波束による不確定性原理の導出

ナトリウムランプ
11Na
基底状態: (1s)2(2s)2(2p)6(3s)1
第一励起状態: (1s)2(2s)2(2p)6(3s)0(3p)1
エネルギ
エネルギー
岩谷素顕
3p
589.6[nm]
3s
7-1
7-3
スペクトルがどれだけ正確に測れるか？
がどれだ
確
れ
⇒不確定性原理によって決まる
7-4
波束による不確定性原理の導出
1927 ハイゼンベルグ不確定性原理
The more precisely the position is determined, the
less precisely the momentum is known in this
instant, and vice versa.
--Heisenberg, uncertainty paper, 1927
7-2
Werner Heisenbergg
⎛
ψ (x,0 ) = C ⋅ exp⎜⎜ ik0 x −
⎝
x2 ⎞
⎟
2a 2 ⎟⎠
k0：単一の波数の平面波による
波動関数の平均の波数
h
Δx ⋅ Δp ≥
2
http://www.aip.org/history/heisenberg/
実際の電子を数式を用いて正確に表現するのは不可能
⇒波束で近似する。
7-5
7-6
⎛
ψ (x,0) = C ⋅ exp⎜⎜ ik0 x −
⎝
x2 ⎞
⎟
2a 2 ⎟⎠
⎛
ψ (x,0) = C ⋅ exp⎜⎜ ik0 x −
⎝
∫
波束の存在確率 |ψ(x,0)|
|ψ(x 0)|2は
⎛
2
ψ ( x,0) = C 2 ⋅ exp⎜⎜ ik0 x −
⎝
+∞
−∞
⎛
x2 ⎞
x2 ⎞
⎟ ⋅ exp⎜⎜ − ik 0 x − 2 ⎟⎟
2a 2 ⎟⎠
2
a ⎠
⎝
⎛ x2 ⎞
= C ⋅ exp⎜⎜ − 2 ⎟⎟
⎝ a ⎠
2
ψ ( x,0) dx = 1 となるように係数Cを求め、規格化する
∫
+∞
−∞
1
2
数学公式 Γ関数
2
ψ ( x,0) dx = C 2 ⋅ a π = 1
⎛ 1 ⎞
C = ±⎜
⎟
⎝a π ⎠
0.8
0.6
x2 ⎞
⎟
2a 2 ⎟⎠
2
1
2
= a∫
2
+∞
0
X
−
1
2
exp(− X )dX
⎛1⎞
= aΓ ⎜ ⎟
⎝2⎠
0.2
-2
+∞
⎛ x2 ⎞
⎛ x2 ⎞
exp⎜⎜ − 2 ⎟⎟dx = 2 ∫ exp⎜⎜ − 2 ⎟⎟dx
0
⎝ a ⎠
⎝ a ⎠
+∞
−∞
0.4
-4
∫
=a π
4
7-7
7-8
g (k ) =
位置xと運動量p(または波数k)は
1
2π
∫
+∞
−∞
ψ (x,0) ⋅ exp(− ikx )dx
を変形
1
+∞
ψ ( x,0) = C ∫ g (k ) ⋅ exp(ikx )dk
−∞
フーリエ変換
=
1 ⎛ 1 ⎞ 2 +∞ ⎛
x2 ⎞
⎜
⎟ ∫ exp⎜⎜ ik0 x − 2 ⎟⎟ ⋅ exp(− ikx )dx
−∞
2a ⎠
2π ⎝ a π ⎠
⎝
=
1
2π
1
g (k ) =
1
2π
∫
+∞
−∞
ψ (x,0) ⋅ exp(− ikx
k )dx
d フーリエ逆変換
リ逆変換
x2 ⎞
⎛ 1 ⎞ 2 +∞ ⎛
⎜
⎟ ∫ expp⎜⎜ − i (k − k0 )x − 2 ⎟⎟dx
2a ⎠
⎝ a π ⎠ −∞
⎝
1
1 ⎛ 1 ⎞ 2 +∞ ⎛ 1
⎞
=
⎜
⎟ ∫ exp⎜ − 2 {x 2 + i 2a 2 (k − k0 ) x}⎟dx
−∞
2
a
2π ⎝ a π ⎠
⎝
⎠
の関係
1
⎞
a2
1 ⎛ 1 ⎞ 2 +∞ ⎛ 1
=
⎜
⎟ ∫ exp⎜⎜ − 2 {x + ia 2 (k − k0 )}2 − (k − k0 ) 2 ⎟⎟dx
−∞
2
2π ⎝ a π ⎠
⎝ 2a
⎠
7-9
7-10
g(k)の存在確率|g(k)|2において、最大値の1/eとなるkを求め
ると
ると、
変数変換を使ってさらに変形
1
g (k ) =
=
1
2
1 ⎛ 1 ⎞ 2 +∞ ⎛ 1
a2
2⎞
⎟ ∫ exp⎜⎜ − 2 x + ia 2 (k − k0 ) − (k − k0 ) ⎟⎟dx
⎜
−∞
2
2π ⎝ a π ⎠
⎝ 2a
⎠
1 ⎛ 1 ⎞
⎜
⎟
2π ⎝ a π ⎠
1
2
{
}
⎧ a
2 ⎫ +∞
2a exp⎨− (k − k0 ) ⎬∫ exp − z 2 dz
2
⎩
⎭ −∞
2
(
1
⎛ a2
⎛ a ⎞2
2⎞
=⎜
⎟ exp⎜⎜ − (k − k0 ) ⎟⎟ 変数変換
⎝ π⎠
⎝ 2
⎠
z=
)
{
}
1
x + ja 2 (k − k0 )
2a
⎛ a2
⎛ a ⎞2
2⎞
g (k ) = ⎜
⎟ exp⎜⎜ − (k − k0 ) ⎟⎟
2
⎝ π⎠
⎝
⎠
(
⎛ a ⎞
2
2
g (k ) = ⎜
