早稲田大学大学院 理工学研究科 博士論文審査報告書 論 文 題 目 中性原子気体 Bose - Einstein 凝縮現象に おける動的不安定性の場の量子論的解析 Quantum Field Theoretical Analysis on Dynamical Instability in Bose – Einstein Condensation of Neutral Atomic Gases 申 請 者 小林 恵太 Keita Kobayashi 環境資源及材料理工学専攻 物質材料理工学専門分野 凝縮系の理論物理研究 2010 年 2月 量子論における波動性は、原理的に同種粒子を区別できないという交 換 縮 退 の 概 念 を も た ら す 。そ れ は 、同 種 二 粒 子 の 交 換 に 対 し 波 動 関 数 が 対 称 で あ る (ボ ー ズ 粒 子 )、 あ る い は 反 対 称 で あ る (フ ェ ル ミ 粒 子 )と い う 要 請 と な る 。こ の 要 請 に 基 づ く 同 種 粒 子 集 団 の 性 質 が 、古 典 的 粒 子 集 団 で は 起 こ り 得 な い 多 く の 物 性 現 象 の 本 質 を 担 っ て い る 。フ ェ ル ミ 粒 子 が 一 つ の 量 子 状 態 に 高 々 １ 個 の 粒 子 し か 入 り 得 な い の に 対 し 、ボ ー ズ 粒 子 で は 一 つ の 量 子 状 態 に 任 意 個 の 粒 子 が 占 有 し 得 る た め 、ボ ー ズ 粒 子 集 団 は極低温において基底状態に巨視的な数の粒子が占有されることが可 能 と な る 。 こ れ が １ ９ ２ ５ 年 に Einstein が 予 言 し た Bose-Einstein 凝 縮 (BEC)で あ り 、 そ の 実 験 室 で の 実 現 が 待 ち 望 ま れ て い た 。 １ ９ ８ ０ 年 代 か ら レ ー ザ ー に よ る 原 子 の 冷 却 法 や 原 子 を 磁 気 的・光 学 的 に 捕 捉 す る 方 法 等 が 開 発 さ れ 、１ ９ ９ ５ 年 に 捕 捉 さ れ た R b 及 び N a 原 子 気 体 の B E C が 実 現 さ れ た 。冷 却 中 性 原 子 気 体 系 の 特 徴 と し て 、ま ず 希 薄 気 体 で あ り 、 相 互 作 用 が 弱 い こ と が 挙 げ ら れ 、そ の た め こ の 系 に 対 す る 理 論 計 算 と 実 験結果を直接比較することが可能となっている。また、粒子数、温度、 捕 捉 ポ テ ン シ ャ ル の 形 状 、原 子 間 相 互 作 用 の 大 き さ や 符 号 な ど の パ ラ メ ー タ ー が 実 験 で 調 節 可 能 と い う 、高 い 実 験 制 御 性 を 持 つ 。以 上 の 特 徴 か ら 、冷 却 中 性 原 子 気 体 系 は 理 論 研 究 に と っ て 理 想 的 な 量 子 多 体 系 の 対 象 である。ここでの基礎理論研究成果は、量子多体系が関わる物理分野、 す な わ ち 物 性 物 理 全 般 、素 粒 子 ・ 原 子 核 物 理 、宇 宙 物 理 、量 子 光 学 等 の 多くの分野に波及するものである。 中 性 原 子 気 体 の B E C は そ の 制 御 性 の 高 さ か ら 、様 々 な 不 安 定 な 状 態 を 人 為 的 に 作 り 出 し 、崩 壊 過 程 を 観 測 す る こ と が で き る 。そ う し た 不 安 定 性 を 示 す 第 1 の 例 と し て 、 高 次 量 子 渦 を 持 つ BEC が 挙 げ ら れ る 。 