Page 1 [1] 与式から 1. 2OC=-0 1 + OA U3 OB …① + 2 2OC = 2 + OA

[1]
１. 与式から
2OC=-0OA + U 3 OB1
2
+ 2OC = OA + U 3 OB
また題意から
…①
2
…②
OA = OB = OC =1
だから
4=1+3+2U 3 OA ･OB
これより OA ･ OB =0
…③
次に①，②，③より
1
OA ･ OC = - OA ･ 0OA + U 3 OB1
2
1
=- 0 1 + 0 1
2
1
=2
F
OA ･ OB = 0
OA ･ OC = -
… [答 ]
1
2
２. １．の結果と②より
cos 4AOB = 0
>
cos 4AOC = -
+
F
4AOB =
p
2
2
4AOC = p
3
３. ２．の結果と題意より
5
4BOC= p
6
よって ②も用いて
1
2
… [答 ]
…④
0 △ABC1 = 0 △AOB 1 + 0 △BOC1 + 0 △COA 1
1
p
1
5
1
2
= sin + sin p+ sin p
2
2
2
6
2
3
1
1
3
3+ U 3
= + +U =
2
4
4
4
…4 答5
４. ②，④より
2
BC = 1 + 1 - 2cos
5
p
6
=2 +U 3
= 0U
3 + 11 2
2
U 3 +1 = U 6 +U 2
+ BC =
2
U2
… [答 ]
同様に BA = U 1 + 1 = U 2
また，２．の結果と題意より
4ABC=
1
p
4AOC=
3
2
ゆえに，求める長さは
BA sin 4ABC
p
= U 2 sin
3
6
=U
2
…4 答 5
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[2]
１. 題意より
2
2n + 5
n -1 1 =
0
7
7
a n =1+
… [答 ]
よって
n
P a k =
k=1
n
2n + 5
n 2n + 12 1
n n +6 1
1+
… [答 ]
= 0
= 0
2
7
14
7
8
9
２. １ .の結果から　19
5
a 7 =
=2+
7
7
a 14 =4+
5
7
a 15 =5
だから，題意より
b 7 =2
F
b 14 = 4　b 15 = 5
… [答 ]
３. 自然数nについて
n = 7k + r
1 (r (7
>
なる整数k，rが存在し，１ .の結果より
2 7k + r 1 + 5
2r + 5
a n = 0
=
+2k = a r +2k
7
7
これと
9 11 13 15 17 19
0 a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 71 = 1,
,
,
,
,
,
7 7
7
7
7
7
8
9
2k + 1 0 1 ( r ( 4 1
2k + 2 0 5 ( r ( 7 1
…①
100=7 % 14+2 …②
より
b n =2k + 2 a r3
=
>
ここで
より
b 100 =2 % 14+1=29 … [答 ]
①より
7k+7
P b j = 40 2k + 1 1 +30 2k +2 1 =14 k +10
j =7k+1
これを S kとおくと①，②より
100
13
k=1
k=0
P b k = P S k + b 99 + b 100
13
= P 0 14k + 10 1 +29 % 2
k=0
=
14
10+14 % 13 +10 1 +58
2 0
=1472 … [答 ]
[3]
>
x = e tcos t
１.
y = e tsin t
から，t に関する微分を " - " で表して，
>
x - = 0 -sin t + cos t 1e t
y - = 0 sin t + cos t 1e t
よって
v=
8
t
0 cos t - sin t 1e
0 cos t + sin t 1e
t
9
… [答 ]
であり，
2
v = e 2t0 1 - 2cos t sin t + 1 + 2cos t sin t 1
=2e 2t
から， v = U 2 e t
２. １．の結果より t=
p
v =e 2
だから
-1
8 9
1
a=
… [答 ]
p
のとき
2
p
=U2 e 2
cos
3
p
4
sin
3
p
4
@ A
3
p
4
３. １．の結果から
v =U 2 e t
@
p
4
8 9
p
sin t+
8 49
cos t +
A
だから
cos h =
OP ･ v
OP v
8
=cos t +
p
p
p
cos t +sin t+
sin t =cos
4
4
4
0( h ( p として十分だから， h =
9
p
4
8
9
となり， h は一定である。
h=
p
4
[終 ]
… [答 ]
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4 45
１.
y = x 2 -1
y
1
… [答 ]
-1
O
-1
1
x
y =-x 2 +1
２. 0( x ( 1 では y =-x 2 +1 だから題意より
Q
V1 = p
1
0
1
Q 0 1 -y1dy
x 2dy = p
0
1
= p - 0 1 - y 1 2
2
<
=
=
1
0
p
2
… [答 ]
また 1( x では y = x 2 -1 だから b = a 2 -1 として
b
Q
= p 0 b - y 1dy
Q
V2 = p
a 2 - x 21dy
0
0
b
0
1
= p - 0 b - y 1 2
2
<
=
b
0
=
p 2
b
2
=
p 2
a - 11 2　20
… [答 ]
３. ２ . より
V1 = V2
2
2
C 1= 0 a - 11
a >1 から
a 2 -1=1
+　a = U 2 … [答 ]
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