C 1 連続性条件
２つのベジエ曲線 bn0 (t), cn0 (t) がそれぞれ r ≤ t ≤ s, s ≤ t ≤ u で定義
されているとする．曲線 bn0 (t) のベジエ点を b0 , b1 , · · · , bn とし，曲
線 cn0 (t) のベジエ点を bn , bn+1 , · · · , b2n とする．このとき，
n
bn0 (t) =
bk Bnk
k=0
t−r
,
s−r
n
cn0 (t) =
bn+k Bnk
k=0
t−s
u−s
となる．
bn0 (t), cn0 (t) を結んでできる曲線を p(t) であらわす：
p(t) : [r, u] → Rm (m ≥ 2). 曲線 p(t) が t = s で C 1 級である条件を
調べよう．
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C 1 連続性条件
3
dbn0 (t)
n
(bn − bn−1 )
dt t=s s − r
dcn0 (t)
n
=
(bn+1 − bn )
dt t=s u − s
=
2
1
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
図 14
より，∆0 = s − r, ∆1 = u − s とおくと，曲線 p(t) が t = s で C 1 級で
あるための必要十分条件は
1
1
(bn − bn−1 ) = (bn+1 − bn ),
∆0
∆1
すなわち，bn =
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∆1 bn−1 + ∆0 bn+1
となる．
∆0 + ∆1
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C 2 連続性条件
つぎに t = s で C 2 級である条件を考える．
d2 bn0 (t)
dt2
t=s
d2 cn0 (t)
dt2 t=s
=
=
n(n − 1)
∆0
2
(bn − 2bn+1 + bn+2 )
2
3
4
5
6
-2
図 15 C 2 級
t = s での C 1 級条件と合わせると
1
1
∆0 + ∆ 1
+
bn+1 +
(bn+1 − bn+2 )
∆0 ∆1
∆1 2
1
1
∆0 + ∆1
=
+
bn−1 +
(bn−1 − bn−2 )
∆0 ∆1
∆0 2
となる．
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2
1
n(n − 1)
∆1 2
(bn − 2bn−1 + bn−2 )
4
4
2
1
2
3
4
5
6
-2
図 16 C 2 級でない
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C 3 連続性条件
同様に t = s で C 3 級となる条件が考えられる．
d3 bn0 (t)
dt3
t=s
d3 cn0 (t)
dt3
t=s
=
=
n(n − 1)(n − 2)
∆0 3
n(n − 1)(n − 2)
∆1 3
(bn − 3bn−1 + 3bn−2 − bn−3 )
(bn − 3bn+1 + 3bn+2 − bn+3 )
6
6
6
4
4
4
2
2
2
1
2
3
4
5
-2
1
2
3
4
5
-2
図 17 C 3 級
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1
6
図 18 C 3 級でない
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2
3
4
5
6
-2
図 18 比較
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Blossoms あるいは Polar
(有限次元の) ベクトル空間 E1 , E2 , · · · , En , F を考える．
写像 f (x1 , · · · , xn ) : E1 × · · · × En → F は，各 i = 1, · · · , n に対
して， xi 以外を固定するとき， xi について線形写像であると
き，多重線形写像であるという．
写像 f (x1 , · · · , xn ) : E1 × · · · × En → F は，各 i = 1, · · · , n に対
して， xi 以外を固定するとき， xi についてアフィンであると
き，多重アフィン写像であるという． xi = nj=1 λ j y(i)
(
j
n
j=1 λ j = 1 ) に対して，
n
n
j=1
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λ j f (x1 , · · · , y(i)
j , · · · , xn )
λ j y(i)
j , · · · , xn ) =
f (x1 , · · · ,
j=1
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Blossoms あるいは Polar
(有限次元の) ベクトル空間 E, F を考える．写像
f (x1 , · · · , xn ) : E × · · · × E → F が対称 (symmetric) であるとは，
任意の置換 τ =
1 ··· n
に対して，
τ(1) · · · τ(n)
f (xτ(1) , · · · , xτ(n) ) = f (x1 , · · · , xn )
が成り立つことをいう．
(有限次元の) ベクトル空間 E, F に対して，対称な多重アフィ
ン写像 f (x1 , · · · , xn ) : E × · · · × E → F を考える．
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Blossoms あるいは Polar
例１． f (t1 ) : R → R,
f (t1 ) = at1 + b.
例２． f (t1 , t2 ) : R2 → R, f (t1 , t2 ) = a t1 t2 + b(t1 + t2 ) + c.
例３． f (t1 , t2 , t3 ) : R3 → R,
f (t1 , t2 , t3 ) = a t1 t2 t3 + b(t1 t2 + t2 t3 + t3 t1 ) + c(t1 + t2 + t3 ) + d.