実 験 で は 渦 度 2 と 4 を 持 つ 不 安 定 BEC が 作 ら れ 、 高 次 量 子 渦 が 分 裂 す る 様 子 が 観 測 さ れ て い る 。 第 2 の 例 と し て 、 光 学 格 子 中 を 流 れ る BEC の 崩 壊 が 挙 げ ら れ る 。 Fallani ら は 左 右 か ら 僅 か に 異 な る 周 波 数 を 持 つ レ ー ザ ー 光 を 照 射 し て 速 度 を 持 つ 光 学 格 子 を 作 り 、 相 対 的 に BEC が 光 学 格 子 に 対 し て 流 れ を 持 つ 状 況 を 実 現 し た 。光 学 格 子 の 速 度 が あ る 速 度 以 上 で 、凝 縮 体 の 形 状 が 激 し く 変 形 し 崩 壊 し て い く 様 子 が 観 測 さ れ 、そ の 臨 界 速 度 以 上 の 流 れ に 対 す る BEC の 不 安 定 性 が 確 か め ら れ た 。 こ れ ら の 二つの不安定現象は、動的不安定性と呼ばれる現象の例である。 本 論 文 は 冷 却 中 性 原 子 気 体 B E C 及 び そ の 動 的 不 安 定 性 に 対 し 、量 子 多 体系の基礎理論である場の量子論の立場から解析を行うものである。 BEC は 場 の 量 子 論 で U(1)対 称 性 が 自 発 的 に 破 れ た 真 空 状 態 と し て 理 解 さ れ て い る 。B E C 相 の 性 質 ( 量 子 効 果 、有 限 温 度 効 果 な ど ) を 論 ず る に は 、 BEC 相 か ら の 励 起 状 態 を 知 る 必 要 が あ り 、 そ れ は 通 常 Bogoliubovde Gennes(BdG)方 程 式 に よ り 記 述 さ れ て い る 。 自 発 的 対 称 性 の 破 れ に 必 然 的 に 伴 う 南 部 -Goldstone モ ー ド と し て 、 BdG 方 程 式 の 解 に は ゼ ロ 1 モ ー ド が 現 れ る 。捕 捉 ポ テ ン シ ャ ル 中 の 原 子 気 体 系 の よ う な 有 限 サ イ ズ 系 で は 、 BdG 方 程 式 の 完 全 性 の た め に 、 ゼ ロ モ ー ド に 加 え て 共 役 ゼ ロ モ ー ド の 導 入 が 必 須 と な る が 、共 役 ゼ ロ モ ー ド の 物 理 的 な 意 味 に つ い て は 明 ら か で は な い 。 ま た 、 BdG 方 程 式 に は 実 固 有 値 以 外 に 複 素 固 有 値 が 出 現 す る パ ラ メ ー タ ー 領 域 が あ る こ と が 知 ら れ て い る 。 BEC に お け る 動 的 不 安 定 性 は こ う し た 複 素 固 有 値 の 出 現 と し て 理 解 さ れ て い る 。高 次 量 子 渦 の 分 裂 や 光 学 格 子 中 を 流 れ る BEC の 崩 壊 過 程 に お い て 、 複 素 モ ー ド 、ゼ ロ モ ー ド 、共 役 ゼ ロ モ ー ド が ど の よ う な 役 割 を 担 う か を 明 ら か に す る こ と 、さ ら に そ れ ら の 量 子 揺 ら ぎ の 影 響 を 評 価 す る こ と は 、確 立 さ れ た 理 論 の な い 非 平 衡・不 安 定 系 の 場 の 量 子 論 の 発 展 に お い て 極 め て 重 要 な 意 味 を 持 つ も の で あ る 。こ の よ う な 視 点 か ら 、申 請 者 は 冷 却 中 性 気 体 原 子 系 の BEC に 対 す る 場 の 量 子 論 に 徹 し た 解 析 を 行 っ て い る 。 本学位論文は５つの章からなる。