講義概要
Ⅰ部 Ｃ科 ３年
メディアと信号処理
様々なメディアに対する
信号処理の
基本理論を解説
講師： 金田 豊
講義：木曜 第４時限
信号処理技術とは
メデイア信号処理 の例
◇ 変形した、汚れた、信号をきれいにする
◇ 音や画像信号を聞き（見）やすく変える
雑音の除去、音質（画質）改善
◇ 音や画像信号からの情報抽出
◇ 音や画像の認識・理解
◇ 音や画像の合成、生成
◇ 見えない信号を見えるようにする
◇ 信号の理解（意味情報抽出）
◇ 信号を作り出す（合成）
信号処理の 基本理論
１．フーリエ変換
（周波数分析）
２．最小２乗法
３．相関関数
信号処理は、メディア分野だけではなく、
通信、情報、計測など、多数の分野における
重要な基本技術である。
信号処理と数学の関連性
１．フーリエ変換 （周波数分析）
信号理論、微分・積分
２．最小２乗法
微分、線形代数
３．相関関数
確率・統計
これまで学んできた、数学や専門科目が
どのように役立つかを紹介してみたい。
1
ディジタル信号 （2進数表示）
272 800
800 544
-272 -272
0
0
-800 -800
0
0
0 272
0 272
-800 -272
544 1024
-544 -800
272
0
0 -544
-2688 -1024
-1024 272
-3456 -2432
2432 2688
0 -272
-3200 -2432
-2432 -3200
2432 3968
-1024 2688
-272 -2048
544 272
5760 6272
3200 1024
-2048 -3456
-12672-11648
-4736 -7296
4736 4480
1024
272
-272
-544
-1024
-272
272
272
-800
1344
-1024
272
-1344
544
2048
-3584
4480
-1024
-1792
-4992
2944
4992
1024
-1792
7296
-1024
-6528
-9600
-9088
2432
272 272 272
272 272
0
0 272
0
-272 -272 -272
-1344 -1344 -1344
-544 -544 -544
800 272 -544
544 1344 1344
-800 -544 -800
1344 1024 1024
-2048 -2688 -2688
800 272
0
-1600 -1344 -800
3200 1792 4736
2688 1792 1792
-3840 -3200 -3584
5248 5760 6784
-2688 -2944 -3584
-2432 -2944 -4480
-4992 -4992 -4736
1344 1344 1024
4992 3456 2688
544 3584 4480
-544 -800 -1024
9600 8576 9088
-1600 -2944 -3968
-7296 -7040 -2944
-6784 -3200 544
-9600-10624-10112
-1344 -4480 -4480
544
0
0
0
-1344
-544
-800
1024
-1600
1600
-2432
0
-800
800
0
-3200
6272
-5248
-5248
-3968
800
2048
5760
-1344
8064
-4480
0
3584
-9600
-1792
0
0
0
-272
-1344
-544
-800
800
-800
2048
-1344
0
-1024
544
1024
-3584
7040
-5760
-4992
-3584
2048
272
4480
-1024
8064
-4992
-1792
4992
-7296
-544
-272
0
0
-544
-1344
-800
-1024
544
-544
1792
-1344
0
2432
-1600
1344
-2688
7296
-5248
-4736
-2688
2688
-4480
3968
0
6528
-4480
-4736
3584
-3584
-1344
-272
0
272
-272
-1024
-544
-1024
544
-544
1344
-1600
544
-800
-5760
1792
-1792
7040
-4992
-4736
-2048
5504
-3456
800
0
5760
-4480
-6272
1344
1024
-2688
0
-272
272
-544
-800
-544
-1024
800
0
1344
-1344
1024
1600
-2944
2944
544
6016
-4736
-4736
-2048
4480
-1792
800
544
5504
-3456
-6784
-1344
4480
-1600
544
-800
0
-544
-544
-272
-1344
272
0
800
-800
0
-2432
-3200
2048
2688
4480
-3840
-3584
-2432
3200
-2048
800
1792
5248
-3584
-7296
-3584
5760
-272
ディジタル信号 （波形表示）
272
-272
0
-544
-272
544
-1344
0
-272
-272
0
0
-1344
0
2432
3200
3200
-3584
-3584
-1600
3200
-2048
0
2432
4736
-3456
-8064
-4480
6784
800
(272)
(800)
0000000010001000 0000000110010000
272 544
0 -272
-272 -272
-272 -544
-272 -272
544 272
-544 -272
0 -544
-544 272
-272 -544
0 272
0
0
-800 -2048
-3584 800
1344 -1024
3456 2688
1024
0
-3584 -3456
-2688 -2432
544 1024
2048 2048
-1792 1024
544 -1600
3584 5504
3456 2688
-2944 -2048
-9088-12160
-3840 -2688
5248 3968
1344 1792
272 800
800 544
-272 -272
0
0
-800 -800
0
0
0 272
0 272
-800 -272
544 1024
-544 -800
272
0
0 -544
-2688 -1024
-1024 272
-3456 -2432
2432 2688
0 -272
-3200 -2432
-2432 -3200
2432 3968
-1024 2688
-272 -2048
544 272
5760 6272
3200 1024
-2048 -3456
-12672-11648
-4736 -7296
4736 4480
1024 272 272 272
272 272 272
0
-272
0 272
0
-544 -272 -272 -272
-1024
-1344 -1344 -1344
1500
-272 -544 -544 -544
272 800 272 -544
272 544 1344 1344
1000
-800
-800 -544 -800
1344 1344 1024 1024
-1024 -2048 -2688 -2688
272500800 272
0
-1344 -1600 -1344 -800
544 3200 1792 4736
2048 2688
1792 1792
0
-3584 -3840 -3200 -3584
4480 5248 5760 6784
-1024 -2688 -2944 -3584
-500
-1792
-2432 -2944 -4480
-4992 -4992 -4992 -4736
2944 1344 1344 1024
4992
4992 3456 2688
-1000
1024 544 3584 4480
-1792 -544 -800 -1024
7296 9600 8576 9088
-1500
-1024
-1600
0 -2944 -3968
-6528 -7296 -7040 -2944
-9600 -6784 -3200 544
-9088 -9600-10624-10112
2432 -1344 -4480 -4480
本日の内容
544
0
0
0
-1344
-544
-800
1024
-1600
1600
-2432
0
-800
800
0
-3200
6272
-5248
-5248
-3968
800
2048
5760
-1344
8064
-4480
5
0
3584
-9600
-1792
0
0
0
-272
-1344
-544
-800
800
-800
2048
-1344
0
-1024
544
1024
-3584
7040
-5760
-4992
-3584
2048
272
4480
-1024
8064
-4992
-1792
4992
-7296
-544
0
-272
272
-544
-800
-544
-1024
800
0
1344
-1344
1024
1600
-2944
2944
544
6016
-4736
-4736
-2048
