カオスとフラクタル構造ニュートンの運動方程式 - 筑波大学物理学系

総合科目
「初めて学ぶ物理学I：自然の仕組み」
カオスとフラクタル構造
http://www.px.tsukuba.ac.jp/home/tcm/arimitsu/arimitsu-J.html
数理物質科学研究科物理学専攻
有光敏彦
＜作図：有光直子（横浜国立大学）＞
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
2007/5/21　有光敏彦
1
ニュートンの運動方程式に従う
物体の運動は，決定論的である
t =0での初期値（位置と初速度）を決めると，
時刻t における値（位置と速度）が決定する。
ニュートンの運動方程式の解　角度の違い
10
5
ｙ
v0=15,角度45度
v0=15,角度60度
0
0
5
10
15
20
25
30
-5
ｘ
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
2
決定論的運動の予測可能性
1)
t =0での初期値を１つ決めると，時刻t における
値が唯一決定する。
2) 初期値の値を少し変化させたとき，t 秒後の解が
元の解と少ししか離れない。
ニュートンの運動方程式の解初速度の違い
10
5
ｙ
v0=15,角度45度
v0=17,角度45度
0
0
5
10
15
20
25
30
-5
ｘ
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
3
ローレンツ・モデルとカオスの登場
dX
= −σX + σY
dt
dY
= − XZ + rX − Y
dt
dZ
= XY − bZ
dt
熱対流の効果も取り入れて流体の運動
を記述する簡単化された方程式。
天候「予測」のモデル。
σ=10, b=8/3, r ≿ 24.74 = rc
この条件では，予測不可能な解が現れる：
1. すべての解が初期値に鋭敏である。
2. ほとんどすべての解が周期解ではなく，平衡解
に収束することもない。
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
4
ローレンツ・アトラクター I
rc = 24.74
Graph Title
ｒ＝－１
0.10
-2
9.0x10
-2
8.0x10
-2
7.0x10
-2
6.0x10
-2
z
5.0x10
-2
4.0x10
-2
3.0x10
-2
2.0x10
-2
1.0x10
0.00
0
0.1
0.2
0.3
0.4
x 0.5
0.6
0.7 0
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3 y
0.2
0.1
*** Mathbrain 試用中 ***
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
2007/5/21　有光敏彦
5
ローレンツ・アトラクター II
rc = 24.74
Graph Title
ｒ＝５
5
4
z 3
2
1
0
0
4
1
3
2
x
3
2
4
y
1
*** Mathbrain 試用中 ***
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
6
ローレンツ・アトラクター III
rc = 24.74
Graph Title
r = 25
40
30
z
20
10
0
20
-10
10
0
x
-10
10
0
y
-20
カオス軌道
ストレンジ・アトラクター
*** Mathbrain 試用中 ***
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
7
線形と非線形
y －bとxが比例するとき（ y － b ＝ a x ），yとxは線形関
係にあると言う。
それ以外のとき，非線形関係と呼ぶ（y － b = a xn, n≠1）。
ローレンツ・モデルでは，YとZの時
間発展が，それぞれXZ，XYに依存す
る。非線形運動をする系。
カオス軌道の出現
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
dX
= −σX + σY
dt
dY
= − XZ + rX − Y
dt
dZ
= XY − bZ
dt
8
ブラウン運動
－非決定論的運動の例－
random walk free direction step=1230
ブラウン運動：
水面上に置かれた
微粒子（花粉中の
パウダー）の運動
15
10
5
系列1
0
-40
-30
-20
-10
-5
0
10
-10
-15
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
9
時間の離散化
通常，時間が連続的であるして記述される運動を，以下
では，時間が離散的であるとして記述することを考える。
x(t ) → xn ,
( n = L , −2, −1,0, +1, +2 L)
xn +1 = f ( xn )
関数 f (x) は，各時間ステップの歩みを決める
決定論的運動
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
10
離散化軌道の図示法
f ( x) = ax
線形写像
x≥0
（線形運動）
a >1
a <1
x1
x1
x0 x1 x2
0
x3
x3 x2
0
x0
x1
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
2007/5/21　有光敏彦
11
ロジスティック写像 I
f ( x) = ax(1 − x)
非線形写像
（非線形運動）
f
0 ≤ x ≤1
x_n
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
時系列 (a = 3.52)
0.5
x_(n+1)
x_n
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.5
1
n
決定論的運動　0
確定した写像関数 f が，過渡的４周期時系列から再現できる。
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
12
1
ロジスティック写像 II
f ( x) = ax(1 − x)
非線形写像
（非線形運動）
0 ≤ x ≤1
f
x_n
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
時系列（a = 4)
1
0.5
x_(n+1)
x_n
1
0.5
0
0
100
200
300
400
500
n
0
決定論的運動　確定した写像関数 f が，カオス時系列から再現できる。
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
2007/5/21　有光敏彦
13
乱数時系列
ブラウン運動に対応
f
乱数時系列
x_n
0
0.1
0.2 0.3
0.4 0.5 0.6
0.7 0.8
1
0.5
x_(n+1)
x_n
1
0
0
100
200
300
400
0.5
500
n
非決定論的運動　0
