期末試験問題と答 - InfoShako - 筑波大学

H21 年度 1 学期
筑波大学
計量経済学
期末試験解答例
浅野
H21 年 6 月 25 日
(75 分)
問 1 設問 a),b)に答えよ。(10 点)
２つの生産要素、資本 K、労働 L の投入により生産物 Y は決まるとする。この関係は Y = f(K,L)
a)
と書ける。Y の K,L に対する弾力性はそれぞれ一定とする。線形回帰により関係を推定する際
の関数形を示し、係数の意味を述べよ。
lnY = α + βlnK + γlnL,
β, γはそれぞれ生産物の資本,労働に対する弾力性。
第 3 の生産要素としてエネルギーE があるとする。Y の E に対する弾力性も一定、また技術進
b)
歩により生産性は毎年一定率で上昇するとせよ。この関係は Y = f(K,L,E,t)と書ける。ここで t
は(2009,2010..等の)年を表す。線形回帰により関係を推定する際の関数形を示し、t に対応する
係数の意味を述べよ。
lnY = α + βlnK + γlnL+δlnE + λt, λ は技術進歩率
問2
(20 点)
42人の賃金率のデータについて古典的正規回帰モデル：Y = α + βX + ε があてはまるとする。 Yは
賃金率($/時)、 Xは性別を表すダミー変数（女なら１、男ならゼロ）である。元データはないが以
下の統計量は与えられている。
人数
平均賃金率
標本分散
男
21
15.0
3.0
女
21
12.0
5.0
a)
(α, β) の意味を述べ、その推定値を求めよ。
α :男性の平均賃金、推定値 a = 15、 β:女性の平均賃金 − 男性の平均賃金推定値 b = −3、
b) 回帰の残差二乗和RSSの値と回帰の標準誤差Sを求めよ。ヒント：標本分散はΣi(Yi− Y )2/(n−1)
男性データからの残差二乗和は(nM−1)SM2 = 20x3 = 60, 女性は(nF−1)SF2 = 20x5 = 100, 添字M（F）は
男(女)を表す。
RSS = 60+100= 160, S2 =RSS/(n-2)=160/40=4 =＞S=2
c)
帰無仮説"賃金格差が無い"をパラメータ値についての仮定として示し、検定統計量の値を示せ
(分数、平方根表示で十分)。検定統計量の分布を明記すること。
仮説は H0:β = 0, 検定量はt0 = b/SE(b) であり自由度40のｔ分布に従う。
係数の標準誤差はSE(b)2 = S2/Σixi2 (xi = Xi− X )の平方根である。 X はダミー変数の平均値であり、こ
のデータでは1/2(女性は半分)。したがって、すべてのiにつきxi2= 1/4＝＞ Σixi2 = 42/4
SE(b) = 2/ 42 / 4 、検定量 t0 = −3/( 2/ 42 / 4 )
d) ここでは男女の賃金の分散は同じと仮定しているが、この仮定自体を検定する方法と検定量の
値を示し、検定量の従う分布が何かを述べよ。
正規分布からの無作為標本については(n−1)S2/σ2 ~ χ 2 (n−1)が成立。
SM2,SF2をそれぞれ男女の賃金の標本分散とする。WM = (nM−1)SM2/σM2~ χ 2 (nM−1), WF = (nF−1)SF2/σF2
~ χ 2 (nF−1)、WM,WFは独立。
よってF = {WM/ (nM−1)}/{WF/ (nF−1)}= (SM2/σM2)/(SF2/σF2) ~ F(nM−1, nF−1 )、
1
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H0: σM2= σF2 の下ではF0 = SM2/SF2は自由度(nM−1, nF−1)のF分布に従う(テキストP.280、例2参照)。
F0= SM2/SF2 = 3/5, F0は自由度(20,20)のF分布に従う。検定は両側（F1−α/2< F0<F α/2なら仮説を棄却し
ない）。
問3
(25 点)
モデル Yi = α+βXi+εi に対応するデータ行列 Y,X (n=4)は以下の通りである。
⎡0⎤
⎢0⎥
Y= ⎢ ⎥ , X =
⎢2⎥
⎢ ⎥
⎣2⎦
⎡1 −1⎤
⎢1 0 ⎥
⎢
⎥
⎢1 0 ⎥
⎢
⎥
⎣1 1 ⎦
a) Y を X に回帰した時の係数ベクトル b = (b1,b2)’を求めよ。b = (1, 1)’
b) 回帰の残差二乗和、回帰の標準誤差（S）
、決定係数を求めよ。
0⎤
⎡0⎤
⎡　⎢1 ⎥
⎢ −1⎥
ˆ = ⎢ ⎥ , e =Y− Y
ˆ = ⎢ ⎥ , RSS=2, S2 = RSS/(n−k) = 2/2 = 1=> S=1, R2 = 1− RSS/TSS = 1− 2/4 = 0.5
Y
⎢1 ⎥
⎢ 1　⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣2⎦
⎣0⎦
c)
係数ベクトルの第 2 要素 b2 の標準誤差を求めよ。
SE(b2) = 1x 1 / 2 = 1/ 2
d) b の分散行列の推定値を示せ。（ヒント：2x2 行列になる）
⎡1 / 4 0 ⎤
ˆ ( b) = S2(X’X)-1 = 12 ⎢
⎥
Var
⎣ 0 1 / 2⎦
e)
,
X 行列の 1 列目を X1,2 列目を X2 とする。残差回帰（FWL 定理-1）のステップ１の結果を Y
とする。 Y
,X
の値およびステップ 3 の式とその結果（数値）を示せ。
ステップ 2 の結果を X
2
2
問題で X1（定数項）に補助回帰して残差を作る操作は、各変数を標本平均からの偏差を作ること。
したがって、
⎡ −1⎤
⎡ −1⎤
⎢ −1⎥
⎢ ⎥
