λ

Ｈ：等級
２００７年１１月２６日
単位名
学部 :天体輻射論I
大学院：恒星物理学特論IV
教官名
中田好一
授業の最後に出す問題に対し、レポートを提出。
成績は「レポート＋出欠」でつける。
授業の内容は下のHPに掲載される。
http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
授業タイトル
A：原子のエネルギー準位
２００７年１０月１日
Ｂ：化学平衡
２００７年１０月１５日
Ｃ：線吸収
２００７年１０月２２日
Ｄ：連続吸収
２００７年１０月２９日
Ｅ：ダストの吸収
２００７年１１月５日
Ｆ：輻射強度
２００７年１1月１２日
Ｇ：黒体輻射
２００７年１1月１９日
Ｈ：等級
２００７年１1月２６日
Ｉ：
２００７年１２月３日
色等級図
Ｊ：星間減光
２００７年１２月１０日
Ｋ：輻射方程式
２００７年１２月１７日
Ｌ：エディントン近似
２００８年１月７日
Ｍ：吸収線の形成
２００８年１月２１日
Ｎ：星のスペクトル
２００８年１月２８日
Ｈ．１．１等級の差って何？
紀元前２世紀にギリシアのヒッパルコスが目で見える星の明るさを１等から６等まで
の６グループに分けた。（と、プトレマイオスのアルマゲストに書いてあるらしい。）そ
の後、１８３０年にジョンハーシェル、１８５６年ポグソンが等式を定式化した。
ハーシェルの方法
口径Ｄａの望遠鏡で明るさAの星を、口径Ｄｂの望遠鏡で明るさBの星を見たら
同じ明るさに見えたとする。これは、
Ａ×Ｄａ２＝Ｂ×Ｄｂ２
したがって、Ａ / Ｂ =Ｄｂ２ /Ｄａ２を意味する。
こうして、等級が１等上がると明るさは約（１/２．５）倍に落ちることを見出した。
=
ちょっと、ハーシェルの真似をして、１等差が明るさで何倍かを推定して見よう。
（１）星の本当の明るさは皆同じ
（２）星の数密度は一様等方
（３）等級が1等上がると明るさは（１/Ａ）倍
と仮定する。
見かけの明るさは距離Ｄと１/Ｄ２の関係だから、（１）と（３）の仮定は、
「明るさが１/Ａ倍になると距離は（√Ａ）倍、体積はＡ３/２倍になる」ということである。
（２）の仮定は、体積と星の数は比例する
ということだから、
N2
１等増える毎に星の数が何倍になる
かを調べればＡが決まるはずである。
N1
N2/N1=V2/V1
＝（R2/R1)３
＝A3/2
log(N2/N1）＝(3/2)logA
２等
1等
ヒッパルコスの等級の表はしらないので、ややいんちきだが、理科年表から、
実視等級(M)
－１
０
１
２
３
４
５
６
個数
２
７
１２
６７
１９０
７１０
２０００
５６００
累積（N)
２
９
２１
８８
２７８９８８
２９８８
８５８８
3.48
3.93
log N
0.30 0.95 1.32 1.94
2.44
2.99
０
１
４
右のグラフから、
log N
＝０．９５＋０．５*M
log N
３
１等暗くなる（Mが１上がる）
と、logNが0.5増加する。
２
前頁の式から、
１
０．５＝（３/２）log A
ｌog A=1/3
A=2.2
０
－１
２
３
M
４
５
６
Ｈ．２．みかけ等級（ａｐｐａｒｅｎｔｍａｇｎｉｔｕｄｅ）
見かけ等級ｍの定義
ｍ＝ー２．５ｌｏｇ１０（Ｆ / Ｆｏ）
Ｆ（λ）
Ｆ＝対象天体のフラックス
logF(λ)
ｍ(λ)
Ｆｏ＝基準天体のフラックス
＝見かけ等級０のフラックス
＝αＬｙｒａｅ（ベガ）のフラックス（に近い）
log Fo(λ)
λ
注意
二つの星があり、等級はｍ１とｍ２、フラックスはＦ１とＦ２とする。
ｍ１－ｍ２＝Δｍ＝－２．５log(Ｆ１/Ｆ２)
F1/F2＝10-0.4Δｍであるから、等級差が１等、Δｍ＝１のとき
F1/F2＝10－０.4＝1/2.512
１等差はフラックスでは約２．５倍に相当
この２．５（２．５１２）は最初の行、等級の定義、に出てくる２．５とは違う。
