水圧用圧力補償型流量制御弁の流動特性解析 - TOPIC

計測自動制御学会東北支部第１８５回研究集会 (1999.12.14)
資料番号 (185-11)
水圧用圧力補償型流量制御弁の流動特性解析
Numerical Simulation of Pressure-Compensated Flow Control Valve
for Water Hydraulics
○ 白井敦*，林叡*，早瀬敏幸*，郭南楠*
○ Atsushi SHIRAI, Satoru HAYASHI, Toshiyuki HAYASE and Nannan GUO
*東北大・流体研
*Institute of Fluid Science, Tohoku University
キーワード：水力学 (Water hydraulics)，静特性 (Static characteristics)，固有値解析 (Eigenvalue analysis)，
数値解析 (Numerical simulation)，流量制御弁 (Flow control valve)
連絡先：〒980-8577 仙台市青葉区片平 2-1-1 東北大学流体科学研究所
知能流システム研究部門生体流動研究分野白井敦
Tel.: (022)217-5254，Fax.: (022)217-5311，E-mail: [email protected]
―――――――――――――――――――――
１．緒言
２．数学モデル
圧力補償型流量制御弁は，供給圧力や負荷の大
2.1 基礎方程式
きさが変化しても吐出流量を設定された値に自
本研究で用いた流量制御弁の外観および内部
動的に調節する機能を持っており，様々な油圧機
構造の模式図を Fig.1 に示す．弁はスロットルの
器の駆動制御に用いられている．近年，環境問題
下流に圧力補償用スプールを設置している点に
の高まりとともに作動流体として水が注目され
特徴がある．以下の解析では，弁本体の上流・下
るようになってきたが，水圧機器の開発は油圧と
流に 1m の管路を接続し，下流管路出口端には径
比較して日が浅く，未だ十分とは言えない．そこ
が管内径の 1/3 のオリフィスを設置した．実機に
で本研究では，水を作動流体とするよう設計され
おける諸元は Table 1 に示す．
た Danfoss 社製圧力補償型流量制御弁 Type VOH
解析で用いた基礎方程式を以下に示す．回路各
30PM1)を例に採り，その特性を解析した．ここに，
部の集中化された運動方程式および連続の式は，
水はその低粘度ゆえに潤滑性能が油より低いた
上流管路
め，機器の設計において摺動部のクリアランスを
油圧よりも大きくする必要があり，ここでの水の
流れが特性に大きな影響を与える事が考えられ
る．そこで，圧力補償弁に働く流体力に注目した
弁の数学モデルを構築し，その特性を求めた．
dQu
A
= u
ρLu
dt


8πµLu
 Ps − Pu −
Qu  (1)
2

Au


弁入口
dPu
β
(Qu − Q1 − Qb )
=
dt
Vu
(2)
Table 1 Parameters
(a) Technical data
Max. Inlet pressure
Max. flow
Min. flow
Max. pressure drop
across the valve
Min. pressure drop
(a) Outward1)
14 [MPa]
140 [bar]
5.0×10-4 [m3/s]
30 [l/min]
3.33×10-5 [m3/s]
2 [l/min]
14 [MPa]
140 [bar]
1.5 [MPa]
15 [bar]
(b) System parameters
Pd
Pm
Q1
Pu
Q2
Ql
Qb
Spring stiffness K
Mass of pressurecompensated valve m
Initial compression
of spring X0
Bulk modulus β
Viscosity μ(293K)
Densityρ(293K)
1.63×104 [N/m]
1.75×10-4 [kg]
4.13×10-4 [m]
2.10×109 [N/m2]
1.00×10-3 [Pa･s]
9.98×102 [kg/m3]
圧力補償用管路
Pb
dQb
A
= b
ρL b
dt


8πµLb
 Pu − Pb −
Qb  (7)
2

Ab


圧力補償弁
(b) Cross-section
Fig.1 Schematic of flow control valve
(
dPb
β
=
Qb − Ql + A0 X
dt
Vb (X )
)
(8)
スロットル
ここに，スロットル通過流量
(
dP
β
m =
Q1 − Q 2 − A0 X
dt
V m (X )
)
(3)
Q1 = C1 A1
2
(Pu − Pm )
ρ
(9)
弁出口
圧力補償弁通過流量
dPd
β
(Q2 + Ql − Qd )
=
dt
Vd
(4)
Q 2 = 4C 2 A2 (X )
2
(Pm − Pd )
ρ
(10)
下流管路
下流管路出口端オリフィス通過流量
dQ
A
d = d
ρL d
dt