以下に各章ごとにその概要を述べる。 第 １ 章 は 序 論 で あ り 、冷 却 中 性 原 子 系 に お け る B E C 研 究 分 野 の 背 景 を 紹介し、本研究で採り上げる対象と課題が示されている。 第２章では、本研究の冷却中性原子気体系を記述する場の量子論のモ デ ル が 説 明 さ れ て い る 。 出 発 点 と な る U(1)対 称 な ハ ミ ル ト ニ ア ン を 提 示 し 、自 発 的 対 称 性 の 破 れ の 機 構 に よ り 凝 縮 体 を 記 述 す る 秩 序 変 数 が 導 入 さ れ る 。 次 に 、 秩 序 変 数 が 従 う 方 程 式 で あ る Gross-Pitaevskii(GP) 方 程 式 と 凝 縮 体 周 り の 揺 ら ぎ を 記 述 す る 方 程 式 で あ る Bogoliubovde Gennes(BdG)方 程 式 を 導 入 し 、 そ の 数 学 的 な 性 質 が 示 さ れ る 。 特 に BdG 方 程 式 が 持 つ ゼ ロ モ ー ド の 起 源 を 述 べ 、 共 役 ゼ ロ モ ー ド を 導 入 す る 。 共 役 ゼ ロ モ ー ド は 有 限 系 BEC に お い て 現 れ る モ ー ド で あ り 、 有 限 体 積 系 で の 南 部 -Goldstone モ ー ド を 調 べ る こ と に 相 当 す る 。 最 後 に 中 性原子気体の動的不安定性について述べられている。 これ以降が本論文の主要な成果である。 第３章では、高次量子渦の分裂過程における揺らぎの役割を明らかに し て い る 。 そ の 解 析 は 時 間 依 存 GP 方 程 式 を 用 い た 平 均 場 （ 古 典 場 ） 理 論 に 基 づ く も の で あ り 、 BdG 方 程 式 の 完 全 系 を 用 い た 時 間 依 存 摂 動 論 に よ り 遂 行 さ れ る 。複 素 モ ー ド 、ゼ ロ モ ー ド 、共 役 ゼ ロ モ ー ド を 含 め た モ ー ド 展 開 に よ り 、渦 の 分 裂 過 程 に お け る 揺 ら ぎ の 効 果 を 明 ら か に す る も の で あ る 。計 算 結 果 は 、時 間 依 存 GP 方 程 式 を 直 接 数 値 計 算 す る こ と に よ り 得 ら れ る 量 子 渦 の 分 裂 を 再 現 す る だ け で な く 、量 子 渦 の 分 裂 過 程 に お い て 、複 素 モ ー ド と 共 に 共 役 ゼ ロ モ ー ド も 大 き く 成 長 す る こ と を 明 ら か に し た 。ま た 、密 度 分 布 の 式 か ら 、複 素 モ ー ド が 渦 の 分 裂 の 仕 方 等 を 特 徴 付 け る が 、共 役 ゼ ロ モ ー ド は 初 期 の 高 次 量 子 渦 を 消 失 さ せ る 役 割 を 担 っ て い る こ と が 示 さ れ た 。更 に 、時 間 依 存 GP 方 程 式 に お い て 共 役 ゼロモードが粒子数保存を守る役割を果たしていることを一般的に示 し て い る 。こ の よ う に し て 、平 均 場 の 範 囲 内 で あ る が 、共 役 ゼ ロ モ ー ド 2 の物理的な意味が初めて明らかにされた。 第 4 章 で は 、光 学 格 子 中 を 流 れ る B E C の 動 的 不 安 定 性 に 対 し 、場 の 量 子 論 に 基 づ き 量 子 揺 ら ぎ を 取 り 入 れ た 解 析 を 行 っ て い る 。