号が成り立つのはいずれか
が 0 になる時、あるいは a, b が平行な時（上とは微妙に異なる。左辺の内積の絶対値を取ったせいでこ
うなる）である。
(証明) t をパラメターとして
a − tb
2
=
∑
(ai − tbi )2 = b 2 t2 − 2(a · b)t + a
2
≥0
i
が任意の t に対して成り立つ。そしてこれが 0 になるのは a = tb となる時、その時に限るのは明らか。
よって左辺の判別式は負以下であり、それは
(a · b)2 ≤ a
2
b
2
を意味する。 Q.E.D.
すると
a+b
2
= a 2 +2(a·b)+ b
2
≤ a+b
2
= a 2 +2 (a·b) + b
2
≤ a 2 +2 a b + b
2
= ( a ＋ b )2 = ( a + b )2
となっていわゆる三角不等式
命題 1.4 2 つのベクトルに対して
a+b ≤ a + b
が成り立つ。
が示せた。
注意 1.3 上述 2 つの不等式はユニタリ空間、つまり複素数値ベクトル空間で内積が
∑
a·b=
a∗i bi
i
∗
ここに z は複素数 z の複素共役、で与えられるものに対しても成り立つ。この場合複素パラメター w = t+iu
（t, u は実数）に対して
a − wb
2
= a
2
+ |w|2 b
2
(
)
− 2Re w(a · b) ≤ 0
ここに Re z は z の実部（虚部は Im z と書く事にする）となることから証明できる。実際
(
)
a − wb 2 = a 2 + (t2 + u2 ) b 2 − 2 tRe (a · b) − utIm (a · b) ≤ 0
を t, u に関して平方完成すれば
a
2
−
(
(
Re (a · b)2 + Im (a · b)2
≤0
b 2
が得られ、これを整理すれば欲しい不等式が出てくる。複素版コーシー・シュワルツから複素版三角不
等式を出すのは上記と全く同様に行えるので、これは省略する。
4
d.
1. 解析簡単まとめ
積分三角不等式
n 次元の領域 D におけるスカラー関数 f (x) の積分
∫
(x)d x ,
D
ここに d
x
は（無限小）体積要素、とは要するに D を「賽の目」に分解して、その一つ一つ ∆i における
f の代表的な値 f (xi ) に「賽」の体積 (∆i ) をかけて足し合わせたものである。
（勿論この後分割を細かく
していく極限を取る）と、いうことは積分というのは沢山の数値の和で得られる、ということで、三角
不等式 |a1 + a2 + · · · + an | ≤ |a1 | + |a2 | + · · · + |an |（2 個の場合から |a1 + (a2 + · · · + an )| ≤ |a1 | + |a2 + · · · + an |
となり今度は |a2 + · · · + an | ≤ |a2 | + |a3 + · · · + an | · · · 、と続けていけば得られる）から直ちに
命題 1.5 積分に関して
∫
∫
f (x)d
x
≤
f (x) d
x
D
D
が成立する。
が分る。つまり積分値の大きさは、関数値の大きさ（絶対値）の積分以下で抑えられる。次も良く用い
られる。
定理 1.5 （積分三角不等式）2 関数 f, g の積分に対して
∫
∫
(
)
f (x) + g(x) d
f (x) + g(x) d x ≤
x
D
D
が成り立つ。
これは 1 つ前の命題を f + g に適用した後各点 x において通常の三角不等式 | f (x) + g(x)| ≤ | f (x)| + |g(x)|
を適用すれば得られる。
1.2 高次の微小量
関数 f (h), g(h), · · · が h → 0 で全て 0 に収束するとき、その収束の速さが問題になることがある。例え
ば f (x) が x = a で微分可能とは極限値
lim
h→0
f (a + h) − f (a)
,
h
が存在することであり、これは h の関数 f (a + h) − f (a) と h 自身が h → 0 に対して同程度の速さで 0 に
近づくことを主張しているのと同じである。
定義 1.1 関数 f (h)、g(h) が h → 0 で共に 0 に近づき、かつ
lim
h→0
f (h)
= 0,
g(h)
が成り立つなら f は g に比べて高次（高位）の微小量であると称し、記号 f = o(g) で表す。h の関数と
しての f の具体的な形が問題にならなく、単に h → 0 とした時の、0 への近づき方が他の g と比べてど
うかだけが問題になるとき記号 o(g) を用いる。
この時例えば定数 A
0 に対して o(Ag) = o(g)、o(h + Ao(h)) = o(h) となること等は殆ど明らかだろう。
1.3 テイラー展開
5
1.3 テイラー展開
1 変数関数 f (x) が x = a の近傍で n 回まで微分可能とする。このとき n − 1 階導関数 f (n−1) (x) は 1 回
微分可能だから
f (n−1) (a + t) = f (n−1) (a) + f (n) t + o(t),
が成立することになる。これを u = 1 ∼ u で積分すると
∫ u
∫ u
( (n−1)
)
f (n) u2
f (n−2) (a + u) − f (n−2) (a) =
f
(a) + f (n) t + o(t) dt = f (n−1) u +
+
o(u)du,
2
0
0
が得られる。ここで
補題 1.1
∫
u
o(tk )dt = o(uk+1 ).
0
(証明) o(uk ) の定義から
なら |o(t )| <
k
nt
k
n
→ 0 と、0 に収束する正数列
n
> 0 に対応して正数列 δn → 0 があって |t| < δn
となる。するとこのような t を 0 ∼ u < δn で積分すると（簡単のため u > 0 とするが
u < 0 の場合の対処法も想像がつくだろう）
∫ u
∫ u
|o(tk )|dt ≤
o(tk )dt ≤
となるが、これは
∫
0
0
∫
u
n
tk dt =
k+1
,
nu
|u| < δn
0
o(tk )dt が t の k + 1 次より高次の微小量になることの定義に他ならない。 Q.E.D.
より
f (n) (a) 2
u + o(u2 ),
2
が分ったことになる。後はこの積分を繰り返していくことによって最終的に
f (n−2) (a + u) = f (n−2) (a) + f (n−1) u +
定理 1.6 （テイラー展開定理) 関数 f (x) が x = a の近傍で n 階微分可能なら
f (x) = f (a) + f (a)(x − a) +
f (a)
f (a)
f (n) (a)
(x − a)2 +
(x − a)3 + · · · +
(x − a)n + o((x − a)n ),
2
3!
n!
が成り立つ。これを f の x = a の周りでの n 次までのテイラー展開と呼ぶ。
が得られる。
例題 1.1 指数関数、三角関数のテイラー展開
(1) (e x )(n) = e x より指数関数 e x の原点の周りでのテイラー展開は
ex + 1 + x +
x 2 x3
xn
+
+ ··· +
+ ··· ,
2! 3!
n!
となる。これは無限級数展開可能である。（テイラー展開が絶対収束、つまり各項 cn (x−)n の絶対値
|cn (x − a)n | をとったものの和が収束するなら元のテイラー展開は無限級数にできることが知られて
いる。（複素関数論で学ぶ事項である）
(2) cos x, sin x。これらも無限級数展開を許す。cos x = − sin x、sin x = cos x より x = 0 でのこれらの微
係数は ±1, 0 を繰り返す。よって
cos x = 1 −
となる。
x2 x 4
x2n
x2n ＋ 1
x3 x5
+
− · · · + (−1)n
+ · · · , sin x = x −
+
− · · · + (−1)n
+ ··· ,
2! 4!
(2n)!
3! 5!
(2n + 1)!
6
1. 解析簡単まとめ
(3) 複素関数論の一般論によれば絶対収束級数は通常の多項式のように、好き勝手に和、差、積その他
の操作を行ってよい。よって f (x) が絶対収束する無限次元多項式で書かれたなら、それが f のテイ
ラー級数となる。例えば等比級数
1
= 1 + x + x2 + · · ·
1−x
はそのまま右辺が左辺のテイラー展開になる。これは明らかに |x| < 1 でしか収束しない。つまり左
辺は x
1 で定義されているのだが、右辺の表現の仕方は左辺の定義域全体ではなく |x| < 1 におい
てのみ通用するのである。そこで例えば x = 3 の周りで (1 − x)−1 をテイラー展開したければ
n
1
1
1
1
1 (x − 3)
n+1 (x − 3)
−
·
·
·
+
(−1)
+ ···
=
=−
=− +
1 − x −2 − (x − 3)
2 1 + [(x − 3)/2]
2
22
2n+1
などとすればよい。（もちろん定義通りに計算してもよい）他に
1
= 1 − x 2 + x4 − x 6 + · · ·
1 + x2
も成り立つ。これは (1 + x2 )−1 の高階微係数を定義通りに計算するよりずっと楽だろう。
(4) 絶対収束級数は項別に微分、積分が可能なことが知られている。つまり
∫
∞
∞
∞
∑
∑
∑
cn
f (x) =
cn (x − a)n → f (x) =
ncn (x − a)n−1 ,
f (x)dx =
(x − a)n+1 ,
n
+
1
n=0
n=1
n=0
となる。よって
∫
arctan x =
x 3 x5 x 7
dx
= x−
+
−
+ ···
2
3
5
7
1+x
ということになる。
1.4 多変数解析の基礎 I – テイラー展開と停留値問題
命題 1.6 f (x) が点 x = a の近傍で各変数 xi について 2 階まで微分可能、つまり各偏導関数 ∂ f /∂xi もま
た変数 x j で 1 階微分可能なら以下が成り立つ。
(1) 1 次までの展開として
f (a + δx) = f (a) + (∇ f ) · δx + o( x ) = f (a) + (δx · ∇) f + o( x )
が成り立つ。但しここで ∇ はナブラ演算子（スカラー関数からベクトル値関数を作る演算子）
(
)
∂
∂
∂
∇=
···
∂x1 ∂x2
∂xn
である。なお f の 1 次展開式の最右辺の表現は ∇ f と微小変位 δx の内積では無く、スカラー微分演
算子
∂
∂
∂
+ δx2
+ · · · + δxn
∂x1
∂x2
∂xn
を f に作用させて得られる、と言う解釈が可能であることを示している。
δx · ∇ = δx1
(2) 2 階微分において、微係数の値は微分する変数の順番に依存しない。つまり以下が成り立つ。
∂2 f
∂2 f
=
.
∂xi ∂x j
∂x j ∂xi
(3) 2 次までのテイラー展開として以下が成立する。
f (a + δx) = f (a) +
n (
∑
∂f )
i=1
∂xi x= a
δxi +
n
1 ∑ ( ∂2 f )
δxi δx j + +o( x 2 ).
2 i, j=1 ∂xi ∂x j x= a
(1.1)
1.4 多変数解析の基礎 I – テイラー展開と停留値問題
7
あるいは δx を縦ベクトルとして表し、また f の点 a におけるヘッセ行列（ヘッシアン）H f を
(H f )i j =
( ∂2 f )
∂xi ∂x j x= a
と定義すれば
f (a + δx) = f (a) + (∇ f ) · δx + δx t H f δx + o( x 2 )
(1.2)
と表現できる。ここに A t は行列の転置（行と列を入れ換えたもの。縦ベクトル、つまり n 行 1 列
の行列の転置は 1 行 n 列、つまり横ベクトルになる）
証明は授業でやったように、まずは f を xi に関して展開し、次いで f (a1 + δx1 , · · · , ai , · · · , a j + +δx j , · · · )
や ∂i f (a1 + δx1 , · · · , ai , · · · , a j + +δx j , · · · )（∂ f /∂xi を ∂i f と略記した）を x j で展開したものと初め x j で
展開してから xi で展開したものを比較すればよい。なお、各 xi に対する 1 階微分可能性だけから上の
ような 1 次の展開 (1) は示せない。多くの教科書では ∂ f /∂xi の存在と連続性を仮定すれば 1 次展開が可
能になる、という形の十分条件を載せている。(1) は以下のようにも書ける。
命題 1.7 f が a で十分滑らか（例えば上で述べたように ∂ f /∂xi が存在して連続になる）なら
d
f (a + tb) t=0 = b · ∇ f,
dt
となる。
物理の応用で良く出てくるのは空間上の関数 f (x, y, z) ので、 b が単位ベクトル（方向ベクトル）の場
合である。これは記号 ∂ f /∂n で表され、 f の n 方向の方向微分と呼ばれる。このとき上のパラメター t
は長さの次元を持つため記号 ∂ f /∂n とはうらはらに f の方向微分の次元は f の次元を長さの次元で割っ
たものになる。
1.4.1
多変数関数の停留値問題
1 変数関数 f (x) の値が x = a で停留する、すなわち a + h における関数値 f (a + h) の f (a) からのずれ
δ f = f (a + h) − f (a) が h に比べて微小である、要するに δ f = o(h) であるとしよう。これは微分の定義か
ら f (a) = 0 を意味する。この時 f (x) の 2 次までの展開を考えると
f (a + h) = f (a) +
f (a) 2
h + o(h2 ),
2
ということになる。ここで f (a) > 0 なら δ f > 0 であり、 x = a は極小点、 f (a) < 0 なら極大点という
ことになる。同様に多変数関数に関しても極小、極大が存在するが、多変数の場合ある方向には f が極
大、べつの方向には極小になることがある。
さて f (x) が点 x = a で停留する、つまり δ f = f (a + δx) − f (a) = o( δx ) になるとしよう。すると多変
数のテイラー展開の式 (1.1), (1.2) と見比べればこの条件は
∇f = 0
と同じになることが分る。∇ f は勾配、つまり関数値 f が変化する最大方向を向き、その大きさがその
方向の f の傾きと同じになるという幾何学的解釈からも、この条件を理解することができる。（ベクト
ル解析のところで触れる） さてこの時 (1.2) より a からの微小変位 δx に対応する関数値の変化はヘッ
シアン H f を用いて
1 t
δx H f δx
2
で与えられることになる。ヘッセ行列の i j 成分は ∂2 f /∂xi ∂x j であり、偏微分の順番の可換性よりヘッセ
δf ≈
行列は実対称行列（成分が実数で i j 成分と ji 成分が等しい行列）であることが分る。そしてこれが微小
変位 δx の全てに関して正になるなら a は極小点、負になるなら極大点、正負両方とるなら極大極小以外
8
1. 解析簡単まとめ
の停留値に対応する点になるわけである。多くの応用（保険関係の数学など、経済では特異な停留点が
問題になるそうであるが、それ以外の話）に関しては H f が非退化、つまり 0 固有値を持たない（言い換
えると H f は可逆）ことを要求する。すると線形代数の一般論から直交線形座標変換（デカルト座標系か
ら別のデカルト座標系への変換）により H f は実対角行列に変換されるので、新しい座標を yi とすると
∑ λi
1
δ f = δx t H f δx =
δy2i ,
2
2
i
となって、これから
(1) 全ての λi が正の時：微小な任意の δx に対して δ f は正になるので、 a は極小点。
(2) 全ての λi が負の時：微小な任意の δx に対して δ f は負になるので、 a は極大点。
(3) （必要ならじゅんばんを並べ替えて）λ1 ∼ λk が正、残りが負の時：y1 ∼ yk
= 0 に対応する任意の δx に対して δ f > 0、逆に y1 = · · · = yk = 0, yk+1 ∼ yn
0, yk+1 = yk+2 = · · · = yn
0 に対して δ f < 0 に
なるので aは極小でも極大でもない。これを鞍点（saddle point ）と呼ぶ。
が分る。以上をまとめて
定理 1.7 十分滑らかな多変数関数 f (x) が点 x = a で停留するための必要十分条件はその点で全ての偏
微係数が消える事、つまり ∇ f = 0 となることである。そしてその点でのヘッセ行列 H f が非退化の時、
(i)H f の全ての固有値が正なら極小点、(ii) 全ての固有値が負なら極大点、(iii) 固有値の符号が正負両方
あれば鞍点となる。
例題 1.2 f (x, y) = sin x + cos (x + 2y) とする。すると f を停留させる点は
(∂f ∂f ) (
)
∇f =
,
= cos x − sin(x + 2y), −2 sin(2y + x) = 0,
∂x ∂y
より x + 2y = nπ、 x = (2m + 1)π/2、ここに n, m は任意の整数、と求められる。このときヘッセ行列は

 2
∂2 f 
 ∂ f





 2
(−1)m + (−1)n (−1)n 2
sin x + cos (x + 2y) 2 cos(x + 2y)
∂x∂y 
 ∂x




 = − 
 = − 
H f (x, y) =  2
n
n
 ∂ f
∂2 f 
(−1)
2
4(−1)
2
cos(x
+
2y)
4
cos(x
+
2y)


∂y∂x
∂y2













−1
2
±2
±2







 = ± 3I + 



 , n と m の偶奇が同じとき，








2 1 

±2 ±4 


=




 



−2
2
0
±2

















 , n と m の偶奇が異なるとき．
 ± 2I + 








 ±2 ±4
2 2 
となる。ここで

a
A = 
b

b 

−a
√
√
の形の行列の固有値は ± a2 + b2 を持つことから n, m の偶奇が同じ場合ヘッセ行列の固有値は ±(3 ± 5)
√
（複号は四通り）、偶奇が同じ場合は ±2(1 ± 2)（これも四通り）となって、前者は固有値の符号は
全て同じ、後者は必ず正負両方ある。前者で n, m が偶数なら全ての固有値は負、奇数なら正なので
x = (2m + 1)π/2, y = ((n − m)π/2) − (π/4) において n, m が偶数なら極大点、奇数なら極小点、そして n, m
の偶奇が異なるなら鞍点となる。
1.5 多変数解析の基礎 II – 多次元空間の写像と逆関数定理
多変数 x1 ∼ xn から多変数 y1 ∼ ym への写像は n 変数関数 m 個の組
y(x) = (y1 (x), y2 (x), · · · , ym (x)),
1.5 多変数解析の基礎 II – 多次元空間の写像と逆関数定理
9
で表現できる。これは抽象的な、n 次元空間から m 次元空間への写像と考えることができるだろう。こ
のとき 1 点 x = a が y = b に移ってきたとして、写像 y が n 次元空間の点 a の近傍ではどう（近似的に）
書けるか考える。それには 1 変数の時の近似式
f (a + δx) ≈ f (a) + (∇ f ) · δx,
を用いればよい。すなわち
(
)
y(a + δx) = (y1 (a + δx), · · · , ym (a + δx) ≈ b + (∇y1 ) · δx, (∇y2 ) · δx, · · · , (∇ym ) · δx ,
であり、 x, y 等は全て縦ベクトルとして表現することにすれば上は行列を用いて
 ∂y
∂y1
∂y1 
 1

···
 ∂x
∂xn 
 1 ∂x2

 ∂y2
∂y2
∂y2 


···
 ∂x1 ∂x2
∂xn 
 ,
y(a + δx) ≈ b + Jδx, J = 
.. 
 ..
..
.
 .
. 




 ∂ym ∂ym
∂ym 
···
∂x1 ∂x2
∂xn
(1.3)
という形にまとめることができる。これは考えてみれば当たり前のことであって、写像を a の近傍に限っ
て線形近似するなら、つまり δx の 1 次式の範囲で近似するならその係数をまとめたものは m 行 n 列の
行列になり、その成分は yi の x j による偏微分で与えられる、というわけである。この線形近似行列を元
の写像の点 a におけるヤコビ行列と称する。ヤコビ行列を ∂y/∂x のように表すことも多い。
一般に曲線が面や空間を埋め尽くすのは無理であり、逆に面を折り重ねる事無なく 1 本の曲線に写像
するのも無理なのは明らかだろう。
（写像が微分可能な場合、この事実の証明も可能である。但し単に連
続性だけしか仮定しないなら低次元のもので高次元を埋め尽くすのは可能であることが知られている）
さて、n = m の場合には（十分滑らかな写像に関しては）以下の定理が成り立つ。
定理 1.8 逆写像定理 n 次元から n 次元への滑らかな写像 n 次元から m 次元への写像 y において、これが
x = a の近傍で 1 対 1 の写像になるための十分条件はそのヤコビ行列 ∂y/∂x が点 a において可逆になる
ことである。言い換えればそのヤコビ行列式の a における値が 0 にならないなら元の写像はこの近傍で
1 対 1 になる、すなわち関係 y = y(x) を逆に解くことができる。そしてこの逆関数のヤコビ行列は元の
ヤコビ行列の逆行列となる。
厳密証明は面倒なので付録にまわすことにして、ここでは直感的な説明にとどめる。ヤコビ行列が点
x = a で可逆なら
y = b + Jδx + o(δx),
(1.4)
ということになるので、これは高次の微小量を無視すれば確かに
x = a + δx = J −1 (y − b),
と、逆に解くことができる。ここで「誤差」は高次の微小量なので、それを補正して正しい逆を計算す
るのも困難ではないだろう、というわけである。そして上式を見れば分かるように補正項は高次微小量
であるから、逆写像の線形近似は行列 J −1 で与えられることとなり、明らかに逆写像のヤコビ行列は元
のヤコビ行列 J の逆になっている。
よくある厳密証明においては、この補正が逐次近似で行われる。すなわち上の (1.4) の高次微小部分を
η(x) と書き、また δy = y − b として方程式 δx = J −1 δy + η(δx) を δy をパラメターとする δx に関する方
程式と見て、下記注意に述べる方法で解くのである。
注意 1.4 x = f (x, y) のような形の方程式を x に関して解くのに逐次近似法がしばしば使われる。例えば
√
2x = (1 + y) − (x − 1)2 は x = y と同じだが、これをまず適当な x0 から出発していって x1 = f (x0 , y) =
1. 解析簡単まとめ
10
(
)
(
)
(1 + y) − (x0 − 1)2 /2、 x2 = f (x1 , y) = (1 + y) − (x1 − 1)2 /2、· · · とやっていって、もし数列 xn が一定値
√
x∞ に収束するならこれは x∞ = (1 + y) − (x∞ − 1)2 を満たすのだから確かに y に等しい、という論法で
ある。図 1.2 には y = 2 の場合が描かれている。このような近似法は数値計算の観点からは収束が遅く
て不満足だが、理論的には扱いが易しいので一般論は展開しやすい。
（量子力学の摂動論も本質的には同
じ方法を用いている）
x1 = f ( x0 )
x2 = f ( x1 )
2
-1
0
1
x0
2
3
x1 x2
x
t
図 1.2 与えられた y について方程式 2x = (1 + y) − (x − 1)2 は x =
√
y を解くこと
3 次元においてベクトル a、b、c を 3 辺とする平行六面体の体積 V(a, b, c) はベクトルの外積を用いて
V(a, b, c) = |a · (b × c)|,
と表される。（右辺のベクトル 3 つから作られるスカラー量をスカラー三重積と呼ぶ） b × c は b、c の作
る平行四辺形に垂直で、その大きさが平行四辺形の面積 S に等しい。 a と平行四辺形の垂線のなす角を
θ とすると h = a | cos θ| は平行六面体の高さになるので V = S h = b × c h = |a · (b × c)| というわけで
ある。
さて、今空間写像 x → y があり、これによって領域 D が D に写されたとしよう。そしてこの写像の
ヤコビ行列は D の各点で可逆であり、従って逆 y → x が存在するとしよう。この時
定理 1.9 （変数変換公式）スカラー関数の体積積分に関して以下が成り立つ。
( )
∫
∫
∂x
dy.
f (x)dx =
f (x(y)) det
∂y
D
D
明らかにこれは 1 次元における
∫ b
a
∫
f (x)dx =
d
f (x(y))
c
dx
dy, x(c) = a, x(d) = b,
dy
の拡張になっている。ヤコビ行列式の絶対値が出てくるのは 1 次元積分のような「積分方向」というのが
高次元積分では無いからである。（ベクトル解析では n 次元空間中の m(< n) 次元積分に対しては「積分
方向」が定義される。また n 次元積分に関しても統一的扱いをするため積分方向を入れる方式が、以下
で説明する積分方向を考えない定式化の後で定義される。
（本講義では扱わない。いわゆる微分形式とい
う奴のこと））そもそも高次元で積分の定義をどうするか、というと、D を細かい立方体 ∆i（i = 1 ∼ N ）
1.5 多変数解析の基礎 II – 多次元空間の写像と逆関数定理
11
に分割し、∆i の中心点 xi における関数値 f (xi ) に ∆i の体積 h3 （h を一辺の長さとした）をかけて足し
合わせたもの
∑
f (xi )h3
i
の、分割を細かくした極限 h → 0 に対する収束値、とするのであった。すると x に関しては立方体によ
る分割だったのが、変数 y の空間では（高次微小量を除き）平行六面体による分割になる。この対応関
係 xi ↔ yi において x 空間における ∆i の各辺 hei （e1,2,3 はそれぞれ x, y, z-軸方向の単位ベクトルのこと
とする）が y 空間では変換 x → y のヤコビ行列を用いて ai = Jei で与えられる。従って ∆i が変換され
た ∆i の体積は
(
)
∂y 3
h
V(∆i ) = |a1 · (a2 × a3 )|h = det
∂x
3
で与えられることになる。さて、 y 空間におけるスカラー関数 g(y) の積分は、今の平行六面体による分
割を用いれば
∑
g(yi )V(∆i ) =
i
∑
i
(
)
∂y 3
g(yi ) det
h
∂x
の h → 0 における極限値として定義できる。
（3 次正方行列の行列式は、この行列を縦ベクトル 3 つを並
べたもの、あるいは横ベクトル 3 つを並べたものと見るとき、それら 3 つのベクトルのスカラー三重積
（順番としては左から、あるいは上から並べたものと考える）に一致することを用いた。この事実は各自
確かめて欲しい。なお良くある、ベクトルの外積の定義はこれに基づいている）
これが元の f の、 x-積分値に等しくなるには
(
)
∂y
g(yi ) = det
∂x y
i
(
−1
f (xi ) = det
)
∂x
f (xi )
∂y y
i
であればよく、これによって変数変換公式 1.9 が「証明」された。（この線で厳密証明までもっていくの
は杉浦「解析入門」参照のこと。どうしても測度 0 という概念が必要になってくるようである）
1.5.1
陰関数定理
逆関数定理やヤコビ行列といった事項の本質は、局所的、つまり十分小さい範囲においては、いかな
る（滑らかな）
「曲がった」座標系も線形座標として扱える、ということである。言い換えると局所的な
問題では大抵の事柄が線形代数の知識で解決する、ということである。ある抽象的な空間 X、例えば 2
モルの窒素気体の熱力学的状態全体のなす空間というのが n 次元であるとは、その空間の点が n 個の変
数の組で完全に指定できることだ、と定義可能だろう。
（気体の例の場合は 2 次元）この n 個の変数の組
x は X の座標系をなす、と考えられる。通常の空間のような幾何学的存在でない空間において、X 上の
どのような関数（変数）が座標関数として使えるか否か、という問には意味は無く、どのようなもので
あっても（もちろん滑らかである、という条件は置く）n 個の関数の組が X の点を指定できる能力を持
つなら、それらは座標関数として採用できるのである。
さて、抽象 n 次元空間の任意の n 個の関数の組が座標系になるとは限らない。極端な話、 xy 平面で
x、x2 という関数の組が 1 点を指定できないのは明白である。窒素気体の場合、もし窒素を理想気体とみ
なせるなら内部エネルギー U と温度 T の組では（理想気体近似の下 U = nCV T だから）その熱状態は 1
つに決まらない。それでは座標系として使える関数の組はどのような条件を満たすだろうか？要は n 個
の「独立」な関数の組が与えられればよく、それは逆関数定理より、局所的には簡単に判別可能である。
定理 1.10 あらかじめ与えられた座標系 x によって指定された点 a の近傍 U において、関数の組 y1 ∼ yn
がやはり座標系としての資格を満たすための必要十分条件はヤコビ行列 ∂y/∂x が U の各点において可逆
なことである。
1. 解析簡単まとめ
12
ここで a におけるヤコビ行列を J とすれば a の近傍では高次の微小量を除けば yi = bi +
∑
j
Ji j (x j − a j )
（ b = y(a) とした）だから、全て話を局所的に考えて高次微小量を無視する範囲では、関数というのは全
て基準となる xi の線形関数だけである、として問題は無いことになる。
次に k 個の独立な関数 f1 ∼ fk による拘束条件 fi (x) = ci 、i = 1 ∼ k を考えよう。ここで独立性の定義
は以下で与えられる。
定義 1.2 k 個の関数 fi (x) が点 x = a の近傍で独立とはその 1 次近似 fi = bi +
∑
j (∂ fi /∂x j )(x j
− a j ) が線形
独立なこと、すなわちヤコビ行列 ∂y/∂x の階数が k になること、あるいは同じことだが ∂y/∂x これを n
次元横ベクトル k 個の組と見たときそれらが 1 次独立なこと、あるいは k 縦次元ベクトル n 個の組と見
た時にそれらが k 次元空間を張れることを言う。
∑
さて関数の 1 次近似を関数値の微小変化 δyi に対して与えるとそれは全微分の式 δyi = j Ji j δx j となり、
∑
拘束条件は（高次微小量を除いて）0 = j Ji j δx j 、i = 1 ∼ k と書かれる。これはヤコビ行列 ∂y/∂x を
n 次元横ベクトル k 個の組と見たとき、それらを J i として J i · δx = 0 と同じことになる。つまり拘束
条件を満たす微小変位 δx はベクトル J i すべてと直交する。そこで適当な n − k 個の n 次元ベクトル
B j 、 j = 1 ∼ n − k を取ってきてこれらが J i のなす k 次元空間の直交補空間（つまり全ての i, j に対し
∑
て J i · B j = 0）の基底になるようにすれば、yi = j Bi j x j で定義される関数の組と f1 ∼ fk 、すなわち
y1 , · · · , yn−k , yn−k+1 = f1 , yn−k+2 = f2 , · · · , yn = fk は局所的には座標系の資格を持つ。そのヤコビ行列


 B1 


 .. 
 . 


 Bn−k 
 ,
J = 
 J 1 
 . 
 .. 




Jk
は n 次元基底の資格を持つ横ベクトルの組を並べたものだから階数 n 従って可逆だからである。そして
逆関数定理によれば元の座標関数 xi を新しい変数 y j の関数 xi = xi (y) で表現することができ、これから
特に
fi (x) = yn−k+i (x) = yn−k+i (x(y)) ≡ yn−k+i .
従って定数 ci を y の成分 yn−k+i に代入して yc = (y1 , · · · , yn−k , c1 , · · · , ck ) と記号 yc を定義すれば
fi (x(yc )) = yn−k+i (yc ) = ci ,
となる。従って n − k 個の独立変数を持つ x(yc ) = x(y1 , · · · , yn−k , c1 , · · · , ck ) が、拘束条件によって定義さ
れる n − k 次元部分曲面のパラメター表示になる。以上をまとめれば以下のようになる。
定理 1.11 （陰関数定理）n 次元空間の滑らかな k 個の関数 f1 ∼ fk によって定められる n − k 次元曲面 S
は、局所的には x1 ∼ xn の 1 次関数の組 y1 ∼ yn−k によるパラメター表示を持つ。（yi として x1 ∼ xn の中
のどれか n − k 個を使う事ができる。これは線形代数の一般論（あらかじめ与えられた基底 e ∼ en から
うまい n − k 個を取り出して、与えられた 1 次独立な a1 ∼ ak と、合わせて n 次元基底にすることができ
る、という定理）から分る）
ごちゃごちゃ書いたが、n 次元中の n − k 次元面の「接平面」を作れば、その平面上に座標軸を持つ関数
y1 ∼ yn−k を曲面のパラメターとして使える、ということを言っているのである。何故なら接平面上の点
を曲面に正射影する行為は小さな範囲では明らかに 1 対 1 の対応を与えるからである。
1.6 多変数解析の基礎 III – 拘束条件下の停留値問題：未定乗数法
13
1.6 多変数解析の基礎 III – 拘束条件下の停留値問題：未定乗数法
n 次元空間の関数 f (x) を拘束条件 gi (x) = ci 、i = 1 ∼ k の下に停留させる点 a を求める問題を考える。
このような問題は自然科学、工学で幅広く現れる。統計力学におけるミクロカノニカルアンサンブルを
用いた定式化では系の全エネルギー E を一定値に保ったまま各分子のエネルギー配分を一番「没個性的」
になるよう、すなわち一番大きな場合の数 W が得られるようにする。そのような分子の持つエネルギー
分布が我々の観測する実際の分布であると考えるわけだが、ここで 1 分子のエネルギーを ∆ ずつに離
∑
散化して考え、エネルギー k = k∆ を持つ分子数を nk とすると問題は E = k k nk を一定に保ったま
∏
ま W = N!/( i ni !) を最大にせよ、という風に定式化可能となる。これは全分子数 N が巨大としてエネ
√
ルギー k を持つ分子の割合 xi = ni /N を連続変数のように扱い、スターリングの公式 n! ≈ 2πnnn e−n を
∑
∑
ni ! = (N xi )! に適用すると拘束条件 k k xk = E 及び i xi = 1 の下で
(∑ １
)
ln W = −
ln xi + xi ln xi
2
i
(1.5)
を最大化せよ、という問題に変形される。このような条件付き停留値問題を解く際に威力を発揮するの
がラグランジュの未定乗数法である。
定理 1.12 （ラグランジュの未定乗数法）n 次元空間の関数 f (x) を拘束条件 gi (x) = ci 、i = 1 ∼ k の下に
停留させる点 a において適当なパラメター λi が存在して
∑
(
)
∇ f (x) −
λi gi (x) = 0,
(1.6)
i
となり、逆にこの関係が成り立つような a があれば、その点は今考えている停留問題の解になる。
これを実際に使う場合、λi はパラメターとして方程式 (1.6) を解き、それを x(λ) として、これを gi に代
入し、λ を調節して gi = ci が満たされるようにすることから未定乗数法と名付けられたのである。更に
言うと統計力学におけるように、実際には λi 自身が重要な意味を持ち、従ってわざわざ元の拘束条件を
満たすように λi を調整しない事も多い。(1.5) の問題の場合には
(∑
)
( ∑ )]
∂ [∑ １
ln xi + xi ln xi + β
xi = 0,
−
i xi + α
∂xi i 2
i
i
は
3
+ ln xi + β i + α = 0,
2
に帰着し、α + (3/2) を改めて α と置けば
ln xi = −β i − α → xi = De−β i ,
ここに D = e−α 、となる。そして初めの拘束条件より D = 1/Z 、Z =
∑
i
e−β i となるが、これを理想気体
などに適用すれば β = 1/kB T は逆温度（温度の逆数。kB = R/NA はボルツマン定数、式から分るように
気体定数をアヴォガドロ数で割ったもの）であることが分り、通常内部エネルギー U = E を独立変数と
して使うより温度 T を用いた方が便利なので、もう 1 つの拘束条件を解いて β を E の関数とはしないで
β（というより T ）を独立変数として用いるのが普通となっている。それでは定理 1.12 を証明しよう。
(証明) 今 a が確かに停留値問題の解だったとする。すると gi (a + δx) = ci を満たす任意の微小変位に対
して δ f = f (a + δx) − f (a) は δx に対する高次の微小量になる。つまり f (a + δx) = f (a) + ∇ f · δx + o(δx)
が δx の高次微小量になるのだから、拘束条件下で許される微小変位 δx に対して必ず ∇ f · δx = 0 となる
ことが分る。次に制限多様体 gi = ci 上の滑らかな曲線 x(t) で t = 0 において a になるものを考えると定
˙
義から gi (xi ) = ci であり、 x(t) = a + x˙ (0)t + o(t) より gi (xi ) = ci + (∇gi · x(0))t
+ ∇gi · o(t) + o(t) ≡ ci （最後
の o(t) は o( x˙ (0)t + o(t)) から由来するもの）であるから、この式の t の係数はそれだけで消えなければな
らない。
（t に比例する項とそれより高次の項が恒等的に打ち消し合うことは有り得ないから）そして δx
1. 解析簡単まとめ
14
は本当の gi = ci に沿った微小変位 x(t) − a = δx + o(t) とは（t に対する、同じ事だが δx = t x˙ (0) に対す
る）高次微小量の違いしかないので f (a + δx) は f (a + x(t)) と高次微小量の違いしか無い。一方仮定よ
り f (a + x(t)) は f (a) と高次微小量の違いしかないのだから結局
f (a + δx) = f (a) + ∇ f · δx + o(δx),
が f (a) と高次微小量の違いしか無い。要するに aが f の、制限 gi = ci 下での停留点なら制限多様体に接
する任意の微小変位δx、つまり全てのiに対して制限多様体の法線方向∇gi と直交する（∇gi · δx = 0とな
る）δx に対して∇ f · δx = 0となる（つまり∇ f とも直交する）ことが分った。今 n 次元ベクトル空間 V
をその k 次元部分空間 W と、それに直交する n − k 次元部分空間 W ⊥ の直和 V = W ⊕ W ⊥ に分けて考え
る、つまり V の任意の元 を W と W ⊥ の元 w, w⊥ の和 = w + w⊥ として表すと、 が W と直交する任
意のベクトル、つまり W ⊥ の任意の元 w と直交する、という条件は · w = (w + w⊥ ) · w = w⊥ · w = 0 を
意味し、これから（W ⊥ の任意の元 w に対して成り立つのだから）w⊥ = 0、つまりこのような 自身が
W の元になる事が分ったのである。以上から ∇ f が制限多様体の接平面に垂直方向にあるということは
∇ f が ∇gi の 1 次結合
∇f =
∑
λi ∇gi
i
として書かれることが出て、よって
すなわち a は関数 f −
∑
)
(
λi gi = 0,
∇ f−
i
∑
i
λi gi の制限無しの停留点になることが得られた。
∑
i λi gi ) = 0 とできたとしよう。すなわち
∑
∇f =
λi ∇gi
次に点 a において適当な λi を選んで ∇( f −
i
となった、とする。すると拘束を満たすような微小変位、つまり (∇gi ) · δx = 0 を全ての g1 ∼ gk に対し
て満たす δx に対して（当然のことながら）
(∇ f ) · δx = 0
となる。これは a が制限 gi = ci の下での f の停留点になることを意味する式に他ならない。 Q.E.D.
注意 1.5 繰り返しになるが、1 次近似の範囲では、関数 f が点 a で停留する、ということは定数関数に
なる、すなわち 1 次の係数が全て消えることと同値である。従って拘束条件 gi = ci 、言い換えると許さ
れる変位 δx が全ての超曲面 gi = ci の法線 ∇gi に直交する、という条件の下で f が停留する、というこ
とは ∇gi 達のなす k 次元部分平面に直交する n − k 次元部分平面（これは gi = ci の定義する n − k 次元部
分曲面の接平面になる）上 f が定数関数となることと同値になる。よって ∇ f の接平面方向の成分は消
えるので、必然的に ∇ f は ∇gi の張る k 次元「法平面」の中に存在することになる。未定乗数法がちょっ
と不思議に見えるのは、以上の議論が全て 1 点 a でのものなのに対して、実際の適用法が λi をパラメ
ターとして様々に動かせることにあるだろうが、数学論理上問題はないことは納得せざるを得ないので
はないだろうか？
1.6.1
拘束条件下の停留点の性格
n 次元空間における k 個の拘束 gi (x) = ci の下で、関数 F(x) が点 a において停留した、つまり δF = 0
があらゆる gi (a + δx) = ci を満たす δx に対してなりたったとしよう。この時拘束条件によって決まる
n − k 次元曲面 S 上に座標系 z1 ∼ zn−k（原点は a に取る）を定めれば F(z) は z の関数として ∇z F = 0（文
字 z でもって z に対するナブラ記号であることを表した）を満たし、その z によるヘッセ行列の固有値
の正負の分布がこの停留点の性格を決めることになる。要は S の座標系を適当に選んで F の、座標関数
1.6 多変数解析の基礎 III – 拘束条件下の停留値問題：未定乗数法
15
による 2 次までての近似式が得られればよいわけで、そこで (1) S そのものでは無く、 z が微小な時、S
の点を z に関する 2 次の微小量まで正しく表す n − k 次元における原点近傍の点 z から n 次元空間の点
a 近傍への写像 a + η(z) を構成し、(2) この η(z) で F を展開して拘束条件下のヘッセ行列を求めること
にしよう。
そこでまず条件 ∇gi · h = 0 で定まる、a を通る n − k 次元部分平面の点 a + h と拘束条件によって決ま
る n − k 次元曲面 S の間には、 h が微小な範囲で 1 対 1 の対応が付くことに注意する。これより h を S
∑
の座標系として用いることができるようになる。そこで S の「法方向」u = i αi (h)∇gi をうまく選んで
a + η, η = h + u = h +
k
∑
αi (h)∇gi (a),
(1.7)
i=1
が拘束 gi (a + η) = ci を h の 2 次まで正しく満たすよう、構成しよう。それには gi をテイラー展開し
1
gi (a + η) = ci + η · ∇gi (a) + η t Hgi (a)η + o(h2 ),
2
ここに Hgi は gi の x = a におけるヘッセ行列、とした上で
u · ∇gi +
1 t
h Hgi h = 0
2
を課せばよい。ここで h は S の接平面方向を向いているので任意の ∇gi (a) と直交し、また u は h に関
する 2 次の微小量になることを用いた。
（これが (1.7) が 2 次の微小量の範囲で消える条件になっている）
∑
そこで u = j α j ∇gi を代入すれば
k
∑
(
j=1
)
1
∇gi · ∇g j α j = − h t Hgi h, i = 1 ∼ k,
2
(1.8)
という連立 1 次方程式が得られ、
（拘束に用いられる g1 ∼ gk が独立だと言う）大前提によって ∇g1 ∼ ∇gk
は a で 1 次独立になるので行列 ∇gi · ∇g j は可逆となり、確かに上の方程式は一意解 u(h) を持つことに
なる。これによって n − k 次元空間の原点近傍の点 h から拘束が定める n − k 次元部分曲面上の点への 1
対 1 写像が hの 2 次の微小量の範囲の正確さで
h→ a+h+
k
∑
αi (h)∇gi (a)
i=1
で得られたことになる。（つまり上の式は一般的に h
入すれば、
∇F =
∑
3
程度の誤差は持つ）そこで今度はこれを F に代
λi ∇gi
i
であったこと、従って特に h · ∇F = 0 となることに注意して
k
k
k
∑
∑
∑
(
)
1
1
λi α j (h)∇gi ·∇g j + h t HF h
F a+h+ α j (h)∇g j (a) = F(a)+ α j (h)∇g j ·∇F+ h t HF h+o( h 2 ) ≈ F(a)+
2
2
i, j=1
j=1
j=1
ここに HF は F のヘッセ行列、が分り、これと (1.8) を見比べれば h の 2 次の範囲で
∑
)
1 t(
h HF −
λi Hgi h
2
i=1
k
δF =
が分った事になる。以上をまとめて
定理 1.13 F の、制限 gi = ci 、i = 1 ∼ k の下での停留点が x = a と与えられた時、その点での n − k 次元
制限多様体 S 上での F のヘッセ行列は n 次元ヘッセ行列 HF = (∂2 F/∂xi ∂x j ) 及び Hgi = (∂2 gi /∂xi ∂x j ) に
∑
よって HF − i λi Hgi と定義される行列の、S の a での接平面（n − k 次元「平面」）への制限で与えられ
る。すなわち接平面上の微小ベクトル h でもって S の点を指定する時
∑
)
1 t(
h HF −
λi Hgi h
2
i=1
k
δF =
16
1. 解析簡単まとめ
が成立する。ここに λi は解 a に対応するラグランジュ乗数、すなわち ∇[F −
∑
i
λi gi ](a) = 0 を満たす定
数である。従って z1 ∼ zn−k が ∇gi 達に直交するようにデカルト座標系 z1 ∼ zn を任意に選べばこの変数
による F(x(z))（作り方より元の x から z への変換は直交行列で行われる）、etc. に対して h = z とでき
∑
るので、変数 z を用いて計算したヘッセ行列 HF − i λi Hgi を、初めの 1 ∼ n − k 成分に制限したものが
拘束条件下のヘッセ行列となる。
上記定理は ∇gi によって定められる線形部分空間に制限された F −
∑
i
λi gi のヘッセ行列の固有値からそ
の停留点の性格が求まることを主張している。現実の束縛曲面（制限多様体）gi = ci を正確に解くこと
は多くの場合不可能であるが、∇gi 、i = 1 ∼ k に直交する空間の座標を求めるのは原理的に可能、という
意味でこの定理は実効的であるが、しかし全変数 x に対する条件にはなっていず、∇gi 、i = 1 ∼ k に直
交する座標関数を設定して後に計算可能な定式化になっている点で不満がある。そうでない定式化に縁
付きヘッセ行列（bordered Hesse matrix）というのがあるそうで、興味ある人はネットで検索するか、経
済数学関係の本を参照して欲しい。
（ネットで検索したところ、経済学の先生の書いたらしき文書中で他
分野の教科書にはこれ（縁付きヘッシアンによる極小、極大判定法）が全然出てこない、と不満が述べ
られていた。筆者（物理学）も自分の関係する分野の本で見た事は無かったのだが、上記定理を思いつ
いて証明してからネットで検索して知った。縁付きヘッセ行列による判定法は、定理 1.13 によって部分
空間上定義された 2 次形式の性格を全空間を表す変数から判定する、という問題に変換されるので、後
は線形代数の問題になるそうである）
2
多変数解析の基礎の補遺 – 関数空間と逆関数定理の証明及び
微分方程式の解の存在と一意性定理の証明
以下、標題の 2 つの定理をかなりの厳密さの程度で示す。用いられる道具立てが重複するので、ここ
で一緒に示すことにする。
n 次元空間の点は a = (a1 , a2 , · · · , an ) のように n 個の数の組で表されるが、これを添字 i を「変数」と
する「関数」と見なすこともできる。すなわち i → a(i) = ai のように見なすのである。すると普通の関
数 f (x) は逆に、その「 x 番目の座標成分」が f (x) であるような、無限個の「添字」すなわち座標軸を
持った空間の点と見なす事が可能になることが理解できるだろう。ただし、通常の n 次元空間に対して
a(i) の取る値には何の制限もないのに対して関数空間の場合には、問題に応じて f (x) に制限を付けない
と、このような捉え方に有効性がでてこない。一番「粗い」制限は f (x) が連続であることを要求するも
ので、もっと限定的にするには何階かまでの微分可能性を要求したり、| f (x)| が積分可能であることを要
求したり、etc.、となる。例えば関数空間が通常のユークリッド空間同様その「長さ」をピタゴラスの定
理を用いて計算できるとするなら | f (x)|2 の様々な x に対する「和」が存在しなければならない。 x が無
限個（連続無限個）ある以上、これは x に関する積分
∫ b
| f (x)|2 dx,
f 2=
a
という形で実現される。（ f が複素数値を取ってもいいことにして、絶対値記号を使った）このような、
区間 (a, b)（閉区間でも開区間でもよいし、a, b いずれかが無限遠にあってもよい）においてその絶対値
関数 | f (x)| が二乗可積分であるような全体のなす空間を (a, b) 上のヒルベルト空間と称する。自然科学へ
の応用で一番多く出てくるのがこの、ヒルベルト空間である。実際には応用で使いたい微分方程式（大
抵偏微分方程式）の形によって適切な関数空間を選ばないといけないのだが、数学者以外は（本当はい
けない場合でも）関数空間としていつでもヒルベルト空間を想定する場合が殆どである。
（まずいことが
起きたら、その都度取り繕うのが、応用系の人間のやり方）ここでは逆関数定理の証明、及び微分方程
式の解の存在と一意性の証明に関数空間を用いるが、その場合には連続関数全体のなす空間が用いられ
る。そしてその空間での 2 点間の距離としてはユークリッド的なそれを無限次元に拡張したのとは異な
るものが用いられる。
2.1 距離空間の公理
抽象的な空間 X の 2 点間の距離 ρ(x, y) とは、X 上の 2 変数関数であることは確かである。そして距
離と言う以上、ρ が非負の実数値を取ることも明らかだろう。数学者達が色々解析した結果、「距離」と
呼ぶに相応しいものは更に以下の性質が満たされるべきであることが分った。
定義 2.1 抽象的な空間 X 上の 2 変数関数 ρ(x, y) が常に非負の実数値を取り、常に ρ(x, y) = ρ(y, x) であり
（そうでないと「 x から見た y の距離」みたいな表現をしないといけなくなる）、更に
(1) ρ(x, y) = 0 となるのは x = y の時、その時に限る。（2 点間の距離が 0 ならその 2 点は同一の点であ
り、同じ点の間の「距離」は 0 である）
(2) 三角不等式任意の 3 点に対して ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) となる。
が満たされるとき、ρ は X 上の距離関数であると言う。
– 17 –
18
2. 多変数解析の基礎の補遺 – 関数空間と逆関数定理の証明及び微分方程式の解の存在と一意性定理の証明
y
f(t)
x
h(t)
g(t)
t1
t2
t
T
図 2.1 連続関数の空間における三角不等式。ここでは変数 t に連続に依存する 2 次元空間の点 x(t) = (x(t), y(t))
のなす空間における距離 ρ( f , g)、etc. の概念を視覚的に表している。例えば点 f (t) と h(t) は t = t1 で一番
離れるので ρ( f , h) = f (t1 ) − h(t1 ) と定義されることになる
n 次元空間にも上の性質を満たす ρ が複数存在する。通常の距離 x − y =
距離
ρ1 (x, y) =
∑
√∑
i
|xi − yi |2 の他に絶対値
|xi − yi |,
i
最大値距離
ρ∞ = max |xi − yi |,
i
なども上記の距離の公理を満たす。このような距離概念は、解析学においてある点と、その点の「無限
に近い近傍」の取り扱いのために導入されるのであって、微積分学の展開に際して同じ効果を持つのな
らどれを用いてもよい。そして有限次元空間の場合上のどの距離も同じ効果を与えることが知られてい
るが、無限次元空間ではそれぞれが 別の効果を持ち得る ことが分っている。ここでは上の ρ∞ 、つまり
最大値距離に対応するものを用いよう。それは解析学で学んだであろう一様収束の概念の抽象化になっ
ているのである。
定義 2.2 n 次元空間の有界閉集合 A 上の m 変数連続関数の全体を C(A) と書く。このとき C(A) は、自然
に（無限次元）ベクトル空間となるが、その上のノルム（ベクトルの大きさのこと） f
f
∞
∞
を
= max f (x) ,
x∈A
で定義する。すなわち A の点 x を亘る際の（m 次元の）関数値 f (x) の（m 次元ベクトルとしての）大
きさ f (x) の最大値を無限次元空間 C(A) の点としての「ベクトル」 f の「大きさ」 f
∞
とするのであ
る。このような最大値の存在は f (x) が A 上の実数値連続関数であることと、有限次元の有界閉集合上
の連続関数は必ず最大、最小値を持つと言う基本的な定理から保証されている。
命題 2.1 上で定義されたノルムを用いて C(A) 上の距離を ρ( f , g) = f − g
公理を満たす。（要するに f
∞
∞
と定義すればこれは距離の
は f と「原点」の間の距離となる）
(証明) 通常のユークリッドノルム f (x) =
√∑
i=1∼m
| fi (x)|2 が距離の公理を満たすことを用いる。この事
実自体は今の証明の後で示す。さて、上の ρ が三角不等式以外の距離の性質（公理）を満たすのは明ら
かだろう。そこで三角不等式だけ示す事にしよう。定義より
ρ( f , h) = max f (x) − h(x) , ρ(h, g) = max h(x) − g(x) , ρ( f , g) = max f (x) − g(x) ,
x
x
x
であり、これら最大値を与える A の点を左から順に x1,2,3 と置こう。
（複数ある場合は任意の 1 つを選ぶ）
このとき通常の三角不等式から
ρ( f , h) = f (x1 ) − h(x1 ) ≤ f (x1 ) − g(x1 ) + g(x1 ) − h(x1 ) ,
2.1 距離空間の公理
19
x1
xn
xn+1
x2
x3
x∞
図 2.2 コーシー列の概念。だんだん xn は一点 x∞ に肉薄していく。このような列を厳密に特徴付けるの
がコーシー列である
であり、ρ の定義 ( f (x) − g(x) の取り得る最大値) より f (x1 ) − g(x1 ) ≤
f (x2 ) − g(x2 ) = ρ( f , g)、
g(x1 ) − h(x1 ) ≤ g(x3 ) − h(x3 ) = ρ(g, h) となって確かに
ρ( f , h) = f (x1 ) − h(x1 ) ≤ f (x1 ) − g(x1 ) + g(x1 ) − h(x1 ) ≤ ρ( f , g) + ρ(g, h),
が示せた。
さて、n 次元ユークリッド空間上の普通の二乗ノルムが三角不等式などを満たすことを一応示しておく。
まずは有名な不等式から。
命題 2.2 （コーシーシュワルツの不等式）2 つの n 次元ベクトル a、 b に対して
(a · b) ≤ a b ,
(2.1)
が成り立つ。これは複素ベクトルのユニタリ内積
∑
a·b=
a∗i bi ,
i
∗
に対しても成立する。（複素数 z の複素共役を z と書いた。以下も同様とする）
(証明) ユニタリ内積においては常に a2 =
∑
i
|ai |2 は非負の実数だから w = t + iu、ここに t と u は実数、
に対して
a − wb
2
= a
2
− 2Re (t + iu)(a · b) + (t2 + u2 ) b
2
= a
2
(
)
− 2 tRe (a · b) − uIm (a · b) + (t2 + u2 ) b
2
≥0
となる。（ここに Re z は z の実部、Im z は虚部を意味するものとする。以下でも同様とする）この左辺
を , u に関して平方完成すれば
(
) (
)
Re (a · b) 2 + Im (a · b) 2
2
a −
≥0→ a
b2
2
b
2
≥ (a · b)
2
を得、この平方根が示したかった不等式に他ならない。なおこれが等式になるのは a = wb なる（複素
数）w がある時、つまり a と b が「平行」になる時、その時に限ることもすぐに初めの式から分かる。
次に三角不等式 ρ(a, b) ≤ ρ(a, c) + ρ(c, b すなわち a − b ≤ a − c + c − b だが、2 点間の距離は平行移
動で変わらないから初めから c = 0 としてもよい。すなわち a + b ≤ a + b を示せばよい。これは
たった今示したコーシー・シュワルツの不等式 (2.1) から
a+b
2
= a
2
+ b
2
+ 2Re (a · b) ≤ a
2
+ b
2
+ 2 (a · b) ≤ a
2
+ b
2
+ 2 a b = ( a + b )2
と、証明される。
次にわざわざ面倒な定式化をすることによる最大の利点について述べる。連続関数のなす無限次元の
関数空間には距離が定義され、その距離による収束を扱うことができるようになる。そしてそれは一様
収束と同じものに他ならない。関数の収束性を幾何学的な言葉で置き換えることによって直感が働きや
すくなるのである。
20
2. 多変数解析の基礎の補遺 – 関数空間と逆関数定理の証明及び微分方程式の解の存在と一意性定理の証明
x1
x2
x∞
xn
xn+1
図 2.3 縮小写像においてはどんどん 2 点間の距離が縮まっていく。特に同じ点に対して写像を繰り返して
いけば、相続く点の距離は ρ(xn+1 , xn ) < Kρ(xn , xn−1 ) と、等比数列的に縮まっていく
定理 2.1 無限次元空間 C(A) は完備である。ここで距離空間 X が完備とは任意コーシー列 xn 、すなわち
どんなに小さな
> 0 を取ってきても、それに応じて適当な番号 N を取ってきて、n, m > N でありさ
えすれば必ず ρ(xn , xm ) <
とできるような任意の点列 xn が極限値 x∞ = lim xn 、つまり ρ(xn , x∞ ) → 0 と
なるような X の点 x∞ を持つことを言う
空間が完備、とは、大雑把には任意の ρ(xn , xn+1 ) → 0 となる、つまりどんどん「間隔が詰まっていく」
∑
点列が収束先を持つ、と考えてよい。（ xn = nk=1 (1/k) ≈ ln n のような場合、|xn − xn+1 | → 0 となるにも
関わらず xn → ∞ となってしまうので、このような例を除外するために上のような面倒な定義が必要に
なったのである。視覚的にはすぐ前で述べたようにどんどん間隔が詰まっていき、しかも無限遠に行か
ない点列のようなものをイメージすればよいだろう。すると空間 X が完備とは、その空間に「穴」が無
いことを意味することになる。例えば実数直線から原点 0 を除いた全体 R − {0} は 1/n という、X 外の
点 0 に収束する X 内の点列を持つので完備でなくなる）
(証明) C(A) の点列 f n (x) がコーシー列なら任意の
> 0 に対して N があって、n, m > N でありさ
えすれば f n (x) − f m (x) の A 上での最大値（その値が ρ( f n , f m ) になる）が
未満になるわけであ
る。ところがベクトルの（ユークリッド的）大きさの定義から f n の第 i 成分を fhn と書く事にして
√∑
( fni (x) − fmi (x))2 であるから、これが 未満ということは全ての | fni − fmi |(x) が 未満で
ρ( f n , f m ) =
あることを意味することになる。言い換えると全ての連続関数 fni (x) が一様収束列になる、と言う事に
なるので確かに f n → f ∞ なる連続（ベクトル値）関数が存在することになる。
2.2 縮小写像の原理
完備距離空間 X からそれ自身への写像 φ が縮小写像であるとは 1 未満の正の一定値 0 < K < 1 があっ
て、この空間内の任意の 2 点 x, y ∈ X に対して
ρ(φ(x), φ(y)) ≤ Kρ(x, y)
となることを言う。つまり写像によって 2 点間の距離が元の K 倍未満まで縮小されることを言う。定義
から分るように写像 φ をどんどん重ねて行けば行く程、点の間の距離が縮まっていくのだからついには
全ての点が 1 点に「潰れてしまう」（英語で縮小写像は contraction と言う）ことが期待される。実際に
以下が成り立つ。
定理 2.2 （縮小写像の原理） φ が完備距離空間 X 上の縮小写像ならこれは唯一の不動点 x∞ 、すなわち
x∞ = φ(x∞ ) を満たす点を持つ。（抽象空間の点なのでベクトルのような太文字は用いていない）
(証明) かねて予告した通り、逐次近似法で存在が証明される。すなわち出発点 x0 を勝手に取り、次に
x1 = φ(x0 )、 x2 = φ(x1 )、· · · と続けていく。このとき n > m > 0 に対して
ρ(xn , xm ) = ρ(φ(xn−1 ), φ(xm−1 )) ≤ Kρ(xn−1 , xm−1 ) ≤ K 2 ρ(xn−2 , xm−2 ) ≤ · · · ≤ K m ρ(xn−m , x0 )
が成り立つ。次に 3 点 xl , xl−1 , x0 に対する三角不等式から
ρ(xl , x0 ) ≤ ρ(xl , xl−1 ) + ρ(xl−1 , x0 )
(2.2)
2.3 行列のノルム
21
となり、今度は xl−1 , xl−2 , x0 に関する三角不等式を右辺第二項に適用し、· · · とやっていくと
ρ(xl , x0 ) ≤ ρ(xl , xl−1 ) + ρ(xl−1 , xl−2 ) + ρ(xl−2 , xl−3 ) + · · · + ρ(x1 , x0 ),
が得られる。そこで上の各項に (2.2) を適用すれば
ρ(xl , x0 ) ≤ (K l−1 + K l−2 + · · · + 1)ρ(x1 , x0 ) =
1 − Kl
1
ρ(x1 , x0 ) <
ρ(x1 , x0 ) < ∞,
1−K
1−K
(2.3)
となる。（ここで 0 < K < 1 を用いた）このことから M = ρ(x1 , x0 )/(1 − K) として再び (2.2) を用いると
n > m > 1 に対して
ρ(xn , xm ) ≤ K m ρ(xn−m , x0 ) < MK m ,
が得られる。ここでどんなに小さな を選んでも（0 < K < 1 だから）ある N があって K N < /M となる
ことから、m > N であれば（仮定より n も N より大きい）ρ(xn , xm ) ≤ MK m < MK N <
となり、これは
点列 {xn } がコーシー列になることを意味する。従って空間の完備性の定義より x∞ が存在して xn → x∞
と、この点列は x∞ に収束する。そしてこのとき十分大きな N に対して N より大きな n に対しては必ず
ρ(xn , x∞ ) < のようになる。すると x∞ , xn , φ(x∞ ) に三角不等式を適用して
ρ(x∞ , φ(x∞ )) ≤ ρ(x∞ , xn ) + ρ(xn , φ(x∞ )) < ρ(x∞ , xn ) + Kρ(xn−1 , x∞ ) < (1 + K)
が分るが xn → x∞ だったのだから はいくらでも小さくでき、このことから x∞ = φ(x∞ )、つまり x∞ は
写像 φ の不動点になっていることが確かめられた。
次に y が不動点である、つまり y = φ(y) だったとする。この時 x∞ も同じ性質を持つから ρ(y, x∞ ) =
ρ(φ(y), ρ(x∞ )) であるが、これに (2.2) を適用すれば ρ(y, x∞ ) ≤ Kρ(y, x∞ ) となり、K < 1 故これが成り立つ
のは ρ(y, x∞ ) = 0 つまり y = x∞ の時、その時に限る。言い換えると φ の不動点は唯一である。 Q.E.D.
逆写像定理を証明するため、この後微分方程式の解の存在と一意性定理などを証明するためには、行列
の大きさを定義しておくと便利である。そこで次節で行列のノルム（大きさ）について述べる。
2.3 行列のノルム
距離空間の話のところで述べるべきだったかも知れないが、ここに書くことにする。m 行 n 列の行列
A の大きさ A を定義しよう。いくつかの流儀があるが、ここでは二乗ノルムを用いることにしよう。
定義 2.3 行列 A のノルム（大きさ） A を
A =
m ∑
n
∑
|Ai j |2
i=1 j=1
で定義する。つまり全ての成分の絶対値の二乗の和である。これは A が複素数値行列でも意味をなすこ
とに注意。
命題 2.3 行列のノルムは（それを零行列と A の距離と見る時）距離空間の性質を満たす。
(証明) 要するに 2 行列 A, B の間の距離を ρ(A, B) = A − B で定義する時、これが距離空間の公理を満
たすことを主張しているのである。まずノルムは非負の値になるのは定義から明白。次に A = 0 なら
A = O 以外あり得ないから第一の性質（公理）も確かに満たしている。ρ(A.B) = ρ(B, A) も明らか。自明
でないのは三角不等式だけで、これは次の命題と、通常のベクトルのユークリッドノルムの性質から導
ける。
22
2. 多変数解析の基礎の補遺 – 関数空間と逆関数定理の証明及び微分方程式の解の存在と一意性定理の証明
命題 2.4 A∗ を A のエルミート転置、つまり行列の行と列を入れ換え、更に複素共役を取ってできる行列
とすると（実数行列の場合は単なる転置と思えばよい）、m 行 n 列行列を nm 次元ベクトルと見なした時
の内積が
(A, B) = Tr A∗ B,
ここに Tr A は行列のトレース（対角成分を足し合わせたもの）、によって定義できる。そしてこの時
√
(A, A) つまり A のベクトルとしての大きさは先に定義した A に等しい。なお転置すると A∗ は n 行 m
列となるので積 A∗ B は計算可能で、結果は n 次正方行列となり、そのトレースも確かに計算できる。
命題 2.5 上の定義通りに計算すると
Tr A∗ B =
n ∑
m
∑
∑
(A∗ )i j B ji =
A∗ji B ji ,
i=1 j=1
ij
と、確かに n2 次元ベクトルの内積の形になっている。ただし複素数 z の複素共役を z∗ で表した。そし
√∑
√
2
て A = B の時上は (A, A) =
i j |Ai j | と、確かに初めに定義した二乗ノルムに一致している。
このようにして、行列の二乗ノルムというのは、それを nm 次元のベクトルと見なした時の、普通のユー
クリッドノルムに他ならないことが分かったから、通常の三角不等式がそのままこの場合の対応物となる。
2.4 逆関数定理の証明
まず写像 x → y = f (x) について原点をずらしても本質に関係無いので、これが原点0を原点に移し、
そして原点の近傍で十分滑らか、とする。更に座標を線形変換しても問題ない（定理の言明は f のヤコ
ビ行列 J f が可逆なら元の f も可逆と言うこと。ここで y → z = Ay という変換を行えば、新しい z(x) に
関するヤコビ行列が AJ f になるのは明らか）ので、初めからヤコビ行列は単位行列 I の場合だけ考えよ
う。よって写像 f は原点の近傍で
f (x) = x + η(x),
ここに η は x に関する高次の微小量、と書かれることになる。
ηが小さい事を使って y = x + η(x) を逆に解くことを考えよう。すなわち y が与えられたとしてこの
関係から x を求めよう、というのである。そこで写像 φ を φ(x) = y − η(x) と定義し、これの不動点
x = φ(x) = y − η(x) が求められれば確かにこれが欲しいものになる。そして
φ(x) − φ(z) = η(x) − η(z)
であるから、 x, z が十分小さければ右辺も無視可能なくらい小さくなることが想像できるだろう。一応
厳密にやるため、さらに一つの補題を用意する。
命題 2.6 （アダマールの補題：正確には証明に登場する関係式 (2.5) の成立を主張するのがアダマールの
補題）滑らかな n 次元空間上の m 変数関数 f (x) に関して
f (x) − f (z) ≤ M x − z
(2.4)
となるような定数 M が存在する。なお M は x と z によって適当に定められる。
(証明) g(t) = f (x + t(z − x)) つまり x と z を結ぶ線分上の点の f による値を g(t) と置く。すると
∫ 1
∫ 1
dg
f (x) − f (z) = g(1) − g(0) =
dt =
(z − x) · ∇ f (x + t(z − x))dt
0 dt
0
(2.5)
2.4 逆関数定理の証明
ということになる。すると積分の三角不等式から
∫ 1
f (x) − f (z) ≤
(z − x) · ∇ f (x + t(z − x)) dt
23
(2.6)
0
となる。ここで

