Chapter 5 双極子放射 (Dipole Radiation)

Chapter 5
双極子放射 (Dipole Radiation)
電荷の加速度運動が電磁波放射の原因である、という放射電場の理論を前章で示した。多くの物質で
は正負両電荷の量はほぼバランスしていて、全体として中性になっていることが多い。そのような場
合でも、電気双極子モーメントが時間変化することによって電荷の加速度運動が起こり、電磁波を放
射することができる。この双極子放射は電磁波の基本的な放射機構であり、アンテナからの電波放射
も、太陽からの熱放射も、原子のスペクトル放射 (四重極放射もあるが）も双極子放射である。本章
では、双極子放射の基本的な機構を示し、その放射電力, 放射パワーパターン（指向性）, スペクト
ルについて考察する。
■第５章の目標■
• 双極子モーメントを使って放射電波を記述する。
• 双極子放射の放射パワーパターンを導く。
• 双極子放射の周波数に対する応答を理解する。
5.1
放射電場のおさらい (radiation ﬁelds)
放射電場は、電荷の加速度項がつくる
電荷の速度が光速 c に比べて小さいとき、十分遠方における電場 E a と磁場 B a は以下に表された。
Ea
=
Ba
=
q
er × (er × a)
4π 0 c2 r
q
qµ0
1
er × E a =
a × er =
a × er
c
4π 0 c3 r
4πcr
qa
2
0c r
放射電場 E a の大きさ …
4π
放射磁場 B a の大きさ …
qaµ0
4πcr
sin θ ：θ は a と r のなす角。
sin θ
35
(5.1)
36
Chapter 5. 双極子放射 (Dipole Radiation)
5.2
5.2.1
放射の電力 (radiation power)
Poynting vector
Poynting ベクトル (Poynting’s vector) S は E × H で与えられるので、
S
1
1
Ba = Ea × (
er × E a )
µ0
µ0 c
qa 2
q 2 a2 sin2 θ er
=
Z0 sin2 θ er
2
3
2
(4π) 0 c r
4π c r
= Ea × H = Ea ×
=
となる。ここで、Z0 は真空中のインピーダンス (vacuum impedance) で、Z0 =
5.2.2
(5.2)
µ0 /
0
=
1
0 µ0
377 Ω。
放射電力 (radiation power)
図 5.1: 電荷の加速度ベクトル a と観測者の方向とのなす角を θ とする。観測者の距離 R0 における単位面
積を dA とおくと、電荷から見てその単位面積を見込む立体角 dΩ は dΩ = dA/R02 である。
Poynting ベクトルは電磁波のエネルギーの流れを表す量 [J s−1 m−2 ] で、Poynting ベクトルの向きが
エネルギーの流れる向きを、Poynting ベクトルの大きさが単位面積を単位時間に通過するエネルギーを表
している。
単位面積 dA を通過する放射のパワーは、|S| dA である。電荷から遠方の距離 R0 における単位面積 dA
を見込む立体角 dΩ は、dΩ = dA/R02 なので、電荷から見て角度 θ 方向に放射される単位立体角当たりの放
射電力 P (θ) dΩ は
P (θ) dΩ = |S| dA = |S|R02 dΩ =
qa
4π c
2
Z0 sin2 θ dΩ
(5.3)
全立体角に放射される電力 P は、P (θ) dΩ を全方向で積分すればよい。dΩ = sin θ dθ dφ を使えば、
P
=
Ω
2 2
=
π
2π
θ=0
φ=0
P (θ) dΩ =
q a Z0
8πc2
P (θ) sin θ dθ dφ
π
sin3 θ dθ =
θ=0
q 2 a2 Z0
6πc2
(5.4)
37
5.3. 双極子放射 (dipole radiation)
図 5.2: 電荷分布を持つ物体のからの放射。物体の中心を原点にとり、物体内の位置ベクトル r j の位置に電
荷 qj があるとする。十分離れた位置 R0
|r j | にできる放射電場は、qj が作る放射電場の重ね合わせを考
えればよい。
5.3
双極子放射 (dipole radiation)
電荷分布している放射体を考える。放射体の大きさに比べて十分遠方の R0
|r| においては、放射体内の
どの電荷までの距離も R0 で同じとみなしてよい。また、放射体全体の運動は無視し、放射体内の電荷分布
の変化だけを考慮する。j 番目の電荷 qj が位置 r j にあるとすると、放射電場は
E
=
1
4π 0 c2 R0
Ej =
j
=
=
1
4π 0 c2 R0
qj er × (er × aj )
j
qj er × (er ×
j

