模範解答・解説 - 茨城大学

工業力学 (B コース) 期末テスト
茨城大学工学部知能システム工学科
解説・解答例
井上康介
2013/02/07 17:35∼19:05 実施
1.
• 大きさを持ち，変形しない物体を ( 1：剛体 ) とい
mv で表されるベクトル量を ( 10：運動量 ) と
う．(1：剛体) は大きさを持つため，並進運動だ
いい，この量は物体の並進運動の勢いを表す．一
けでなく回転運動も行いうる．(1：剛体) に並進
方，(1：剛体) の (6：慣性モーメント) を I ，角速
運動を起こさせる作用を力といい，回転運動を起
度を ω とするとき，(1：剛体) の回転運動の勢い
こさせる作用を ( 2：力のモーメント (トルク) )
は ( 11：Iω ) の式で表され，この量を ( 12：角
という．
運動量 ) と呼ぶ．
• xy 平面上の原点に回転軸を持つ (1：剛体) が
• 物体が時刻 t において受けている力を f (t) とす
あり，この物体上の複数の点において複数の力
るとき，時刻 0 から t までの間の (10：運動量)
が作用しているとする．i 番目の力ベクトルを
の変化量は積分を用いて ( 13： f dt ) の式で表
(Fxi , Fyi )T ，その着力点を (xi , yi )T ，そのとする
され，この量を ( 14：力積 ) と呼ぶ．一方，(1：
とき，この物体が回転に関して加速しない条件を
剛体) が時刻 t において受けている回転軸まわり
式にすると ( 3：
の (2：力のモーメント) を N (t) とするとき，時
(Fyi xi − Fxi yi ) = 0 ) のよう
刻 0 から t までの間の (12：角運動量) の変化量
になる．
• (1：剛体) に加わる重力の合力の作用線は必ず (1：
剛体) 上の定点を通る．この点を ( 4：重心 ) とい
う．xy 平面上に置かれた (1：剛体) について，そ
T
は ( 15： N dt ) の式で表され，この量を ( 16：
角衝撃量 (角力積，力積のモーメント) ) と呼ぶ．
• 複数の物体の間で衝突などの相互作用があったと
の微小部位の質量を dm，その位置を (x, y) と
しても，外部からの力の作用がない場合，それら
するとき，(4：重心) の座標は積分を用いて ( 5：
の物体の (10：運動量) の総和は一定に保たれる．
( xdm/ dm,
T
ydm/ dm) ) のように計算
される．
この性質を ( 17：運動量保存の法則 (運動量保存
則) ) という．一方，外部からの (2：力のモーメ
• 物体の並進運動は，Newton の運動方程式 f =
ント) の作用がないとき着目する系の中に存在す
ma (ただし f は物体が受ける力の合力，m は物
る物体の (12：角運動量) の総和が一定に保たれ
体の質量，a は物体の (4：重心) の加速度ベクト
るという性質は ( 18：角運動量保存の法則 (角運
ル) により記述される．すなわち，質量 m は物体
動量保存則) ) と呼ばれる．
の並進運動のさせにくさ，つまり並進運動に関す
• 一直線上を並進運動する 2 つの物体が衝突した
る慣性である．一方，(1：剛体) の回転運動のさ
とき，衝突前の接近速度に対する衝突後の離脱速
せにくさは ( 6：慣性モーメント ) と呼ばれ，(1：
度の割合を ( 19：反発係数 (はね返りの係数) ) と
剛体) 上の微小部位の質量を dm，着目している
いう．(19：反発係数) を e で表すとき，e = 1 の
回転軸から微小部位までの距離を r とするとき，
衝突現象は ( 20：完全弾性衝突 ) と呼ばれる．
2
( 7： r dm ) のように計算される．(1：剛体)
• 物体が F の大きさの力を受け，力の方向に距離 s
の (6：慣性モーメント) を I ，受けている (2：力
だけ移動したとき，F s で示される量を ( 21：仕
のモーメント) を N ，角加速度を ω˙ とするとき，
事 ) と呼ぶ．高いところに置かれたものや速く動
(1：剛体) の回転運動は ( 8：N = I ω˙ ) の式で記
いているものは潜在的に一定の (21：仕事) をな
述される．この式を ( 9：角運動方程式 (Euler の
すことができるが，この量は ( 22：エネルギー )
運動方程式) ) という．
と呼ばれる．
• 物体の質量を m，速度ベクトルを v とするとき，