4480
-1792
800
544
5504
-3456
-6784
-1344
4480
-1600
544
-800
0
-544
-544
-272
-1344
272
0
800
-800
0
-2432
-3200
2048
2688
4480
-3840
-3584
-2432
3200
-2048
800
1792
5248
-3584
15
-7296
-3584
5760
-272
272
-272
0
-544
-272
544
-1344
0
-272
-272
0
0
-1344
0
2432
3200
3200
-3584
-3584
-1600
3200
-2048
0
2432
4736
-3456
-8064
-4480
6784
800
272 544
0 -272
-272 -272
-272 -544
-272 -272
544 272
-544 -272
0 -544
-544 272
-272 -544
0 272
0
0
-800 -2048
-3584 800
1344 -1024
3456 2688
1024
0
-3584 -3456
-2688 -2432
544 1024
2048 2048
-1792 1024
544 -1600
3584 5504
3456 2688
-2944 -2048
-9088-12160
-3840 -2688
5248 3968
1344 1792
ｅｊωｔ （複素平面）
２．フーリエ級数とフーリエ変換
2.1
2.2
2.3
2.4
-272 -272
0
0
0 272
-544 -272
-1344 -1024
-800 -544
-1024 -1024
544 544
-544 -544
1792 1344
-1344 -1600
0 544
2432 -800
-1600 -5760
1344 1792
-2688 -1792
7296 7040
-5248 -4992
-4736 -4736
-2688 -2048
2688 5504
-4480 -3456
3968 800
0
0
6528 5760
-448010-4480
-4736 -6272
3584 1344
-3584 1024
-1344 -2688
虚数軸
正弦波とその表現
フーリエ級数
複素正弦波を用いたフーリエ級数
パワースペクトル
1
0.8
ｅｊωｔ
0.6
0.4
ｓｉｎωｔ
0.2
実数軸
ωｔ
0
0
-0.2
ｃｏｓωｔ
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
ｅｊωｔ （複素平面＋時間軸）
-0.5
0
0.5
1
円運動と正弦波
虚数軸
虚数軸
虚数軸
時間軸
1
時間軸
0.8
ｅｊωｔ
0.6
0.4
実数軸
0.2
0
実数軸
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
実数軸
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
円運動 （複素正弦波）を
横から見ると 正弦波
虚数軸
時間軸
視点を変えると違ったものが見える
2
フーリエ級数（周波数成分とは）
時間軸と周波数軸
1.5
振幅軸
（大きさ）
振幅軸
（大きさ） 1
周波数軸
0.5
時間軸
0
-0.5
時間軸
-1
-1.5
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
本日の内容
◇ 先週の復習
長時間分析と短時間分析
◇ 講義
・ 微分と積分
2.5 フーリエ変換と
2.6 ＤＦＴ （離散フーリエ変換）
3 周波数分析と合成
3.1 周波数分析
3.2 長時間分析
◇ デモ
◇ 簡単な問題
長時間分析の利点①
－ 高い周波数分解能－
分析時間 10秒： 長時間分析
成分の大きさ [dB]
2
相対振幅
微小な周期信号の検出
100
3
1
0
-1
-2
-3
長時間分析の利点②
２つの正弦波が
分離して見える
ｙ＝（500Hz正弦波）＋（505Hz正弦波）
0
1
2
3
4
5
時間 [秒]
6
7
8
9
80
60
40
20
300
10
分析時間 0.3秒： 短時間分析
3
100
350
400
融合
450
周波数 [Hz]
500
450
周波数 [Hz]
500
550
600
550
600
成分の大きさ [dB]
相対振幅
2
1
0
-1
-2
-3
0
1
2
3
4
5
時間 [秒]
6
7
8
9
10
80
60
40
20
300
350
400
時間→
分解能は積分時間に比例する
周波数→
3
波形（時間領域）で見た信号
波形（時間領域）で見た信号
4
正弦波
750Hz
4
正弦波
750Hz
2
0
-2
-4
0
1
2
3
4
5
6
7
x 10
雑音
2
0
-4
0
1
2
3
4
5
6
7
雑音
4
6
7
8
x 10
-3
x 10
-3
x 10
-3
2
0
-4
正弦波
＋ 雑音
2
0
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
7
2
0
-2
-4
8
0
1
2
3
4
5
6
7
-3
8
時間→
時間→
周波数スペクトルで見てみると
パルス信号（小レベル）の場合
正弦波が、
はっきり見える
100
正弦波
90
80
雑音
70
パルス
信号
500Hz
時間
4
2
0
-2
-4
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
4
雑音
60
2
0
-2
50
-4
40
4
パルス
＋ 雑音
30
20
0
1000
2000
周波数 [Hz]
3000
4000
2
0
-2
-4
時間→
周波数 ［Hz］
周波数スペクトルで見ると
まとめ
周期信号の倍周波数構造が見える
100
90
80
70
成分の大きさ [dB]
5
4
x 10
成分の大きさ [dB]
3
-3
-2
-4
2
-2
4
正弦波
＋ 雑音
1
4
8
x 10
0
-3
正弦波が含
まれているこ
とがわかりづ
らい
-2
0
-4
8
4
2
-2
60
50
40
30
20
0
500
500
1000
1500
2000
周波数 [Hz]
2500
周波数 ［Hz］
3000
3500
4000
信号を、
周波数領域で表して見ると、
時間領域では見えなかった
◇ 微小な信号も検出することができる
応用：車の回転音故障診断
心電図、脳波などの解析
電波望遠鏡、他
◇ 信号の性質を把握することができる
4
フーリエ変換 （アナログ）
離散フーリエ変換 （DFT）
フーリエ変換（周波数 分析）
フーリエ変換（周波数 分析）
X ( ) x (t ) e j t dt
X ( ) x (t ) e j t dt
フーリエ逆変換（信号 合成）
1
2
x (t )
X ( ) e j t d
ディジタル信号
ｘ(2)●
ｘ(1)
ｘ(t)
●
１
0
３
２
T
積分のディジタル化
ｘ(t)： アナログ信号
ｘ(n) （n＝0,1,2,3 ･･･）
時間 ｎ ：それを標本化した
ディジタル信号
●
ｘ(3)
●
ｘ(0)
４
●
x ( 0)
x (1)
x ( 2)
x (3)
ディジタルでは、
信号は数ベクトル
ｘ（ｔ）
Ｔ
ｘ(3)
ｘ(2)
ｘ(1)
ｘ(0)
ｔ
0 Δｔ 3Δｔ 5Δｔ 7Δｔ
2Δｔ 4Δｔ 6Δｔ
Δｔ
実際の信号の積分は、
手計算ではできない。
Ｔ
ｘ(3)
ｘ(2)
ｘ(1)
ｘ(0)
0 Δｔ 3Δｔ 5Δｔ 7Δｔ
2Δｔ 4Δｔ 6Δｔ
Δｔ
T
0
x (t ) d t
lim
t 0
近似
積分の定義
T /t
x (n t ) t
n0
無限個の和となるので
パソコンではできない
Δｔ＝1 を考える
T /t
x(n)
n0
x ( 0 ) x (1) x ( 2 ) x ( 3)
ディジタル化して、
パソコンで足し算
積分の行列表示
ｘ（ｔ）
信号の
離散化
積分の
離散化
ＤＦＴ （離散フーリエ変換）
ベクトルを使って表示
T
0
x (t ) d t
積分の近似は足し算
x ( 0) x (1) x ( 2 ) x (3)
1 x (0 ) 1 x (1) 1 x ( 2 ) 1 x (3)
x ( 0 ) ベクトル ｘ
x (1)
1 1 1 1
x ( 2)
x (3)
線形代数的には、
積分は内積
N 1
X ( p ) x ( n ) e j ( 2 / N ) np
X ( ) x (t ) e j t dt
n0
宿題： ディジタル信号 ｘ(0)，ｘ(1)，ｘ(2)，ｘ(3) に対する Ｎ＝4 の場合のＤＦＴ、
周波数スペクトル は Ｘ(0)，Ｘ(1)，Ｘ(2)，Ｘ(3)
n 0 n 1 n 2 n 3
p0
X ( 0 ) x ( 0 ) 1 x (1) 1
x ( 2) 1
x ( 3) 1
p 1
p2
p3
X (1) x ( 0 ) 1 x (1) e j ( 2 / 4 )
x ( 2 ) e j ( 2 / 4 ) 4 x ( 3) e j ( 2 / 4 ) 6
j ( 2 / 4 ) 3
x ( 2 ) e j ( 2 / 4 ) 6 x ( 3) e j ( 2 / 4 ) 9
X ( 2 ) x ( 0 ) 1 x (1) e
X (3) x ( 0 ) 1 x (1) e
