椎名建仁論文内容要旨 - 東北大学

…一一
しいなたけひと
氏名・(本籍)
椎名建仁
学位の種類
博士(理学)
学位記番号
理博第2!50号
学位授与年月日
平成i7年3月25日
学位授与の要件
学位規則第4条第1項該当
研究科,専攻
東北大学大学院理学研究科(博士課程)数学専攻
学位論文題目
111verseGaloisProblemforFhliteGroupswithOuterAutomolphisms
「
(外部自己同型を持つ有限群に関するガロワの逆問題)
論文審査委員
(主査)教授高橋豊文
教授森田康夫,花村昌樹
次
目
山又
一』一一口
△冊
hltrodllction
Cllapterl.BasicConceptgforRea王izhlgGaloisGroups
l.1.HilberfsIrreducibmtyThe〔)rem
L2.RigidityofGaloisCovel-i口gs
l.3.RationalPointsollHurwitzSpaces
L4.ActiolloftheHul・witzbraidgrou1)
1,5.B1閣aidO1'bitTheo1・em
Chapter2.InverseGaloisProblcmforPSL2(ρコ)
2,1.NolatiollsandMaillTlleorem
2.2.CasesofSma11ρ
2.3.DeterminationofGenerathlgSys[ems
2、4・BraidO1・bitofLength2
2.5.BraldOrbitofLell・}th4
ご
Chapter3.Fu1-thel-111vestigations
3.LCon1PutとltiollorBraidOrbits
3.2.TwistedBraidOrbitTheorem
References
論文内容要旨
TheillverseGaloispl'oblemwhichaskswhetherevel'y「hlitegrolll)occursasGaloisgroupoverQisan田lsolvcd
Pr・bleIn・riginと1Hypl'・P・sedbyHHbel-tmoretha11100ye∼lrsag・.Thisl)r・blemchangesenthでlytheaspeαofi{s
difficultybythecaseswhetheragivenfinitegroupσis∼olvableorno11-solvable、Sillceanysolvablegroupis
一88一
construcled by nbellan groups. Ihih. problem is belongs to the region ol' class field lheoi'y. Acluilll),. Safare¥'i pro¥'ecl
that every , olvable group occurs ls G llois group over } .
On lhe other hancl. if G i , non-solvttble, we must ttpply essentitll[y anothet' methods. One ot' such methods i .' the
ri*_.(Tjdily ll7etl70cl, which WaS eslablished by Belyr, Fried, Malzat, Shih and Thompson in the 1970's. Thls method is
baseci on the theory of' G llois coverings of Riematnn suri'aces. The bElsfc /'i**(Tjc!Ity tl7eo/cn7 htates that ir G salisfie .' il
certain group theoreLlcEtl condllion, then G occurs re*o*LLlar]y o¥'er
.
Let C be a finite group with trivial cenler anci C = (Cl""'C.) a luple oi' rational conju*(T.acy clztsses ol' G. The set
ol' generLLting , -systems of C is def'ined as follows:
;( C ):={( crl,....(T)i (r E C rT CF I <(Ti,....(r.>=G}.
The inner autoulorphlsm groL[p Inn(C) acts on ( C ) as componentwise conjugation. The basic rigidity theoi'em
state .' Ihtli G occurs regul lr[y over } il' :c /Inn(G)1=1. If ,'=3, the condition IC /Inn(G)]=1 is not so severe.
However. it' ,･ Z 4, the condition I C lln(G) i =1 is scarcely able lo be satisfiecl.
Oll the other hand, by the theory of Hurwitz spaces, one may obtLlin Galois reallizations in the case I C /Inn(G) i
l.
