仕事 LF W ∙ = = W = = m = W

力学Ⅰ
仕事



物体に作用する合力 F (t ) が分かっても，運動方程式 ma (t )  F (t ) を解いて


位置 r (t ) や速度 v(t ) を求めることが，数学的に難しい場合も多い。


運動方程式 ma (t )  F (t ) を出発点にして，新しい関係式を導く。
「エネルギー」に関する関係式である。
他の科目や日常生活でもよく耳にするように，
「エネルギー」という考え方は，
「力学」という分野を超えて，あらゆる自然現象を理解するための鍵となる。
仕事（work）

まず，物体に作用する力 F から，
「仕事」という量を導入する。
仕事は，物体がもつ「エネルギー」を変化させる働きをもつ量である。

物体に一定の力 F ［N］を加えて，力の方向に L ［m］移動させるとき，

力 F がする仕事 W は
F
F
W  F L
L
（「仕事」＝「力」×「移動距離」）
で表される。
仕事の単位は［N］×［m］＝［N･m］である。
この仕事の単位は重要で，よく使う単位なので，名前がついている。
［
J ］
（
ジュール
）
（絶対覚えること！）

練習１ ① 大きさが F  3.0［N］である一定の力 F を加えて，力の向きに

20［m］移動させた。力 F がした仕事 W を数値で求めよ。
L
W  F  L  3.0［N］×20［m］＝60［J］
② m  2.0［kg］の物体が，鉛直下向きに L  5.0［m］落下した。
重力がした仕事 W を数値で求めよ。
F
L
F  mg  2.0［kg］×9.8［m/s2］＝19.6［N］
W  F  L  19.6［N］×5.0［m］＝98［J］
＝＝＝
39
F
力学Ⅰ
次に，力の向きと物体の移動方向が異なる場合の仕事を考える。
まず，力の向きと移動方向が垂直（   90 ）の場合の

F
W 0
仕事はゼロ。

F
垂直の向きの力は物体のエネルギーを
s
変化させないからゼロに決める。
では一般的に，力の向きと移動方向が角度  をなしている場合は？

F

力 F を分解して，仕事をするのは移動方向
だけなので，
の成分 F||  F cos
W  ( F cos  )  s
である。

F

F||
 Fs cos
s
力の向きと移動方向は直接関係ない。複数の力が作用している
とき，個々の力について「○○力がする仕事」を計算できる。
練習２ ① 粗い（摩擦がある）水平面で，質量 m  5.0 ［kg］の物体が，直線上を
s  10［m］滑った。動摩擦係数を    0.20 として，重力 f 重，垂直抗力 f N ，
動摩擦力 f まがする仕事 W重， W N ， Wまを求めよ。
fN
重力：   90
→ W重  ( f 重 cos 90)  s  0
垂直抗力：   90
fま
f重
s
→ WN  ( f N cos 90)  s  0
動摩擦力：   180
→ Wま  ( fま cos180)  s  fま  (1)  s   f ま  s
   mg  s  0.20  5.0 [kg]  9.8 [m/s 2 ]  10 [m]  98 ［J］
② 滑らかな（摩擦がない）斜面を，質量 m  5.0［kg］の物体が，s  2.0［m］
滑り降りた。斜面の水平からの傾き角を   30 とする。垂直抗力 f N ，重
fN
力 f 重がする仕事 W N ， W重を求めよ。
垂直抗力：   90 → WN  0
重力：   60
1
s
f重
2
1
 5.0 [kg]  9.8 [m/s 2 ]   2.0 [m]  49 ［J］
2
→ W重  ( f 重 cos 60)  s  mg 
40
f 重 sin 
s

力学Ⅰ
仕事の表し方
内積

B  (Bx , B y )
 
A  B  AB cos （  Ax B x  A y B y ）
B sin 
というベクトルの掛け算がある。
（内積は平行な成分の掛け算）
内積を用いると仕事が簡潔に表せる。
 
W  F s
練習３
 Fs cos

A  ( Ax , A y )

B cos
A
y
（  Fx  x  F y  y ）
 ( Fx , F y )

F


一定の力 F  （ 3.0 ， 2.0 ）［N］を物体に
作用させながら，点 P1（ 1.0 ， 5.0 ）［m］か

F

s  ( x, y )
O
x
ら点 P2（ 7.0 ， 2.0 ）［m］まで移動させた。

力 F が物体にした仕事 W を数値で求めよ。

移動量（変位）ベクトル s は，
  
s  r2  r1  （ 7.0 ，2.0 ）
［m］－（ 1.0 ，5.0 ）
［m］＝（ 6.0 ， 3.0 ）
［m］
仕事 W は，
 
W  F  s  Fx  x  F y  y ＝ 3.0 [N]  6.0 [m]  2.0 [N]  (3.0 [m])
＝ 12 ［J］
＝＝＝
一般的に，物体が移動する軌道が直線でもなく，力
の大きさ F や，力の向きと移動方向のなす角  が
移動の途中で変化する場合，仕事はどうやって計算するのか？

まず，軌道曲線を，直線と見なせるくらい細かい区間 ds （ ds ）に分割する。
微小仕事
 
dW  ( F cos  )  ds  F  ds
を計算する。各区間で求めた dW をすべて足しあげる（積分記号
仕事は次のように表される。（具体例は後に計算する。
）
2
2
2 

W   dW   ( F cos  )  ds   F  ds
1
1
の意味）
。

F

1

r1
41


ds
F cos 

r2
力学Ⅰ
応用曲面上を運動する物体に作用する垂直抗力がする仕事を求めよ。
曲面上を運動する物体に作用する垂直抗力の向きは，曲面の
接線（接平面）に垂直な向き（法線方向）である。

FN  接線，

ds // 接線
したがって垂直抗力がする微小仕事は
曲面

FN

ds
dW  ( FN cos 90)  ds  0
接線
（接平面）
である。曲面上を運動する場合も垂直抗力は仕事をしない。
仕事率（power）
同じ量の仕事でも，ゆっくりするのか，すばやくするのかで，能率は全く違う。
これを比べるために，単位時間（1［s］間）あたりにする仕事を考える。
t ［s］間で， W の仕事をしたとき，（平均の）仕事率は，
W
：仕事率の単位［ W ］
（ワット）＝［J/s］
P  ［W］
t
注意仕事率の単位［W］と仕事を表す文字 W を混同しないこと！
dW (t )
であるが，
瞬間の仕事率は P (t ) 
dt


dW (t )
ds
 ( F cos  )  v  F (t )  v(t )
P (t ) 
 ( F cos  ) 
dt
dt

で移動速度 v(t ) を用いて表せる。（速く移動させれば仕事率は大きい）
練習４一定の大きさ F  10［N］の力を鉛直上向きに加えて，物体を真上に s  5.0
［m］持ち上げた。持ち上げるのに要した時間が t  0.40［s］だったとき，
力 F がした仕事の平均の仕事率 P を数値で求めよ。
W
P
F  s  10 [N]  5.0 [m]  50 ［J］，
W
50 [J]

 125 ［W］
t
0.40 [s]
発展１質量 m の物体を静かに落下させた。重力の仕事率 P (t ) を求めよ。
落下を始めてから t ［s］後の落下速度 v(t ) は
v (t )  g t
したがって， t ［s］後の仕事率 P (t ) は，
P (t ) 
dW (t )
 ( F cos  )  v(t )  ( mg  cos 0)  gt  mg 2 t
dt
力は一定だが，落下とともに速さが増大するので，仕事率も増大する。
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