§5. 解析函数
定理 5.1
1
P
f (z) =
an z n ：収束ベキ級数（収束半径 ⇢ ），c：収束円の内部の点
n=0
=) f (z) は z = c を中心とするベキ級数展開が可能：
1
P
f (n) (c)
f (z) =
bn (z c)n ,
bn =
．
n!
n=0
この級数は z c < ⇢
c で絶対収束している．
n
証明 まず，発見的に考えよう．z = (z
1
n ✓ ◆
X
X
n
f (z) =
an
(z
k
n=0
O
✓ ◆
n
c + c) =
(z
k=0 k
k=0
n
n
P
c)k cn k . · · · · · ·
c
⇢
c
c)k cn
k
ゆえ，
1
n, k についての和の順番を交換できればよい．
そこで，各項に絶対値を付した正項級数
✓ ◆
1
n
P
P
n
g(z) :=
an
z c k c n k を考える． z c < ⇢ c とし，0 < R < ⇢
n=0
k=0 k
をとって， z c < R
c とすると，
n ✓ ◆
X
n
n
n
z ck cn k= z c + c
< Rn .
k
k=0
1
P
n
ここで
an R は収束するので， 1 の 2 重級数は絶対収束する．
n=0
k
よって 1 において和の順序を変更してもよいので
1
1 ✓ ◆
X
X
n
k
f (z) =
(z c)
an cn k . · · · · · · 2
k
k=0
n=k
✓ ◆
1
1
P
P
n
(k)
n k
さて，f (z) =
n(n 1) · · · (n k + 1)an z
= k!
an z n k ．よって 2
k
n=k
n=k
1 f (k) (c)
P
の右辺は
(z c)k に等しい．
⇤
k!
k=0
1 を z = c ( c < 1) の近傍でベキ級数に展開しよう．
1 z
1 =
1
1
= 1 ·
1 z
1 c (z c)
1 c 1 z c
1 c
と式変形すると， z c < 1 c のとき，
例 5.2
1
1
z
=
定理 5.1 が保証する z
1
1
1 (z
P
c n=0 (1
c <1
c)n
．
c)n
c
O
1
1
c
c よりも大きな円の内部で絶対収束しているこ
とに注意．しかもここでの議論は c 6= 1 でさえあれば通用することにも注意．
1
用語の定義
(1) D(c, r) := {z 2 C ; z
(2) D(c, r) := {z 2 C ; z
c < r}：中心が c で半径が r の開円板．
c 5 r}：中心が c で半径が r の閉円板．
(3) ある性質や条件が，点 c を含む十分小さい開円板 D(c, r) で成り立つとき，
点 c の近傍で成り立つという．
def
(4) U ⇢ C が開集合 () 8u 2 U ，9r > 0 s.t. D(u, r) ⇢ U ．
（注意：したがって，開円板は開集合である）
(5) C
U ：弧状連結
def
() 8a, b 2 U ，9z : [ 0, 1 ] ! U （連続曲線） s.t. z(0) = a, z(1) = b．
(6) 領域とは弧状連結な開集合のこと．
定義 5.4
領域 D ⇢ C で定義された函数 f (z) が D で解析的
def
() D の各点の近傍で f (z) は収束ベキ級数に展開できる．
定理 5.1 の主張：ベキ級数はその収束円の内部で解析的である．
定理 5.5（一致の定理）
f (z), g(z)：領域 D で定義され，解析的．
仮定：9a 2 D，9{zn } (zn 2 D，zn 6= a for 8n)
s.t. zn ! a かつ f (zn ) = g(zn ) (8n)
(
(i) f (z) = g(z) が D のある点の近傍で成り立つ，or
特別の場合：
(ii) D に含まれるある線分上で f (z) = g(z)．
結論：f (z) = g(z) (8z 2 D)．
証明 f (z)
g(z) を考えることにして，g(z) は零函数としてよい．
(1) z = a のある近傍で f (z) は恒等的に 0 である．
1
P
* z = a の近傍で f (z) =
bk (z a)k とすると，b0 = f (a) = lim f (zn ) = 0．
n!1
k=0
k+1
次に b0 = · · · = bk = 0 であると仮定すると，f (z) = (z a) (bk+1 + · · · ) の形であ
f (z)
f (zn )
る．h(z) :=
を考えると，bk+1 = h(a) = lim
= 0．
k+1
n!1 (zn
(z a)
a)k+1
帰納法により bk = 0 (8k) を得るから，z = a のある近傍で f (z) は恒等的に 0．
(2) 8b 2 D で f (b) = 0．
2
* a と b を D 内の連続曲線 z = z(t) (0 5 t 5 1) で結ぶ．(1) より，t > 0 が十分小
なら f (z(t)) = 0．ゆえに
t⇤ := sup{t0 ; f (z(t)) = 0
for 0 5 t 5 t0 }
とおくと，t⇤ > 0 である．t⇤ = 1 を示せばよい．結論を否定して t⇤ < 1 とする．
9{tn }（狭義単調増加） s.t. 0 < tn ! t⇤ かつ f (z(t)) = 0 (0 5 8t 5 tn )．このとき，
{z(tn )} は z(t⇤ ) に収束する点列であって，しかも f (z(tn )) = 0 (8n) であるから，(1)
より，z = z(t⇤ ) のある近傍で f (z) は恒等的に 0．これは t⇤ の定義に反する．
⇤
• f (a) = 0 のとき，a は f (z) の零点であるという．
系 5.6