A Hurwitz space ?{.(G) is lhe moclu[i sptlce ot' branched G-coverin*o*s of P l. By theory of covering space , Ihe
Hurwitz braid group H. acts on the set C /Inn(GD. Here an H.-o]'bit of C nn(G) is cLllled thc bl iicl ol'bit. Each b['aicl
orbit corresponds to a connected component 7 ol' the Hur¥vitz sp2tce 71C.(G). The bl 'icl o,'bit theol'en7 stales thLlt if
f
the orbit satis f'ies tl certaln nunlerical conditlon, the corresponciing covering jves a: Ga]ois realization of G.
f
The {lim of this lhesis is lo realize various t inite simple groups as Gaiois groups over ) by using the braid orbil
theorenl and ils improvements. OL[r strategy is to flnd al Suitable brald orbit with short length.
i
More precisely. in Chapter 2, we discL[s the Galois reatlization of pl )jective speclal linear groups PSL (p ). For
i
}
convenience, instead of' this 'group, we consider the 2-covering roup P L (p ). IfpEi3 (mod 8), the .'el
}
;
C /Inn(G) conlains a unique brtlid orbit of leng-lh 2. Moreover, ifp Ei5 (mod 12), It contains a unique braid orbil
ot' Iength /1.. We prove the uniqueness of' Such orbits and obtain the following main theorem.
Theorem. If' p i I (mod 24), thell PSLi(p ) occL'rs reguli rly over
In Cllapter 3, Yve exlend invesligation lo ¥'arious simple groups of comparalively slT]Llll orcier by the hel}1 of the
comprellensive I ist ATLAS of charLlcler tables of finile simple group and lhe computer al* :ebra systeln GAP.
L
;':
Theorem. The fbllowin_.'_.' flnite sin7plc _._"roups o!'Lie rJ17e ( h7 [/7e no[ation of'ATLAS) occtn' /e_._"uli71-1.1' over )
(1) T/7e _._"roup. S1('1 ). LL=(9). S,=(3) <Ind U=(2).
(ii) Thegrr'up LJ,(3). L,,(2). U,(2). F!(2)'. =D!(2) nlld G_,(4).
*.
*
.
**
'**
-89 -
『
論文審査の結果の要旨
与えられた有限群をガロワ群にもつ有理数体のガロワ拡大が存在するか,というガロワの逆問題は,
ヒルベルトが問題として提出して以来百年を越えているが,近年の目覚しい発展にもかかわらず未解決
の問題である。可解群については類体論を用いてショルツ等によるρ群に対する結果を経て,1954年に
シャファレヴィッチによって肯定的に解決された。一般に,基礎体を有理数体とする代わりに有理数体
上の有理関数体としてガロワの逆問題が肯定的であれば元の問題もそうである。そのためにはリーマン
面のガロワ被覆の定義体を有理数体まで降下できれば問題は解決する。それが可能であるための条件と
して,群の剛性の概念が導入された。ユ970年代以降この方面の研究が進み,非可換単純群については,
ほとんどすべての散在型.単純群,およびリー型単純群の幾つかの系列に対して(部分的な)結果がもた
らされた。
本論文では,未解決であったり一型単純群のうち,有限体上の射影特殊線形群のある系列に対してそ
れらをガロワ群にもつ有理関数休のガロワ拡大が存在することを示した。その証明は,フルヴィッツの
組紐群を用いるマツァットの定理(剛性の方法の拡張定理の一つ)が適用できるような群の共役類の組.
を見出すことにある.その際,共役類の組への組紐群の作用による軌道分解に関して,従来考察されな
かった短い軌道に注目するという新しい観点によってなされた。個々の例ではないこのような系列に対
するマッァットの定理の適用に成功したのは筆者が初めてである。
さらに本論文では,指標表などが知られている93個の非可換学.純群のうち,ガロワの逆問題が肯定的
かどうかが不明と思われるものが27個ある。そのうち,位数が10桁以下の20個の群のうち!0佃のリ一型
単.純群に対してについてガロアの逆問題が成立することを計算機を用いて確かめることができた。
これらの結果は,いずれも著者が自立して研究活動を行うに必要な高度の研究能力と学識を有するこ
とを示している。したがって,椎名建仁提出の博士論文は,博士(理学)の学位論文として合格と認め
るら、
一90∼

Download Report