例４． 一般に，σk ( k = 1, · · · , n ) を n 次の基本対称式とする．
σ1 = t1 + · · · + tn ,
σ2 = t1 t2 + · · · + t1 tn + t2 t3 + · · · + tn−1 tn ,
······
σn = t1 t2 · · · tn
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Blossoms あるいは Polar
すなわち， σk = σk (t1 , · · · , tn ) =
=
I⊂{1,··· ,n}
|I|=k
t j
ti1 ti2 · · · tik
1≤i1 <i2 <···<ik ≤n
( k = 1, · · · , n ) とするとき，
j∈I
n
f (t1 , · · · , tn ) =
ak σk (t1 , · · · , tn ) + a0
k=1
は，対称な多重アフィン写像 (関数) である．
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Blossoms あるいは Polar
n
ak tk に対して，
多項式 F(t) =
k=0
n
f (t1 , · · · , tn ) =
ak
k=0
σk (t1 , · · · , tn )
nC k
とするとき，
f (t, · · · , t) = F(t)
となる．対称な多重アフィン関数 f (t1 , · · · , tn ) を 多項式 F(t)
の Blossom あるいは polar とよぶ．
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Blossoms あるいは Polar
平面 R2 上の３点 b0 , b1 , b2 から定まるベジエ曲線 b20 (t) を考え
る．b20 (t) = (F1 (t), F2 (t)) とおくと，Fi (t) = ai t2 + 2bi t + ci と表
される． fi (t1 , t2 ) = ai t1 t2 + bi (t1 + t2 ) + ci とおくと， fi (t1 , t2 ) は
対称な２重アフィン関数である． Fi (t) = fi (t, t) となる．
f (t1 , t2 ) = ( f1 (t1 , t2 ), f2 (t1 , t2 )) とおくと，b20 (t) = f (t, t) となる．
対称な２重アフィン写像 f (t1 , t2 ) を b20 (t) の Blossom あるいは
Polar とよぶ．
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Blossoms あるいは Polar
r, s (r < s ) を固定する．ti = (1 − λi )r + λi s (i = 1, 2 ) とおく．
f (t1 , t2 ) = f ((1 − λ1 )r + λ1 s, (1 − λ2 )r + λ2 s)
= (1 − λ1 ) f (r, (1 − λ2 )r + λ2 s) + λ1 f (s, (1 − λ2 )r + λ2 s)
= (1 − λ1 )(1 − λ2 ) f (r, r) + [((1 − λ1 )λ2 + (1 − λ2 )λ1 ] f (r, s)
+λ1 λ2 f (s, s).
λi =
ti − r
s − ti
, 1 − λi =
に注意して，
s−r
s−r
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Blossoms あるいは Polar
s − t1 s − t2
·
f (r, r)
s−r s−r
s − t1 t2 − r s − t2 t1 − r
+
·
+
·
f (r, s)
s−r s−r
s−r s−r
t1 − r t2 − r
+
·
f (s, s).
s−r s−r
f (t1 , t2 ) =
r = 0, s = 1 とおくと， f (t1 , t2 ) = (1 − t1 )(1 − t2 ) f (0, 0)
+[(1 − t1 )t2 + (1 − t2 )t1 ] f (0, 1) + t1 t2 f (1, 1).
b20 (t) = f (t, t) = (1 − t)2 f (0, 0) + 2(1 − t)t f (0, 1) + t2 f (1, 1).
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b20 (t) = (1 − t)2 b0 + 2t(1 − t)b1 + t2 b2 と比較して， f (0, 0) = b0 ,
f (0, 1) = b1 , f (1, 1) = b2 を得る．また，
f (0, t) = (1 − t) f (0, 0) + t f (0, 1) = (1 − t)b0 + tb1 ,
f (1, t) = (1 − t) f (0, 1) + t f (1, 1) = (1 − t)b1 + tb2 となるから，ド・カ
ステリョの図式は
f 0, 1
f (0, 0)
f (0, 1)
f (1, 1)
f (0, t)
f (1, t)
f t, 1
f (t, t)
f 0, t
f t, t
で与えられる．
f 0,0
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f 1, 1
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a, b (a < b) に対して， f (a, a), f (a, b), f (b, b) は 曲線 c(u) = b20 ((1 − u)a + ub) のベジエ点である．
f 1, 1
実際，b20 ((1
− u)a + ub)
= f ((1 − u)a + ub, (1 − u)a + ub)
= (1 − u) f (a, (1 − u)a + ub)
+u f (b, (1 − u)a + ub)
= (1 − u)2 f (a, a) +2(1 − u)u f (a, b)
+u2 f (b, b) = B20 (u) f (a, a)
+B21 (u) f (a, b) +B22 (u) f (b, b) を得る．
f 0,0
f b, b
f a, a
f a, b
f (a, a) = b20 (a),
f (a, b) = (1 − a)(1 − b)b0 + [(1 − a)b + (1 − b)a]b1 + ab b2 ,
f (b, b) = b20 (b) と計算できる．
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f 0, 1
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一般の r, s に対しては，
s−t 2
s−t t−r
f (r, r) + 2
f (r, s)
s−r
s−rs−r
t−r 2
+
f (s, s)
s−r
t−r
t−r
= B20
f (r, r) + B21
f (r, s)
s−r
s−r
t−r
+ B22
f (s, s)
s−r
f (t, t) =
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