修士論文概要(2013 年 2 月 13 日) SSI-MT79113175 局所メッシュ細分化とメッシュ適合に基づく ボイドを含む製品の解析用四面体メッシュ生成 北海道大学 大学院情報科学研究科 システム情報科学専攻 システム創成情報学講座 システム情報設計学研究室 東 翔也 1 はじめに 近年，工業用 X 線 CT を用いた工業製品の計測技術へ注 目が高まりつつある．X 線 CT による計測は従来のレーザ ー計測や画像計測などとは異なり，製品の表面形状のみ ならず，内部形状をも計測することが可能である．その ため，工業用 X 線 CT 計測技術の発展に伴い，計測データ を用いた製品の内部欠陥検出，CAD モデルと現物との比 図 1 ボイドを含んだ製品の X 線 CT 計測メッシュ 較，流体シミュレーション，強度解析，CAD モデル生成 測定条件 など形状計測データの広範囲な活用が可能になってきて 等値面抽出閾値 いる．本研究では，X 線 CT 計測の活用範囲の中でも内部 現物 欠陥であるボイド（図 1）を含んだ製品に対して，焦点を 当てている．これまでは破壊試験などを行い，強度分析 計測データ ボイド情報 （STL） メッシュ品質 評価基準 X線CT 計測 ボリュームデータ 処理 X線CT装置 を実施してきたが，コスト削減のため，X 線 CT 計測デー 解析メッシュ 生成(本研究) 解析メッシュ （四面体） 解析条件 Delaunay法 タからの CAE を用いてその強度を効率的に判断する必要 性が高まっている．そのため，CAE 用の有限要素解析用 解析結果 解析 メッシュ集合演算 MRR CAESolver, Pre/Post メッシュが必要になってきている． 図 2 本研究の位置づけ 図 2 に本研究の位置づけを示す．本研究では X 線 CT 計測で得られた表面メッシュデータから CAE で用いる解 ボイド表面 M VSi メッシュ 面の向き 析用四面体メッシュを生成する手法の開発を目的とする． 提案手法は，ボイドを除いた製品形状に対して四面体メ 閉メッシュ化 とボイド分離 ッシュを生成しボイドメッシュと干渉及びボイド内部に 含まれる四面体の除去を行い，ボイドメッシュ外側近傍 M AS ボイド の四面体の各表面頂点を移動させることによる近似を行 う（メッシュ適合） ．そして，四面体除去を行う前にボイ M VA 要素サイズ 製品形状 四面体メッ シュ生成 A-2 A-1 ボイドを含む 製品のX線 CT計測 メッシュ 製品形状 表面メッシュ M PS 初期四面体 メッシュ Delaunay法 高密度 製品形状 四面体 メッシュ M 解析用四面体 ˆ S MA メッシュ 局所メッシュ 細分化A-3 干渉判定 V P 製品形状メッシュ ドメッシュ上の各頂点における曲率に基づいて四面体の メッシュ 適合 A-4 QEM Shrink wrapping ひずみ エネルギー 品質改善 A-5 ODT 図 3 提案手法の概要 細分化を行うことにより，ボイド形状の高精度近似を実 現している．本手法の特長は，ボイドを除いた製品形状 イド形状を近似できるため，ボイド形状の複雑さによら 2 局所メッシュ細分化とメッシュ適 合による四面体メッシュ生成アル ゴリズム ない頑健な手法となっている． 本研究で提案する四面体メッシュ生成法は，図 3 に示 に対して四面体メッシュを生成することができれば，四 面体の除去と頂点移動のみといった安定な処理だけでボ される以下の 5 つの STEP から構成される． 1 Step1) 閉メッシュ化とボイド分離(A-1) 図1のように，製品の一部を切り出してきた製品形状表 干渉四面体 及び内部四面体 ボイド表面メッシュ 四面体 除去 面メッシュに対して閉メッシュ化を行い，製品形状表面 Shrink wrapping メッシュとボイドメッシュの分離を行う． Step2) 製品形状四面体メッシュ生成(A-2) Step1 で得られた製品形状表面メッシュに対して， Delaunay 法により四面体メッシュを生成する． 製品形状 四面体メッシュ Step3) 局所メッシュ細分化(A-3) 図 4 メッシュ適合 Step1 で得られたボイドメッシュ上の各頂点の曲率に応 許容誤差 e じて，Step2 で得られた四面体メッシュを細分化する． Step4) メッシュ適合(A-4，図 4) 最長稜線長 s Step3 で細分化した四面体メッシュを用いて，ボイドメ 弦までの長さ x ッシュと干渉している四面体と，ボイド内部に含まれて いる四面体の除去を行う．次に，四面体除去後の内部表 半径 1 κ 図 5 許容誤差 面の各頂点をボイドメッシュ上へと移動させることと， Relaxation を繰り返すことによりボイドメッシュを近似 エッジスプリット する． Step5) 品質改善(A-5) Step4 で得られた四面体メッシュに対して，品質を向上 させるため，ODT スムージングを用いて品質改善を行う． 3 ボイド分離(A-1) 本研究では，入力となる表面メッシュに対して，製品 図 6 エッジスプリット 形状表面メッシュとボイドメッシュの分離を行う．