f (z)：解析函数で零函数ではない =) f (z) の零点は孤立している．
すなわち，f (a) = 0 ならば，9r > 0 s.t. f は D(a, r) \ {a} で 0 にならない．
定義 5.7
f1 (z)：領域 D1 で定義された解析函数
f2 (z)：領域 D2 (
D1 ) で定義された解析函数．
def
f2 (z) が f1 (z) の D2 への解析接続である () f1 (z) = f2 (z) (8z 2 D1 )．
• 一致の定理は拡張の一意性，すなわち解析接続の一意性を保証する．
例 5.8
収束ベキ級数で ez ，cos z ，sin z ，Log(1 + z)，(1 + z)↵ を定義したが，その
ベキ級数展開は収束円内の z = x 2 R のときに成立しているので，複素変数へのそ
れらの拡張は一意的である．
例 5.9
ez+w = ez ew (z, w 2 C)（指数法則）について：
一致の定理を応用しても示せる．議論の進め方は自習（教科書の例 2.40）．
解析接続に関する函数関係不変の原理
一般に，F (t1 , t2 , . . . , s1 , s2 , . . . ) を多項式とし，f (z), g(z), . . . を領域 D で定義さ
れた解析函数とする．
F (f (z), g(z), . . . , f 0 (z), g 0 (z), . . . ) = 0
(⇤)
が，D のある点の近傍（あるいは実軸の区間）で成立 =) D 全体で成立．
例 5.11 sin と cos の加法公式（指数法則から導くことは自習1）
： z, w 2 C のとき
sin(z + w) = sin z cos w + cos z sin w, cos(z + w) = cos z cos w sin z sin w.
1まず双曲線函数で公式を示す方が
i に惑わされなくてよい．
3
対数函数 Log(1 + z) =
1
P
( 1)n
1z
n
( z < 1) · · · · · · 3
n
= 1 + z ( z < 1) · · · · · · 4 に注意．これは x 2 R で 1 < x < 1 の
n=1
まず，eLog(1+z)
ときに成り立つから，一致の定理によってわかる．以下微積で使ってきた x > 0 に対
する log x は一旦 ln x と書くことにする． 4 で z のかわりに z
(z
1 とすると，eLog z = z
1 < 1)．ここで，ew = z をみたす w を考えてみよう（この w を log z と表し
たい）．z 6= 0 のとき，z = rei✓ = eln r+i✓ とおくと，ew = eln r+i✓ であるから，指数函
0
数の周期性：ew = ew () w = w0 + 2n⇡ より2，w = ln r + i(✓ + 2n⇡) (n 2 Z)．ゆ
えに，z に対して w は可算無限個の値（多価函数）
：w = log z = ln z + i arg z ．
多価性の処理 1 定義域を制限して 1 価函数にして扱う3．
例4：D0 := C \ ( 1, 0 ] = {z 2 C ; Arg z < ⇡} とおき，z 2 D0 に対して
Log z := ln z + i Arg z. （Log z を log z の主枝という）．
• x > 0 のときは ln x = Log x であるので，今後は ln x を Log x と書く． • z < 1 のときは，Re(1 + z) = 1 + Re z = 1
z > 0．
よって，log(1 + z) の主枝としての Log(1 + z) は， 3 で定義
した Log(1 + z) と一致する．別の言い方をすれば， z < 1
において
3
1
O
で定義した Log(1 + z) は，領域
{z 2 C ; Arg(1 + z) < ⇡} = C \ ( 1,
1]
に解析接続されているということ．ただし，一般には
3
の表示は成り立たなくなる．
多価性の処理 2（定義域を拡げる
リーマン面）
： x < 0 のとき，複号同順で，
lim Log(x ± i") = lim Log x ± i" + i Arg x ± i" = Log x ± i⇡.
"!+0
"!+0
境界である負の実軸上の点では，上半平面からと下半平面からの極限値が異なる．
• こちらで勝手に決めた境界点で不連続 — これは不自然な不連続性といえる
=) 話はリーマン面5の導入へと続く（教科書 §6.2 参照）．
累乗函数 (↵ 2 C) z ↵ := e↵ log z = e↵(Log |z|+i arg z) ．この z ↵ も一般に多価である．
p
1
例 5.12 z = rei✓ のとき，今の定義に従うと，z 1/2 = e 2 (Log r+i✓)+⇡in = ± r ei✓/2 と
p
なり，以前にベキ根の所で出てきた z と一致する．
例 5.13
例 5.14
z < 1 のとき，ベキ級数で導入された (1 + z)↵ は，e↵ Log(1+z) に等しい．
ii = ei log i = ei(Log | i |+i arg i) = e
( 12 +2n)⇡
2x, y
2 R (n 2 Z)．すべて実数！ 2 R のとき，ex+iy = ex eiy が ex+iy の極形式ゆえ，ex+iy = 1 () x = 0 かつ y 2 2⇡Z．
価函数でなければならない場合のとき．
4文脈によっては，原点から出る他の半直線に沿ってスリットを入れる方が都合が良いこともある．
5リーマン球面と混同しないように．
3ある定理を適用したいときなど，1
4
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