０等フラックスＦｏ（１）
（１）ＩＡＵ(International Astronomical Union)１９２２年総会
写真等級（photographic magnitude）と写真実視等級(photovisual magnitude)
を北極系列(north polar sequence)の９６星で定義。
αUMi(北極星、Polaris)=２等で基準星だったが、後に変光星と判明。
（２）Ｊｏｈｎｓｏｎ（１９５３）により、光電管による新しい等級の提唱
αＬｙｒ (A0型）＝０等
（３）ＣＣＤ測光になっても、新しい等級の提唱はなかった。
有効波長、ゼロ等フラックス等は精密化している。
（４）最近提唱されたＡＢ等級はゼロ等フラックスを初めに定義という点であたらしい
フラックスと言っても、
（１）総エネルギー
F。
（２）単位波長当たり
Fλ
（３）単位周波数当たり Fν
Fλ
Fν
Fλ
Fν
ν
λ
０等フラックス（２）
このように、フラックスは表示方式を指定する必要がある。
しかし、等級ｍには周波数表示の等級ｍνや波長表示のｍλは必要ない。
ｍλ ＝－２．５log10[F(λ)/Fo（λ）]
ｄF=F(λ)ｄλ＝[λF(λ)]ｄλ/λ
＝－２．５log10[λF(λ)/λFo（λ）]
ｄF=F(ν）ｄν＝[νF(ν）]ｄν/ν
＝－２．５log10[νF(ν)/νFo（ν）]
だが、λν＝ｃなので
＝－２．５log10[F(ν)/Fo（ν）]＝ｍν
ｄλ/λ＝ｄν/ν
だからである。
よって、λF(λ)＝νF(ν)
現在ではゼロ等のフラックスFoは、多数の標準星のセット＋精密な大気モデルから
決められる。下のシステムではＶ（ベガ）＝０．０３、Ａ０Ｖ星のカラー＝０
下の表は、波長λに対してＦｏ（ν）が示されているので注意。１Jy=１０－２６W/ｍ２/Hz
Ｆ(mag=０,ν)
バンド
U
B
V
Rc
Ic
J
H
K
L
M
N Q
λ(μ) 0.366 0.438 0.545 0.641 0.798 1.22 1.63 2.19 3.45 4.8 10.6 21
Fo(Jy) 1790 4063 3636 3064 2416 1590 1020 640 285 170 36 9.4
Bessell, Castelli,Plez 1998
Rieke,Lebofski,Low 1985
０等フラックス（３）
αＬｙｒ
αＬｙｒ（Ｖｅｇａ）のスペクトルは１００００Ｋの黒体輻射に近い。
ＩＲＡＳ(InfraRed Astronomical Satellite 1983)では、
温度T=10,000K, 立体角Ω＝１．５７・１０－１６の黒体円盤からの
フラックスを０等として採用する。
Fo ( )  1.57 10
16
x3
B (T  10,000K )  2.09 10 
(Jy)
exp x  1
1.4388
1.4388
x

T (10 4 K ) m   m 
3
A0V星の半径Ｒは太陽の2.5倍＝１．７４×１０９ｍ
αＬｙｒの距離Ｄは７．７ｐｃ＝2.37×１０１7ｍ
したがって、視角θ＝Ｒ／Ｄ＝7.34×10－９
αＬｙｒの立体角＝πθ２＝１．６９×１０－１６
上の１．５７と少し違う（８％）のはＡ０Ｖ星の有効温度Ｔｅｆｆ＝９８００Ｋとの２％の
温度差による総フラックス差（８％）を補うためだろう。
αＬｙｒは黒体輻射を比べると、
１）ＵＢＶバンドでずれが大きい。後の課で説明する。
２）下に示すように遠赤外でフラックス超過が見られる。ダスト円盤がついていた。
バンド
U
B
V
Rc
Ic
λ(μ) 0.366 0.438 0.545 0.641 0.798
Fo(Jy) 1790 4063 3636 3064 2416
Vega
1736 3941 3527 2972 2343
ＦＩＲＡＳ 2420 2887 2951 2764 2397
12
25