⎟ exp − a 2 (k − k0 )
⎝ π⎠
k=k0のとき最大
)
⎛ a ⎞
2
g (k0 ) = ⎜
⎟
⎝ π⎠
2
k = k0 ±
7-11
1⎞
⎛ a ⎞1
⎛
1
⎟
のとき、 g ⎜ k 0 ± ⎟ = ⎜
a
a
⎠
⎝
⎝ π ⎠e
7-12
位置の不確定性Δxとは? ⇒ 標準偏差
Ψ(x,0)
= (x − x
)
2
= x −2 x x + x
2
2
= x2 − x
2
0.6
1/e
0 4
0.4
0.2
a
-5
2
0.8
0.6
-7.5
(Δx )
1
0.8
-10
xの二乗の期待値
g(k)
1
0.2
a
-2.5
2.5
xの期待値の二乗
期待値
乗
1/e
0 4
0.4
5
7.5
-2
2
10
-1.5
1 5
-1
1
-0.5
0 5
1 1
a a
0 5
0.5
1
1 5
1.5
x 奇関数
x・・・奇関数
2
x
k
x
∫
=
k空間
実空間
+∞
ψ (x,0)* ⋅ x ⋅ψ (x,0)dx
=0
−∞
+∞
∫
−∞
ψ (x,0 )* ⋅ψ (x,0 )dx
<x>はゼロ
7-13
x2の期待値<x2>を求める
x
∫
=
2
7-14
+∞
−∞
ψ ( x,0)* ⋅ x 2 ⋅ψ ( x,0)dx
d
∫
+∞
−∞
ψ ( x,0)* ⋅ψ ( x,0)dx
⎛ x2 ⎞
exp⎜⎜ − 2 ⎟⎟x 2 dx
∞
a π −∞
⎛1⎞
⎝ a ⎠
∫0 X exp(− X )dX = Γ⎜⎝ 2 ⎟⎠ = π
∞
2
a2
exp(− X )Xa 2
dX
=
∞
∫
p −1
0
a π
2 X
∫0 x exp(− x )dx = Γ( p)
1
a2 ∞
= ( p − 1)Γ( p − 1)
=
∫ exp(− X )X 2 dX
公式：
1
=
1
−
2
∫
π
=
=
+∞
a
2
Δx =
0
π
a2
π 2
a2
2
7-15
7-16
kの二乗の期待値
(Δk )2 =
波数の不確定性Δkも同じ
k2 − k
2
k2の期待値<k2>を求めると
+∞
k
kの期待値の二乗
∫ g (k ) ⋅ k ⋅ g (k )dk
=
∫ g (k ) ⋅ g (k )dk
2
−∞
1
⎛ a2
⎛ a ⎞2
2⎞
⎟ exp⎜⎜ − (k − k0 ) ⎟⎟
<k>はどうなるか？ g (k ) = ⎜
⎝ π⎠
⎝ 2
⎠
+∞
k =
∫ g (k ) ⋅ k ⋅ g (k )dk =
∫ g (k ) ⋅ g (k )dk
−∞
+∞
*
*
−∞
=
a
π
= k0
a
π
∫
+∞
−∞
−∞
2
∞
0
∫
2
0
a ⋅ k0
π
∫
+∞
−∞
{
}
exp − a (k − k0 ) dk
2
2
奇関数なのでゼロ
7-17
X
∞
0
2
0
∫
}
k ⋅ exp − a 2 (k − k0 ) dk
∫ (k − k )⋅ exp{− a (k − k ) }dk +
+∞
{
−∞
公式：
1
−
2
x
⎛1⎞
eexpp(− X )d
dX = Γ⎜ ⎟ = π
⎝2⎠
p −1
exp(− x )dx = Γ( p)
= ( p − 1)Γ( p − 1)
奇関数と偶関数
=
a
=
a
π
π
∫
+∞
∫
+∞
−∞
−∞
*
+∞
2
*
{
}
exp − a 2 (k − k0 ) k 2 dk
(
2
)
exp − a 2 K 2 (K + k0 ) dK
2
π ⎞⎟
a ⎛ π
2
⎜
+ 0 + k0
a ⎟⎠
π ⎜⎝ 2a 3
1
2
= 2 + k0
2a
=
7-18
(Δx) 2 = x 2 − x
=
2
a
2
Δx =
a
2
2
(Δk ) 2 = k 2 − k
2
ナトリウムランプを例にとって演習をやりましょう
厳密はピ軌道相互作用効果があるが今回は無視
厳密にはスピン軌道相互作用の効果があるが今回は無視
1
2
2
= 2 + k0 − k0
2a
1
= 2
1
h
2
a
Δx ⋅ Δk = ⇒ Δx ⋅ Δp =
2
2
1
Δk =
2a
標準偏差最小の場合
標準偏差最小
場合
11Na
基底状態: (1s)2(2s)2(2p)6(3s)1
第一励起状態: (1s)2(2s)2(2p)6(3s)0(3p)1
エネルギ
エネルギー
h
Δx ⋅ Δp ≥
2
3p
注意:不確定性原理の式の右辺は、教科書によってh、ħ、h/2、
注意
不確定性原理の式の右辺は教科書によってh ħ h/2 ħ/2な
ど色々あるが、これは波束の広がりをどのように定義するかによっ
て異なるためである。厳密にはħ/2が下限となるので、本講義ではそ
の式を用いた
7-19
今日の内容
z
不確定性原理
7-21
589.6[nm]
3s
7-20

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