2
∑ ∑
 (z − x )∂ f 
i
i i j

(z − x) · ∇ f (x + t(z − x)) =
i
j
であるが、 h j = ∇ f j を n 次元ベクトルと解釈すると上は
(z − x) · ∇ f (x + t(z − x)) =
√∑
(
(z − x) · h j
)2
i
と書かれる。するとコーシー・シュワルツの不等式から
(
(z − x) · h j
)2
≤ z−x
2
hj
2
=
∑ ∂ fj
∂xi
i
2
z−x
2
となるので結局 (2.6) 式の被積分項は
(z − x) · ∇ f (x + t(z − x)) ≤
∂f
∂x
z−x ,
と評価される。ここに ∂ f /∂x は線分上の点 x + t(z − x) での f のヤコビ行列である。さて線分 x + t(z − x)、
0 ≤ t ≤ 1 は n 次元空間中の有界閉集合なので、ボルツァーノ・ワイヤシュトラスの定理によって連続関数
∂ f /∂x はこの線分上で最大値 M を持つ。すると線分上の任意の点で ∂ f /∂x ≤ M であるから確かに
∫ 1
∫ 1
∂f
(z − x) · ∇ f (x + t(z − x)) dt ≤
f (x) − f (z) ≤
z − x dt ≤ M z − x .
∂x
0
0
これを η に適用すれば
η(x) − η(x) < M x − z ,
ということになる。ここで M としては ∂η/∂x の、原点近傍における最大値より大きな値を用いればよ
い。より具体的には以下のように（少々面倒な）議論を行えばよい。
まず仮定よりヤコビ行列 ∂η/∂x は原点で零行列になる。よって 0 < K < 1 に対して原点の十分小さな
近傍 x ≤
をとればこの近傍の全ての点で ∂η/∂x は K 未満になる。そして近傍内の 2 点 x, z に対し
て（今まで述べてきた事柄を用いれば）
φ(x) − φ(z) = η(x) − η(z) < K x − z
となるので確かに φ は縮小写像になる。問題は φ を重ねて行くとこの近傍からはみ出てしまう可能性が
あることで、そうならないために更に小さな近傍 x < δ を考える。すなわち (2.3) を見れば δ/(1 − K) <
となるようにとっておけばいいように思われる。実際アダマールの補題を近傍内の点 x と 0 に適用すれ
ば η(x) = η(x) − η(0) < K x となり、そこで φ のパラメター y もこの小さい近傍 y < δ 内にとると
（三角不等式を用いて）
φ(x) = y − η ≤ y + η|| ≤ δ + Kδ,
φ2 (x) = y − η(y − η(x)) ≤ y + η(x))
≤ δ + K( y + η ) ≤ (1 + K + K 2 )δ,
φ3 (x) ≤ y − η(y − η(y − η(x))))
≤ y + K y − η(x))) ≤ (1 + K + K 2 + K 3 )δ, · · · ,
すなわち
δ
< ,
1−K
となって確かに φ を何回 x に作用させても φ が縮小性を持つ範囲の外に出ることはない。従って y < δ
φn (x) ≤
となる任意の y に対して x = φ(x) は解を持ち、逆関数定理が証明された。
2. 多変数解析の基礎の補遺 – 関数空間と逆関数定理の証明及び微分方程式の解の存在と一意性定理の証明
24
注意 2.1 非常に小さな範囲でのみ逆関数定理を証明したが、2 つの重なる範囲 U, V それぞれで逆関数定理
が成り立つなら、U ∪ V という、2 つを合わせた範囲でも逆関数が存在することになるので、だんだん範
囲を大きくしていける。なお、その場合一般には逆関数は多価、つまり狭い範囲では確かに 1 対 1 だが、
ある程度大きな範囲では 1 対多になってしまう可能性は除外できない。（例：2 次元の点 (x, y) を複素数
z = x + iy で表示するなら、原点を除いたすべての点で z → z2 = x2 − y2 + 2ixy つまり (x, y) → (x2 − y2 , 2xy)
√
は 2 対 1 となる。ただ z = a において a の 2 つの可能性のうち 1 つを採用すると a の十分小さな近傍
√
U で z は一意に決まる）
2.5 微分方程式の解の存在と一意性
微分方程式自体はこの後の章で述べるが、ここで基本的な定理、つまり解の存在と一意性だけ示して
おく。正規形（定義 3.3）の微分方程式
y (x) = F(y, x),
を初期条件 y(0) = y0 の下に解きたい。そこで上式の両辺を 0 ∼ x の範囲で積分することによってこれと
同値な積分方程式
∫
x
y(x) = y(0) +
F(y(u), u)du
(2.7)
0
に書き換え、この方程式の解の存在と一意性を示すことにする。
定理 2.3
y (x) = F(y, x),
に関して F が y、x に関して連続かつ y に対しては 微分可能 とする。するとこの方程式の初期条件 y(0)
に対応する解が x = 0 の近傍に対して存在し、一意である。
解の存在と一意性はもっと弱い条件でも成り立つのだが、その分証明が難しくなる。そこでここでは F
の y に関する微分可能性を入れることにする。また解の爆発現象のことを考えれば、解の存在は、x = 0
の近傍においてでしか、保証できないのは明らかだろう。では証明にとりかかる。それは同値な積分方
程式 (2.7) が |x| が十分小さい時の性質を用いることによって示される。
補題 2.1 関数空間の写像
∫
x
Φ : y(x) → Y(x) = y(0) +
F(y(u), u)du,
0
は |x| が十分小さいなら、関数空間の点 y(0)（定数関数である）の十分小さい近傍において縮小写像に
なる。
(証明) 今 |x| ≤ とする。（ はこの後で決める）定義より
∫ x
(
)
F(y(u), u) − F(z(u), u) du
Φ(y) − Φ(z) = max
|x|≤
0
であり、積分の三角不等式とアダマールの補題 (2.4) から
∫ x
∫
Φ(y) − Φ(z) ≤ max
F(y(u), u) − F(z(u), u) du ≤ max
|x|≤
|x|≤
0
x
M(u) y(u) − z(u) du
0
ここに M(u) は F の y によるヤコビ行列の大きさの、y(u) と z(u) を結ぶ線分上での最大値にしてよい。そ
こで今 y などとして C([− , ]) 上の点 y(0) から距離 δ 以内のもののみ考えることにすると y(x) − y(0) の
u を（± の範囲で動かしたときの）最大値は δ を越えないことになる。また ∂F/∂y(y(x), x) の、|x| ≤
かつ y − y0 ≤ δ の範囲における最大値（|x| ≤
かつ y − y0 ≤ δ は n + 1 次元空間の有界閉集合なので
ボルツァーノワイヤシュトラスから最大値を持つ）を M0 として
Φ(y) − Φ(z) ≤ 2M0 δ ,
2.5 微分方程式の解の存在と一意性
25
が成り立つことになる。
（三角不等式から y(u) − z(u) ≤ y − y(0) + y(0) − z ≤ 2δ となることを用いた）
そこで δ, を十分小さくとって K = 2M0 δ < 1 となるようにし、更に δ を δ /(1 − K) < δ となるように
すれば逆関数定理の証明同様 Φ は縮小写像と見なせ、従って不動点（関数空間の点なので、解は x の関
数である） y∞ (x) が唯一存在する。それは
∫
y∞ (x) = y(0) +
0
x
F(y∞ (u), u)du,
を満たすのだから、確かに微分方程式の解である。また縮小写像の唯一性から解の唯一性も言えた
2.5.1
微分方程式の解のパラメター依存性
厳密証明はかなり面倒なのでおおよその説明にとどめる。目標は以下の定理となる。
定理 2.4 方程式
y = F(y, x, a)
において F がパラメター a に滑らかに依存するとする。このとき初期条件 y(0) = b(a) も滑らかに a に
依存するなら解 y(x, a) は a に関して滑らかになる。
(証明) y = F(y, x, a) において必要ならパラメターを取り直して a = 0 で F が a に関して微分可能とす
る。そこで y(x, a) と y(x, 0) の差が満たす微分方程式を書き下せば
(
)
y(x, a) − y(x, 0) = F(y(x, a), a) − F(y(x, 0), 0),
ということになる。ここで a に対してアダマールの補題 (2.5) を適用すれば（ ya = y(x, a) などとして）
∫ 1[
]
(
)
(ya − y0 ) · ∇ F(y0 + t(ya − y0 , ta) dt
F(y(x, a), a) − F(y(x, 0), 0) =
0
∫
+a
1
∂a F(y0 + t(ya − y0 ), ta)dt
0
ということになる。今我々が示したいのはパラメターに関する微分可能性であって、解の存在等は既に
確立しているのだから、そのような事実は自由に用いることにする。すなわち
∫ 1
∫ 1[
]
H(x, a) =
∇F(y0 + t(ya − y0 ), ta) dt, h(x, a) =
∂a F(y0 + t(ya − y0 ), ta)dt,
0
0
ここに H は
∫
Hi j =
1
[
]
∂ j Fi (y0 + t(ya − y0 ), ta) dt
0
を満たす行列、において H 、h を既知関数として扱えば、δya (x) = y(x, a) − y(x, 0) の満たす微分方程式と
して
δya (x) = H(x, a)δya + ah(x, a), δy(0, a) = b(a) − b(0),
が得られ、この両辺を a で割り、また z(x, a) = δya (x)/a と書けば
z (x, a) = H(x, a)z(x, a) + h(x, a), z(0, a) =
b(a) − b(0)
,
a
(2.8)
となる。今 我々が示したい事 は y(x, a) が a で微分可能なこと、つまり δa/a が a → 0 で極限を持つこ
とであって、実際にその解を求めることではないことに注意して欲しい。H と h は解 ya が得ることと
z(x, a) を得ることは解を求める、という意味では全く同等のこと（a
0 の時）であるが、ya の持つ a へ
の依存の仕方をはっきりさせるため、形式的に z(x, a) = aδya の満たす方程式を 既知の関数 ya（解の存在
と一意性定理により ya の存在と一意性は保証されている）を用いて作ったのである。
26
2. 多変数解析の基礎の補遺 – 関数空間と逆関数定理の証明及び微分方程式の解の存在と一意性定理の証明
さて、厳密証明はこれからまだあと一山あるのだが、直感的にはこれで大体証明は完了といっていい
だろう。(2.8) 式で a → 0 とすれば b(a) が a に滑らかに依存する、という仮定より z(x, a) → z0 (x)、ここ
に z0 (x) は
z0 (x) = H(x, 0)z0 (x) + h(x, 0), z0 (0) = b (0),
(2.9)
の解、となるだろうからである。ここで出て来た方程式 (2.9) を元の方程式の変分方程式と呼ぶ。
例題 2.1 つまらない例であるが
y = (1 + a)(1 + y2 ), y(0) = a,
を考えよう。これは変数分離により簡単に y = tan[(1 + a)x + α]、ここに tan α = a、と解ける。厳密証明
へ接続可能な説明を行うため、アダマールの補題を用いた変分方程式の導入を行ったが、上で述べた事
を辿っていけば、変分方程式というのは元の方程式をパラメターで微分するだけでよいことが分るだろ
う。実際それを実行すると
[
]
z (x) = ∂a (1 + a)(1 + y2a ) = (1 + y20 ) + 2y0 ∂a ya = (1 + y21 ) + 2y0 z = (1 + tan2 [x]) + 2 tan[x]z(x),
ということになる。（∂a y = z である）この変分方程式は非斉次項を無視すると
[∫
]
[
(
)]
z0 (x) = D exp
2 tan[x]dx D exp − 2 ln cos[x] = D cos−2 x
となるので定数変化法より
D (x) =
cos2 x
= 1 → D = x + C → z(x) = (1 + tan2 x)(x + 1)
cos2 x
となる。上で C = 1 としたのは今回 y の初期条件が a = tan α によって与えられていたので a ∼ 0 では α ∼ a
よって ya (0) = tan α ∼ a すなわち z(0) = dya (0)/da = 1 となるからである。そして ya (x) = tan[(1 + a)x + α]
(
)
を a で微分してみれば (∂y/∂a)a=0 = ∂a tan[(1 + a)x + a] a=0 = (1 + x) tan [x] = (1 + x)(1 + tan2 [x]) と、確
かに z と一致する。
3
常微分方程式
3.1 微分方程式の導入
未知関数 y に対する様々な階数の導関数 y(n) と y の間の関係式から y の格好を決定する、というの
が微分方程式と呼ばれるものである。微分方程式は独立変数が 1 個か複数かで常微分方程式（ordinary
differential equation, ODE) と偏微分方程式（partial differential equation PDE）に大別される。この 2
種類の性格はかなり異なっていて、偏微分方程式はそれだけで大きな一分野をなしている。物理学など
への応用の場合、偏微分方程式ならではの特殊性がフルに出てくる場合（古典力学、古典電磁気学の応
用の多い）と、空間変数 (x, y, z) の偏微分方程式の一部のもののように、常微分方程式に帰着して扱えば
それで済んでしまう（あるいはフーリエ変換し、境界条件という偏微分方程式特有のものを深く考えな
いで済む）場合（量子物理学、量子化学の応用に多い）両方の場合があることを注意しておく。なおこ
こでは常微分方程式のみを扱う。
定義 3.1 変数 x を持つ n 値関数 y(x)（つまり形式的に n 次元ベクトルを値に取ると見なせる関数）が
F(y, y , y (x), · · · , y(m) , x) = 0,
ここに F は l 値関数、と言う格好に書かれるとき、これを y に関する m階（常）微分方程式と称する。
ここで F が x にあらわに依存しない時、つまり F の x 依存性が y(k) (x) を通じてのみなされる（要する
に ∂ x F = 0、あるいは F が x の式になっていない 時）なら、この方程式を自励方程式と呼ぶ。逆にもし
F が x にあらわに依存するならそれを非自励方程式と呼ぶ。
上の形の方程式がもっとも一般的だが、y2 + 2b(x)y + c(x) = 0 のような陰的な関係式の場合 y = −b(x) ±
√
b2 (x) + c(x) のように分枝が生じて取り扱いが面倒になる。そこで
定義 3.2 m 階方程式があらわに与えられているとは、それが最高階数の導関数 y(m) に対するあらわな式
y(m) = F(y, y, · · · , y(m−1) , x),
(3.1)
になっていることを言う。
と定義し、今後はこのようなものだけを考えることとしよう。更にあらゆるあらわな高階方程式は以下
の正規形に直すこともできる。
定義 3.3 あらわな 1 階微分方程式
y = F(y, x)
を正規形の方程式と呼ぶ。
あらわな m 階方程式 (3.1) は必ず正規形に直せる。新しい変数 u1 ∼ um−1 を導入してそれらが
u1 = y , u2 = u1 , · · · , um−1 = um−2
を満たすとすれば元の方程式は




d 

dx 



 

u1
y  

 





u2
u1  

 

..
..  = 

.
.  

 

F(y, u1 , · · · , um−1 , x)
um−1
– 27 –
(3.2)
28
3. 常微分方程式
と書き換えられ、これは確かに正規形である。
例題 3.1 保存力 F(x) = −∇U(x) と速度に比例する摩擦力 f = −η がかかっている質点の運動方程式は
m x¨ = −∇U(x) − η x˙
となるが、ここで速度を表す変数 を新しい変数と見なせば運動方程式は
 



 x˙ 

  = − 1 
 ,
˙

m ∇U(x) + η 
と、正規形の形に直すことができる。
それでは以下で微分方程式の基礎的事項について述べていく。
3.2 基本的性質
まずは 1 変数の方程式
y ((x) = F(y, x),
(3.3)
について考えよう。 xy 平面においてこの解をグラフ y = y(x) で表すことを考えると、(3.3) 式は各点
(x, y(x)) における解曲線の接線の傾きが f (y(x), x) に他ならないことを主張している。従って xy 平面にお
いて各点 (x, y) に短い、傾き f (y, x) の線分をまぶしたものを作る（「接線場」を作る）と、解曲線はどの
点においても接線場に接する曲線として特徴づけられることになる。（図 3.1 参照）このように、1 階方
4
2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-2
-4
図 3.1 微分方程式の解曲線 y = y(x) は各点で傾き f (y, x) の接線場に接することによって特徴づけられる
程式において、微分方程式の解 y(x) は、それが x = a においてどのような値 y(a) = b を取るか、で決ま
る。そもそも微分方程式は形式的に積分すれば
∫
y(x) = y(0) +
x
F(y(u), u)du,
0
となる。（実際には F が未知関数 y に依存する場合が多いので、上の積分は方程式の解法そのものを与
えるわけではない）つまり n 変数の 1 階微分方程式の解には積分によって n 個の任意定数が生じること
になる。よって解を 1 つに定めるにはこの任意定数を決める条件が必要である。それがたった今述べた、
x = a における関数値 y(a) = b であって、これを微分方程式の初期条件と称する。m 階方程式なら m 回
3.2 基本的性質
29
の積分が必要だから任意定数は nm 個でてくることとなり、それらは y(a), y (a), · · · , y(m−1) (a) と、一般に
は特定の x の値 x = a における k 階微係数（k = 0 ∼ m − 1、ここで 0 階微分とは関数値そのもののこと
とする）の値を初期値として特定すれば解は一意に決定する。（適当な F に関する条件の下で）このこ
とは正規形 (3.1) を見ることでも理解できるだろう。
ただし、解の一意性を保証するには F に対して何らかの条件をつけることが必要となる。例えば円柱
状のコップに入った完全流体が底に開いた穴を通して流出する時の、コップに入った流体の深さ H の満
√
たす方程式は（トリチェリの定理より*1 ）H˙ = −α H という形になるが、この解は有限時間内で流体が
全て流出する、つまり H = 0 となる。そしてそれ以降は H = 0 のまま、ということになり、逆に言えば
ある時刻 t0 以降 H ≡ 0 である解が、いつ H = 0 になったかは、答えられないことになる。これは初期条
√
件 H(t0 ) = 0 を満たす解が無限にあることを意味する。（図 3.2 には H = −α |H| の接線場と解曲線を描
√
いてある。 |H| とした結果 H < 0 にも解が延長でき、図の場合上半面の左側のグラフは y 軸を越えて
下半面の 2 つのグラフどちらに接続したものも微分方程式の解となり得る。もちろん H = 0 となって以
降は恒等的に 0 となるのも解である）それではどのような場合に、初期条件を与えた場合の解の一意性
4
2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-2
-4
図 3.2 微分方程式の解の一意性が成り立たない場合
が成り立つか、というとその一つの判定条件が F の y による微分可能性である。この例の場合
√
Hは
H = 0 で無限大の微係数を持つ、すなわち微分不能になっているのが、値 H = 0 を取るところで解が一
意でなくなる原因を産んでいる。なお、 F(y, x) が y に関して「折れて」いる場合は一意性が成りたつこ
とも知られている。微係数が無限大に発散するのがいけないのである。
定理 3.1 （解の存在と一意性定理）方程式
y = F(y, x)
に対して F が各変数に対して滑らかに依存するなら適当な範囲 |x − a| <
に対して微分方程式の初期条
件 y(a) = b を満たす解が一意に存在する。
ここでは上の定理の証明を逆関数定理の証明の次の節に載せておく。
*1
非圧縮性完全流体で、流れが定常という過程の下で、さらに水面の動きは底から出て行く水流より緩やかだからこれを無視す
√
れば、水流の速さは = 2 H で与えられる。これがトリチェリの定理である。その証明はベルヌーイの定理より与えられ
る。適当に自分で調べて欲しい。この時コップの断面積を S 、穴のそれを s とすると微小時間 δt の間に流出する流体体積は
√
√
√
δV = sδt 故、高さの減少量は δH = − sδt/S よって H の時間変化率は H˙ = −(s/S ) = −(s/S ) 2 H = −α H 、α = (s/S ) 2
となる。
3. 常微分方程式
30
さて話を続けよう。既に述べたように、微分方程式は少なくとも形式的には積分することにより解を
求めることができ、その結果 n 変数 m 階方程式なら nm 個の任意定数が生じることになる。そしてこれ
ら任意定数は初期条件 y(a) = b0 , y (a) = b1 , · · · , y(m−1) (a) = bm−1 によって定められるのであった。すな
わち任意定数 C = (C01 , C02 , · · · , C0n , · · · , Cm−11 , · · · , Cm−1n ) をパラメターとして持つ解 y(x, C) は全ての初
期条件に対応出来る能力を持つことになる。一般に n 変数 m 階方程式の解で nm 個の独立なパラメター
D を持つ解 y(x, D) も同じ性質を持ち、このような解を方程式の一般解であると称する。これに対して
パラメターを含まない解、あるいは含んでも方程式の自由度（任意定数の数のこと）より少ないものを
特解（特殊解）と呼ぶ。
注意 3.1 y(x, D) において D が互いに独立である、とは y(x, D) が x の関数として D を動かすとき独立に
なることを言う。では nm 個のパラメターを持つ n 値関数が互いに独立、とはどう定式化すべきだろう
か？素直に考えれば y(x, D), y (x, D), · · · , y(m−1) (x, D) が D の関数として独立、すなわち各 x を固定した
時 nm 次元から nm 次元への写像
Φ : D → (y(x, D), y (x, D), · · · , y(m−1) (x, D)),
のヤコビ行列が可逆とすべきだろう。この時逆関数定理より、確かに x = a において局所的には与えら
れた (b0 , b1 , · · · , bm−1 ) に対応する D、つまり y(l) (a, D) = bl となる D を見つけることができる。
ごちゃごちゃと書いたが、要は直感的に見て明らかに D を動かすと別の関数が nm 個でてくる、そん
なパラメターを持った解 y(x, D) が見つかれば、それが微分方程式の 全ての解を再現できる ものとなる、
と考えてよい。（特定の x の値 x = a の近傍での話）
注意 3.2 x = a での解 y(x) があらゆる実数 x に対して定義できるとは限らない。y = 1 + y2 の解が
y = tan[x + D] であることはすぐに分かるが、 x = 0 における初期値 y(0) = C に対応する解としては
|D| < π/2 だけしかあり得ない。例えば tan[x − π] は定義域が (π/2, 3π/2) であり、解曲線が y 軸つまり
x = 0 を横切ることはあり得ない。この意味で、 x = a におけるあらゆる初期値に対する解曲線の集合は
あくまで、 x = a の近傍で xy 面を埋め尽くすだけとなる。このように x = a を発した解曲線が、有限の
x = b > a（あるいは x = c < a、あるいは双方）に対して無限大になってしまってそれ以降の x に対して
解が定義出来なくなってしまう現象を解の爆発と呼ぶ。
3.3 簡単な微分方程式とその解法（1 階方程式）
3.3.1
変数分離法
1 変数関数 y に関して
y = f (x)g(y)
の形に書かれるものを変数分離形方程式と呼ぶ。これは右辺の g(y) を移項して両辺を x で積分すること
によって（置換積分法を左辺に適用して）解ける。
y =
1 dy
dy
= f (x)g(y) →
= f (x) →
dx
g(y) dx
∫
1 dy
dx =
g(y) dx
∫
dy
=
g(y)
∫
f (x)dx.
ここで f 、1/g の原始関数を F(x)、G(y) とすれば
G(y) = F(x) + C → y = G−1 (F(x) + C)
ということになる。ここに C は積分の任意定数である。左右両方から任意定数が出るように思うかも知
れないが、これは移項して右辺に 1 つにしてまとめてしまえばよい。（一般論から 1 変数 1 階方程式は
（独立な）任意定数を 1 個含むだけである）なお解法を覚えるのには、わざわざ上のようにはせず
∫
∫
dy
dy
dy
= f (x)g(y) →
= f (x)dx →
=
f (x)dx
dx
g(y)
g(y)
3.3 簡単な微分方程式とその解法（1 階方程式）
31
とするのがよい。つまりうまく式変形して微分記号 dx, dy を含めた上で左辺が y だけ、右辺が x だけの
形に整理できたなら、後は両辺に積分記号をつけるだけでよい。
例題 3.2 以下で a, b, c, · · · は定数として
dy
= adx → ln |y| = ax + C → y = Deax , ここに D = ±eC とした．
y
∫
∫
dy
dy
x2
2
= −xdx →
= ln |y| = − xdx = − + C → y = De−x /2 ,
y = −xy →
y
y
2
∫
∫
dy
dy
y = 1 + y2 →
=
dx
→
=
arctan
y
=
dx = x + C → y = tan(x + C).
1 + y2
1 + y2
y = ay →
3.3.2
同次形
f (ax, ay) = f (x, y) を満たすような f に対する
y = f (x, y)
を同次形方程式と言う。ここで u = y/x とすると f (x, y) の値は u だけで決まることになる。何故なら与
えられた u に対応する 1 つの x, y に対して別の x , y もまた u = y /x と、同じ u に対応するなら x = ax
つまり a = x /x として y = ay となるので f (x , y ) = f (ax, ay) = f (x, y) となるからである。従って対応
u → f (x, y)（ここに x, y は u = y/x を満たす任意の実数の組）は一意に決まり、それを f (u) と書く事に
すれば
(y)
y
f (u) u
y
f (u) − u
= − 2 =
− =
x
x
x
x
x
x
と、新しい変数 u に対する変数分離形の方程式が得られる。
u =
例題 3.3
dy −2y − x
1
=
= −2 − .
dx
y
u
これは臨界減衰の方程式 x˙ = y, y˙ = −2y − x の時間変数を消去して速度 y を位置 x の関数とした時の方程
式である。見て分るように分母分子とも x, y の同次 1 次式であり、よって同次形となっている。（同次 n
次式の各変数を a 倍すれば全体の an になる。よって分母分子が同じ次数の同次式なら各変数を a 倍して
も変化が無い）勿論、上のようにすぐに u だけの式に変形できる。さて一般論より
( 1
)
du
1(
1
1 u2 + 2u + +1
udu
1 )
dx
=− 2+ +u =−
→
=
−
du = −
dx
x
u
x
u
1 + u (1 + u)2
x
(1 + u)2
1
x
→ ln |1 + u| +
= − ln |x| + C → ln |x + y| +
=C
1+u
x+y
と解が陰的に求められる。
3.3.3
線形方程式：定数変化法
未知変数 y とその導関数 y の 1 次式になっている方程式を線形方程式と言う。つまり
y = f (x)y + g(x)
という形のものである。ここで g(x)、つまり y に関して定数項となっている部分を非同次（非斉次）項、
y, y の入った項を同次（斉次）項と呼ぶ。斉次方程式は変数分離型なのでただちに
(∫
)
y = D exp
f (x)dx
3. 常微分方程式
32
と、解くことができる。次に非斉次項の存在する方程式だが、これは上の任意定数 D が実は xに依存し
ていたと仮定して、非斉次方程式に代入することによって解ける。すなわち
(
(
(∫
)
(∫
))
(∫
)
(∫
))
(∫
)
D(x) exp
f (x)dx = D exp
f (x)dx + D exp
f (x)dx = D exp
f (x)dx + D
f (x)dx
(∫
)
(∫
)
(∫
))
(∫
)
(
× exp
f (x)dx = D exp
f (x)dx + f (x) D exp
f (x)dx = D exp
f (x)dx + f (x)y
となるので、これが f (x)y(x) + g(x) に等しいためには
( ∫
)
D (x) = g(x) exp −
f (x)dx
であればいいことになる。後はこれを積分して
(∫
)
∫
( ∫
)
( ∫
)
(∫
)
D(x) =
g(x) exp −
f (x)dx dx + C → y =
g(x) exp −
f (x)dx dx + C exp
f (x)dx
が解になる。ここで不定積分記号を用いたが、このままだと誤解の恐れがあるので、ここで初期条件
y(a) = B に対する解をはっきりとした形に書いておこう。そこでまず
)
(∫ x
y = D(x) exp
f (s)ds
a
とすると
( ∫
D (t) = g(t) exp −
)
t
f (s)ds
a
であり、これを t = a ∼ x で積分すれば
∫
D(x) =
x
( ∫
g(t) exp −
a
t
)
f (s)ds dt + C,
a
従って
(∫
y(x) =
(∫
x
a
g(t) exp
a
t
)
)
(∫
f (s)ds dt + B exp
x
) ∫
f (s)ds =
a
(∫
x
g(t) exp
a
x
)
(∫
f (s)ds dt + B exp
t
x
)
f (s)ds ,
a
が得られた。
例題 3.4
y = −3y − sin 2x → y = D(x)e−3x → D = −e3x sin 2x
∫
(3 sin 2x − 2 cos 2x) 3x
3 sin 2x − 2 cos 2x
→ D = − e3x sin 2xdx =
e + C → y = Ce−3x +
.
13
13
3.3.4
その他の方法
多くの教科書に載っているので、私自身はそれを用いる破目になったことはない 2 つの手法について
述べておく。
a. ベルヌーイの方法
これは y = f (x)y + g(x)ya の形のものである。ここで y = zb と新しい変数 z を導入すると
y = bzb−1 z = f zb + gzab → z =
1
1
f (x)z + g(x)zab+1−b
b
b
となり、よってもし ab − b + 1 = (a − 1)b + 1 = 0 すなわち b = −1/(a − 1) = 1/(1 − a) なら z に関する方程
式は
z = (1 − a) f (x)z + (1 − a)g(x)
3.3 簡単な微分方程式とその解法（1 階方程式）
33
という、非同次線形形になる。よってこれを解けば最終的に y に関しても解けた事になる。
例題 3.5 y = −2xy(1 + y) = −2xy − 2xy2 は y = za とすると y = aza−1 z = −2xza − 2xz2a となるので
1 − a + 2a = 0 つまり a = −1 すなわち y = 1/z と置けば
−
z
2x 2x
= − − 2 → z = 2xz + 2x
z
z2
z
2
となる。よって z = D(x)e x とおけば
D = 2xe−x → D = −e−x + C → z = Ce x − 1 → y =
2
b.
2
2
1
.
Ce x2 − 1
完全積分の方法
2 変数関数 H(x, y) の全微分は
df =
∂H
∂H
dx +
dy
∂x
∂y
2
-4
-2
0
2
4
-2
図 3.3 解曲線の束を「等高線」とみなすこと。この場合原点を含んだ領域で解曲線を等高線と見なすこと
はできないが、原点以外の任意の場所を中心とする狭い範囲では常に解曲線の束を「等高線」と見なす事が
できるのは明らかである
と計算される。これは微小変位 x → x + dx に伴う関数値の微小変化 dH = H(x + dx) − H(x) を与える
ものであり、よって特に H の「等高線」 f = C すなわち H の値が C で一定になるような点の作る曲線
上では dH = 0 となる。すなわち等高線は
dH = 0 →
dy
(∂H/∂x)
=−
dx
(∂H/∂y)
という方程式を満たしている。これを逆転して y = f (x, y) の f が上のような形に書けるならば、つまり
(
)
適当な H(x, y) が存在して f (x, y) = − (∂H/∂x)/(∂H/∂y) と書けるなら、この微分方程式の解は H = C の
形に得られることになる。特に初めから f (x, y) が分数の形をしていて、つまり方程式が初めからあから
さまに
dy
f (x, y)
=−
→ f (x, y)dx + g(x, y)dy = 0,
dx
g(x, y)
という形をしているなら、このような H を求められないのか？という疑問が生じるだろう。さて、1 変
数値関数 y(x) の 1 階方程式が接線場の解曲線として得られる、という幾何学的描像を思い出し、また解
34
3. 常微分方程式
曲線の束が 2 次元平面を埋め尽くすありさまを見てみれば（図 3.1 参照）、どのような方程式に対しても
解曲線の束を等高線のように見なすことのできる H が局所的には存在する（図 3.3 参照）のは明らかだ
ろう。
（勿論 y = − f /g の右辺が x, y に関し微分可能な範囲で）そして元の方程式 f (x, y)dx + g(x, y)dy = 0
の両辺に任意の関数 h(x, y) をかけても同値な方程式になる、すなわち同じ曲線族を解にもつのは明らか
なので、これらを等高線とする関数 H を作ったなら
dH =
∂H
∂H
dx +
dy = h(x, y)( f dx + gdy)
∂x
∂y
のような関係が成り立つことになるだろう。実際にそれは正しく、h を 1 次微分式 ω = f dx + gdy に対す
る積分因子と呼ぶ。方程式 f dx + gdy = 0 はいつでも適当な積分因子 h をかければスカラー関数 H(x, y)
の全微分 dH になるようにできることが幾何学的考察により「証明」
（絵を描いて直感的に議論しただけ
なのでかっこつきにしたが、実際に厳密に証明可能である）できたのである。以上をまとめ
命題 3.1 方程式 y = F(x, y) を適当に書き換えて f dx + gdy = 0 の形にしたとき、適当なスカラー関数 h
をこの微分式にかけると全微分式
h( f dx + gdy) =
∂H
∂H
dx +
dy = dH
∂x
∂y
が得られる。従って元の微分方程式の解はスカラー関数 H の「等高線」H = C によって与えられる。こ
の時の C が一般解の任意定数に相当する。
ということになる。実際に積分因子を求めることは難しい。そもそも積分因子の存在定理の最も簡単な
証明法というのは微分方程式の解の存在と一意性を用いる、今述べているのとは正反対方向のものなの
である。
（例えば点 a = (a, b) 近傍での積分因子の存在定理は y(a) = b + を満たす微分方程式の解 yb+ (x)
上で H = b + として、 a 近傍で 定義されたH を作って、その全微分が所与の性質を持つことによって
証明される。上で述べたのと全く正反対方向の論理である）ではどのような場合に完全積分の方法が使
えるか、というとそもそも f dx + gdy = 0 の段階でこれが全微分（完全微分ともいう。
（exact differential
form)）の場合があげられる。このときには
∫
∫
f (x, y)dx + C1 (y) =
g(x, y)dy + C2 (x) = H(x, y)
のようになることが保証されていて、この H が ω = f dx + gdy の「原始関数」となるのである。そして
f dx + gdy が既にこれだけで、積分因子無しに完全微分になっている十分条件として
∂g
∂f
=
∂y
∂x
(3.4)
が知られている。ところが偏微分の性質
∂2 H
∂2 H
=
∂y∂x ∂x∂y
より (3.4) は ω = f dx + gdy が完全微分なら当然成り立たねばならないことになるので、結局式 (3.4) は ω
が完全であるための必要十分条件であることになる。このことの証明はベクトル解析のところで紹介し
よう。（ポアンカレの補題及びその逆と呼ばれている。但し、これは 局所的に「原始関数」が存在する
ための必要十分条件であり、 xy 平面全体で存在するとは限らない）この他、簡明に積分因子が得られる
場合について、 f, g の満たすべき条件と積分因子を求めるための解法がいくつか知られているが、それ
は自分たちで調べて欲しい。
例題 3.6
を解いてみよう。これは
dy 2x(1 + y)
=
→ 2x(1 + y)dx + (x2 − 2y)dy = 0
dx
2y − x2
∂
∂ 2
(2x(1 + y)) = 2x =
(x − 2y))
∂y
∂x
3.4 線形微分方程式
35
を満たすので確かに完全微分になっている。そこで
∫
∫
2x(1 + y)dx = (1 + y)x2 + C1 (y) =
(x2 − 2y)dy = x2 y − y2 + C2 (x)
と置けば C1 (y) = −y2 、C2 (x) = x2 として等式が満たされることが分る。よって
H(x, y) = x2 − y2 + x2 y = C,
が元の方程式の解を与えることになる。
3.4 線形微分方程式
3.4.1
線形方程式の基本的性質
1 階に限らず、未知関数とのその高階導関数に関して 1 次の微分方程式
y(m) + A1 (x)y(m−1) + A2 (x)y(m−2) + · · · + Am−1 y + Am y = g(x)
(3.5)
ここに y は k 値関数とし、A1 ∼ Am は x の関数を成分とする k 次正方行列、の形の方程式を線形微分方
程式と呼ぶ。そして右辺が消える場合を斉次（同次）、右辺に 0 でない x の関数（非自明な定数も含む）
が現れる場合を非斉次（非同次）方程式と呼ぶ。理論的には、自然科学に登場する微分方程式は圧倒的
に 2 階、1 階のものが多く、たまに 4 階、3 階方程式が登場するくらいであるが、一般論ということで
m 階方程式を考察しよう。まずは線形性から直ちに分ることから始める。
定理 3.2 同次線形方程式の任意の解の組 y1 ∼ yl の任意の定数係数の 1 次結合
y = c1 y1 + c2 y2 + · · · + cl yl
もまた同じ同次方程式の解となる。
これはほぼ自明だろう。定数倍してから微分しても微分してから定数倍しても、関数を足してから微分
しても微分してから足しても同じ結果が得られる事、ベクトルを足してから行列をかけても行列をかけ
てからベクトルを足しても同じ結果が得られる事から直ちに分る。すると以下の事柄もなりたつことに
なる。
定義 3.4 mk 個の解の組 y01 , y02 , · · · , y0k , y11 , · · · ym−1k−1 , ym−1k が（同次）線形方程式 (3.5)（今は g ≡ 0 と
考えている）の x = a における 基本解である、とはこれらが
y(i)
i j (a) = e j ,
それ以外の l
i に対しては
yi(l)j (a) = 0,
ここに i = 0 ∼ m − 1、 j = 1 ∼ k、となることを言う。ここで e j は k 次元ベクトル空間の第 j 基本ベクト
ル、すなわち j 番目の成分が 1、残りは全て 0 となるベクトルである。
方程式を正規形の形に書けば





d 

dx 



 
y   0
  .
u1   ..
 
u2  = 
 
..  
.   0
 

um−1
Am
I
0
0
I
0
···
I
..
Am−1
···
.
A1


0  y 

 
..  

u
.   1 
 

  u2 

 
  .. 
  . 

 
0 um−1
(3.6)
3. 常微分方程式
36
となり、上で述べた初期条件は Y i j (a) が mk 次元の第 ki + j 基本ベクトルになることと同じになる。k 次
元ベクトルを縦に m 個並べれば mk 次元になるからである。ところで方程式の任意の初期条件 b に対応
する解 Y(a) = b は、線形方程式の基本的性質から
∑
Y(x) =
bki+ j yi j (x)
ij
と書かれることになる。右辺は確かに線形同次方程式の解であり、かつ左辺の初期値は Y(a) =
∑
ij
bki+ j eki+ j =
b となるからである。よって
定理 3.3 線形同次方程式の x = a における基本解 yi j (x) の任意定数係数の 1 次結合
∑
y(x, C) =
Ci j yi j (x)
ij
はこの方程式の一般解になる。
が得られたことになる。もっと一般化して、mk 次元の任意の基底を b1 ∼ bmk とし、正規形で書いたと
きに、これらを初期値に持つ解 Y i 、つまり Y i (a) = bi となるような Y i に対応する、普通の形に書いた解
を yi,1 と書く事にすれば mk 個の任意定数を持つ
y(x, D) =
∑
Di yi,1 (x)
i
もまた x = a 近傍での一般解となる。 b1 ∼ bmk が基底となる、という仮定より mk 次元の基本ベクトル
∑
は el = i Ali bi のように一意に書け、すると任意の初期値 c に対して
∑
y c (x) =
cl Ali yi,1 (x)
li
が対応する解になるからである。そこで文献によっては x = aにおける基本解系という用語を、方程式を
正規形で書いたとき、その点における値（初期値）が mk次元の基底になる（ mk個の独立なベクトルに
なる）ものにも用いている。このテキストでも以降はそれに倣うことにする。
3.4.2
解の存在範囲
y = 1 + y2 のような非線形方程式には爆発現象、すなわち方程式自身は全ての実数 x で意味を持つの
に、個々の解は有限範囲でしか意味をもたない（定義されない）場合があるのに対して同次線形方程式
の解は係数となる A1 ∼ Am が意味を持つ x の範囲全体で意味を持つ。
定理 3.4 （解の延長可能性） 方程式 y(m) + A1 y(m−1) + · · · + Am−1 y + Am y = 0 において A1 (x) ∼ Am (x) が
開区間 (a, b)（a = −∞ あるいは b = ∞ も含む）で定義されているとき、この方程式の任意の解も (a, b)
全体で定義可能となる。
厳密証明には純粋数学上のテクニック（定番のもの）が必要である。解がいきなり (a, b) に延長可能、
というのではなく、(a, b) に含まれる任意の有限閉区間 [c, d] に対して解が延長できることを示す。後は
c → a、d → b の極限をとれば定理が証明されたことになる。（極限をとる部分は「呪文」のようなもの
で、[c, d] における延長可能性が証明の本質的部分となる）
(証明) 今 [c, d] の各点 x0 を発する解を考えよう。これは解の存在と一意性定理 3.1（上の方程式の右辺
は y(l) の 1 次式だから確かに微分可能であり、よって定理の前提条件を満たす）から、確かにこの点を
発する解が存在する。従って x = x0 における基本解系を考えると、それらはいずれも x0 ±
0
x0 、ここに
は x0 によって決まるある正数、の範囲まで定義されているとしてよい。解の存在定理 3.1 は各解 y(x)
に対してこのような正数が存在することを主張しているが、基本解は mk 個あるので、これらに対応す
3.4 線形微分方程式
る
のうち最小のものを
と開集合 (x0 −
x0 , x0 +
x0
とおけばどの基本解も最低この x ±
x0
37
で定義可能となるからである。する
x0 ) の全体は [c, d] を覆う事になり、ハイネ・ボレルの被覆定理からこのうちの
有限個 xi 、i = 1 ∼ N を選んで、それが既に [c, d] を覆えるようにすることができる。
さて、上で xi の番号を x1 < x2 < · · · かつ (xi − i , xi + i ) と (xi+1 −
i+1 , xi+1
+
i+1 )
が重なり合うように
取る事ができる。もし重なり合う範囲の任意の点 w において xi のまわりの基本解系も、xi+1 のまわりの
基本解系も、w の周りの基本解系と見なせるなら xi 周りのそれを、 xi+1 周りのそれの 1 次結合として、
w の近傍で表すことが可能となる。ところが一旦 xi+1 周りの基本解の 1 次結合で書かれることが分かっ
たなら、その解は当然 xi+1 +
た基本解系は (x1 −
1 , xN +
i+1
未満の範囲まで定義可能となる。このようにして x1 の周りで与えられ
N ) の範囲まで延長可能で、仮定よりこれは [c, d] を含む。後は証明に用いた
次の事実が証明されれば全てが終わったことになる。
命題 3.2 線形方程式の基本解系は、それが定義されている全ての点の周りで基本解系となっている。す
なわち線形方程式の解 y1 (x) ∼ ymk (x) では、それが定義されている全ての x において互いに独立である。
(証明) y1 (x) ∼ ymk (x) が点 x = a で独立とは、方程式を正規形で書いたときの初期値が mk 次元ベクトル空間
の基底となること、言い換えると縦ベクトルを m 個縦に並べてできるベクトル (yi (a), yi (a), yi (a), · · · , y(m−1)
(a))、
i
i = 1 ∼ mk（紙面の都合上横に並べて表現した）が互いに 1 次独立な事、つまりこれら mk 個をを横に並
べてできる正方行列が可逆なこととに他ならない。そこでこの行列の行列式を W とすれば定義より


 y1
y2
···
ym 


 y1
y2
···
ym 



y2
···
ym  ,
(3.7)
W(x) = det  y1

 .
..
.. 
 ..
.
. 


 (m−1)
(m−1)
(m−1) 
y1
y2
···
ym
となり、これが消えない x = a において y1 (x) ∼ ymk (x) は基本解となるわけである。この W をロンス
キー行列式と呼ぶ（右辺の行列はロンスキー行列という）が、これが x = a で消えなければ、残りのど
の x（もちろん W(x) が定義できる範囲内で）においても消えないこを示そう。そのために上式において
W を微分してみると

 y1
y2

 y
y2
 1

y2
W (x) = det  y1
 .
..
 .
.
 .
 (m−1)
y1
y(m−1)
2

 y1
y2 · · ·

 y1
y2 · · ·

 y
y2
···
+ det  1
 .
..
 .
.
 .
 (m)
(m)
y1
y2
···

 y1
y2
···

 y
y2
···
 1

y
y
···
 1
2
 .
.
 .
..
 .
 (m−1)
y1
y(m−1)
···
2


 y1
y2
ym 




 y1
···
ym 
y2






y2
···
ym  + det  y1


..
.. 
 ..
 .
.
. 