60
100
41.5 11.0 9.5 7.7
28.3 6.73 1.19 0.43
4
log F(ν)
B V
(Jy)
R I
αＬｙｒ(Vega)と黒体輻射と比べると、
J
U
3
Fo(Vega)
H
F(IRAS)
K
L
青い波長帯で
黒体輻射からずれ
2
遠赤外超過
1
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
log λ(μ)
比較のため、前回レポート（Ｇ）で作ったダスト雲のモデルスペクトルを示す。
半径１００μｍのスペクトルとの類似に注意。
Vegaダスト雲のスペクトル
a=0.1μ ｍ
a=100μ ｍ
Vega
6
5
0.1μｍ
log Ｆ(Ｊｙ)
4
3
100μｍ
2
1
0
Vega
-1
-2
-3
0
0.5
1
1.5
logλ （μ ｍ)
2
2.5
3
等級とフラックス
ｍ＝ー２．５ｌｏｇ１０（Ｆ / Ｆｏ）を書き直すと、
等級ｍ（λ）の星のフラックスＦ（λ）＝１０ーｍ（λ）/２．５ F０（λ）
例１．ｍ＝－１

Ｆ（ｍ＝－１）＝Ｆo×１０１/ ２．５＝２．５１２Ｆo
ｍ＝＋５

Ｆ（ｍ＝５）＝Ｆo×１０－5 / 2.5＝０．０１Ｆo
Δ ｍ＜＜１のとき、
Ｆ（ｍ＋Δ m）／Ｆ（ｍ）＝１０－Δ ｍ/２．５＝exp (－Δ ｍ×ln10 / 2.5 ）
＝ exp(－Δ ｍ×２.３０２/２.５）＝exp(－0.921Δ m) ≒（１－Δ m ）
上の関係は概算の際に便利。
例えば、等級が０．１大きい星は、フラックスで約１割小さい。
Ｈ．３．絶対等級（ａｂsolute ｍａｇｎｉｔｕｄｅ）
絶対等級＝天体を距離１０ｐｃに置いたときの等級
記号は、見かけ等級：Ｖ、Ｋまたは、ｍＶ、ｍＫ
絶対等級：Ｍｖ，ＭＫ
距離Ｄの星を１０ｐｃに置いたときの等級を計算しよう。
Ｆ＝Ｌ／４πＤ２
Ｆ１０ｐｃ＝Ｌ／４π（１０ｐｃ）２
ｍ＝－２．５log (F/Fo)
M＝－２．５log (F１０ｐｃ/Fo)
m-M=－２．５log (F/Fo)＋２．５log (F１０/Fo)
= 2.5 log(D/10pc)2 = 5 log(D/10pc)
ｍ = Ｍ + ５ log(D/10pc)
距離指数（ Distance Modulus ）＝ (m－M)o ＝5 log(D/10pc)
途中で光が吸収されると、見かけ等級ｍはＡ等大きくなるので、
ｍ＝M+５log(D/10pc)＋Ａ
距離指数の例
天体
距離
距離指数
αＣｅｎ
1.4 pc
-4.3
αＬｙｒ
7.7 pc
-0.57
α UMi (北極星)
120 pc
5.4
オリオン大星雲
460 pc
銀河中心
8.5 kpc
14.6
7.0 kpc
14.2
大マゼラン雲
５０ｋｐｃ
18.5
Ｍ３１（アンドロメダ銀河）
0.71 Mpc
24.3
18 Mpc
31.3
Ｖｉｒｇｏ銀河団
8.3
等級と距離
フラックス＝Ｆ２
Ｆ２＝Ｌ／（４πＤ２２）
等級＝ｍ２
Ｄ２
フラックス＝Ｆ１
等級＝ｍ１
Ｆ１＝Ｌ／（４πＤ１２）
ｍ２ーｍ１
＝ー２．５log（Ｆ２ /Ｆｏ）＋２．５log（Ｆ１ /Ｆｏ）
＝５log（Ｄ２ /Ｄ１）
Ｄ１
注意：２つの天体の等級差は、距離の比を表わす。距離の絶対値ではない。
ｍａーｍｂ＝１０だと、5 log(Da/Db)=10 より、Ｄａ/Ｄｂ＝１００は正しい。
しかし、Ｄａ－Ｄｂ＝１０ｍとか、Ｄａ－Ｄｂ＝１００ｐｃと考えてはいけない。
見かけ等級
αLyr
絶対等級
αLyr
１０ｐｃ
距離はそのまま。
１０ｐｃに置いたときの見かけ等級
等級の基準はαLyrのフラックス。
等級の基準はαLyrの地球上でのフラッ
クスであり、αLyrを１０ｐｃに置いたとき
のフラックスではない。
波長により、αLyrとのフラックスの比は
変わるから、波長の指定が必要。
U,B,V,...または、ｍU,ｍB,...