x ( 2 ) e j ( 2 / 4 ) 2 x ( 3) e j ( 2 / 4 ) 3
j ( 2 / 4 ) 2
5
ｅ ｊθ
ＤＦＴ （離散フーリエ変換）
虚
e
ｊ
-１
e j 2 j
ｅ ｊθ
θ
e j 1
１ 実
N 1
X ( p ) x ( n ) e j ( 2 / N ) np
1
j0
e j 3 2 j
-ｊ
n0
ディジタル信号 ｘ(0)，ｘ(1)，ｘ(2)，ｘ(3) に対する Ｎ＝4 の場合のＤＦＴ、
周波数スペクトル は Ｘ(0)，Ｘ(1)，Ｘ(2)，Ｘ(3)
n 0 n 1 n 2 n 3
p0
X ( 0 ) x ( 0 ) 1 x (1) 1
x ( 2) 1
x ( 3) 1
p 1
j ( 2 / 4 )
X (1) x ( 0 ) 1 x (1) e-ｊ
j ( 2 / 4 ) 2
2 / 4 ) 4
X ( 2 ) x ( 0 ) 1 x (1) e-1
x ( 2) e j (1
x (3) -1
e j ( 2 / 4 ) 6
p3
( 2 / 4 ) 6
j ( 2 / 4 ) 9
X (3) x ( 0 ) 1 x (1) e ｊj ( 2 / 4 ) 3 x ( 2 ) e j-1
x (3) e-ｊ
ＤＦＴ の行列表現
ＤＦＴ の行列表現
N 1
N 1
X ( p ) x ( n ) e j ( 2 / N ) np
X ( p ) x ( n ) e j ( 2 / N ) np
n0
X ( 0 ) 1
X (1) 1
X ( 2 ) 1
X ( 3) 1
1
j
1
j
1
1
j
1 1
1 j
1
j ( 2 / 4 ) 2
x ( 2 ) e -1
x (3) e ｊ j ( 2 / 4 ) 3
p2
n0
x (0)
x (1)
x (2)
x ( 3)
X ( 0 ) 1
X (1) 1
X ( 2 ) 1
X ( 3) 1
1
j
1
j
1
1
j
1 1
1 j
1
アナログでは積分
x (0)
x (1)
x (2)
x ( 3)
X ( ) x(t ) e j t dt
フーリエ変換は、ディジタルでは行列演算
本日の内容
ＤＦＴ の行列表現
N 1
X ( p ) x ( n ) e j ( 2 / N ) np
3.3 短時間分析
n0
X ( 0 ) 1
X (1) 1
X ( 2 ) 1
X ( 3) 1
1
j
1
j
1
1
j
1 1
1 j
1
x (0)
x (1)
x (2)
x ( 3)
アナログでは積分
X ( ) x(t ) e j t dt
長時間：耳を澄ます
3.4 フーリエ変換に基づいた信号の合成
3.5 スペクトルの振幅と位相
ユニタリ行列
（直交行列）
座標軸の変換
時間軸と周波数軸の変換
6
母音の短時間スペクトル
短時間分析の例（音声）
「い」
「あ」
「う」
GoldWave
aiueok_fem1_stereo.wav
方形波は正弦波の和として合成できる
スペクトルグラムの例
ｘ(t) ＝ ｓｉｎ(ωt) ＋1/3･ｓｉｎ(3ωt)
＋1/5･ｓｉｎ(5ωt) ＋1/7･ｓｉｎ(7ωt)
＋ ・・・・・
周
波
数
ba kuon ga
g i nse kaino ko gen ni hiro garu
時間
bakuon0.wav
2
2
1
1
0
0
-1
-2
2
20
40
60
80
0
-1
-1
1
1
sin t sin 3t sin 5t
3
5
0
20
40
60
80
-2
20
40
60
80
1
1
sin t sin 3t sin 5t
3
5
1
sin 7t
7
1
1
sin 5t
5
0
-2
0
2
1
sin t sin 3t
3
1
-2
1
sin 3t
3
1
sin t sin 3t
3
-1
0
周波数スペクトル
sin t
sin t
20
40
60
1
含まれている正弦波の大きさを表すグラフ
1
1
1
1sin t sin 3t sin 5t sin 7t
3
5
7
1/3
1/5
ω0
2ω0 3ω0
1/7
4ω0 5ω0 6ω0 7ω0
周波数
ω
注）これは振幅スペクトル ⇔ パワースペクトルは２乗
1
1
1
1sin t sin 3t sin 5t sin 7t
3
5
7
0
成
分
の
大
き
さ
80
7
2
方形波 の合成
1
基本波
2
＋ 3倍波
2
1
1
＋ 5倍波
2
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
0
0
0
-1
-1
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
0
50
100
150
-2
＋ 7倍波
2
0
50
2
100
150
＋ 9倍波
1
1
0
0
0
-1
-1
-1
0
50
100
150
-2
＋ 13倍波
2
0
50
100
150
＋ 15倍波
2
-2
1
1
0
0
0
-1
100
-2
0
150
50
＋ 11倍波
0
50
100
150
-2
50
100
150
-2
50
100
150
＋ 17倍波
50
100
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
50
150
1 sin t
1
1
1
sin 2t sin 3t sin 4t
2
3
4
0
50
100
150
0
0
50
周波数
ω
4ω0 5ω0 6ω0 7ω0
150
＋ 4倍波
-2
0
1
0
0
-1
-1
0
50
100
150
＋ 5倍波
2
1
-2
0
50
100
150
＋ 7倍波
-2
-2
0
50
100
150
-2
＋ 8倍波
1
1
1
0
0
50
100
150
-2
150
0
50
0
50
100
150
100
150
＋ 9倍波
0
-1
0
100
＋ 6倍波
0
2
-2
50
-1
2
-1
0
2
1
-1
2
注）これは振幅スペクトル ⇔ パワースペクトルは２乗
100
＋ 3倍波
2
1
-1
2
1/4
＋ 2倍波
2
1
0
-2
2ω0 3ω0
基本波
2
-1
1/2
ω0
-2
100
1
1
1
1
1 sin t sin 2t sin 3t sin 4t
2
3
4
1/3
1
sin 4t
4
のこぎり波 の合成
含まれている正弦波の大きさを表すグラフ
1
150
0.5
0
1
1
sin t sin 2t sin 3t
2
3
150
100
1
-2
0
50
2
0.5
0
1
sin t sin 2t
2
1.5
周波数スペクトル
成
分
の
大
き
さ
0
1
1
sin t sin 2t sin 3t
1
2
3
sin 3t
3
1
-1
0
150
1
sin t sin 2t
2
2
0
-2
100
1.5
2
1
-1
50
2
1
-2
0
sin t
1.5
-1
-2
1
sin 2t
2
2
sin t
1.5
-1
0
50
100
150
-2
信号の合成 （オーボエ風）
信号の合成 （フルート風）
0.5
0.5
500Hz
0
1000Hz
0.3
1500Hz
0.1
2000Hz
-0.5
1.00
∑
0
-0.5
0.03
200Hz
1.00
600Hz
0.5
1000Hz
0.35
1400Hz
0.25
∑
-1
-1
-1.5
-1.5
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0
0.05
情報圧縮の
可能性！
0.1
0.15
8
信号の合成 （パルス信号）
信号の合成 （音声：母音）
0.2
0
-0.2
-0.4
ｆ0
2ｆ0
3ｆ0
4ｆ0
5ｆ0
6ｆ0
7ｆ0
8ｆ0
9ｆ0
10ｆ0
250Hz (1)
0.2
0
-0.2
-0.4
5020
5040
5060
5080
5100
5120
5140
5160
5180
5200
5020
5040
5060
5080
5100
5120
5140
5160
5180
5200
5020
5040
5060
5080
5100
5120
5140
5160
5180
5200
500Hz (0.6)
0.2
0
-0.2
-0.4
750Hz (0.25)
0.2
0
-0.2
-0.4
∑
1000Hz (0.6)
5020
5040
5060
5080
5100
5120
5140
5160
5180
5200
5020
5040
5060
5080
5100
5120
5140
5160
5180
5200
0.5
0
-0.5
Σ
-0.025
情報圧縮
信号 の合成 （まとめ）
0.5
0
-1.5
0
-0.5
-1
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
-1.5
0
0.01
0.015
0.02
0.025
全ての周波数成分を等振幅で
足すと、パルス信号になる。
人間の耳は、位相の違いを感じない。
例外）過渡信号
0.03
-1
0.005
位相が違い、波形が異なっていても、
音は同じに聞こえた。
0.1
-0.5
0
0
聴覚と位相
両者とも、振幅スペクトルは等しい
0.3
-0.005
各正弦波の位相成分（位相スペクトル）は、
信号の合成に
どのような影響を与えるのだろうか？
位相の違いによる信号の違い
0
-0.01
これまでは、