確定した写像関数 f が存在しない。
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
14
0.9
1
カオスへの途
f ( x) = ax(1 − x)
－周期倍分岐－
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
15
１周期軌道
f ( x) = ax(1 − x)
a = 2.9
x_n
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
時系列 (a = 2.9)
0.5
x_n
x_(n+1)
1
f
軌道
x_(n+1) = x_n
0.5
0
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.6
0.8
1
n
a = 2.9
x_n
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
時系列 (a = 2.9)
0.5
f
軌道
x_(n+1) = x_n
x_n
x_(n+1)
1
0.5
0
0
2007/5/21　有光敏彦
0
0.2
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
0.4
n
16
２周期軌道
f ( x) = ax(1 − x)
時系列 (a = 3.4)
1
x_n
a=3.4
0.5
x_n
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x_(n+1)
n
f
軌道
x_(n+1) = x_n
0.5
0
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
2007/5/21　有光敏彦
17
４周期軌道
f ( x) = ax(1 − x)
時系列 (a = 3.52)
1
0.5
x_n
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
0
0
0.2
0.4
0.6
n
0.8
1
x_(n+1)
x_n
a=3.52
f
軌道
ｘ_(n+1) = x_n
0.5
0
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
18
３周期軌道
f ( x) = ax(1 − x)
時系列 (a = 3.828426)
1
x_n
a=3.828426
x_n
0.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x_(n+1)
n
f
軌道
x_(n+1) =x_n
0.5
0
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
2007/5/21　有光敏彦
19
カオス軌道
非周期軌道
f ( x) = ax(1 − x)
時系列（a = 4)
1
x_n
0.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
0
0
0.2
0.4
0.6
n
0.8
1
x_(n+1)
x_n
a = 4.0
f
軌道
x_(n+1) = x_n
0.5
0
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
20
１周期解の不動点
a = 2.9
f ( x) = ax(1 − x)
x_n
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x_(n+1)
1
f
軌道
x_(n+1) = x_n
0.5
0
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
21
２周期解の不動点
f ( x) = ax(1 − x)
a=3.4
x_n
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
a = 3.4
0.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
0
x_(n+1)
x_(n+1)
x_n
f
軌道
x_(n+1) = x_n
0.5
f
f^2
軌道
x_(n+1) = x_n
0
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
22
４周期解の不動点
a=3.52
f ( x) = ax(1 − x)
x_n
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
x_(n+1)
a=3.52
x_n
f
軌道
ｘ_(n+1) = x_n
0.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
ｆ
f^4
軌道
x_(n+1) = x(n)
x_(n+1)
0
0.5
0
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
23
３周期解の不動点
f ( x) = ax(1 − x)
a=3.828426
x_n
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
a = 3.828526
1
f
軌道
x_(n+1) =x_n
0.5
0
1
x_(n+1)
x_(n+1)
x_n
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.5
f
f^3
軌道
x_(n+1) = x_n
0
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
24
ｎ周期解の不動点
n 周期軌道の不動点：
f n −1 ( p j ) ≠ p j ,
かつ
f n( pj) = pj
( j = 1, 2, L, n )
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
25
２周期不動点への漸近
f ( x) = ax(1 − x)
a = 3.4
x_n
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
x_(n+2)
2周期不動点：
f
f^2
軌道1
軌道2
x_(n+1) = x_n
0.5
f 2 ( p1 ) = p1
f 2 ( p2 ) = p2
0
p1
2007/5/21　有光敏彦
p2
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
26
シャルコフスキーの定理
f は区間上の連続写像であり，p 周期軌道を持つとする。
p < q ならば，f は q 周期軌道を持つ。
3 p 5 p 7 p 9 p L p 2 ⋅ 3 p 2 ⋅ 5 p L p 22 ⋅ 3 p 22 ⋅ 5 p L
L p 23 ⋅ 3 p 23 ⋅ 5 p L p 2 4 ⋅ 3 p 2 4 ⋅ 5 p L p 23 p 2 2 p 2 p 1
3周期軌道の存在は，
他のすべての周期の
周期軌道の存在を意
味する。
６周期軌道の窓
