準備問題（担当：矢崎）
科
目
名
日付：2011 年 2 月 7 日
学籍番号
応用数学 II
氏名
注. 周期 2𝜋 の周期関数 𝑓 (𝑥) のフーリエ級数は，
∞
𝑎0 ∑
+
(𝑎𝑛 cos 𝑛𝑥 + 𝑏𝑛 sin 𝑛𝑥),
𝑆𝑓 (𝑥) =
2
𝑛=1
1
𝑎𝑛 =
𝜋
∫
𝜋
−𝜋
𝑓 (𝑥) cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥,
1
𝑏𝑛 =
𝜋
問題 1. 周期 2𝜋 の周期関数 𝑓 (𝑥) = ∣𝑥∣ (−𝜋 < 𝑥 < 𝜋) のフーリエ級数を求めよ．
∫
𝜋
−𝜋
𝑓 (𝑥) sin 𝑛𝑥 𝑑𝑥
応用数学 II・2008 年度学年末試験問題 （担当：矢崎）
∫
∞
注： 関数 f (t) のラプラス変換を L(f (t)) =
（土木・2009/02/02）
f (t)e−st dt と定義する（s は実数）。
0
注： 必要ならば、
L(tn ) =
n!
sn+1
L(cosh at) =
(n = 0, 1, 2, . . .),
s
,
s 2 − a2
L(eat ) =
L(sinh at) =
1
,
s−a
a
,
s2 − a2
L(cos ωt) =
s
,
s2 + ω 2
L(f ′ ) = sL(f ) − f (0),
L(sin ωt) =
ω
s2 + ω 2
L(f ′′ ) = sL(f ′ ) − f ′ (0)
の結果や、第 1 移動定理 “L(f (t)) = F (s) ⇒ L(eαt f (t)) = F (s − α)” を用いてよい。
問題 1. 関数 f (x) = x (−π < x < π) を f (x + 2π) = f (x) によって周期 2π の周期関数に拡張した関数 f (x) のフーリ
エ級数展開を求めよ。
問題 2.
(1) 関数 f (t) = e−2t cos 3t のラプラス変換を求めよ。
(2) 関数 f (t) = (t + 1)2 e2t のラプラス変換を求めよ。
問題 3.
s−1
の逆ラプラス変換を求めよ。
s2 − 2s + 5
1
(2) 関数 F (s) = 2
の逆ラプラス変換を求めよ。
2s + 2s + 1
(1) 関数 F (s) =
問題 4. 次の常微分方程式の初期値問題 (P) について以下の各問に答えよ。
{
y ′′ (t) − y(t) = t, t > 0
(P) · · · · · ·
y(0) = 1, y ′ (0) = 1.
(1) 解 y(t) を求めよ。
(2) (1) で求めた解 y(t) が確かに (P) の解であることを、検算せよ。
1
問題 16 基本 三角波のフーリエ級数
16
問題
三角波のフーリエ級数
35
36
Chapter.2 フーリエ級数（基礎編）
基本
次の周期 2𝜋 の周期関数 𝑓 のフーリエ級数 𝑆𝑓 (𝑥) を求めよ．
𝑓 (𝑥) = ∣𝑥∣
(−𝜋 ≤ 𝑥 < 𝜋)
𝑁 = 2 (𝑀 = 1)
𝑁 = 4 (𝑀 = 2)
𝑁 = 6 (𝑀 = 3)
𝑁 = 8 (𝑀 = 4)
𝑁 = 10 (𝑀 = 5)
𝑁 = 100 (𝑀 = 50)
注. 𝑓 (𝑥) は三角波関数であり，問題 03 例題. (4) の関数や問題 10 (2) の関数 arccos(cos 𝑥) に等しい．
解 説
𝑓 (𝑥) は偶関数なので，𝑏𝑛 = 0 である．よって，𝑎𝑛 (𝑛 = 0, 1, 2, . . .) のみ計
算すればよい．
解 答
2 ∫𝜋
𝑥 𝑑𝑥 = 𝜋
𝜋 0
∫ 𝜋
2
=
𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝜋 0
2
= 2 (cos 𝑛𝜋 − 1)
𝑛 𝜋
𝑎0 =
𝑎𝑛
{
=
(𝑛 = 1, 2, 3, . . .)