• 質量 m，高さ h にある物体は，重力加速度を g
考え方
最初の物体 1 の加速においては，摩擦力が 0
とするとき，( 23：mgh ) の式で示される量の
なので受けた力積がそのまま運動量の増加となる．そ
(22：エネルギー) を持つ．また，バネ定数 k のバ
の運動量は衝突までの間変化しない．
ネが自然長から距離 x 変形しているとき，( 24：
衝突については向心衝突の議論がそのまま利用できる
2
kt /2 ) の式で表される量の (22：エネルギー) を
が，ここでは衝突前の物体 2，衝突後の物体 1 が静止
持つ．これらを総称して ( 25：位置エネルギー )
状態であるため，運動量保存則の式は非常にシンプル
と呼ぶ．一方，質量 m の物体が速さ v で運動し
となり，簡単に衝突後の物体 2 の速度は求まり，そこ
2
ているとき，この物体は ( 26：mv /2 ) の式で示
される (22：エネルギー) を持つ．これを ( 27：
運動エネルギー ) と呼ぶ．
から反発係数はすぐに計算できる．
衝突後の物体 2 は運動と逆方向に動摩擦力を受ける
が，その力は一定であるため，等加速度運動で減速す
• 高いところにある物体が落下することを考える
と，落下の過程で (25：位置エネルギー) が失わ
る．加速度 a，初速度 v の場合，v 2 = 2as の式で停止
までの距離 s が求まる．
れ，一方で速さが増加するに伴って (27：運動エ
ネルギー) は増加する．この際，空気抵抗などを
解答例
無視できるとすれば，物体が持つ (25：位置エネ
(1) 物体 1 と平面の間に摩擦はないため，2 [s] の間
ルギー) と (27：運動エネルギー) の和は一定に保
に受けた力積が 2 [s] 後の運動量となり，その運
たれる．この性質を ( 28：力学的エネルギー保存
動量は衝突直前まで変化しない．その際の速度を
の法則 (力学的エネルギー保存則) ) と呼ぶ．
右向きに v1 [m/s] とすると，
• なめらかでない平面に P の力で押し付けられて
いる物体に，平面に沿った力を加えることを考え
る．力を徐々に強くしていくと，あるとき物体は
平面にそって滑り始める．この際の力を F とす
m1 v1 = 5 · 2 = 10
よって v1 = 10/m1 = 1 [m/s]．
(2) 衝突前の物体 2 の速度および衝突後の物体 1，2
るとき，値 F/P を ( 29：静摩擦係数 ) という．ま
の速度をそれぞれ右向きに v2 ，v1 ，v2 とすると，
た，滑り運動を始めた物体に対して作用する，運
衝突前の物体 2, 衝突後の物体 1 は静止している
動を妨げる力のことを ( 30：動摩擦力 ) という．
ため，v2 = v1 = 0 である．
したがって，運動量保存則から
2. 問題 Fig.1 に示すように，水平面上に質量 m1 = 10
[kg] の物体 1 と質量 m2 = 20 [kg] の物体 2 が静止し
た状態で置かれているとする．ある瞬間から 2 [s] の
間，物体 1 に図上右向きの大きさ 5 [N] の力 F をか
けたところ，物体 1 は右向きに滑りだした．その後物
体 1 は物体 2 と衝突し，停止したとする．ただし，物
体 1 と床面との動摩擦係数は μ1 = 0，物体 2 と床面
との動摩擦係数は μ2 = 0.05 とする．このとき，以下
の問いに答えよ．
m1
m1 v1 = m2 v2 = 10
よって v2 = 10/m2 = 0.5 [m/s]．反発係数 e は
定義から，e = (v2 − v1 )/(v1 − v2 ) = 0.5．
(3) 衝突後の物体 2 において，鉛直方向には運動し
ていないので，物体 2 が受ける重力と地面か
らの垂直抗力はつりあっている．したがって物
体 2 にかかる動摩擦力 F は左向きに μm2 g =
0.05 · 20 · 10 = 10 [N]．よって物体 2 の加速度は
左向きに a = F /m2 = 0.5 [m/s2 ]．
F
m2
Fig.1
(1) 衝突直前の物体 1 の速度を求めよ．
(2) 衝突直後の物体 2 の速度および反発係数 e を求
めよ．
(3) 衝突後，物体 2 が停止するまでの距離を求めよ．
初速は (2) から v2 = 0.5 [m/s] であるから，停止
までの時間を T [s] とすると，T = v2 /a = 1 [s]．
よってその間の移動距離は
1 2
aT = 0.25 [m].