波長により、αLyrとのフラックスの比は
変わるから、波長の指定が必要。
MU,MB,MV,...
Ｈ．４．輻射等級
見かけ輻射等級 Apparent Bolometric Magnitude ：
ｍBOL=－2.5 log [∫F(λ)dλ / FoBOL]＝－2.5 log (Ｆ / FoBOL)
FoBOL ：ｍＶ＝０のＦ３Ｖの星の全フラックス
＝２．５１０－８Ｗ／ｍ２
通常の等級はＡ０Ｖ星で決めるが、ここだけＦ３Ｖ星が登場する。
全波長でｍλ=0等となるA0V星の全フラックスは輻射等級のゼロ点ではない。
その理由は次の輻射補正で考える。
絶対輻射等級 Absolute Bolometric Magnitude
ＭＢＯＬは１０ｐｃから見た輻射等級。
見かけ輻射等級
絶対輻射等級
総フラックス F=∫Fλｄλ と基準フラック
ス Fo との比を等級にする。
基準星はV（０．５５μ）＝０のF3V型星。
この星はB（０．４４μ）=0.38,
R（０．７１μ）=-0.36 である。
全波長で見かけ等級＝０（αLyr）のス
ペクトルとの比較を下に示す。
Fλ
０
V
１
λ（μ）
２
距離＝１０ｐｃに置いたときの見
かけ輻射等級。
Ｈ. ５．ＵＢＶシステム
Hipparcos catalogue 前２世紀
眼視等級
１等＝最も明るい星。
Ｐｏｇｓｏｎ
１８５６
６等＝目で見える最も暗い星。
ｍａ－ｍｂ＝－２．５ｌｏｇ（Ｅａ／Ｅｂ）
ｍ＝等級
Ｅ＝入射エネルギー
口径Ｄｍの望遠鏡を覗いた時、何等まで見えるか？
暗い晩の人間の瞳孔径＝７ｍｍ  ｍｂ＝６等
Ｄｍ
 Ｅｂ×（７ｍｍ）２＝Ｅａ ×（Ｄｍ）２
ｍａ＝ｍｂ－２．５ｌｏｇ（７ｍｍ/Ｄｍ）２＝６＋２．５ｌｏｇ（Ｄ２１０６/４９）
＝１６．８＋５ｌｏｇＤ
写真システム北極星の周りの９６星（周極星）のセットが標準星。 (IAU1922)
Pg : photographic magnitude
0.43 μｍ
Pv : photovisual magnitude
0.54 μｍ
ＵＢＶシステム＝最も広く使われていた。
H.L.Johnson and W.W.Morgan, 1953, Ap.J. 117, 313-352
Ｕ Corning 3384
３５０ｎｍ
Ｂ Corrning 5030 + Schott GG13
+
Ｖ Corning 9863
1P21 フォトマル４３０ｎｍ
（ＲＣＡ）
５５０ｎｍ
UBV Response CurveとA0型星のスペクトル（
透
過
率
Ｕ
3,000
B
4,000
V
5,000
λ(A)
A0星
6,000
）
ＵＢＶシステムの標準星
ゼロ等の決定 (次ページの
αLyr
V
B-V Sp.