ボイ ドと製品の判別は符号付き体積の符号にて行う．符号付 ルに基づく曲率推定法[1]を用い，頂点 の最大主曲率は以 き体積とは，連結メッシュの三角形要素の各頂点と原点 下の最大固有値として算出される． とのベクトルがつくる四面体の符号付き体積を連結メッ (1) シュ内の三角形数で総和をとったものである．このある 連結メッシュの符号が正ならば製品形状表面メッシュ， ここで， は から半径 r の球内のの三角形の面積を 負であればボイド表面メッシュと判別される． 表し， 4 製品形状四面体メッシュ生成(A-2) を表す） ．式（1）により各頂点の最大主曲率を導出し， は は e の隣接三角形同士の法線同士の角度を， の長さを表す（e はメッシュのあるエッジ その曲率と許容誤差に基づき，以下の式でボイド表面上 ボイド分離により得られた製品形状表面メッシュに 対して，Delaunay法に基づき四面体生成を行う．四面体生 の各頂点を含む各四面体要素の要素サイズを決定する （図 5） ． 成にはフリーのオープンソースコード，TetGen[2]を用いた． 5 局所メッシュ細分化（A-3） ボイド表面メッシュ上の曲率値が高い所を細かくし， 形状表現精度を高めるため，製品形状表面メッシュに対 して生成された四面体のうち，ボイドメッシュ上の各頂 点を含む四面体要素を細分化する．細分化における四面 体要素サイズはその四面体が包含しているボイドメッシ ュ上の各頂点の曲率値に基づき決定する．ここで，用い る曲率は各頂点における最大主曲率であり，曲率テンソ (2) ここで，κは各頂点の最大主曲率，s は該当四面体要 素の最長稜線の長さを表す．また，τは許容誤差を表す． 細分化の方法としてはエッジスプリット（図 6）を行う． まず，式（2）を満たすようなボイドメッシュ上の頂点を 含む四面体の最長稜線の中点に点を発生させ，その点か ら最長稜線を含まない他頂点へと稜線を発生させ，四面 体を 2 分割する． 6 メッシュ適合(A-4) 6.1 干渉及び，内部四面体除去 四面体 頂点 製品の四面体メッシュ生成後，製品形状表面メッシュ 内部に生成された四面体メッシュのうち，ボイド内部に 頂点を 1 つでも含む，あるいは干渉している四面体を除 去する．その後，干渉四面体とボイド内に含まれている 四面体の除去を行う．本研究では除去後，ボイド形状外 ボイド表面 メッシュ 側近傍に位置する四面体表面頂点を近似頂点とする． 四面体 表面三角形メッシュ 6.2 Shrink wrapping 図7 Shrink wrapping ボイド表面メッシュを製品形状表面メッシュ内部に生 成された四面体メッシュにて近似する．この近似には Shrink wrapping[3]（図 7）を利用する．Shrink wrapping は n i M VSi 目的形状上への頂点移動と Relaxation の繰り返しにより， 当該形状を近似するという手法である．この手法により ni pˆ i 交差 三角形 tc 高精度に近似でき，かつ表面メッシュの Relaxation が行わ れるので表面三角形メッシュの品質の向上ができる． pi 移動後 頂点位置 （頂点・面間距離 の総和を最小化） 四面体の頂点の移動には QEM[4]（Quadric Error Metrics） を用いる．QEM を用いる理由は四面体各頂点をそのまま ボイドメッシュ上へと移動させるとボイドメッシュの凸 部や凹部において誤差が大きくなるためである． 図8 形状近似誤差 QEM は頂点と面分の自乗距離を誤差評価量とするもの pˆ i であり，本研究では近似頂点の法線方向に交差する三角 形（交差三角形）とその三角形の隣接三角形からの自乗 pi pˆ j 距離の総和を形状近似誤差と定義している（図 8） ．QEM による最適頂点位置は式（3）で求められる． 図 9 Relaxation イメージ (3) u ここで， は頂点 i の最適頂点位置， は頂点 i の移動 前の頂点位置， は交差三角形の 3 頂点の Q 行列の和で あり， は頂点の法線， は最適移動距離を表す． また，Relaxation（図 9）は式（4）のように表すことが E (T ) uI x uxρxdx でき，四面体表面上の頂点位置を修正する． Ω x x (4) ここで は の隣接稜線集合， は の隣接頂点集 合， は の隣接頂点， は減衰係数， は に接続して いる稜線の平均稜線長を表している． 7 品質改善（A-5） 品質改善のためにODT （Optimal Delaunay Triangulation） スムージング[5]を導入している．ODT とは，与えられた 頂点集合に対して，図 10 に示すようなエネルギーが最小 図 10 ODT で最小化するエネルギー となる三角形分割のことである．ODT スムージングはエ ッジのフリッピングと式（5）で示した頂点位置へと各頂 点を移動させることを繰り返すことにより品質を改善す る方法である． (5) ここで， は k ステップ時の頂点の位置， は頂点 i の 1 近傍領域（スター） ， は単体 の外心， は刻み幅を 表す． 