0
(𝑛 = 2𝑚)
− 𝑛42 𝜋 (𝑛 = 2𝑚 − 1)
★1
★1 cos 𝑛𝜋
= (−1)𝑛
(𝑚 = 1, 2, 3, . . .)
例題. 𝑓 は連続なので，各点 𝑥 で 𝑆𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥) が成り立つ．特に，𝑥 = 0 のとき
𝑆𝑓 (0) = 𝑓 (0) = 0 である．これより，
故に，
𝑆𝑓 (𝑥) =
∞
∑
∞
cos(2𝑚 − 1)𝑥
𝜋
4 ∑
−
2
𝜋 𝑚=1 (2𝑚 − 1)2
𝜋
4
=
−
2
𝜋
(
cos 3𝑥
cos 5𝑥
cos 𝑥 +
+
+ ⋅⋅⋅
32
52
𝑚=1
)
となることを示せ．
★ フーリエ級数 𝑆𝑓 (𝑥) の第 𝑁 項までの和（第 𝑁 部分和）を，
𝑁
∑
𝑎0
+
𝑆𝑁 (𝑥) =
(𝑎𝑛 cos 𝑛𝑥 + 𝑏𝑛 sin 𝑛𝑥)
2
𝑛=1
注. 問題 ??において異なる方法で同じ結果を導く．
解.
(𝑁 = 1, 2, . . .)
と定義する．問題 16 の場合，
𝑆2𝑀 (𝑥) = 𝑆2𝑀 −1 (𝑥) =
𝑀
4 ∑
𝜋
cos(2𝑚 − 1)𝑥
−
2
𝜋 𝑚=1 (2𝑚 − 1)2
𝜋2
1
=
2
(2𝑚 − 1)
8
(𝑀 = 1, 2, . . .)
である．
★ 下図に第 𝑁 部分和 (𝑁 = 2𝑀, 𝑀 = 1, 2, 3, 4, 5, 50) のグラフを示す（太線．
細線は関数 𝑓 (𝑥) のグラフ．いずれの図も各軸の一目盛りは 𝜋 である．）．
問題 17 基本 鋸歯状波・のこぎり波のフーリエ級数
17
問題
鋸歯状波・のこぎり波のフーリエ級数
37
38
Chapter.2 フーリエ級数（基礎編）
基本
次の周期 2𝜋 の周期関数 𝑓 のフーリエ級数 𝑆𝑓 (𝑥) を求めよ．
𝑓 (𝑥) = 𝑥
(−𝜋 ≤ 𝑥 < 𝜋)
注 1. 𝑓 (𝑥) は鋸歯状波・のこぎり波関数であり，問題 03 例題. (1) の関数に等しい．また，問題 11 (1)
の関数 arctan(tan 𝑥) にも関連している．実際，𝑥 ∕= 𝑥𝑘 (𝑥𝑘 = −𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ) において，
𝑓 (𝑥) = 2 arctan(tan 𝑥
2 ) である．
注 2. 𝑓 (𝑥) は 𝑥 = 𝑥𝑘 において 𝑓 (𝑥𝑘 ) = −𝜋 であるが，𝑓 (𝑥𝑘 ) =
なおせば，定理 2 より全ての点 𝑥 で 𝑆𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥) が成り立つ．
解 説
𝑓 (𝑥𝑘 −0)+𝑓 (𝑥𝑘 +0)
2
𝑁 =1
𝑁 =2
𝑁 =3
𝑁 =4
𝑁 = 10
𝑁 = 100
= 0 と定義し
𝑓 (𝑥) は奇関数なので，𝑎𝑛 = 0 である．よって，𝑏𝑛 (𝑛 = 1, 2, . . .) のみ計算
すればよい．
解 答
2 ∫𝜋
𝑥 sin 𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝜋 0
2
= − cos 𝑛𝜋 ★1
𝑛
2(−1)𝑛+1
=
(𝑛 = 1, 2, 3, . . .)
𝑛
𝑏𝑛 =
★1 cos 𝑛𝜋
= (−1)𝑛
故に，
𝑆𝑓 (𝑥) = 2
∞
∑
𝑛=1
(
(−1)𝑛+1
sin 𝑛𝑥
𝑛
= 2 sin 𝑥 −
sin 2𝑥
sin 3𝑥
+
− +⋅⋅⋅
2
3
)
★ フーリエ級数 𝑆𝑓 (𝑥) の第 𝑁 部分和は，
𝑆𝑁 (𝑥) = 2
𝑁
∑
𝑛+1
(−1)
𝑛
𝑛=1
sin 𝑛𝑥
(𝑁 = 1, 2, . . .)
