2

問題6 ロケットの運動量保存則（宿題の解答）
問題6 ロケットの運動量保存則（宿題の解答）
(a) ロケットの運動量は，p=Mv
(b) 火薬を噴出したあとのロケットの速さをv’とする．
ロケットの進行方向を正の向きとすれば，ロケット
および火薬の運動量はそれぞれ
 m)v 
火薬： m(V  v )
ロケット： ( M
よって，全運動量Pは次のように表される．
P  ( M  m)v   m(V  v )
問題6 ロケットの運動量保存則（宿題の解答）
(c) 運動量保存則より，
M v  ( M  m)v   m(V  v )
が成り立つ．
これより，v’については，
( M  m)v  mV
v 
M m
と求まる．
問題11 質点系のつり合い（宿題の解答）
問題11 質点系のつり合い（宿題の解答）
質量m1の質点に着目すると，ACと垂直方向，AC
方向それぞれに関する外力の釣合式は
AC垂直方向： R cos
(1)
 m1 g sin 
AC方向： m2 g  R sin   m1 g cos (2)
(1)式をRについて整理し，(2)式に代入すると，
2m1 cos   m2 cos  m1  0
2
が導かれる．

問題11 質点系のつり合い（宿題の解答）
これをcosについて解くと，
m2  m2  8m
cos 
4m1
2
2
1
となるが，平方根の前の－符号をとるとcos < 0と
なり不適切．したがって，＋符号をとることで
m2  m2  8m
cos 
4m1
2
と表される．
2
1

問題15 ２質点の運動エネルギー（宿題の解答）
問題15 ２質点の運動エネルギー（宿題の解答）
質点１，２から構成される質点系の重心の位置ベ
クトルrG，および１からみた２の位置ベクトル r とr1，
r2との間に，
MrG  m1r1  m2 r2 , r  r2  r1
の関係が成り立つ.
この関係を利用して， r1，r2をrG，rで表すと，
m2
m1
r1  rG 
r , r2  rG  r
M
M
問題15 ２質点の運動エネルギー（宿題の解答）
が得られる.したがって，質点系の全運動エネル
ギーKは次のように計算される.
m1 2 m2 2
K  r1 
r2
2
2
m1
m2 2 m2
m1 2
 (rG 
r) 
(rG  r )
2
M
2
M
m1  m2 2 m1m2 2 M 2  2

rG 
r  rG  r
2
2M
2
2
m1m2
  ←教科書 p.100
M
問題23 第二宇宙速度（宿題の解答）
地表の一点から物体を打ち上げ，その物体を地
球の引力圏外へ飛ばすのに必要な最小の速さ
（第二宇宙速度）はいくらか．
（※第一宇宙速度についても調べておくこと）
問題23 第二宇宙速度（宿題の解答）
速さ v で物体を投げ上げるとき，地球，物体の
質量をそれぞれ m1 , m2 ，地球の半径を a とす
ると，地表における物体の力学的エネルギーは，
1
Gm1m2
2
E  m2v 
2
a
と書ける．物体が地球の引力圏を脱出するには
E ≥ 0 が必要なので，
2Gm1
v 
a
2
2Gm1
v 
a
問題23 第二宇宙速度（宿題の解答）
また，重力加速度 g は，
Gm1
g 2
a
であるから，
v  2 ga
 2  9.8(m/s )  6.37  10 (m)
2
v  11.2(km/s)
6
問題29 つり合いの条件（宿題の解答）
問題29 つり合いの条件（宿題の解答）
棒に関する力のつり合い式
水平方向： X
 T sin   0
①
（右向き正）
鉛直方向：Y
 T cos  W  0
（上向き正）
B点におけるモーメントのつり合い式
③
W (l  a)  Yl  0
（反時計回り正）
②
問題29 つり合いの条件（宿題の解答）
③式より
 a
Y   1  W
 l
①，②式より
aW
T
l cos
a
X  W tan 
l
問題36 一様なドーナツ型円板（宿題の解答）
外径a，内径bの一様な穴あき円板（ドーナツ型）
の中心Oを通り，円板と垂直な固定軸のまわり
の慣性モーメントIoを求める．ここで，M：円板の
質量， s ：円板の単位面積あたりの質量（面密
度），dS：半径がrとr+drとの間にある部分の面
積．
a
b
dS
問題36 一様なドーナツ型円板（宿題の解答）
問題34より，微小環状部分の慣性モーメントは，
3