8πµL d
 Pd − Po −
Q d  (5)
2

Ad


Qo = C a Aa
2
(Po − Pa ) ただし，Pa=0 (11)
ρ
下流管路出口端
圧力補償弁隙間漏れ流量
dPo
β
(Qd − Qo )
=
dt
Vo
(6)
Ql =
πD1 H l3
(Pb − Pd )
12µLc
(12)
である．また，圧力補償弁の運動方程式は次式で
Throttle
表される．
Control
volume
A
δ K
F
X + (X 0 − X ) + 0 (Pm − Pb ) + (13)
m
m
m
m
Pu
Q1
X H2 H0
X = −
ここに，F は弁に作用する流体力，δは減衰係数
であり，以下に示す．
Pm θ
F3
2.2 圧力補償弁とケーシングの隙間に作用する
Q2
Pd
粘性力
圧力補償弁の移動速度を無視した場合，補償弁
Pressure
compensator
とケーシングの隙間における流量 Ql と断面平均
流速 v の関係は
Ql =
Fig.2 Control volume
πD1 H l3
(Pb − Pd ) = πD1 H l v
12µLc
をそれぞれ u1，Q1，u2，Q2 とすると，圧力補償弁
に作用する力 F3 は
H l2
(Pb − Pd )
∴ v =
12µLc
(14)
隙間内において流速が放物分布を持つとすると，
弁表面におけるせん断応力は，
dQ 