8 実行結果と考察 図 11 に本研究で用いた X 線 CT 計測から得られた実製 品データの入力表面メッシュと，本提案手法を適用した 結果を示す．また，図 12 に品質評価結果を，表 1，2 に 正面 近似誤差評価結果を示す．品質評価には式（6）により求 内部構造（切断面） 頂点数：5,229，三角形数：10,212 められる stretch[6]を用いる． Vh St (h) 6 6 max eh I e S h 外面 （a）入力三角形メッシュ (6) ここで，Vh ， S h は四面体要素 h の体積と表面積， I e は稜線 e の長さである．St (h) の値は正四面体で 1，要素 形状が歪むにつれて 0 に近づく． ODT による品質改善により，平均 stretch が 0.56 から， 0.61 へと向上した．また，図 12 の stretch 分布より，品質 の高い四面体の割合が増加したことから ODTスムージン グによる要素品質の改善の効果がみられた．しかしなが 頂点数：7,933 四面体数：32,645，処理時間：49.66 秒 ら，最小 stretch は改善されていないままであり，現状の （a）提案手法による出力メッシュ 最小 stretch が 2.0×10-10 となっている．原因としては，縮 図 11 解析メッシュ生成結果 退四面体（ほぼ平面のつぶれた四面体）に近い要素が存 品質改善後四面体stretch分布 品質改善前四面体stretch 在しているためであると考えられる． 8000 形状近似評価における形状近似誤差はあるメッシュか 7000 7000 6000 6000 ら他方のメッシュ上の最近点までの距離を用いた．これ 5000 5000 を双方向にて評価を行った． 表 1 より，細分化の導入により，ボイドメッシュを近 頻度 9000 8000 頻度 9000 4000 3000 2000 2000 1000 1000 0 0 似する四面体各頂点位置がボイドメッシュにより近い位 データ区間 データ区間 （a）品質改善前 置に変化していることがわかる．四面体メッシュからボ （b）品質改善後 図 12 イドメッシュ（TM→VM）への最大誤差で一部悪化もみ Stretch 分布 表 1 細分化前後近似誤差結果 られたが，双方向からの平均誤差値の低下から，全体的 には近似精度が向上したと言える． 9 結論と今後の課題 4000 3000 細分化前 細分化後（提案手法） 最大誤差 平均誤差 最大誤差 平均誤差 VM→TM誤差 1.42 0.392 0.852 0.165 TM→VM誤差 1.39 0.273 1.67 0.264 本研究の結論は以下の通りである． 1.局所メッシュ細分化とメッシュ適合により，ボイド形状 を含んだ実製品データに対して四面体メッシュを生成 [2] [3] できる手法を提案した． 2.ボイド形状の高精度再現のための局所メッシュ細分化 [4] を導入することにより，近似誤差を低減することができ， ボイド形状の再現精度を向上することができた． また，今後の課題としては以下があげられる． [5] 1．細分化により生じてしまった sliver 要素の修正 参考文献 [1] P. Alliez, D. Cohen-Steiner, O. Devillers, B. Levy, and M. Desbrun, “Anisotropic Polygonal Remeshing,” Proc. ACM SIGGRAPH ’03,pp. 485-493, (2003). [6] Hang Si,TetGen ,( http://tetgen.berlios.de/) LeifP.Kobbelt et.al, “A Shrink Wrapping Approach to RemeshingPolygonal Surfaces”,EUROGRAPHICS’99,18(3), (1999). Michael Garland and Paul S. Heckbert, “Surface Simplification using Quadric Error Metrics”, in Proc. SIGGRAPH97, pp.209-216,(1997) Q. Du, D. Wang Tetrahedral mesh generation and optimization based on centroidal Voronoi tessellations , International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 56, No. 9, pp. 1355-1373(2003) B. H. V. Topping, J. Muylle, P. Ivanyi, R. Putanowicz, and B. Cheng, “Finite Element Mesh Generation”,Stirling, U.K.: Saxe-Couburg Publications,(2004).
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