周波数成分の比率（振幅スペクトル）
に注目してきた。
いろいろな周波数の正弦波を
適当な比率で加え合わせることで、
あらゆる信号を合成できることができる
というフーリエ変換の意味が理解できる
1.00
-0.015
位相の働き
パルス信号のような孤立信号でも
正弦波を使って合成できた
0.5
-0.02
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
聴覚を対象としたメディア （音声や音楽）
では、位相はあまり重要ではない。
→ 振幅スペクトルを重視
合成された波形が違う
9
位相が重要な場合
本日の内容
このように、周波数成分が含まれている比率
（振幅スペクトル） のみが重要な応用は、
聴覚対象以外にも多数存在
しかし、信号波形が重要な応用では、
位相成分も重要
例）
・ 能動騒音制御 （正負が逆の音で騒音を消す）
・ 視覚情報（画像）
低域フィルタによる
音楽・音声の周波数帯域制限
４．フィルタ
4.1 フィルタとは？
4.2 周波数特性
4.3 周波数選択フィルタ
4.3.1 低域通過フィルタ
4.3.2 周波数選択フィルタのいろいろ
4.3.3 適用例
低域（通過）フィルタ（高域遮断）による雑音低減
sp_wn_01_02.wav
低域通過フィルタの特性
利
得
sp_wn_01_02_05kbnd.wav
周波数［Hz］
1k 2k 4k
8k
16k
20k
電話 AM
FM
ＣＤ
帯域制限 → 情報量が低減する
→ 1本の電話線（電波）にたくさんの通話
「距離測定」の原理
音声区間検出
明瞭性とは別
現実の測定環境
測定電波
電波が往復した時間
時間
測定信号
発射
距離 =
反射信号
受信
波の速度 ×波が往復した時間
遠方になると
反射波は
小さくなる
妨害電波
２
10
「信号検出」の必要性
フィルタによる「信号検出」
音が往復した時間
音が往復した時間
時間
測定信号
発射
反射信号
受信
時間
測定信号
発射
雑音に埋もれ
た反射音を
検出する
必要がある
「距離測定」 が 使われる例
反射信号
受信
信号とは異な
る周波数成
分を、フィルタ
で除去
複素数の基礎
電波
・ レーダー （気象・軍事）
水中音波：
・ 潜水艦のソナー
・ 魚群探知機
空中超音波：
・ 自動車の障害物との距離（ソナー）
・ カメラの被写体との距離
生体
・ 超音波診断装置
などなど
◇ 複素数 出力信号の振幅スペクトル |Ｙ(ω)| とは、
複素数 Ｙ(ω) の「絶対値」
◇ 複素数 a ＋ ｊｂ の 「絶対値」は、
√（ａ2＋ｂ2） ← √｛（実数部）2＋（虚数部）2｝
◇ オイラーの定理
ｅ - ｊωτ ＝ cos(ωτ) ＋ ｊ sin(ωτ)
◇ |ｅ - ｊωτ| ＝ √ ｛cos(ωτ)｝2 ＋ ｛sin(ωτ)｝2
＝１
先週の問題の解答
宿題の解答 (1)
（ 正解 ）
Ｙ(ω) ＝ Ｈ(ω) Ｘ(ω)
f (t )
Ｈ(ω) ＝ ｅ - ｊωτ なので、代入して、
Ｙ(ω) ＝ ｅ - ｊωτ Ｘ(ω)
よって、
| Ｙ(ω)| ＝ | ｅ - ｊωτ Ｘ(ω) |
＝ | ｅ - ｊωτ | ・｜Ｘ(ω) | ＝ ｜Ｘ(ω) |
時間
0
ｔ
周期 Ｔ
d
f (t )
dt
d2
f (t )
dt 2
1
0
-1
0
時間
ｔ
時間
ｔ
１
11
宿題の解答(2)
宿題の解答(3)
1
f (t )
時間
0
ｔ
周期 Ｔ
d
f (t )
dt
n
n 1
2
cos( n 0 t )
0
時間
0
-1
ｔ
f (t )
0
1
sin( n 0t )
n 1 n
n 1
ｔ
周期 Ｔ
積分
微分
1
d
f (t )
dt
ｔ
1
sin( n 0t )
n 1 n
ｔ
低域通過フィルタ ＝ 高域カット
１
fc2 以上をカット
ＬＰＦ
時間
0
ｔ
高域通過フィルタ ＝ 低域カット
fc1 以下をカット
１
ＨＰＦ
低域通過フィルタ
直列に接続 （周波数特性の掛け算）
ＬＰＦ
ＨＰＦ
１
周波数
ｆc1 ｆc2
ｆc1 ｆc2
本日の内容
4.3 周波数選択フィルタ
4.3.3 適用例
（高域フィルタ、帯域フィルタ）
4.4 画像と周波数
fc1 以下を通過
周波数
高域通過フィルタ
ＨＰＦ
ｆc1
fc2 以上を通過
１
周波数
並列に接続 （周波数特性の足し算）
帯域通過
１
cos( n 0 t )
ＬＰＦ
周波数
ｆc1
0
宿題の解答(5)：
帯域除去フィルタを作るブロック図
周波数
ｆc2
積分
微分
n 1
宿題の解答(5)：
帯域通過フィルタを作るブロック図
積分
n：奇数
d2
f (t )
dt 2
時間
0
cos( n 0 t )
時間
0
-1
2
0
微分
1
n：奇数
d2
f (t )
dt 2
1
n
時間
ＬＰＦ
ＨＰＦ
ｆc2
帯域除去
１
周波数
ｆc1 ｆc2
高域通過フィルタによる雑音低減
s_n_500lpf_01.wav
s_n_500lpf_01_hpf.wav
12
例
信号と画像 の 例 （白黒図形）
例えば、こういう信号（方形信号）の集まり。
0
1
0
0
1
1
0
0
各横線を信号として
表示
0
0
1
0
0
0
0
信号の値は、
各横線上の濃淡
を表す
（ １：白、 ０：黒 ）
信号の値は１と０。
１は白、０は黒。
この信号から
四角が描ける。
信号と画像 の 例 ： 濃淡図形
一般の画像も信号の集まり
１と０以外の値を
とることで、
濃淡画像が描ける
AZ:1, El:-86
一本の横信号
一本の横信号
明
2 5 0
2 5 0
2 0 0
2 0 0
1 5 0
1 5 0
1 0 0
1 0 0
5 0
5 0
暗
0
0
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
2 5 0
3 0 0
3 5 0
4 0 0
0
4 5 0
0
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
2 5 0
3 0 0
3 5 0
4 0 0
4 5 0
個々の横信号は、
・ 正弦波に分解できる
画像は周波数成分を持つ
AZ:1, El:-86
AZ:1, El:-86
13
低い周波数（基本波）
３倍周波数
画像とフィルタ
周波数と波形
・ 波形の角ばった部分、急激な変化部には、
高い周波数が含まれる。
→ 角や急激な変化を表すためには、
高い周波数が必要
→ 高い周波数が含まれないと、
角や急激な変化がなまってしまう。
このように、画像は、縦方向と横方向に
周波数成分を持っている。
したがって、
特定の周波数成分を除去したり、取り出したり、
などのフィルタ操作が実行できる。
方形波 の合成
基本波
2
＋ 3倍波
2
方形波の高周波成分をカット
＋ 5倍波
2
1
1
1
1
0
0
0
0.8
-1
-2
-1
0
50
2
100
150
＋ 7倍波
1
-2
-1
0
50
2
100
150
＋ 9倍波
1
-2
50
100
150
＋ 11倍波
1
0
0
0
-1
-1
-2
-2
-2
0.4
0.2
0
50
100
150
＋ 13倍波
2
0
50
100
150
＋ 15倍波
1
1
0
0
0
-1
-1
-1
-2
0
50
0.04
4倍以上をカット
0.02
-0.4
0
50
2
1
8倍以上をカット
0
-0.2
2
1
16倍以上をカット 0.08
0.6
0
2
-1
方形波
（199 倍波まで）
-2
-2
角を表現するには、高い周波数が必要
100
150
0
50
100
150
0
50
100
150
＋ 17倍波
-0.6
情報の量
-0.8
-1
700
100
150
800
高周波成分をカットすると、
波形の角がとれ、丸くなる。
900
1000
1100
1200
1300
14
画像と低域フィルタ の 例
画像と低域フィルタ の 例
4倍周波以上の周波数を
低域フィルタでカット
高周波成分をカットすると、
情報量は削減できるが、
画像のふちがぼける
200倍周波まで含む
画像のプログレッシブ伝送・表示
ドットではなく周波数成分を伝送
２次元フーリエ変換
周波数成分の数
ｆ2
ｆ2
180×225 ＝ 40ｋ
100％
100×100 ＝ 10ｋ
25％
180
0
50×50 ＝ 2.5ｋ
6％
25×25 ＝ 0.6ｋ
1.5％
225
MAT Demo： imag_lpf_demo02
ｆ１
ｆ1
MAT Demo： imag_lpf_demo03
低周波数成分を逆変換 (1)
ｆ2 180
低周波数成分を逆変換 (2)
1.5 %
25×25 ： 1.5％
ｆ2 180
50
6%
50×50 ： 6％
50
100
100
150
150
200
200
250
250
300
225
ｆ１
300
350
50
100
150
200
250
300
350
400
225
350
50
100
150
200
250
300
350
400
ｆ１
15
低周波数成分を逆変換 (3)
低周波数成分を逆変換 (3)
ｆ2 180
25 %
100×100 ： 25％
ｆ2 180
50
50
100
100
150
150
200
200
250
250
300
225
25 %
100×100 ： 25％
300
225
350
50
100
150
200
250
300
350
400
ｆ１