(m−1)
(m−1)
y
y
···
y(m−1)
m
1
2


0
 I
ym 


 0
ym 
I


ym  = − det  ..
 .

.. 


. 



(m)
ym
Am−1 (x) Am−2 (x)

ym 

ym 

ym  = − det A1 (x)W(x),

.. 
. 

y(m−1)
m
···

ym 

ym 

ym  + · · ·

.. 
. 

(m−1) 
···
···
···
···
ym
0
..
.
..
.
I
···
A1 (x)






 ×





3. 常微分方程式
38
となる。
（ここで 2 つの行または列が同じ行列式が消えること、行列式は各列、各行に関しては線形なこ
とや、 yi が方程式の解であることなどを用いた）よって W は g(x) = det A1 (x) として線形方程式
W = −g(x)W(x),
を満たすことがわかり、よって
[ ∫
W(x) = exp −
]
x
g(u)du W(a)
a
となるので、これは W(a)
0 なる限り W(x) の定義される範囲内ではいつでも 0 でない値をとることが
示せた。
3.4.3
非斉次方程式の性質
定理 3.5 (1) 非斉次方程式
y(m) + · · · + Am−1 y + Am y = g,
の特解 y1 、すなわち何であれ、上の方程式を満たす解が見つかったなら、これに斉次方程式の一般
解 y(x, C) を足した y1 (x) + y(x, C) が非斉次方程式の一般解になる。
(2) 非斉次項を
g=
N
∑
hi ,
i=1
といくつかの項の和に書いた時、各項 hi だけを非斉次項に持つ方程式
y(m) + · · · + Am−1 y + Am y = hi
の特解 yi が得られたなら、その和 y = y1 + y2 + · · · + yN が元の方程式の特解になる。
(証明) 第一の主張は y1 、 y(x, C) の満たす方程式を書き下して辺々足し合わせれば確かめられる。
y(m)
1 (x) + · · · + Am−1 (x)y1 (x) + Am (x)y1 (x) = g(x),
y(m) (x, C) + · · · + Am−1 y1 (x, C) + Am y(x, C) = 0,
⇓
(y1 (x) + y(x, C))(m) + · · · + Am−1 (y1 (x) + y(x, C)) + Am (y1 (x) + y(x, C)) = g.
第二の主張も
y(m)
+ · · · + Am−1 yi + Am yi = hi ,
i
を i = 1 ∼ N にわたって辺々足し合わせれば示せる。
この 2 つの定理はほとんど自明ながら、特に定数係数微分方程式においてこの応用に触れることにする。
応用上極めて有用なもの となっている。
3.4.4
まとめ
(1) k 値の未知関数とその高階導関数について 1 次の方程式
y(m) + · · · + Am−1 y + Am y = g
(3.8)
、ここに Ai は k 次正方行列、を線形微分方程式と呼ぶ。そして右辺が恒等的に消える時、これを斉
次（同次）方程式、右辺が非自明の時非同次（非斉次）方程式と呼ぶ。
(2) 同次方程式の任意の解の、任意の定数による 1 次結合もまたこの方程式の解になる。
（重ね合わせの
原理あるいは重ねの原理と呼ぶ）
3.5 定数係数線形微分方程式
39
(3) 非同次方程式の特解と同次方程式の任意の解の和もまた、同じ非同次項に対する方程式の解になる。
(4) 線形方程式は「係数」となっている行列 Ai (x) や非斉次項 g(x) が定義されている x の全範囲で解を
持つ。
(5) 一般論よりこの方程式は mk 個の独立な解を持つ。特に mk 次元のベクトルで、mk 次元の基底にな
るものを任意に選んで bi 、i = 1 ∼ mk とするとき x = a における初期値（関数値と高階導関数値の
組）(y(a), y (a), · · · , y(m−1) (a)) が bi に一致するような解 yi (x) の組は x = a における基本解（系）と
呼ばれ、同次方程式の一般解はこれらのパラメタ−係数（任意定数係数）の 1 次結合
y(x, C) =
mk
∑
Ci yi (x),
i=1
で与えられる。なお基本解は Ai (x) が定義されている全ての x においてその資格を持つ。
∑
(6) 非同次項 i hi を持つ非同次方程式の特解は、単独の項 hi を非同次項に持つ方程式の特解 yi の和
∑
i yi で与えられる。
3.5 定数係数線形微分方程式
簡単解け、応用上も有用なのが線形微分方程式で全ての係数係数が定数であるようなものである。こ
れを定数係数（常）微分方程式と呼ぶ。さて前節の一般論より、まずは同次方程式の解法を見て行く。
y(m) + A1 y(m−1) + · · · + Am y = 0
において、微分する、という操作を抽象的に記号 D で表すことにすると上は
f (D)y = 0, f (D) = Dm + A1 Dm−1 + · · · + Am−1 D + Am I,
(3.9)
ここに I は k 次元空間の単位行列（以降は混乱しそうな場合を除いてただの数 1 と区別しないことにす
る）、という形に書かれる。D は k 値の滑らかな関数 y(x) を、別の k 値微分可能関数 y (x) に対応させ、
しかも関数の定数係数の 1 次結合 ay1 (x) + by2 (x) を取った後 D を作用させても、D を作用させてから
1 次結合 a(Dy1 (x)) + b(Dy2 (x)) = ay1 (x) + by2 (x) を取っても結果が変わらないという性質を持っている。
これは k 値の滑らかな関数の全体を（無限次元）ベクトル空間と見なした時 D がその空間の線形変換に
なっていることを意味している。抽象的な空間の変換は作用素、あるいは演算子 (operator) とも呼ばれ、
D は特に微分演算子あるいは微分作用素と称される。*2 そこで我々は無限次元における 1 次変換 D の、
k 次元行列を係数とする多項式 (3.9) の性質を調べていけばいいことになる。さて、応用上は殆どの場合
スカラー関数に対する方程式か、あるいは k 値関数のものに対する 2 階方程式あるいは 1 階方程式が殆
どなので、ここでも一般的な形に拘らず、この、特別な形についてだけ調べていく事によう。そこでま
ずはしばらくはスカラー関数に対する m階方程式についてのみ調べていく事にする。
3.5.1
特性多項式
同次方程式
f (D)y = 0, f (D) = Dm + a1 Dm−1 + · · · + am−1 D + am ,
に対応する特性多項式とは
f (x) = xm + a1 xm−1 + · · · + am−1 x + am
*2
数学的に厳密な扱いを行うには関数空間としてどのような滑らかさを要求するか、またその空間におけるベクトルの大きさ
（ノルム）の定義をどうするかを決めなければならない。そのようにして議論する無限次元空間をきちんと定めてから微分作
用素の、その空間での性質が決まるが、今回のような応用では、実際には同次方程式の解のなす空間の次元は mk と、有限次
元となるのであまり深く考える必要はない
3. 常微分方程式
40
のことを言う。もし特性多項式が因数 (x − λ) を持つなら f (x) = (x −λ)g(x) とする時、f (D) = (D − λ)g(D) =
g(D)(D − λ) であり、 f (D)y(x) = 0 は、例えば y に (D − λ) を作用させた時点で消えてしまえば満たされ
ることになる。この条件から
(D − λ)y = 0 → y = λy → y = Ceλx
と、ただちに y を求めることができるので、もし特性多項式 f (x) の根がすべて実数でかつ単根なら
y = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x + · · · + Cm eλm x
がこの方程式の一般解となる。明らかに異なる指数 λi に対する eλi x は互いに独立だからである。*3
さて、代数学基本定理によれば任意の（複素係数）n 次多項式 P(x) に対して P(x) = 0 は重複も込め
て（重根がある場合、同じ値を重複分だけ数えること）ちょうど n 個の根を持つことが知られている。
そして今回 f (x) は実係数多項式なのであらゆる複素根はその複素共役とペアで登場する。ここで複素す
z の複素共役を z∗ と書く時、(zn )∗ = (z∗ )n 、(z1 + z2 )∗ = z∗1 + z∗2 などがなりたつことを用いれば、複素根
λ = a + bi に対して f (λ) = 0 の両辺の複素共役を取ることにより f (λ)∗ = f (λ∗ ) = 0 、すなわち複素根が必
ずペアで現れることが分る。の性質そこで相異なる実根を λi 、複素根を µ j とし、それらの多重度を ni 、
m j とおけば
f (D) =
l
n
∏
∏
[
]
(D − µ j )(D − µ∗j ) m j
(D − λi )ni
i=1
j=1
のように書かれることになる。これから見るように、任意の複素数 µ（勿論実でもよい）に対して方程式
(D − µ)n y = 0,
に意味を持たせることが可能で、しかもこれが n 個の独立な解を持つことがわかるので、結局
(D − λi )ni yi = 0, (D − µ j )m j y j+ = 0, (D − µ∗j )m j y j− = 0, i = 1 ∼ l, j = 1 ∼ n,
から元の方程式の
∑
i
ni + 2
∑
j
m j = m 個の独立な解が得られることとなる。というのも上の各 D の多項
式は全て f (D) の因数になっているからである。すなわち f (D) = g（D）(D − λ)n のように書けるのでも
し (D − λ)n y = 0 となればその時点で確かに y は考えている方程式の解になることが分るからである。以
下でまず特性多項式の実因子 (x − λ)n に対して (D − λ)n y = 0 の独立な解が確かに n 個あることを示し、
ついで複素根に対する扱いについて述べよう。
a. 実多重根の扱い
同じ方法を繰り返し使えるので、簡単のため
(D − λ)2 y = 0
を解いてみよう。そのために関数 z(x) = (D−λ)y = y (x)−λy(x) を考えると条件 (D−λ)2 y = 0 は (D−λ)z = 0
すなわち z = λz → z = Ceλx を導く。すると z の定義より
y − λy = z = Ceλx
ということになるので定数変化法によって y が
y = (C0 + C1 x)eλx
という形に求められる。後はこれを帰納的に繰り返していけば
命題 3.3 方程式 (D − λ)n y = 0 の一般解は
y = (C0 + C1 x + c2 x2 + · · · + Cn−1 xn−1 )eλx
で与えられる。
*3
もちろん yi = eλi x として、一般論に従ってロンスキー行列式を計算してそれが 0 にならないことを示してもよい。その際ヴァ
ン・デルモンテの行列式という有名なものが登場するだろう
3.5 定数係数線形微分方程式
41
が得られる。実際（n − 1 次式）×eλx に (D − λ) を作用させれば（n − 2 次式）×eλx の形になることが容
易に分る。そこで（n − 1 次式）×eλx に (D − λ)n−1 を作用させたものは Ceλx の形になり、これに (D − λ)
を作用させれば消えてしまうのは明らかだろう。
以上によって f (D) の因子 (D − λi )ni から生じる方程式 (D − λi )ni y = 0 が ni 個のパラメターに依存する
一般解を持つことが分った。後は複素根に対しても同様のことが分れば定数係数線形同次微分方程式の
一般解が分ったことになる。
3.5.2
複素指数関数
指数関数は
x2 x 3
+
+ ···
2
3!
と、無限級数に展開可能だった。すると右辺の x は実数だけでなく、複素数を代入しても意味を持たせ
ex = 1 + x +
ることができる。例えば x = (a + bi)t、t は実数パラメター、とすると
(a + bi)2 2
(a + bi)n n
t + ··· +
t + ···
2
n!
∑
は任意の実数 a、b、t に対して定義可能である。さらに二項展開 (z + w)n = k n Ck zn−k wk もまた任意の
exp[(a + bi)t] = 1 + (a + bi)t +
複素数に対して可能であることと、ez+w を表す無限級数において (z + w)n を展開した後 z, w のべきにま
とめ直す事によって複素数の範囲で指数法則 ez+w = ez ew が成り立つことも示す事ができる。これより
exp[(a + bi)t] = eat ebit
であり、また i2 = −1, i4 = 1 に注意して ebit を
ebit =
∞
∑
(bit)n
n=0
n!
=
∞
∑
(−1)n
(2n)!
n=0
(bt)2n +
∞
∑
(−1)n
(bt)2n+1
(2n
+
1)!
n=0
と n の偶奇に従ってまとめ、三角関数のテイラー展開の形を思い出せば次の有名なオイラーの関係式
ebit = cos(bt) + i sin(bt)
(3.10)
が得られる。
注意 3.3 オイラーの関係式は
(
bit )n
ebit = lim 1 +
n→∞
n
を微分すると（本当は証明が必要だが、極限と微分の順番が取り替えられるとして）
[
]
(
(
d
bit )n
d(
bit )n
bi
bit )n−1
lim 1 +
= lim
1+
= n lim 1 +
= biebit
n→∞ dt
dt n→∞
n
n
n n→∞
n
となること、cos(bt) + i sin(bt) を t で微分すると確かに元の bi 倍になり、また t = 0 を入れると上の
極限も cos(b0) + i sin(b0) も 1 となることからも「証明」できる。（微分方程式の解の存在と一意性を
f (t) = u(t) + i (t) という形の関数に適用した）
このように微分方程式
y = (a + bi)y
の解 e(a+bi)x = eax (cos(bx) + i sin(bx) の合理化はいかようにも可能なので、以下は複素指数関数を自由に
用いることにしよう。（数学的には複素数を独立変数とする複素関数の範囲で合理化するのが一番よい。
それは複素関数論の範囲となる）
さて、以上を用いて µ = a + bi に対し
(D − µ)n y = 0
3. 常微分方程式
42
を解く。まず n = 1 の場合は既に y = Ce(a+bi)x = Ceax (cos(bx) + i sin(bx) と求められた。後は実数指数の場
合同様 (D − µ)2 y = 0 なら z = (D − µ)y = y − µy と置けば z は (D − µ)z = z − µz = 0 とならねばならないこ
とから z = Ce(a+bi)x 従って y = µy + Ce(a+bi)x が得られ、これを定数変化法で解いて y = (C0 + C1 x)e(a+bi)x
となる。後は帰納的に
命題 3.4 複素数 µ に対して方程式 (D − µ)n y = 0 の解は
y(x) = (C0 + C1 x + · · · + Cn−1 xn−1 )eµx
(3.11)
で与えられる。
ということになる。
さて、我々が求めたかったのは実数関数であった。これは特性多項式 f (x) が実係数であり、よって因
子 (x − µ)n を持てば当然その複素共役 (x − µ∗ )n も持たねばならないこと、及び微分演算子が実演算子す
なわち実関数を実関数に変換する演算子*4 であることから出てくる。すなわち (3.11) が方程式 f (D)y = 0
の解ならその共役
∗
y(x) = (C0∗ + C1∗ x + · · · + Cn−1
xn−1 )eµ
∗
x
(3.12)
も同じ方程式の解でとなる。(D − µ0n y = 0 ならその両辺の複素共役は [(D − µ)n y]∗ = [(D − µ)n ] ∗ y∗ =
(D − µ∗ )n y∗ = 0 だからである。すると同次線形方程式の性質（重ね合わせの原理）から
((
)
)
(
)
y + y∗
= eax Re [C0 ]+Re [C1 ]x+· · ·+Re [Cn−1 ]xn−1 cos(bx)− Im [C0 ]+Im [C1 ]x+· · ·+Im [Cn−1 ]xn−1 sin(bx)
2
も同じ方程式の解になり、これは明らかに実数関数であってその作り方から 2n 階実係数方程式
(D2 − 2aD − (a2 + b2 ))n y = (D − µ)n (D − µ∗ )n y = 0
の解になっている。
（y は (D − µ)n を作用させた時点、y∗ は (D − µ∗ )n を作用させた時点で消えるから）こ
の解は 2n 個の任意定数を持ち、よって方程式の一般解になっている。よって最終的に µi = ai + bi i として
∏
∏
[(D − µ j )(D − µ∗j ))]m j y = 0
f (D)y =
(D − λi )ni
j
i
の一般解として
 j −1
 −1


m
j −1
i
∑ m∑
∑ n∑
∑


λ
x
k
k
k



i

 Cik x  e +
C jk x cos(b j x) +
y=
D jk x sin(b j x) ea j x
i
k=0
j
k=0
k=0
が得られたのである。
例題 3.7 減衰振動子の方程式
m x¨ + mγ x˙ + kx = 0 → x¨ + γ x˙ + ω20 x = 0
を解こう。一般論に従って特性根を求めればそれは
√
( γ )2
γ
λ± = − ±
− ω20
2
2
となる。この根が複素数か実数かで場合分けしよう。
√
(1) γ/2 < ω0 の時。このとき ω1 = ω20 − (γ/2)2 は実数であり、λ± = −(γ/2) ± ω1 i となるので
(
)
x(t) = C+ eλ+ t + C− eλ− t = C+ (cos ω1 t + i sin ω1 t) + C− (cos ω1 t − i sin ω1 t) e−γt/2
において C+ = C−∗ = (A − Bi)/2 と、任意定数 A, B を導入すれば
(
)
x(t) = e−γt/2 A cos ω1 t + B sin ω1 t
という一般解が得られる。これは角振動数 ω1 で振動しつつ、その振幅が e−γt/2 に従って指数関数的
に減衰していく、減衰振動を表している。
*4
実変数 x による f (x) の微分は f の関数値の差を実数 δx で割ったもの（後はその極限を取る）であることに注意
3.5 定数係数線形微分方程式
43
(2) γ/2 = ω0 の場合。このとき方程式は
(D + (γ/2))2 x = 0
と書かれることになる。これは臨界減衰と呼ばれ x = (C0 + C1 t)e−γt/2 が一般解になる。
(3) γ/2 > ω0 の場合。この場合 λ± は両方とも実数になり過減衰と呼ばれる。一般解は y = C+ e[−(γ/2)+
√ 2 2
C− e−[(γ/2)+ (γ/2) −ω0 ]t となり、これは 2 つの指数減衰関数の和になっている。
3.5.3
√
(γ/2)2 −ω20 ]t
非斉次方程式の解
f (D)y = g(x) の特解は定理 3.5-(2) を用いるのが最も簡明である。一般に |x| → ∞ で十分速く 0 に収束
する g(x) は
∫ ∞
∫ ∞
1
gˆ (s)eisx ds, gˆ (s) =
g(x)e−isx dx,
2π −∞
−∞
と表されることが知られている。
（フーリエ展開定理）そして積分というのは結局のところ上の場合なら
g(x) =
(1/2π)ˆg(s)ds の足し算に他ならないことから定理 3.5-(2) より
f (D)y(x, s) =
1
gˆ (s)eisx ,
2π
(3.13)
に対する特解が分かれば求めたい特解は
∫
y(x) =
∞
y(x, s)ds
−∞
で与えられることになることが分かる。ところが方程式 (3.13) の右辺に出てくる指数関数 eisx に対して
微分作用素 D の作用と言うのは単に定数 is をかけるのと同じになることから
y(x, s) =
gˆ (s) isx
gˆ (s) isx
e =
e ,
2π f (D)
2π f (is)
ということになる。（両辺に f (D) を作用させれば、それは f (is) をかけたのと同じになる）従って
∫ ∞
1
gˆ (s) isx
y(x) =
e ds,
2π −∞ f (is)
が方程式の特解となり、これに同次方程式の一般解を足したものが非斉次方程式の一般解となるわけで
ある。
a. 定数変化法の拡張としての非斉次方程式の解法
いくつかの教科書に載っている、別の解法をここで述べておく。ここでは y(m) + A1 (x)y(m−1) + · · · + Am y =
g(x) という形の方程式の解法を述べよう。そのためにまず方程式を正規形 (3.2) に書き換え 1 階の方程式
の形にする。この時方程式は Y = H(x)Y + g(x) の形になるので、これが解ければよい。ここで対応する
同次方程式の基本解 Y 1 ∼ Y mk を縦ベクトルとして横に並べて出来る行列を U(x) とすると U(x) が
U = H(x)U,
となることはすぐに分かる。また任意の mk 次元定ベクトル C に対して Y = U(x)C が同次方程式の（一
般）解になることも容易に分かる。（C として基本単位ベクトル e j を取れば U(x)C は Y j になる）この
時特解を定数変化法に倣って Y = U(x)Y 0 (x) の形に仮定して、元の方程式に代入すると
Y = U (x)Y 0 + UY 0 = H(x)U(x)Y 0 (x) + U(x)Y 0 (x) = HY + g = H(x)U(x)Y 0 (x) + g(x)
すなわち Y 0 に対する条件式
Y 0 (x) = U −1 (x) g(x)
+
3. 常微分方程式
44
よって
∫
x
Y 0 = Y 0 (a) +
U −1 (s) g(s)ds,
a
すなわち
∫
[
Y(x) = U(x) Y 0 (a) +
x
]
U −1 (s) g(s)ds
(3.14)
a
が得られた。多くの教科書では線形代数の、逆行列を求めるクラ−メルの公式を行列 U −1 (s) に適用した、
上式の顕わな形を載せてあるが、ここでは以上にとどめておく。なお U が可逆なのは既にみたようにロ
ンスキー行列式の性質からでてくることである。(3.4.2 節参照。U はロンスキー行列に他ならないこと
に注意）
3.5.4
非斉次方程式としての共鳴
振動系に周期的な外力がかかっている状態は
x¨ + γ x˙ + ω20 x = f0 ei(ωt+α)
で表される。ここに f0 は周期的外力の振幅、ω は角振動数である。この方程式は複素振幅に対するもの
になっているが、それが気になるなら、両辺の実部を取れば周期的な外力 f (t) = f0 cos[ωt + α] に対する
振動方程式になるので複素数値解を求めた後はその実部を取ればこの外力に対する実数解が得られる。
そこで非斉次方程式の一般論に従えば特解が
x(t) =
f0
ei(ωt+α) ,
ω20 − ω2 + iγω
と求まる。この分母は γ が十分小さいなら ω ∼ ω0 の時非常に小さくなる、言い換えれば特解の振幅
が大きくなる。これは外力の振動数と振動系の固有振動数が殆ど同じとき、その外力によって誘起さ
れる振動振幅が大きくなることを意味し、共鳴現象の数学的表現となっている。特に減衰項（摩擦項）
が無い時には無限に共鳴する解が得られることを以下に説明しよう。γ = 0 でかつ ω = ω0 の時に上と
同じことをやると 1/ f (iω0 ) = 1/(ω20 − ω20 ) = 1/0 となってこのやり方は通用しない。そこで例によって
(D2 + ω20 ) = (D + iω0 )(D − iω0 )x = f0 ei(ωt+α) 、(D − iω0 )x = y としてまず (D + iω0 )y = f0 ei(ωt+α) を解き、つ
いで (D − iω0 )x = y を解くことにしよう。初めの式は一般論通り
y=
f0 i i(ωt+α)
f0
ei(ωt+α) = −
e
,
iω0 + iω0
2ω0
と解け、次に
i f0 i(ωt+α)
e
2ω0
は定数変化法で解ける。しかし別の方法もあるので、ここではその方法を紹介する。もし強制振動の角
(D − iω0 )y = y − iω0 y = −
振動数 ω が系の固有角振動数と異なっていればいつも通りに扱え、その結果一般解が
x(t) = Ceiω0 t +
という形に得られる。これは ω
f0
ei(ωt+α)
ω20 − ω2
ω0 なる限り完全に正しいので、特に C が ω に従って変化していって
も問題ない。そこで ω → ω0 の極限を取る際、C(ω) も変化させて上式右辺第二項の発散を第一項が抑え
るように仕組めば、それが ω = ω0 に対する解となるだろう。そのためには第一項の係数を第二項のそれ
と反対符号にすればよく、よって δω = ω − ω0 として
x0 (t) = lim
δω→0
f0 eiα
f0 ei(ω0 t+α) eiδωt − 1
i f0 ei(ω0 t+α)
=−
(eiωt − eiω0 t ) = − lim
2
δω→0
2ω0 + δω δω
2ω0
−ω
ω20
が分った。同様の手法はベッセル方程式
(
1
m2 )
y y + 1 − 2 y = 0, ここに m は整数，
x
x
3.6 平衡点とその安定性
45
など、係数が定義されていない x = a（ここでは x = 0）周りの一般解を求める際に用いられる。ベッセ
ル方程式の場合解を y = xr (c0 + c1 x + c2 x2 + · · · ) の形に仮定すると、1 つの特解が得られるが、残りはこ
の方法では出ない。ところが非整数の m に対してはこの方法で一般解（2 つの独立な解）が得られるの
で、それらの 1 次結合で m → m0 = 整数の時、上のような無限級数解にならない極限を持つものが得ら
れれば、それが欲しかった残りの解、というわけである。（フロベニウスの方法と呼ばれている）
3.6 平衡点とその安定性
時間を変数とする自励系微分方程式 y˙ = F(y) が原点に留まる解 y(t) = 0 を持つとしよう。つまり
F(0) = 0 になるとしよう。このとき原点付近の点 y0 を発する解 y(t) がいつまでも原点付近に留まること
が保証される条件を求めたい。歴史的にはこのような問題は、太陽系の安定性、機械の安定な運動の保
証といったところから出てきたそうである。このような微分方程式の解の、長い時間に亘っての挙動を、
具体的な解を構成する事なく、方程式の構造だけから調べるのが力学系と呼ばれる分野の目的となって
いる。ここではそのごく初歩として線形方程式の解の安定性及び、リャプーノフによる一連の定理を紹
介する。一般には F(y) は y に対して非線形であり、そして非線形方程式というのは簡単には解けない、
というのが常識である。一方で設計された機械が決して暴走しない、という保証が欲しいのは当然のこ
とだろう。リャプーノフはそのような条件をいくつか見出したので、それを紹介しよう、というのであ
る。そこでもし原点付近から発する解がいつまでも原点付近に留まるなら方程式を線形近似することが
可能になるだろう。それは
F(y) = F(0) + (y · ∇)F(0) + · · · = (y · ∇)F(0) + · · ·
となるから y の 1 次近似の範囲では
y˙ ≈ (y · ∇)F(0),
となる。ここで右辺は F のヤコビ行列
(JF )i j =
∂Fi
∂y j
を用いて (y · ∇)F = JF y と書かれることから、元の方程式の線形近似（1 次近似）方程式が
y˙ = JF y
(3.15)
で与えられることが分った。
線形方程式の安定性
3.6.1
方程式 (3.15) のような行列係数の同次線形方程式 y˙ = Ay は行列の指数関数
eAt = exp[At] = I + At +
A2 2 A3 3
An n
t +
t + ··· +
t + ···
2
3!
n!
によって
y = eAt y(0),
と解けることはほとんど明らかだろう。実際
)
(
)
d(
A2 2 A3 3
An n
A3 2
An n−1
I + At +
t +
t + ··· +
t + · · · y(0) = A + A2 t +
t + ··· +
t + · · · y(0)
dt
2
3!
n!
2!
(n − 1)!
(
)
A2 2
An−1 n−1
= A I + At +
t + ··· +
t + · · · y(0) = AeAt y(0) = Ay(t)
2!
(n − 1)!
y˙ (t) =
となるからである。（項別微分可能性を用いた）従って解 y の挙動は eAt の挙動で決まり、それは行列 A
の性質で決まることになる。
3. 常微分方程式
46
定理 3.6 線形方程式
y˙ = Ay
(3.16)
の解は、A の全ての固有値の実部が負の時、任意の初期値 y(0) に対して t → ∞ で原点に収束する。そし
て固有値の実部の最大値を −µ とする時、解 y の大きさ y(t) は t → ∞ で任意の微小な
e−(µ−
)t
> 0 に対して
より速く原点に収束する。*5
(証明) この手の力学系問題における y の「大きさ」（ノルム） y というのははっきりした幾何学的な意
味は持たないのが普通である。単に運動のパラメター
√ y の違いの程度を与える目安のようなものなので、
∑
任意の基底系ei に対して y = i ci ei とした時 y = c21 + · · · とすればよい。違う基底系に対して同様な
定義を用いた場合、2 つのノルムはせいぜい定数倍程度の違いしか持たないので、t 依存性を議論する時
には問題にならない。そこで A をジョルダン標準形にする基底系 ei を考え、それを「直交座標」とする
ノルムを用いることにしよう。すると A の固有値の実部が全て負であったとしてその最大値を −µ とす
る時 B = A + µI の固有値の実部は 0 以下となる。従って
eAt y(0) = e−µt eBt y0
であり、行列 eBt に登場する 行列要素の絶対値 の t 依存性はせいぜい（多項式）×（指数が負の指数関
> 0 に対する
数）程度となる。どんな（有限次）多項式も、t が大きくなるとき、任意の小さい指数
指数関数 e− t をかければ 0 に収束していくので、結局（三角不等式から） eBt y(0) も（eBt の行列要素
の絶対値の 1 次結合で抑えられるから）t → ∞ で e−
e−(µ−
)t
t
eBt y(0) → 0 ということになり、これは y(t) が
で抑えらえることを意味している。（正確にはこれの定数倍で抑えられる）
もし A が正の実数部を持つ固有値を持てば、それに対応する一般化された固有ベクトルの成分を持つ初
期値に対応する eAt y(0) が t → ∞ で無限遠に発散のは明らかだろう。そして純虚の固有値に対しては、そ
れが非自明なジョルダン胞を持つなら多項式時間程度の発散をする可能性がある。もし純虚の固有値が
対角化可能な形でだけ出てくるなら、その固有ベクトルは実空間においては回転を行うことになる。純
虚固有値に対応する固有空間に属する初期値 y(0) に対して eAt y(0) の大きさは一定だからである。しか
し、最も興味のある、A がある非線形な F の 1 次近似として出てくる場合、1 次近似の固有値が純虚だ
からと言って現実の軌道が本当に安定であって無限遠に発散しないかどうかは自明ではないだろう。そ
こで安全を取って F の線形近似の固有値の実部が全部負なら本物の非線形方程式の解も安定になるので
は？と想像するなら、それは正しいのである。
3.6.2
リャプーノフ関数
リャプーノフは平衡点 0 近辺を発する解 y(t) がこの平衡点近辺にあり続けるだけでなく、平衡点に向
かって収束していく為の十分条件を見つけた。それは物理学的にも数学的にも納得のいく論法になって
いる。非線形 1 次元振動で摩擦が無い場合、系の全力学的エネルギー (m 2 /2) + U(x)、ここに U は復元力
f (x) に対応するポテンシャルエネルギー、は保存するのだった。一般に方程式 y˙ = F(y) においてこのよう
な保存量、つまり y の連続関数 G(y) で、方程式の解 y(t) を代入すると定数になる、つまり dG/dt ≡ 0 と
なるものがあり、しかも G は y → ∞ で無限大になるものがれば y(t) が無限遠に発散することはないだ
ろう。更にもっと強く、G(0) が G の最小値となり、かつ任意の解に対してあらゆる時刻で dG(y(t))/dt < 0
となるなら、あらゆる解は t → ∞ で平衡点 0 に収束するだろう。微分方程式 y˙ = F(y) に対してこのよ
うな G が構成できたとして、この G を系のリャプーノフ関数と呼ぶ。例えば速度に比例する摩擦 −mγ
を受ける振動系の場合全力学的エネルギーの時間微分は
)
(
dE
d (m 2
=
+ U(x) = ma + U (x) = − U (x) − mγ ) + U (x) = −mγ
dt
dt 2
2
*5 「e−(µ− )t より速く収束する」と、迂遠な言い方になったのは、A が対角化不能でジョルダン胞を持つ場合 y(t) が（多項式）
×e−µt のような依存性を持つので、前に付く多項式による増大の分を考慮しなければならないからである。
3.6 平衡点とその安定性
となるので
47
= 0 となる瞬間以外の全ての時刻で dE/dt < 0 となる。よって摩擦を受けた場合の自由振
動（外力無しの振動）は確実に全力学的エネルギーを減らしていき、最後には平衡点に達することにな
る。さて一般に力学系のパラメター y の関数 G に対してそこに解 y(t) を代入したものの時間微分が
dG
d
= G(y(t)) = y˙ · ∇G = F · ∇G
dt
dt
と計算できることにより、次のような定義に導かれる。
定義 3.5 y˙ = F(y) に適合するリャプーノフ関数 G とは、滑らかな関数であって
(1) 平衡点 0 で最小値を取り、
(2) 任意の値 c に対して G の値がそれ以下になる点は有界閉集合（もしくは空集合）となり、
(3) 原点を除く あらゆる y に対して F(y) · ∇G(y) < 0 を満たす（原点で ∇G = 0、従って F · ∇G = 0 と
なる）
ものを言う。
今考えている微分方程式系に適合するリャプーノフ関数 G が構成できたとしよう。この時 y(0) を発する
解軌道 y(t) に対して
∫
G(y(t)) − G(y(0)) =
t
F(y(u)) · ∇G(y(u))du < 0
0
となる。従って G の定義によって t > 0 において軌道は全て G ≤ G(y(0)) を満たす有界閉集合 V 内に
ある。また dG/dt < 0 より t の関数としての G は単調減少かつ G は最小値を（原点において）持つの
で、t → ∞ とした時 G(y(t)) は極限値 G∞ を持つ。言い換えると上式右辺の F · ∇G は時間 t の関数とし
て (0, ∞) の範囲で 積分可能 となり、この関数が常に負になることと合わせると
lim F · ∇G = 0,
t→∞
が結論される。ところが有界閉集合 V 内では F · ∇G が 0 になるのは原点以外にないのでこれは t → ∞
で y → 0 を意味する。ここで初期値 y(0) になんらの仮定を措かなかったから、以上をまとめて
定理 3.7 （強い形のリャプノーフの定理：全域的リャプーノフの定理） y˙ = F(y) に適合するリャプーノ
フ関数 G が存在するなら、あらゆる解 y(t) は t → ∞ で原点に収束し、しかも途中のあらゆる時間で y が
原点から遠く離れることはない。
が得られた。最後の文言は t < s なら G(y(t)) < G(y(s)) と、解の存在範囲が G ≤ c のような有界閉集合に
限定されることを言っている。
一般に平衡点がリャプーノフの意味で安定とは平衡点近くを発する任意の解が、あらゆる時刻でやは
り平衡点付近に留まり続けることを言い、さらに全ての解が平衡点に収束するなら、その平衡点は漸近
安定であると称する。全域的リャプーノフの定理 3.7 は y 全体で定義されたリャプーノフ関数が存在す
れば原点が漸近安定な唯一の平衡点になることを言っている。しかし実際には平衡点は複数あったり、
あまりに平衡点からはずれた初期値を持つ解軌道は暴走して t → ∞ で無限遠に発散したりすることが多
い。そこでパラメター y のある有限な範囲 V0 の内部でのみリャプーノフ関数が構成できる場合、初期値
が V0 内にあるのなら上と同じことが言え、従って初期値が V0 内にある軌道は＄V0 内に留まり続け、か
つ t → ∞ で原点に収束する事になる。よって漸近安定の定義によりこの平衡点もまた漸近安定になる。
よって
定理 3.8 （弱い形でのリャプーノフの定理：局所リャプーノフ定理）平衡点 0 を含む有界閉集合 V0 上
でリャプーノフ関数 G が作れ、特に V0 の境界上のあらゆる点で F · ∇G < 0 とできるなら原点は漸近安
定である。
48
3. 常微分方程式
が分った。最後に非線形微分方程式 y˙ = F(y) の平衡点 0 が漸近安定であるための判定条件を紹介して終
わりにしよう。
定理 3.9 （リャプーノフの判定条件） y˙ = F(y) が原点を平衡点に持つとする。この時これが漸近安定で
あるためにはその線形近似 y˙ = (y · ∇)F(0) の固有値の実部が全て負であればよい。
元の方程式の右辺 F とその線形近似 JF y は原点付近では y の高次の微小量だけの違いしかないので、
線形方程式に適合したリャプーノフ関数は原点近傍ではそのまま非線形方程式のリャプーノフ関数とし
て使えることを用いる。さて、仮定より JF の固有値の実部は全て負になるのであらゆる y(0) に対して、
それを初期値に持つ線形方程式の解 y(t) = e JF t y(0) は t → ∞ で原点に収束する。さてここで
∫ t
∫ t
t
G(y, t) = y t
e JF u e JF u ydu =
e JF u y 2 du
0
(3.17)
0
と置く。すると以下で分かるように G(y, ∞) が線形方程式のリャプーノフ関数となる。まず上の定義式
の被積分項は常に正であり、かつ JF に関する仮定から e JF t y は任意の y に対して t → ∞ で零ベクトルに
指数的に収束する（正確には少し異なる場合がある）から確かに上は t → ∞ としてもよい。
（G(y, ∞) が
存在する）
次に G(y, t) の定義式を時間微分してみると一般に行列の指数関数に対して
d At
e = AeAt = eAt A
dt
となる（A の多項式は互いに可換なことに注意）ことから (3.17) 式の被積分項の時間微分を計算すると
d ( JFt t JF t )
t
t
= JFt e JF u e JF u + e JF u e JF u JF ,
e e
dt
(3.18)
が分かる。また G∞ = G(y, ∞) を y で微分すれば
[∫ ∞ (
) ]
t
t
∇G∞ =
e JF u e JF u + e JF u e JF u du y
0
が分かる。（H(y) = y Ay の勾配は (A + A )y と計算されることを用いた。これは定義通りに計算すれば
t
t
分かる）そこでこれと JF y の内積を取ると（ a · b = a t b = b t a であることを用いて、下式右辺第二項は
元の形の転置を取った）
∫
(JF y) · ∇G∞ = y t
0
∞
∫
)
( t
t
JFt e JF u e JF u + e JF u e JF u duy = y t
∞
0
(
)
t
t
JFt e JF u e JF u + e JF u e JF u JF duy
となり、これは (3.18) を用いると y 0 として
∫ ∞ (
[ (
) ]∞
d JFt t JF t )
t
(JF y) · ∇G∞ = y t
e e duy = y t e JF t e JF t y = 0 − y
0
0 dt
2
<0
と、確かにリャプーノフ関数の条件 (3) を満たしている。また G∞ の定義から G(0) = 0 で、任意の y
0
に対して G(y) > 0 も明らか故 (1) の条件も満たされ、(2) の条件は結局のところ
∫ ∞
t
G∞ (y) = y t My, M =
e JF t e JF t ,
0
と G∞ (y) は単なる 正値 2 次形式 であることから線形代数の一般論より G ≤ c が常に有界閉集合（高次
元の楕円体）になることが分かり、これでリャプーノフ関数に関する全ての条件が満たされたことにな
る。そして初めに述べたように、十分小さな y に対しては F(y) と JF y の差は微小になるので
F · ∇G∞ ≈ (JF y) · ∇G∞ < 0
となって確かに原点漸近安定であることが分かった。
（上の 2 つの内積は y に対して 2 次の微小量にな
るのに対して誤差項は 2 次より高次になるので y が十分小さい時には上式左辺も確実に負になる）
3.7 微分方程式補遺（力学系の続き）
49
3.7 微分方程式補遺（力学系の続き）
3.7.1
カオス
2 自由度の非自励系方程式
 
 
 x˙
F x 


x˙ =   = F(x) =  
y˙
Fy
の軌道 x(t) = (x(t), y(x)) は少なくとも局所的には t を消去して y を x の関数のように見なせる。この時
合成関数の微分則より
Fy
dy
dy/dt
=
=
dx dx/dt F x
という新しい方程式が導かれる。これは既に見たように接線場 Fy (x, y)/F x (x, y) を「等高線」と見なすよ
うなスカラー関数 H(x, y) を用いて H(x, y) = C という形の解を持つ。ニュートン、オイラー、ラグラン
ジュと続く系譜でこのような微分方程式の幾何学的な解法、すなわち「運動の積分」と呼ばれる、解軌
道に沿って時間変化しない関数 H(x) によって軌道を決定する方法が追求されてきた。任意次元の調和
振動子系（ポテンシャル関数が変位の正値 2 次型式で与えられるような問題）や 2 体ケプラー問題にお
いては十分な数の積分が存在して Hi (x) = Ci 全部を満たす、という条件から解軌道が決定できることが
分かっているが、ポアンカレによって 3 体問題ではもはやこのような方法で解を求めることは出来ない
（いくつかの関数の「等高面」の交わりとして解軌道を表すことができない、ということ）ことが示され
た（そうである。私は本でお話を読んだだけ）
自由度が 2 より 1 つ増えて 3 になった場合すら、自励系方程式で解の挙動が運動の積分があるような場合
に比べて極めて不規則になるものが今では知られている。もし解軌道が H1 (x, y, z) = C1 と H2 (x, y, z) = C2
の交わりとして得られるなら、各軌道は「等高面」Hi = Ci を埋め尽くしていることになり、曲面上の 1
次元曲線はきれいに束になっている以外あり得ないから、結果的に 3 次元空間中の解軌道は比較的単純
なものになるはずである。しかしローレンツが 1960 年代に発見した方程式

  
 x˙  s(y − x), 

  
y˙  =  x(r − z) − y ,

  
xy − bz
z˙
(3.19)
の解軌道はパラメター s, r, b の値によっては図に示すように 1 本の解軌道だけで 2 次元面を埋め尽くし
かねない複雑な挙動を示し、よってこれらが運動の積分を持つことはあり得ない。このような複雑怪奇
（カオティック）な運動を行う系をカオス系と呼び、この数十年における力学系の大きな研究分野となっ
ている。ただ、運動の積分で軌道が決定できないからといって全てカオティックな挙動を取るわけでは
なく、太陽系の惑星運動のように安定で規則的な運動を行う場合もあり、これらの区別すること、何ら
かの判定法を見つけるのは興味深いだろう。（筆者はその能力はないので、ここでは触れない）
3.7.2
平衡点以外の無限時間での解の挙動
さて、今度は単純な運動に戻る。前節では漸近安定な平衡点について調べたが、t → ∞ で解が無限遠
に達しないからといって必ず平衡点に漸近するわけではない。摩擦のない剛体棒におもりの付いた振り
子の運動なら、位置エネルギーの原点をおもりの最高点に取ることとして、全力学的エネルギーが負な
ら振動運動、0 なら無限遠の昔で最高点にあったものが無限遠の未来に再び最高点に達する（もちろん
有限時間内では最高点を占めることはない）解、あるいは最高点という不安定平衡点に居続ける解があ
り、0 より大きな全力学的エネルギーを持つなら振り子は回転運動を続けることとなる。このように安
定な平衡点や不安定な平衡点があり、また周期軌道を持つような力学系もあれば非線形素子を持つ電気
回路をモデル化したファンデルポールの方程式
x¨ + µ(1 − x2 ) x˙ + x = 0
50
3. 常微分方程式
図 3.4 ローレンツ方程式 (3.19) の解の挙動。画面右奥から手前に向かって伸びていった解曲線はすぐにリ
ミットサイクルとは異なる、2 次元的な蝶の羽根のように見える吸引面に惹き付けられ巻き付いていく。
のように周期軌道が 1 つしか無く、残りのあらゆる解軌道が t → ∞ でこの唯一の解軌道に無限に巻き付
いていくようなものもある。
定義 3.6 周期的な解軌道 y(t) で、その軌道曲線の近傍の任意の点 z を発する解軌道 z(t) が t → ∞ で軌道
曲線に収束する時、 y(t) を極限軌道（リミットサイクル）と呼ぶ。
図を見ればわかるようにファンデルポール方程式は 1 個のリミットサイクルを持ち、残りの全ての初期
条件に対する解はこのリミットサイクルに収束していく。
自由度 2 に対しては常に運動の積分が局所的には存在するので、カオティックな運動が無い事が保証
されているが、その中でリミットサイクルがあるかどうかは保証されていない。リミットサイクルの存
在に対する十分条件を与えるのがポアンカレ・ベンディクソンの定理であって、それはリャプーノフの
定理と似たような条件を持っている。
定理 3.10 （ポアンカレ・ベンディクソン）2 次元平面の単純閉曲線（自己交差の無い閉曲線）C で囲ま
れた有界領域 Ω に関し、C 上の各点 y において F(y) が境界の外から内に向かっている時、つまり C の
各点 y における外向き法線を n(y) とする時 F · n < 0 が常に成り立っていて、しかも Ω 内には F(y) = 0
となる点、つまり y˙ = F(y) の平衡点が存在しないなら Ω にはリミットサイクルが存在する。
定理の前提条件から Ω の点を発するあらゆる解軌道は Ω 内に留まる。（実はここで 2 次元平面中の単純
閉曲線 C は全体を外側の領域と内側の領域 2 つにきっちりと分ける、という有名なジョルダンの閉曲線
定理を用いている。内部を初期値に持つ解が外部に出るには境界を通らざるを得なく、ところが境界で
は F が内向きなので外側に出ようがない、という論法になる）さて、一本の周期的ではない軌道 y(t) を
好き勝手に 1 つ取ろう。大きくなる時間列 tn < tn+1 < · · · を任意に取り、軌道上の点列 y(tn ) 作るとこれ
は完備な有界閉集合 Ω 内の無限点列だからワイヤシュトラス・ボルツァーノの定理によって部分列を取
れば収束する点 yni → y∞ を持つ。この y∞ を初期値に持つ軌道こそがリミットサイクルになることは図
を描いてみれば直感的には明らかだろう。
（厳密証明は省略する。ここでもジョルダンの閉曲線定理が使
われることになる）
注意 3.4 この定理の証明にジョルダンの定理は本質的に用いられる。従って 2 自由度であってもジョル
ダンの定理（2 次元面内の単純閉曲線はその面を 2 つ分ける）が成り立たない空間においてリミットサ
イクルの存在は保証されない。そのような例にはトーラス（ドーナツや浮き輪の表面のような２次元曲
面のこと）上のベクトル場 F が挙げられる。トーラスの「緯線」も「経線」も単純閉曲線だが、それら
はこの面を 2 つに分けないので、 F がこれら閉曲線の全ての点で同じ向きに交わってもリミットサイク
3.7 微分方程式補遺（力学系の続き）
51
ルの存在しない例は簡単に作れる。典型的なのは 1 つ 1 つの軌道が無限にトーラスに巻き付く、いわゆ
るエルゴード的な流れの場合である。なお、2 自由度の時局所的運動の積分をいつでも作れる事と、こ
のようなリミットサイクルあるいはトーラス上の非周期的運動の存在は矛盾しない。これらの場合大域
的な運動の積分が存在しないだけのことである。
4
ベクトル解析 I – 場の諸微分
4.1 初めに
ベクトル解析とは空間の幾何学的構造を考慮した上での多変数の解析学のことであり，ベクトル場，す
なわち空間の各点にベクトルが付随したものに対する微積分が展開される．ここでは主に 3 次元空間に
おけるスカラー場，ベクトル場の微分を論じ，次章でベクトル場の積分について学んだ後もっとも重要
なガウス・ストークスの定理の証明に移る．なお以下数章において座標系としてはデカルト座標系のみ
考えることにする．
4.2 スカラー関数の勾配
3 次元空間中のスカラー関数 f の勾配（gradient）∇ f （grad f とも書く）とは
(∂f ∂f ∂f )
∇f =
,
,
,
∂x ∂y ∂z
(4.1)
で定義されるベクトル場のことである．勾配を表す記号としてはこの他に grad f ，あるいは (∂ f /∂x) と，
偏微分記号の分母に現れる変数をベクトル記号にしたものが使われる．勾配 ∇ f は，微分演算子の組（ナ
ブラ演算子，スペースの都合上横に並べて書いてある）
(∂ ∂ ∂)
∇=
, ,
,
∂x ∂y ∂z
をスカラー関数 f に左から作用させたものと解釈可能である．∇ f と grad f のように，ベクトルの諸微
分を表すのにナブラ演算子 ∇ を用いる表記法と各微分演算の意味から取った文字を用いる表記法があり，
双方共良く用いられる．しかしデカルト座標系を主として用いる本書においては記法の利便性を活かす
ため，原則としてナブラ記号だけを用いることにする．
例題 4.1 勾配計算の例として位置ベクトル x の長さ，すなわち原点からの距離 r の勾配を求めてみる．
定義より ∇r は
√
(x y z) x
, , = ,
r r r
r
となる．これはベクトル解析で良く用いられるので覚えておいた方がよい．
grad r = ∇
x 2 + y2 + z 2 =
(4.2)
次に勾配の幾何学的意味を考えよう．そのためにそれ自体重要な概念である方向微分を導入する．今，
点 a を発する， b 方向に伸びた直線 x(t) = a + tb を考えよう．
（一般に b は単位ベクトルとは限らないも
のとする．物理での応用では b を通常無次元の単位ベクトルとし，t を長さの次元にとる）すると
g(t) = f (x(t)) = f (a + tb)，
は，スカラー関数 f を，この直線上に制限して得られる 1 変数 t の関数になる．この時 g(t) の t = 0 に
おける微係数 g (0) の事を f の，点 a における b 方向の方向微分と称し，多くの場合記号 (∂ f /∂b) で表
す．すなわち
(∂f )
d
f (a + tb) ,
t=0
∂b a dt
というわけである．方向微分と勾配ベクトル ∇ f の関係を調べるには上の微分を合成関数の微分則を用
=
いて計算すればよい．それは f が x, y, z に関して十分滑らか，例えばいかなる変数の組み合わせに関し
ても 2 階まで微分可能なら当然 f を 1 次までテイラー展開できて*1
*1
実際にはもっと緩い条件でよい． f が 1 次までテイラー展開可能，つまり全微分可能なための十分条件は大抵の解析学の教
科書に載っている．以降，本書において場の量は（区分的には）十分な回数微分可能と仮定する
– 53 –
54
4. ベクトル解析 I – 場の諸微分
∇f
b
図 4.1 2 変数関数 f (x, y) の挙動を 3 次元中の曲面グラフ z = f (x, y) として表現したもの
(∂f )
d
=
f (a1 + tb1 , a2 + tb2 , a3 + tb3 )
∂b a dt
(∂f )
(∂f )
(∂f )
=
b1 +
b2 +
b3 = (∇ f (a)) · b = (b · ∇) f (a),
∂x a
∂y a
∂z a
(4.3)
となり，従って十分滑らかなスカラー場の方向微分 (∂ f /∂b) は勾配 ∇ f と b の内積の形に表せることが
分かった．またここで副産物として
命題 4.1 x(t) を t = 0 で x = a を発する滑らかな曲線とし、 b = x˙ (0) とするならスカラー関数 f (x) の点
a における t 微分 (d f /dt)(x(t)) は
df
dt
(
t=0
=
)
∂f
= b · ∇ f (a),
∂b a
で与えられる．
も分かった。|t|
1 で x(t) = a + bt + o(t) だからである．
注意 4.1 数学で使われる方向微分 (∂ f /∂b) においては， b が単位ベクトルであることは要求されない．
従って (∂ f /∂b) が文字通りの意味の「 b 方向」における f の変化率であると考えてはいけない．
注意 4.2 方向微分を与える表式のうち (b · ∇) f の形のものには説明した以外の解釈を持たせられる．す
なわち微分作用素
∂
∂
∂
+ b2 + b3 ,
∂x
∂y
∂z
を f に作用させた時の点 a における値，という解釈も可能になる．このように解釈するなら，一般のベク
b · ∇ = b1
トル場 b(x) に対しても，スカラー場に対する微分作用素 b(x) · ∇ が定義可能になることは明らかだろう．
さて，勾配の意味が直感的に分かるように xy-平面上の 2 変数関数 f (x, y) を考えよう．すると f の振
る舞いは 3 次元空間における曲面グラフ z = f (x, y) によって「地形」として捉えることが出来る．
（図 4.1
参照）この時 f の点 a における b-方向の方向微分 (∂ f /∂b) とは， b が単位ベクトルの時にはこの地形が
表す斜面の， b 方向の文字通りの勾配を与えることになる．何故なら f (a + tb) とは水平 b 方向に t だけ
進んだ時の「標高」に他ならず，よってその t 微分とは b 方向の標高の変化率すなわち勾配に他ならな
いからである．このように z = f (x, y) が地形を表すと考える時，点 a における「勾配（ベクトル）」と
言うべきものを定義するならそれはどのような性質を持つようにすべきだろうか？一般に斜面上の点 a
から移動する時，その移動方向によって傾斜は変わる．例えば斜面の等高線方向に動けば傾斜は 0 にな
るだろう．一方それに垂直な方向において斜面は最大傾斜を与える事になるが，この方向を向いた，そ
の大きさが最大傾斜に等しくなるベクトル量こそ勾配（ベクトル）と呼ぶに相応しいだろう．実際に f
4.2 スカラー関数の勾配
55
図 4.2 調和振動子ポテンシャル U = 6x2 + 4y2 + z2 （モデルなので次元は考えない）に対する力の場 −∇U
と等ポテンシャル面 U = 6 の図．勾配（の逆符号）−∇U は等エネルギー面に直交する
の 2 次元勾配 ∇ f = ((∂ f /∂x), (∂ f /∂y)) は今述べた性質を持っている．なぜなら今述べたように，単位ベ
クトル n に対する方向微分 (∂ f /∂n) は n 方向の斜面の傾きを表し，そして (∂ f /∂n) = (∇ f ) · n が成り立つ
ことを見た．これは方向 n が ∇ f (a) と同じ向きの時に最大値 ∇ f (a) を取る．そして変化率の定義から
∇ f (a) は f が増大する方向を向いており，これで確かに ∇ f (a) が勾配ベクトルと呼ぶに相応しい量であ
ることが分かった．
3 次元勾配ベクトル場の例を図 4.2 に示す．勾配は「斜面方向」を向いているので等高面，すなわち f
の値が一定になる面 f = c に直交する．図においても等高面である U = 6 にベクトル場 −∇U が直交し
ているのが見て取れる．力の場は勾配 ∇U の反対符号なので，その向きはポテンシャルエネルギー U の
極小点の方向を向いている．
図 4.2 では力の場をとったが，物理における U と勾配 −∇U の関係を与える具体例としては静電場 E
とそれに対応する空間電位 φ をイメージするとよい．正電荷に対して高電位の点は重力とのアナロジー
で言えば標高の高い点を意味し，低電位の点は標高の低い点を意味する．そして電場 E(x) = −∇φ(x) は，
点 x における電位の低下する方向と電位の空間的な変化率を表している．
注意 4.3 静電場 E は静電ポテンシャル φ の勾配として E(x) = −∇φ(x) と書かれることは上に述べた通り
であるが，では任意のベクトル場 f に対して適当なスカラー関数を見つけて f = ∇g のように書くこと
はできるのであろうか？答は一般には否， f が適当な条件を満たす時にのみ，それは何らかのスカラー
関数の勾配の形に書けるのである．実際 n 次元空間において f = ∇g なら fi = (∂g/∂xi ) であり，この時
偏微分の順序交換可能性により (∂ fi /∂x j ) = (∂2 g/∂x j ∂xi ) = (∂2 g/∂xi ∂x j ) = (∂ f j /∂xi ) と， fi , f j 間に成立す
べき必要条件が導かれる．これが（局所的には）十分条件にもなることは第 7 章 7.3 節で説明する．
4.2.1
全微分と勾配
n 変数関数 f の全微分 d f とは独立変数 x の微小変化 dx に対する関数 f の変化 d f を dxi の 1 次式と
して与えるものであった．これは点 a の近傍で独立変数が x = a + δx，と微小変化すると，関数値 f の
変化 δ f = f (x) − f (a) が δx の 1 次の微小量として表されることを意味している．これを式で表せば
∑
δf =
Ai δxi + o( δx ),
(4.4)
i
ここに o(h) は h に関する高次の微小量，ということになり，ここで δ f, δxi を無限小に持っていったもの
∑
が全微分 d f = Ai dxi になるわけである．同じ主張を繰り返すと， f は x ∼ a では 1 次関数
56
4. ベクトル解析 I – 場の諸微分
f0 (x) = f (a) + A · (x − a),
ここで A = (A1 , A2 , · · · , An ) は点 a に依存する n 次元ベクトル，で十分良く近似できる，ということにな
る．これは前節で紹介した，n 変数関数を n + 1 次元中の n 次元グラフで表現するという手法で言うと f
が点 (a, f (a)) において 接超平面を持つ，ということと同値であり，その接超平面が線形近似関数 f0 (x)
の n 次元グラフで与えられる，というわけである．また (4.4) が成立する時 δx として δxi だけ 0 ではな
く，残りは全て消えるような場合を考えれば
δ f = Ai δxi + o(δxi ),
ということになり，これは偏微分の定義から
Ai =
( ∂f )
∂xi a
,
を意味することになる．すなわち全微分の表式は常に
∑( ∂f )
dxi ,
df =
∂xi a
i
という形を取る．この時 f の n 次元勾配 ∇ f = ((∂ f /∂x1 ), (∂ f /∂x2 ), · · · , (∂ f /∂xn )) と無限小変位ベクトル
dx = (dx1 , dx2 , · · · , dxn ) を用いると全微分 d f は
d f = ∇ f · dx,
と，これら 2 つのベクトルの内積の形に書かれることが分かった．
本書においては，直交座標系，すなわち座標軸が各点において直交するものだけを扱う．この立場におい
∑
てはベクトルの反変，共変性にあまりこだわる必要は無いが，全微分 d f = i Ai dxi（ここでは上下の添字
の区別をした）の「座標」となる f の偏微係数 Ai = (∂ f /∂xi ) を並べて出来るベクトル A = (A1 , A2 , · · · , An )
は共変ベクトルであって，反変ベクトルとは同じ変換性を持たないのに対して f の勾配 ∇ f は Ai の添字
∑
を上げたもの (∇ f )i = j gi j A j （gi j は計量テンソル，gi j はその逆）として定義されることは最後に注意
しておく．デカルト座標系以外において勾配 grad f は座標関数による偏微係数を並べたもの ∂ f /∂x とは
異なるのである．
（直交曲線座標系の場合については (6.3) 式あるいは 8.2.1 節参照）
4.3 ベクトル場の発散
ベクトル場 f (x) の発散（divergence）とは
∇· f =
∂f ∂f ∂f
+
+
,
∂x ∂y ∂z
(4.5)
で定義されるスカラー場のことを言う．上式の左辺はベクトル形の微分作用素 ∇ とベクトル f の「内積」
を取ることを意味するが，これはその定義である右辺をとても良く表現していると言えるだろう．発散
を表す記号としては div f もよく用いられる．発散の意味を直感的に知る為にいくつかの具体例を計算し
てみよう．そこで考えているベクトル場を流体の流量ベクトル場（流れ方向を向き，その大きさが流量，
つまり単位面積を単位時間あたりに横切る流体量を表すベクトル場）と思うことにする．
さて z = 0 を境界に持つ上半空間 z > 0 を x 方向に流れる定常層流は一般に J = (U(z), 0, 0) のように書
かれるだろう．一般に粘性流体の境界速度は 0 になるから U は z = 0 で 0 であり，z の単調増大関数に
なる．この J に対する発散は
∂U(z)
+ 0 + 0 = 0,
∂x
と，消える．次に渦を巻く流れの例として剛体的な回転を表す流れ J = (−Ay, Ax, 0) の発散を計算する
∇· J =
と，これも偏微分を取る変数と偏微分される関数が依存する変数が異なるからこれもまた 0 になってし
まう．次に J = (U(1 + α tanh[Bx]), 0, 0), U > 0, 1 > α > 0, B > 0，という形のものを考えよう．これは過
4.3 ベクトル場の発散
去において，すなわち流れの上流部分では流量が (1 − α)U であったものが流れていった末， x
57
1 の場
所では (1 + αU) の流量になるような流れを表している．現実にはあり得ないことだが，これは x ∼ 0 付
近において流体が無から湧き出してくることを意味している．この時 J の発散は
∇ · J = αBU cosh−2 [Bx] > 0,
ということになる．逆にもし B < 0 であったなら，この流れは過去に (1 + α)U だった流量が x ∼ 0 近辺
を通過した後には (1 − α)U の流量に落ちる流れを表し，これは x ∼ 0 あたりの領域で流体が無に消える
ことを意味し，その時には ∇ · J < 0 となっている．すなわちスカラー量 ∇ · J(x) はその点における流体
の湧き出し（source），吸い込み（sink）を表していることになる．
今行った観察をもっとはっきりさせるため，一般の（十分滑らかな）流量ベクトル場 J の，任意の点
a における発散を考えよう．それは定義により直ちに
( ∂J )
( ∂J )
( ∂J )
y
x
z
∇ · J(a) =
+
+
,
∂x a
∂y a
∂z a
と計算され，これの直感的意味を明確にするため J をこの点の周りでテイラー展開すると
J(a + δx) = J(a) + δx · ∇J(a) + o(δx),