2
1
er × d
e
×
r
4π 0 c2 R0
dt2
d2
rj )
dt2

dj  =
j
1
¨
er × (er × d)
4π 0 c2 R0
(5.5)
となる。ここで、
qj r j
d=
(5.6)
j
は電気双極子モーメントである。放射電場は、放射体の電気双極子モーメントの時間二階微分がつくる、と
いうことが分かる。
5.3.1
双極子放射の放射パワーパターン (power pattern of dipole radiation)
放射磁場とポインティングベクトルはそれぞれ、
B
=
S
=
1
¨ × eR
d
0
4π 0 c3 R0
1
¨ 2 sin2 θeR
|d|
0
(4πR0 )2 0 c3
(5.7)
放射パワー P (θ) は式 5.8 のようになる。
放射パワーの方向依存性を、放射パワーパターン (radiation power pattern) という。図 5.3 に双極子放
射の放射パワーパターン示す。
¨ 2 sin2 θ
|d|
=
P (θ) =
(4π)2 0 c3
¨ sin θ
|d|
4πc
2
Z0
(5.8)
38
Chapter 5. 双極子放射 (Dipole Radiation)
¨ を含む平面での断面
図 5.3: 双極子放射の放射パワーパターン。(左) : 双極子モーメントの時間二階微分 d
図。(右): 三次元の鳥瞰図
5.3.2
双極子放射の全放射電力 (total radiation power)
式 5.8 の放射パワーパターンを全立体角で積分すると、式 5.9 のようになる。
π
2π
P =
P (θ) sin θ dθ dφ =
θ=0
5.4
5.4.1
φ=0
¨2
¨ 2 Z0
|d|
|d|
=
3
6π 0 c
6πc2
(5.9)
双極子放射のスペクトル (spectrum of dipole radiation)
放射スペクトル (radiation spectrum)
電気双極子モーメント d が、角周波数 ω で振動する場合を考える。
d(t) = d0 cos ωt
(5.10)
このような状況は、ダイポールアンテナからの放射や、電気双極子モーメントを持つ分子の振動や回転
¨ = −ω 2 d(t) なので、式 5.8 を用いて
遷移などで実現される。このとき放射電力は、d(t)
ω 2 |d(t)| sin θ
4πc
P (θ) =
2
Z0
(5.11)
ˆ
より一般的に、d(t) のスペクトル d(ω)
を
ˆ
d(ω)
=
1
2π
∞
d(t)
∞
d(t)eiωt dt
t=−∞
−iωt
ˆ
d(ω)e
dω
=
(5.12)
ω=−∞
とフーリエ変換の関係で表せば、放射電力のスペクトルは
P (θ) =
sin θ
4πc
∞
2
Z0
ω=−∞
2 −iωt
ˆ
ω 4 |d(ω)|
e
dω
(5.13)
39
5.4. 双極子放射のスペクトル (spectrum of dipole radiation)
このことから、単位角周波数 ω あたりの放射電力 Pω (θ) は、
Pω (θ) =
ˆ
ω 2 |d(ω)|
sin θ
4πc
2
Z0
(5.14)
全立体角の放射は式 (5.15) のようになる。
Pω =
5.4.2
2
ˆ
ω 4 |d(ω)|
Z0
2
6πc
(5.15)
ダイポールアンテナ (dipole antenna)
図 5.4: ダイポールアンテナからの放射
電気双極子の例として、ダイポールアンテナが挙げられる。図 5.4 のように、2 つの同じ長さの導体棒
に極性が反対で角周波数 ω の交流電流が給電されるとき、導体棒の電位は ±V0 cos ωt と書ける。このとき
電気双極子モーメントは
d(t) = d0 cos ωt
(5.16)
と書ける。
この電気双極子モーメントと垂直方向に距離 r だけ離れた場所での放射電場は E は、以下のようになる。
¨ = −ω 2 d(t) なので、式 (5.5) を用いると、式 (5.17) のようになる。
• 電場の大きさ : d(t)
E = |E| =
ω 2 d0
4π 0 c2 r
(5.17)
• 位相 : r だけ離れた場所には、r/c だけ過去の放射電場が伝わる。従って振動項は cos(ωt) の t の代わりに
t − r/c を代入して、cos(ω(t − r/c)) となる。位相は φ = ω(t − r/c) = ωt − kr である。
よって、距離 r だけ離れた場所における放射電場は、
E=
と書ける。
ω 2 d0
cos(ωt − kr)
4π 0 c2 r
(5.18)

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