５周期軌道の窓
３周期軌道の窓
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
2007/5/21　有光敏彦
27
時系列の文字列化
f ( x) = ax(1 − x)
xn の時系列から
0 < x < ½ のとき L，
½ < x < 1 のとき R，
x_n
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
x_(n+1)
の規則で文字列を生成する。
0.5
L
R
0
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
28
乱数時系列の文字列化
乱数時系列
x_n
1
0.5
0
0
100
200
300
400
500
n
L L R L L L R L L R R L L R R L L R R L
R L R R L R R R L L R L L L R L L R R R
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
2007/5/21　有光敏彦
29
２周期軌道の文字列化
a=3.4
x_n
f ( x) = ax(1 − x)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x_(n+1)
1
0.5
f
軌道
x_(n+1) = x_n
0
R R L R L R L R L R L R L R L R L R L R
L R L R L R L R L R L R L R L R L R L R
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
30
４周期軌道の文字列化
a=3.52
x_n
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
f ( x) = ax(1 − x)
x_(n+1)
1
f
軌道
ｘ_(n+1) = x_n
0.5
0
L R L R L R R R L R R R L R R R L R R R
L R R R L R R R L R R R L R R R L R R R
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
2007/5/21　有光敏彦
31
３周期軌道の文字列化
a=3.828426
x_n
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x_(n+1)
1
0.5
f ( x) = ax(1 − x)
f
軌道
x_(n+1) =x_n
0
L L R L R R L R L R R R R L R R L R R L
R R L R R L R R L R R L R R L R R L R R
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
32
カオス軌道の文字列化
a = 4.0
x_n
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x_(n+1)
1
f ( x) = ax(1 − x)
f
軌道
x_(n+1) = x_n
0.5
0
L L R L R R R L L R L R R L L L L L L R
R R R L L R L L R R L R L R L L R R L L
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
2007/5/21　有光敏彦
33
乱数時系列とカオス時系列
－非決定論的運動と決定論的運動－
乱数時系列
1
x_n
L L R L L L R L L R R L L R R L L R R L
R L R R L R R R L L R L L L R L L R R R
0.5
0
0
100
200
300
400
500
n
時系列（a = 4)
1
x_n
L L R L R R R L L R L R R L L L L L L R
0.5
R R R L L R L L R R L R L R L L R R L L
0
0
100
200
300
400
500
n
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
34
パイこね変換
x_n
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x_(n+1)
1
0.5
0
引き伸ばしと折りたたみ
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
35
パイこね実演 I
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
36
パイこね実演 II
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
37
パイこね実演 III
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
38
パイこね実演 IV
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
39
パイこね実演 V
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
40
パイこね実演 VI
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
2007/5/21　有光敏彦
41
逆写像
x_(n+1)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x_(n+1)
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
x_n
x_n
a = 4.2
0.5
0
0.5
0
L
R
LL LR
RL RR
2007/5/21　有光敏彦
無限文字列が生成される領
域は自己相似集合を成し，
フラクタル構造を呈する。
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
42
生成文字列と乱雑文字列
カオス(生成)文字列
L
R
L L R L R R R L L R L R R L L L L L L R
R R R L L R L L R R L R L R L L R R L L
LL LR
RL RR
LLL
LLR
LRL
LRR
RLL
RLR
RRL
RRR
乱雑文字列
L
L L R L L L R L L R R L L R R L L R R L
R
R L R R L R R R L L R L L L R L L R R R
乱雑文字列と同じ生成文字列が
必ず存在する。
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
2007/5/21　有光敏彦
43
カオス時系列と乱数時系列
確率的な文字列が，力学系の文字列
に必ず含まれている!!!