I 0  2s r dr
よって，
a
I 0   2s r dr
3
b
s  a  b
4

2
4

問題36 一様なドーナツ型円板（宿題の解答）

s
2
a
2
M a  b
2

b
2
2
 a
2


M  s  a  b
2
2
（別解）
b
2
a
I 0   r s dS   r s  2 rdr
2
2
2
b
微小環状部分の面積
dS  2 rdr

問題47 糸に吊された棒の運動（宿題の解答）
一様で長さ2a，質量Mの棒の両端に鉛直な糸を
つけ水平につるしてあるとして，以下の設問に答
えよ．
(a) 棒をつるしているときそれぞれの糸の張力は
いくらか．
(b) 一方の糸を急に切断した
瞬間，他方の糸の張力はど
のように変化するか．また，
糸が切断された瞬間の棒の
重心の加速度，棒の角加速
度を求めよ．
問題47 糸に吊された棒の運動（宿題の解答）
(a) 糸の張力は Mg/2 となる．
(b) 右図のようにOを原点とする鉛直下向きのx軸，
棒の回転を記述する角 をとると，糸を切断した
直後の棒の運動方程式は
MxG  Mg  T


I  aMg sin    
2

cos

1
 aMg
と書ける．
問題47 糸に吊された棒の運動（宿題の解答）
また，
xG  a ( sin 
)
が成り立つ．
Iは棒の端に関する慣性モーメントであるから
2
M (2a)
4 Ma
I

3
3
2
と表される． に対する運動方
程式から
3g

4a
問題47 糸に吊された棒の運動（宿題の解答）
となり，
3g
xG 
4
という結果が求まる．したがって，Tは
Mg
T
4
と計算される．すなわち，一方
の糸を切ると他方の糸の張力
は半分になる．
問題47 糸に吊された棒の運動（宿題の解答：別解）
(a) 糸の張力は Mg/2 となる．
(b) 右図のようにOを原点とする鉛直下向きのx軸，
棒の回転を記述する角 をとると，糸を切断した
直後の棒の運動方程式は
MxG  Mg  T
I 0  aT cos  aT
また，
xG  a
問題47 糸に吊された棒の運動（宿題の解答：別解）
I0は棒の重心に関する慣性モーメントであるから
2
M (2a)
Ma
I0 

12
3
以上から，
3g
xG 
4
3g

4a
Mg
T
4
2
問題51 アトウッドの器械（宿題の解答）
一般座標として，円板の回転角 をとる
1
（自由度は1）．
まず，円板の運動エネルギーは， に
関する慣性モーメントを I とすれば，
1 2
K d  I
2
次に，P，Qの運動エネルギーは，v  a である
から，
1 2 2
1
2 2
K P  ma  , K Q  ma 
2
2
問題51 アトウッドの器械（宿題の解答）
0
また， ＝0のときを重力ポテンシャルの
基準点にとると，回転角が のとき，Pは
a 下降，Qはaa 上昇．したがって，
U P  mga
U Q  mga
以上より，
L  K d  K P  KQ  (U P  U Q )
1 2 1 2 2 1
 I  ma   ma 2 2  (m  m) ga
2
2
2
問題51 アトウッドの器械（宿題の解答）
ラグランジュの運動方程式より，
d  L  L
0


dt    
2
2
I  ma   ma   (m  m) ga  0
2
2
(ma  ma  I )  (m  m) ga
(m  m)a

g
2
2
(ma  ma  I )
上式を  a に代入すれば，7章・式(20)と一致．

Download Report