(∂J x /∂x) a
 x − a x 



δx · ∇J(a) = J  y − ay  , J = (∂Jy /∂x) a



(∂Jz /∂x) a
z − az
(4.6)
(∂J x /∂y) a
(∂Jy /∂y) a
(∂Jz /∂y) a

(∂J x /∂z) a 

(∂Jy /∂z) a  ,

(∂Jz /∂z) a
(4.7)
ここで o(δx) は δx の 2 次以上の項，となる．従って局所的に考える限り「流れ」 J は 1 次変換 J(x − a)
で記述され，しかもその点 a における発散は行列 J のトレース で与えられることになる．そこでいく
つかの行列 J に対する流れを図に描いてみよう．
（図 4.3） J の対角部分の要素が全て正である（従って
(a)
(b)
図 4.3 (a) 発散が正になる点（図では原点）においては，流れが湧き出ている．見やすくするために 2 次
元断面を表示している．(b) 流れを表す J が座標に関する 1 次の部分を持つとしてもその発散が 0 になる場
合は，流れが湧き出たり，吸い込まれたりするのとは異なる状況になる．図では 2 方向から来た流れが原点
付近でぶつかって別の 2 方向に去っている．
∇ · J > 0）である図 4.3-(a) は明らかに a から流れが湧き出ている状況に対応している．一方 ∇ · J が消え
る（つまり J のトレースが 0 になる）図 4.3-(b) の場合の J は，複数方向からやって来た流れが互いに
ぶつかった後，別方向に流れていくような状況を表していて，湧き出し，吸い込みは存在しない．よっ
て確かに ∇ · J の値が消えないことと，その点で流体の湧き出し，吸い込みが存在することは同値にな
4. ベクトル解析 I – 場の諸微分
58
ることが分かった．もちろん現実流体に対してそれが無から生じたり無に消えることは無く，従って非
圧縮性流体に対しては ∇ · J ≡ 0 でなければならないことになる．一方，圧縮性流体の，時間的に非定常
な流れ J(x, t) に対しては ∇ · J(x)
0 でもよく，それは点 x における密度変化をあらわすものと考えら
れる．例えば合流点も分岐点も無い高速道路の通行量（定点における時間あたりの通過台数）を連続化
近似して考えたとき，それが原点付近で J(x) = A + Bx, A > 0, B < 0 となったとする．これは道路後方の
通行量の方が前方のそれより多い事を意味している．ところが仮定より本線道路に流出入する車は無い，
すなわち走行台数の総数は保存しているのでこのような J の振る舞いが可能になるには（1）原点前後の
車の密度にはそれほど違いが無いものの後方の車の走行速度が大きいか，
（2）走行速度にはそれほど違
いが無いものの，後方の車の密度が高い（つまり車間間隔が短い）かいずれかが成り立っているはずで
ある．*2 前者の場合車間はどんどん詰まっていくので，やがて車の密度は増すことになるし，後者の場
合は密度の高い部分が原点に達することとなって，いずれの場合でも今の div J < 0 という例は原点付近
の車の密度が増えていくことを意味していることになる．つまりここで考えているような保存則を満た
す流れ J に対してその発散の符号と保存量の密度変化の符号は反対になる．これは 6.3 節で連続の方程
式としてもっと定量的な形で説明する．
注意 4.4 ベクトル場 J の発散は，それを流れの場と見なすとき，J の 1 次近似 Jδx の対称部分 J s = (J+J t )/2
に関係する．一方次節で見るように，行列 J の反対称部分 J a = (J − J t )/2 は流れ Jδx の与える剛体的な
回転に関係する．従って流れによる，微小部分の体積変化は J の対称部分が担うことになる．さて, 発散
には J の対角部分しか関わらないので明らかに J s δx の点 x = a における発散も元のベクトル場の発散に
一致する．この時 a を中心とする，微小直方体で，対称行列 J s を対角化する方向に各辺が向いているも
のを考えよう．そして J s の固有値を λ1,2,3 とすれば，微小時間 δt の間に微小立方体の各辺は 1 + λi δt 倍さ
∑
れることになる．言換えるとこの微小直方体の体積は微小時間 δt
1 の間に 1 + ( i λi )δt = 1 + (∇ · J) a δt
倍されることとなり，それは流れが非圧縮性の場合，単位時間あたり (∇ · J) a だけの流体が湧き出して
きたことを意味し，従って既に述べた発散の意味が再び確かめられた．
4.4 ベクトル場の回転
ベクトル場 f の回転（rotation）∇ × f （rot f とも書く）とは座標軸方向の単位ベクトル e x,y,z を用いて
ex
ey
ez
∂
∂
∂
∇× f =
∂x ∂y ∂z
fx
fy
fz
(∂f
)
(∂f
(∂f
∂ fy
∂ fz )
∂ fx )
y
z
x
=
−
ex +
−
ey +
−
ez ,
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
(4.8)
で定義されるベクトル場のことを言う．上式を眺めれば記号 ∇ × f がその実態（上式最右辺）を良く表
していることが分かるだろう．ベクトルの回転がここで紹介する諸微分の中で一番分かりにくいものとな
るが，ここでは発散の時にしたような局所的な解析を与えるだけにしておく．そこでベクトル場 f を前
節同様流れの場とみなして点 a の周りでテイラー展開し，δx = x − a の 1 次まで考えよう．ここで定義通
りに f の回転を計算するとそれは f の 1 次近似を与える行列 J = (∂ f /∂x ) の反対称部分 J a = (J − J t )/2
ij

 0
1 
a
J =  bz
2 
−by
−bz
0
bx
i
j

by 
 1
−b x  = (J − J t ),
 2
0
を上のように表す時 ∇× f = b = (b x , by , bz ) と書かれることが分かる．つまり ∇× J(x− a) = ∇× J a (x− a) と，
ベクトル場 f の点 a における回転はそのテイラー展開の 1 次の反対称部分だけで決まることになる．そして
*2
ある物理量の流れに関して, その点 x における速度を ，密度を ρ とする時，その物理量の流量は ρ で与えられる．これは
読者が自分で納得して欲しい．
4.4 ベクトル場の回転
(a)
59
(b)
図 4.4 (a) ∇ × J が消えない流れの例．この流れに木片を入れればそれは回転しながら移動していく．(b)
(a) のような，流れの方向と垂直な方向に速さの変化がある流れの，位置に関して 1 次の部分は局所的には
回転を表していると見なせる．
上式で導入されたベクトル b を用いると J a x = (b/2)× x とも書けることが実際に両辺を計算すれば分かり，
従って ∇×((b/2)× x) = b となることも直接計算すれば分かる．
（後で出てくる，微分演算子 ∇ が含まれる場
合のベクトル三重積の公式 (7.6) を用いれば定ベクトル c に対して ∇×(c× x) = (∇· x)c−(c·∇)x = 3c− c = 2c
と計算することもできる）一般にベクトルの外積 ω × x は n = ω/ ω を回転軸とする「角速度」 ω の
無限小回転を表すのだから ∇ × f とは流れの場 f が引き起こす局所的な回転を表していることになる．
すなわち流速を表す流れの場 f に沿って流れていく微小な木片を考えれば，以下のように解釈できるこ
とになる．
（図 4.4 参照）初め木片が点 a にあったとするとそれは f の 0 次部分 f (a) に従う全体的な平
行移動の他，1 次近似の反対称部分 J a （ J の対称部分 J s は注意 4.4 にあるように流体の湧き出し，吸い
込みに関係し，木片の動きには関係しない）によって J a δx = (b/2) × δx で与えられる，
「角速度」 b /2
の回転運動を行うことなり，その時 ∇ × f (a) = b ということになる．これが ∇ × f を f の回転と呼ぶ所
以である．
（見て分かる通り ∇ × f は f の引き起こす回転の「角速度ベクトル」の 2 倍になっている）
5
ベクトル解析 II – 線積分, 面積分
この章では 1 次元から 3 次元空間の積分を与え, その基本的な性質について説明する．1 次元直線上の
関数の積分とは要するに通常の Riemann 積分のことであり，2，3 次元空間の部分領域 D におけるスカ
ラー関数の積分も Riemann 積分として定式化される. ここではそれに対する簡単な復習を述べ，その後
により低次元の部分の上での積分，特に 3 次元空間中の曲線 C ，曲面 S に沿ってのベクトル場 f (x) の
積分を与える. そして，これらの直感的な定義を与えた後，より厳密な定式化について説明する. それを
見れば分かるように，もし d 次元積分法と，変数変換公式の 2 つを認めさえすれば応用上十分厳密にベ
クトル場の線積分，面積分を定式化することが可能になる.
5.1 2 次元，3 次元積分の復習
n 次元有限閉領域 D における，連続スカラー関数 f の積分について簡単に復習しておこう.
n 次元における n 次元積分は，直感的には Riemann 和を用いて定式化されるとしてよい. すなわち全空間
R を一辺の長さ d の n 次元立方体で賽の目状に分割し，領域 D の内部に含まれる立方体 ∆(i, d), i = 1 ∼ N ，
n
の代表点 xi ∈ ∆(i, d) を適当に取って Riemann 和を
Sd =
N
∑
f (xi )dn ,
(5.1)
i=1
で定義する. ここで d → 0 とする時の S d の極限が f の D 上の積分値
∫
f (x)d = lim S d ,
d→0
D
を与える，と考えれば良い.（勿論これは数学的に大変粗雑な積分の定義法だが，直感的にはこれで十分
だろう）
関数 f が不連続な場合，その不連続点の全体 F が n − 1 次元以下になるなら Riemann 和 (5.1) に用いる
∆(i, d) として D − F に含まれるものだけを取った上で d → 0 とすれば，そのような f に対しても積分は定
義される. また無限領域 D における積分に対しては，それは適当な有限領域の拡大列 D1 ⊂ D2 ⊂ · · · → D
に対する極限
∫
∫
f (x)d = lim
n→∞
D
f (x)d ,
Dn
として定義すればよい. 通常，数学においてこのような無限積分に関しては，積分値が上記拡大列の取り
方に関係なく確定することを保証するため絶対収束性，すなわち被積分関数の絶対値の積分も上の極限
を持つことを仮定するが，物理への応用においては必ずしもそれを要求しないこともある．無限領域の
積分が状況の単純化，理想化に際して出てくる場合があり，その時無限領域への拡大の仕方は物理的要
請から決められ，そのような拡大に対して上式が有限確定値を持てば，それが積分値として採用される
のである．*1
以上のようにして定義された n 次元積分に対して以下の定理が成立することは既に知っているものと
する．これらの定理が 3 次元空間中の面積分や各種の積分定理をそれなりに厳密に定式化したり証明し
たりする時に用いられることになるのである．
今，n 次元領域にデカルト座標系を設定し，それを x = (x1 , x2 , · · · , xn ) と置こう．そして n 次元積分を
記号
∫
f (x)dn x,
D
*1
イオン性結晶の静電ポテンシャルの計算等で行われる．実際にはある種のトリックが用いられる．
（数学で総和法と呼ばれる
ものの一種を用いる）
– 61 –
5. ベクトル解析 II – 線積分, 面積分
62
z
z
z = z1+( x, y)
z = z +( x, y)
D
D1
z = z -( x, y)
z = z 1−( x, y)
z = z2+( x, y)
y
x
D2
x
x’
D’
z = z 2−( x, y)
(a)
y
x’
(b)
図 5.1 (a) その境界点の z-座標が x, y 座標の高々2 つの関数 z± として表されるような領域の例 (b) 任意
の 3 次元領域は適当に分割すれば (a) のような領域の和として表されること．図では全体領域 D を太線部
分で上下に，D1 , D2 と 2 つに分割すれば，各 Di に対してその境界 ∂Di は関数 z = zi± (x, y) のグラフとして
表現できる
とも表すことにする．
（体積要素を d では無く，変数名をあらわにして dn x と書く事の意味はすぐ後で明らか
になる）さてこの時 n 次元閉領域 D を xn -軸に沿って x1 x2 · · · xn−1 -平面に射影してできる n−1 次元領域を D
としよう．そして簡単のため，D の境界 ∂D の点で D 上の同じ点に移ってくるものは高々2 つであるとしよ
う．これは ∂D が 2 つの，n − 1 変数 x1 , x2 , · · · , xn−1 の関数のグラフ xn = z± (x1 , x2 , · · · , xn−1 ), z− (x ) ≤ z+ (x )
として表され，今考えている射影によって D の任意の点 x = (x1 , · · · , xn−1 ) に移ってくる D の点の全
体は (x1 , · · · , xn−1 , z− (x )) と (x1 , · · · , xn−1 , z+ (x )) を結ぶ線分になることを意味している．
（図 5.1-(a) 参照）
この時
定理 5.1 (n 次元積分を多重積分として表すこと (累次積分法)) 上述のような有限閉領域 D に対して
∫
∫
∫ z+ ( x )
f (x)dn x =
dn−1 x
f (x , xn )dxn ,
D
D
z− ( x )
となる．
一般の領域 D に対してはそれをいくつかの部分領域に分割して D = D1 ∪ D2 ∪ · · · ∪ DN として各 Di に
対しては上述の性質が成り立つようにできることは殆ど明らかだろう．
（図 5.1-(b) 参照）従って
∫
∑∫
f (x)d =
f (x)d ,
D
i
Di
の右辺の各項に上記定理を適用すればよいだけのことになる．そして上の手法を帰納的に進めていけば
結局普通の 1 変数の積分の繰り返しとして n 次元積分が計算できることになる．*2 次に変数変換公式を
述べて，この簡単な復習部分を終えることにする．n-次元空間から n-次元空間への滑らかな 1 対 1 写像
y → x があったとして，その逆変換によって領域 D は D という領域に変換されるとしよう．この時
定理 5.2 上述の記号の下
∫
∫
f (x)dn x =
D
となる．ここに
J(x, y) = det
f (x(y))|J(x, y)|dn y,
(5.2)
D
( ∂x )
∂y
=
∂xi
∂(x1 , x2 , · · · , xn )
,
=
∂(y1 , y2 , · · · , yn )
∂y j
は変換 y → x のヤコビ行列式（ヤコビアン）である．
*2
数学論理上はともかく，物理への応用においてはこのような累次積分はあまり有用ではない．それより物理的，幾何学的意
味を考えながら積分する方がよい事が多い．
5.2 線積分
x2
f ( x 2)
63
x1
δx 3
x3
x 0 =x a
x N =x a
図 5.2 線積分を曲線の分割によって定義すること
が成立する．
注意 5.1 変数変換公式は 1 変数の積分における置換積分公式
∫ b
∫ d
dx
f (x)dx =
f (x(y)) dy,
dy
a
c
ここに a = x(c), b = x(d)，の高次元版であることは言うまでもない．ただ高次元の場合積分領域には向
き付け（本章次節以降参照）を与えない*3 ので dx/dy の代わりにヤコビアンの絶対値が登場しているの
∑
∑
である．1 変数の積分において Riemann 和を f (yi )(xi+1 − xi ) ではなく， f (yi )|xi+1 − xi | で定義すれば
変数変換公式 (5.2) は 1 次元でも成立することになり，その代わりに a < b に対する
∫ a
∫ b
f (x)dx = −
f (x)dx,
b
a
は左辺の記号の定義式となる．
5.2 線積分
2，3 次元において与えられた連続ベクトル場 F の，区分的に滑らかな，向きのついた曲線 C に沿っ
た線積分
∫
F(x) · dx,
(5.3)
C
を以下に定義しよう．ここで曲線の「向き」というのは曲線の端点のどちらが始点で，どちらが終点か，
が決められていることを意味する．C が閉曲線の場合にも積分開始点を適当に決めておき，曲線を辿っ
ていく向きを決めておくのである．すなわち記号 C は空間中の単なる点集合では無く，その曲線を辿っ
ていく方向をも表しているものとする．
そこで空間にデカルト座標 x を設定し，以下のような Riemann 和を定義しよう．
まず微小な長さ d > 0 を任意に与え，また C の始点を xa ，終点を xb と置き（勿論 C が閉曲線の場合
には xa = xb になる），この曲線を N − 1 個の点 x1 ∼ xN−1 でもって長さが d 程度の微小曲線分 [xi , xi+1 ]
，i = 0 ∼ N − 1 に分割しよう．ここで x0 = xa , xN = xb とした．そしてこの分割に対する Riemann 和を
Sd =
N−1
∑
F(yi ) · (xi+1 − xi ),
(5.4)
i=0
で与えることにする．ここで yi は微小曲線分 [xi , xi+1 ] 上の適当に決めた代表点である．
（図 5.2 参照．こ
こでは yi = xi としている）この時分割を細かくしていった極限
∫
F(x) · dx = lim S d ,
C
d→0
で線積分 (5.3) を定義する．この定義から分かる通り，記号 dx は差 δxi+1 = xi+1 − xi の，分割を細かくして
いった極限に対応し，無限に近い 2 点を結んで出来る，方向を持った（無限小）線要素（あるいは無限小変
*3
微分形式の理論では n 次元空間の n 次元積分要素に対しても向き付け, つまり正負の符号を負わせる．なお以下に見るよう
に，考えている空間の低次元部分に対する積分においては向き付けを意識しなければならないことがほとんどである．
64
5. ベクトル解析 II – 線積分, 面積分
位）を表している．記号 dx は無限小に隣り合う 2 点の変位を表すのだから記号としては dx = (dx, dy, dz)
と書く事ができ，それは単なる形式以上の意味を持つことが例題 5.1 で示されている．
注意 5.2 念のため注意しておくが，曲線の任意の微小曲線分への分割と，それら曲線分上の代表点 yi の
選択に対して極限 S = limd→0 S d が一意に定まる時，被積分関数 F が Riemann 積分可能であり，その
値が S になると定義されるのである．しかし以下では数学的な厳密性にはあまりこだわらない事にす
る．なお F が滑らかな時，与えられた分割に対して F(yi ) を与える代表点 yi の取り方に関わらず d → 0
で Riemann 和が一定値に近づくことは簡単に示せる．微小曲線分の長さが d のオーダーであることか
ら F(yi ) ≈ F(xi ) + O(d) と， F(yi ) と F(xi ) の差は d と同程度のオーダーのベクトルとなり，よってそれ
と xi+1 − xi の内積は d に関する高次の微小量 o(d) になる．一方分割数 N は C の長さを L として L/d の
オーダーであるから，代表点 yi の違いによる Riemann 和の違いは No(d) = o(d)/d のオーダーであって
これは明らかに d → 0 で 0 に収束する．
このようにして線積分が定義されたわけだが，これは与えられたベクトル場と積分曲線 C だけで決ま
る幾何学的な量であって，計算に用いる座標系の取り方には依存しないことは定義から明らかだろう．ベ
クトルの内積は純粋に幾何学的に定義されるものであり，また Riemann 和 (5.4) の各項を計算するのに
必要な分割点や代表点の選び方に依存しない，分割を細かくしていった極限値が存在することが f が線
積分可能であることの定義だったからである．
さて，線積分の，簡単だが重要な性質を述べておこう．まず，閉曲線 C に沿っての線積分はその始点
の選び方に関係なく定まる．これは C の分割の仕方に関係なく，Riemann 和が分割を細かくする極限で
同じ値に収束することから明らかである．
次に C の向き付けを逆転してできる曲線を −C としよう．すなわち C の終点を始点とし，始点を終点
として，点集合としては C と一致するものを −C と置くのである．すると
命題 5.1 線積分に関して次が成立する．
∫
∫
F(x) · dx = −
−C
C
F(x) · dx.
何故なら C の任意の分割 [xi , xi+1 ] ,i = 0 ∼ N − 1 に対して [xi+1 , xi ] ,i = N − 1 ∼ 0 は −C の分割となり，こ
れを用いた Riemann 和において微小曲線分 [xi+1 , xi ] に対する代表点を yi に取ればこれによる Riemann
和は式 (5.4) の反対符号になるからである．
2 つの向き付けられた曲線 C1 , C2 があったとし，C1 の終点と C2 の始点が一致した，としよう．する
と C1 と C2 を繋げて，その始点は C1 の始点，終点は C2 の終点であるような曲線 C1 + C2 を考えること
ができる．この時
命題 5.2 上記の状況において
∫
C1 +C2
∫
F(x) · dx =
∫
F(x) · dx +
C1
F(x) · dx,
(5.5)
C2
が成立する．
これは C1 + C2 に対する分割として C1,2 に対するそれを合わせたものが使えることから明らかだろう．
積分路としていくつかの閉曲線 C1 ∼ Cn が与えられている時 C1 + · · · + Cn とは単にそれら閉曲線の（積
分方向も込めた）合併集合のこととする．従ってこの場合にも
∫
∑∫
f · dx =
f · dx,
C1 +···+Cn
i
(5.6)
Ci
となる．このようにして定義された線積分を具体的に計算するには曲線のパラメター付けを用いるのが
一番簡単である．その例は 5.2.2 節の最後に与えることにする．
5.2 線積分
5.2.1
65
線積分の直感的意味
線積分を直感的に捉えるには，F が力の場であった場合を考えると良い．力の場 F に置かれた物体を
考えよう．今その物体が位置 x にあったとしよう．それをこの位置に止め置くには外力 −F(x) を加えて
力を釣り合わせなければならなないが，ここで物体をほんの少し変位させて位置 x + δx に持ってくるな
ら外力は
δW = −F(x) · δx,
の仕事をすることになる．従ってこのような微小変位を積み重ねていって x = x0 → x1 → x2 → · · · と，
xN = y まで変位させる時に外力が行う仕事は
∑
δWi = −
i
N−1
∑
F(xi ) · δxi = −
N−1
∑
F(xi ) · (xi+1 − xi ),
i=０
i=0
で与えられることになり，これは Riemann 和の式 (5.4) と同じ格好をしている．すなわち力の場 F に置
かれた物体を与えられた曲線 C に沿って位置 x から y まで移動させるのに外力がすべき全仕事 W は線
積分を用いて
∫
W=−
F(x) · dx,
∫ C
で与えられることになる．このように，線積分 F · dx とは F の積分路方向の成分に，移動の重みをつ
けて足し合わせたもの，と捉えればよい．
5.2.2
パラメターを用いた線積分の定式化，線積分の具体例
ここでは線積分，面積分双方に対してもっと厳密に積分を定式化できるパラメター付けを用いた手法
の，線積分への適用を述べる．
今曲線 C を変数 t でもってパラメター付けしよう．すなわち t = ta で始点 xa = x(ta )，t = tb で終点
xb = x(tb ) となるような t の関数 x(t) で，t を ta から tb まで動かしていく時曲線上を xa から xb まで
動いていくようなものを考える．C は区分的に滑らかと仮定しているので閉区間 [ta , tb ] 内の適当な点
ta = t0 , t1 , t2 , · · · , t M = tb があって x(t) は各区間 [ti , ti+1 ] で滑らかとしてよい．そしてこれに対応する曲線
分を Ci （すなわち点集合として Ci = {x | x = x(t), t ∈ [ti , ti+1 ]）とすると命題 5.2 より
∫
∑∫
F · dx =
F(x) · dx,
C
Ci
i
となるから初めから曲線 C が全体的に滑らか，従ってそのパラメター付け x(t) も滑らかなものとして一
般性を失わない．この時 t の微小変化 t → t + δt に伴う曲線上の点の変位は
( dx )
δt,
δx = x(t + δt) − x(t) ≈
dt t
(5.7)
で与えられ，従ってパラメターの動く範囲 [ta , tb ] を細分した ta = t0 , t1 , t2 , · · · , tN = tb に対応する曲線の
分割を用いた Riemann 和は
∑
∑
∑
( dx )
( dx )
F(xi ) · δxi ≈
F(xi ) ·
δti =
F(xi ) ·
(ti+1 − ti ),
t
dt i
dt ti
(5.8)
と書かれることになる．
（上式左辺と右辺の差が分割を細かくしていく極限で無視でき，従って積分の定
義に影響しないことは注意 5.2 における議論と全く同様にできる．δxi = xi+1 − xi と x˙ (ti )(ti+1 − ti ) の差は
d ≈ δx i に関する高次の微小量になるからである）これをよく見れば Riemann 和 (5.8) は，分割を細か
くしていった極限で t の関数
f (t) = F(x(t)) ·
の，数直線 [ta , tb ] 上の Riemann 積分
∫
tb
ta
を与えることが分かる．以上をまとめて
∫
f (t)dt =
ta
tb
( dx )
dt
t
,
F(x(t)) · x˙ (t)dt
5. ベクトル解析 II – 線積分, 面積分
66
定理 5.3 滑らかな，向き付けられた曲線 C を滑らかにパラメター付けし，それを x(t) とし，始点が t = ta ，
終点が t = tb で与えられるようにすれば，C に沿ったベクトル場 F の線積分は
∫
∫ tb
( dx )
F(x(t)) ·
F(x) · dx =
dt,
dt t
ta
C
(5.9)
で与えられる．
が分かった．この定理は，パラメターを用いた線積分の値が，パラメター付けに依存せず，曲線 C とそ
の向きだけで一意に決まることも含意している．何故なら初めに与えた線積分の定義にパラメター付け
は用いられていないからである．しかし線積分がパラメターの取り方に依存しない事を直接示すことも
できるので，以下にそれを紹介しておこう．
今 C が 2 つのパラメター付け [t1 , t2 ]
t → x(t) ∈ C, [s1 , s2 ]
s → x(s) ∈ C を持つとしよう．この時同
じ曲線上の点 x ∈ C に移ってくる t と s の間には 1 対 1 の対応が付く事になり，この対応 t ↔ s は滑ら
かになる．すると置換積分公式と合成関数の微分則から
∫ t2
∫ s2
( dx )
( dx ) ( dt )
f (x(t)) ·
dt =
f (x(t(s)) ·
ds
t
dt
dt t(s) ds s
t1
s
∫ 1s2
( dx )
=
f (x(t(s)) ·
ds,
ds s
s1
(5.10)
と，確かに積分値がパラメターの取り方に関係なく定まることが示せた．
注意 5.3 上述のことを一般化すると，パラメター付けが 1 対 1 でない時にもパラメターを用いた線積分
を定義できる．すなわちパラメタ− s が閉区間 [sa , sb ] の値を下から動いていくとき，x(s) の方は曲線 C
上を単調に始点から終点に向かうのでは無く，途中で行きつ戻りつする時でも (5.9) は有効である．それ
は式 (5.10) から分かるが，線積分の定義に立ち戻っても分かる．[sa , sb ] を [sa , s1 ], [s1 , s2 ], · · · [sk , sb ] と分
割して，各区間では x(s) が x(si ) から x(si+1 ) に向かって単調に動くようにし，曲線 Ci をパラメタ−の区
間 [si , si+1 ] に対応する部分（C0 は [sa , s1 ]，Ck+1 は [sk , sb ] の像によって定められるとする）とすれば
∫ sb
∫
dx
f (x) ·
ds =
f · dx,
ds
sa
C0 +C1 +···+Ck+1
であり，この右辺が f の C に沿っての積分になることは命題 5.1 及び命題 5.2 より明らかだろう．
ここで閉曲線 C に沿って 1 周する積分をパラメターを用いて計算する場合，パラメターをその定義域
で動かす時 C をちょうど 1 周するようになっていないといけない．途中で行きつ戻りつしていいのは上
述の場合同様だが，全体としては元の C の向き付けと同じ方向にちょうど 1 周分の動きになっていない
といけないのである．勿論 C を 2 周する積分，つまり 2C に対するパラメター付けは，そのパラメター
を動かした場合，C 上をちょうど 2 周するようになっていないといけない．その場合
∫
∫
∫ sb
dx
f (x) ·
ds = 2
f · dx =
f · dx,
ds
C
2C
sa
が満たされる，ということになる．
最後に簡単な具体例を挙げてこの節を終える．
例題 5.1 平面ベクトル場 f = (−y, x/2) を
(1) (1, 0) から (1, 1) に到り，次に (1, 1) から (−1, 1) を経て (−1, 0) に到る折れ線 C の上で積分すること．
(2) 同じベクトル場を (1, 0) から原点を中心とする単位円周上を左回りに (−1, 0) に到る曲線 C の上で積
分すること．
(解)
5.2 線積分
67
z
xi
xf
C x2
yf
x i1
x
C x1 y
xi
xf
C
x x1
yi
δy y m
図 5.3 空間曲線を座標関数でパラメター付けすること．図の曲線 C の xi から x x1 までの部分 C x1 上の点
は xi から xi1 までの x-座標値と 1 対 1 に対応し，C x2 上の点は xi1 から x f までの値によって一意に定まる．
破線で表された曲線の [yi , ym ] 部分は xy-平面内にあってこの部分を z 座標値でパラメタ−付けすることは
できない．またこの時 δy も同じ面内にあるので内積 f · δy において fz 成分からの寄与もない
(1) (1, 0) から (1, 1) に到る線分を C1 ，次に (1, 1) から (−1, 1) に到るものを C2 ，最後に (−1, 1) から (−1, 0)
に到る線分を C3 とすれば命題 5.2 より
∫
∫
f · dx =
C
∫
f · dx +
C1
∫
f · dx +
C2
f · dx,
C3
である．さて C1 ，C3 上では線分上の点の y 座標値自身をパラメターに使うことができ （この時 C1
上で x ≡ 1、C3 上 x ≡ −1 は y に関する定数関数になる），一方 C2 上では x 座標値をパラメターと
して用いることができる．
（この時 y≡1 は x に関する定数関数になる）すなわち
∫
∫ 1
∫
∫
1 1
1 1
1
f · dx =
(−y, x/2) · (0, 1)dy =
xdy =
dy = ,
2
2
2
C1
0
0
0
∫
∫ −1
∫ −1
∫ −1
f · dx =
(−y, x/2) · (1, 0)dx = −
ydx = −
dx = 2,
C2
1
∫
∫
f · dx =
C3
1
0
1
1
(−y, x/2) · (0, 1)dy = −
2
∫
1
1
0
1
dy = ,
2
となり，全積分値は 3，ということになる．以上の事柄を一般化して記号 dx = (dx, dy, dz) を合理化
することが可能になる．今曲線 C 上の点 a の各座標値 x(a), y(a), z(a) を考えると例外的な点を除け
ばこれら座標値と a は局所的には 1 対 1 に対応している．従って C をいくつかの部分に分割して各
C xi ，i = 1 ∼ n x は x によってパラメター付け可能，とすることができる．
（図 5.3 参照）同じことを
変数 y, z に対しても行って，それらに対する曲線の分割を Cy j , Czk と置けば
命題 5.3 線積分に関し，以下が成立する．
∫
∑∫
∑∫
f · dx =
f x (x, y(x), z(x))dx +
C
+
i
C xi
k
Czk
∑∫
j
fy (x(y), y, z(y))dy
Cy j
fz (x(z), y(z), z)dz.
(5.11)
(証明) ベクトル場 f はその成分に分解して 3 つのベクトル場 f x = ( f x , 0, 0), f y = (0, fy , 0), f z = (0, 0, fz )
の和 f = f x + f y + f z として表すことができる．そして積分の線形性より
∫
∫
∫
∫
f · dx =
f x · dx +
f y · dx +
f z · dx,
C
C
C
C
が成り立つ．さて今 C の一部分である C xi の点をパラメター x でもって表せば
dx ( dy dz )
= 1, ,
,
dx
dx dx
68
5. ベクトル解析 II – 線積分, 面積分
となり，よって (5.9) から
∫
∫
∫
( dy dz )
f x · dx =
( f x (x, y(x), z(x)), 0, 0) · 1, ,
dx =
f x dx,
dx dx
C xi
C xi
C xi
(5.12)
となる．後は同じことを別の部分や別の座標関数に対して適用すればよい．もし C xi 達が（あるい
は Cy j , Czk 達がそれぞれ）全体として C に一致すればこれで全てが証明されたことになるが，C の
一部分 C が yz− 平面に平行な面上にある場合，C を x でパラメター付けすることは出来ないので
∪C xi = C − C
C となってしまう．この場合 C 上においては線積分の定義から f · δx = fy δy + fz δz
と， f の x-成分 f x からの寄与は無くなるので
∫
∫
f x · dx =
C
f x · dx,
C−C
となり，上式右辺の積分は (5.12) に一致するからこれで命題の全ての部分の証明が終わった．
(2) ここでは命題 5.3 の応用，及び単位円上の点に対する偏角をパラメターとして用いる，という 2 種
類の計算法を与えることにする．まずは上記命題の方法で積分しよう．それには f x · dx = −ydx 及び
f y · dx = xdy/2 を，(5.12) によれば前者をパラメター x，後者をパラメター y でもってパラメター付
√
けして積分すればよい．前者においては y = 1 − x2 と書け，後者に関しては，円周上 (1, 0) − (0, 1)
√
√
の範囲では x = 1 − y2 、(0, 1) − (−1, 0) においては x = − 1 − y2 と書けることから
∫
∫ √
∫ √
∫ −1 √
1 1
1 0
1 − x2 dx +
1 − y2 dy −
1 − y2 dy
f · dx = −
2 0
2 1
C
1
∫ 1√
∫ 1√
3π
2
=
1 − x dx +
1 − y2 dy =
,
4
−1
0
と計算される．次に C 上の点を偏角 θ を用いて x = cos θ, y = sin θ と表して，(5.9) に従って線積分
を計算しよう．ここで
dx
= (− sin θ, cos θ),
dθ
となるので
∫
f·
C
dx
=
dθ
=
∫
π
∫0 π
(− sin θ, (1/2) cos θ) · (− sin θ, cos θ)dθ
sin2 θ +
0
1
3π
cos2 θdθ =
.
2
4
当然 2 つの方法で計算した値は一致する．
5.3 面積分
今度はベクトル場 f の，空間内の区分的に滑らかな曲面 S 上の積分
∫
f · dS,
(5.13)
S
を定式化しよう．ここで f (x) が流体の流量ベクトルである場合，すなわち点 x における流体の運動方向
が n，その点における n を法線とする微小断面積 δS を単位時間に通過する流体量が δM であるような
流れに対して f = (δM/δS )n と定義されるベクトル場 f に対し，(5.13) が断面 S を横切る全流量になる
よう，面積分 (5.13) を定義しよう．ただしこの積分は向き付きの量であるとしよう．つまり f が流量ベ
クトル場である時 (5.13) は単に曲面 S を横切る全流量の大きさを与えるだけではなく，S をどちら側か
らどちら側に流れていくかも判断できるように面積分を定義したい．そのためにいわゆる曲面の向き付
け（要するに面の 裏表の区別）を以下で与えよう．
今一つながりの区分的に滑らかな曲面 S *4 の，境界より内側にある点 x の十分小さな空間近傍 U を考
えると S は U を 2 つに分ける，つまり片一方を「内」とすればもう片方が「外」になる．
（図 5.4 参照）
*4 「区分的に滑らか」の意味は直感的に捉える事にする．なおその面積が発散してしまうような「しわくちゃ」な曲面（例えば
x > 0 で z = x sin(1/x), x ≤ 0 で z = 0 と定義されるような曲面）は例え区分的に滑らかであっても考察の対象にはしない．
5.3 面積分
69
n(y )
y
x
U
n(x )
図 5.4 曲面 S の法線場を指定することによってその向きを与える事．曲面の滑らかな部分においては法線
ベクトル場で向きを指定し，それらが「折れ目」を介して整合性を持つように定める．図では面の手前側を
「表」，奥側を「裏」と考えた向き付けになっている
このどちらかを内側，反対側を外側として，内から外へ向かう方向を（面の裏表として）指定したいの
だが，それには曲面の法線ベクトル n の方向（各点において 2 つの可能性がある）を指定すればよいこ
とは明らかである．すなわち n の矢印が裏から表へ向かう方向を与えるものと約束すればよい．そして
曲面に「折り目」がある場合においても曲面の滑らかな部分においては各々法線ベクトル場を指定して，
それらが図 5.4 に示されているように折り目近辺で互いに整合性を持つようにすればよい．図において，
描かれている球体が上の U に相当し，この場合は奥から手前（点 x の部分），あるいは右から左（点 y
の部分）に向かう方向が指定されている．いずれの場合でも奥側の領域が曲面で区切られた「内側」に
なっていて整合性がとれている．なお「折り目」の部分に対しては法線を付随させられないが，折れ目
部分のなす集合は 1 次元以下になり面積分には寄与しないので放っておいてよい．なお曲面によっては
全体的に整合性の取れた向き付けを与えるのが不可能なものもある．その例として有名な Mobius（メビ
ウス）の帯を図 5.5 に掲げておく．面上の 1 点で法線の向きを指定しそれを連続的に拡張していった際，
帯を一周して戻って来た時法線は反対方向を向いてしまっている．このような向き付け不能な曲面に対
しては，ベクトル場の面積分は定義できないものとしてこの後は考えない事にしよう．
さて以上によって向き付け可能な曲面すなわちその上で全体的に整合性の取れた法線場を与えること
ができるような，区分的に滑らかな曲面 S の上の面積分の定義を与える準備が整った．なお積分の加法
性から，全体的に滑らかな曲面に対する面積分さえ構成すれば，区分的に滑らかな曲面 S に対するそれ
は S を構成する滑らかな部分 S i 上の面積分の和として定義すればよいので，以下では S は全体的に（境
界を除いて）滑らかであるとする．
そこで向き付け可能な，滑らかな曲面 S が与えられたとしてその上の法線場 n で向きを与えよう．
（2
つの可能性があるが，そのうちのいずれかを選ぶ，ということ）そしてこの曲面を図 5.6 のように微小
平行四辺形に分割しよう．滑らかな曲面 S はその十分に小さい部分だけ見ればほぼ平らであることから，
そのような微小部分を図のようにベクトル δs, δt で張られる平行四辺形でもって代用するのである．す
ると δs と δt の外積
δS = δs × δt,
(5.14)
はこの微小平行四辺形に垂直な，その大きさは平行四辺形の面積 δS に等しいベクトルとなる．つま
り δS（（無限小）面積要素ベクトル）は曲面の向きを与える法線 n と同じ向きか，正反対の向きを向い
ていることになる．そこで δs, δt の順に平行四辺形の辺をなすベクトルを並べる時に (5.14) が（S の向
きを与える）法線 n と同じ向きになるように約束することにしよう．
（言い換えれば δs, δt, n がこの順で
右手系の xyz-座標軸方向と同じになるように δs, δt の順番を決めるのである）
S を上のような N 個の微小平行四辺形 ∆i , i = 1 ∼ N に分割し，それらが xi を始点とするベクトル
δsi , δt i で張られるものとしよう．
（図 5.6 参照）そしてこの平行四辺形上の適当な点 yi におけるベクトル
場の値を f i とする．これはこの微小平行四辺形におけるベクトル場 f の代表的な値であると考えられ
る．
（図では yi として平行四辺形の中心を取っている）
70
5. ベクトル解析 II – 線積分, 面積分
図 5.5 Mobius の帯．全体として整合性の取れた向き付けを与えることはできない
fi
ni =
δs i×δt i
δs i×δt i
δt i
δs i
図 5.6 面積分を曲面の分割によって定義すること
今ベクトル場 f をある流体の流量ベクトルであったとし，この流体が微小面 ∆i を単位時間に通過する
流体量が，どのように与えられるか考えよう．但し流体が S にあらかじめ与えておいた向きと同じ方向
に流れている時，流量は正，反対向きに流れている時には流量が負になるようにしよう．すると流量ベク
トル f の意味から言って， f i · ni が向きも込めた実効的な単位時間単位面積あたりの流量になる．従って
∆i を横切って ni の方向に流れていく単位時間あたりの流体量は δI = f i · ni δS i で与えられることになる
が，初めの約束から δsi × δt i = δS i ni となるので結局 ∆i を通過する単位時間当たりの流量は f i · (δsi × δt i )
と表わされる事になる．
（非圧縮性流体の場合体積流量で考えれば f i は流体速度を表すことになり，よっ
て微小時間 δt の間に ∆i を通過する流体体積は ∆i を底面， f i δt を高さ方向に持つ平行六面体の体積に等
しいことになる．これは符号付きで考えて f i · (δsi × δt i )δt に等しいので，単位時間あたりに ∆i を横切る
体積流量は確かに f i · (δsi × δt i ) となる）従って曲面 S 全体を，与えられた方向に通過する単位時間当た
りの全流量は Riemann 和
Id =
∑
f i · (δsi × δt i ),
(5.15)
i
で近似的に与えられることとなり，よって微小平行四辺形辺の代表的な長さ d を小さくしていった極限
I = limd→0 Id が S を横切る単位時間当たりの流量の正確な値を与える事になる．すなわちこの極限 I の
ことを S 上の f の面積分 (5.13) の値だと定義すればよい．勿論これがどのような曲面の分割の仕方，代
表点 yi の選び方，極限 d → 0 の持って行き方に関わらず一意の値を与えることを証明する必要がある
が，直感的には十分納得の行く定義ではあるだろう．
（以下の節で間接的な「証明」を，パラメター付け
を用いた面積分の定義を与えることによって行う）
このようにして得られた面積分が線積分同様，ベクトル場 f と積分曲面 S によって定まり，計算に用
いる座標系の選択には依存しないのは明らかだろう．ベクトルの内積，外積は幾何学的に定義可能であっ
て，成分表示に用いる基底系の選択に依存しないからである．またスカラー関数 f の，空間領域 D 上で
5.3 面積分
71
の積分が計算に用いる座標系に依存しないことも明らかである．これらの積分が幾何学的に不変な内容
を持つことから，場の諸微分が用いる座標系に関係なく定義できることを次章で見るだろう．
注意 5.4 図に見られるように境界部分においては三角形領域も現れるが，これは面積分の定義に際して
無視してよい．微小平行四辺形の辺の代表的長さ d をどんどん小さくしていく時，このような三角形領
域を合わせた全面積は曲面の境界の長さを L として Ld のオーダーであることから，これら三角形領域
上の積分は d → 0 で消えてしまうからである．
（区分的に滑らかなベクトル場 f の任意曲面 S 上の面積
分の大きさは高々S の面積と S 上での f の最大値の積程度の量であるから今考えている三角形領域全
体に対する面積分の大きさは Ld のオーダーでしかない）
またいっそのこと曲面を微小三角形 ∆i に分割して各微小三角形の面積ベクトル δSi と，その三角形上
∑
におけるベクトル場の代表値 f i の内積の和 δSi · f i の，分割を細かくしていった極限として面積分を
定義してもよい．
（このような定義はストークスの定理 6.2 の証明において用いることにする）平行四辺
形による分割において各平行四辺形を二分すればそれが特別な形の三角形分割の一種になることは直ち
に分かり，Riemann 和を細かくしていった極限が一意に決まることさえ認めれば，三角形による分割で
あろうと，平行四辺形による分割であろうと（今述べたように平行四辺形による分割での境界近辺の取
りこぼし分は極限移行で消えるから）同じ面積分値を与えることになる．
この節を終えるにあたっていくつかの簡単な注意を与えることにする．いずれも定義から直ちに分か
る類のものである．まず曲面の向き付けについてであるが図 5.6 にあるように，それを曲面の各点に渦
巻き模様を描くことで表すと便利である．すなわち向き付けを表す法線方向 n が右ネジの進む方向とな
るような回転を渦模様として曲面上に描くのである．次章でストークスの定理 6.2 を証明するが，これ
は向き付けられた曲面 S 上での ∇ × f の積分と，S の境界となる閉曲線 C = ∂S （∂X は X の境界集合に，
X の向き付けから誘導される向きを与えたものを表す．次章図 6.3 参照）に沿った f の積分が一致する，
という定理であって，与えられた S の向き付けから決められる C の積分方向がこの渦模様の与える向き
に一致するので視覚的に大変便利なのである．
f の S 上の積分は曲面の向き付けを逆転すれば符号が変わることも指摘しておく．従って記号 S を，
その向きも込めたものとして，−S で反対の向き，つまり法線方向が逆になった曲面を表すことにすれば
∫
∫
f · dS = −
f · dS,
−S
S
ということになる．また向き付けられた曲面 S を，互いに高々1 次元以下の部分しか共有しない部分 S i
に分け，各 S i の向き付けとして S 由来のものを用いれば
∫
∑∫
f · dS =
f · dS,
S
i
Si
となる．いずれも取るに足らないようなものであるが，実際の計算に良く用いられるのでここにまとめ
ておいた．
5.3.1
パラメターを用いた面積分の定義と具体例
ここでは曲面がパラメター付け可能な時の，ベクトル場の面積分の定義を与えよう．今法線場 n によっ
て向き付けられた滑らかな曲面 S に対して 2 次元平面の領域 D ∈ R2 と D から R3 への写像 x : (s, t) →
x(s, t) = (x(s, t), y(s, t), z(s, t)) があって D の点が S の上に 1 対 1 に対応するとしよう．そしてさらに x(s, t)
の各点において
∂x ∂x
, , n,
∂s ∂t
がこの順で右手系の xyz-座標軸と同じ向きになるものとする，要するに写像 x は向きを込めて S をパラ
メトライズしているとする．この時 x(s, t) を用いた空間ベクトル場 f の S 上での積分が
∫
∫
(( ∂x )
( ∂x ) )
×
dsdt,
f · dS =
f (x(s, t)) ·
(s,t)
∂s
∂t (s,t)
S
D
(5.16)
5. ベクトル解析 II – 線積分, 面積分
72
で与えられることが分かる．(s, t)-平面における領域 D をその頂点が (si , ti ), (si + δs, ti )，(si , ti + δt), (si +
δs, ti + δt) で与えられる微小長方形 ∆i に分割すれば，これら微小長方形は写像 x によって点 xi = x(si , ti )
を始点とする微小なベクトル δx s = x(si + δs, ti ) − xi ≈ (∂x/∂s)(si ,ti ) δs，δxt = x(si , ti + δt) − xi ≈ (∂x/∂t)(si ,ti ) δt
の張る微小平行四辺形 ∆i に写され，これらは S の微小平行四辺形分割を与えることになる．そしてベ
クトル場の面積分の，この微小平行四辺形を用いた曲面分割に対応する Riemann 和 (5.15) は
(( ∂x ) ( ∂x ) )
∑
∑
f i · (δx s × δxt ) ≈
fi ·
×
δsδt,
∂s i
∂t i
i
i
となる．ここで左右両辺の和に現れる，対応する各項の差は微小平行四辺形の面積より高次の微小量と
なるから分割を細かくしていった極限で両辺は同じ値に収束することになる．ところが右辺は D 上にお
ける関数 F(s, t) = f (x(s, t)) · [(∂x/∂s) × (∂x/∂t)](s,t) の Riemann 和の形になっている．従って確かに分割を
細かくしていく極限でこれは (5.16) に一致し，よってそれが面積分を与えることが分かった．
さて，今 S に対する別のパラメター付け D
(u, ) → x(u, ) ∈ S があったとしよう．これら 2 つのパ
ラメター付けによって我々は上への 1 対 1 対応 D
(s, t) → (u, ) ∈ D を得，これを用いて面積分の値が
パラメター付けに依存しないことが証明される．今パラメター (u, ) を用いて面積分を計算する式におい
て，u, が s, t の関数であった，として変数を変換すると
∫
(( ∂x ) ( ∂x ))
f (x(u, )) ·
×
dud
∂u
∂
D
∫
(( ∂x ) ( ∂x )) ∂(u, )
dsdt
×
=
f (x(s, t)) ·
∂u
∂
∂(s, t)
∫D
{(( ∂x )( ∂s ) ( ∂x )( ∂t ))
=
f (x(s, t)) ·
+
∂s ∂u
∂t ∂u
D
(( ∂x )( ∂s ) ( ∂x )( ∂t ))} ∂(u, )
+
dsdt
×
∂s ∂
∂t ∂
∂(s, t)
∫
(( ∂x ) ( ∂x )) ∂(s, t) ∂(u, )
=
f (x(s, t)) ·
×
dsdt,
∂s
∂t ∂(u, ) ∂(s, t)
D
となる．
（中括弧でくくられた外積の部分を分配則を用いて展開すれば分かる）ここで ∂(X, Y)/∂(Z, W) は変
数 X, Y を Z, W に変換する際の Jacobi 行列式（ヤコビアン）を表し，また記号を濫用して (s, t), (u, ) が S
の同一点 x に対応することを関数記号 x(s, t) = x(u, ) で表した．ここでパラメター付けが S の向きをも指
定していたこと（そのように変数の順番を決めておいた）を思い出せば上に現れるヤコビアン ∂(u, )/∂(s, t)
は初めから正の値であることが分かり，従って絶対値記号がはずせるので (∂(s, t)/∂(u, ))|∂(u, )/∂(s, t)| =
(∂(s, t)/∂(u, ))(∂(u, )/∂(s, t)) ≡ 1 となって，結局
∫
(( ∂x ) ( ∂x ))
f (x(u, )) ·
×
dud
∂u
∂
D
∫
(( ∂x ) ( ∂x ))
×
=
f (x(s, t)) ·
dsdt,
∂s
∂t
D
が分かった．以上をまとめて
命題 5.4 曲面 S を向きも込めてパラメター付けしてそれを x(s, t) とし， st-平面の領域 D が S を表すな
ら空間ベクトル場 f (x) の S 上での面積分は D 上の積分
∫
∫
(( ∂x ) ( ∂x ))
f · dS =
f (x(s, t)) ·
×
dsdt,
∂s
∂t
S
D
(5.17)
で与えられる．そしてこの値は用いたパラメターに依存しない，曲面とその向き付けだけで決まる量に
なる．
が得られた．
注意 5.5 パラメタ−を用いた面積分の定式化 (5.17) において D から S への写像 ϕ : (s, t) → x(s, t) を上
への 1 対 1 写像であるとしたが，面積分に 1 次元部分の寄与はないから D の点が S の中の 1 次元部分
5.3 面積分
73
S1
S
S2
図 5.7 自己交叉を持つ面 S 上の面積分
に多対 1 に写像されることがあっても問題は無い．例えば原点を中心とする単位球面は，極座標を用い
れば (θ, ϕ) → (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ), 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π とパラメター付けされるが，これはパラ
メター空間の境界において多対 1 となっている．しかしその像は（南北両極を含む）経度 0◦ の経線とい
う 1 次元集合になるので面積分の際には問題ならない．特に図 5.7 のように，自己交叉を持つような曲
面 S に対する面積分に対してはパラメタ−を用いた方がより「自然」に計算ができるだろう．図におい
て S を S 1 と S 2 に分けて，その上の面積分を直接定義してもいいが，円板から S への，交叉部分だけ 2
対 1 になるパラメタ−付けを用いて積分してもよい．
例題 5.2 ここでも線積分の場合同様，空間に設定されたデカルト座標をそのままパラメターとして使っ
て面積分を計算する方法と，もっと分りやすい種類の曲面のパラメター付けを用いる方法の 2 つを紹介
する．空間座標をパラメタ−として用いると，一般的な定式化（微分形式の方法）における表記法の意
味が分かりやすくなるので，多少面倒でも紹介するのである．
(1) ベクトル場 f = (x, y, z) を平面 S = {x | x + y + z = 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 } 上で面積分する
√
事．但し向き付けとしては「外向き方向」，つまり n = (1/ 3)(1, 1, 1) を取る．
(2) ベクトル場 f = (zx, zy, x2 + y2 − z2 ) を原点を中心とする半径 1 の上半球面上で積分すること．但し
向き付けとしては球面の外向き法線方向を取る．
(解)
(1) 一般的な話として，曲面 S を xy-，yz-，zx-平面に射影してみよう．この時 S を適当に分割して
S = S xy1 ∪ S xy2 ∪ · · · ∪ S xyn とし，S xyi 各々は xy-平面に 1 対 1 に射影されるようにできる．
（このこ
とは既に累次積分の所で見た．図 5.1 参照）その結果 S xyi の点はその x, y 座標値で一意に定められ
ることになる．言い換えると S xyi は xi (x, y) = (x, y, zi (x, y)) という形にパラメトライズされる．同様
にして S を S = ∪i S zx j あるいは S = ∪k S yzk と分割し，S zx j の点は x j = (x, y j (x, z), z)，S yzk の点は
xk = (xk (y, z), y, z) とパラメター付けすることが可能になる．なお線積分の場合と同様に，特定の座
標平面に射影すると曲面の一部分が 1 次元以下につぶれてしまう場合もある．しかしこれから見る
ように，その「潰れて」しまった部分は面積分に寄与しないようにできるので問題は無い．
（線積分
の時と同様の事情による）そこでまず初めは，S を各座標平面に射影する際 1 次元部分集合（射影
で 2 次元領域の境界に移ってくるような部分）以外の点の近傍ではこの射影は 1 対 1 になるものと
しよう．すると各 S xyi 上の（高々1 次元部分の例外を除いた部分の）点 a における向き付けを与え
る法線ベクトルを n とすれば nz
0 となる．
（曲面が z-軸に沿った射影で xy-平面に 1 対 1 に写され
るのだから）そして f の z 成分 fz の S xyi 上での面積分は
∂xi (
∂zi ) ∂xi (
∂zi )
= 1, 0,
,
= 0, 1,
.
∂x
∂x
∂y
∂y
であることを用いると
74
5. ベクトル解析 II – 線積分, 面積分
∫
∫
fz nz dS = ±
S xyi
∫
D xyi
=±
(( ∂x ) ( ∂x ))
i
i
fz (x)
×(
dxdy
∂x
∂y z
fz (x, y, zi (x, y))dxdy,
D xyi
という形に与えられることが分かる．ここに D xyi は S xyi を射影してできる xy 平面上の領域とし，複
号に関しては nz の符号と一致するように取った．
（ここで述べた符号の取り方は x, y という順番での
パラメター付けが曲面の向き付けと一致する時正，反対の時負を取る，と言っているのと同値であ
る）他の座標平面に対する射影に対しても同様の論法を用い，∪S xyi , ∪S yz j , ∪S zxk が各々S のほとん
ど（面積を持たない部分以外）を覆っていることから線積分の時同様 f z = (0, 0, fz (x)) などとして以
下が得られる．なお下で符号は曲面ごとに変化し得る．
∫
f · dS
S
∑∫
∑∫
∑∫
f z · dS +
f x · dS +
=
S xyi
i
=
j
∑ ∫
±
fz dxdy +
S zx j
∑ ∫
±
D xyi
i
k
f x dydz +
Dyz j
j
f y · dS
S yzk
∑ ∫
±
k
fy dzdx.
(5.18)
Dzxk
次に曲面 S の有限面積を持つ一部分 S 上の点の法線 n が z-成分を持たず，従って S の xy-平面へ
の射影は 1 次元以下につぶれてしまうとしよう．この時 S 上では f · dn = f x n x + fy ny となって fz の
寄与は消えてしまう．つまり fz が面積分値に寄与するのは S の， xy-平面に有効に射影される部分
からだけであることが分かった．同じ事が f x , fy と yz-,zx-平面への射影についても言える．結局どの
ような曲面 S に対しても，S xyi を S の xy-平面に 1 対 1 に射影される部分の分割，S yz j ，S zxk を同
様の分割として，∪S xyi
S などとなったとしても (5.18) が成立することが分かった．
以上を象徴的に表すと
∫
∫
f · dS =
S
f x dydz + fy dzdx + fz dxdy,
S
となる．ここで右辺の積分は空間曲面上のものと考えていて，各座標平面に射影する前のものなの
で符号は付いていない．言い換えると面積要素 dS は