ま ず 、凝 縮 体 に 動 的 不 安 定 性 が あ る 状 況 下 に お い て 、強 結 合 近 似 の ハ ミ ル ト ニ ア ン の 対 角 化 に 際 し て 、複 素 モ ー ド を 含 む ハ ミ ル ト ニ ア ン に 現 わ れ る 演 算 子 は ボ ゾ ン 型 の 交 換 関 係 を 満 た さ な い こ と が 示 さ れ る 。一 方 、ハ ミ ル ト ニ ア ン の 固 有 状 態 は Fock 空 間 と 類 似 の 構 造 を 持 ち 、 複 素 モ ー ド に 対 す る 励 起 状 態 を 定 義 で き る こ と が 明 ら か に さ れ て い る 。複 素 モ ー ド が 属 す る 状 態 空 間 を 物 理 的 要 請 で 制 限 し つ つ 、線 形 応 答 理 論 を 用 い て 系 の ダ イ ナ ッ ミ ク ス が 調 べ ら れ て い る 。そ の 際 、ゼ ロ モ ー ド に 関 し て 非 摂 動 論 的 な 扱 い を 行 う こ と に よ り 、線 形 応 答 に お け る ゼ ロ モ ー ド の 効 果 を 評 価 す る こ と を 可 能 と し て お り 、ゼ ロ モ ー ド の 効 果 は 凝 縮 体 粒 子 数 揺 ら ぎ の 外 場 に 対 す る 応 答 と し て 現 れ る こ と が 示 さ れ る 。時 間 依 存 G P 方 程 式 と 線 形 応 答 理 論 と の 数 値 結 果 の 比 較 か ら 、本 研 究 で の 定 式 化 は 時 間 依 存 G P 方 程 式 の 結 果 を 再 現 す る も の で あ り 、本 研 究 に お け る 定 式 化 は 先 行 研 究 と 矛 盾 し な い 。ま た 、複 素 モ ー ド に 励 起 す る 状 態 を 用 い た 計 算 を 行 う こ と に よ り 、複 素 モ ー ド の 励 起 状 態 が 系 に 与 え る 影 響 を 評 価 し た 。そ の 結 果 と し て 、複 素 モ ー ド の 励 起 が あ る 場 合 に は 系 の 崩 壊 が 速 ま る こ と が 示 さ れ 、 本研究の重要な成果となっている。 第 5 章では、本研究で得られた成果をまとめ、今後の展望が述べられ る。 以 上 本 論 文 で は 、捕 捉 冷 却 中 性 原 子 系 の B E C に 現 れ る 動 的 不 安 定 現 象 は 量 子 揺 ら ぎ に 起 因 す る も の で あ り 、そ の 機 構 が 、最 も 基 礎 的 な 理 論 で あ る 場 の 量 子 論 に 基 づ い て 解 析 さ れ て い る 。モ ー ド 展 開 に 基 づ く 議 論 か ら 、今 ま で 不 明 で あ っ た 各 モ ー ド の 個 別 の 寄 与 を 明 確 に し た こ と は 高 く 評 価 さ れ る 。不 安 定 現 象 の 量 子 論 的 取 り 扱 い が 未 確 立 の 現 状 で 、本 研 究 は 正 統 的 な 定 式 化 に 立 脚 し 、先 駆 的 か つ 独 創 的 な 枠 組 み を 提 示 し て い る 。 ま た 、こ の 基 礎 研 究 は 量 子 多 体 系 が 関 わ る 現 象 に 一 般 化 で き る も の で あ り 、と り わ け 物 性 物 理 や ナ ノ 工 学 に 関 わ る 応 用 に 向 け て の 意 義 は 大 き い 。 よって本論文は博士（工学）の学位論文として価値あるものと認める。 2010 年 2 月 審査員 （主査）早稲田大学教授 理学博士（早稲田大学） 山中由也 早稲田大学教授 理学博士（早稲田大学） 大場一郎 早稲田大学教授 工学博士（早稲田大学） 北田韶彦 3
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