ｆ１
1/4 圧縮でも原画像と遜色なし
350
50
100
150
200
250
300
350
400
50
100
150
200
250
300
350
400
原画像 （450×360 ドット）
原画像
50
100
150
フーリエ変換の効果
200
250
300
350
微分（差分）の効果： 音
本日の内容
4.5 微分・積分のフィルタ効果
4.6 いろいろなフィルタ
◇ 原音
◇ １回差分
◇ ２回差分
◇ ３回差分
微分（差分）の効果： 画像
微分（差分）の効果： 画像
明
2 5 0
2 0 0
1 5 0
1 0 0
5 0
暗
0
0
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
2 5 0
3 0 0
3 5 0
4 0 0
4 5 0
エッジの強調効果
AZ:1, El:-86
16
微分（差分）の効果： 画像
微分（差分）の効果： 聴覚
定常騒音
（パワーの変化が小さい）
50
100
非定常騒音
（パワーの変化がある）
150
200
250
聴覚も微分効果を持つ
300
350
50
100
150
200
250
300
350
400
変化が耳に付く
エッジの強調効果
異常の検出 （虫が鳴きやんだ）
積分（平均化）の効果： 音声
積分（平均化）の効果： 音声
0.12
0.2
0.1
0.1
0.08
0
0.06
-0.1
-0.2
0.04
0.02
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0.1
-0.02
0
-0.04
-0.1
-0.06
0
0.2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
-0.2
50
いろいろなフィルタ
◇ グラフィックイコライザ
逆フィルタの例 (1)
◇ ディジタル信号の伝送系（アナログ）
0 1010
伝送系
Ｈ(f)
変形
逆フィルタ
1 / Ｈ(f)
17
逆フィルタの例 (2)
逆フィルタの例 (2)
◇ スピーカの特性の補正
スピーカの周波数特性
10
0
-10
-20
-20
相対パワー[dB]
相対パワー[dB]
0
-10
逆フィルタ
（スピーカの特性
をキャンセル）
逆フィルタの周波数特性
10
-30
総合の周波数特性
-30
-40
10
-40
-50
0
-50
-10
0
1000
2000
3000
4000
5000
-60
0
6000
1000
2000
3000
4000
5000
-20
6000
相対パワー[dB]
-60
周波数[Hz]
周波数[Hz]
-30
-40
-50
-60
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
周波数[Hz]
エコーマシン
音声生成の数学モデル
入力
Ｅ（ｚ）
音源信号
（微細構造）
エコー
声道（全極モデル）
声帯
声道
フィルタ
１
Ａ（ｚ）
出力
＋
Ｙ（ｚ）
出力を遅ら
せて荷重和
×
遅延
0.85
50ms
ｃ
Ｉ Ｉ Ｒフィルタ
（スペクトル包絡）
声の大きさ
高さ
音色
先週の問題
本日の予定
アナログ
◇ 先週の問題・先々週の宿題
◇ 先週の宿題
◇ 本日の内容
最小２乗法の導入
積分 y (t )
t
0
x ( ) d
微分 z (t ) d y (t )
dt
ディジタル（近似）
k
(1)
y (k ) x(n)
(2)
n0
(3) z ( k ) y ( k ) y ( k 1) (4)
① アナログでは、ｘ(t) を積分した信号 ｙ(t) を微分した信号 ｚ(t)は、
ｚ(t)＝ｘ(t) となる。ディジタルではどうなるか？
式(4) の ｙ に、式(2) の関係を代入して、ｚ を ｘ で表せ。
18
先週の問題
先々週の宿題
式(4) の ｙ に、式(2) の関係を代入
k
y ( k ) x ( n ) (2)
z ( k ) y ( k ) y ( k 1)
n0
k
k 1
n0
n0
(4)
解答例
z (k ) x(n) x(n)
x ( 0 ) x (1) x ( 2 ) x ( k 1) x ( k )
－）
１） 信号（例えば音声信号）に対して、微分および積分を
行うと、信号の周波数成分はどのように変化するか ？
（ 可能ならその根拠を示す。当てずっぽうでも可）
x ( 0 ) x (1) x ( 2 ) x ( k 1)
x (k )
d
sin t cos t
dt
1
sin t
2
sin t dt cos t
1
sin t
2
d
f t jF ( )
dt
先々週の宿題 （式を使わない解答）
微分は
傾き
sin t
時間
ｔ
先々週の宿題 （式を使わない解答）
積分は
面積
sin t
＋
－
時間
ｔ
＋
－
周波数が高いほど、傾きは大きい
→ 微分値は大きい → 高周波成分が強調
先週の宿題 ①
◇ 平面上の２点を通る直線
２点（ ｔ1, ｙ1）， （ ｔ2, ｙ2）を通る直線
直線
ｙ ＝ ａｔ ＋ ｂ
ｙ2
ｙ１
ｔ１
ｔ2
時間
y1 a t1 b
y2 a t 2 b
周波数が低いほど、（半周期の）面積は大きい
→ 積分値は大きい → 低周波成分が強調
先週の宿題 １） （２点を通る直線）
◇ 平面上の２点
（ 2, 2），（ 4, 3）を通る直線
y1 a t1 b
y2 a t 2 b
ｙ ＝ ａｔ ＋ ｂ
2 ＝ 2ａ＋ｂ
3 ＝ 4ａ＋ｂ
を満たす。この連立方程式を解いて、ａ＝0.5、ｂ＝1
を得る。 このａ，ｂを代入して、直線は、 ｙ＝0.5ｔ＋1
19
先週の宿題 ２） （３点を通る直線）
◇ 平面上の３点
（ 2, 2），（ 4, 3）, （ 6, 5）を通る直線
ｙ3
ｙ
7
6
5
4
3
2
１
先週の宿題 ②
直線
ｙ ＝ ａｔ ＋ ｂ
ｙ2
ｙ＝0.5ｔ＋1
方程式の数
＞ 未知数の数
ｙ１
ｔ１
0 １ 2 3 4 5
6
7
ｔ
ｔ2
ｔ3
近似直線
「答は無い」 が答
ｙ2
理系の魅力？
・ 工学では、
・ 社会では、
ｙ１
３点を通る直線は無い
ｙ2
ｙ１
それでは許されない
時間
ｔ3
最も良く近似する直線
を求める
ｙ3
直線
ｙ ＝ ａｔ ＋ ｂ
ｔ2
解は無い
どの直線が「より近い」のか？
・ 高校数学
ｔ１
時間
（一般に） ３点を通る直線は無い
先週の宿題 ３）
ｙ3
y1 a t1 b
y2 a t 2 b
y a t b
3
3
ｔ１
ぴったりの答がなければ、
「より近い」答を求める
ｔ
2
ｔ
3
時間
「良さ（悪さ）」を
数値化して
最大（最小）な
直線を求める
「より近い」もので満足してもらう
「悪さ」の数値化
近似直線
ｙ~ ＝ ａｔ ＋ ｂ
ｙ3
yi a ti b
ｅ2
が、最小となるような
近似直線を選ぶ
ｅ１
ｙ１
ｔ１
ｔ
近似誤差
ei yi ~
yi
ｅ3
ｙ2
信号処理の一般的方針
2
ｔ
3
時間
① 信号処理の目標を数値化
評価量 J を定める
（誤差、時間、エネルギ）
② 評価量 Ｊ を最小にするように
処理パラメータを最適化する
代表的最適化法 ⇒ 最小２乗法
20
誤差
①
は、データ点
（t1，ｙ１）、（ｔ2，ｙ2）、・・・ を表す
(直線近似の例)
ｅ5
ｙ2
③ 誤差 ｅ とは、
時刻 t1，ｔ2，・・・ における、
データ点 ｙ１，ｙ2, ・・・と
関数値 ｙ~(ｔi) との差
ｅ１
ｔ１
ｔ2
ｔ3
y f (t )
~
y (t ) a t b
ｔ4
ｔ
ｔ5
ei yi ~
y (ti )
yi a ti b
ei yi f (ti )
yi a ti b
at b
ｅ4
ａ と ｂ が直線のパラメータ
ｅ3
ｅ2
ｙ１
直線近似 ⇒
近似直線
ｅ5
を考える
ｅ4
ｙ2
5.2 平均２乗誤差 Ｊ
~
② パラメータを含んだ 実現式 y (t )
ｙ
ｅ3
ｅ2
誤差の２乗の平均
ｙ１
ｅ１
J
ｔ１
ｔ2
ｔ3
ｔ4
1 2 2
(e1 e2 eN2 )
N
ｔ5
近似直線と誤差ｅ
は、データ点 （t1，ｙ１）、（ｔ2，ｙ2）、・・・ を表す
誤差の大きさを表す
評価量
5.3 最小２乗法の原理
平均２乗誤差 Ｊ を最小にするパラメータ
平均２乗誤差 Ｊ を最小にするパラメータ
を求める方法
J は、パラメータ ａ，ｂの２次関数なので、
Ｊ を パラメータで偏微分して、0と置いた
連立方程式を解けばよい
例） 直線近似の場合、
1
J
N
1
N
N
e
i 1
2
i
N
(y
i 1
i
最小にすべき
評価量 Ｊ は
パラメータ ａ、ｂ の
２次関数
a ti b) 2
J 1
a N
2t ( y
J 1
b N
2( y
N
i 1
N
i 1
最小２乗法
（目標値） － （実現値） ＝ 誤差 として、
誤差の２乗和（平均） J を最小にする
パラメータを見つける方法。
J がパラメータの２次関数であるとき、
J をパラメータで偏微分して ０ とおいた
連立方程式を解く
i
i
i
a ti b) 0
a ti b) 0
問題
(1) 未知数が ａ、ｂ である次の連立１次方程式
y1 a t1 b
y2 a t 2 b
を行列を使って表せ。
(2) 行列を使って、上記の方程式を解け。
→ 未知数ａ，ｂ を ｔ1,ｔ2,ｙ1,ｙ2 を使った行列で表す。
（逆行列を利用）
行列の要素を計算する必要は無い。
(3) 質問、意見、要望などがあれば、記入ください。
21
