軸回転で表す回転行列 (ロドリゲスの公式) - FC2

軸回転で表す回転行列 (ロドリゲスの公式)
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1
軸回転
3 次元空間の任意の点を P の位置を rP とする。任意の単位ベクトル n を軸として、角度 θ だけ回転して得られる点 Q の
位置を rQ とする。また、座標系 C の原点を O とし、Q から n への射影を O′ とする (図 1)。
−−→
原点を O′ とし、O′ P の方向に x 軸、n の方向に z 軸、それらと右手系を構成する方向に y 軸を持つ座標系を C ′ とする。x
{
}
軸、y 軸、を向く単位ベクトルをそれぞれ e′x 、e′y とすると、 e′x , e′y , n は、正規直交基底をなす。
このとき、
−−′→
−−→
−−→
O Q = O′ Q cos θe′x + O′ Q sin θe′y
(1)
−−′→
−−→
−−→
O Q = O′ P cos θe′x + O′ P sin θe′y
(2)
−−′→
−−→
O Q = O′ P より、
−−→ −−→
−−→ −−→ −−→
−−→
ここで e′x = O′ P / O′ P と O′ P = OP − OO′ = rP − OO′ より、
(
−−→)
1
e′x = −−→ rP − OO′
O′ P
(3)
と表せるので、
(
−−′→
−−→)
−−→
O Q = cos θ rP − OO′ + O′ P sin θe′y
(4)
−−→′
OO = (rP , n) n
(5)
−−′→
−−→
O Q = cos θ (rP − (rP , n) n) + O′ P sin θe′y
(6)
O′ は、P の n 上への射影なので、
これより、
e′y = n × e′x より、
−−′→
OQ =
−−→
cos θ (rP − (rP , n) n) + O′ P sin θ (n × e′x )
(7)
(3) より、
{
(
−−′→
−−→)}
O Q = cos θ (rP − (rP , n) n) + sin θ n × rP − OO′
(8)
−−′→
O Q = cos θ (rP − (rP , n) n) + sin θ {n × rP }
(9)
−−→
n × OO′ = 0 より、
1
図 1: n 軸まわりの回転
−−→ −−→
rQ = OO′ + O′ Q より、
−−→
= OO′ + cos θ (rP − (rP , n) n) + sin θ {n × rP }
rQ
(10)
(5) より、
rQ
= (rP , n) n + cos θ (rP − (rP , n) n) + sin θ {n × rP }
= cos θrP + (1 − cos θ) (rP , n) n + sin θ (n × rP )
(11)
成分で表すと、
rQi
=
cos θrP i + (1 − cos θ) rP j nj ni + sin θϵijk nj rP k
=
cos θδij rP j + (1 − cos θ) nj ni rP j + sin θϵikj nk rP j
= {cos θδij + (1 − cos θ) nj ni + sin θϵikj nk } rP j
(12)
ここで
Rij
= cos θδij + (1 − cos θ) nj ni + sin θϵikj nk
(13)
とすると
rQi
を得る。Rij を行列表現すると、

cos θ + (1 − cos θ) n21

R =  (1 − cos θ) n2 n1 − sin θn3
(1 − cos θ) n3 n1 + sin θn2
= Rij rP j
(1 − cos θ) n1 n2 + sin θn3
cos θ + (1 − cos θ) n22
(1 − cos θ) n3 n2 − sin θn1
2
(14)
(1 − cos θ) n1 n3 − sin θn2


(1 − cos θ) n2 n3 + sin θn1 
cos θ + (1 − cos θ) n23
(15)

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