 dydz 


dS = dzdx  ,


dxdy
(5.19)
と書いてよいことになる．
注意 5.6 上記面積要素ベクトルの記法は微分形式の理論で正当化される．すなわち (5.19) に登場す
る dydz, dzdx, dxdy は 3 次元の 2 階反対称共変テンソルの基底系とみなせ，純粋数学的な観点からは，
面積分は 3 次元べクトル場では無く，この 3 次元 2 階共変反対称テンソル場 f x dydz + fy dzdx + fz dxdy
（これも自由度 3 C2 = 3 になる）に対して定式化される．一般に反対称共変テンソル場に対しては，
考えている空間の計量構造，すなわち長さや角度概念なしに積分が定式化できる．この時本節で扱っ
ている反変ベクトル場の面積分は純粋数学の見地からはその添字を下げて反対称共変テンソル場に
直した上で積分したものと解釈される．勿論物理学，幾何学的見地からはこれを本節のような，ベ
クトル場と法線場の内積に無限小スカラー面積要素をかけて足し合わせたもの，と考えて何ら問題
は無い．（[5] もしくは，多様体，微分幾何学の教科書を参照のこと）
それでは以上を用いて積分
∫
∫
f · dS =
S
xdydz + ydzdx + zdxdy,
S
を実行しよう．三角形領域 S を座標平面に射影したものが直角二等辺三角形になるのは明らかであ
り，それらを D xy などと書くことにする．さて上で見たように S を yz-平面に射影する場合 f x dydz
5.3 面積分
75
だけを問題にすればよく，この時 x = 1 − y − z と（ x は y, z を用いて）書かれるので
∫
xdydz + ydzdx + zdxdy
S
∫
∫
∫
=
(1 − y − z)dydz +
(1 − z − x)dzdx +
(1 − x − y)dxdy
∫
Dyz
1
=
0
∫
1
=
Dzx
∫
[
1−z
=
1
2
∫
(1 − y − z)dydz + · · ·
0
(1 − z)y −
0
1
D xy
y2 ]1−z
dz + · · ·
2 0
(1 − z)2 dz + · · · =
0
1
1
×3= ,
6
2
を得る．ここで法線ベクトルの全ての成分が正なので，座標平面に射影後の積分の符号も全て正にな
ること，明らかにこれらの積分が同じ値になることを考慮して Dyz に関する積分だけ計算した．練
習のためにわざわざ面倒な計算を行ったが，この積分自体は面積分の定義に従えばすぐに計算でき
√
√
√
る．法線が n = (1/ 3)(1, 1, 1) で与えられ，従って f · n = (x + y + z)/ 3 = 1/ 3 となるので，後は
√
積分範囲の面積 S = 3/2 をかけるだけのことである．
(2) この場合も 2 つの方法で計算してみよう．まず，
∫
∫
∫
∫
f · dS =
zxdydz +
zydzdx +
x2 + y2 − z2 dxdy,
S
S
S
(5.20)
S
を各座標平面に射影して計算しよう．また対称性から明らかに上式右辺第一項と第二項は同じ値に
なるので第一項だけ計算する．さて第一項を計算するため上半球面を yz-平面に射影するのだが，こ
こで x の符号だけ違う 2 点 x± = (±x, y, z) が同一の点 (y, z) に移ってくることになる．従って S を x
の符号に従って 2 つの面 S ± （上半球面の，そのまた半分の面）に分割し，各々に対して積分を計
算する必要がある．また S + 上，法線ベクトルの x 成分は正なので y, z がこの順で正しい向きを与
えるが S − においては x 成分が負になるので y, z は反対の向きを与えることになる．
（y, z-軸正方向と
S − の法線 n がこの順番で左手系になっている）そこで S ± 上の点を y, z でパラメター付けした時の
√
x 座標値を x± とすれば x± = ± 1 − y2 − z2 であって，Dyz を S ± の yz-平面上の像，つまり原点を中
心とする単位円板の上半分（z ≥ 0 の部分）とすると
∫
∫
∫
zxdydz =
zx+ dydz −
zx− dydz
S
Dyz
∫
Dyz
∫
√
z 1 − y2 − z2 dydz = 2
=2
Dyz
1
−1
∫ √1−y2 √
dy
z 1 − y2 − z2 dz
0
[
] √1−y2 2 ∫ 1
2
π
=−
dy (1 − y2 − z2 )3/2
=
(1 − y2 )3/2 dy = ,
0
3 −1
3 −1
4
√
と計算できる．次に (5.20) の第三項を計算しよう．これは z = 1 − x2 − y2 となることから xy-平面
√
上の単位円板を D，及び r = x2 + y2 として
∫
∫
∫ 1
∫ 2π
fz dxdy =
x2 + y2 − (1 − x2 − y2 )dxdy =
(2r2 − 1)rdr
dθ = 0,
∫
S
となり，従って
1
D
0
∫
f · dS = 2 ×
S
0
π
π
−0= ,
4
2
が得られた．
（ここで 2 次元極座標 x = r cos θ, y = r sin θ への変数変換を利用した）
次に 3 次元極座標を用いて単位球面をパラメタ−付けしよう．すなわち動径は r = 1 と固定して
x = sin θ cos ϕ, y = sin θ sin ϕ，z = cos θ とする．この時面積要素は dS = sin θdθdϕ = −dzdϕ*5 （ここ
*5
幾何学的に考えれば分る．面倒だが定義通り dS = ndS = (∂x/∂θ) × (∂x/∂ϕ)dθdϕ を計算してもよい
76
5. ベクトル解析 II – 線積分, 面積分
での dz は球面上に z を束縛したときの微分である．球面積分において，この変数変換は本当に良く
行われる）で与えられ，法線ベクトルは n = (x, y, z) で与えられるから
f · n = z(x2 + y2 ) + (x2 + y2 − z2 )z = 2z(x2 + y2 ) − z3 = 2z − 3z3 ,
となり従って
∫
∫
f · dS = −
S
∫
2π
dϕ
0
1
0
∫
2z − 3z3 dz =
∫
2π
dϕ
0
0
1
2z − 3z3 dz =
π
.
2
となる．このように，積分領域の形が特殊な場合にはその曲面をうまく表現できるパラメターを用
いて計算するのが一番簡単であろう．
6
ベクトル解析 III – 積分定理
ここではベクトル解析において最も重要な諸定理の紹介を行う. それは Gauss-Stokes（ガウス・ストー
クス）の定理で，1 変数の微積分学における Newton-Leibnitz の公式
∫ b
f (x)dx = f (b) − f (a),
a
を高次元に拡張したものとなっている．関数値を求める，というのは定義域上に横たわる関数 f の「0
次元部分領域」，すなわち点上における f の振る舞いを求めることである，と解釈すれば，上式は f の
線分 [a, b] 上での積分はその線分の「境界」をなす 2 点 a, b における関数値の差 f (b) − f (a) で与えられ
る，ということを意味している．このような形の言明が Gauss，Stokes の名前で知られている一連の定
理を構成する．すなわち
(1) 2，3 次元空間中の曲線分 C に沿ったスカラー関数 f の勾配 ∇ f の積分は C の端点 y0 , y1 における f
の値で決まる，すなわち
∫
f (y1 ) − f (y0 ) =
∇ f · dx,
C
という Newton-Leibnitz の公式そのものを拡張したもの，
(2) 2，3 次元空間中の 2 次元曲面 S 上でのベクトル場 f の回転 ∇ × f の積分と，S の境界 C = ∂S に
沿った f の積分が等しい（2 次元における Green（グリーン）の定理，3 次元における Stokes（ス
トークス）の定理），すなわち
∫
∫
f · dx =
C
(∇ × f ) · dS,
S
という，積分する空間の次元が 2 と 1（(1) の例では 1 と 0）であるもの，
(3) 3 次元空間中の部分領域 D 上でのベクトル場 f の発散 ∇ · f の積分と D の境界 S = ∂D 上における
f の積分が等しい（Gauss（ガウス）の定理），すなわち
∫
∫
f · dS =
∇ · fd ,
S
D
という，3 次元積分と 2 次元積分の間に成立する定理，
が 3 次元において成立する定理であって，以下これらについて述べる．
注意 6.1 n 次元空間の微分構造だけ，すなわち長さや角度概念を考慮せず，単に座標変換において各座
標系間の微分可能性だけを考る種類の多変数解析学においてこれら一連の定理は『一般化された Gauss・
Stokes の定理』という名で定式化されることになる。そこでは n 次元空間中の r 次元微分形式 ω の，r + 1
次元領域 D の境界領域 ∂D 上での積分値と ω の外微分 dω の D 上での積分値が等しい，という形で定理
が証明されることになる．
（[5] もしくは，多様体，微分幾何学の教科書を参照のこと）
さて, 上述の一連の定理 (1) ∼ (3) は以下のようにも言い換えられる．
(1) スカラー場 f に対して一意に定まるベクトル場 g があって, 任意の曲線分 C とその端点 y0 , y1 に対
して
∫
f (y1 ) − f (y0 ) =
g · dx,
C
が成立し, しかも g は g = ∇ f で与えられる．
(2) ベクトル場 f に対して一意に定まるベクトル場 g があって，任意の曲面 S とその境界 C = ∂S に対
して
∫
∫
f · dx =
C
g · dS,
S
が成立し, しかも g は g = ∇ × f で与えられる．
– 77 –
78
6. ベクトル解析 III – 積分定理
(3) ベクトル場 f に対して一意に定まるスカラー場 g があって，任意の領域 D とその境界 S = ∂D に対
して
∫
∫
f · dS =
S
gd ,
D
が成立し, しかも g は g = ∇ · f で与えられる．
上記の各式両辺に現れる積分は， いずれも積分領域と与えられたスカラー場， ベクトル場のみに依存
し， 計算するのに用いる座標関数やパラメタ−には依存しない， 幾何学的に不変なものである．従って
(1) ∼ (3) が本当に成立するならデカルト座標を用いて定義された各種の微分 ∇ f, ∇ × f , ∇ · f は幾何学
的に不変な内容を持つことになる．すなわち対応
f → grad f = ∇ f,
f → rot f = ∇ × f ,
f → div f = ∇ · f ,
は Euclid 空間上のスカラー場 f ， ベクトル場 f に対する， 座標系に関係無く定まる変換であって， そ
れは性質 (1) ∼ (3) を満たす， ということになる．そしてこの事実を用いれば対応 f → grad f などの，
任意の直交曲線座標系における表式を得ることもできる．それについては例えば [4]，[1] あたりを参照
すると良い．なお本書では，直交曲線座標系における諸微分の公式は直接計算で示すことにする．
以下では微積分学の基本定理の証明同様， 積分というのは微小領域におけるそれを足し合わせて得ら
れるものであることを利用して， (1) ∼ (3) における C, S , D に微小な三角形，四面体及びそれらの境界
を用いた場合の左辺の積分の評価を行い，それを用いて本定理を証明する．では早速微積分学の基本定
理の直接の拡張に相当するものから始めよう．初めに与える証明は，それがはっきり理解できる，より
抽象的なものであり， その後で予告した通りの証明を紹介する．
定理 6.1 2， 3 次元空間中の向きの付いた曲線分 C（始点を y0 ， 終点を y1 とする）とスカラー関数 f に
対して以下の等式が成立する．
∫
∇ f · dx = f (y1 ) − f (y0 ).
(6.1)
C
(証明) 空間が 3 次元の場合について行えば十分である．さて C を x(0) = y0 , x(1) = y1 となるようにパラ
メター付けしたものを x(t) としよう．すると問題の線積分は以下のように計算される．
∫
∫ 1
∫ 1(
∂ f dx
∂ f dy ∂ f dz )
dx
dt =
++
+
dt
∇ f · dx =
∇f ·
dt
∂x dt
∂y dt
∂z dt
0
C
0
∫ 1
df
=
(x(t))dt = f (x(1)) − f (x(0)) = f (y1 ) − f (y0 ).
0 dt
注意 6.2 この定理は， スカラー関数の勾配として書かれるベクトル場の線積分の値は積分路の端点だけ
で決まり， 途中の経路の詳細に依存しないことも主張している．これに対して f (x) = (−y, x) のような，
スカラー関数の勾配として書けないようなベクトル場の積分値は， 積分路そのものに依存する．例えば
このベクトル場を (1, 0) から (0, 1) まで単位円に沿って左向きに回る経路 C に沿って積分する場合 2 次
元極座標を用いると f (θ) = (− sin θ, cos θ) となることから
∫
∫
∫ π/2
dx
π
f · dx =
f·
dθ =
dθ = ,
dθ
2
C
C
0
となるが， 同じ点を直線で結んだ経路 C に沿って積分するなら y = 1 − x（よって dy = −dx）として
∫
∫ 0
∫ 1
−ydx + xdy =
−(1 − x)dx − xdx =
dx = 1,
C
1
0
6.1 Stokes の定理
79
xN =y1
x1
x 0= y 0
x3
x2
図 6.1 定理 6.1 の証明を線積分の定義から見直すこと
となり 2 つの線積分値は異なる．
今度は同じ定理を，線積分の定義に直接関連づける方法で導いてみよう．それは冒頭で述べたように勾
配 ∇ f の幾何学的意味がはっきりと反映されている方法である．今 C 上に点 x1 ∼ xN−1 を十分細かく取っ
て xi と xi+1 の間の微小曲線分は線分 xi xi+1 で十分よく近似できるものとしよう．
（図 6.1 参照）この時 C
の端点 y0 , y1 を x0 , xN とおけば
f (y1 ) − f (y0 ) = f (xN ) − f (xN−1 ) + f (xN−1 ) − · · · + f (x1 ) − f (x0 ),
(6.2)
であり， また方向微分の性質から
f (xi+1 ) − f (xi ) = (xi+1 − xi ) · ∇ f (xi ) + o( xi+1 − xi ),
ということになる．従って (6.2) の右辺の和は
∑
(xi+1 − xi ) · ∇ f (xi ) + o( xi+1 − xi ),
i
と書かれることになるが， (xi+1 − xi ) · ∇ f (xi ) の和というのは曲線 C の点 x0 ∼ xN による分割に対する
Riemann 和に他ならなく， 従って N → ∞ の極限でそれは ∇ f の C に沿った積分に収束することにな
る．そして C の長さを L， 微小線分 xi xi+1 の代表的長さを d とすれば N は L/d のオーダーになるので
∑
o( xi+1 − xi ) = No(d) = (L/d)o(d) は d → 0 で消えてしまう程度の微小量となる．従って N → ∞ で
(6.2) の右辺全体が ∇ f の C に沿った積分に収束することとなり， 定理 6.1 が再び証明されたことになる．
また特に点 x0 より発する， 単位ベクトル n の与える方向の， 長さ δl の微小直線 L に対してこの論法
を適用すれば
∫
f (x0 + δln) − f (x0 ) ≈ δln · ∇ f ≈
∇ f · dx,
L
となるので， ベクトルの点 x0 における勾配 g = ∇ f を， その n 方向の成分が
(∇ f )n = g · n = lim
δl→0
)
1(
f (x0 + δln) − f (x0 )
δl
(6.3)
となるようなベクトル場として定義することが可能になる．ここで右辺は「0 次元積分」，つまり関数値
の差（の極限）を使って定義されていて， その「積分」は計算に用いるパラメター， 座標系に依存しな
い．従って勾配 ∇ f を上式によって定義すれば， それは座標系の取り方に依存しない， 幾何学的に不変
な量になる．もちろんその定義を採用した場合， 勾配 ∇ f はデカルト座標系以外ではもはや， f の座標
関数 si による偏導関数 (∂ f /∂si ) を並べたもの ((∂ f /∂s1 ), (∂ f /∂s2 ), · · · , (∂ f /∂sn )) には一致しない．以降ベ
クトル場の回転，発散も，それぞれに対応する積分定理を逆転させて用いることにより定義可能になる
ことを見るだろう．
6.1 Stokes の定理
前節で展開されたのと類似の論法を面積分とベクトル場の回転に拡張しようというのが本節の目標で
ある．まず初めに， 向き付けられた曲面 S が誘導する S の境界 C = ∂S の向き，あるいは C が誘導す
る S の向きを以下のように定義しよう．
80
6. ベクトル解析 III – 積分定理
定義 6.1 区分的に滑らかな向き付けられた曲面 S の境界 C = ∂S は，一般にいくつかの閉曲線 Ci の和集
合となる．
（図 6.3 参照．図では S の境界は 2 つの閉曲線 C1,2 の和集合になっている）この時各閉曲線 Ci
の積分方向が S の向き付けから誘導されるとは， S の法線方向 n を「上向き」と思って曲線 Ci を積分
方向に辿っていく時曲面 S が左手に見えるような方向のことを言う．同じことだが S の境界 Ci の「角」
以外の点 x で Ci の積分路方向を向いた接線（単位）ベクトルを t ， x から S の内側方向に向けた t に垂
直な（単位）ベクトルを u， x 近傍での法線方向を n とする時，それらがこの順番で右手系の座標軸方
向と同じ関係になるなら，t の与える線積分の方向は曲面の向き付けから誘導される，と呼ぶ．もっとつ
づめて言うと（以下は一番初めに述べた定義の数学的内容になっている）Ci の（「角」でない）点 x に
おいて n × t が S の内側を指し示すような x 上の Ci の接線方向 t を，S 上に与えられた向き n から誘導
される Ci の方向と定義する．逆に S の境界 C = ∂S を成す閉曲線全体に定められた向きが与えられてい
る時，それが S のある向き付けから誘導される C の向きが与えられた向き付けに一致するなら，その S
の向きは C の（与えられた）向きから誘導される，と称する．
上のように定義する時，面積分を定義した 5.3 節で触れたように S 上の各点で n が右ネジの進む方向と
なるように描いた渦模様の方向が境界 ∂S の積分方向と同じになるのは図 6.3 より明らかだろう．以上の
準備の下，微小変位 δx（微小有向線分）に伴うスカラー関数 f の変化（これは 0 次元積分と考えられる
のだった）が ∇ f と δx の内積で与えられる（これは f から微分演算で得られるベクトル場の線積分と考
えられる）という事実を微小 2 次元三角形に拡張したものが以下のように定式化される．
命題 6.1 点 x を含む，各辺の長さが十分微小な三角形 ∆ の境界 ∂∆ 上のベクトル場 f の線積分に対して
以下が成立する．
∫
∂∆
f · dx = n · (∇ × f (x))δs + o(δs).
但し ∂∆ の積分方向は ∆ の向き付けから誘導されるものとし，また ∆ の面積を δs と置いた．従って特に
∫
1
f · dx＝ n · (∇ × f (x)),
lim
δs→0 δs ∂∆
となる．
(証明) 辺の長さが微小であることをはっきりさせるため ∆ を張るベクトルを a, b，ここに
1，と
おいて定義通りに線積分を計算しよう．
（図 6.2 参照）すなわち
∫
∫ 1
∫ 1
f · dx =
f (x + t a) · adt +
f (x + a + t (b − a)) · (b − a)dt
∂∆
0
1
∫
−
0
f (x + t b) · bdt,
0
であり，ここで被積分関数を
∫
に関して f (x + c) = f (x) + (c · ∇) f + o( ) ，とテイラー展開すれば
∫
∂∆
f · dx =
1
(
)
f (x) + t (a · ∇) f (x) · adt +
0
(
)
)
+ t (b − a) · ∇ f (x) · (b − a)dt −
1
(
f (x) + (a · ∇) f (x)
0
1
(
)
f (x) + t (b · ∇) f (x) · bdt + o( 2 )
0
∫
=
∫
∫
1
2
(
)
(2t − 1)(a · ∇) f · a + (1 − t)(a · ∇) f · b − t(b · ∇) f · a dt + o( 2 )
0
[
]1
t2
t2
2
2
=
(t − t)(a · ∇) f · a + (t − )(a · ∇) f · b − (b · ∇) f · a + o( 2 )
2
2
0
=
2
2
(
)
(a · ∇) f · b − (b · ∇) f · a + o( 2 ),
となる．なおここで o( 2 ) と表した部分は
2
に関して高次の微小量になっている，t の関数を t = 0 ∼ 1 の範囲
で積分したものである．これも に関して同程度の微小量となるのでこのように表した．（念のため書き添え
6.1 Stokes の定理
b
81
x + a + t (b - a )
n
a
x
図 6.2 微小三角形における線積分と面積分の関係
ると (c·∇) f ·d = (c x ∂ x +cy ∂y +cz ∂z )( f x d x + fy dy + fz dz ) = c x d x ∂ x f x +cy d x ∂y f x +cz d x ∂z f x +c x dy ∂ x fy +· · ·+cz dz ∂z fz =
∇ t cd t f である）後は右辺を愚直に計算すれば
2
(
2
)
(a · ∇) f · b − (b · ∇) f · a =
2
2
(a × b) · (∇ × f ),
が分かり， 2 (a × b)/2 = δsn（ a × b の大きさは a, b の張る平行四辺形の面積であった）であるから命題
は証明された．
注意 6.3 一般にダイアド（Dyad，縦ベクトルと横ベクトルの積，その和はダイアディック（dyadic））ab t
と ba t の差 ab t − ba t に対して (ab t − ba t )x = −(a × b) × x となることが分かる．
（ベクトル三重積の公
式*1 を (a × b) × x に対して用い，また 2 つの縦ベクトルに対して a t b = a · b となることを用いよ）従っ
(
)
(
)
て (a · ∇)( f · b) − (b · ∇)( f · a) = ∇ t (ab t − ba t ) f = −∇ · (a × b) × f = ∇ · f × (a × b) = (a × b) · (∇ × f ) と
なる．最後の式変形においては後出の命題 7.3 の公式 (7.5) を用いたことになるが今の場合，スカラー三
重積の値が各ベクトルを巡回置換*2 しても変わらないという性質と a × b が定ベクトルであることからこ
れは明らかだろう．
さて，以上の命題から次の定理が得られることになる．
定理 6.2 (Stokes の定理) 3 次元空間中の閉曲線 C と，それを境界とする任意の面 D に対して以下の等式
が成立する．なお，両辺の向き付けに関しては，片方がもう片方から誘導されているものとする．
∫
∫
f · dx = (∇ × f ) · dS.
C
D
(証明) 任意の（区分的に滑らかな）向き付けられた曲面 D は，微小三角形で構成された面 DN でいく
らでも精密に近似でき，D 上のベクトル場の積分は DN を用いた Riemann 和の極限として得られるので
あった．(注意 5.4 の後半参照)
そしてこの微小三角形の和による近似において D の境界 C = ∂D（一般には複数の閉曲線からなる）
に沿っての f の線積分は各微小三角形 ∆i ，i = 1 ∼ N の境界 ∂∆i に沿う線積分の和になることが以下のよ
うにして分かる．すなわち図 6.3 を見れば分かるように微小三角形 ∆i の辺を 1 周する積分のうち，DN
内部にある辺からの寄与は，その辺を共有する 2 つの三角形の境界積分からの分が積分方向が反対にな
るため打ち消し合い（命題 5.1），よって
∫
∂DN
f · dx =
∑∫
i
∂∆i
f · d f,
と，微小三角形の境界 ∂∆i に沿う積分の和は DN の境界 ∂DN に沿う積分に等しくなる．そして近似を細
かくしていった極限において上式左辺は C に沿った f の積分を与えるのだから，右辺は確かにこの極限
で C に沿った f の線積分に等しくなる．一方 ∇ × f の面積分は直感的な面積分の定式化で述べたように
∆i を用いた Riemann 和
IN =
∑
(∇ × f )(yi ) · ni δS i ,
i
*1 a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c
*2 ぐるぐる回しにすること。ここでは ∇ が微分作用素であることは考慮しつつ、これも巡回置換すればよい。
82
6. ベクトル解析 III – 積分定理
D
C1
C2
∆i
∂DN
図 6.3 線積分，面積分を微小三角形上のそれに分割すること．微小三角形の境界に沿っての積分の和は，
隣り合う三角形の境界からの寄与が打ち消し合うため，元の面の境界に対応する部分だけが生き残ることに
注意
の，曲面分割を細かくしていった極限として得られる．ここで ni は与えられた向き付けに対応する法線
ベクトル，δS i は ∆i の面積，yi は ∆i 上の適当な代表点である．さて，∆i の代表的なサイズを d とすれ
ば D の面積を S として分割に要する三角形数 N は S /( d)2 のオーダーとなり，従って上式の和の各項に
対して o( 2 ) のオーダーの違いがあっても IN 全体での違いは S o( 2 )/( d)2 = (1/ 2 )o( 2 ) のオーダーとな
り，N → ∞ での IN の極限値は同じになる．ところが命題 6.1 より
∫
f · dx = (∇ × f (xi )) · ni δS i + o( 2 )d2 ,
∂∆i
となるから結局
∫
∂DN
f · dx =
∑∫
i
∂∆i
f · dx =
∑(
)
(∇ × f (xi )) · ni δS i + o( 2 )d2 ,
i
であり，ここで近似 DN を細かくしていった極限を取れば
∫
∫
f · dx,
f · dx →
∂DN
C
∫
∑
(∇ × f (xi )) · ni δS i + o( 2 )d2 → (∇ × f ) · dS,
S
i
となり，上の 2 式の左側の項が等しいのだから確かに Stokes の定理が証明された．
a.
Stokes の定理の意味すること
直感的には分かりづらいが，Stokes の定理によるとベクトル場 f が区分的に滑らかである時，積分方
向が与えられた勝手な 1 つの閉曲線 C に対してそれを境界に持つ任意の曲面 S に対し，C から誘導され
る向きを与えて ∇ × f をその上で積分したものは S の取り方に関係ない一定の値を取る事になる．それ
らの面積分は C 上の f の線積分に等しくなるからである．例えば時間的に定常な電流密度 j の作る静磁
界 H は Maxwell 方程式の第 4 の式 ∇ × H = j を満たす．この時任意の閉曲線 C に沿っての H の積分は
Stokes の定理から
∫
∫
∫
H · dx =
C
∇ × H · dS =
S
j · dS = I,
S
となる．つまり ∇ × H = j は，磁界 H の閉曲線 C に沿っての積分が C を境界に持つ曲面 S を貫く全電
流 I に等しい，という Ampere の法則と同じことを言っているのである．
（Ampere の法則から ∇ × H = j
を示すには Stokes の定理の逆命題が必要だが，それが成り立つのは殆ど明らかだろう）ここで電荷の流
れ j のなす流線の束のうち，C によって囲まれる部分を考えよう．
（図 6.4 参照）今考えているような定
常電流の場合，電荷が空間のどこかに貯まっていくことが無い以上，この流線の束は C を境界に持つ任
6.2 Green の定理
83
図 6.4 Stokes の定理の主張していること．閉曲線 C を境界に持つ任意の曲面 S に対するベクトルの面積
分は等しい値となる．図の底面の円を横切る全電流とその上に描かれた曲面を横切る全電流は等しく，それ
は共通の境界に沿って磁界を積分したものになる
意の 2 曲面 S 1,2 で挟まれた領域を途切れることなく通過するだろう．これは j の S 1,2 上の面積分，すな
わちこれらの曲面を横切る全電流が一致することを意味している．
一方電流がどこかの領域 Ω に電荷として貯まっていくような非定常電流の場合，電荷の流れの線の一
部はそこで消えてしまう．すると S として C から見て Ω の「向こう側」にあるようなものを取ると S
を横切る流線の束には「隙間」が開き，もはや H の C 積分と j の S 積分は一致しないことになる．
ところが Stokes の定理は純然たる数学定理であっていつでも成り立たないといけないからこの場合に
は∇×H
j ということになり，Maxwell はこの事実に着目して変位電流項（この項によって電磁場の
方程式が波動解を持つようになる）を導入したのであった．( 9.4.1，9.4.2 節も参照）
さて Stokes の定理が証明された後には，命題 6.1 を一般化することができる．点 x における ∇ × f を
決定するため， x の近傍における微小閉曲線 C を考えよう．ここで C は「平ら」，すなわちほぼ一つの
平面内にあるようなものを取る．すると C を境界に持つ微小曲面 D でこれもまたほぼ平らなものが取れ
る．この時 D の法線 n はほぼ一定と見なせ，その一定値を n0 と置けば D の面積を δs として
∫
∫
f · dx = (∇ × f ) · dS = (∇ × f )(x) · n0 δs + o(δs),
∂D
D
ということになる．(∇ × f ), n の空間依存性を無視する近似は D の大きさ程度の誤差しかもたらさない
からである．
（その誤差を積分すれば δs に関して高次の微小量になる）従って C と，それから作られる
D をどんどん小さくしていった極限において
(
)
1
n0 · ∇ × f (x) = lim
δs→0 δs
∫
∂D
f · dx,
(6.4)
が成立する．ここで C の配向を変えれば n0 を変えることができ，よって f の回転 ∇ × f が f の線積分
を用いて表すことが可能になったのである．
（例えば n0 としてデカルト座標の各座標軸方向を選べば（そ
れには C として各座標軸に垂直な平面内の微小円周をとればよい）3 つの線積分に対する上式右辺の極
限より ∇ × f の x, y, z-成分が分かる）
(6.4) の右辺は明らかに座標系やパラメタ−の選択に依存しない．すなわちこの右辺の姿は，本節初め
に述べたベクトルの勾配の定義同様，ベクトル場の回転 ∇ × f が， f 及びそれが定義された空間の幾何
学的構造だけで決まる内在的な量であることがはっきりと分かる形になっているのである．数学的な論
理展開の整合性に拘らないのであるなら，むしろ上式をベクトル場の回転の定義である，と覚えておく
のがよいだろう．
6.2 Green の定理
Stokes の定理を 2 次元に適用したのが表題の定理である．すなわち xy-平面を 3 次元空間の平面 z = 0 と同
一視し，2 次元におけるベクトル場 f (x) = ( f x (x, y), fy (x, y)) を 3 次元ベクトル場 ˜f (x) = ( f x (x, y), fy (x, y), 0)
84
6. ベクトル解析 III – 積分定理
y
C1
C2
D
x
図 6.5 グリーンの定理における境界積分の積分方向．図では 2 次元領域 D の境界は 2 つの閉曲線 C1 , C2
からなり，C1 上では左回り，C2 上では右回りに積分することになる
に拡張した（つまり xy 平面上の平面ベクトル場を金太郎飴のように z-軸方向に伸ばした）上で xy-平面
内の 2 次元領域 D とその境界 C に対して Stokes の定理 6.2 を適用する．その際 C から誘導される D の
向きが z-軸正方向になるように曲線 C の向きを決めれば (∇ × ˜f ) · n = (∇ × ˜f ) · ez = (∂ fy /∂x) − (∂ f x /∂y) と
なる．従って
∫
∫
˜f · dx =
∫
C
C
(∇ × ˜f ) · dS =
D
∫ ( ˜
∂ fy ∂ f˜x )
dS z i.e.,
−
∂y
D ∂x
∫ (
∂ fy ∂ f x )
f x dx + fy dy =
−
dxdy,
∂y
D ∂x
が成立する．下段の式は純粋に 2 次元平面上のベクトル場の線積分，面積分で表されており，これを
Green の定理と称する．以上をまとめて
定理 6.3 （Green の定理）2 次元ベクトル場 f の閉曲線 C に沿った線積分に関して以下が成立する．但
し D は C によって囲まれた領域を表し，C の積分方向としては，D が進行方向左側に見えるようなもの
を取る．
（図 6.5 参照）
∫
f x dx + fy dy =
C
∫ (
∂ fy ∂ f x )
dxdy.
−
∂y
D ∂x
(6.5)
D を 3 次元空間に埋め込まれた xy-平面内の図形と見た時，面積分の法線が上向きになるように仮定した
ことから定理の言明のような C の積分方向になるわけである．グリーンの定理 6.3 は複素関数論，2 次
元の流体力学等で重要な役割を担うことになる．
6.3 Gauss の定理
空間領域 D とその境界 ∂D に対する積分公式が Gauss の定理である．すなわち以下が成立する．
定理 6.4 (Gauss の定理) 3 次元領域 D とその境界 ∂D に対して次の等式が成立する．但し ∂D の向き付
けとしては D から見て外向き法線の方向を取る．
∫
∫
f · dS =
∇ · fd .
∂D
D
初等的な教科書における Gauss の定理 6.4 の証明法にはいくつかの流儀がある．ここでは Stokes の定理
の証明と同様，数学者以外の著者に多く採用されている，厳密性は欠くものの直感的には分かり易い方
法を紹介しよう．ただ折角なので他の知識の取得も兼ねて同じ流儀の多くの本に載っているものよりは
論理の穴の少ない証明を掲げることにする．そのために Stokes の定理の証明に用いた命題 6.1 に対応す
る命題 6.2 を用いることにするが，まずはそれを証明するのに必要な以下の補題を示そう．
補題 6.1 任意の四面体 ∆ の各面に対する面積ベクトル，すなわちその面の外向き法線方向を向いた，大
きさがその面の面積に等しい 4 つのベクトルの和は 0 となる．
6.3 Gauss の定理
e( a 3 - a 1 )
ea 3
ea 2
ea 1
x
85
e( a 2 - a 1 )
n 21
図 6.6 微小四面体におけるベクトル場の面積分とその発散の体積積分の間の関係を得るために微小面に対
する面積分を評価すること
(証明) 図 6.6 のように，四面体 ∆ が a1,2,3 で張られるものとする．
（ここでは図にある因子 は無視する）
するとベクトル ai , a j , (i, j) = (1, 2), (2, 3), (3, 1) によって張られる面の面積ベクトルは（四面体の外向き
方向を取る事として）
1
1
a j × ai = − ai × a j ,
2
2
で与えられる．この ai × a j を si j と略記することにしよう．
（よって s ji = −si j となる）すると 4 つ目の面
に対する面積ベクトルは
1
1
(a2 − a1 ) × (a3 − a1 ) = (a2 × a3 − a2 × a1 − a1 × a3 ) = s12 + s23 + s31 ,
2
2
となり，これは確かに s21 + s32 + s13 と相殺する．
注意 6.4 今示した事実は連続体力学の導入部で定番の議論として登場する，微小面積に働く応力がその
面積ベクトルに線形に依存すること，つまり応力が 2 階のテンソルとして表現できることの証明にも用
いられる．多くの連続体力学の教科書において補題 6.1 は，その 3 面が座標平面に平行な四面体に対し
てだけ，幾何学的に示されている．ここでは Gauss の定理を，類書よりは論理の穴の少ない形で証明し
たいがために一般の四面体に対して補題を証明したのであって 9.3 節を見れば分かるように，応力がテ
ンソルで与えられることの証明にはこの注意で述べた特別な四面体の場合だけ考えればよい．
命題 6.2 x を始点とするベクトル a1 , a2 , a3（この順で右手系を成すとする）を 3 辺に持つ四面体 ∆ の
表面 ∂∆ 上における f の積分に関して以下が成立する．但し ∂∆ の向き付けとしては外向き方向を取る
ものとし，∆ の体積を v0 とした．
∫
f · dS = ∇ · f (x)v0 + o( 3 ) = ∇ · f (x)v0 + o(v0 ).
∂∆
(証明) si j = ai × a j と，補題 6.1 と同じ記号を使うことにする．さて図 6.6 と補題 6.1 から
∫
∑∫
f · dS = 2
f (x + sai + ta j ) · s ji dsdt
∂∆
∫
+
2
∆0
ij
∆0
(
(
)) (
)
f x+ a1 + s(a2 − a1 )+t(a3 − a1 ) · s12 + s23 + s31 dsdt,
(6.6)
ここで ∆0 は (s, t)− 平面における原点と (1, 0), (0, 1) を結んでできる直角二等辺三角形, 和は (i, j) =
(1, 2), (2, 3), (3, 1) を亘る，となる．また最後の項（図 6.6 における右側面に対する面積分）において
a1 を始点とする代わりに a2,3 を始点としてもよく，従って
∫
(
(
)) (
)
2
f x+ a1 + s(a2 − a1 )+t(a3 − a1 ) · s12 + s23 + s31 dsdt
=
∆0
2
3
∫ {
(
(
))
(
(
f x+ a1 + s(a2 − a1 )+t(a3 − a1 ) + f x+ a2 + s(a3 − a2 )
∆0
)) (
(
))}
+ t(a1 − a2 ) +f x+ a3 + s(a1 − a3 )+t(a2 − a3 ) ·(s12 + s23 + s31 )dsdt,
(6.7)
86
6. ベクトル解析 III – 積分定理
とも書かれることに注意しよう．ここで f を
の 1 次まで展開しよう．すなわち
(
(
))
(
f x + a1 + s(a2 − a1 ) + t(a3 − a1 ) = f (x) + a1 · ∇ f (x)
)
+ s(a2 − a1 ) · ∇ f (x) + t(a3 − a1 ) · ∇ f (x) + o( ),
などとするのである．そして
∫
∆0
dsdt =
1
,
2
∫
∆0
∫
sdsdt =
であること， s, t の関数である o( ) を積分したものも
∆0
tdsdt =
1
,
6
に関するオーダーは変わらないことを用いて積
分 (6.6) を実行しよう．すると (6.6) の最後の項を (6.7) の右辺のように書く時 s, t がかかっている項の積
分は互いに相殺することが分かり，従って (6.6) は
∫
2
{(
)
(a1 · ∇) f (x) + (a2 · ∇) f (x) · s21
f · dS =
6
∂∆
}
(
)
(
)
+ (a2 · ∇) f (x) + (a3 · ∇) f (x) · s32 + (a3 · ∇) f (x) + (a1 · ∇) f (x) · s13
+
2
6
(
)
(a1 · ∇) f (x) + (a2 · ∇) f (x) + (a3 · ∇) f (x) · (s12 + s23 + s31 ),
とまとめられ，この中で相殺する項を消せば最終的に
∫
3
(
f · dS =
(a1 · ∇) f (x) · (a2 × a3 ) + (a2 · ∇) f (x) · (a3 × a1 )
6
∂∆
)
+ (a3 · ∇) f (x) · (a1 × a2 ) + o( 3 )
=
3
6
∇ t (a1 (a2 × a3 ) t + a2 (a3 × a1 ) t + a3 (a1 × a2 ) t ) f + o(v0 ),
(6.8)
と書かれることが分かる．よって後は上式の右辺の主要項が v0 ∇ · f になることを示せばよい．
一般に 3 次元空間の右手系の基底を張るベクトル a1 , a2 , a3 が与えられた時，V0 = a1 · (a2 × a3 ) をそれ
らのスカラー三重積として
a∗1 =
1
1
1
a2 × a3 , a∗2 =
a3 × a1 , a∗3 =
a1 × a2 ,
V0
V0
V0
(6.9)
で定義されるベクトル a∗1 , a∗2 , a∗3 を，元の基底の双対基底（dual basis) と呼ぶ．ベクトルの外積の性質
（ a × b と a は直交すること）を用いると双対基底には
ai · a∗j = δi j ,
という性質があることが分かる．ここに δi j は Kronecker のデルタ、すなわち i = j の時 1、i
jの
時 0 となる i j の関数である．一般に n 次元空間の基底 a1 ∼ an に対して ai · a∗j = δi j を満たすよ
うなベクトルの組 a∗1 ∼ a∗n ，すなわち a1 ∼ an の双対基底が見つかると，これらを用いて作ったダイ
∑
アディック A = a1 a∗1 t + a2 a∗2 t + · · · + an a∗n t は単位行列になることが分かる．実際 x = i xi ai として
∑ (
)
Ax = i xi a1 a∗1 t ai + a2 a∗2 t ai + · · · = x1 a1 + x2 a2 + · · · = x となるからである．よって (6.8) の最右辺は
3
V0 t
∇ (a1 a∗1 t + a2 a∗2 t + a3 a∗3 t ) f + o(v0 )
6
3
V0 t
=
∇ f + o(v0 ) = v0 ∇ · f + o(v0 ),
6
と，確かに点 x における f の発散 ∇ · f に四面体体積をかけたものに（o(v0 ) の違いの範囲で）等しくな
ることが分かった．
（スカラー三重積 V0 = a1 · (a2 × a3 ) は ai が張る平行六面体の体積に他ならず，従っ
てそれは ai の張る四面体体積の 6 倍になる）
注意 6.5 結晶学や固体物理では結晶格子の周期性を表すベクトル（格子ベクトル）ai , i = 1, 2, 3 に対する
双対ベクトルとして上で定義した a∗i ではなく，それに 2π をかけたものを用いることが多く，またそれら
6.3 Gauss の定理
87
S 12
Δ1
n 21
n 12
Δ2
図 6.7 領域 D を四面体に分割近似する時，隣り合う四面体の表面積分のうち，共有された面の分の寄与
は打ち消し合う．図において左側の四面体の表面積分における向き付けを実線，右側の向き付けを点線で表
し，また D の表面に相当する部分を灰色で示している．この結果全ての四面体に対する表面積分の和と取
ると生き残るのは図の灰色部分における積分だけになる
を逆格子ベクトルと呼ぶ．いずれにせよ ai に対応する a∗i は残りの 2 つから定義されることに注意するこ
と．
（一般次元の場合，斜交系 a1 ∼ an の第 i 番目の双対ベクトル a∗i は大きさを除けば a1 ∼ ai−1 , ai+1 ∼ an
で決まる．なお直交系となる a1∼n に対しては， ai //a∗i となることは明らかだろう）本書ではデカルト座
標系あるいは直交曲線座標系だけで話を済ませているが，一般座標系においてはここで述べた双対ベク
トルは共変ベクトルであって，反変ベクトルではないのである．
(証明) それでは命題 6.2 を用いて Gauss の定理の証明を行う．まず与えられた領域 D を N 個の微小四面
体に分割された多面体領域 DN で近似し，DN における Riemann 和の N → ∞ における極限として ∇ · f
の体積積分を定義しよう．
（面積分の場合（注意 5.4）同様，体積積分は微小直方体分割ではなく，微小
四面体分割を用いて定義してもよい．もし Riemann 流の積分を厳密化したいのならむしろ四面体分割を
用いるべきである）また DN を構成する四面体を ∆1 ∼ ∆N とし，DN の表面 ∂DN の上での f の面積分を
∂∆i 上の面積分の和
∫
∂DN
f · dS =
∑∫
i
∂∆i
f · dS,
として表す．∆i の面のうち DN 内部に含まれる部分の寄与は隣り合う四面体における面積分が打ち消し
合うため消えてしまい，残るのは DN の境界を構成する部分だけになり，上式が成立するのである．
（図
6.7 参照）ここで N → ∞ の極限を取れば上式左辺は D の表面 ∂D に対する f の面積分に収束すること
になる．ところが命題 6.2 によれば上式右辺の和の各項は
∫
f · dS = vi ∇ · f (xi ) + o(vo ),
∂∆i
ここに vi は ∆i の体積， xi は ∆i の代表点（∆i の頂点の代わりの点を取れば ∆i のサイズ d に関して 1 次
のオーダーの違いが生じるが，それに vi = O(d3 ) をかけたものは o(vi ) = O(v4/3
i ) のオーダーの違いに過
ぎない）であり，従って
∫
∂DN
f · dS =
∑
∇ · f (xi )vi + o(vi ),
i
となり，N → ∞ とすれば右辺は ∇ · f の体積積分に収束し，望みの等式が得られる．
（vi はいずれも同じ
オーダーの微小量であり，それを代表して v0 と書けば N = O(1/v0 ) なので N → ∞ で No(v0 ) → 0 とな
ることに注意）
注意 6.6 多くの類書では微小四面体の代わりに，微小直方体（立方体）を用いた「証明」が掲げられて
いる．しかしそれでは D の表面 ∂D をうまく近似することはできない．一般に D の表面には「斜め」に
向いた部分があるが，微小直方体の表面はすべて座標軸方向に沿っているからである．ところが我々が
計算したい面積分はベクトル場 f の積分であって，スカラー関数の面積分ではないのでこの違いは重要
では無くなる．
（スカラー場の面積分の場合には一般的な曲面をデカルト座標の各軸に直交する長方形で
近似するのは致命的になる）このことを考慮すれば類書における「証明」の厳密さの程度は本書と同程
6. ベクトル解析 III – 積分定理
88
度となるが，ここでは定理 6.4 の証明ついでに四面体の面積ベクトルの性質や双対基底を紹介する目的
でやや面倒な計算を行ったのである．
Gauss の定理の意味すること–連続の方程式–
b.
ベクトル場の発散 ∇ · f の定義を与えた 4.3 節においてその直感的な意味を簡単に論じた．Gauss の定
理を用いればそれをもっとはっきりした形に述べる事が出来る．今圧縮性の流れを表す流体の質量流量
場，あるいは物質量に対する流れの場 J が与えられたとしよう．そしてこの系では化学反応は起きず，
この物質量は保存するものとする．ここで流量ベクトル場と任意の固定された領域 D に対して定理 6.4
を適用すると
∫
∂D
∫
J · dS =
∇ · Jd ,
D
ということになる．この時左辺が単位時間当たりに領域 D から流れ出す流体量となるのは明らかである．
従って物質保存則より右辺の体積積分は D 内の流体総量の時間変化率と相殺しなければならない．すな
わち J に対応する物質密度を ρ(x, t) として
∫
∫
∫
∫
d
∂ρ
∇ · Jd +
ρ(x, t)d =
∇ · Jd +
(x, t)d = 0,
dt D
D
D
D ∂t
となる．*3 これが任意の D で成り立つのだから当然
∂ρ
+ ∇ · J ≡ 0,
∂t
(6.10)
が成立することになる．この式が物質保存則を微分形で表わす関係式であり，連続の方程式と呼ばれて
いる．一般に連続の方程式は何も流体の流量に関してだけ成り立つのではなく，何らかの物理量 Q の密
度 ρ(x, t) と，Q の流れを意味するベクトル場 J に対して，Q が全空間で時間的に保存される場合に成立
する．例えば熱力学第 1 法則より，物理系の局所的全エネルギー密度 ρ と，熱流，物質流に伴う内部エ
ネルギー流など，あらゆるエネルギーの流れを足し合わせて得られる全エネルギー流 J の間には (6.10)
が成り立たなければならない．
上記とは反対に，物理量 Q に対する密度 ρ と流れ J に対して，∇ · J + (∂ρ/∂t) が消えなければその点にお
いて Q が発生，消滅していることになる．例えば局所的に温度 T ，圧力 p，その他が定義できる，いわゆる
局所平衡系において，熱流 J Q と局所エントロピー密度 s に対して成り立つ式 ∇ · (J Q /T ) + (∂s/∂t) = σ ≥ 0
における σ はその点における単位時間あたりのエントロピー密度生成率と考えられる．あるいはベクト
ル解析の電磁気学への簡単な応用に触れる 9.4.3 節でのように，全エネルギーのうち電磁エネルギー密度
w と電磁エネルギー流 S だけに注目すれば，一般に (∂w/∂t) + ∇ · S = σ
0 であって，右辺の量は荷電
粒子のエネルギーが単位時間，単位体積あたりに電磁エネルギーに転換する，転換率を表すことになる．
最後に，Stokes の定理の節で注意したのと同様に，一旦 Gauss の定理が証明されたなら命題 6.2 をむ
しろベクトル場の発散の定義のように考えることが出来る．すなわち x を囲む微小領域 D を任意に取り，
その体積を v とすれば
∫
∫
∇ · f (x)v + o(v) =
∇ · fd =
D
∂D
f · dS,
であるから上式両辺を v で割って D を小さくして v → 0 の極限をとれば
∫
1
f · dS,
∇ · f (x) = lim
v→0 v ∂D
(6.11)
となる．ベクトルの勾配，回転を微小部分の積分で表したのと同様，上式右辺は空間の幾何構造だけに
依存し，座標系の選定には関係無く定まることが分かった．
*3
積分記号の外の時間微分 d/dt が積分記号の内側に入れて ∂/∂t とできるのは D が固定されているからである．D が時間的に
動くなら 9.3.5 節のような扱いが必要になる
7
ベクトル解析の諸公式とその応用
ここでは覚えておくと良いいくつかの有用な公式を示し，それらを物理に応用して得られる結果をい
くつか述べる．これらベクトル解析に関する有用な公式，その応用は[4] に多く載っている．
7.1 ベクトル解析における有用な公式とその導出
外積記号や内積記号を使いこなすのも面白いが，3 次元の場合には添字を用いた計算の方が機械的に
こなせることも多いので，まずはそれを紹介しよう．
7.1.1
Kronecker のデルタと Levi-Civita 記号，及びその基本的な性質
ベクトルの成分を a = (a1 , a2 , a3 ) と，数字の添字を使って表すこととする時 2 つのベクトルの外積 a × b
は 3 次の完全反対称テンソル（Levi-Civita 記号とも呼ばれる）
∑
(a × b)i =
i jk a j bk ,
i jk
を用いて
jk
と書くことができる．ここで
i jk
である．つまり
i jk