=⎢ ⎥ , X
= ⎢ 0 ⎥ , b2 = ( X
'X
−1 ' Y
2
2 2 ) X 2Y = 1
⎢ 1　⎥
⎢ 0　⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
1
1
⎣ ⎦
⎣ ⎦
問4 (30点)
計量経済学を履修中のT君は２つの学習塾(AとB)でアルバイト教師をしている。T君は塾の模擬試
験の点数(Y)は生徒の勉強時間(S)と知能指数(Q)に依存し、線形モデル: Y＝α + βS + γQ + ε があて
はまると考えた。以下は塾教師のみが知ることができる個人情報から得られた4つの回帰結果であ
る(標本数は塾A:30、塾B:12)。なおDは塾Bを示すダミー変数である。
(1) 塾A
Y = 10.0 + 0.80S + 0.10Q,
R2 = 0.60, n = 30, RSS = 1200
(2) 塾B
Y = 18.0 + 0.60S + 0.07Q,
R = 0.60, n = 12, RSS = 600
(3) Pooled 1
Y = 15.0 + 0.70S + 0.08Q,
R = 0.50, n = 42, RSS = 2400
2
2
2
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(4) Pooled 2
= 10.0 + 0.80S + (ｱ)Q +(ｲ) D + (ｳ)D × Q
Y
2
R = (ｴ), n = 42, RSS = (ｵ)
+ ***D × S
a) T君は勉強(S)をよくする生徒は知能指数Qも高い傾向があることに気がついた。実際、塾Aにつ
いてQをSに回帰すると結果はQ = 100 + 0.5Sであり係数は有意だった。
塾AのデータでYを（定数項と）Sだけに回帰するとSの係数はいくつになるか。
dY/dS = 0.8 + 0.10dQ/dS = 0.8+0.10x0.5 = 0.85
b) 空欄(ｱ)､(ｲ)､(ｳ)に入る数字は何か。
0.10, 8.0, −0.03
c) 空欄(ｴ),(ｵ)に入る数字は何か。(分数表示で十分)
30/48, 1800
d)
仮説：「２つの塾の構造に違いがない」を検定する検定量を示し、検定量の従う分布を述べ、
有意度5%で検定する手続きを説明せよ。
検定量 F0= {(2400−1800)/3}/{1800/(42−6)} = 4 。F0は帰無仮説の下で自由度3,36のF分布に従う。
F0>F0.05なら有意度5%で仮説を棄却する。
e) T君は知能指数Qが高い生徒ほど勉強時間Sの限界効果は高いのではないかとの疑問をもった。
上記の推定結果からT君の疑問に答えることはできるか。できると「思う」、「思わない」を
明らかにし、どのような統計的手続きを行えばよいか簡潔に説明せよ。（「思う」場合は上の
結果をどのように使うか、「思わない」場合はどのような追加的な回帰式を推定するか説明す
ること。）
思わない。説明変数に QとSの交差項を加える。これによりSの限界効果はQの線形関数となり、も
し限界効果がQにより変化するなら交差項の係数は有意となるはず。
問 5 設問 a),b),c)に答えよ。(15 点)
⎡ 1⎤
⎡2 1⎤
2 次元正規分布に従う確率ベクトル Y につき E(Y) = μ = ⎢ ⎥ , Var(Y) = Σ = ⎢
⎥ である。また、
⎣1 2⎦
⎣ −1⎦
⎡1⎤
定数ベクトル a = ⎢ ⎥ ,
⎣1⎦
⎡1 1⎤
定数行列 B = ⎢
⎥
⎣0 1⎦
とする。
a) E(a’Y), Var(a’Y) を求めよ。
E(a’Y) = a’μ = 0, Var(a’Y) = a’Σa = 6
b)
E(BY), Var(BY) を求めよ。
⎡ 0⎤
⎡1 1⎤ ⎡ 2 1 ⎤ ⎡1 0⎤ ⎡6 3⎤
E(BY) = Bμ = ⎢ ⎥ , Var(BY) = BΣB’ = ⎢
⎥⎢
⎥ ⎢
⎥= ⎢
⎥
⎣ −1⎦
⎣0 1⎦ ⎣ 1 2 ⎦ ⎣1 1⎦ ⎣ 3 2 ⎦
a) (B(Y−μ))’B’-1Σ-1B-1B(Y−μ) の従う分布は何か述べ、その理由を簡潔に説明せよ。
自由度 2 のカイ二乗分布。理由：平均ゼロの多変量正規分布に従う確率ベクトルεについての 2
次形式ε’Var(ε)-1ε となっている。自由度はεの次元(ここでは 2)。
3
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期末試験結果および成績
基本統計量
期末
総合
77
77
平均
49.8
53.9
標準偏差
14.9
13.9
最高
82
84
最低
16
20
ｎ
成績の基準と分布
成績分布
成績の基準
人数
期末
総合
A
9
75
75
以上
B
23
58
58
以上
C
33
45
42
以上
D
12
45
42
未満
注意
総合は（中間+期末）/2
期末のみの成績により最終成績が上がった人数
B＝>A ２人、C＝>B ５人、D＝>C
2 人。2 段階以上「改善」した人数はゼロ。
期末のみ受験して単位を取得したのは 3 人中 2 人。
期末点数の分布
100%
25
90%
80%
20
70%
60%
15
50%
40%
10
30%
5
20%
10%
0
0%
10
20
30
40
50
60
70
80
90
総合点の分布
25
100%
90%
20
80%
70%
15
60%
50%
10
40%
30%
5
20%
10%
0
0%
10
20
30
40
50
60
4
70
80
90

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