フィードバック制御

2013年度フィードバック制御第6回資料
第 6 章：フィードバック制御系の安定性
6.1 フィードバック系の内部安定性
フィードバック制御
キーワード：内部安定性，特性多項式
2013年度後学期
担当教員: 藤田政之教授 (S3-1016)
6.2 ナイキストの安定判別法
キーワード：ナイキストの安定判別法
第6回講義
11月14日（木） 9:45～12:15, S632
学習目標：フィードバック制御系の内部安定性について
理解する．ナイキストの安定判別法を理解し，
フィードバック制御系の安定性を判定できる
2
ようになる．
y(s)
1
=
u (s) s − 1
⇒ ( s − 1) y ( s) = u ( s)
分母の次数が分子の次数より大きい
d
u
K (s )
+
−
K (s ) ：プロパー（ | K (∞) |< ∞ ）
+
P(s)
y
s −1
1
1
= 1−
, K (s) =
s −1
s
s
P( s) K (s) =
安定？
3
外部から加わる信号 {r ( s), d ( s )} から各要素の
出力 {u ( s), y ( s )} への 4 つの伝達関数がすべて安定
G yr だけでは不十分
− P ( s) K ( s)
1 + P( s) K ( s)
P( s)
1 + P( s) K (s)
初期値 y0 = 0
4
不安定
N K ( s)
DK ( s)
既約
DP ( s ) N K ( s )
φ (s)
Gud =
− N P ( s) N K (s)
φ (s)
N P ( s) N K ( s)
φ (s)
G yd =
N P ( s ) DK ( s )
φ (s)
P( s) =
N P ( s)
,
DP ( s )
Gur =
G yr =
K (s) =
φ ( s) := DP ( s) DK (s) + N P (s) N K ( s)
K (s)
1 + P( s) K ( s)
特性多項式
d
r +
−
K ( s)
u
+
+
P( s )
［定理］（内部安定性の必要十分条件）
y
特性多項式
P( s) K (s)
G yr ( s) =
1 + P( s) K ( s)
G yd ( s ) =
0 .5
y (s) =
内部安定性
Gud ( s ) =
初期値 y0 を考慮
1
1 s −1
1
⋅
(r ( s ) − y ( s)) +
y0
s −1 s
s −1
s
( s + 1) y ( s) = r ( s) +
y0
s −1
1
s
y ( s) =
r ( s) +
y0
s +1
( s + 1)( s − 1)
1 s −1 1
⋅
=
s −1 s
s
d = 0 のとき
1
1
P( s) K ( s)
⋅ r ( s)
y(s) =
⋅ r ( s ) = s ⋅ r (s) =
1
s
+1
1 + P( s) K ( s)
1+
s
Gur ( s) =
y& (t ) − y (t ) = u (t )
初期値 y0 = 0.01
( sy ( s) − y0 ) − y ( s) = u ( s )
0
0
3 4 5
6
1 2
1
1
t
y (s) =
u ( s) +
y0
s −1
s −1
図 6.2 ステップ応答例
s −1
u ( s ) = K ( s )(r ( s ) − y ( s )), K ( s ) =
より
s
図 6.1 フィードバック制御系
［例 6.1 ］不安定な極零相殺
P(s) =
r +
1.5
y (t )
6.1 フィードバック系の内部安定性
P(s) ：厳密にプロパー（ P(∞) = 0 ）
2
P( s) =
φ ( s ) := DP ( s ) DK ( s) + N P ( s) N K ( s ) = 0
のすべての根の実部が負
5
6
1
2013年度フィードバック制御第6回資料
［例 6.1 ］
P(s) =
N P ( s)
DP ( s )
K ( s) =
N K ( s)
DK ( s )
［結果 1 ］
P(s) と K(s) の間に不安定な極零相殺が存在するとき，
フィードバック制御系は内部安定ではない．
φ ( s) := DP ( s) DK ( s ) + N P ( s ) N K ( s )
P(s) =
1
s −1
K (s) =
s −1
s
［結果 2 ］
φ (s ) = ( s − 1) ⋅ s + 1 ⋅ ( s − 1) = ( s − 1)( s + 1) = 0
P(s) と K(s) の間に不安定な極零相殺が存在しないとき，
以下の三つは等価である
不安定
G yr ( s ) =
P(s) K (s)
s −1
=
1 + P ( s ) K ( s ) ( s − 1)( s + 1)
（a）フィードバック制御系が内部安定
（b） G yr (s ) が安定
不安定な極零相殺が生じている
G yr ( s ) =
P( s) K (s)
1 + P(s) K ( s)
（c） 1 + P ( s ) K ( s ) の零点がすべて安定