1 (i jk) = (123), (231), (312),





=
−1 (i jk) = (213), (132), (321),






0 (i = j) ∨ ( j = k) ∨ (k = i),
は i jk が 123 の巡回置換（この順列を円環状に回して得られる順列のこと）になって
いる時に 1，213 の巡回置換になっている時 −1，それ以外（i jk のどれか 2 つが一致）の時 0 となるとす
∑
∑
る．これを用いると Ai j を i j 成分とする行列の行列式が i jk i jk A1i A2 j A3k = i jk i jk Ai1 A j2 Ak3 と書かれる
ことも分かる．また
i jk
=
jki
=
ki j （添字を巡回置換している）， i jk
=−
jik （i j
を入れ換えた）が成立
することもすぐに分かるだろう．3 次元のベクトルに関する様々な操作はこれと Kronecker のデルタ δi j
を用いて記述することが可能になる．それには次の公式が基本的である．
命題 7.1 Levi-Civita 記号
i jk
と Kronecker のデルタ δi j に対して次が成立する．
∑
∑
ki j klm =
i jk klm = δil δ jm − δim δ jl ,
k
∑
i jk l jk
jk
(7.1)
k
=
∑
i jk jkl
= δil .
(7.2)
jk
(証明) 上式最左辺は公式を覚えておくのに都合のよい添字の順序，中央の式（左辺の Levi-Civita 記号の
ki j を巡回置換させたもの）が実際に良く出てくる形となっている．見て分かるように (7.1) において 2
つの Levi-Civita 記号の，固定された添字に関して同じ順のものを組み合わせて得られるデルタの積が正，
添字を互換させて得られるものが負になって右辺に現れている．これらの公式の証明は左辺を愚直に計
算するだけで得られる．(7.2) は自明に近いので (7.1) だけ示そう．
さて (7.1) の左辺の
ki j klm
が 0 でないのは ki j, klm が共に組み合わせとして 123 に一致する（よって
特に i j と lm は組み合わせとして等しくなる）時だけである．従って組み合わせとして i j
lm の場合，
(7.1) は消える．そこで次に組み合わせとして i j = lm としよう．ここで例えば k = 1 の時にこのイプシ
ロンの積が 0 でないのなら i j, lm は 23 と順序を除いて等しくなければならなく，その時 k = 2, 3 に対し
– 89 –
7. ベクトル解析の諸公式とその応用
90
て
ki j klm
= 0 である．つまり左辺の和において 0 でない項は高々1 つになる．そして順列として i j = lm
なら明らかにこのイプシロンの積は 1 になり，i j = ml なら −1 になる．
例題 7.1 命題 7.1 の応用としてベクトル三重積に関する公式 a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c を導いてみよ
う．まず
(
) ∑
a × (b × c) i =
i jk a j (b
× c)k , (b × c)k =
jk
∑
klm bl cm ,
lm
であるから
(
) ∑
a × (b × c) i =
=
∑
i jk klm a j bl cm
jklm
(δil δ jm − δim δ jl )a j bl cm =
=
∑
∑(∑
jlm
k
a j c j bi −
j
jlm
i jk klm a j bl cm
∑
)
(
)
a j b j ci = (a · c)b − (a · c)b i .
j
ではこの公式等を利用してベクトルの微分に関する有用な一連の公式を導いていこう．まずは 2 階微分
に関する，もっとも基本的な定理から始め，次いで 1 変数の時の積の微分則（Leibnitz の法則）に対応
する一連の公式を紹介することにする．
定理 7.1 ナブラ演算子に関して
∇ × ∇ f ≡ 0, ∇ · (∇ × f ) ≡ 0,
が成立する．すなわち任意のスカラー関数 f の勾配の回転は恒等的に消え，任意のベクトル場 f の回転
の発散も恒等的に消える．
(証明) 定義通りに計算するだけの話である．すなわち ∇ × (∇ f ) = (∇ × ∇) f であり，外積の性質より，微
分演算子 ∇ × ∇ は微分記号の段階で正負の項が (∇ × ∇) x = (∂/∂y)(∂/∂z) − (∂/∂z)(∂/∂y) ≡ 0 などと打ち消
し合う．次に ∇ · (∇ × f ) = 0 に関してもスカラー三重積の性質 a · (b × c) = (a × b) · c よりすぐにでる．
すなわち a = b = ∇ としてこれを適用すれば ∇ · (∇ × f ) = (∇ × ∇) · f = 0 · f = 0 となる．
この定理は数学的には，外微分の基本的性質 d2 = 0 として n 次元へ一般化される．またこの定理の「逆」
に関しては本章の 7.3 節で触れることにしよう．
次に Leibnitz の法則（積の微分則）の一番簡単な一般化を述べる．
命題 7.2 スカラー場 f とベクトル場 a に対して以下が成立する．
∇ × ( f a) = ∇ f × a + f ∇ × a,
(7.3)
∇ · ( f a) = ∇ f · a + f ∇ · a.
(7.4)
(証明) 定義通りに計算するだけの話である．まずは (7.3) から．偏微分記号 ∂/∂xi を ∂i と略記する（以
下同様）ことにすると定義より
(∇ × ( f a))i =
∑
i jk ∂ j ( f ak )
=
jk
=
∑
i jk
∑
(
i jk
(∂ j f )ak + f ∂ j ak
)
jk
i jk (∂ j f )ak
+
∑
f
i jk ∂ j ak
= (∇ f × a)i + f (∇ × a)i .
i jk
次に (7.4) は
∇ · ( f a) =
∑
i
∂i ( f ai ) =
∑
∑
∑
(∂i f )ai + f ∂i ai = (∂i f )ai +
f ∂i ai = ∇ f · a + f ∇ · a.
i
i
i
今度はもう少し複雑なものとして微分作用素 ∇ を含むスカラー三重積，ベクトル三重積に関する公式を
求めよう．
7.1 ベクトル解析における有用な公式とその導出
91
命題 7.3 以下の公式が成立する．
∇ · (a × b) = b · (∇ × a) − a · (∇ × b),
(
)
∇ × (a × b) = (∇ · b)a + (b · ∇)a − (∇ · a)b + (a · ∇)b ,
(7.5)
a × (∇ × b) = ∇b (a · b) − (a · ∇)b,
(7.7)
a × (∇ × b) + b × (∇ × a) = ∇(a · b) − (a · ∇)b − (b · ∇)a.
(7.8)
(7.6)
但し記号 ∇b はこの偏微分記号が b の成分のみに作用することを意味するものとする．
（例えば ∂ib (a j b j ) =
a j ∂i b j ）
いずれも通常のベクトルに対するスカラー三重積，ベクトル三重積の公式と同じようなものである．
（以
下の直感的説明は [1] の本に依った）(7.5) はスカラー三重積においてベクトルを循環置換させてよいこ
とに対応するものである．ただ，∇ は微分演算なので a b 双方に作用するはずで，ナイーブに右方向に
循環置換させて得られる (7.5) 右辺第一項だけでなく a に作用する項もあるはずである．そこで左方向に
ナイーブに循環置換させると a · (b × ∇) になるが，これはナンセンスなので b × ∇ → −∇ × b と考えれば
公式が得られる．(7.6) に関しては ∇ が微分作用素であり，従って Leibntiz の法則に従うべきであること
に留意しつつベクトル三重積の公式をナイーブに適用すればただちにこの形が得られる．(7.7) の場合に
は左辺の ∇ は b にしか作用していないので，ナイーブに三重積公式を適用して得られる項 a · b∇ におけ
る ∇ を「係数」の a · b に作用させる際 a の部分は微分されないことを記号 ∇b で表現している．この公
式で a と b を入れ換えて足せば ∇a,b などという記号は必要なくなり (7.8) が得られる，というわけであ
る．では以上を厳密に証明しよう．
(証明) (7.5) の証明：定義通りに計算し，Levi-Civita 記号の性質を使ってまとめ直せばよい．すなわち下
式右辺第一項は巡回置換 (i jk) → (ki j)，第二項においては互換 (i jk) → ( jik) を行って
∑
∑
∇ · (a × b) =
i jk ∂i (a j bk ) =
ki j bk ∂i a j − jik a j ∂i bk = b · (∇ × a) − a · (∇ × b).
i jk
i jk
(7.6) の証明：これまた定義に従って計算していくだけのことである．
(
)
∇ × (a × b) i
∑
∑
=
i jk ∂ j (a × b)k =
jk
=
∑
∑
) ∑
(
(δil δ jm − δim δ jl ) bm ∂ j al + al ∂ j bm =
b j ∂ j ai −
(∂ j a j )bi
jlm
+
i jk klm ∂ j (al bm )
jklm
∑
j
j
j
∑
(
)
ai (∂ j b j ) −
(a j ∂ j )bi = (b · ∇)a − (∇ · a)b + (∇ · b)a − (a · ∇)b i .
j
(7.7) の証明：(7.8) はこれから直ちに導かれるからこれが示されれば証明が完了する．
∑
(
) ∑
a × (∇ × b) i =
i jk a j (∇ × b)k =
i jk klm a j ∂l bm
jk
=
∑
jklm
(δil δ jm − δim δ jl )a j ∂l bm =
jlm
∑
j
a j ∂i b j −
∑
a j ∂ j bi
j
(
)
= ∇b (a · b) − (a · ∇)b i .
注意 7.1 上記公式における (a · ∇)b という，ベクトル場に対する「方向微分」の表式はデカルト座標系
を用いている時にのみ通用するものである．曲線座標系に移った場合，普通ベクトル場の基底として座
標軸方向のベクトル達 (∂x/∂si ) を用いるが，その場合演算子 (a · ∇) の ∇ を合成関数の微分則を用いて書
き換えるだけではベクトル場の方向微分（共変微分）の式は得られない．
（9.3.2 節，章 8 参照）
7. ベクトル解析の諸公式とその応用
92
7.1.2
Laplace 演算子
スカラー関数 f に対する 2 階の微分演算子として
∆ f = div grad f,
と定義される ∆ を（スカラー）ラプラス演算子（Laplacian，ラプラシアン）と称する．デカルト座標系
の場合上は簡単に計算できて
∆=∇·∇=
∂2
∂2
∂2
+
+
,
∂x2 ∂y2 ∂z2
ということになる．ベクトル場 f にも Laplace 演算子（vector Laplacian, ベクトルラプラス演算子）を考
えることができてそれは
∆ = grad div − rot rot = ∇∇ · −∇ × (∇×,
(7.9)
で与えられる．∆ f をデカルト座標系において定義通りに計算してみよう．そのために ∇ × (∇ × f ) に対
して命題 7.3 の (7.7) 式を a = ∇ として適用すると（(7.7) の a が微分演算子でも命題が適用可能なのは
微分演算子は互いに可換であることからほとんど明らかだろう）∇ × (∇ × f ) = ∇(∇ · f ) − (∇ · ∇) f となり，
よって
(
∆ f = ∇(∇ · f ) − ∇ × (∇ × f ) = ∇2 f =
)
∂2
∂2
∂2
+
+
f,
∂x2 ∂y2 ∂z2
すなわちベクトルラプラシアンの「形」はスカラーのそれと一致する．しかしそれはあくまでデカルト座
標系での話であって，一般の曲線座標系ではスカラーラプラシアンの演算子形をそのままベクトルラプ
ラシアンに流用してはならない．*1 あくまで grad div − rot rot （この grad, div, rot は前章でも触れた，座
標系の選定に関係なく決まる微分演算子である）というのがベクトルラプラシアンの定義式である．
物理学，数学においてラプラシアンを作用させると消えてしまう関数，ベクトル場は特別な地位を占
める．このような関数（ベクトル場），すなわち Laplace（ラプラス）方程式 ∆ f = 0 (∆ f = 0) の解にな
るものを調和関数（調和ベクトル場）と称する．電場や磁場の遮蔽，定常熱伝導問題その他多くの物理
の応用において調和関数が登場する．
7.2 積分定理と微分公式の応用
本節では今までに得られた公式達の簡単な応用を与える．
7.2.1
スカラー場，テンソル場に対する Gauss-Stokes の定理
注意 6.4 で述べたように，連続体において x を含む微小面 ∆ に働く応力すなわち，∆ を挟んで隣り合
う微小微分がかけ合う力はその面の面積ベクトルを s としてこれに線形に働くことが分かっている．す
なわち各点に付随した適当な 2 階テンソル場 T があって，∆ に働く応力は f = T s で与えられるのであ
る．
（9.3.3 節参照）この時 3 次元領域 D 内の全質量に働く合力は
∫
F=
∂D
T (x)dS, i.e. Fi =
3 ∫
∑
j=1
∫
∂D
T (x)i j dS j =
∂D
T (x)i j n j (x)dS ,
ここに n j は法線ベクトルの第 j 成分，dS はスカラー面積要素，と書かれることになる．これを定番の
方法で体積積分に直してみよう．そのために任意の定ベクトル c を仮に取り，それと F の内積を考える．
すると
∫
c·F=
*1
∂D
∫
c t T (x)n(x)dS =
∂D
∫
(T t c) t ndS =
∂D
(T t c) · dS,
曲線座標 s1 , s2 , s3 による偏微分 ∂/∂si を用いると div grad の表式や grad div − rot rot の表式は一般にはもはや
致しないし，それぞれの表式も違ってくる．
∑
∂2 /∂s2i に一
7.2 積分定理と微分公式の応用
93
と，これはベクトル場 T t c に対する通常の面積分になり，従ってガウスの定理が適用でき
∫
∑
∑ ∫ ∑ ∂T i j
c·F=
∇ · (T t c)d , i.e.
ci F i =
ci d ,
D
D j ∂x j
i
i
が得られた．ここで c として基本単位ベクトル ei , i = 1, 2, 3 を取れば以下が証明された事になる．
命題 7.4 テンソル場 T i j の発散 ∇ · T = div T を
∑ ∂T i j
(∇ · T )i =
∂x j
j
で定義すれば任意の 3 次元領域 D に対して
∫
∂D
,
∫
T dS =
∇ · Td ,
(7.10)
D
ここで ∂D の向きは外向き法線方向を取る．
注意 7.2 テンソルの発散 ∇ · T において（無限小）面積ベクトル dS やナブラ演算子 ∇ を縦ベクトルと見
なす場合，行列とベクトルの関係としては ∇ · T = T ∇ と書くべきであるが，こうしてしまうと微分作用
←
−
素が T に作用しているようには見えなくなってしまう．そこで記号 ∇ を矢印の方向の関数（あるいは
場）に作用するナブラ演算子である，と定義すれば
←
−
∇ · T ≡ T ∇,
ということになる．
注意 7.3 本書では触れないが，デカルト座標系以外でテンソルの発散を定義するには共変微分を用いる
か，(7.10) が成立するよう，微小立方体に対する T の表面積分を必要な次数（立方体の体積のオーダー）
まで評価してやればよい.
注意 7.4 上のような，面積要素ベクトル dS に線形演算子が作用する形の面積分は積分を定義する際に
∑
用いた平行四辺形 ∆i による微小分割に対する Riemann 和の段階で i T si ，ここに si は ∆i の面積ベクト
ル，とし，この和の曲面の分割 ∆i を細かくしていった極限として定義すればよい．あるいはパラメター
付け (s, t) : D → S を用いればもっと明確に
(( )
∫
∫
( ∂x ) )
∂x
dsdt,
×
T (x)dS =
T (x(s, t))
∂s s,t
∂t s,t
S
D
と定義可能である．以下の積分も全て Riemann 和の段階で（直感的なレベルでは）合理化可能であり，
またパラメター付けを用いても定義可能である．例えば曲線のパラメター付け t : [a, b] → C を用いれば
∫
∫ b
( dx )
f (x) × dx =
f (x(t)) ×
(t)dt,
dt
a
C
となる．
さて，上と同様にしてスカラー関数 f から
∫
∫
F=
f (x)dS =
∂D
∂D
f (x)n(x)dS ,
として得られるベクトル量 F に関する定理も得られる．すなわちこれと任意の定ベクトル c の内積を
取って
∫
c·F=
∂D
∫
c · f (x)n(x)dS =
∂D
∫
f (x)c · dS =
ここで命題 7.2 の式 (7.4) を定ベクトル A = c に適用すれば
∫
c·F=
∇ f · cd ,
D
となり，従って上と同様にして
∇ · ( f c)d .
D
7. ベクトル解析の諸公式とその応用
94
命題 7.5 スカラー関数 f に対して
∫
∫
∂D
f (x)n(x)dS =
∇ f (x)d ,
(7.11)
D
が成立する．
が得られた．
これと同じ論法はストークスの定理にも適用できる．スカラー関数を閉曲線 C に沿って積分してみよ
う．そしてその結果と定ベクトルの内積を取り，ストークスの定理を用いて C を境界に持つ曲面 S 上の
積分に直す．
∫
∫
c·
∫
f (x)dx =
C
f c · dx =
(∇ f × c) · dS.
C
S
ここでスカラー三重積の性質を用いれば上は
命題 7.6 スカラー関数 f の閉曲線 C に沿った積分に関して以下が成立する．ここで S は C を境界に持
ち，その向きは C の向きに調和するようにとっているものとする．
∫
∫
∫
f (x)dx = − ∇ f × dS = − ∇ f (x) × n(x)dS .
C
S
S
ベクトル場 f の線積分として
∫
f × dx,
C
というのも考えられる．これに関しては
∫
∫
c·
f × dx = (c × f ) · dx,
C
C
にストークスの定理を適用し，その際公式 (7.6) を用いれば
∫
∫
∫
(
)
(∇ · f )c − c · ∇ f · dS,
c·
f × dx =
∇ × (c × f ) · dS =
C
S
S
となる．ここで
∫
∇ f · dS,
S
を，その第 i 成分が
∫
S
∂f
· dS,
∂xi
で与えられるベクトルと定義すれば
命題 7.7
∫
∫
f × dx =
C
∫
(∇ · f )dS −
∇ f · dS,
S
S
が成立する．
が分かったことになる．面積分と体積積分の間に成り立つ同様の公式としては
命題 7.8 以下が成立する．
∫
∂D
実際 (7.5) より
∫
∂D
∫
f × dS = −
∫
c · ( f × dS) =
∂D
∇ × fd .
(7.12)
D
∫
∫
(c × f ) · dS =
∇ · (c × f )d = −
D
c · (∇ × f )d ,
D
だからである．更にテンソル場 T の線積分に関しては
∫
∫
∫
(
)
c·
T (x)dx = (T t c) · dx =
∇ × (T t c) · dS,
C
C
S
7.2 積分定理と微分公式の応用
となり，ここで
(
) ∑
∇ × (T t c) i =
i jk ∂ j
(∑
jk
であるから T の回転 ∇ × T を
(∇ × T )li =
95
)
T lk cl ,
l
∑
i jk
jk
∂T lk
,
∂x j
で定義すれば
命題 7.9 テンソル場の線積分に関して
∫
∫
T (x)dx =
C
∇ × T (x)dS,
S
が成立する．
が得られた事になる．
例題 7.2 密度 ρ の液面上に浮いている物体に働く浮力等を計算すること．
(解) 液体密度を ρ0 ，重力加速度を g とし，z = 0 を界面として（垂直上向きに z-軸をとったとして）浮体の
液体中に浸かった領域を D と置く．また空気は無視し，水圧に関してはその大気圧からのずれ（ゲージ圧
と呼ばれる）だけを計算することにしよう．すると垂直位置 z < 0 における水圧（ゲージ圧）は P = −ρ0 gz
で与えられ，従ってその位置にある法線 n を持つ物体の微小面積 δs にかかる力は F = −δsPn = ρ0 gzδsn
で与えられる．よって液体中にある物体表面（物体の，液面による断面を含む．なおその断面及び物体
表面の空気中にある部分には仮定によってなんら圧力は働かない）に亘ってのこの力の合計は公式 (7.11)
を用いて
∫
∂D
∫
∫
ρ0 gzdS = ρ0 g
∇zd = ρ0 gez
D
d = ρ0 gVez ,
D
ここに V は液中の物体体積となる．よってこの物体は液体中にある物体の体積，すなわち排除体積分の
液体重量に等しい上向きの力を受けることになる．これは浮力の原理に他ならない．次にこの浮体にか
かる力のモーメントの合計を計算してみよう．重力由来のものは物体の位置 x における密度を ρ(x) とす
ると，この微小体積 d に働く重力は −ρgd ez であるから力のモーメントの合計は
∫
∫
−g x × ρ(x)ez d = gez × ρ(x)xd = Mgez × XG ,
ここに M は浮体の質量， XG は浮体の重心，と計算される．一方圧力由来の力のモーメントは先程求め
た面積力より x × ρ0 gzδsn の合計になるのでそれは公式 (7.12) と ∇ × x = 0 を用いて
∫
∫
∫
ρ0 gzx × dS = −ρ0 g
∇ × (zx)d = −ρ0 g
ez × xd = −M0 gez × X F ,
∂D
D
D
となる．ここに M0 = ρ0 V は排除体積分の液体質量であり，釣り合い状態では浮体質量 M に等しい．そ
して
XF =
1
M0
∫
xd ,
D
は浮体の，液体に浸かった部分を液体が占めた場合の重心であって浮心と呼ばれている．よって浮力と
重力が釣り合っている時の，それら由来の力のモーメントの合計は
Mg(X F − XG ) × ez ,
で与えられることが分かった．浮体がその配置も込めて全体として釣り合っているならこれも消えるは
ずで，それには X F − XG が鉛直方向を向けばよいことが分かった．
（通常は 2 つのベクトルそれぞれが鉛
直方向を向くように座標原点を取る）
7. ベクトル解析の諸公式とその応用
96
7.2.2
Green の積分公式と Poisson 方程式の解
Green（グリーン）の公式と呼ばれる以下の公式は，1 変数における部分積分の拡張と見なせ，多くの
応用がある．ここでは電磁気学などで登場する Poisson（ポアッソン）方程式 −∆φ = ρ の解を与える公
式の導出に Green の公式を利用しよう．
定理 7.2 (Green の公式) 空間閉領域 D 上の関数 φ と ψ に対して
∫
∫
φ∇ψ · dS =
∇φ · ∇ψ + φ∆ψd ,
∂D
(7.13)
D
が成立する．また上で φ と ψ を入れ換えた式を上式から辺々引いた
∫
∫
(
)
(
)
φ∇ψ − ψ∇φ · dS =
φ∆ψ − ψ∆φ d ,
∂D
(7.14)
D
も成り立つ．
(証明) 定理の後半はその言明で述べた通りにして前半の (7.13) から導かれるので，(7.13) だけ示せばよい．
さてそれを示すには，その左辺を Gauss の定理によってその発散の体積積分に変えれば良く，∇ · (φ∇ψ)
の計算に対して公式 (7.4) を用いれば直ちに欲しい結果を得る．
Green の公式を，Poisson 方程式の解を求めるのに応用するためまずは r = x =
いくつかの計算を行う．既に (4.2) で見たように ∇r = x/r であるから x
√
x2 + y2 + z2 に対する
0 に対して
1
x
∇ = − 3,
r
r
であり，従って
1
x
3
x x
= −∇ · 3 = − 3 + 3 4 · = 0,
r
r
r
r r
となる．すなわち 原点以外の点 で定義された関数 1/r はその定義域で調和関数（7.1.2 節参照）になっ
∆
ている．この，原点における特異性をきちんと評価することによって Poisson 方程式の解の公式が導か
れるのである．
まずは簡単な考察から始める．原点に点電荷 Q が存在する時の静電ポテンシャルは φ = (Q/4π 0 r) で
与えられるのであった．そして対応する電界は E = −∇φ = (Q/4π 0 r2 )n, n = x/r となる．これを原点を
中心とする球面上で積分すると Q/
0
になることは容易に分かる．すなわち次元を無視すればスカラー場
ψ = (1/4πr) の勾配（の符号を逆にした）−∇ψ を，原点を中心とする球面上で積分したものは 1 になる．
一方既に見たように ∆ψ = 0 であり，これの球内部に亘っての積分は当然 0 になるので Gauss の定理に
反するように見える．しかし Gauss の定理は，その中でベクトル場が滑らか*2 であるような領域に対し
てのみ成り立つので，これは矛盾ではない．そして関数概念を拡張した超関数論において，今考察して
いる ψ は全空間では調和関数とはみなされず，
「関数」−∆ψ は原点において無限大の「値」を持ち，その
体積積分は 1 になるものとされる．すなわち超関数として，−∆ψ はいわゆる Dirac（ディラック）のデ
ルタ関数 δ(x) になり，−∆ψ が古典的に考えてただ 1 点を除き調和である，というこの例外の 1 点が本質
的に意味を持つのである．
ここでは以上に関係した事柄を超関数の概念を用いず，
（定義域において）滑らかな関数に対するベク
トル解析だけを用いて扱ってみよう．9.4 節で見るように，真空中に電荷分布が ρ で与えられている時の
静電界 E に対しては Gauss の法則から ∇ · E = ρ/
0
が成立することになる．一方 E は静電ポテンシャル
φ より E = −∇φ で与えられるので，φ は Poisson 方程式 −∆φ = ρ/
0
を満たすことになる．
さて点電荷に対する Coulomb の法則と，場の線形性を考えれば φ は次元を無視して
∫
ρ(y)
φ(x) =
d y,
4π x − y
*2
異なる誘電物質の界面での電場の問題のように，Gauss の定理の適用の際，ベクトル場が完全に滑らかである必要はない．結
果論的な謂いになるが，Gauss の定理に抵触しないような不連続性，例えばベクトル場の界面に接する方向の不連続性は許さ
れる．
7.2 積分定理と微分公式の応用
97
x
ε
y
O
図 7.1 領域 D 内の点 x を中心とする小さな球体 B を取り除いた領域 D に Green の公式 (7.14) を適用
する
で与えられることが期待される．
（d
小体積 d
y
y
の y は y が積分変数であることを強調するためのもの）点 y の微
に電荷密度 ρ(y) で与えられる電荷 dq = ρd があるときの静電ポテンシャルは次元を除いて
(dq/4π x − y ) で与えられるからである．しかし一つ気をつけねばならない事がある．
常微分方程式の解は初期条件まで指定して，初めて一意に決まるのだった．偏微分方程式についても
同様の問題が起きるのである．線形偏微分方程式である Poisson 方程式 −∆φ = ρ の場合，その解 φ に任
意の調和関数 F, すなわち Poisson 方程式の同次形である Laplace 方程式 ∆F = 0 の解を加えたもの φ + F
が同じ方程式の解になるのは明らかなので，方程式の解を一意に定めるのには微分方程式だけでは不十
分である．Poisson 方程式は，方程式が成り立つ領域 D の境界 ∂D での，解の振る舞いまで指定して初
めて一意解を持つようになるのである．すなわち ∂D における φ の値 f ，もしくはその法線方向の方向
微分（法線微分）∂φ/∂n = n · ∇φ の値 g を与えることによって一意解が求められることが知られている．
このような条件を偏微分方程式の境界条件と呼ぶ．*3
さて，まずは境界条件 φ = f ，∂φ/∂n = g 両方を満たす解 φ が求められたとして，それが満たすべき等
式を示そう．
定理 7.3 φ が有限領域 D 内において Poisson 方程式 −∆φ = ρ の，境界条件 φ = f ，∂φ/∂n = g を満たす
解である時，D 内の点 x に対して
∫
1
φ(x) =
ρ(y)d
D 4π x − y
∫
1
=
ρ(y)d
D 4π x − y
∫
)
1
1
· dSy
∇y φ − φ∇y
4π x − y
4π x − y
∫∂D (
)
1
n · (y − x)
g(y) +
f (y) dS y ,
y+
3
4π x − y
∂D 4π x − y
y+
(
(7.15)
が成り立つ．
(証明) ψ = (1/4π x − y ) が D 内の点 x で定義されていないことを考慮し，x を中心とする微小半径 の
球体 B を D から除いてできる領域 D において ψ と φ に対して Green の公式 (7.14) を適用しよう．
（図
7.3 参照．以下では微分や積分に用いる変数はいちいち記さない）すると
∫
∫
∫
(φ∇ψ − ψ∇φ) · dS =
(φ∇ψ − ψ∇φ) · dS −
(φ∇ψ − ψ∇φ) · dS
∂D
∂D
∂B
∫
=
ρψd ,
(7.16)
D
が得られる．但し D 内で ∆ψ = 0 となること，D の境界としての B の表面は ∂B の向き付けと反対に
なることを用いた．ここで
→ 0 とするなら右辺の体積積分が D 内全体での ρψ の体積積分に収束する
のは明らかである．そして左辺の面積分のうち ∂D におけるものは (7.15) の，境界条件を用いて書かれ
*3
定数関数は明らかに調和関数なので法線微分に対する境界条件の場合，解は定数関数を除いて一意に決まることとなる．
7. ベクトル解析の諸公式とその応用
98
た部分に他ならない．そこで残りの ∂B におけるものを評価しよう．そのため y − x =
1 の時 n(y)
を y − x 方向の単位ベクトルとして ∂B 上
ψ=
1
x−y
, ∇ψ =
4π
4π x − y
3
=−
n
, φ(y) = φ(x) + O( ),
4π 2
となることを用いれば
∫
∫ (
1
φ(x) + O( )
1 )
−
(φ∇ψ − ψ∇φ) · dS =
n + ∇φ · ndS
2
4π
∂B
∂B
∫ (
1
∂φ )
=
φ(x) + O( ) +
do = φ(x) + O( ),
4π
∂n
が得られる．ここに do = dS /
2
→ 0 で φ(x) に収束し，従って
は立体角要素である．よってこれは
(7.16) の左辺の ∂D に関する境界積分を右辺に移項し → 0 とすれば確かに (7.15) が得られる．
上の証明で φ は Poisson 方程式の解であるとしたが，(7.15) の右辺を左辺の φ に対する 定義式である
と見れば，これは Poisson 方程式の D の境界 ∂D における境界条件も込めた上での解の公式と見なして
よいことになる．そこで確かに直感的な，点電荷の作る静電ポテンシャルを重ね合わせれば電荷分布の
作る静電ポテンシャルが得られる，という想像が正しかった事になる．ただし厳密には，右辺を左辺の
定義式と見る段階では，φ が本当に 2 階微分可能であることを証明していないので，数学的にはこれを
証明して初めて (7.15) 式が解の公式である，と言っていい事になる．この辺の事情は数学者達によって
十二分に議論されていて，応用上登場する状況では問題ないことが分かっているので，ここではこれ以
上追求しない．
さて定理 7.3 の言明を見ると，D における φ の境界値 φ|∂D とその法線微分の値 (∂φ/∂n)|∂D 両方が境
界条件として必要に見える．しかし実際にはそうではなく，どちらか一方だけ与えるだけで解は一意
に決まってしまう．
（一意性について*3 参照）逆に言うと ∂D 上で任意の関数の組 f, g を与えた場合，
φ|∂D = f, (∂φ/∂n)|∂D = g となるような Poisson 方程式の解は存在するとは限らないことになる．ここで境
界条件 φ|∂D = f より −∆φ = ρ の解を決める問題を Dirichlet（ディリクレ）問題，(∂φ/∂n)|∂D = g より φ
を定める問題を Neumann（ノイマン）問題 と称する．それでは各種境界値問題について解の一意性を
示そう．
定理 7.4 有限領域 D における Dirichlet 問題，Neumann 問題の解は一意に定まる．
(証明) 境界条件を満たす方程式の解が 2 つあったとしてそれらを φ1,2 とする．これらが Dirichlet 問題の
場合一致すること，Neumann 問題の場合は定数関数の違いしかない事を示そう．ここで φ1 − φ2 に (7.13)
を適用すると
∫
∂D
∫
∫
(φ1 − φ2 )∇(φ1 − φ2 ) · dS =
∇(φ1 − φ2 ) 2 d +
D
(φ1 − φ2 )(∆φ1 − ∆φ2 )d ,
D
となるが，仮定より境界 ∂D 上で φ1 ≡ φ2 （Dirichlet 問題の場合）もしくは n · ∇φ1 ≡ n · ∇φ2 （Neumann
問題の場合）だから，いずれの場合でも左辺の面積積分は消える．そして右辺の体積積分において D 上
∆φ1 ≡ ∆φ2 であるから結局上の等式は非負のスカラー関数 ∇(φ1 − φ2 )
2
の体積積分が消えることを意味
することになる．よって D 上 ∇(φ1 − φ2 ) は消える，すなわち φ2 は φ1 と定数関数の違いしかないことと
なる．Dirichlet 問題の場合，それは φ1 と φ2 が等しいことを意味し，これで証明が終わる．
全空間における Poisson 方程式に関しては，φ が無限遠で消えること（これがこの場合の境界条件になっ
ている）を要求すれば解が一意に決められる．
定理 7.5 領域 D において ρ が与えられている時 Poisson 方程式 −∆φ = ρ の解 φ で，無限遠で消えるも
のは
∫
1
ρ(y)
d y,
4π
x−y
で与えられる．但し ρ はその絶対値 |ρ| が全空間で可積分であるとする．
φ(x) =
(7.17)
7.2 積分定理と微分公式の応用
99
(証明) 厳密証明は数学的に細かくなるので，それには拘らない事にする．仮定より大きな y に対して
|ρ(y)|d
y
の値は小さいので x が十分大きい時，y ∼ x に対して ρ(y)d y / x − y は小さくなる．一方 |ρ(y)|
が大きな値を取る y に対しては x − y が大きくなるので (7.17) 式で与えられる φ(x) の大きさは x が
大きくなる程小さくなるのは明らかである．
上で ρ が電荷であった場合，全電荷 Q が 0 でないなら距離が大きい時 φ が (1/4π x ) に漸近するのは直
感的に明らかだろう．
（Q = 0（多重極ポテンシャルのように振る舞う場合）の時に φ は，遠方で 1/ x
より速く 0 に収束するのも明らかである）すると無限遠で消える解の一意性が以下のようにして示せる．
すなわちそのような 2 解 φ1,2 があった場合，原点を中心とする半径 R の球 DR を考え，有限領域の場合
と同様 Green の公式を適用する．すると球面 ∂DR 上での (φ1 − φ2 )∇(φ1 − φ2 ) の積分を考えるとそれは大
きく見積もっても |φi | ∇φi ，すなわち 1/R3 のオーダーの量の積分となり，よって積分値は 1/R のオー
ダーとなるので R → ∞ で消えてしまう．その一方で体積積分中の (φ1 − φ2 )(∆φ1 − ∆φ2 ) が消えるのは前
述の場合と同じで，結局 ∇(φ1 − φ2 )
2
の積分が消えるのも同じになる. 従って無限遠で消える条件によっ
て，解は一意に決まる．
a.
Dirichlet の原理
有限領域 D の上での Poisson 方程式 ∆φ = −ρ の解が境界値 φ|∂D = f によって一意に決まること，つま
り Dirichlet 問題に一意解が存在することを証明しよう．その際 Dirichlet の原理と呼ばれる次の主張を
用いることにする．Dirichlet の原理を数学的に厳密に証明するのは容易ではないが，ここでは以下に掲
げる Dirichlet の原理のナイーブな「証明」で満足することにしよう．
定理 7.6 ∂D 上で定義された関数 f が与えられている時，D の内部で Poisson 方程式 ∆φ = −ρ を満たし，
かつ ∂D で f に一致する関数 φ が一意に定まる．
これを保証するのが以下の Dirichlet の原理である．
Dirichlet の原理：∂D 上で f に一致する D 上で滑らかな関数 ψ の中で積分
∫
I(ψ) =
∇ψ 2 d ,
(7.18)
D
の値を最小にする ψ が存在し，それは調和，つまり Laplace 方程式の解になる．
これから定理 7.6 がどのように導かれるか，まずそれを見よう．我々は定理 7.5 より，ρ を D の外では消え
るものとして全空間に延長して考えれば，Poisson 方程式の 1 つの解が (7.17) で与えられることを既に知っ
ている．しかしその解 φ は D 内の問題とした場合，境界 ∂D で与えられた値 f を持つとは限らない．そこ
で φ を ∂D に制限した関数を φ|∂D として，∂D で定義された関数 η = f − φ|∂D を境界値にもつ調和関数 φ1
を Dirichlet の原理を使って求めれば φ + φ1 が求めるべき解になる．仮定より ∆(φ + φ1 ) = ∆φ + ∆φ1 = −ρ + 0
であり，またその境界値は (φ + φ1 )|∂D = φ|∂D + f − φ|∂D = f となるからである．
Dirichlet の原理の証明：同じ境界値 f を満たす，D において少なくとも 1 階微分可能な関数達のうちで
(7.18) の積分（Dirichlet 積分）I(ψ) を最小にするもの φ が見つかったとして，それが調和関数になるこ
とを示そう．D で定義された，境界上で 0 となる 1 回は微分可能な η と実数 t に対して φ + tη はやはり
境界値 f を持つ関数になり，よって仮定より I(φ + tη) ≥ I(φ) となる．この時 Dirichlet 積分の定義より
∫
I(φ + tη) = I(φ) + 2t
∇φ · ∇ηd + t2 I(η),
D
であり，この右辺が t の関数として常に I(φ) 以上の値を取るためには
∫
∇φ · ∇ηd = 0,
D
(7.19)
7. ベクトル解析の諸公式とその応用
100
が必要になる．従って ∂D で消える η に対して (7.13) を適用して（φ が 2 階まで微分可能だとして）
∫
∫
∫
∫
0=
η∇φ · dS =
∇η · ∇φd +
η∆φd =
η∆φd ,
(7.20)
∂D
D
D
D
が所定の条件を満たす任意の η に対して成立することになる．そこで D 内部の任意の点 x を中心とす
る微小な半径
を持つ球体 B の内部でだけ正の値を取り，その他では 0 となる 1 回は微分可能な η を
(7.20) に用いれば
∫
∫
η∆φd ≈ ∆φ(x)
D
ηd ,
B
となるからこれが恒等的に消えるためには ∆φ(x) = 0 となる他なく，よって確かに φ が D 内部で調和関
数になることが分かった．
さて，∂D における境界値が f に一致する任意の ψ に対して I(ψ) > 0 となることは明らかであり，従っ
て I は下に有界であるからナイーブに考えると所定の境界値を持つ関数の中で I の最小値を与える関数
φ が存在するであろう．そしてそれが調和になることはたった今示されたのだから，Dirichlet の原理は
証明された．
注意 7.5 歴史的にはこのことの厳密証明（1 回は微分できる，I の最小値を与える φ の存在と，それが
必然的に 2 階まで微分でき，従って (7.20) が適用できることの証明）に時間がかかったのである．更に
得られた φ(x) が本当に ∂D 全体で境界値 f を持つか，は決して自明ではない．実は境界条件を満たす関
数達に対する Dirichlet 積分 I(ψ) の下限を I0 として，I(φn ) → I0 となる時，φn が調和関数 φ に収束する
ことが示せても，φ が所定の境界条件を満たすことまでは示せず，実際に ∂D と f によっては φ が境界
条件を満たさない事も分かっている．
（例えば [7] にちゃんとした解が得られる十分条件の一つが載って
いる）
b.
Green 関数
Dirichlet の原理を認めれば Poisson 方程式 ∆φ = −ρ の解が ∂D における境界条件 φ|∂D = f だけで決まっ
てしまうことは既に示した．実はもっと踏み込んで，Dirichlet の原理の下に φ の明示公式を与えること
ができる．そのために Green の公式 (7.14) に戻ろう．この公式での ψ として，Dirichlet の原理によって
その存在を保証された，その ∂D における境界値として −(1/4π x − y )∂D を持つ，x をパラメタ−とする
調和関数 φ1 (y) を用い，φ(y) として Poisson 方程式の解を入れれば
∫
∫
0=
φ1 ρd −
(φ∇φ1 − φ1 ∇φ) · dS,
D
∂D
が得られる．これを (7.15) の両辺に加えれば（φ1 の境界での振る舞いに注意して）
∫ (
)
1
φ(x) =
+ φ1 (y) ρ(y)d
4π x − y
∫D { (
) (
) }
(x − y)
1
+
∇φ
(y)
−
+
φ
(y)
∇φ · dS
−
φ
1
1
4π x − y
4π x − y 3
∫∂D(
∫
)
(
)
1
1
=
+ φ1 (y) ρ(y)d −
φ∇y
+ φ1 · dS,
4π x − y
D 4π x − y
∂D
となる．すなわち D 内の点 x をパラメターとする，∂D において境界値 −1/4π x − y を持つ調和関数
φ1 (x, y) から
1
+ φ1 (x, y),
4π x − y
によって Dirichlet 問題に対する Green 関数 G を定義すれば Poisson 方程式 ∆φ = −ρ の境界値 φ|∂D = f
G(x, y) =
を満たす解 φ が
∫
∫
φ(x) =
G(x, y)ρ(y)d −
∫D
=
G(x, y)ρ(y)d −
D
∫∂D
∂D
f (y)∇yG(x, y) · dS
f (y)
G(x, y)
dS ,
ny
(7.21)
7.3 完全微分（ポテンシャル）の条件
101
という形に得られることが分かったのである．
Neumann 問題においては，任意に与えられた f に対して境界で (∂φ/∂n) = f を満たす Poisson 方程
式の解が存在するとは限らない．Dirichlet 問題同様，Poisson 方程式を解くことはしかるべき境界条件
(∂φ1 /∂n) = g を満たすラプラス方程式を解くことに帰着する．すなわち Neumann 問題は，(7.15) の
体積積分の部分で定義される x の関数 φ0 (x) の境界 ∂D における法線微分と与えられた境界値 f の差
g = f − (∂φ0 /∂n) を境界における法線微分として持つ調和関数 φ1 を見つけることに帰着される．ところ
が有限領域で定義された調和関数の，境界における法線微分の ∂D 上の積分値は消えることが示せる（D
内で定義された任意の調和関数 φ と，定数関数 1 に対して Green の公式 (7.13) を適用すればよい）ので，
f − (∂φ0 /∂n) の ∂D 上の積分が消えないような f, ρ の組み合わせに対して Poisson 方程式の解は存在しな
い事になるのである． f, ρ が適合する場合には Dirichlet 問題と同様にして Neumann 問題の Green 関数
を作る事ができる．
具体的な D の形に対する Green 関数を解析的に求めることは簡単ではない．D が球体のような簡単な
形の場合には Dirichlet，Neumann 問題双方に対する Green 関数の具体形を求めることは可能である．そ
の詳細および Neumann 問題の扱いについての詳細は寺沢 [8] 等を参照して欲しい．
7.3 完全微分（ポテンシャル）の条件
スカラー関数の勾配の導入のところで，任意のベクトル場 f をなんらかのスカラー関数の勾配として
書くことは不可能であり，必要条件として (∂ fi /∂x j ) = (∂ f j /∂xi ) が成立しないといけないことを説明した．
それは f の回転 ∇ × f が消えること（rotation free と称する）を意味していて，定理 7.1 の前半の言明に
他ならない．実はこの条件は，単純な形の領域，例えば凸領域で定義された f に関してそれが f = ∇ f
書けるための十分条件にもなっている．同様にベクトル場 B が B = ∇ × A のように書ける．すなわちベ
クトルポテンシャルを持つための必要条件として定理 7.1 の後半より ∇ · B = 0（発散無し， divergence
free と言う）が得られるが，B が凸領域で定義されている時，これは上と同様十分条件にもなる．以下で
これらを証明することにしよう．なお，一般の領域においては回転無しの場に，それに対するスカラー
ポテンシャルが存在することも，発散無しの場にベクトルポテンシャルが存在することも保証されない．
定義域全体で well defined となるポテンシャルの存在には場の定義域の大局的なトポロジカルな性質が
効いてくるのである．
まず初めにベクトル場の「原始関数」の存在に関して次が成立する．
定理 7.7 ベクトル場 f がある凸領域 D*4 中で回転無しになる，すなわち ∇ × f = 0 となるなら D 上のス
カラー関数 h をうまく取って D において f = ∇h であるようにできる．
（つまり f は「原始関数」を持つ）
但し凸領域 D とはその内部の任意の 2 点 x, y に対してそれを結ぶ線分 xy も D に含まれるような領域の
ことを言う．
本定理の証明の前にそれ自体とても重要な命題を掲げよう．
命題 7.10 弧状連結開領域 D，すなわちその任意の 2 点を D 内にある曲線で結べるような開領域内（以
降いちいち考えている領域が開集合であることは断らない）で定義されたベクトル場 f に対して，D 内
の任意の 2 点 x, y を端点とする D 内の経路 C に沿っての積分
∫
f · dx,
C
が x, y にしか依存しないとする．この時 f は D 上で原始関数を持つ，すなわち f = ∇h となるスカラー
関数 h が存在する．そして逆に ∇h という形のベクトル場の線積分の値は端点にしか依存しない．
*4
実際にはもっと仮定を弱めた領域に対しても定理は成り立つが，スカラー，ベクトルポテンシャルまとめて同じ十分条件に
するため，強めの仮定をおいた
102
7. ベクトル解析の諸公式とその応用
(証明) まず，上記命題の最後の言明は定理 6.1 に他ならなく，従って既に証明されている．次に仮定が
満たされている時 D 内の任意の点 x0 を固定し，D の任意の点を x として x0 を始点，x を終点とする D
内の経路 C を取ってこよう．ここで関数 h(x) を
∫
h(x) =
f · dx,
C
で定義する．仮定によって用いた経路 C に関係なく右辺の値は x0 , x だけで決まるので， x0 を固定する
なら確かにこれは x の関数を定義している．この時 f = ∇h を示すため x における h の偏微係数 (∂h/∂xi )
を定義通りに計算しよう．そのために hi = ei , ei は座標軸方向の単位ベクトル，とし，x0 と x + hi を結
ぶ経路として一旦 x に達した後 xi -軸に沿って x + hi に到るもの（仮定より x は D の内点だから十分小
さな
に対して x と x + h を結ぶ線分は D にすっかり入ることに注意）を取れば
∫
δh = h(x + hi ) − h(x) =
f (x + tei ) · ei dt,
0
ということになる．この右辺の被積分項は f (x + tei ) = f (x) + O(t) = f (x) + O( ) と評価できるので
f (x + tei ) · ei = f (x) · ei + O( ) となり，よって
∫
( ∂h )
( f (x) · ei + O( ))
1
= lim
f (x + tei ) · ei dt = lim
= fi (x).
→0
→0
∂xi x
0
本定理の証明とは関係ないが，上の命題から直ちに得られる次の命題もよく用いられる．
命題 7.11 弧状連結領域 D 内における任意の閉曲線に沿っての f の積分が消えるならこのベクトル場は
原始関数を持つ．
(証明) 今 D 内の点 x0 を勝手に選んで固定し，D の任意の点を x としよう．そして x0 から x に到る曲
線 C0 を勝手に選んで固定する．ここでやはり同じ始点，終点を持つ曲線を任意に選んでそれを C とす
る時，曲線 C − C0 は閉曲線になり，よって命題 5.1，命題 5.2 と仮定より
∫
∫
∫
f · dx = 0 →
f · dx =
f · dx,
C−C0
C
C0
となり，命題 7.10 より f は原始関数を持つ．
(証明) それでは定理 7.7 の証明に取りかかることにしよう．まず凸領域 D の一点 x0 を勝手に選んでそ
れを固定する．次に D の任意の点 x に対して線分 L = x0 x を考え（その始点は x0 とする．仮定より線
分 L は D 内部に入る），これに沿った f の積分を x の関数と考えたものを h(x) と置こう．するとこれ
が f の原始関数になることが以下のようにして示される．
まず x に対して積分経路 L は一意に定まるので関数 h は確かに定義可能である．次に h の勾配を定義
に従って計算することにしよう．そこで命題 7.10 の証明と同じ記号を用いれば
(∫
)
∫
( ∂h )
1
= lim
f · dx −
f · dx ,
→0
∂xi x
L
L
(7.22)
となる．ここに L は x0 と x + ei を結ぶ線分である．
（図 7.2 参照）ここで D の凸性より x から x + ei
に向かって引いた線分 l も D の内部に入り，区分的に滑らかな曲線 L − l − L は x0 を発して x + ei , x を
経由して元に戻る閉曲線となる．ここで L , l, L を三辺とする三角形 ∆ も D 内にある（ x0 と l 上の各点
を結ぶ線分も D 内に入り，それら線分の和集合がこの三角形になるから）ことに注意すると定理の仮定
より ∆ 上 ∇ × f ≡ 0 と， f の回転は ∆ 上で消えることになる．従ってストークスの定理より
∫
∫
f · dx =
∇ × f · dS = 0,
L −l−L
∆
7.3 完全微分（ポテンシャル）の条件
l
x
103
x+εei
L
L'
図 7.2 定理 7.7 を証明するため，原点と点 x を結ぶ線に沿っての f の積分が原始関数になることを直接
示す．
となり，これより
∫
∫
∫
f · dx −
L
f · dx =
L
f · dx = f (x) · ei + o( ) = fi (x) + o( ),
l
従って (7.22) の右辺の極限は fi (x) となり，確かに ∇h = f となる． ここまではベクトル場が原始関数を持つ為の必要十分条件について述べた．さて電磁気学において，定
常電流密度 j の下での磁界 H はアンペールの法則 ∇ × H = j に従うことが知られている．ここで両辺の
発散を取ると左辺に関しては定理 7.1 の後半より
∇ · (∇ × H) = 0,
となるので，当然 ∇ · j = 0 でないといけない．ところが定常電流の場合この式は電荷保存の主張に他な
らないので，これは確かに成立している．∇ · j = 0 を満たす定常電流に対して ∇ × H = j を満たす H が
存在する事実を数学的に抽象化して定式化すると以下のようになる．
定理 7.8 （ベクトルポテンシャルの存在）凸領域において定義されたベクトル場 B に対して ∇ × A = B
なるベクトル場 A が存在するための必要十分条件は ∇ · B = 0 となること，すなわち B が発散無し
（divergence free）な場になることである．
電流密度 j とは違って磁束密度 B はいかなる時にも発散無し ∇ · B = 0 であるから，上の定理はあら
ゆる磁束密度 B に対して ∇ × A = B を満たす A が存在することを主張している．この A を B のベクト
ルポテンシャルと称する．
定理 7.8 を証明するには電流密度 j が与えられた時の Biot-Savart（ビオ・サバール）の公式に相当す
るものを用いればよい．それでは定理 7.8 を証明しよう．
(証明) まずは B が全空間で定義され，無限遠で十分急速に消える場合について考える．
まず方程式 ∇ × A = B において ∇ × C = A となる C があったとしよう．すると公式 (7.9) より
∇ × (∇ × C) = −∆C + ∇(∇ · C) = B,
と言うことになる．そこで方程式 ∆C = −B を，∇ · C = 0 が満たされるように解くことができれば問題
が解決したことになる．そのためにスカラー関数に対する Poisson 方程式の解法で行った議論を反復す
ることにしよう．デカルト座標においてはベクトルラプラシアンもスカラーラプラシアンと同形になる
ことから ∆C = −B の全空間における解は領域 D を無限に大きくしていった極限を取る時の
∫
1
B(y)d y ,
C(x) = lim
D→∞ D 4π x − y
(7.23)
で与えられることになる．ここで C の発散を取ると（公式 (7.4) に注意．この後も用いる）
∫
∫
(
)
(
)
1
1
∇ x · C(x) =
∇x ·
B(y) d y =
∇x
· B(y)d y ,
4π x − y
4π x − y
D
D
である*5 が 1/ x − y に対して x に関するナブラ演算子を作用させることは y に関するそれを作用させる
ことと符号しか違わないので
∫
∇ x · C(x) = −
∇y
D
*5
(1/4π x − y ) の勾配の大きさは x ∼ y において x − y
分法が使える．
2
(
)
1
· B(y)d y ,
4π x − y
(7.24)
のオーダーであり，従って y に関して可積分なので積分記号下の微
104
7. ベクトル解析の諸公式とその応用
ということになる．ここで ∇ · B = 0 という仮定を用いると
(
)
(
)
1
1
∇y ·
B(y) = ∇y
· B(y)
4π x − y
4π x − y
となるので (7.24) は Gauss の定理を用いて面積分に書き換えられる．すなわちこの積分は
∫ (
)
1
−
B(y) · dS,
∂D 4π x − y
に等しい．ところがこの面積分は D を大きくしていく極限で消える（そのような B だけ相手にしてい
る）ので，これで ∇ · C = 0 が分かった．従って (7.23) の回転を取れば（以下の式においても積分と x に
関する微分の順番を入れ換えられるので）
∫
(x − y) × B(y)
d ,
4π x − y 3
A(x) = −
が求めるべきベクトルポテンシャルになっている．もちろんこれは上の B を電流密度と見なした時の
Biot-Savart の公式と同じ形になっている．
領域 D が有限の場合には表面積分が残り，これをきれいな格好の式に変形するのは簡単ではないので，
代わりに抽象的な，数学的に正しいだけの方法を用いることにしよう．目標は ∇ · B = 0 を満たす B に
対して ∇ × A = B を満たす A を求めることである．天下りだが，それは凸領域 D の一点 x0 を固定した
時次で与えられる．
（積分路存在の十分条件として D の凸性を用いた）
∫ 1
)
(
A(x) =
B t(x − x0 ) + x0 × t(x − x0 )dt.
0
これを示すため， A の回転を取れば公式 (7.6）と仮定 ∇ · B = 0 より
∇ x × A(x)
∫ 1 (
]
] (
) [
(
) [
=
t ∇ · (x − x0 ) B t(x − x0 ) + x0 + (x − x0 ) · ∇ B t(x − x0 ) + x0
0
)
(
[
])
( [
] )
− ∇ · B t(x − x0 ) + x0 (x − x0 ) − B t(x − x0 ) + x0 · ∇ (x − x0 ) dt
∫ 1 (
[
] (
) [
]
=
t 3B t(x − x0 ) + x0 + (x − x0 ) · ∇ B t(x − x0 ) + x0
0
∫
])
[
− B t(x − x0 ) + x0 dt =
1
(
]
[
2tB t(x − x0 ) + x0
0
])
(
) [
+ t(x − x0 ) · ∇ B t(x − x0 ) + x0 dt.
が得られる．ここで y = t(x − x0 ) + x0 として
∂
dy
(x − x0 )
B[t(x − x0 ) + x0 ] =
· ∇y B[t(x − x0 ) + x0 ] =
· ∇ x B[t(x − x0 ) + x0 ],
∂t
dt
t
故
∫
(
)
))
∂ (
2tB t(x − x0 ) + x0 + t2 B t(x − x0 ) + x0 dt
∂t
0
[ (
]1 ∫ 1 (
)
(
))
= t2 B (t(x − x0 ) + x0 ) +
2tB t(x − x0 )] − 2tB[t(x − x0 ) dt
∇ x × A(x) =
1
(
0
0
= B(x),
と，確かに欲しい結果が得られた．これは外微分法における Poincare（ポアンカレ）の補題の逆と呼ば
れる命題を 3 次元ベクトル場に適用したものであり，ここでは [ 5] による，見かけがすっきりしたもの
を紹介した．
スカラーポテンシャルに任意定数だけの不定性があるように，ベクトルポテンシャルには任意のスカ
ラー関数の勾配 ∇ f だけの不定性がある，つまり ∇ × A = B なら ∇ × (A + ∇ f ) = B となるので，適当な
7.3 完全微分（ポテンシャル）の条件
L
105
S
P
C
U
(a)
U
(b)
図 7.3 (a) 点線で示された領域から曲線 L を抜いた領域 U 上で定義された回転無しのベクトル場は U 全
域でポテンシャルを持つとは限らない．図で示されたような閉曲線 C にストークスの定理が適用できると
は限らないからである．(b) 点線で示された領域から点 P を抜いた領域 U 上で定義された発散無しのベクト
ル場は U 全域でベクトルポテンシャルを持つとは限らない．図で示された閉曲面 S にガウスの定理が適用
できるとは限らないからである．
付加条件をつけない限りベクトルポテンシャルは一意には決まらない．そのことを反映して [1] に載って
いる別の計算法で得られた結果は上述のものとスカラー関数の勾配分だけ異なっている．
一般に ∇ f = f ，あるいは ∇ × g = f と書けるようなベクトル場 f を，
それぞれスカラーポテンシャル，ベクトルポテンシャルの存在に関して完全（exact）であるといい，
∇ × f = 0，あるいは ∇ · f = 0 となる f を（それぞれのポテンシャルに関して）閉（closed）であると言
う．以上によってベクトル場の完全性と閉性は凸領域においては同値であることが分かった．しかし一
般の領域に関しては閉なベクトル場がいつも完全になるとは限らない．すなわちベクトル場の完全性と
閉性の概念が一致するか否かは，それが定義された領域のトポロジーに依存するのである．例えば無限
√
に長い直線上を流れる電流 I 0 によって生じる磁界は H = (I/2πρ)(−y/ρ, x/ρ), ρ = x2 + y2 と書けるが
これは H の定義域である全空間から z-軸を抜いた空間 D において回転無しになる，という意味で閉で
ある．従って D の任意の凸な部分領域で H はスカラーポテンシャルを持ち，例えばそれが任意定数を
除いて φ = (I/2π)θ(x, y) ，ここに θ(x, y) は空間の点 x を xy 平面に正射影した点の偏角，で与えられるこ
とは容易に分かる．しかしこの関数を D 全体で一意関数として表すことができないのは θ(x, y) の多価性
より明らかだろう．命題 7.11 にあるように， H が D において原始関数を持つ為には D 内の任意の閉曲
線 C に対する線積分が消えなければならないが，z-軸を 1 周する積分，例えば xy-平面上の原点を中心
とする単位円周に沿った H の積分は I
0 となっている．定理 7.7 の証明において閉曲線 C に対してス
トークスの定理を用いたが，それは C を境界に持つ曲面の「内側」の領域全体に対してベクトル場が定
義されていないといけないのに対し，今考えている H に関しては z-軸を 1 周するような閉曲線に対して
は，それを境界とするいかなる曲面 S に対しても S は z-軸と交点を持ってしまい，従って D 全体での
原始関数を得ることはできないのである．*6 これとは逆に，D 内のいかなる閉曲線も D 内で連続変形し
ていって 1 点に縮めることができるような空間 – 単連結と称する – においてはベクトル場の ∇ × f = 0
の意味での閉性とスカラーポテンシャルに関する完全性は一致する．従って D 全体での原始関数を求め
ることはあきらめ，適当な集合 F を除いた領域 D − F が単連結になるようにすれば、D − F 上での原始
関数を求めることはできる．今の例における θ(x, y) は，これを主値と考えるなら D から xz-平面の x ≥ 0
となる半平面を取り除いた単連結領域において一意かつ連続微分可能となっている．
同様なことはベクトルポテンシャルに関しても起こる．例えば f = −∇(1/r) = x/r3 は 1/r が原点を除
いて調和であることからそれは定義域において発散なしであり，従ってベクトルポテンシャル ∇ × g = f
を（局所的には）持つ．物理的にこれは，原点から四方に伸びる力線を磁力線と解釈して，そのような
磁場を生じる電流分布を求めることに対応し，よって片端が無限遠方に，もう片端が原点にある無限に
*6
超関数論の立場では H は，∇ × H が z-軸上で 2 次元 Diracδ 関数が連なったものとして振る舞い，よってこれは全空間にお
ける閉ベクトル場では無い，と見なされる．
7. ベクトル解析の諸公式とその応用
106
細いソレノイドを流れる電流といったものがそのような場を与えるだろう．このことから ρ =
として
x 2 + y2
x(z + r) )
,0 ,
rρ2
が単極場 f = x/r3 のベクトルポテンシャルとして得られる（磁気単極子に関して出てくる，いわゆる
g=
( y(z + r)
√
rρ2
,−
Dirac の紐である*7 ）．しかしこの g は， f が原点以外の全ての点で定義されているのに対して z-軸の正
の部分でも定義不能となっている．これは直線電流の作る磁界 H の原始関数 (I/2π)θ(x, y) が z-軸だけで
なく，それを含む半平面を除いた領域でのみ一意，かつ連続に定義可能であったのと同様の数学的に事
情による．一般に領域 Ω に含まれる閉曲面 S で，その内側に Ω 以外の点を持つようなものが存在する
時，そのような Ω の上で定義されたベクトル場が発散なしだからと言ってそれが Ω 全体で定義されたベ
クトルポテンシャルを持つとは限らないのである．
7.4 Helmholtz の分解定理
標題のものは，発散無しでも渦無しでも無いベクトル場 f を，うまいスカラー関数 h の勾配とベクト
ル場 A の回転で表すことが可能であることを主張している．今全空間で定義され，無限遠で急速に消え
るベクトル場 B が与えられた，としよう．そして ρ = ∇ · B と置き，Poisson 方程式 ∆h = −ρ の解 h を
(7.17) でもって与える．ここで D = B + ∇h と置けば ∇ · D = ρ + ∆h = 0，つまり D は発散無しの場にな
るので今度は定理 7.8 によって ∇ × A = D となる A が見つかる．従って B = −∇h + ∇ × A という分解が
得られた．すなわち
定理 7.9 全空間で定義されたベクトル場 B が無限遠で十分速く消えるなら適当なスカラー関数 h とベク
トル場 A を用いて
B = −∇h + ∇ × A,
という形に表すことが出来る．
上記定理を Helmholtz（ヘルムホルツ）の分解定理と呼び，−∇h を B の渦無し部分， D = ∇ × A を B の
回転部分などと呼ぶ．この定理は以下のようにすればもっとエレガントな表記を得る．定理 7.8 におい
て発散無しの場 B に対して ∆C = −B の解を考えたが，ここでは発散無しとは限らない B に対して
∫
1
C(x) =
B(y)d y ,
D 4π x − y
とするのである．この時既に見たように
∆C = ∇(∇ · C) − ∇ × (∇ × C) = −B,
となるので
B = ∇ × A − ∇h, A = ∇ × C, h = ∇ · C,
(7.25)
が分かる．ここで x 微分と積分を入れ換えられる事，ψ = (1/4π x − y ) の x 微分と y 微分は符号だけ異
なることを再び用い，また
∇y ×
(
) (
)
1
1
1
B = ∇y
×B+
∇y × B,
4π x − y
4π x − y
4π x − y
であるから，公式 (7.12)（本質的には Gauss の定理である）の右辺として上式左辺を用いたものにおい
て，そこに登場する境界 ∂D に対する面積分が，D を無限に大きくする過程で消える，従って上式左辺
の体積積分が消えることを利用して（要するに部分積分公式の 1 つとなる）
∫
∫ (
)
1
∇ × B(y)
1
A(x) = ∇ × C = −
∇y
× Bd =
d ,
3
3
4π
x
−
y
4π
x−y
R
R
*7
f ついても，既に 7.2.2 節冒頭で述べたように，それを超関数論的に考えれば ∇ · f = 4πδ(x) 0 となり，従って f は閉ベク
トル場ではない．なお Dirac は量子力学の範囲において，単極子強度が特定の値を取る時，上述のもの（Dirac の紐の存在）
とは別の立場を取り得ることを指摘した．
7.4 Helmholtz の分解定理
107
同様にして（今度は普通の Gauss の定理から）
∫
∫
(
)
1
1
∇ · B(y)
h(x) = ∇ · C = −
∇y
· Bd =
d ,
4π x − y
4π R3 x − y
R3
という形が最終的に得られた．
最後にこの分解の一意性に関して注意しておく．もし B が別の分解 B = ∇ × A − ∇h を許したとする
と ∇(h − h ) = ∇ × (A − A ) となり，ベクトル場 A − A は発散無しかつ回転無し，すなわち調和ベクト
ル場になる．明らかに逆も可であって，一般に Helmholtz 分解には調和ベクトル場だけの不定性がある．
ところが全空間で調和かつ無限遠で消える調和ベクトル場は零ベクトル場しかない．デカルト座標系に
おいては，調和ベクトル場の各成分が調和関数となるが，全空間で調和かつ無限遠で消えるスカラー関
数は恒等的に消える関数以外にないことが分かっているからである．
（下記注意参照）よって h, A が無限
遠で消えるという境界条件を課せば Helmholtz 分解は一意に決まることが分かった．
注意 7.6 調和関数の性質について簡単に触れておく．まず任意の点 x を中心とする半径 r の球 Br と微
小半径 の球 B を考え，2 つの球に挟まれた領域 Br − B において φ を調和関数，ψ = (1/4π x − y ) と
して Green の公式を適用すると，定理 7.3 の証明と同様にして
∫
1
φ(x) =
φ(x + rn)do,
4π ∂Br
が得られる．ここに n は方位ベクトル，do は立体角要素で，∂Br 上 ∇ψ = −(1/4πr2 )n となることを用い
た．この等式は調和関数の任意の点における関数値は，その点から等距離の点における関数値の平均（方
位に関する平均）に一致することを意味していて，Gauss の平均値の定理と呼ばれている．
さて，今無限遠で消える調和関数 φ があったとして，それに平均値の定理を適用すれば任意の有限点
における関数値が無限遠における関数値の方位平均，すなわち 0 に一致することになるので確かに本文
で用いた主張が証明された．また複素関数論などで触れられている 2 変数の調和関数に対してと同様に，
3 次元においても最大値の原理が，平均値の定理から導かれる．
8
座標変換と曲線座標系
ベクトル解析で用いられる種々の微分は、一連の積分定理のところで注意したように、実は幾何学的
に不変な内容を持つ。すなわち初めそれらはデカルト座標系を用いて定義されたが積分定理のところで
見たように、座標系を用いなくとも定義可能な種々の積分を用いて微分作用素を定義することも可能だっ
たのである。また自然科学における応用において、考えている対象が何かの対称性、例えば球対称性を
持つなら、各種微分をデカルト座標ではなく、球座標で表した方が都合いいのは明らかだろう。そこで
以下では直交座標系、すなわち各座標軸がどの点でも直交している曲線座標系を用いた時の各種の積分、
微分作用素の表式を求めていこう。以下は前書きに書いた通り、本来は別の先生が書いた部分を筆者が
アレンジし直したものである。その際かなりの部分をもとの原稿から借用したが、著作権的には問題な
いようにした。
（定番の方法であるから、文そのものを「コピペ」しない限り著作権云々もへったくれも
ないのだが、元のファイルを参考にしながら上書きしたのが以下のものである）
注意 8.1 非常に形式的に考えれば、任意の 3 次元座標系 u = (u1 , u2 , u3 ) に対して勾配を ∇u f = (∂ f /∂u1 , ∂ f /∂u2 ,
∑
∂ f /∂u3 )、回転を rot u f i = jk i jk (∂ fk /∂u j )、etc. のように定義してはどうか？と思うかも知れない。しか
しそもそも上で f = (∂ f /∂u1 , ∂ f /∂u2 , ∂ f /∂u3 ) というベクトル場は何を意味するのだろうか？曲線座標系
を位置の指定には用いるが、ベクトル自体は通常のデカルト座標軸に沿った単位ベクトルで展開したも
のを用いるのだろうか？それとも ui -軸に沿った単位ベクトルを用いるのだろうか？いずれにしても、上
のような定義を用いるなら最早そのような勾配、回転、発散に対してはガウス・ストークスの定理は成立
せず、また発散が今までで説明したような物理的意味を持つようにはできない。そもそも上のような定
義では、ポテンシャル関数の勾配が力（の −1 倍）になりすらしない。球座標に対して ∂U/∂θ は力の次
元では無く、エネルギーの次元を持つからである。（揚げ足取りでも何でもない）以下ではベクトル場、
スカラー場を、曲線座標で表した時の各種微分の表式を求めていく。その際、空間位置を曲線座標 u で
指定し、またその点を始点とするベクトルは各 si -軸に沿った単位ベクトル f i を用いて成分表示するこ
とにしよう。
8.1 曲線座標
3 次元空間の各点 a はデカルトっ座標系を用いて x(a) = (x(a), y(a), z(a)) と表す事もできれば、曲線座
標系 u を用いて u(a) = (u1 (a), su2 (a), u3 (a)) と表現することもできる。この時対応 a ↔ x(a)、a ↔ u(a) が
それぞれ 1 対 1 であることから結局 1 対 1 の座標変換 u → x = x(u) と逆変換 x → u(x) が定義可能とな
る。この後、2 つの座標系を区別するため、デカルト座標の添字として i, j, k などローマ字、曲線座標系
の添字としては α, β, γ などギリシャ文字を用いよう。また具体的な添え字の数字としては、曲線座標系
の場合には 1 などと、プライム記号を付すことにする。そして以下では直交曲線座標系、つまり各点 a
で各 sα 座標軸が直交するもののみ考えることにする。また空間の点 a を表すのに、このような細文字の
変数だけでなく、それに対応するデカルト座標の値 x（a 依存性をあらわに表す x(a) の (a) は省略する）
も自由に用いよう。
（その方が皆さんには分りやすいと思っての事である。純粋数学的にも、自然科学的
にも空間の点 a は客観的に実在するものだろうから、本来はそのような細文字だけ使う方が、筋が通っ
ている）
注意 8.2 点 x を通る s1 軸はその点の u 座標値を (u1 0 , u2 0 , u3 0 ) として (u1 0 + t, u2 0 , u3 0 )、ここに t は動
くパラメター、で定義されるのは明らかだろう。
– 109 –
8. 座標変換と曲線座標系
110
8.1.1
直交曲線座標における変換規則
直交曲線座標系を指定した時、ベクトル解析においてまずすべきことは各軸方向を向いた単位ベクト
ル f α 、α = 1, 2, 3 を定義することだろう。これによってベクトル場を、曲線座標で表すことが可能にな
る。それには注意 8.2 で述べた事を用いて
(
)
(
)
(
) )
1 ( ∂x
∂y
∂z
1 ∂x
=
ex +
ey +
ez ,
fα =
hα ∂uα
hα ∂uα
∂uα
∂uα
√
(
)2 (
)2 (
)2
∂x
∂x
∂y
∂z
hα =
=
+
+
,
∂uα
∂uα
∂uα
∂uα
(8.1)
(8.2)
とすればよい。点 x0 = x(u0 ) において変数 uα だけ動かす事によって uα 軸が得られるが、uα = uα0 + δu
u2’ u + δu
10’
1’
u3’
(∂x/∂u1’)δu1’ = h1’δu1’ f1’
u1’
x(u0)
x(u0+δu1’)
h1’δu1’
図 8.1 直交曲線座標系：各点 x(u0 ) において 3 つの座標軸は直交するものの、空間全体では座標軸は曲
がっている。また例として u1 軸方向の微小変位 δx = x(u1 + δu1 , u2 0 , u3 ) − x(u0 )（図中では省略された記
法が用いられいている）が描かれている。微小変位 δx、その長さ δx 共に座標値の変化 δu1 に比例し、後
者の比例係数を h1 と書く事にすれば、u1 軸方向の単位ベクトルを f 1 と書く事にすると δx ≈ h1 δu1 f 1 と
いうことになる。また参考のために u1 = u1 0 + δu1 を表す曲面を、その面の上の u2 , u3 軸を、点線で描く
ことによって表している。
に対応する点 xδ と元の点 x0 の差 δx = xδ − x0 は微小な δu に対して明らかに uα 方向を向いているので、
後はこれを微小量 δu で割って有限値とし、極限 δu → 0 をとった後にそれを ∂x/∂uα で割って単位ベ
クトルとすればいいわけである。ここで上の hα を uα に対応する線要素と呼ぶことがある。hα は以下で
見るように、曲線座標系における微分演算の表式に大きな役割を果たす。なお、上の f α は、考えている
座標系が直交座標系である、という仮定から
f α · f β = δαβ
を満たすことに注意しておく。
次にデカルト座標系に付随した基本ベクトル ei と曲線座標系に付随した軸方向の単位ベクトル f α の
間の変換行列 O を
fα =
∑
Oαi ei
(8.3)
i
で定義しよう。すると上式両辺と e j との内積を取る（要するにベクトル f α の、デカルト系での第 j 成
分を求める）ことによって
1 ( ∂x j )
(8.4)
hα ∂uα
が分る。言い換えると行列 Oαi は縦ベクトル f α を横に並べたものになっている。このような行列 O の
Oα j = f α · e j =
転置 O t は互いに直交すす単位横ベクトルを縦に並べたものになっているので、積 Ot O の αβ 成分は横
ベクトル f αt と縦ベクトル f β の積、すなわち 2 ベクトルの内積に等しいので
O tO = I
が分る。（もちろんこれは O が直交行列になる、と言っているに過ぎない）
8.1 曲線座標
111
さて一方で、変換 u → x のヤコビ行列、つまりその α j 成分が ∂uα /∂x j で与えられる行列は ∂x/∂uα
を縦ベクトルとして α = 1 2 3 に対応する 3 つを横に並べて得られるものとなっている。そして逆変換
x → u のヤコビ行列 ∂uα /∂xi は元の行列の逆行列になるのだった。一般に n 次正方行列 A を n 個の縦ベ
クトル ai を横に並べたものと見なし、その逆行列 A−1 を、横ベクトル a j を縦に並べたものと見なせば
 