0.03
0.00 A0V
）
V
B-V
Sp.
γUMa 2.45 0.00 A0V
109 Vir 3.75 -0.01 A0V
γ Oph 3.72 0.04 A0V
α CrB 2.23 -0.02 A0V
HR 3314 3.89 -0.01 A0V
Ｂ－Ｖ＝-2.5 log (B出力/Ｖ出力）+1.040、
Ｕ－Ｂ＝-2.5 log (Ｕ出力/Ｂ出力）- 1.120
A0V ６星のカラーの平均値＝Ｕ－Ｂ＝Ｂ－Ｖ＝０
UBV Primary Standard Stars
V
α Ari
B-V Sp.
V
2.00
1.151 K2III
HR 875
β Cnc 3.52
1.480 K4III
η Hya
β Lib
2.62
-0.111 B8V
α Ser
ε CrB
4.15
1.227 K3III
10 Lac 4.88
）
(次ページの
-0.203 O9V
5.17
4.30
B-V
0.084
-0.185
Sp.
A1V
B3V
2.66
1.165
K2III
τ Her
3.89
-0.155
B5IV
HR8832
5.57
1.010
K3V
UBV 標準星
Ｈ．Ｊｏｈｎｓｏｎ in Basic Astronomical Data 1963
０
V
１
２
３
K2III
K2III
B8V
B5IV
K4III
４
K3III
B3V
５
O9V
A1V
６
－０．４
０
B-V
K5V
１
１．６
標準星と色補正（１）
二つの観測システム
Ａ：標準（例えばＪｏｈｎｓｏｎ）
感
度
Ａ
Ｂ
Ｂ：例えばハワイ
があった時
ＡとＢでは同じバンドでも感度曲線が異なる。
赤い星（長波長側が強い）
青い星（短波長側が強い）
λ
λＡ
λＢ
図の赤い星と青い星は、Ａシステムでは同じ等級だが、Ｂシステムでは異なる等
級となる。
Ｂシステムの観測値をＡ（標準）システムでの値に直す必要がある。
標準星と色補正（２）
ＶＡ－ＶＢ
感
度
Ａ
Ｂ
星１
星１
星１
星２
β
星２
λ
０
１
カラー（Ｂ－Ｖ）Ｂ
λＡ
λＢ
ＶＡ＝ＶＢ＋α（Ｂ－Ｖ）Ｂ＋β
普通、１次式を仮定して補正する。
αを決めるためには、（Ｂ－Ｖ）Ａが青（≒０）と赤（≒１．５）の両方欲しい。
ーー＞標準星がＯ，Ｂ，Ａ型（青星）とＫ型（赤星）から選ばれている。
Ｈ．６．UBVシステムの拡大
RIJKLMN
Johnson/Mitchell 1962 Comm.Lunar Plantary Lab.1,73
Johnson et al. 1966 Comm.Lunar Plantary Lab.4,99
R
I
0.7
0.9
バンド
λc
J
K
L
M
N
1.25
2.2
3.4
4.9
10.2
Cousins 1976, Mem.RAS 81, 25
バンド
λc
H (1.63μ)
注意
Rc
Ic
0.638
0.797
Glass 1974 MNAS SA,33, 53
λ（Ｒ）＝0.7μ、λ（Ⅰ）＝0.9μ、
λ（Ｒｃ）＝0.66μ、 λ（Ⅰｃ）＝0.81μ
実際の観測にはもっと大きな標準星表を使う。
ＵＢＶＲｃＩｃ
JHK
Ｌａｎｄｏｌｔ１９９２、Astron.J. １０４，３４０
Ｅｌｉａｓ et al. １９８２、AJ, 87, 1029.