前回の話
本日の予定
１） 前回の復習
要求条件に対して、
ぴったりの答がない場合
５．最小２乗法
5.1 信号処理の一般的方針 （評価量と最小化）
5.2 平均２乗誤差
5.3 最小２乗法の原理
・最小値を与えるパラメータの求め方
5.4 データの直線近似
工学では
要求条件に
「できるだけ近い答」
が求められる。
高校数学では
「解なし」が答
２） 本日の内容
最小２乗法の例
評価量
（ ディジタルデータの直線近似 ）
「できるだけ近い」 答の求め方
ｙ 5
4
3
① 「近さ・遠さ（誤差の大きさ）」 を数式化
＝ 評価量 J を定める
② 評価量 Ｊ を最小にするように
処理パラメータを最適化する
代表的評価量
(直線近似の例)
ｙ
③ 誤差 ｅ とは、
時刻 t1，ｔ2，・・・ における、
データ点 ｙ１，ｙ2, ・・・と
関数値 ｙ~(ｔi) との差
ｙ１
ｅ１
ｔ3
ｔ4
2
4
3
ｔ5
ｔ
5
ｔ
最も良く近似する
直線を求める
平均２乗誤差 Ｊ
近似直線
ｅ5
誤差の２乗の平均
~
y (t ) a t b
ａ と ｂ が直線のパラメータ
ｅ3
ｔ2
１
を考える
直線近似 ⇒
ｔ１
0
①
は、データ点
（t1，ｙ１）、（ｔ2，ｙ2）、・・・ を表す
ｅ4
ｅ2
１
y (t )
② パラメータを含んだ 近似関数 ~
ｅ5
ｙ2
2
「要求条件」
３個の点を通る直線
→ ぴったりの答はない
⇒ 平均２乗誤差
代表的最適化法 ⇒ 最小２乗法
誤差
「良さ」 を数量で表す
評価量の導入
⇒ 平均２乗誤差
と 最小２乗法
近似直線
ｙ ＝ ａｔ ＋ ｂ
ei yi ~
y (ti )
ｙ2
ｅ4
J
ｅ3
ｅ2
ｙ１
ｅ１
1 2 2
(e1 e2 eN2 )
N
誤差の大きさを表す
評価量
ｔ１
ｔ2
ｔ3
ｔ4
ｔ5
yi a ti b
22
平均２乗誤差 Ｊ を最小にするパラメータ
最小２乗法とは、
【 ステップ２ 】
J は、パラメータ ａ，ｂの２次関数なので、
Ｊ を パラメータで偏微分して、0と置いた
連立方程式を解けばよい
平均２乗誤差 Ｊ を最小にするパラメータ
を求める方法
【 ステップ１ 】 Ｊをパラメータを含んだ式で表す
例） 直線近似の場合、
1 N
J ei2
N i 1
1
N
最小にすべき
評価量 Ｊ は
パラメータ ａ、ｂ の
２次関数
N
( yi a t i b ) 2
J 1
a N
2t ( y
J 1
b N
2( y
最小２乗法 （まとめ）
J がパラメータの２次関数であるとき、
J をパラメータで偏微分して ０ とおいた
連立方程式を解く
どちらが最適？
ｙ
予想？
5
ｅ１＝ 0 、ｅ２＝１、ｅ３＝１
２乗誤差和＝ 0+1+1＝2
4
3
最適な
近似直線
2
ｙ ＝ 0.5 ｔ ＋ 2
１
0
１
2
3
4
5
ｔ
i
i 1
N
i 1
i
i
a ti b) 0
a ti b) 0
☆： 1/N は無くても同じ
i 1
（目標値） － （実現値） ＝ 誤差 として、
誤差の２乗和（平均） J を最小にする
パラメータを見つける方法。
N
先週の演習の答え
ｙ
予想？
5
4
3
最適な
近似直線
2
ｙ ＝ 0.5 ｔ ＋ 2
１
0
１
2
3
4
5
ｔ
なぜ、平均２乗誤差か？（先週の宿題）
「複数の数字の組」の大きさ
(2, 2） と (3, -1) と、どちらが大きい？
22＋22＝8 ＜ 32＋(-1)2＝10
ｅ１＝-0.5、ｅ２＝１、ｅ３＝-0.5
２乗誤差和＝ 1/4+1+1/4＝1.5
なぜ、| 2 |＋| 2 | ＝ | 3 |＋| -1 |
ではないのか？
２乗和を「大きさ」とする根拠は？
23
なぜ、平均２乗誤差か？
なぜ、平均２乗誤差か？
「複数の数字の組」の大きさ
① 「複数の数字の組」を、「ベクトル」と考えれば、
「大きさ」は２乗和
(2, 2） と (3, -1) と、どちらが大きい？
ｙ
「数ベクトル」
3
(2, 2）
2
大きさは√２乗和
多次元であっても
大きさは√２乗和
② ２乗和を最小化するパラメータ、は、
簡単な計算で求められる。
１
0
(3, -1)
-１
0
注） √ や 平均操作（1/N） では、
大小関係は変わらない、ので、
２乗和を最小化するパラメータを求めても同じ
１
2
3
4
本日の予定
問題
(1) 平均2乗誤差 Ｊ が、パラメータ ａ の2次関数として
表されるとき、
Ｊを最小とするパラメータ ａ を求める方法を
言葉で説明せよ。（30文字程度）
(2) 平均2乗誤差 Ｊ が ａ の2次関数として表される
ためには、誤差と ａ の関係はどうであればよいか？
(3) 質問、意見、要望などがあれば、記入ください。
例） 正弦波による近似
関数近似
周波数ωで平均2乗誤差を最小にする正弦波の振幅
ある関数 ｘ(t) を近似する関数 ｘ~（ｔ） を考える。
∙
∙
∙
１） 連絡事項
２） 前回の復習
5.5 関数近似 （正弦波）
5.6 ディジタルFIRフィルタ
３） 本日の内容
5.7 FIR フィルタの行列表現
5.8 平均２乗誤差を最小にするフィルタ
ｙ(t)
∙
∙
∙
最も良く近似するためのパラメータ
ｃ0, ｃ1, c2 ・・・ を求める。
⋯
Ｊ ＝ ｛ ｙ(t)－ａ･sin(ωｔ) ｝2
雑音の加わった
正弦波から
元の正弦波を
復元
：平均
を最小にする ａ を求める
J
0
a
を解けばよい
24
例） 正弦波による近似
平均２乗誤差最小の正弦波
周波数ωで平均2乗誤差を最小にする正弦波の振幅
Ｊ ＝ ｛ ｙ(t)－ａ･sin(ωｔ) ｝2
＝ ｙ2(t)－2ａ･ｙ (t)･sin(ωｔ) ＋ ａ2･sin2(ωｔ)
J
＝ －2･ｙ (t)･sin(ωｔ) ＋ 2ａ･sin2(ωｔ) ＝ 0
a
ａ＝
a
ｙ (t)･sin(ωｔ)
2 T
y (t ) sin(t ) dt
T 0
平均2乗誤差最小の最適なパラメータの求め方
sin2(ωｔ)
＝ 2･ｙ (t)･sin(ωｔ)
1/2
＝ フーリエ係数の求め方
ディジタル信号 ｘ(k)
ｘ(2)
アナログ信号 ｘ(5)
●
0
ディジタル入力信号
●
ｘ(1)
１
ＦＩＲ フィルタ
３
２
●
ｘ(3)
ｘ(0)
４
ｘ(k)
時間
k
５
●
まとめて
｛x(0), x(1), x(2), x(3), ……｝
ｘ(k)
ｙ(k) ＝ ｈ0 ｘ(k)＋ｈ1 ｘ(k-1)＋ｈ2 ｘ(k-2)＋･･･＋ｈL x(k-L)
L
＝Σｈi ｘ(k-i)
と表す
具体例）｛-5.9, 0.1, 3.2, -2.3, ……｝
ｉ=0
ＦＩＲ フィルタ
ディジタル入力信号
ｘ(k)
ｋ： 時間を表す変数(整数)
ＦＩＲ フィルタ
ディジタル出力信号
FIR フィルタ
{ h0, h1, h2,･･･ hL }
ｋ＝0
L
ｘ(2)
ｘ(1)
ｘ(0)
＝Σｈi ｘ(k-i)
ｈ0
ｈ0
ｘ(k-1)
ｈ1
ｙ(k)
＝ｈ0･ｘ(k)＋ｈ1･ｘ(k-1)
ｘ(-1)
遅延器
ｚ-1
ｉ=0
◇ Ｌ＝1 の場合のブロック図
遅延器
ｚ-1
ｋ： 時間を表す変数(整数)
ｙ(k)
ｙ(k)
ｘ(k)
ｙ(k)
フィルタパラメータ（係数）
ｘ(4)
・ ディジタル信号は数列
ディジタル出力信号
FIR フィルタ
{ h0, h1, h2,･･･ hL }
ｈ1
ｙ(0)
＝ ｈ0･ｘ(0)＋ｈ1･ｘ(-1)
25
ＦＩＲ フィルタ
ｋ： 時間を表す変数(整数)
ｋ＝1
ｘ(3)
ｘ(2)
ＦＩＲ フィルタ
ｘ(1)
ｘ(0)
ｋ＝2
ｘ(3)
ｘ(-1)
ｘ(2)
遅延器
ｚ-1
ｈ0
ｋ： 時間を表す変数(整数)
ｘ(1)
遅延器
ｚ-1
ｈ0
ｈ1
ｈ1
ｙ(1)
＝ ｈ0･ｘ(1)＋ｈ1･ｘ(0)
ｙ(2)
＝ ｈ0･ｘ(2)＋ｈ1･ｘ(1)
ＦＩＲ フィルタ
フィルタの特性は、係数（ｈi）で決定
［ 2，2，2，2，2］
［ ０，０，０，０，０ ］
［ １，１，１，１，１］
［ １，－１，１，－１，１，－１］
ｘ
ｘ
ｋ＝1
ｙ
平均フィルタ
{ ｈ0=1, h1=1 }
ｘ(3)
1
ｘ(2)
ｘ(1)
1
1
［ ０，０，０，０，０ ］
［ －2，2，－2，2，－2 ］
［ １，１，１，１，１］
［ １，－１，１，－１，１，－１］
ｘ(0)
差分フィルタ
{ ｈ0=1, h1=-1 }
ｙ
ｘ(0)
ｘ(-1)
1
遅延器
ｚ-1
ｈ0
ｈ1
1
1
[2, 2, 2, 2 ]
ｙ(1)
＝ ｈ0･ｘ(1)＋ｈ1･ｘ(0)
ｘ(3)
-1
ＦＩＲ フィルタ
ＦＩＲ フィルタ
ｋ＝1
ｋ＝1
ｘ(2)
ｘ(1)
-1
1
ｘ(0)
ｘ(-1)
1
遅延器
ｚ-1
ｘ(3)
1
ｘ(2)
ｘ(1)
1
1
ｘ(0)
遅延器
ｚ-1
ｈ0
ｈ1
ｈ0
ｈ1
1
1
1
-1
[0, 0, 0, 0 ]
ｙ(1)
＝ ｈ0･ｘ(1)＋ｈ1･ｘ(0)
ｘ(-1)
1
[0, 0, 0, 0 ]
ｙ(1)
＝ ｈ0･ｘ(1)＋ｈ1･ｘ(0)
26
フィルタの特性は、係数（ｈi）で決定
［ １，１，１，１，１］
［ １，－１，１，－１，１，－１］
高域カット
ｘ
平均フィルタ
{ ｈ0=1, h1=1 }
フィルタの特性は、係数（ｈi）で決定
［ 2，2，2，2，2］
［ ０，０，０，０，０ ］
0.2
0.2
高域カット
0.1
0
ｙ
-0.1
-0.2
0
50
100
150
200
250
300
350
400
ｘ
平均フィルタ
{ ｈ0=0.5, h1=0.5 }