 a1 
 
 a  (
 2
A−1 A =  .  a1
 .. 
 
 
an
···
a2
)
an = I
より ai · a j = δi j であること、つまり a1 ∼ an は a1 ∼ an の双対基底（注意 6.5 及びその前後参照）になっ
ている事が分る。これをヤコビ行列 ∂x/∂u とその逆 ∂u/∂x に適用し、更に正規直交系においては双対基
底は自分自身に一致することから
∂x
∂uα ∂x
∂uα
1 ∂uα
=
·
= hα
· fα →
= f α,
∂uα
∂x ∂uα
∂x
hα ∂x
1 = ∇uα ·
∴ f α = hα ∇uα
(8.5)
であることが分った。
∑
さて、これらの関係を用いれば、点 x = x(u) を始点とするベクトル A を ei の 1 次結合で表したもの
Ai ei と f α の 1 次結合で表したもの（数学以外では「 f α で展開する」と表現し、成分 Aα をその展開
係数と呼ぶことが多い。これは無限次元ベクトル空間である関数空間でのフーリエ級数、あるいはフー
∑
リエ展開における用語の流用である） α Aα f α の関係を求める事ができる。すなわち同一のベクトル場
A を（本当は細文字で書くべき量）
A=
∑
Ai ei =
∑
α
i
Aα f α
と 2 通りに表し、これと e j あるいは f β との内積を取れば
∑
∑
∑( )
Aj =
Oβi Ai ,
Oα j Aα =
O t iα Aα , Aβ =
α
α
i
ということになる。
最後に、曲線座標系において各種積分がどのように書かれるか、を述べてこの節を終わりにする。
(1) 線積分：無限小変位 dx はパラメターとして u を用いれば
∑ ∂x
dx =
duα
∂uα
α
となるので
A · dx = A ·
よって
) ∑
( ∑ ∂x
)
(∑
hα f α duα =
hα Aα duα ,
duα = A ·
∂uα
α
α
α
∫
∫
A · dx =
C
Aˆ · du, Aˆ = (h1 A1 , h2 A2 , h3 A3 )
(8.6)
C
が得られた。ここで最右辺はあたかも u をデカルト座標のごとく、そして Aˆ もあたかもデカルト座
標におけるベクトルのごとく扱って線積分することを意味する表現である。（勿論曲線 C は曲線座
標 u で表す）なお具体例は後にまとめておく。5.2 節で見たように、線積分をきちんと定義するに
は曲線のパラメター表示 x(t) を用いればよかった。上では u の値の曲線に沿っての変化を u(t) と表
し、実際には
∫
∫ t1
∫ t1 (
)
du
ˆ
Aˆ · du =
A(u(t))
· dt =
h1 (u(t))A1 (u(t))˙u1 (t) + h2 (u(t))A2 (u(t))˙u2 (t) + h3 (u(t))A3 (u(t))˙u3 (t) dt,
dt
C
t0
t0
と計算すればよい。
8. 座標変換と曲線座標系
112
(2) 面積分：面積分をパラメター (s, t) で表す場合面積要素 dS は (5.16) より
dS =
∂x ∂x
×
dsdt
∂s
∂t
で与えられるのだった。（5.3 節参照）これを x = x(u(s, t))、つまりまず u が s, t でパラメター付け
され、この u がデカルト座標のパラメター付けを与える、として計算すると
∂uα
∂x ∑ ∂x ∂uα ∑
=
=
hα f α
∂s
∂u
∂s
∂s
α
α
α
などとなることから

 

∑
∑
∂uβ 
)
∂uα  ∑
∂uα ∂uβ (

 dsdt =
hα hβ
f α × f β dsdt
dS =  hα f α
 ×  hβ f β
∂s
∂t
∂s
∂t
α
β
αβ
が得られる。ところが直交座標系の性質（ f α 、α = 1, 2, 3 が右手系（一々断らなかったが、大前提
として曲線座標系も右手系であるとしている）の正規直交基底になる）から f α × f β は αβγ がこの
順で 123 の巡回置換になるなら f γ に等しく、213 のそれになるなら − f γ に等しい。これをレヴィ・
チビタ記号を用いて表せば
fα × fβ =
∑
γ
αβγ f γ
ということになる。（和を取る、といっても残るのは 1 つの γ だけである）これを用いれば
dS =
∑
αβγ hα hβ
αβγ
従って
A·S=
∑
∂uα ∂uβ
f dsdt
∂s ∂t γ
αβγ hα hβ
αβγ
∂uα ∂uβ
Aγ dsdt
∂s ∂t
となる。これは形式的には

h
 1


uˆ s = h2



h3


h

 1





 , uˆ t = h
 2





h3
∂u1
∂s
∂u2
∂s
∂u3
∂s
∂u1
∂t
∂u2
∂t
∂u3
∂t





 A1 




 , A =  A  ,
 2 


A3

なる縦ベクトルを用いたスカラー三重積
A · dS = A · (uˆ s × uˆ t )dsdt
を用いて
(∫
∫
A · dS =
S
A(x) ·
S
( ∂x
∂s
×
∂x )
dsdt =
∂t
)∫
A (u) · (uˆ s × uˆ t ) dsdt
S
と書けることを意味している。つまりナイーブに考えた場合の、デカルト座標の時の (∂x/∂s)×(∂x/∂t)
に直接対応する (∂u/∂s) × (∂u/∂t) ではなく、ベクトルの各成分に線要素 hα による補正を施した u s × ut
を用いれば、通常のデカルト座標を用いた場合の面積分の表式と同様の式が得られる、というわけで
ある。さて例題 5.2 で述べたのと同様、Aα に対する面積分としてパラメタ− s = uβ , t = uγ （ここに
αβγ は順列として 123 の巡回置換のどれかに等しいものとする）を用いたものをとれば ∂u/∂s = eβ
（ここに eβ は第 β 成分だけ 1、残りは 0 となる数ベクトル、つまり形式的な基本ベクトルである）な
どとなるので (∂u/∂s) × (∂u/∂t) = eγ よって
∫
∫
∫
∫
A · dS =
h2 h3 A1 du2 du3 +
h3 h1 A2 du3 du1 +
h1 h2 A3 du1 du2
S
S
S
(8.7)
S
も分かった。*1
*1
hα duα は uα 軸方向の無限小変位を表し、今は直交座標系を考えているのだから uα 及び uβ 方向の無限小変位が張る無限小
「平行四辺形」の面積が hα hβ duα duβ となるのは、実は当たり前のことである。
8.2 一般直交座標系での微分作用素
(3) 体積積分：最後に体積積分は変数変換公式を用いるだけのことで、以下のようになる。
∫
∫
∫
∂x
du1 du2 du3 =
f (x)dxdydz =
f (u)
h1 (u)h2 (u)h3 (u) f (u)du1 du2 du3
∂u
D
D
D
113
(8.8)
例題 8.1 球座標の場合について h その他を求めてみよう。 x = r sin θ cos ϕ、y = r sin θ sin ϕ、z = r cos θ
より






sin θ cos ϕ
r cos θ cos ϕ
−r sin θ sin ϕ






 ∂x 
 ∂x 
∂x 
=  sin θ sin ϕ  ,
=  r cos θ sin ϕ  ,
=  r sin θ cos ϕ 
 ∂θ 
 ∂ϕ 

∂r 
cos θ
−r sin θ
0
従って
hr = 1, hθ = r, hϕ = r sin θ,
ということになる。よって例えば A = (Ar , Aθ , Aϕ ) をベクトル場の球座標での表示として
∫
∫
A · dx =
Ar dr + rAθ dθ + r sin θAϕ dϕ
C
C
といった表式が得られる。（勿論体積要素は d = h1 h2 h3 du1 du2 du3 = r2 sin θdrdθdϕ となる）
それでは以上の準備の下、(1) デカルト座標を用いて定義された微分演算子をその定義から直接書き換え
て曲線座標における表現を求める、(2) 微分演算子の幾何学的意味を用いて曲線座標系における積分の評
価から微分演算子の表現を求める、2 つの方法を解説する。前者、後者とも多くの教科書に載っている。
（前者には岩堀長慶のベクトル解析、後者にはアルフケンの物理数学等が挙げられよう。筆者は初めは後
者の方法をスレーター・フランクの物理数学の本で学んだ）
8.2 一般直交座標系での微分作用素
以下では ∇ x でデカルト座標系によるナブラ演算子を表すことにする。また直交曲線座標系 u を用い
た形式的なナブラ演算子は ∇u で表すことにしよう。
8.2.1
勾配（grad）
a. デカルト座標による定義式の変形から導出する方法
定義により
grad g = ∇ x g =
である。これを
grad g =
∂g
∂x
∑ ∂g
∂g ∂u ∂g ∑ ∂uα ∂g
=
∇ x uα
=
=
∂x ∂x ∂u
∂x ∂uα
∂uα
α
α
と書き換え、(8.5) を用いれば
1 ∂g
fα
hα ∂uα
が分った。さて、ここで前節の線積分の式 (8.6) を用いると
∫
∫
grad f · dx =
∇u f · du
grad g =
C
∑
α
(8.9)
C
ここに C は曲線 C をパラメター空間 u で表したもの*2 、ということになる。すなわち線積分の際には
u というパラメター空間における形式的なナブラ作用素 ∇u = ∂/∂u の u 空間における「線要素」du に対
する積分として、実空間における grad f の線積分が計算可能となることが分った。
*2
あくまで実空間の位置を 3 つの数値の組で指定するのに通常のデカルト座標系の他に別のものも用いられる、というのが基
本的立場だが、ここではナブラ演算子その他ベクトル微分演算子と積分定理の関係を見るため、あたかも元の空間とは別の、
u 空間へ変換して積分その他を考える、という立場をとる。この後の、ストークスの定理、ガウスの定理関連も見よ。
8. 座標変換と曲線座標系
114
b.
積分定理を用いる導出法
定理 6.1 より空間の点 x を発する uα 軸方向に伸びた長さ δl の微小線分を考える。ここで対応する uα
の座標値の違いを δuα とすれば δl = hα δuα ということになる。ニュートン・ライプニッツの定理（微積
分学の基本定理）の拡張により、この線分上で grad g を積分したものは線分の両端点での g の関数値の
差に一致する。そこで実際にこの線積分を微小線分の長さ δl と同程度の微小量の範囲で評価すればそれ
は ∇g とこの場合の微小変位 δl f α = hα δuα f α の内積となる（これと本当の線積分値の違いは δuα に関す
る高次の微小量になる）ことから
u2’ u + δu
10’
1’
u3’
(∂x/∂u1’)δu1’ = h1’δu1’ f1’
u1’
x(u0)
x(u0+δu1’)
h1’δu1’
図 8.2 ニュートン・ライプニッツの公式の拡張を用いて勾配の直交曲線座標系における表式を出すこと。
ここでは grad g の第 1 成分を求めるため u1 軸方向の微小変位に沿った grad g の線積分を評価し、それが
g の関数値の変化に等くなる（(6.1) 式参照）ことから求める答を得る
∫
g(uα + δuα ) − g(uα ) =
C
(
)
grad g · dx ≈ grad g(u) α hα (u)δuα ,
ということになる。
（uα 軸方向の関数値の変化を調べているので、uα 以外の座標値は固定している。よっ
て上でそれらの変数は省略して書いた。また念のために注意すると grad g と f α の内積が grad g の uα 成
分に他ならない）上式の両辺を δuα で割って δuα → 0 とすれば
∂g
= hα (grad g)α
∂uα
すなわち (8.9) が再び示された。
注意 8.3 自然科学的な立場からは公式（スペースの都合上横ベクトルとして書いた）
( 1 ∂
1 ∂
1 ∂ )
grad =
,
,
h1 ∂u1 h2 ∂u2 h3 ∂u3
は次元解析でも出せる。uα が長さの次元を持たない時、hα uα という積でようやく長さの次元を持てるよ
うになるからである。
8.2.2
回転（rot）
これもまた 2 通りに導出しよう
a.
A=
∑
α
Aα f α
の回転を定義通りに計算した上でそれを u-系での微分公式として書き換えよう、というわけだが、ここ
で (8.5) を巧妙に用いるのである。すなわち定義と公式 7.3、定理 7.1 より
∑
(∑
) ∑
rot A = ∇ x ×
hα Aα ∇ x uα =
∇ x (hα Aα ) × ∇ x uα + hα Aα ∇ x × ∇ x uα =
∇ x (hα Aα ) × ∇ x uα .
α
α
α
8.2 一般直交座標系での微分作用素
次にすぐ上で示した (8.9) から
∇ x hβ Aβ =
115
∑ 1 ∂ (
)
hβ A β f α
hα ∂uα
α
となるので
∑ 1 ∂ (
)(
)(
) ∑ 1 ∂ (
)
hβ Aβ f α × ∇ x uβ =
hβ Aβ f α × f β
hα ∂uα
hα hβ ∂uα
αβ
αβ
)
∑ 1 ( ∂ (
)
(
)
∂
∴ rot A=
hβ Aβ −
hα Aα f γ
∂uβ
α hα hβ ∂uα
rot A =
(8.10)
ここに αβγ は 1 2 3 の巡回置換になるように βγ を取る、が導かれた。要するに A を u 方向の成分に分
け、その上で Aα に hα を書けて得られる数ベクトル場 Aˆ に対して形式的な外積 ∇u × を作用させた上で、
各 γ 成分を hα hβ で割れば (rot A)γ が得られるのである。（勿論ここで αβγ は 1 2 3 の巡回置換としてい
る）これと u に対する面積分の式 (8.7) より
∫
∫
rot A · dS =
∇u × Aˆ · dSu
S
S
ということになる。ところで u 空間を（実際には我々の空間はデカルト座標系でユークリッド空間にな
るにも関わらず）あたかも通常のユークリッド空間のように見なして、デカルト座標系で成り立ってい
たストークスの定理を適用すると、曲面 S の境界を C として
∫
∫
Aˆ · du
∇u × Aˆ · dSu =
S
となる。ところが (8.6) よりこれは
C
∫
∫
Aˆ · du =
C
となるので、結局本来のストークスの定理
∫
A · dx
C
∫
rot A · dS =
S
A · dx
C
が出てきた。この後ガウスの定理についても同様の事柄が成り立つことを見る。これらは結局ある種の
抽象的定式化を行えば、現実世界の幾何学構造を用いなくともガウス・ストークスの定理のような定理
が定式化可能になることを示唆している。数学者達は前世紀初頭、実際にその可能性が正しいことを発
見し、現在では高次元の解析の基礎となる「微分形式」の理論として結実している。物理学では例えば
ディラック「一般相対論」においてある種の微分においては共変微分という、本当に空間の幾何構造を
本質的に用いた微分作用素を用いて計算されるべきものが単なる偏微分として計算したの同じになる場
合が述べられている（微分形式の理論において外微分と呼ばれるもの）ように、それらが登場すること
もある。
（微分形式が物理等にどれほど有用かは定かではないが、興味があれば知っておいて損はないと
思う）
b.
uγ 軸を法線方向に持つ、2 辺が uα 、uβ 軸方向に伸びた微小平行四辺形 ∆ を考え、それに対してストー
クスの定理の証明のところで示した公式 6.4 を適用しよう。そこで今点 u を発し、uα 軸方向に座標値が
微小な δuα だけずれた点まで行き、今度は uβ 軸方向に δuβ ずれ、それから、uα 軸方向に δuα だけ戻っ
て（= −δuα ずれる）最後に uβ 方向に δuβ 戻る平行四辺形に沿って A を線積分したものを評価する。さ
て、今微小平行四辺形を考えているので、その対辺からの積分の寄与は殆ど打ち消し合う。ほぼ同じ A
の値を正反対方向に積分するからである。しかし対辺がわずかにずれた位置にあることからこの寄与は
完全には消えない。打ち消しの効果まで考えなければ積分値はおおよそ δuα,β 程度のオーダーになるが
打ち消し効果によって積分は δuα δuβ のオーダーになり、これを微小平行四辺形の 面積δs = hα hβ δuα δuβ
で割れば回転の γ 成分 (rot A)γ が得られるわけである。（図 8.3-(a) 参照）さて今述べた事を実行すると
8. 座標変換と曲線座標系
116
u2’ u + δu
10’
1’
u3’
u2’
u3’
h2’ δu2’
h2’ δu2’
u1’
u1’
h3’ δu3’
h1’ δu1’
h1’ δu1’
(a)
(b)
図 8.3 直交曲線座標系による微分作用素の表式を求めるため、それらの座標軸に沿った (a) 微小長方形の
周囲、(b) 微小直方体の表面において線積分、面積分を評価し、それらにストークスの定理、ガウスの定理
を適用すること
（平行四辺形の辺の長さは hα,β δuα,β で与えられることに注意）
∫
A · dx ≈ hα (u)Aα (u)δuα + hβ (uα + δuα )Aβ (uα + δuα )δuβ
∂∆
(8.11)
− hα (uβ + δuβ )Aα (uβ + δuβ )δuα − hα (u)Aβ (u)δuβ
が得られる。（ここでも変化しない座標成分は無視して書いた）なお
∫ 1
h(uα + δuα , uβ + δuβ t)Aβ (uα + δuα , uβ + δuβ t)δuβ dt
0
といった積分で被積分関数に現れる uβ + δuβ t の t-依存性は今考えているものより高次の微小量にしかな
らないので無視した。（ストークスの定理の証明を見よ）さて (8.11) より
[
∫
)
)]
∂ (
∂ (
hβ (u)Aβ (u) −
hα (u)Aα (u) δuα δuβ + o(δuα δuβ )
A · dx ≈
∂uα
∂uβ
∂∆
となるので、これを hα hβ δuα δuβ で割れば
[
)
)]
(
)
1
∂ (
∂ (
rot A γ =
hβ (u)Aβ (u) −
hα (u)Aα (u) ,
hα hβ ∂uα
∂uβ
が確かに得られた。
8.2.3
発散（div）
a.
デカルト座標では発散は
div A = ∇ x · A
と定義されていた。ここでも
1
f
hα α
を巧妙に用いて計算を行おう。ポイントは、最終目標が u に対する微分作用素を求めることなのに、途
∇ x uα =
中で x に対する微分作用素を用いて計算を楽にするところにある。すなわち
(∑
)
(∑
) ∑ (
)
div A = ∇ x ·
Aα f α = ∇ x ·
Aα hβ hγ (∇ x uβ × ∇ x uγ ) =
∇ x Aα hβ hγ · (∇ x uβ × ∇ x uγ )
+
∑
α
α
α
Aα hβ hγ ∇ x · (∇ x uβ × ∇ x uγ )
α
8.2 一般直交座標系での微分作用素
117
ここに αβγ は 1 2 3 の巡回置換になるように βγ を取る、とし、命題 7.3 の最初の式 (7.6) と ∇ x × ∇ x = 0
を用いれば
div A =
∑
(
)
∇ x Aα hβ hγ · (∇ x uβ × ∇ x uγ ) =
α
)
1 ∑ (
∇ x Aα hβ hγ · ( f β × f γ )
hβ hγ α
が結論される。ここで合成関数の微分則
∑
∂
∂u ∂
∂
=
=
∇ x uη
∂x ∂x ∂u
∂u
η
η
∇x =
を用いれば
div A =
)
)1
1 ∑∑ ∂ (
1 ∑∑ ∂ (
f · ( f β × f γ)
Aα hβ hγ ∇ x uη · ( f β × f γ ) =
Aα hβ hγ
hβ hγ α η ∂uη
hβ hγ α η ∂uη
hη η
ということになる。ここで f η 等が正規直交系をなすことから、上の η に関する和で消えないのは η = α
の時だけで、その時 f α · ( f β × f γ ) = f 2α = 1 だから最終的に
div A =
∑ ∂ (
)
( ∂ (
1
1
∂ (
∂ (
)
)
))
hβ hγ Aα =
h2 h3 A1 +
h3 h1 A2 +
h1 h2 A3
h1 h2 h3 α ∂uα
h1 h2 h3 ∂u1
∂u2
∂u3
(8.12)
が得られた。最後に体積積分の式 (8.8) より
∫
∫
div Ad =
D
ここに
˜ u,
∇u · Ad
D
(
)
A˜ = h2 h3 A1 , h3 h1 A2 , h1 h2 A3 , d
u
= du1 du2 du3
とが得られ、ここで u 空間を形式的にユークリッド空間と思えば D の表面を S として
∫
∫
˜ u=
A˜ · dS
∇u · Ad
S
D
が分る。ところが
A˜ · dS = h2 h3 A1 du2 du3 + h3 h1 A2 du3 du1 + h1 h2 A3 du1 du2
と (8.7) を見れば分かるように
∫
∫
A˜ · dS =
S
A · dS
S
すなわち元々のガウスの定理と同じ内容になっている。
b.
今度は u の各軸に沿った微小な長さの辺 hα δuα を持つ微小直方体の表面上で A を積分したものが高
次の微小量を除いて div A にこの微小直方体の体積に等しいという公式 (6.11) を用いて A の発散を定義
しよう。例によって α, β 方向によって張られる相対する微小面の法線方向が正反対になることから、微
小な範囲での A の面積分は「面積」つまり δuα たちの 2 次のオーダーでは消えることになるが、3 次の
部分が残り、それを直方体の体積 δ = h1 h2 h3 δu1 δu2 δu3 で割ることによって発散が得られるわけであ
る。さて、今 u1 軸を法線方向に持つ 2 つの面を考え、代表点 u を図 8.3-(b) のように取るともう片方の
面は u1 の値が δu1 だけ大きいことになる。従って 2 つの対面からの寄与は
)
(
δI = h2 (u1 + δu1 )h3 (u1 + δu1 )A1 (u1 + δu1 ) − h2 (u1 )h3 (u1 )A1 (u1 ) δu2 δu3
)
∂ (
≈
h2 (u)h3 (u)A1 (u) δu1 δu2 δu3
∂u1
と計算される。残りの 2 組の対面からの寄与も上式の添え字を巡回置換させれば得られ、よってこれら
の和を δ で割って
div A =
1
h1 h2 h3
(
)
)
))
∂ (
∂ (
∂ (
h2 (u)h3 (u)A1 (u) +
h3 (u)h1 (u)A2 (u) +
h1 (u)h2 (u)A3 (u)
∂u1
∂u2
∂u3
8. 座標変換と曲線座標系
118
z
z
x
rsinφ
z
r
x
θ
r ( ρ)
y
φ
x
φ
y
x
(a)
(b)
図 8.4 (a) 球座標系（3 次元極座標系）と (b) 円筒座標系
が再び得られた。しつこいようだが δuα は単に座標値の変化であり、それが与える空間の点の変位の大
きさは δlα = hα δuα となること、及びガウスの定理を考えれば上のように uα 微分を取る前に hα hβ とい
う因子をかける必要があり、また微分を取った後 hα hβ hγ で割らねばならないことも比較的理解しやすい
のではないかと思う。
8.2.4
ラプラシアン（∆ 作用素）
ラプラシアンは ∆ f = div grad f が定義となるので、既に得られた grad 、div の表式を代入するだけで
よい。すなわち
∆f =
[ ∑ ∂ ( hβ hα ∂ f )]
1
h1 h2 h3
hγ ∂uα
α ∂uα
(8.13)
となる。（例によって αβγ が 1 2 3 の巡回置換となるよう α に関する和を取る）
8.3 具体例
球座標と円筒座標に対する表式を紹介する。各座標系の定義については図 8.4 を参照のこと。円筒座
標における z 軸からの距離は、極座標の動径と混同しないために ρ を用いることがあり、ここではその
記法を用いる。
8.3.1
球座標における種々の微分
球座標（3 次元極座標） x = r sin θ cos ϕ、y = r sin θ sin ϕ、z = r cos θ に対する種々の公式を実際に求め
てみよう。なお、r, θ, ϕ はこの順で右手系になる。
a. 線要素、座標系に付随した正規直交系
一般論に従って線要素 hu = ∂x/∂u を求めよう。それらは定義通りに計算できるが、それより幾何学
的に θ、ϕ を少し動かした時の変位の長さ δl を求めて、それを δθ 等で割った方が速く求められる。（図
8.5 参照）結果は以下に記す。
hr = 1, hθ = r, hϕ = r sin θ.
(8.14)
また各軸方向を向いた単位ベクトル、すなわち球座標系における正規直交系は
f r = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ), f θ = (cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ), f ϕ = (− sin θ sin ϕ, sin θ cos ϕ, 0)
で与えられる。
(8.15)
8.3 具体例
δφ
119
δr
rsinφ
rsinθδφ
rδθ
δθ
図 8.5 球座標系における各点での座標軸とその方向の（座標値が微小変化したことに伴う）微小変位。
（微
小変位でもって座標軸の方向を表している）
b.
勾配
一般論より各座標関数 uα で微分し、hα で割ればよい。
grad f r =
∂f
∂r
, grad fθ =
1 ∂f
1 ∂f
, grad fϕ =
.
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
(8.16)
c. 回転
これもまた一般論から（そして約分できる部分は約分して）
)
1 (∂(
) ∂Aθ
rot A r =
,
sin θ Aϕ −
r sin θ ∂θ
∂ϕ
1 ∂A r 1 ∂ (
)
rot Aθ =
−
rAϕ ,
r ∂r
r sin θ ∂ϕ
1 ∂(
) 1 ∂A r
rot Aϕ =
r Aϕ −
.
r ∂r
r ∂ϕ
d.
発散
div A =
e.
(8.17)
1
∂(
1 ∂Aϕ
1 ∂( 2 )
)
r Ar +
sin θ Aθ +
.
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂ϕ
r2 ∂r
(8.18)
スカラーラプラシアン
1 ∂ 2 ∂
∂2
1
∂
∂
1
r
+
sin θ
+
2
2
2
∂θ
r ∂r ∂r r sin θ ∂θ
r2 sin θ ∂ϕ2
2
1
∂
∂
1
∂2
1 ∂
r+
sin θ
+
.
=
r ∂r2
∂θ
r2 sin θ ∂θ
r2 sin2 θ ∂ϕ2
(
) (
)
上式第一行目が一般論から出てきて、第二行目は x2 f (x) = x f (x) となることから分かる。
∆=
8.3.2
(8.19)
円筒座標系
これは x = ρ cos ϕ、y = ρ sin ϕ、z = z と定義される。まず線要素は
hρ = 1, hϕ = ρ, hz = 1,
(8.20)
eρ = (cos ϕ, sin ϕ), eϕ = (− sin ϕ, cos ϕ), ez = (0, 0, 1),
(8.21)
座標軸方向の正規直交系は
ということになる。
8. 座標変換と曲線座標系
120
a. 勾配
定義より直ちに
grad fρ =
∂f
∂ρ
, grad fϕ =
∂f
1 ∂f
, grad f z =
,
ρ ∂ϕ
∂z
(8.22)
となる。
b.
回転
これまた定義より
rot Aρ =
∂Aρ ∂A z
1 ∂A z ∂Aϕ
1 ∂ (
) 1 ∂A r
ρ Aϕ −
−
, rot Aϕ =
−
, rot A z =
.
ρ ∂ϕ
ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
∂z
∂ρ
(8.23)
1 ∂ (
) 1 ∂Aϕ ∂A z
ρAρ +
+
.
ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
(8.24)
1 ∂2
∂2
1 ∂ ∂
ρ
+
+
.
2
ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ρ
∂z2
(8.25)
c. 発散
div A =
d.
ラプラシアン
∆=
9
ベクトル解析 V – ベクトル方程式の例
本章ではベクトル解析の諸公式が物理学に対してどのように適用されるか，典型的な例について見て
いく事にする．まず初めに 質点の運動におけるベクトル算法の簡単な応用を述べる．ここでは，ベク
トルの外積，ベクトル三重積の応用として角運動量保存則の証明と Kepler（ケプラー）問題の解法を紹
介する．その後真の意味でのベクトル解析，すなわちベクトル場，スカラー場の数学の物理への応用を
述べる．まず連続の方程式と勾配概念の応用として拡散方程式に触れる．次にベクトル解析の揺籃の地
である流体力学と電磁気学において，7 章で与えられた様々な公式がどのように物理と関わっているの
か簡単に紹介することにする．
9.1 古典力学から
本節では質点の力学に対するベクトル算法の応用を述べる．
9.1.1
角運動量保存則
中心力場，つまりポテンシャル U が原点からの距離 r = x だけの関数になっている場合の質点運動
に対しては，角運動量 L = x × m が一定に保たれる．
（万有引力の下での惑星運動に関する Kepler の第
一法則は L/m =const.，と表現できる）これは力学的エネルギー同様，運動の積分と呼ばれるものの一種
であり，それは質点の運動方程式が ma = −∇U = −(dU/dr)(x/r) となることを用いて以下のように導出
される．
d
dx
1 dU
dL
= (x × m ) = m
× + x × (ma) = m × +
x × x = 0.
dt
dt
dt
r dr
これより運動において常に x, は角運動量 L に垂直になり，従って質点軌道は L に垂直な平面上に束縛
される事になる．
9.1.2
Kepler 問題の解法
万有引力によって恒星の周りを周回する惑星の運動方程式
ma = −
GMm
x,
r3
ここに r = x ，G は万有引力定数， M は太陽質量，m は惑星質量，に対してその軌道形を決定しよう．
なお，太陽質量は巨大なので太陽は原点に留まって動かず，惑星だけが原点の周りを運動するとし，ま
た太陽と考えている惑星だけを考え（2 体問題），他の惑星の存在は無視しよう．
（2 体問題において重心
座標と相対座標の分離を行えば，太陽が静止している，という近似の方ははずすことができる）
まずエネルギー保存則より
mv2 GMm
−
= −E = const.,
2
r
となる．ここで周回軌道を描く場合には，全力学的エネルギーが負になることを見越した表記法を用い
た．次に前項からの帰結として角運動量 L が z-軸方向を向くように座標系を設定すれば， x， 共に xy
平面内にあることになる．
（図 9.1 参照）．ここで天下り的に b =
その時間変化を計算しよう．
– 121 –
× L − (GMm/r)x という量を導入し，
122
9. ベクトル解析 V – ベクトル方程式の例
z
L
y
v
x
b
x
図 9.1 Kepler 運動において近日点は時間変化せず，運動の積分になる．
（白抜きの点が近日点であり，b に
適当な量をかければ近日点を表す位置ベクトルとなる）
d
d ( GMm )
d ( GMm )
GMm
db
= ( × L) −
x = a×L−
x−
dt
dt
dt
r
dt
r
r
GMm
GMm
= a×L+
(x · )x −
.
r
r3
ここで角運動量保存則 dL/dt = 0 と dr/dt = · ∇r = (x · )/r を用いた．次にベクトル三重積の式 (6 章、
脚注*1) と運動方程式により
a × L = ma × (x × ) = −
GMm
GMm
GMm
x × (x × ) = − 3 (x · )x +
r
r3
r
となるから結局 b も運動の積分になることが分かる．そこで b と動径 x の内積を取ると，それらの間の
角を θ とし，また b = b として
(
GMm )
b · x = br cos θ = ( × L) −
x · x = ( × L) · x − GMmr,
r
となりここでスカラー三重積の性質から ( × L) · x = (x × ) · L = L2 /m，ここに L = L ，となり，従っ
て br cos θ = (L2 /m) − GMmr すなわち
b
L2
L2
, e=
=
,
(9.1)
2
m(GMm + b cos θ) GMm (1 + e cos θ)
GMm
√
となる．ここに登場した非負の量 e が 1 未満の時に楕円軌道となることは r = x2 + y2 ，cos θ = x/r を
r=
代入して式変形すればすぐに分かる．この e は離心率と呼ばれ，軌道の扁平度を表す量であって e = 0 の
時円軌道となる．また θ = 0，つまり惑星が b と同方向にある時太陽–惑星距離が最短になるのは (9.1) か
(
)
ら明らかであり，よって x0 = L2 /GMm2 (1 + e) (b/b) は近日点ベクトルに他ならない．また直後に見る
ように，全エネルギー −E が負の時には e < 1 であって e → 1 に従って扁平度が増して行く．そして全
力学的エネルギーが 0 の時には e = 1 となり，これは放物線軌道を表し全エネルギーが正の時には e > 1
であって，これは双曲線軌道を表すことになる．
そこで最後に b の大きさを求めて終わりにしよう．b2 をベクトル三重積とスカラー三重積公式，そし
て と L が直交することを用いて変形していくと
(
GMm )2
2GMm
x = ( × L) · ( × L) −
( × L) · x + G2 M 2 m2
b2 = ( × L) −
r
r
2GMm
= · (L × ( × L)) −
(x × ) · L + G2 M 2 m2
r
2GMmL2
= · (L2 − ( · L)L) −
+ G 2 M 2 m2
mr
2L2 ( mv2 GMm )
2EL2
=
−
+ G 2 M 2 m2 = −
+ G2 M 2 m2 ,
m
2
r
m
となって，上に述べた e の値と全エネルギー E の関係も分かった．
9.2 拡散方程式
静止している流体中を漂うコロイド粒子，あるいは流体を構成する化合物分子とは別種類の分子が拡
散していく様子を記述する方程式について考えよう．今考えている流体は静止していると考え，その中
9.3 流体力学への応用
123
に存在する異種粒子の，位置 x，時刻 t における数密度を N(x, t) と置く事にする．またこの異種粒子の
位置 x，時刻 t における粒子の流れ密度を J(x, t) としよう．この時全異種粒子数が（化学反応などが起
きず）不変に保たれるなら N と J は連続の方程式 (6.10)
∂N
+ ∇ · J = 0,
∂t
を満たすことになる．
さて，異種粒子の動きが溶媒分子との全くランダムな衝突によって起こされるものとするなら，その
流れ J は密度 N の大きいところから小さい所へ向かうだろう．各粒子がどこへ向かうかは全くランダム
なので，結果として密度のより濃い所からその周囲の方向に異種粒子が流れていく事になるからである．
よって一番素直に考えて
J = −D∇N,
という比例関係が成り立つとしていいだろう．スカラー関数 f の勾配ベクトル ∇ f は f がより大きな値
を取る点に向かって伸びているからである．これは実際多くの場合に成り立ち，Fick（フィック）の法
則と呼ばれている．これと連続の方程式を組み合わせれば N だけの方程式
∂N
= D∆N,
∂t
(9.2)
が成り立つこととなる．この，時間微分に関して 1 階，空間微分に関して 2 階の方程式を拡散方程式と称す
る．そして上式に現れる係数 D を拡散係数と称する．ここでは一様媒質中の拡散を考えているが，もし溶媒
が空間的に変動するなら拡散係数 D が空間依存性を持つこととなり，従って方程式は (∂N/∂t) = ∇ · (D∇N)
という形になる．
物質中の熱伝導を表す熱伝導方程式も拡散方程式と同じ形をしている．今位置 x，時刻 t における物
体温度を T (x, t)，同じ位置，時刻での熱流密度を J(x, t) としよう．またその位置での体積あたりの比熱
を C と置こう．
（簡単のため一様物質を考え C は一定とする）するとこの物体の位置 x，時刻 t における
内部エネルギーの体積密度は，平衡温度 T 0 からの温度のずれ δT = T − T 0 と，平衡温度における内部エ
ネルギー密度 E0 を用いて
E(x, t) = CδT + E0 = C(T − T 0 ) + E0 ,
と表されることになる．従ってこの物質の体積変化等が無く，外部と仕事のやりとりをしない場合のエ
ネルギー保存則（熱力学第一法則）は
∂T
∂E
+∇· J =C
+ ∇ · J = 0,
∂t
∂t
で表される．また熱流 J は明らかに温度の高い所から低い所に向かうので，これまた Fick の法則同様
J = −K∇T,
という形の法則が成り立つと考えられる．
（これも多くの場合に成立し，Newton の法則と呼ばれている）．
これを組み合わせると
∂T
K
= κ∆T, κ = ,
∂t
C
が分かる．これを熱伝導方程式と称し，κ を熱伝導係数と称する．
(9.3)
9.3 流体力学への応用
本節では粘性，すなわち内部摩擦のある流体の基礎方程式を述べる．その際に現れる諸物理量及び概
念に対してベクトル解析等がどのように応用されるかを見ていくことにする．なおここでは Newton 流
体と呼ばれる，粘性力が速度の空間変化（速度勾配）を表す (∂vi /∂x j ) に線形に依存する場合だけに，そ
してまた化学反応等も起きず，流体の組成が一定に保たれる場合だけに話を限ることにする．以下では
まず流体の微小部分の加速度がどう書かれるかに注目して流体の運動方程式を与える．その際に登場す
124
9. ベクトル解析 V – ベクトル方程式の例
v ( x +v δt , t +δt )
v ( x, t )
δD
図 9.2 流体中の微小領域 δD の動き．δD 内の流体質量にかかる合力によって流体速度が変化する
る，いわゆる慣性項について，その書き換えによって得られる項の物理的，数学的意義を述べる．次い
で連続体の力学で特徴的な隣接し合う部分同士に働く力，すなわち応力の概念を導入し，応力に関する
基本的な性質を紹介する．そして Newton 流体の場合に応力が速度勾配の線形関数となることから，そ
の運動方程式（Navier-Stokes 方程式）がどのような形に書かれるかを紹介し，最後に流体における運動
量保存について簡単に触れてこの節を終える．
9.3.1
流体の運動方程式– Euler 方程式–
まずは流体の運動方程式を求めよう．ここでは与えられた位置 x，時刻 t における流体の速度 (x, t)，
すなわち流体速度場に対する方程式を立てることにしよう．各時刻 t において，流体物質が過去にどの
位置にあったかに関係なく，純粋にその時刻における空間の各点 x での速度分布 (x, t) や質量密度分布
ρ(x, t) の形状だけに注目する考え方を流体運動の Euler（オイラー的）描像と称する．これに対して流体
の各部分が時間と共にどう動いて行くか，を追求する考え方を Lagrange（ラグランジュ）的描像 と呼
ぶ．明らかに Lagrange 的描像の方が物理学的に自然な考え方だが，方程式の定式化やその解法は Euler
的記述の方が扱い易い．なお Euler 的定式化によって速度場 (x, t) が求められたならこれを積分するこ
とにより流体の各点の動きを求めることができる．すなわち常微分方程式 x˙ (t) = (x, t), x(0) = x0 を解け
ば t = 0 において位置 x0 にあった流体部分が時刻 t で位置 x(t) に来ることが分かる．それでは運動方程
式を得るため，時刻 t において位置 x を中心とする微小領域 δD を占めていた流体の，短い時間間隔 δt
における動きを考えよう．
（図 9.2 参照）ここで微小時間 δt を十分短く取れば δD はそれほど形を変える
事無く全体として δx = (x, t)δt だけ移動するとしてよいだろう．従って今考えている微小部分の，時刻
t + δt における速度は
∂
(x + δx, t + δt) = (x, t) + δx · ∇ + δt + o(δt)
∂t
(
∂ )
δt + o(δt),
= (x, t) + (x, t) · ∇ +
∂t
(9.4)
で与えられることになり，時刻 t における，この微小部分の加速度 a は（高次の微小量は無視して）
a=
δ
∂
= ·∇ + ,
δt
∂t
で計算される．よってこの微小部分の体積を δV ，流体の質量密度を ρ とすると微小部分 δD の従うべき
運動方程式は
(∂
)
d
= ρδV
+ · ∇ = δF,
dt
∂t
で与えられることになる．ここに δF は δD 内の流体部分に働く合力であり，左辺が微小領域の体積 δV
ρδV a = ρδV
に比例する量である以上 δF も同様でなければならない．現実の流体を連続体であると近似するなら，δD
を小さくしていく極限において正しい流体の運動方程式が得られる，と考えられるからである．従って
上式の両辺を δV で割った後 δV → 0 とする際に K = lim δF/δV なる極限値が存在することになる．こ
れは力を体積で割った次元を持つので体積力と呼ばれる．この流体無限小部分にかかる全体積力 K(x, t)
を用いると運動方程式は
(∂
)
ρ
+ · ∇ = K,
(9.5)
∂t
という形にまとめられることが分かった．このようにして得られた流体の運動方程式を Euler 方程式と
呼ぶ．流体の無限小部分の加速度には速度場の時間による偏微分だけでは無く，速度場の自身の方向の
9.3 流体力学への応用
125
方向微分 · ∇ が加わるが，この項は慣性項あるいは移流項と呼ばれている．
注意 9.1 上で加速度 a が速度 の全微分であるとして記号 d /dt を用いたが，流体力学ではこれを伝統的に
D /Dt などとも書く．流体の各微小部分に対する加速度は，それが作る流れ自身によって空間中を移動し
ていくことまで考慮すると速度の時間偏微分 ∂ /∂t では無く，流体粒子の軌道 x(t) に沿っての時間全微分
d /dt で与えられることは明らかだろう．
9.3.2
流体力学における Euler 方程式の慣性項の書き換え
上ではデカルト座標系を用いているため，慣性項が · ∇ という形に書かれているのであって，方向
微分作用素（の場） · ∇ はスカラー場に対して幾何学的に不変な意味を持つのであって，ベクトル場に
関しては不変な内容をもたない．曲線座標系 u を用いた場合，元々位置 u にあった流体の微小部分が時
刻 t + δt で位置 u + δu に来たとすると，我々は (u + δu, t + δt) を展開しなければならないことになる．
ところで 8 章で見たように，
（直交）曲線座標系におけるベクトルの基底は，一般に空間の点 u によって
変化するので (9.4) の計算において基底ベクトルをも変化する場として扱わなければならない．従って u
を用いて書かれた作用素 · ∇ をナイーブに の成分表示
= (v1 , v2 , v3 ) だけに作用させるだけでは正し
い結果は得られないのである．そして一般の座標系において， · ∇ の第 i 成分は共変微分と呼ばれる微
分を用いて計算されることになるが，慣性項に関しては別の計算法も存在する．
スカラー関数 f に対する勾配 ∇ f ，ベクトル場 f に対する回転と発散 ∇ × f , ∇ · f は 6 章で見たように
座標系の選定に依存しない，幾何学的に不変な意味を持っていた（それらは微小部分に対する積分と言
う，座標系の選定に依存しない量で与えることもできるのだった）．従って · ∇ がそれらの量を用いて
表す事ができたなら，その表式はどの座標系でも意味を持つ表現となる．そこで公式 (7.8) の a, b に を
代入すると
( v2 )
− × (∇ × ),
2
となり，右辺は幾何学的に不変な形になっているので，共変微分の代わりにこの表式を用いてもよいこ
·∇ =∇
とになる．
（具体的な表式は一致する）勿論注意 7.3 でも述べたように，上式において ∇ = (∂/∂s) では無
く，∇ f の ∇,∇ × f の ∇× は共に直交曲線座標においては 8 章で与えられた表式を用いて計算しなければ
ならないが，ともかく我々は
∂
ρ
= ρ × (∇ × ) − ∇ 2 + K,
(9.6)
∂t
2
といういかなる（直交）座標系に対しても通用する運動方程式の表式を得たのである．次にこの表式から
ρ
得られるいくつかの物理的結論を述べることにしよう．なお次節において体積力 K としては，スカラー
関数の勾配として書かれるものだけ，特に簡単のため圧力勾配と重力だけを考える．
a. 渦度方程式
式 (9.6) に登場する ∇ × を ω と書いて渦度ベクトルと称する．一般にベクトル場 f をあたかも流れ
の場 のようにみなす時，
「流れ」 f は，局所的には（全体的な平行移動とともに）その回転 ∇ × f (x) を
角速度ベクトル（の 2 倍）とする剛体回転を与えるのだった（4.4 節参照）から，これはもっともなこと
だろう．さて (9.6) の右辺の体積力 K は次節で見るように，一般に流体の隣接する部分同士が及ぼし合
ういわゆる応力由来の項と，ポテンシャル力である重力からなる．さらに応力由来の項のうち，流体の
圧力勾配から来る体積力は圧力を p として −∇p と，あたかもポテシャル力のように書かれることが分か
る．
（次節参照）そして一般に圧力以外の応力が流体の内部摩擦，すなわち粘性を表すことが分かってい
るので，粘性が無視できる流体に対しては K = −∇(p + U)，ここに U = ρgz は流体の位置エネルギー密
度，と書かれることになる．
（z-軸を垂直上向きに取った）
今，粘性無しというだけでなく，密度変化も無い，いわゆる完全流体の運動を考えよう．*1 この時，一
*1
意外に多くの流体運動が近似的には完全流体の運動と見なせるのでこれは十分意味のある仮定である
9. ベクトル解析 V – ベクトル方程式の例
126
般にスカラー関数の回転が消える事（定理 7.1）を用いて (9.6) の両辺の回転を取ると
∂ω
= ∇ × ( × ω),
∂t
と，渦度に対する方程式が得られ，しかもこの式において渦度ベクトル ω が同次 1 次で現れることにな
る．従ってもし ω がある領域 D において初期時刻 t = 0 で消えていたなら後のいかなる時刻においても
D 上の流れ は渦無し，すなわち ω = ∇ × ≡ 0 となることが Euler の運動方程式の具体形に関わらず結
論できる．この事実は渦定理と呼ばれる定理群に対する根拠を与えることになる．
b.
Bernoulli の定理
完全流体の運動において，考えている流れが定常流である，つまり ∂ /∂t ≡ 0 が満たされているとしよ
う．すると が時間変動しないことから各点における を結んでできる曲線群（流線と呼ばれる）は流
体の無限小部分の軌道に一致することになる．ここで (9.6) の両辺と の内積を取れば
ρ
ρ · ( × (∇ × )) − ( · ∇) 2 − ( · ∇)(p − ρgz)
2
(ρ
)
2
= −( · ∇)
+ p + ρgz = 0,
2
となる．すなわち量 (ρ 2 /2) + ρgz + p の速度方向の方向微分が消えることが分かる．(ρ 2 /2) + ρgz + p は，
圧力 p を一種のポテンシャルと見なすならば流体の持つ単位体積当たりの力学的エネルギーだと考えて
いいだろう．これが各流線上一定値を取る，ということは流体の無限小部分に対する (ρ 2 /2) + ρgz + p の
値が時間的に一定であることを意味する．
（定常流の場合に流体の各部分は流線に沿って動くのだった）
この事実は質点の力学における力学的エネルギー保存則の拡張と考えられ，Bernoulli（ベルヌーイ）の
定理として知られている． 9.3.3
応力とその基本的性質
Euler 方程式 (9.5) に現れる体積力 K には重力 W = ρ(0, 0, −g) のような本来的な体積力だけでなく，流
体の隣り合う部分同士が，その境界を通して及ぼし合う力に由来する項も存在する．例えば圧力 p が空
間変化する，つまり圧力勾配が存在するなら流体は圧力の大きな所から小さい所へ向かう力を受けるだ
ろう．以下でこのような力について考えよう．
一般に連続体の隣り合う微小領域はその境界面を通して互いに力をやりとりをしていると考えられる．
それは境界の面積に比例するので面積力と呼ばれる．
（図 9.3 参照）圧力はその典型例であって，ある微
（逆に δD は周囲の流
小領域 δD の 受ける圧力 は常にその境界の法線方向内向きにかかることになる．
体を外向きに押し返している）今点 x を中心とする微小面を δs（その面積に対してもこの記号を流用す
る）とし，またその法線を n としよう．つまり微小面を向き付け， n が外向き方向を指定するものとす
る．すると時刻 t において，δs を通じて 外から δD に対して働く面積力 を δ f (n, x) と置けば，δs をどん
どん小さくしていく際
δf
= Π(n, x, t),
δs
なる極限が存在することになる．この，圧力と同じ次元（[力]÷[面積]）を持った量 Π を法線 n で指定さ
lim
δs→0
れる微小面に働く応力と称する．例えば応力としての圧力は，その大きさを p(x, t) とする時 Π(n, x, t) =
−p(x, t)n = −pI n，ここに I は単位行列，と書かれることになる．
（この最後の形は Newton 流体の場合 Π
が各点で定義された行列による n への作用として書かれることを先取りしたものである．また図 9.3 か
らも分かるように，負符号は圧力が微小領域 δD を押しつぶす方向に働く力であることを反映している）
するとこの応力 Π を，点 x0 を中心とする微小領域 δD の境界 δS 上で足し合わせた
∫
δF =
ΠdS ,
δS
ここに dS はスカラー面積要素を表す，が δD 内の質量にかかる応力由来の合力になる．
(9.7)
9.3 流体力学への応用
127
Π (n )
Π ┴(n )
Π //(n )
n
δD
図 9.3 流体中の微小領域 δD の微小表面にかかる応力 Π(n)．この場合 Π の法線成分 Π // は外向きなので
圧力とは異なって δD が外側に向かって引っ張られるような，張力を表すことになる．法線 n に垂直な成分
Π ⊥ は領域 δD を歪ませるように働く力になっている
さて今までの議論から，δD の体積を δV として δF/δV の δV → 0 に対する極限が存在しないといけな
い．すると注意 6.4 で予告したようにこの要請から Π が n に線形に依存することを，補題 6.1 を用いて
示す事が出来る．応力由来の合力が体積力にならねばならない，という要請を微小四面体に適用して合
力の近似計算を行い，少なくともそれが面積に比例する項を持ってはならないことから，Π(n) が法線 n
に線形に依存することが導かれるのである．
今点 x を内部に含む微小四面体 ∆ を考えよう．この時 ∆ の各面の面積を δs1∼4 ，
（外向き）法線を n1∼4
とすれば，各面に働く応力は高次の微小量，つまり ∆ のさしわたしの大きさを d として d2 より高次の微
∑
小量を無視する範囲で δsi Π(ni , x) と書かれることになる．そしてこれらの和である合力 i δsi Π(ni ) は上
∑
述の通り d の 2 次の微小量の範囲で消えなければならない．すなわち i δsi Π(ni ) = 0 となる．
（分かりに
くければこの和を d2 で割った後 d → 0 とする，つまり四面体を相似形のままどんどん小さくしていくこ
∑
とを想像せよ）さて補題 6.1 によれば四面体の面積ベクトル δs1∼4 に対して i δsi = 0 が成り立つが，四
面体の形を色々変えれば，このような和が消えるような 4 つのベクトルの配置は十分多く存在し，そのよ
∑
うなベクトルの組に対して，高次の微小量を除いて i δsi Π(ni ) は常に消えることから対応 δsn → δsΠ(n)
は線形になる．例えば多くの教科書に載っているように，固定された座標軸方向を向いた 3 つのベクト
∑
ル di ei , i = 1 ∼ 3（及び原点）の張る四面体の各面の面積ベクトル δsi ni *2 に関して δsi Π(ni ) = 0 が成り
∑
∑
立つ，すなわち δs4 n4 = − 3i=1 δsi ni に対して δs4 Π(n4 ) = − δsi Π(ni ) となる，ということを意味する．
ここで δsi ni ，i = 1 ∼ 3 として，それらが 1 次独立となっている，という条件以外は好き勝手に取れるか
ら対応 δsn → δsΠ(n) は線形になる，というわけである．
以上により各点 x において適当な行列 σ があって Π(n) = σn と書かれることが分かった．この σ は
∑
一般には x に依存するからこれもまた場の量となり，応力テンソルと称される．なお合力 δsi Π(ni ) の，
微小四面体の体積に比例するような面積に比べて高次の微小量となる部分のはっきりした形を与えるの
がガウスの定理に他ならず，一旦 Π が n に線形に依存する事が分かったなら (9.7) の積分はテンソルに
対するガウスの定理（命題 7.4）によって計算されることになる．すなわち (9.7) は
∫
( ∑ ∂σ )
∑ ∫ ∂σi j
ij
δV,
d ≈
δF =
∇ · σd ≈ ∇ · σ(x)δV, i.e. δFi =
∂x
∂x
j
j
D
D
j
j
で与えられることになる．すなわち Euler 方程式 (9.5) の右辺の体積力 K のうち，応力由来の項は ∇ · σ
と，応力テンソルの発散で与えられることが分かった．よって Euler 方程式 (9.5) の右辺を応力由来の項，
純粋な体積力由来の項 K に分けて書けば
(∂
)
ρ
+ · ∇ = ∇ · σ + K,
∂t
(9.8)
また応力のうちの，圧力由来の項 −pI に関して定義通りに −∇ · (pI) を計算すれば，それが −∇p になる
ことも容易に分かる．
*2
この場合 i = 1 ∼ 3 については i jk を 123 の巡回置換として δsi ni = δsi ei = (d j dk /2)(e j × ek ) である
9. ベクトル解析 V – ベクトル方程式の例
128
次に応力テンソル σ は対称テンソルである，つまり σi j = σ ji となることを示そう．そのために微小
四面体 ∆ の，周囲に対する相対的な回転運動を考える．この運動を記述するため座標原点として ∆ の頂
点のどれかを取り*3 ，その回りの慣性モーメントを I ，角速度を ω としよう．すると δD に働く合計の力
˙ = M で記述される．ここで I はその定義より
のモーメントを M とすると，この回転運動は方程式 I ω
δD のサイズ d の，5 乗のオーダーの微小量になるので M も同じオーダーにならなければならない．そ
して体積力由来の力のモーメントの合計はナイーブに計算すると d4 のオーダーとなり，この後すぐ見る
ように応力由来の力のモーメントの合計は d3 のオーダーになるので，それぞれが単独で打ち消し合った
結果，合計の力のモーメントが d5 のオーダーにならないといけない．このことに注意して応力による力
のモーメントの合計を求めよう．
そこで a1∼3 を ∆ の原点以外の頂点の位置ベクトルとして ∆ の各面に働く応力を求めよう．この時 2 つ
のベクトル a j , ak によって張られる面に対する応力が与える力のモーメントは，高次の微小量を無視する
と，重心の位置ベクトル (a j + ak )/3 と，∆ の重心 x における応力テンソルの値を用いた − 2 σ(x)(a j × ak )/2
との外積として求められる．
（これは見て分かる通り 3 次の微小量になる）そして a1∼3 を頂点とする第 4
の面に対して補題 6.1 を用いれば ∆ の作る微小四面体の表面にかかる合計の力のモーメントが
∑
(∑ ) ∑
}
1{
(a1 + a2 + a3 ) × σ
si −
(a j + ak ) × σsi = 3 v
ai × σa∗i ,
3
i
i
i
si =
2
2
(a j × ak ),
ここに (i jk) は (123) の巡回置換をわたり，また a∗i は (6.9) で与えられた a1∼3 の双対基底， 3 v は ∆ の体
積，と計算されることが分かる．ここで応力由来の力のモーメントが
∑
ai × σa∗i = 0,
5
のオーダーになるべきことから
i
が結論されるが，これは任意の ∆ に対して成立するのだから特に ai = ei = e∗i と，基本単位ベクトルに
対して上式を具体的に計算すれば σi j = σ ji が得られる．
注意 9.2 既に見たように ai · a∗j = δi j であった．このことは縦ベクトル ai を横に並べてできる行列 A と，
横ベクトル (a∗i ) t を縦に並べてできる行列 A が互いに逆の関係 A A = I にあることを意味するので特に
∑
AA = I ともなる．この式は ai , a∗j の成分表示を aik , a∗jl とする時， k aki a∗k j = δi j となることを意味する．
∑
この事を用いて i ai × σa∗i の第 i 成分を計算すれば
∑
∑
∑
∗
i jk al j σkm alm =
i jk δ jm σkm =
i jk σk j = σk j − σ jk = 0,
jklm
jkm
jk
となって，やはり σ の対称性が得られる．
9.3.4
Newton 流体における応力の速度勾配依存性と Navier-Stokes 方程式
応力テンソルに関する以上の事柄は連続体一般に成り立つものであるが，ここで話を流体の応力テン
ソルに限定しよう．この時 σ には圧力から来るものと，流体の内部摩擦から来るものの 2 つが考えられ
る．前者は既に見たように −pI といった形に書かれるが，内部摩擦はどうなるのであろうか？この場合
σ は流体速度場の非一様性に依存すると考えられる．すなわち一番単純には，σ は速度勾配を表す諸量
(∂vi /∂x j ) に線形に依存すると考えられるだろう．
（初めに述べた Newton 流体の性質に他ならない）次に
その具体的な形を求めるために伝統的に用いられている論法を紹介しよう．なお，以下では簡単のため
等方的な系，すなわち特別な方向を持たない系での議論に限定する．
（重力があっても，それが摩擦現象
に影響を及ぼさない状況なら以下の議論はそのまま成立する）
一般に自然現象が我々の使用する座標系に依存するはずがない，つまり物理現象を表す方程式は座標
変換に対して不変な内容になっていなければならない．すなわち今考えているような等方的な系では方
*3
本当は重心を座標原点に取るべきだろうが，その場合にも以下の議論は些細な変更で通用する．
9.3 流体力学への応用
129
程式はあらゆるデカルト座標系の選定に対して同じ形とならねばならない．
（重力が働いている以外は等
方的な系なら鉛直軸以外の座標軸の選定に対して方程式は不変にならないといけない．既に述べたよう
に，ここでは重力の存在も無視して完全に等方な場合を考える）従って今の場合 σ の，(∂vi /∂x j ) に依存
する仕方は，いかなる直交座標系に対しても異なってはならないことになる．さて直交変換 x → y = T x
の下 2 階のテンソル B は直交行列 T を用いて B → T BT t = T BT −1 と変換される．従って B をその反対
称部分 Ba ，対称トレースレス部分 Bs （すぐ下の式で定義を与える．見て分かるように Bs のトレース
は 0 である），対角（スカラー）部分 Bd に
)
)
1(
1(
2
1
Ba = B − B t , Bs = (B + B t ) − (trB)I , Bd = (trB)I,
2
2
3
3
と分解すれば，座標変換によってこれらは互いに混じり合う事なく変換されることになる．
（T IT t =
I, TC t T t = (TCT t ) t , 一般に tr AB = tr BA 従って特に tr T AT t = tr T T t A = tr A だからである）そこで対称
な σ を上記のように σ = σs + σd と分解すれば，σd は微小面の法線 n に対して圧力同様スカラーのよ
うに働くことになる．そして対称トーレスレス部分 σs は流体の純粋な粘性を表す面積力を与えるもの
と考えられる．
次に速度の非一様性（速度勾配）を表す (∂vi /∂x j ) を i 行 j 列のテンソル場 W とみなし（このことは
一般座標系においては正しくない．注意 9.3 参照），これもまた 3 つの部分に
∂vi
= W a + W s + W d,
∂x j