7
[ 結果 2 ] (b) ⇔ (c) の証明＊
[ 結果 1 ] の証明
P(s) =
8
N P ( s)
DP ( s )
K ( s) =
Im
N K ( s)
DK ( s )
S (s) =
s0
φ ( s) := DP ( s) DK ( s ) + N P ( s ) N K ( s )
O
Re
1
とおくと
1 + P( s) K ( s)
S ( s ) + G yr ( s ) =
s = s0 (Re[ s0 ] ≥ 0) で K(s) の極と P(s) の零点が相殺したとする．
1
P(s) K (s)
+
= 1 が成り立つ．
1 + P( s) K ( s) 1 + P( s) K ( s)
(b) ⇒ (c)
不安定
φ (s)
6章演習問題 [3]
DK ( s 0 ) = N P ( s 0 ) = 0
G yr (s ) が安定
φ ( s0 ) = 0 (Re[ s0 ] ≥ 0)
S ( s ) = 1 − G yr ( s) が安定
の根の一つであるである S0 の実部は負ではない
1 + P ( s ) K ( s ) の零点がすべて安定
9
[ 結果 2 ] (a) ⇔ (b) の証明＊ 6章演習問題 [3]
(a) ⇒ (b) は明らか
(b) ⇒ (a)
背理法
P(s) と K(s) の間に不安定な極零相殺が存在しないとき，
N (s) N K (s)
G yr ( s ) = P
が安定で，内部安定ではない，と仮定
φ (s)
P124
P( s) =
s
, K ( s ) = −1
s +1
d
r +
−
u
K ( s)
+
+
y
P( s )
図 6.1 フィードバック制御系
Gur ( s ) = − s − 1, Gud ( s ) = −G yr ( s ) = G yd ( s ) = s
プロパーではない
Re[ s0 ] ≥ 0 に対して φ (s ) は ( s − s0 ) を因子に持つ
Well-posed
Gur ( s ), Gud ( s ), G yr ( s ), G yd ( s ) がすべて適切に定義され，
かつプロパーになるとき，フィードバック系は well-posed である
といわれる．
G yr (s ) の分子も ( s − s0 ) でわり切れる
DP ( s0 ) DK ( s0 ) = 0
N P ( s0 ) = 0 の場合
DP ( s0 ) ≠ 0 かつ，不安定な極零相殺がない
DK ( s0 ) ≠ 0
DP ( s0 ) DK ( s0 ) = 0 に矛盾
N K ( s0 ) = 0 の場合も同様
10
Well-posed （ウェルポーズド）
内部安定ではない
N P ( s0 ) N K ( s0 ) = 0
(c) ⇒(b)
S (s ) の極がすべて安定
フィードバック制御系が内部安定ではない
K(s) の零点と P(s) の極が相殺したときも同様．
逆も成立するので
必要十分条件
11
1 + P (∞ ) K (∞ ) ≠ 0
12
2
2013年度フィードバック制御第6回資料
ナイキストの安定判別法
6.2 ナイキストの安定判別法
［1］目的
{ p1 , p2 , L, pn }：開ループ系 P ( s ) K ( s ) の極
フィードバック系の内部安定性
{r1 , r2 , L, rn } ：閉ループ系（制御系）の極
⇔ 特性多項式 φ ( s) = 0 の根を求める
1 + P(s) K (s) = 1 +
因数分解などにより，直接計算する
実際的でない
還送差
=
ラウス＝フルビッツの安定判別法を適用する
高次系では手間がかかる
D ( s ) DK ( s ) + N P ( s) N K ( s )
N P (s) N K (s)
⋅
= P
DP ( s ) DK ( s )
DP ( s ) DK ( s)
（閉ループ系の極）
( s − r1 )( s − r2 ) L ( s − rn )
=
（開ループ系の極）
( s − p1 )( s − p2 ) L ( s − pn )
Π = （ { p1 , p2 ,L, pn } の中で）開ループ系の不安定極の数
開ループ伝達関数の周波数応答に
基づき図的に判別する
知っている
Z
= （ {r1 , r2 ,L , rn } の中で）閉ループ系の不安定極の数
知りたい
13
［2］方法
複素数 s を決めると，対応
する複素数 w が定まる．
写像 w = 1 + P ( s ) K ( s )
閉曲線 C （このなかにすべての不安定な極がある）
s ：（閉曲線 C に沿って）
O → a → b → c → O と時計方向に 1 回転
Π = 閉曲線 C の内部にある開ループ系の極の数
このとき，対応する w が描く軌跡： Γ1
Z = 閉曲線 C の内部にある閉ループ系の極の数
a
14
N = Γ1 が原点を時計方向にまわる回転数
Im
C
Im
Im
半径 R → ∞
b Re
Γ1 : [1 + P ( s ) K ( s )]s =C
C
a
O
b
Re