0.2
0.1
0
0.1
0
ｙ
-0.1
-0.2
差分フィルタ
{ ｈ0=1, h1=-1 }
100
150
200
250
300
350
400
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0
-0.1
0
50
100
150
200
250
300
350
-0.2
400
［ ０，０，０，０，０ ］
［ １，１，１，１，１］
［ －2，2，－2，2，－2 ］
［ １，－１，１，－１，１，－１］
低域カット
ｘ
50
0.1
-0.1
-0.2
0
0.2
ｙ
低域カット
ｘ
差分フィルタ
{ ｈ0=0.5, h1=-0.5 }
ｙ
差分フィルタ
{ ｈ0=0.5, h1=-0.5 }
最適なディジタルフィルタの応用例
アナログ信号で表されたディジタル信号
１） 逆フィルタ
① ディジタル伝送系
② スピーカの補正
２） 系の同定
③ 系のシミュレーション
④ 不要音の除去
1
00
1 1
1
00 0 00 0
1 11
1 1
0
0
1
0
High
Low
逆フィルタの求め方
伝送によるパルス波形の変形
0 0
11
ｄ(k)
学習信号
変形
0
ｘ(k)
ｄ(k)
伝達系
1と0の区別が
つかなくなる
復元
逆フィルタ
ｙ(k) ＋
－
誤差 ｅ(k)
２乗誤差最小で復元する最適フィルタを求める。
27
逆フィルタの応用例②（スピーカ補正）
逆フィルタの働き
1 1
0 0
原音
伝達系
0
安物スピーカ
整形パルスに
復元して
情報を回復
＝逆フィルタ
逆フィルタ
伝達系
安物スピーカ
家庭 ⇔ 電話局とのメタルネットワーク
長距離回線 で広く利用
応用例③ 系の同定
悪くなったもの、なるもの、を良くする
音響系のシミュレーションの例
フィルタ特性
入力 ｘ(k)
伝達系
0.8
ｄ(k)
0.6
0.4
0.2
0
フィルタ
出力 ＋ 誤差 ｅ(k)
ｙ(k) －
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
同じ入力ｘ(k) に対して、同じ出力を出すフィルタを求める
⇒ フィルタ特性 ≒ 系の特性 となり、
系のシミュレーションに利用できる
元の音
応用例④ 雑音（不要音）の除去
部屋の
特性を持った
フィルタ
部屋の響き
が付いた音
（場末のライブハウス？）
応用例④ 雑音（不要音）の除去
スピーカと
部屋の特性
が付加
→ 波形変形
スピーカと
部屋の特性
が付加
→ 波形変形
Ｓ
ｘ
スピーカと
部屋の特性
を持つフィルタ
＋ ｄ
－
ｙ
ｅ
ｈ
28
問題
応用例④ 雑音（不要音）の除去
スピーカと
部屋の特性
が付加
→ 波形変形
Ｓ
スピーカと
部屋の特性
を持つフィルタ
＋
－
(1) FIR フィルタの出力 y(n) を、目標とする信号 d(n)
に近づくように、フィルタ係数 h0, h1, h2, ･･･, hL
を定める方法を説明した下記の空欄を示せ。
J = (a) ｙとｄを使った式
を最小にする
フィルタ係数を求めればよい。
そのためには、
(b)
を解けばよい。
各(a)(b)の答えだけを書けばよい
(2) 質問、意見、要望などがあれば、記入ください。
これまで と これから
１．信号処理とシステム（イントロ）
２．フーリエ級数とフーリエ変換
３．周波数分析と合成
４．フィルタ
５．最小２乗法 （前回まで）
６．相関関数 （今回）
幾何ベクトルの内積
b
θ
a
◇ 内積の性質
θが小さいほど
（＝ ２つのベクトルの
方向が類似するほど）
内積は大きくなる
(a, b) | a | | b | cos
内積を表す
| a | , | b | : ベクトル a , b の長さ
: ベクトル a , b のなす角度
本日の予定
１） 前回の復習
２） 連絡事項
３） 本日の内容
６．相関関数
6.1 ２つの信号の相関
6.2 相関関数
6.3 相関のディジタル表現
幾何ベクトルの類似性と内積
b
a
同じ方向 （ θ＝0°）
( a , b ) | a | | b |
内積最大
b
a
直交 （θ＝90°）
(a , b ) 0
内積ゼロ
内積の大きさ ⇒ ２つのベクトルの方向類似性
29
幾何ベクトルと数ベクトル（１）
b
b2
a2
幾何ベクトル
幾何ベクトルと数ベクトル（２）
a
要素を４つ以上持つ数ベクトルは
幾何ベクトルとは関係づけられない
a1
幾何ベクトルと、数ベクトルとは、
「異なるもの」である
θ
b1
数ベクトルは、
幾何ベクトルの
a
b
a 1 b 1 座標、
a2
b2
だけではない
数ベクトル
・ ただし、両者は、
ベクトルとしての共通な性質を持つ
6.3 信号の相関 （ディジタルの定義）
数ベクトルの内積
b1
a1
b
a2
a b 2
b
a
N
N
3
5
x
2
2
b1
b
a N 2
b
N
aT b a1 a2
xy
1
2T
T
T
x (t ) y (t ) dt
アナログ信号の相関
ディジタル信号は有限長 （ｎ＝1 ～ N ） と考える。
積分は和として表されるので、式(6.1) より、
信号 ｘ(n) と ｙ(n) の相関φxyは、次式のように表される。
数ベクトル ａ、ｂ の内積は、 「要素同士の積の総和」
N
(a , b ) a1b1 a 2 b2 a N bN ai bi i 1
aT b
：転置
T
ディジタル信号と数ベクトル
・ ディジタル信号は、数字の列であるので、数ベクトルで
表される。 例えば、信号 ｘ(n)、ｙ(n)，n＝1,2, ･･･, N は、
y (1)
x (1)
x
(
2
)
y ( 2)
x x (3) y y (3)
y( N )
x( N )
(6.5)
N
(6.6)
(6.3)
(6.4)
ディジタル信号の相関と数ベクトルの内積
式(6.6) を 式(6.3) を比較すると、
xy
と表される。 そして、これらの信号ベクトルの内積 （ｘ，ｙ）は、
( x, y ) x ( n ) y ( n )
1 N
ｎ： 離散時間
x(n) y (n) N n 1
x (1) y (1) x ( 2) y ( 2) x ( N ) y ( N )/ N
xy
1 N
1
x(i) y(i) N (x, y)
N i 1
(6.7)
すなわち、ディジタル信号の相関は、信号ベクトルの内積と
して表すことができる。
相関 ＝ 内積 ＝ ベクトルの類似性
なので、相関が 信号（＝ベクトル）の類似性を示すことが
理解できる。
n 1
30
フーリエ変換と相関
フーリエ変換と内積
ディジタル信号
例） フーリエ係数（スペクトル）を求める式
an
2
T
T
0
cos(n01)
x(1)
cos(n0 2)
x(2)
x x(3) y cos(n0 3)
cos(n N )
( )
x
N
0
x (t ) cos( n 0t ) dt
信号 と 正弦波 の 積 の 積分
信号 と 正弦波 の 相関
信号ベクトル
フーリエ変換とは、
信号と正弦波の相関（類似度）の計算
正弦波ベクトル
ディジタル信号のフーリエ変換とは、
信号ベクトルと正弦波ベクトルの内積
前回の内容
問題
６．相関関数
6.1 信号の相関
6.2 相関関数
6.3 信号の相関（ディジタルの定義）
(1) アナログ信号 ｘ(t) と ｙ(t) の相関φxyを
表す式を示せ
(2) アナログ信号ｘ(t)とｙ(t)の相関関数φxy(τ)を
表す式を示せ
(3) ディジタル信号 x(n) と y(n) との相関φxyを
表す式を示せ
各答えだけを書けばよい
(4) 質問、意見、要望などがあれば、記入ください。
信号の類似性 と 信号の積
信号の相関
似ている
信号 x(t )と信号 y (t ) の相関 xy は
xy
1
2T
T
T
x(t ) y (t ) dt
x(k )
y (k )
似ていない
3
3
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-3
相関は、２つの信号の積の積分
信号の積
-2
10
20
30
40
50
-3
5
5
0
0
10
20
30
40
50
x(k ) y (k )
-5
10→ 相関大
20
30
積はすべて正
40
-5
50
正負が混じる
10
20 → 30相関小
40
50
31
相関の意味
相関関数
信号 x(t )と信号 y (t ) の相関 xy は
xy
相関の大小は、
２つの信号波形の類似性を
反映している
1
2T
T
T
x(t ) y (t ) dt
(相互) 相関関数 xy ( ) は
xy ( )
1
2T
T
T
x(t ) y (t ) dt
一方の信号をτずらした時の相関
τは変数
応用例
相関関数のイメージ
ｘ(ｔ)
ｔ
ｙ(t)
ｔ
τ
τずらす
ｙ(t ＋τ)
τずらした
波形と
どのくらい
似ているか
ｔ この遅れ時間（波形のズレ）を
求めるには、ｘ(t) と ｙ(t) の
Ｔ
ｙ(t)
ｔ
ｔ
相互相関
T
ｘ(t)
ｔ
ｙ(t)
ｔ
ｙ(t) をずらしながら
相関を計算。
ｙ(t) のズレ（＝τ）が、
Ｔ と成ったとき、
２つの波形は重なって
相関は最大となる。
ｙ(t＋τ)
ｔ
ｙ(t＋Ｔ)
ｙ(t) は、ｘ(t) が Ｔ 遅れた信号
ｘ(ｔ)
相互相関関数
φxy(τ)
が最大となるτの値が
ズレ Ｔ を表す。
相互相関関数
φxy(τ)
を計算し、それが最大値を与