(
)
1 ( ∂vi ∂v j ) 2 ( ∑ ∂vi ) 
1 ∂vi ∂v j
s
a
−
, W = 
+
−
I ,
W =
2 ∂x j ∂xi
2 ∂x j ∂xi
3 i ∂xi 
1 ( ∑ ∂vi )
1
Wd =
I = (∇ · )I,
3 i ∂xi
3
と分解しよう．この時 W a には の回転 ∇ × （の 1/2 倍）がその行列要素として現れている．これが
流れの場 の引き起こす局所的な剛体回転を表している（4.4 節参照）ことを考慮すれば，それは応力に
関係しないことになる．流体の剛体回転に対して摩擦が生じるはずがないからである．*4 なお W の対称
部分 W s = W s + W d はひずみ速度テンソルと称される．速度勾配の対角項 W d は，応力テンソルの対角
項 σd とともに本質的にスカラー量であるから，それらは直接
σd = −pI + χW d ,
のように関係づけることが可能である．両者とも座標変換に対して変化しないスカラー量だからである．
一方 W d を応力項の対称トレースレス部分 σs に関係付けることは等方的な系では不可能である．何故
なら一般にスカラー量 W d に線形に依存する 2 階対称トレースレステンソル K を作るには K = K W d , K
もまた対称トレースレステンソル，とする以外に無いことは明らかだろう．ところが非自明な 3 次元 2
階対称トレースレステンソル K は（トレースレスの条件から）少なくとも 1 つの非縮退固有ベクトル
u を持ち，従って K によって特別な方向 u が与えられる以上系は等方的では無くなるからである．よっ
て残った可能性は σs と W s が比例する，というものでそれは
(
) 2 ( ∑ ∂v ) 
 ∂vi ∂v j
i 
s
s
−
I  ,
+
σ = 2ηW = η 
∂x j ∂xi
3 i ∂xi 
(9.9)
である．ここに登場する係数 η は (運動量)÷(面積) の次元を持ち，粘性係数と呼ばれている．
（σd に現わ
れる W d の係数 χ も同じ次元を持っている）以上をまとめると，等方的な系においては応力テンソルと
速度勾配テンソルの間には
σ = σd + σs = −pI + χW d + 2ηW s
((
)
)
∂vi ∂v j ) 2 (
= −pI + χ(∇ · )I + η
− ∇· I ,
+
∂x j ∂xi
3
*4
(9.10)
この後の，等方的な系において W d と σs を線形に関係づけることはできない，という議論と同じ論法で σ が W a には線形
に依存し得ないことを示すこともできる．
130
9. ベクトル解析 V – ベクトル方程式の例
という関係だけが成立可能，ということになる．なお (9.10) 中の χ(∇ · )I という項は速度の不均一性
というより，隣り合う領域同士の膨張，収縮に伴う摩擦効果を表していると言えよう．連続の方程式
∇ · (ρ ) + (∂ρ/∂t) = 0 より ∇ · は流体の微小領域 δD の体積変化の目安を与えることになるからである．
（注意 4.4 参照）
以上から ∇ · σ を計算すれば運動方程式 (9.5) の右辺の体積力 K のうち応力由来のものが求められるこ
とになるが，ここでさらに話を単純化して ρ ≡ ρ0 としよう．すなわち液体のような非圧縮性流体の場合
を考えよう．すると流量ベクトルが J = ρ0 で与えられることと連続の方程式から ∇ ·
= 0 と， の発
散は消えてしまう．従って (9.10) は
(
)
∂vi ∂v j
σ = −pI + η
+
,
∂x j ∂xi
となる．その結果 ∇ · σs = η(∆ + ∇(∇ · )) = η∆ が内部摩擦による体積力となり，従って Euler 方程式は
)
(
∂
+ · ∇ = ∇ · σ + K = η∆ − ∇p + K,
(9.11)
ρ0
∂t
となることが分かった．なおこの式に現れる K は重力等，流体の微小部分に直接働く体積力である．こ
れを（非圧縮性の流れに対する）Navier-Stokes （ナヴィエ・ストークス）方程式と称する．この方程式
と連続の方程式 ∇ · = 0 の 4 つの方程式から未知量である速度 ，圧力 p の 4 つが求められるのである．
(9.11) を見れば分かるように粘性項 η∆ は前節の拡散方程式に出てくるのと同じ形の微分作用素である
から，これは速度場 を均そうとする時間的に不可逆な過程を記述する項であることも分かったことに
なる．なお流体密度が変化する場合には連続の方程式は (∂ρ/∂t) + ∇ · (ρ ) = 0 となり，ρ もまた未知関数
となるので，さらにもう 1 つ方程式が無いと未知関数と方程式の数が同じにならない．このために用い
られる仮定については流体力学独自の話になるのでここでは論じない．
（流体の微小部分は原子，分子か
ら見ればマクロな量と見なされ，熱力学的な扱いなどが行われる．密度 ρ と圧力 p の間に経験的な関係
式を仮定してしまってその時点で未知関数と方程式数を等しくさせる（バロトロピック（barotropic）仮
定）か，あるいは温度場 T ，内部エネルギー密度場 u，エントロピー密度場 s を導入して全未知数に合
う数だけの方程式を立てるかする）
9.3.5
流体における運動量保存
最後に次節における電磁気学へのベクトル解析の応用に絡めて，流体運動における運動量保存則につ
いて述べておく．良く知られているように Newton の第二法則（運動方程式）は，運動量の時間微分が
その物体に働く合力であることを主張しており，これと第三法則（作用反作用の法則）を合わせると運
動量保存則が導かれる．なお簡単のため，流体に働く力は（流体同士が及ぼし合う）応力 ∇ · σ しかな
い，すなわち流体系だけで運動量保存が成立する場合だけを考えるものとし，ここでは流体密度は変化
し得るものとする．
さて，Lagrange 的描像と Euler 的描像の違いを理解するため，2 つの方法で運動量保存について見て
いこう．そこでどちらの場合についても運動方程式を積分量で表してみることにする．今仮想的な（有
限）領域 D を考え，その内側の流体の持つ全運動量 P の時間変化を考える．ここで Lagrange 的描像で
考えるためには，D が時間と共に動いていくことを考慮しなければならない．まず時刻 t における P は
∫
P=
ρ(x, t) (x, t)d ,
D
という積分で与えられることに注意する．次に，時刻 t において位置 x にあった流体粒子は短い時間 δt
で位置 yδt = y(x, t + δt) = x + (x, t)δt + o(δt) に来る事を考えると，時刻 t + δt における今考えている流体
部分の持つ全運動量は以下のように計算される．但し記号 d
y
は y = yδt を変数とする積分，d は x を
変数とする積分を表し，また D 内の流体部分が時刻 t + δt において占める領域を D としている．
9.3 流体力学への応用
∫ (
( ∂ρ
) )
ρ(yδt , t + δt) (yδt , t + δt)d y =
ρ(x, t) +
+ · ∇ρ δt ×
∂t
D
D
(
(∂
) )(
)
(x, t) +
+ · ∇ δt 1 + (∇ · )δt d .
∂t
131
∫
(9.12)
ここで変数変換 y → x の際の変換のヤコビアンが δt の 1 次の範囲で 1 + (∇ · )δt と書けることも用いた．
（ y = x + δt + o(δt) より Jacobi 行列は J = I + (∂ /∂x)δt となり，この行列式は δt の 1 次の範囲では J の
トレースに等しい事は直接計算で分かる．
（注意 4.4）なお，I + A という形の行列の行列式が
の1次
の範囲で 1 + tr A になることは覚えておくと良いだろう）以上から ∫ (
)
(∂
)
∂ρ
dP
=
+ · ∇ρ + ρ
+ · ∇ + ρ(∇ · ) d ,
dt
∂t
D ∂t
ということになり，連続の方程式 (∂ρ/∂t) + ∇ · (ρ ) = 0 において ∇ · (ρ ) = · ∇ρ + ρ(∇ · ) と計算される
ことと Euler 方程式 (9.8) を用いれば
dP
=
dt
∫
ρ
D
∂
+ρ ·∇ d =
∂t
∫
∇ · σd
(9.13)
D
と，運動量の時間変化（要するに D 内に働く合力）が応力テンソルの発散 ∇ · σ の積分で表されること
が分かった．勿論これは当然そうなるべきことではあるが，念のために Lagrange 的描像に立って確かめ
てみたのである．ここで応力テンソル σ に対する Gauss の法則（命題 7.4）を用いると上式右辺は
∫
∫
∇ · σd =
σdS,
D
∂D
と，面積積分に変形される．これは D 内の運動量変化がその境界における応力によって生じるはずであ
ることから当然の結果であるが，これを微小面 δsn を通しての運動量の流入が σnδs で計算されると解
釈することもできる．言い換えると −σ が単位面積あたり，単位時間当たりの運動量の「流量」とも呼
ぶべき量になっていると考えるのである．そして T の線形性より σ(−n) = −σn であるから，隣り合う 2
つの領域において片方がその境界を通して（単位時間，単位面積当たりの）運動量 σn を失えば，もう
片方が同じ分の運動量を得ることになり，従って確かに運動量は全系で保存することになる．
次に Euler 的描像に立って運動量の時間変化を計算してみよう．すなわち空間に固定された領域 D 内
の全運動量の時間変化を計算してみる．それはたった今計算した応力からくる周囲の領域との運動量の
交換だけでなく，D に流出入する流体の持つ運動量の時間変化を含むはずである．実際
∫
∫
∫
∂ρ
∂
d
ρ d =
+ρ d =
−∇ · (ρ ) + ∇ · σ − ρ( · ∇) d dt D
∂t
∂t
D
∫D
(
)
=
∇ · σ − (∇ρ) · + (ρ∇ · ) + ρ( · ∇) d ∫D
∇ · σ − ∇ · Pd , P = ρ t ,
=
(9.14)
D
と計算され，質量流量ベクトル J(x, t) = ρ (x, t) を点 x における時刻 t での運動量密度と解釈すれば σ, P
を用いて
∂J
+ ∇ · (σ + P) = 0,
∂t
が成立することになる．この，(9.14) 式で定義されたテンソル P = ρ
(9.15)
t
は運動量密度 J が流体の移動
と共に流れていくことを表していて，これこそが前述の，流体の流出入に伴う運動量の流れを与える項
となっている．そして (9.15) が Euler 的記述での（連続の方程式としての）運動量の保存則を表してい
ることになる．
注意 9.3 繰り返しになるが，9.3.2 節冒頭でも注意したように，以上はデカルト座標に対して成立する事
柄であって一般の曲線座標系ではもっと複雑な扱いが必要である．例えばひずみ速度テンソルはいわゆ
る共変微分を用いて (W s )i j = vi ; j + v j ;i などとしなければならない．ただ (9.10) の発散 ∇ · σ に現れる速
度微分は ∆ , ∇(∇ · ) の形のものだけであり，ここで前者をベクトルラプラシアンと解釈すれば Newton
流体に対する応力由来の体積力はいかなる曲線座標系でも通用する形となっている．そして実際にそれ
9. ベクトル解析 V – ベクトル方程式の例
132
でよい事も分かっている．なお，一般の応力（次節の Maxwell の応力テンソルに対しても）に対する σ
の発散は共変微分を用いて定式化すべきである．
9.4 電磁気学から
流体の運動方程式 (9.5) は速度場 に関して非線形であり，そのため取り扱いが面倒である．そこでベ
クトル解析がもっと簡単に応用される例として電磁気学を取り上げよう．以下では簡単のため真空中の
電磁場を考える．電荷や電流が空間に分布していてもよいが，誘電体や磁性体などは存在しない，とし
よう．
9.4.1
Maxwell 方程式の積分形
真空中に電荷（密度）及び電流（密度）分布がある場合の電磁気の基礎方程式は，初学者には積分形
で提示されることが多い．すなわち
(1) 電界に対する Gauss の法則：電界 E を任意の閉領域 D の境界 ∂D（これは当然閉曲面になる）で積
分したもの（「電気力線の総本数」）は D 内部の全電荷 Q を真空の誘電率
0
で割ったものに等しい．
すなわち電荷の空間密度を ρ とする時次式が成り立つ．
∫
∫
1
E(x) · dS =
ρ(x)d .
∂D
0
(9.16)
D
(2) 磁束密度に関する Gauss の法則：磁力線は「端」を持たない．すなわち磁力線は常にループ状であ
り，よって磁束密度 B を任意の閉領域 D の境界 ∂D で積分したものは必ず消える．言い換えると以
下が成立する．
∫
∂D
B · dS = 0.
(9.17)
∂D を外から内に横切って入って来た磁力線は必ず ∂D の別の部分で内から外に出て行くからである．
(3) 電磁誘導の原理：電界を任意の閉曲線 C で積分したもの，つまりループ C 上に発生する起電力は C
を境界とする任意の曲面 S を貫く全磁束 Φ の時間変化の (−1) 倍に等しい．すなわち
∫
∫
dΦ
d
E · dx = −
=−
B · dS.
dt
dt S
C
(9.18)
ただし C の向きは S から誘導されるものとする．
(4) Ampere の法則の Maxwell による一般化：磁界 H を任意の閉曲線 C で積分したものは，C を境界に
持つ任意の曲面 S を貫く全電流と S を貫く全電場の時間変化に真空の誘電率
0
をかけたものの和
に等しい．あるいは今述べたことに対応する関係式の両辺に真空の透磁率 µ0 をかけたものとして
∫
∫
∫
d
B · dx = µ0
j · dS + µ0 0
E · dS,
(9.19)
dt S
C
S
が成立する．ここに j は電流密度である．もちろんここでも C の向きは S から誘導されるものと
する．
次にこれらの基礎方程式を Gauss・Stokes の定理を用いて変形しよう．
9.4.2
Maxwell 方程式の微分形
(1) まず式 (9.16) は Gauss の定理によって
∫ (
D
∇·E−
ρ)
0
d ≡ 0,
9.4 電磁気学から
133
となる．これがいかなる閉領域 D に対しても成立するのだから，このことが
∇·E=
ρ
,
(9.20)
0
に同値なのは明らかであり，よって電場の発散が電荷密度を真空の誘電率で割ったものに等しいこ
とが分かった．
(2) 次に (9.17) を今と全く同様に変形すれば
∇ · B = 0,
(9.21)
が出る．すなわち磁場は発散無しの場になる．
(3) 今度は (9.18) を Stokes の定理を用いて変形すれば
∫ (
∂B )
· dS ≡ 0,
∇×E+
∂t
S
となる．よって
∇×E=−
∂B
,
∂t
(9.22)
ということになる．
(4) 最後に (9.19) を Stokes の定理を用いて変形すると
∫ (
∂E )
· dS ≡ 0,
∇ × B − µ0 j − µ0 0
∂t
S
よって
∇ × B = µ0 j + µ0
0
∂E
,
∂t
(9.23)
が得られた．
以上の 4 つの微分形の方程式 (9.20-9.23) が，電磁気学の根本法則である Maxwell 方程式として知られて
いるものになる．
既に Stokes の定理の証明のところで触れたが，Maxwell 第 4 の方程式 (9.23) において当初の Ampere
の法則のように ∇ × B = µ0 j と，変位電流項 µ0 0 (∂E/∂t) が欠けていたとすると，定理 7.1 より電流密度
j は発散無しになってしまう．これでは充電中のコンデンサーを含む回路のような，電荷密度の時間変化
の存在する電流に対して連続の方程式，すなわち電荷保存則を満たすことができなくなってしまう．そ
の一方で (9.23) の両辺の発散を取ると（空間微分と時間微分の順序を入れ換えられることに注意して）
(
))
∂(
∇ · (∇ × B) = 0 = µ0 ∇ · j + 0 ∇ · E ,
∂t
となり，ここで Maxwell 第 1 の方程式 (9.20) を上式の ∇ · E に適用すれば
∇· j+
∂ρ
= 0,
∂t
となって（正しい）Maxwell 方程式は，その中に電荷保存則を含んでいることになる．次に Maxwell 方
程式に対する，ベクトル解析のさらなる応用を紹介しよう．
9.4.3
電磁場の担うエネルギーと運動量– Poynting ベクトルと Maxwell の応力テンソル –
電磁場は電荷と相互作用し，荷電粒子の持つ運動量やエネルギーを変える．ということは，電磁場の
持つ運動量，エネルギーまで考えないと運動量，エネルギーの保存則は成り立たないことになる．以下
でまず電磁エネルギーの流れを表す Poynting ベクトルを導入し，電磁エネルギー保存則を導く．その後
Maxwell 応力による電磁運動量保存則の定式化を紹介する．
9. ベクトル解析 V – ベクトル方程式の例
134
a. 電磁エネルギーの保存と Poynting ベクトル
初等電磁気学においてコンデンサーに電荷を溜める，コイルに電流を流す，という思考実験を通して，
電磁場が存在する場合の電磁エネルギー密度が
w=
0
2
E2 +
1 2
B ,
2µ0
で与えられることを学んだ．この時 Poynting（ポインティング）ベクトル S = (1/µ0 )E × B が電磁エネ
ルギー流を表すことを，電荷も電流も無い真空中におけるエネルギー保存則を仮定した上で説明しよう．
すなわち，もし S が電磁エネルギー密度の流れを表すなら（仮定より）電磁エネルギーだけで閉じたエ
ネルギー保存則
∂w
= 0,
∂t
が成立するはずであり，これを Maxwell 方程式から導くことにする．まず w の時間微分は
∇·S+
∂w
=
∂t
0E
·
∂E
1
∂B
+ B·
,
∂t
µ0
∂t
となる．一方公式 (7.5) を S に適用すると
∇·S=
)
1(
B · (∇ × E) − E · (∇ × B) ,
µ0
となり，ここで真空中の Maxwell 方程式のうち (9.22，9.23) を用いれば確かに
∇·S+
∂B
∂w ( 1
= − B·
−
∂t
µ0
∂t
0E
·
∂E ) ∂w
+
= 0,
∂t
∂t
と，連続の方程式が成立している．次に電流 j が流れている状況を考えるなら方程式 (1/µ0 )∇ × B =
0 (∂E/∂t)
+ j を用いるべきであり，その結果
∇ · S + (∂w/∂t) = − j · E,
(9.24)
が得られる．右辺は電磁エネルギー密度が電流との相互作用によって他のエネルギー（電流の担い手の
持つエネルギー）に変換されることを意味している．例えば電流が Ohm の法則 j = σE によって流れる
場合には j · E = σE 2 は Joule 熱に他ならず，式 (9.24) は電磁エネルギー密度 w が，電磁エネルギー自身
の流出入 ∇ · S の他に Joule 熱として散逸する結果，各点において単位時間に σE 2 の割合で減少してい
くことを表していることになる．*5
電磁運動量の保存と Maxwell の応力テンソル
b.
Poynting ベクトル S = (1/µ0 )E × B が電磁エネルギー流を与えることが分かったが，電磁場はエネル
ギーだけでなく，運動量も担うことが Maxwell によって示された．静電力，Lorentz 力により荷電粒子の
軌道が曲げられる以上，もし運動量保存則が普遍的に成り立つ法則なら，電磁場も運動量を担わなけれ
ばならないのは当然だろう．今天下り的だが電場 E と磁場 B より次のような対称テンソル T を作ろう．
T=
(
0
EE t −
E2
1(
B2 )
I) +
BB t −
I
2
µ0
2


(1/2)(E 2x − Ey2 − Ez2 )

Ey E x
Ez E x




2
2
2

= 
E x Ey
(1/2)(Ey − E x − Ez )
Ez Ey



E x Ez
Ey Ez
(1/2)(Ez2 − E 2x − Ey2 )


(1/2)(B2x − B2y − B2z )

By Bx
Bz Bx



 .
2
2
2
+ 
Bx By
(1/2)(By − Bx − Bz )
Bz By



Bx Bz
By Bz
(1/2)(B2z − B2x − B2y )
*5
勿論式 (9.24) 自体は散逸的な電流の場合以外にも適用可能である．
(9.25)
9.4 電磁気学から
135
Tn = ε0(E/2)E
-δD
Tn = − ε0(E 2/2)n
E
図 9.4 力線の性質，すなわち各力線は縮みたがり，力線同士は反発し合うことの説明
公式 (7.8) を援用して（ a = b = E とし，∇(E2 /2) の計算に用いる）このテンソルの発散を取り，そこに
(9.20-9.23) を代入すれば
∇·T =
(
0
)
(∇ · E)E + (E · ∇)E − (E · ∇)E − E × (∇ × E)
)
1(
(∇ · B)B + (B · ∇)B − (B · ∇)B − B × (∇ × B)
µ0
∂B
∂E
∂
= ρE + 0 E ×
− B × (j + 0
) = ρE + j × B + ( 0 E × B),
∂t
∂t
∂t
+
が得られる．ここで (運動量 ) ÷ ( 体積) の次元を持つベクトル場 PEM を PEM = 0 E × B によって導入
すれば（前節で導入した Poynting ベクトル S と光速 c を用いて PEM = (1/c2 )S とも表される），以上の
結果を
∂PEM
= ∇T − (ρE + j × B),
∂t
あるいはこれを命題 7.4 を用いて積分形に直して
∫
∫
∫
d
P
d =
T dS − (ρE + j × B)d ,
dt D EM
∂D
D
(9.26)
という形にまとめることができる．ここで PEM を電磁場の持つ運動量密度であると解釈すれば上式左
辺は D 内の全電磁運動量の時間微分，すなわち D 内の電磁場が受ける合力である，ということになる．
そして右辺第二項の積分は D 内の荷電物質が受ける電磁力の合計の反対符号であるから，これは電磁場
が D 内の荷電物質から受ける 反作用力 になっている．そこで T を，隣接した電磁場同士が相手に及ぼ
し合う応力であるとみなせば，上式は D 内の電磁場の受ける合力が，その外部の電磁場の与える応力の
合計と荷電物質からの反作用力の和であることを主張していることになる．このようにして我々は電磁
場も運動量を持つこと，そして隣接した電磁場同士はあたかも連続体のように互いに力を及ぼし合うこ
とを定式化できた．この，応力の性質を持った T は Maxwell の応力テンソルと呼ばれている．前節の
Poynting ベクトルと合わせれば，電磁場の担うエネルギー，運動量まで考えて全系のエネルギー，運動量
が保存する形に書けることが分かったのである．なお (9.26) 式の右辺の ∇T を左辺に移項して得られる
∂PEM
− ∇T = −(ρE + j × B),
∂t
において −T を単位面積あたり，単位時間当たりに微小面を通して流れ出していく運動量を表す 運動量の流量ベクトル
（9.3.5 節の最後に扱った，流体に伴う運動量の流れを表すテンソル P 同様「ベクトル値の成分を持つベ
クトル」となるのでテンソルになる）と解釈すれば，この式の右辺が 0 の時には電磁運動量がそれだけ
で保存することを表す，ベクトル量の流れに関する連続の方程式になり，荷電物質が存在して右辺が消
えない場合には，電磁運動量が空間の各点において荷電物質の運動量に転換する様を表していることに
なる．
注意 9.4 伝統的な応力の定義では T は境界 ∂D において外部が内部物体に及ぼす力，ということになっ
ている．それ故これを運動量の流れと解釈すると，∂D の 1 点における法線 n に対して T n は D の外部
から内部に流入する運動量，ということになって，一般にベクトル場 J · n が D の内部から外部に流れ
ていく量を表す，というベクトル解析における約束事と反対になってしまっている．そこで T ではなく，
−T の方が無限小面 n の「裏」から「表」に向かって流れていく運動量密度を表す事になる．
9. ベクトル解析 V – ベクトル方程式の例
136
注意 9.5 静電場に対する Maxwell 応力テンソル T が与えられた時，電場 E に垂直な方向 n に働く応力
T n を計算すれば，それは − (E 2 /2)n になることがすぐに分かる．
（図 9.4 参照）これは 1 本の電気力線
が，隣接する電気力線から E 2 /2 だけの大きさの，押し縮められるような圧力を受けていると解釈でき
る．従って電磁気学を初めて学ぶ際「力線同士は反発し合う」と習ったことが数学的に表現できたこと
になる．次に n として E に平行なベクトルを取れば E = En 故 T n = (E 2 /2)n と，今度は正の値が得ら
れる．これは電気力線の 1 点 x から見ると，同じ力線のすぐ隣の点から引っ張られていることを意味す
る．これは電磁気学の入門時に習う「力線 1 本 1 本は縮もうとする」ということの数学的表現になって
いるわけである．
9.4.4
ベクトルポテンシャル
Maxwell 方程式の第二式 (9.21) より磁場 B は発散無しの場であることになる．従って定理 7.8 より B
はベクトルポテンシャル A を持つ，すなわち ∇ × A = B のように書ける．
（7.3 節参照）なお，この節で
は簡単のため磁場，電場は全空間で定義されているものとする．従って 7.3 節におけるスカラーポテン
シャル，ベクトルポテンシャルの存在条件は全て満たされているものとする．
この時ポアッソン方程式 −∆ϕ = ρ/
0
を解いて（7.2.2 節参照） E = E + ∇ϕ と置けば E は発散無しと
なり，一方 ∇ϕ は回転無しなので Maxwell 第三の式 (9.22) は
∇×E =−
∂B
∂A
= −∇ ×
,
∂t
∂t
に帰着する．ここで E = −(∂A/∂t) と置いてみると，確かにこれは上式の解になっている．すなわち時
間変動する電界 E が存在する場合，それは一般には静電ポテンシャルを用いて表されるとは限らず
E = −∇ϕ −
∂A
, B = ∇ × A,
∂t
(9.27)
と置けばつじつまが合うことになる．このようにスカラーポテンシャル ϕ とベクトルポテンシャル A は
ペアになって扱われるべきで，それは Maxwell 方程式が 4 次元時空の Lorentz 変換で不変になることを
反映している．ペア (ϕ, A) は四元（ベクトル）ポテンシャルと呼ばれている．
さて (9.27) を Maxwell 第 4 の方程式に代入すれば
1 ∂
1 ∂2 A
+ ∇ × (∇ × A)) = µ0 j − 2 ∇ϕ,
c2 ∂t2
c ∂t
(9.28)
が得られる．つまり電荷分布と電流分布が与えられた下での電磁場の方程式がベクトルポテンシャルと
スカラーポテンシャルに対する方程式に帰着されたのである．
（今の段階では具体的な解法は与えられて
いない．B から A が求められた，という前提での式変形結果だからである．解法の概略に関しては以下
を参照）
a. 局所ゲージ力としての電磁場
定理 7.1 によれば任意の勾配は回転無しである．従って前節のような ϕ, A が見つかったとする時，任
意のスカラー関数 χ を持って来て
ϕ =ϕ−
∂χ
, A = A + ∇χ,
∂t
とすると新たに得られた ϕ , A も同じ電界と磁束密度を与え，四元ポテンシャルの資格を持つ事になる．
実際
∂A
∂χ ∂
= −E + ∇
− ∇χ = E, ∇ × A = B + ∇ × ∇χ = B,
∂t
∂t ∂t
だからである．このようなスカラー関数 χ を用いた，4 次元時空のベクトル場 (ϕ, A) から (ϕ , A ) への変
−∇ϕ −
換をゲージ変換と呼び（量子場の理論では 2 種類のゲージ変換が登場し，こちらは局所ゲージ変換と呼
ばれる），電磁場はゲージ不変である，と称する．
9.4 電磁気学から
137
注意 9.6 良く知られているように Maxwell の方程式は 4 次元 Minkowski 空間上の Lorentz 変換によって
不変である．そして電磁場は 4 次元時空の場であると見なす時，最も自然な扱いが可能になる．ベクト
ル解析の観点から電磁場を 4 次元時空で扱う事の利点を簡単に説明しよう．
注意 6.1 で述べたようにベクトル場の微分や積分に関する一連の定理は一般次元の空間に拡張される．
対象となるのは n 次元空間上の r 階反対称共変テンソル A であって，それに対する 1 階の微分作用素で
A を r + 1 階反対称共変テンソルに変換する外微分作用素 d というものが定義され，これがスカラー場
やベクトル場に作用する ∇, ∇×, ∇· の拡張になっている．
さて 4 次元時空において電磁場，すなわち電界 E と磁束密度 B の作る組 (E, B) は 4 次元時空での 2
階反対称テンソル場 F と考えられる．
（四つの添字から二つを取ってくる組み合わせは 4 C3 = 6 となるか
ら確かに自由度は一致している）すると Maxwell 第 2，第 3 の方程式は 4 次元時空での外微分を用いて
dF = 0 という簡単な形にまとめられるのである．
（正確には反変テンソル F の添字を下げて得られる共
変テンソルに対して上が成立し，それが Maxwell 第 2，第 3 の方程式を合わせたものと一致する）
ところで一般次元における外微分においても定理 7.1 に相当する d2 = 0 が成立し，また 7.3 節で述べ
た事柄が成立する．例えば F が凸領域で定義されているなら dF = 0（F の閉性）から 4 次元ベクトル
場 A で −dA = F となるものの存在（F の完全性）が導かれる．これが四元ベクトルポテンシャル (ϕ, A)
に他ならない．そして任意のスカラー場 χ に対して d2 χ = 0 であるから A + dχ も四元ポテンシャルの資
格を満たす．これから得られる変換 A → A = A + dχ が 4 次元的に表した局所ゲージ変換に他ならない．
なお Maxwell の方程式の残りの組も，Minkowski 時空の更なる構造を元にした 4 次元のベクトル解析に
よる定式化が可能である．
四元ベクトルポテンシャルにおけるゲージの任意性は数学理論的には様々な困難を引き起こす事にも
なるが，方程式を解くのには有利な点もある．すなわち (ϕ, A) の不定性を利用してこちらで適当な条件
を 1 つだけ課す事ができるのである．例えば Coulomb ゲージと呼ばれる条件
∇ · A = 0,
を課せば Maxwell 第 1 の方程式は −∆ϕ = ρ/
0
になるので，まずはこれを解き，ついで (9.28) を解けば
良く，その際上の Coulomb ゲージ条件とベクトルラプラシアンの定義式 (7.9) より ∇ × (∇ × A) = −∆A
となるので (9.28) は
( 1 ∂2 A
)
1 ∂
− ∆ A = µ0 j − 2 ∇ϕ,
2
2
c ∂t
c ∂t
に帰着する．ところが左辺の微分作用素は波動方程式に登場するものであり，その数学的性質はよくわ
かっているので，後はこれを解くだけのこととなる．この他によく利用されるゲージ条件には
∇· A+
1 ∂ϕ
= 0,
c2 ∂t
という Lorentz 条件がある．この場合 (9.28) の右辺の (∂∇ϕ/∂t) は −∇(∇ · A) となるので (9.28) は
( 1 ∂2 A
)
−
∆
A = µ0 j,
c2 ∂t2
に帰着する．一方 −∆ϕ は (ρ/ 0 ) + (∂∇ · A/∂t) に等しくなるが，ここですぐ上の Lorentz 条件を用いれば
∇ · A = −(1/c2 )(∂ϕ/∂t) だから結局
1 ∂2 ϕ
ρ
− ∆ϕ = ,
c2 ∂t2
0
となって A と ϕ は別々の方程式に分かれる．あとは波動方程式の一般論に従ってこれらの解を求めれば
よい．
b.
電磁場中の質点の運動
電荷 q を持つ質量 m の質点は，電場 E と磁場 B の存在下では静電力と Lorentz 力を受け x¨ = qE+q x˙ × B
で記述される運動を行う．ところで Lagrange による定式化を電磁場中の荷電粒子の運動に適用すると，
138
9. ベクトル解析 V – ベクトル方程式の例
質点速度を として次のような Lagrange 関数（Lagrangian，ラグランジアン)
L=
m
2
2
+ q · A − qϕ,
を用いて
d ( ∂L ) ( ∂L )
=
,
dt ∂
∂x
ここに ϕ はスカラーポテンシャル， A はベクトルポテンシャル，と書かれることになることが分かって
いる．
（∂/∂ 等はその変数に関する勾配演算子を表す．4.2 節冒頭参照）ここでは解析力学の詳細には触れ
ず，ベクトル解析の応用として上式が確かに Newton 方程式に一致する事だけ確かめよう．そこで (7.8)
を利用して上式を計算すると
m˙ + q
∂A
+ q · ∇ A = q∇( · A) − q∇ϕ = q × (∇ × A) + q · ∇ A − q∇ϕ,
∂t
すなわち
m˙ = q × (∇ × A) − q
と，確かに運動方程式と一致する．
(∂A
∂t
)
+ ∇ϕ = q × B + qE,
文
献
[1] ジョージ・アルフケン，ハンス・ウェーバー著，権平健一郎，神原武志，小山直人訳：基礎物理数学 Vol．１ベク
トル・テンソルと行列，講談社，1999．
[2] 伊理正夫・韓太舜著：シリーズ 新しい応用の数学 1-I ベクトルとテンソル第 I 部 ベクトル解析，教育出版
株式会社，1977．
[3] 小林亮・高橋大輔：ベクトル解析入門，東京大学出版会，2003．
[4] 安達 忠次 著：ベクトル解析，培風館 (1961)
[5] H. フランダース著： 岩堀長慶訳：微分形式の理論―およびその物理科学への応用，岩波書店 (2003)
[6] 戸田 盛和 著：ベクトル解析，岩波書店 (1989)
[7] M.A. ジャウスウォン G.T. シム 共著 関谷 壮 監訳：有限要素法–間接法と直接法–，ブレイン図書出版 (1982)
[8] 寺沢寛一 著：自然科学者のための数学概論，岩波書店 (1983)
[9] 大学演習 ベクトル解析 矢野 健太郎、石原 繁 著 培風館 (1964)
– 139 –

複素数値関数の微分 · 積分 &gt

ネイピア数の基本公式

Untitled - Almacenhg.es

ベクトルの微分と積分

電磁気学C

予習資料

アジアインターンシップ2001

骨組の座屈と柱の座屈長さに関する研究 A Study on The Frame

スライド 1

フーリエ変換 1 &gt