2
3. Fig.2 に示すように，天井からまっすぐに吊るされた
ワイヤを質量 m = 15 [kg]，半径 r = 0.5 [m] の円柱
T
に巻きつけて手で支え，時刻 t = 0 [s] において手を
離したところ，円柱は回転しながら下りた．
mg
(1) 円柱に関する運動方程式，角運動方程式，および
h
ワイヤと円柱表面がすべらない条件を用いて，円
Fig.3
柱が初期位置から h = 30 [m] 下がった瞬間にお
ける円柱の角速度を求めよ．
(2) (1) とは別の方法でこれを求める．高さ h だけ下
りた瞬間において円柱が持っている運動エネル
ギーを求め，これを用いてその瞬間の円柱の角速
である．
また，ワイヤと円柱がすべらないため，
a = −rω˙
(3.3)
度を求めよ．
が成り立つ．
式 (3.3) から ω˙ = −a/r であり，これを式 (3.2)
に代入して
−T r =
h
1 2
a
mr · −
2
r
となり，整理すると
T =
Fig.2
1
ma．
2
これを式 (3.1) に代入して，
考え方
(1) については中間試験前にやった Newton-
a=
2
g
3
Euler 法を素直にやれば加速度が求まる．あとは等加
を得る．
速度運動の式を用いる．
h [m] 下がった時点での速度を下向きに v [m/s]
(2) については，力学的エネルギー保存則から，高さ
とすると，等加速度運動の式から
h だけ下りた時点で喪失した位置エネルギーが獲得し
た運動エネルギーに等しい．ここで，運動エネルギー
v 2 = 2ah =
4
gh = 400
3
は並進運動に関するものと回転運動に関するもの和に
よって v = 20 [m/s]．この瞬間の角速度を図上
なっていることに注意する．
反時計回りに ω [rad/s] とすると，ワイヤの拘束
から，ω = −v/r = −40 [rad/s]．
解答例
(2) h [m] 下がった時点での速度を下向きに v [m/s]，
(1) Fig.3 に示すように，円柱が受ける力は重心にか
かる下向きの重力 mg と円柱左端にかかる上向
きのワイヤ張力 T である．よって円柱の下向き
2
の加速度を a [m/s ] とすると運動方程式は
ma = mg − T
(3.1)
となる．
円柱が受ける重心まわりの力のモーメントはワイ
角速度を図上反時計回りに ω [rad/s] とすると
き，この時点での運動エネルギー EK は
EK =
1
1
mv 2 + Iω 2
2
2
であり，ここに慣性モーメント I = mr 2 /2 およ
びワイヤの拘束条件 v = −rω を代入して，
EK =
1 2 2 1 mr2 2
3
mr ω + ·
ω = mr2 ω 2 .
2
2
2
4
ヤ張力 T によるものだけである．円柱なので角
力学的エネルギー保存則から，降下の過程で喪失
運動量を I とすると I = mr 2 /2．よって，角加
した重力による位置エネルギー mgh はこの時点
速度を図上反時計回りに ω˙ [rad/s2 ] とすると，角
での運動エネルギーに等しい．よって
運動方程式は
−T r =
1 2
mr ω˙
2
mgh =
(3.2)
3 2 2
mr ω .
4
これを解いて，ω 2 = 1600 より ω = −40 [rad/s]．
4. Fig.4 に示すように，傾角 θ [rad] の斜面上に置かれ
た質量 m = 5 [kg] の物体に，斜面に沿った力 F を
加え続ける事により，物体を斜面上方に向けて一定ス
ピード v = 72 [km/h] で動かし続けることを考える．
sin θ = 0.6，cos θ = 0.8 とし，物体と斜面の間の動摩
擦係数を μ = 0.75 とするとき，力 F の大きさおよび
物体に加わる動力を求めよ．
運動の速さは 72 [km/h] = 20[m/s] なので，動力は
60 · 20 = 1200 [W]．
※ 図上では垂直抗力 P の作用線を重心に通すように
描いたが，引く力 F と摩擦力 F の作用線が一致し
ないことによるモーメントを受けているので，モーメ
ントの釣り合いを考えれば，実際には P の作用線は
やや斜面にそって下方向にずれている．実は垂直抗力
F
は底面上の圧力分布として作用していて，その合力が
中心から下方向にシフトしているということである．
θ
同様に，実際には摩擦力も底面上におけるせん断力の
分布となっていて，一点に作用するものではない．
Fig.4
考え方
物体が受けている力は Fig.5 に示す通りで
• 採点結果は 1 週間後程度以降に E2 棟 8 階 801 号室
ある．
物体に加減速させないためには，物体にかかるこれら
の力がつりあっていなければならない．すなわち，力
F の大きさは，重力の斜面にそって下方向成分である
mg sin θ および摩擦力の大きさ F の和に拮抗する必
要がある．
動力は，運動の速さと力の運動方向成分の積として求
まる．
解答例
連絡事項
Fig.5 に示す通り，物体が受ける力は斜面上
方に引く力 F ，鉛直方向下向きの重力 mg ，斜面に垂
直な垂直抗力 P ，斜面にそって下向きの動摩擦力 F
であり，物体は加減速しないので，これらの力はつり
あっている．
P
F’
F
mg
Fig.5
斜面に垂直な方向についてのつりあい条件は
mg cos θ = P ．
(4.4)
したがって動摩擦力の大きさは
F = μP = μmg sin θ．
よって斜面に平行な方向についてのつりあい条件
から，
F = mg sin θ + F = mg(sin θ + μ cos θ)
= 50(0.6 + 0.75 · 0.8) = 60 [N].
で渡すことができるようにします．
• 配点や全体的な結果等の情報は web を通じて連絡し
ます．
以上

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