である．
★ 下図に第 𝑁 部分和 (𝑁 = 1, 2, 3, 4, 10, 100) のグラフを示す（太線．細線は関
．
数 𝑓 (𝑥) のグラフ．いずれの図も各軸の一目盛りは 𝜋 である．）
例題. 連続点 𝑥 =
∞
∑
𝑚=1
𝜋
2
で 𝑆𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥) が成り立つ．これより，ライプニッツの公式
(−1)𝑚+1
𝜋
=
2𝑚 − 1
4
を得ることを示せ．
解. 𝑆𝑓 (𝑥) の 𝑥 =
𝑛𝜋
sin
=
2
𝜋
2
{
での値は，𝑆𝑓 ( 𝜋
)=2
2
∞
∑
(−1)𝑛+1
𝑛=1
0
(𝑛 = 2𝑚)
(−1)𝑚+1 (𝑛 = 2𝑚 − 1)
𝑛
sin
𝑛𝜋
2
である．ここで，
(𝑚 = 1, 2, . . .)
より，𝑛 = 2𝑚 − 1 のとき (−1)𝑛+1 (−1)𝑚+1 = (−1)𝑚+1 であるから，次を得る．
∞
∑
(−1)𝑚+1
𝜋
𝜋
𝜋
𝑆𝑓 ( ) = 2
= 𝑓( ) =
2
2𝑚
−
1
2
2
𝑚=1
応用数学 II・学年末試験・解答例と配点
（土木・2009/02/02）
y
x = 以下の配点の合計点
☆以下の計算方法は平常点を陰的に加味したものである。
x
(0 ≤ x ≤ 40)
60
(40 < x ≤ 60)
x
の
1
の位を切り上げ
(60 < x < 90)
y=
(90 ≤ x < 95)
(95 ≤ x < 98)
(98 ≤ x < 100)
(x = 100)
95
98
99
100
問題 1.
配点: 20 .
f (x) は奇関数なので，an = 0 である。よって，bn のみ計算すればよい。
bn
2
cos nπ
n
2(−1)n+1
n
−
=
=
(n = 1, 2, 3, . . .)
故に，
f (x)
∼
=
∞
∑
(−1)n+1
sin nx
n
n=1
(
)
sin 2x
sin 3x
sin nx
2 sin x −
+
− + · · · + (−1)n+1
+ ···
2
3
n
2
問題 2.
(1) L(cos 3t) =
配点: 15 × 2 = 30 .
s
と第 1 移動定理より、
s2 + 32
L(e−2t cos 3t) =
s+2
s+2
= 2
(s + 2)2 + 32
s + 4s + 13
(2) L((t + 1)2 ) = L(t2 + 2t + 1) =
L((t + 1)2 e2t ) =
2
1
2
+ 2 + と第 1 移動定理より、
s3
s
s
2
2
1
+
+
(s − 2)3
(s − 2)2
s−2
配点: 15 × 2 = 30 .
s−1
s−1
(1) 第 1 移動定理より、F (s) = 2
=
= L(cos 2t)(s − 1) = L(et cos 2t)(s). よって、
s − 2s + 5
(s − 1)2 + 22
f (t) = et cos 2t.
1/2
1/2
1
(2) 第 1 移動定理より、F (s) =
= 2
=
= L(sin(t/2))(s + 1/2) =
2s2 + 2s + 1
s + s + 1/2
(s + 1/2)2 + 1/22
−t/2
−t/2
L(e
sin(t/2))(s). よって、f (t) = e
sin(t/2).
問題 3.
問題 4.
配点: (1) 15 + (2) 5 = 20 .
(1) s Y (s) − s − 1 − Y (s) = 1/s を Y について解いて、
2
Y (s) =
2
1
1
1
1
3
+
=− 2 −
+
s2 (s2 − 1)
s−1
s
2(s + 1)
2(s − 1)
よって、
y(t) = −t −
1 −t 3 t
e + e.
2
2
1
3
1
3
1
3
1
3
(2) y(0) = − + = 1. y ′ (t) = −1 + e−t + et , y ′ (0) = −1 + + = 1. y ′′ (t) = − e−t + et = y(t) + t.
2
2
2
2
2
2
2
2
より OK.
2
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