えるτの値を求めればよい
ディジタル信号の相関と 内積
積分を総和（∑）に置き換えて、
xy
1
N
N
x
k 1
k
yk x1 y1 x2 y2 x3 y3 / N
これは、ディジタル信号を数ベクトル ｘ、ｙ とした
x1
x
x 2 ,
x
3
y1
y
y 2
y
3
の 内積 /(要素数）に等しい。
32
問題(1)：
ディジタル信号 ｘ，ｙ，ｚ の相関 φxy φxz を計算せよ
0
0
0.5
1
0. 5
0.5
0
0
0.5
1
0. 5
0.5
z
x y
0
0
0.5
1
0. 5
0.5
0
0
0.5
1
0. 5
0.5
相互相関関数の応用例
ｘ
ｙ
ｙ(t) と ｘ(t) との遅れ時間
ｘ(ｔ)
ｘ
ｔ
時間
ｚ
Ｔ
ｙ(t)
定義より
ｔ
xy ( x, y ) 0 0.5 0 0.5 0 0.5 0 0.5 / 8 0.25
xz ( x, z ) 0 0.5 0 0.5 0 0.5 0 0.5 / 8 0
4
4
2
ｘ(ｔ)
0
-2
-4
2
0
-2
0
200
400
600
800
-4
1000
4
ｙ(t)
0
200
400
600
800
1000
0
200
400
600
800
1000
4
ｙ(t)
2
2
0
0
-2
-2
-4
0
200
400
600
800
-4
1000
波形を拡大してみた
これでわかった
4
ｘ(ｔ)
4
2
ｘ(ｔ)
0
-2
-4
2
0
-2
0
50
100
150
-4
200
4
ｙ(t)
0
50
100
150
200
0
50
100
150
200
4
ｙ(t)
2
2
0
0
-2
-2
-4
実際の状況では、
この図のように、見てすぐに
わかる場合は少ない！
（雑音が加わって、
波形も変形している）
視覚ではわかりにくい
信号のずれ（どちらがどの位ずれているか？）
ｘ(ｔ)
（波形のズレ）を
求める問題
0
50
100
150
200
-4
33
相関関数を用いれば、一目瞭然
900
遅延時間τがわかれば、
音源方向θがわかる
τ
800
φxy(τ)
700
Ｍ1
600
ｘ1(k)
500
ｄ
400
θ
300
Ｍ2
ｘ2(k)
200
100
0
-100
-200
τ＝ d sinθ / c
-150
-100
-50
τ
0
50
100
150
θ：音源方向
ｃ：音速
200
ｙ(k) が 100 遅れている
θ＝ sin-1（ｃτ/ｄ）
相関の応用： 「距離測定」の原理
カメラの手ぶれの検出
測定音
反射音
往復の時間
時間
・ 画像のズレを検出する
・ 実際には回転方向に対しても
相関を検出する。
測定信号
発射
「距離測定」の原理
「距離測定」 が 使われる例
音が往復した時間
時間
測定信号
発射
距離 =
反射信号
受信
音速 ×音が往復した時間
２
反射信号
受信
空中超音波：
・ 自動車の障害物との距離（ソナー）
・ カメラの被写体との距離
水中音波：
・ 潜水艦のソナー
・ 魚群探知機
電波
・ レーダー （気象・軍事）
生体
・ 超音波診断装置
などなど
34
現実の測定環境
周波数選択フィルタによる「信号検出」
測定音
音が往復した時間
時間
測定信号
発射
遠方になると
反射音は
小さくなる
反射信号
受信
妨害音
（周囲騒音など）
「信号検出」の必要性
周波数選択フィ
ルタで雑音に
埋もれた反射
音を検出
雑音に埋もれた信号検出の例
4
ｓ(t)
音が往復した時間
0
-4
時間
測定信号
発射
この信号が
どこかに埋もれている
2
-2
反射信号
受信
信号と雑音の周波数成分が重
なっている場合には、周波数選択
フィルタは使えない。
→ 相関関数の利用
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
400
500
600
700
800
900
1000
4
2
ｎ(t)
0
-2
-4
周波数選択フィ
ルタで雑音に
埋もれた反射
音を検出
4
2
0
-2
ｘ(t)
＝ ｎ(t) ＋ ｓ（t －τ）
-4
0
100
200
300
検出結果
ｓ と ｘ の相関関数φsx(τ)を計算
4
ｓ(t)
4
2
ｓ(t)
0
-2
-4
ｎ(t)
ｘ(t)
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0
-4
1000
4
4
2
2
ｎ(t)
0
-2
-4
-4
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
4
4
2
2
ｘ(t)
0
-2
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
20
10
10
φsx(τ)
0
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0
100
200
300
最大
400
500
600
700
800
900
1000
0
20
-10
100
-2
-4
1000
0
0
-2
-4
φsx(τ)
2
-2
0
-10
-20
-20
0
100
200
300
400
最大
500
600
700
800
900
1000
35
音声分析
自己相関関数 φxx（τ）の応用例
0.25
N
0.2
xx ( ) x(i ) x(i ) / N
0.15
0.1
i 1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
時間 [s]
母音の周期性
自己相関関数 φxx（τ）を計算
N
xx ( ) x(i) x(i )
0.25
0.2
τ＝０ で最大
i 1
周期
0.15
0.1
周期を表すピーク
自己相関関数
200
x(i ) i : 時間
0.25
0.05
0.25
150
0.2
0.15
0.1
0
-0.05
0.2
0.15
0.1
100
0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
0.05
50
0
-0.05
-0.1
-0.15
0
-0.1
-0.15
-0.2
0.3
-0.25
-50
-0.2
-0.25
0
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
時間 [s]
0.35
0.4
声の高さ（ピッチ）は周期の逆数
5
10
15
時間 [ms]
自己相関関数 φxx（τ）を計算
N
xx ( ) x(i) x(i )
-4
-2
0
時間 [ms]
2
4
6
5
10
15
時間 [ms]
雑音が重畳した信号の周期
τ＝０ で最大
i 1
周期を表すピーク
自己相関関数
200
-100
-6
x(i ) i : 時間
0.25
150
0.2
0.15
0.1
100
50
0
200
自己相関関数 0.05
0
180
-0.05
-0.1
-0.15
160
140
-50
100
-100
-6
周期 T は 3.8 ms、
声の高さ（周波数）は、
5
10
15
1/T ＝263
時間 [ms]Hz
-0.2
-0.25
120
80
-4
-2
60
0
2
4
6
時間
[ms]
40
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4
信号＋雑音
周期は
わかりづらい
4.1
時間 [ms]
（フーリエ変換より計算が簡単で早い）
36
雑音が重畳した信号の周期
雑音が重畳した信号の周期
周期
周期
0.5
信号
0
-0.5
0
0
50
100
150
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.5
雑音
0.2
0
-0.2
-0.4
信号
0.5
0
50
100
150
0.5
雑音
0
0
0
50
50
100
100
-0.5
150
150
信号＋雑音
周期は
わかりづらい
0
50
100
50
100
50
100
0.5
0
-0.5
0
100
xx ( )
50
0
-50
0
150
信号＋雑音
周期は
わかりづらい
150
自己相関を計算
すると周期がわか
150
る
自己相関関数
むすび
◇ 信号の周期性が検出できる。
◇ 応用は、
・ 音声の周期検出、（＝声の高さ検出）
・ 周期性に基づいた情報圧縮
・ 雑音に埋もれた周期性の検出
（生体信号、 現象の予測、など）
本講義では、
これまで学んできた、数学や専門科目と
関連付けて
信号処理の基礎を説明してきた。
講義のまとめ
むすび
□ 周波数分析： フーリエ変換
（ 全ての信号は正弦波に分解できる ）
□ フィルタ： 周波数選択、微分・積分
（ 音質改善や雑音除去 ）
（ 画像も周波数成分を含み、フィルタが適用できる）
□ 最小２乗法： 評価関数（２次関数）、偏微分
信号処理は、
音声や画像などのメディア技術のほか、
無線・有線通信技術、生体工学、計測、
機械制御工学など、さまざまな分野で
役立つ、重要な基本技術である。
（ 平均２乗誤差を最小にする最適フィルタの設計 ）
（ 系の同定、逆フィルタ）
□ 相関関数： ディジタル信号ではベクトルの内積
（類似性、時間差、周期性などの検出 ）
37
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