Re
O
O
c
c
図 6.3（a）右半平面全体を囲む閉曲線 C
Z =N+Π
Π ：閉曲線 C の内部にある
開ループ系の極の数
Π ：既知
N ：図的に調べる
Z ：閉曲線 C の内部にある
［3］証明
w = 1 + P( s) K ( s) =
n
Z = 0 ならば安定
Im
Im C
b
i =1
O
Z ≠ 0 ならば不安定
i =1
o
が C の内部にあるとき：正味 1 回転 (−360 )
ri
Γ1
（a）
Re
Re
( s − r1 )( s − r2 ) L ( s − rn )
( s − p1 )( s − p2 ) L ( s − pn )
n
r ri
ベクトル ai
まわる回転数
a
16
∠w = ∑ ∠( s − ri ) − ∑ ∠( s − pi )
閉ループ系の極の数
N ： Γ1 が原点を時計方向に
Z ：知ることができる
図 6.3 閉曲線 C とその 1 + P( s ) K ( s ) による像 Γ1
15
Im
r
s ai
が C の外部にあるとき：正味の回転数は 0
Im
（b）
∠( s − ri )
O
O
c
17
r
ai
C
ri
Re
∠( s − ri )
ri
図 6.4 ( s − ri )の偏角の変化
s
O
C
Re
18
3
2013年度フィードバック制御第6回資料
n
n
i =1
i =1
［4］ベクトル軌跡の利用
∠w = ∑ ∠( s − ri ) − ∑ ∠( s − pi )
v = P( s ) K ( s )
n
∑ ∠(s − r )
i =1
Γ1
Γ が点 (−1,0) を
n
∑ ∠(s − p )
i
i =1
の総変化量 = −360o × Π
∠w の総変化量 = −360 × ( Z − Π )
o
Z =N+Π
20
［ステップ 3 ］開ループ伝達関数 P( s ) K ( s ) の極の中で実部が正で
あるものの個数を調べ，これを Π とする．
Im
Γ : [ P ( s ) K ( s )]s =C
O
O
［ステップ 2 ］ナイキスト軌跡 Γ が点 (−1,0) のまわりを時計方向に
まわる回数を調べ，これを N とする．
実軸に関して対称
半径 R → ∞
b Re
Re
［ステップ 1 ］開ループ伝達関数のベクトル軌跡 P( jω ) K ( jω ) を，
角周波数 ω = 0 ~ +∞ の範囲で描く．さらにこれを実軸
に関して上下対称に描き，ナイキスト軌跡 Γ を得る．
• C 上を c → O と動くとき，ベクトル軌跡と
a
Re
ナイキストの安定判別法
の円周上を動くとき P (∞) K (∞) = 0
C
Γ1 : [1 + P( s ) K ( s )]s =C
19
P( jω ) K ( jω ) (ω = 0 ~ +∞) に一致する
Im
Im
O
s : • C 上を O → a と動くとき，ベクトル軌跡
∞
N 回まわる
Γ : [ P( s ) K ( s )]s =C
−1
∴ N =Z−Π
• 半径
Γ1 が原点を
N 回まわる
Im
よって
w = 1 + P( s) K ( s)
Γ ：ナイキスト軌跡
の総変化量 = −360o × Z
i
右に 1 だけ移動
−1
［ステップ 4 ］閉ループ系の不安定な極の数は Z = N + Π となる．
したがって， Z = 0 ならばフィードバック制御系は安定，
Z ≠ 0 ならば系は不安定である．
Re
O
c
21
安定 ⇔
Z =0 ⇔ −N =Π
第 6 章：フィードバック制御系の安定性
ナイキスト軌跡が点 (−1,0) のまわりを反時計方向に
6.1 フィードバック系の内部安定性
まわる回数が, 開ループ伝達関数の不安定極の個数
キーワード：内部安定性，特性多項式
に等しいならば，制御系は安定である．
6.2 ナイキストの安定判別法
ナイキストの安定判別法の利点
キーワード：ナイキストの安定判別法
• ループを閉じる前の開ループ伝達関数の周波数応答によって，
図的に制御系（閉ループ系）の安定性を判別できる
• 計算の必要がなく，次数の高い系やむだ時間系にも容易に
適用できる
• 実測データに基づいて判定できる
• 直感的に分かりやすく，さらに安定余裕も調べられる
22
23
学習目標：フィードバック制御系の内部安定性について
理解する．ナイキストの安定判別法を理解し，
フィードバック制御系の安定性を判定できる
24
ようになる．
4
2013年度フィードバック制御第6回資料
第 6 章：フィードバック制御系の安定性
次回
6.2 ナイキストの安定判別法（予習：P110～）
キーワード：簡単化されたナイキストの安定判別法
6.3 ゲイン余裕，位相余裕（予習：P120～）
キーワード：位相交差周波数，ゲイン交差周波数，
位相余裕，ゲイン余裕
学習目標：簡単化されたナイキストの安定判別法に
ついて理解する．安定性の程度を評価する．
ゲイン余裕や位相余裕について理解する．
25
5

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