Q
20.0
その他のシステム（１） Stromgren 4-color system
B
Ｕ
バルマー不連続、金属
量、温度をより正確に測
透
る。Ａ－Ｆ型星向き
過
率
uvby
V
A0星
u: 完全にバルマージャンプ
より短波長側。
ｕ
b：メタル吸収の影響をＢ
ほどは受けない。
y: 基本的にはＶと同じで、
0.3
ｖｂ
0.4
ｙ
0.5
0.6
巾が狭い。
ｍ１＝（ｖ－ｂ）－（ｂ－ｙ）：
金属量
ｃ１＝（ｕ－ｖ）－（ｖ－ｙ）：バルマー不連続
ｂ―ｙ：温度
λ(μ)
その他のシステム（２）
ＤＤＯｓｙｓｔｅｍ
ＭｃＣｌｕｒｅ１９７６ＡＪ８１、１８２
Ｇ，Ｋ型星
３５フィルター
B
Ｕ
４－ｃｏｌｏｒのｕ
V
３８フィルター
透
ｖより金属吸収によい過
率
４１フィルター
A0星
48
ＣＮバンド測定
45
38 41
４２，４５，４８
35
42
連続光
0.3
0.4
（３５－３８）カラー：バルマージャンプ
（３８－４２）カラー：金属量
（４２－４５）カラーと（４５－４８）カラー：重力と温度
0.5
0.6
λ(μ)
その他のシステム（３）
Thuan-Gunn システム
Ｔｈｕａｎ／Ｇｕｎｎ１９７６ PASP 88, 543
市街地の水銀線と夜光の[OI]線を避ける。
基準星は。
ＣＤ＋１７４７０８
（Ｇ型矮星）
で、この星の
g=9.50
g-r=u-v=v-g=0
と独特の定義。
B
Ｕ
V
透
過
率
A0星
u
v
g
r
0.3
0.4
0.5
0.6 λ(μ)0.7
その他のシステム（４）
ＡＢ等級
Fν(０等)＝３６３１Jy
SDSSで採用
ＡＢ＝－2.5 log [fν/3631Jy]= 8.900－2.5 log [fν(Jy)]
旧来のゼロ等がＡＢで何等になるか？
Ｆ(mag=０,ν)
バンド
U
B
V
Rc
Ic
J
H
K
L
M
N Q
λ(μ) 0.366 0.438 0.545 0.641 0.798 1.22 1.63 2.19 3.45 4.8 10.6 21
Fo(Jy) 1790 4063 3636 3064 2416 1590 1020 640 290 170 36 9.4
AB
0.768 -0.122 –0.002 0.184 0.442 0.897 1.378 1.885 2.744 3.324 5.009 6.467
０等フラックスの比較
UBVシステム
ABシステム
4
AB
Ｖ
log Ｆ(Ｊｙ)
3.5
3
Ｂ
Ｕ
Ｒｃ
Ｉｃ
Ｊ
Ｈ
Ｋ
UBV
2.5
Ｌ
Ｍ
2
1.5
Ｎ
1
-0.5
0
0.5
logλ （μ ｍ)
1
1.5
問題Ｈ
出題：平成１９年1１月２６日
解答レポートの第１頁には、氏名、学科、学年、提出月日を忘れず記入せよ。
（なるべく）翌週の授業に提出すること。
Ｈ．１．銀河座標銀経 l=180°、銀緯 b=0°（銀河中心の反対方向）の方向を観測
したところ、Ｇ型矮星の等級分布（光度関数 luminosity function）として
次のような式を得た。
dN  F (V )dVd
F (V )  3.0 1020.4V (stars / magnitude / Steradian ）
ここに、Ｖ＝みかけＶ等級
ｄＮ＝Ｖ等級の巾ｄＶ、立体角ｄωの中に見える星の数
簡単のためＧ型矮星の絶対等級を太陽と同じ、Ｍｖ＝4.8３とする。星間吸収
がないとして、観測方向に沿ってのＧ型矮星の数密度ｎ（星/ｐｃ３）を太陽か
らの距離Ｒ（ｐｃ）の関数として表し、R=0-3000pcの範囲で図示せよ。
Ｈ．２．Ｇ型矮星の太陽周辺の数密度は n ＝3.3・１０－３星/ｐｃ３である。仮にＧ型
矮星がこの数密度で太陽のまわりに一様に散らばっていたとして、
星間吸収がないときの光度関数Ｆ（Ｖ）を求めよ。

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