ロジスティック写像 II
乱数時系列
f ( x) = ax(1 − x)
非線形写像
（非線形運動）
0 ≤ x ≤1
f
乱数時系列
f
x_n
x_n
0
1
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
時系列（a = 4)
1
1
0
0
100
200
300
400
0.5
x_(n+1)
x_n
0.5
x_(n+1)
x_n
1
0.5
0.5
0
500
0
n
100
200
300
400
500
n
非決定論的運動　確定した写像関数 f が存在しない。
0
0
決定論的運動　確定した写像関数 f が，カオス時系列から再現できる。
決定論的軌道が非決定論的軌道を生成する。
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
44
カントール集合とフラクタル次元 I
第nステップを考える。
1
n=0
n=1
1/3
●
1/3
●
●
●
●
●
カントール集合
⎛1⎞
線分の長さ：Ln = ⎜ ⎟
⎝3⎠
線分の個数：N n = 2n
n
n無限大での，全線分の合計
の長さL は？
n
⎛2⎞
L = lim N n Ln = ⎜ ⎟ = 0
n →∞
⎝3⎠
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
45
カントール集合とフラクタル次元 II
第nステップを考える。
1
n=0
n=1
1/3
●
1/3
●
●
●
●
●
カントール集合
⎛1⎞
線分の長さ：Ln = ⎜ ⎟
⎝3⎠
線分の個数：N n = 2n
n
フラクタル次元D：
「線分」が隙間なく埋めること
のできる空間の次元。
1D
= Nn
D
Ln
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
46
カントール集合とフラクタル次元 III
⎛1⎞
線分の長さ：Ln = ⎜ ⎟
⎝3⎠
線分の個数：N n = 2n
n
1D
= Nn
D
Ln
D：フラクタル次元
Dの計算
D
⎛ 1 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = N n
⎝ Ln ⎠
log N n
log⎛⎜ 1 ⎞⎟
⎝ Ln ⎠
log 2n n log 2
=
=
log 3n n log 3
log 2
=
≈ 0.631
log 3
D=
⎛ 1 ⎞
D log⎜⎜ ⎟⎟ = log N n
⎝ Ln ⎠
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
47
コッホ曲線 I
第nステップを考える。
⎛1⎞
線分の長さ：Ln = ⎜ ⎟
⎝3⎠
線分の個数：N n = 4n
n
n無限大での，全線分の合計の長さL
は？
n
⎛4⎞
L = lim N n Ln = ⎜ ⎟ = ∞
n→∞
⎝3⎠
本州の周辺の長さは，∞大？
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
48
コッホ曲線 II
⎛1⎞
線分の長さ：Ln = ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
線分の個数：N n = 4n
n
フラクタル次元D：
「線分」が，重ならずに，しかも隙間
なく埋めることのできる空間の次元。
1D
= Nn
LDn
log N n
log⎛⎜ 1 ⎞⎟
⎝ Ln ⎠
log 4
=
≈ 1.26
log 3
D=
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
49
シェルピンスキーの三角形 I
第nステップを考える。
1
n=0
n =1
n=2
n=3
⎛1⎞
三角形の辺の長さ：Ln = ⎜ ⎟
⎝2⎠
黒三角形の個数：N n = 3n
n無限大での，黒三角形の合計の面
積 S は？
n
⎛ 3⎞
S = lim N n Ln = lim ⎜ 2 ⎟ = 0
n→∞
n→∞ ⎝ 2 ⎠
2
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
50
n
シェルピンスキーの三角形 II
フラクタル次元D：
「線分」が隙間なく埋めることのでき
る空間の次元。
⎛1⎞
三角形の辺の長さ：Ln = ⎜ ⎟
⎝2⎠
黒三角形の個数：N n = 3n
n
log N n
log⎛⎜ 1 ⎞⎟
⎝ Ln ⎠
log 3
=
≈ 1.58
log 2
D=
1
n=0
n =1
2007/5/21　有光敏彦
1D
= Nn
LDn
n=2
n=3
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
51
シェルピンスキーのカーペット
各自，考察せよ。
2007/5/21　有光敏彦
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
52
カオス軌道と初期値依存性
x_(n+1)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
x_(n+1)
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
0.5
ー0.5
x_n
x_n
1
0
0
L
R
I
LL LR RL RR
2007/5/21　有光敏彦
カオス軌道が初期値に敏感に依存す
ることが，逆写像の自己相似集合の
存在により理解される。
初めて学ぶ物理学 I ：自然の仕組み
53

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