F3 = ρu1 Q1 − (H 2 + 12 H 0 ) 1 
dt 

dQ 2 

− ρ u 2 Q 2 + 12 X

dt 

(18)
となる．ここに，
H
τ = l (Pb − Pd )
2 Lc
(15)
u1 =
2(Pu − Pm )
cos θ
ρ
(19)
u 2 =
2(Pm − Pd )
cos θ
ρ
(20)
となる．よって，式(13)の正の向きに留意すると，
弁に作用する粘性力 F1 は，
F1 = −
πD1 H l
(Pb − Pd )
2
(16)
で表される．また，圧力補償弁の振動で誘起され
るクエット流れによる粘性力 F2 は，弁速度を V
dQ2/dt において Pm-Pd=const.とすると，式(18)は，
F3 = 2C1 A1 (Pu − Pm ) cos θ
− 8C 2 A2 (Pm − Pd ) cos θ
(21)
− 4C 2 (H 2 + H 0 + X )∆L 2ρ(Pm − Pd )V
とすると
F2 = −
である．X>0 において，dQ1/dt が dQ2/dt に等しく，
1
2
πµD1 Lc
V
Hl
(17)
1
2
となる．なお，X≤0 の場合は
F3 = 2C1 A1 (Pu − Pm ) cos θ
(22)
で表される．
2.3 運動量理論に基づく流体力 2)
となる．ここに，θ≒69°とした．
以上のことより，式(13)における流体力 F およ
Fig.2 で示される検査体積を考える．流入口およ
び減衰係数δは，X>0 において
び流出口における流速の軸方向成分および流量
πD1 H l
(Pb − Pd )
2
+ 2C1 A1 (Pu − Pm )cos θ
F =−
δ=
+ 4C 2 (H 2 + 12 H 0 + 12 X )∆L 2ρ(Pm − Pd )
[m 3 /s]
πµD1 Lc
Hl
0
4
3
0.30mm
2
d
− 8C 2 A2 (Pm − Pd )cos θ
[ × 10 -4 ]
H =0.45mm
(23)
Q
5
0.14mm
(24)
1
0.03mm
0
0
で表される．
2
4
6
8
10
12
14
∆ P [ MPa ]
３．静特性解析
(a) Calculated result
式(1)∼式(13)において時間微分項を 0 と置き，
これらを連立させて定常値を求める．圧力補償弁
とケーシングとの隙間 Hl を 1.0×10-5m と固定した
場合の，スロットル開度 H0 が 0.03mm，0.14mm，
0.30mm および 0.45mm における本弁の圧力―流
量特性を Fig.3 に示す．ここに，Fig.3(a)が本解析
で得られた結果であり，Fig.3(b)はカタログに掲載
されたデータである．また，ΔP は弁入口と出口
の間の圧力差，Qd は弁出口の流量である．Fig.3(a)
(b) Catalogue data1)
より，ΔP が 1.5MPa 以上では流量はほぼ一定に
Fig.3 Pressure-flow characteristics
なるが，H0 が大きい場合はΔP の増加とともに Qd
が微かに減少し，H0 が小さい場合は増加している．
5
[× 10 -6 ]
Fig.4 に，ΔP=1.5MPa における Qd を基準として，
スロットル開度 H0 によってΔP=14MPa における
0
-5
3
はΔP=1.5MPa における Qd との差を表している．
∆ Q [m /s]
Qd がどのように変化するかを示す．ここに，ΔQ
理想的な流量制御弁であればΔQ は常に 0 となる
が，図より，H0≤0.13mm ではΔQ>0，H0>0.13mm
ではΔQ<0 であり，H0 が大きくなるに従ってΔQ
-10
-15
が小さくなっている．この傾向は Fig.3(b)にも見
られるが，Fig.3(a)は，H0 が大きな領域において圧
力補償が過剰に働いている．これは，圧力補償用
スプールに働く流体力の見積もりに原因がある
と考えられる．
-20
0.0
0.1
0.2
H
0
0.3
0.4
0.5
[mm]
Fig.4 Effect of H0 on ΔQ of flow rate
6
Hl を大きくすると，H0 にかかわらず同程度の流量
[× 10 -4 ]
の増加が見られる．そのため，H0=0.45mm におい
5
てΔQ が Fig.3(b)と一致するように Hl を定めると，
H =0.45mm
0
H0=0.03mm においてΔQ が大きくなりすぎるので，
これが主原因とは考えにくい．
-6
HH =2
× 10
=2×
10 -m6m
l
l
-6 - 6
HH =1
0××1010
m m
=10
3
l
本研究では圧力補償弁からの水の流出角度を
l
-6 - 6
HH =2
0××1010
m m
=20
d
Q [m 3 /s]
4
l
l
ll
トルと補償弁の距離が短く，また，補償弁のス
H =0. 03mm
0
1
0
ポテンシャル流れの 69deg.としているが，スロッ
-6 - 6
HH =3
0××1010
m m
=30
2
プール形状が複雑なため，実際にには 69deg.より
0
5
10
15
∆ P [MPa]
も変化する可能性がある．そこで，Fig.6 に，圧力
補償弁からの水の流出角度を変化させた場合の
Fig.5 Effect of clearance Hl on
圧力―流量特性を示す．図より，H0=0.03mm の場
pressure-flow characteristics
合には流出角度による流量の変化はほとんど見
られないが，H0=0.45mm では角度が増加するに
6
[× 10 -4 ]
従って流量の減少量が減っていることがわかる．
Fig.4 より，本モデルでは H0 が大きな領域におい
5
て圧力補償が実機より過剰に働いていることか
H =0. 45mm
Fig.3(b)と同じ静特性が得られると考えられるが，
3
この問題は今後の検討課題とする．
65de g.
69de g.
75de g.
80de g.
Q
d
[m 3 /s]
ら，水の流出角度を適切に設定することにより
0
4
2
４．動特性解析
1
H =0. 03mm
式(1)∼式(13)を連立させて解く事により，本シ
0
0
0
5
10
15
∆ P [MPa]
Fig.6 Effect of flow angle θ
on pressure-flow characteristics
ステムの動特性が解析できる．ここでは，管路抵
抗を考慮して，4 次の Runge-Kutta 法を用いてこれ
らの式を解いた．
動特性を解析するに先立ち，システムの安定性
を固有値解析に基づき調べた．その結果，不安定
そこで，まず，圧力補償用スプールと弁ケーシ
ングとの隙間厚さ Hl について検討する．Fig.5 に，
スロットル開度 H0=0.03mm，0.45mm における圧
力―流量特性を種々の Hl について示す．図より，
になるのは管路のモードであり，スロットルの開
度，管路の長さ等，種々の条件によって複雑な挙
動を示すことを確認した．そのため，本システム
には弁の上流，下流に２本の管路が存在するが，
ΔP の変化に対する不安定化するモードの固有値
150
実部σの推移である．図において，ΔP=10.5MPa
100
近傍で急激にσの値が変化しているのは上流管
路と下流管路のモードの干渉によるものである．
σ [rad/s]
50
Fig.8 に，動特性解析の例として，供給圧力をス
0
テップ状に変化させた場合の下流管路端からの
吐出流量の時間変化を示す．Fig.7 より，Lu=0.3m
-50
-100
-150
では，Ps=7MPa でシステムは安定である．時刻 0
0.3 0m
0.5 0m
0.8 5m
0.9 0m
1.0 0m
0
において Ps を 2MPa 増加させた場合，流量は振動
5
10
15
を始めるが次第に減衰していくことがわかる．一
方，Ps を減少させた場合，Fig.7 からも明らかなよ
∆ P [MPa]
Fig.7 Variation of real part σ of eigenvalues for
various upper pipeline length Lu at Ld=1.0m and
うにσ>0 であり不安定である．そのため，Qo は
時間の経過とともに振幅が増大している．
H0=0.22mm
５．結言
4
[× 10 -4 ]
Danfoss 社製圧力補償型流量制御弁を例に採り，
圧力補償弁にかかる流体力に注目した数学モデ
ルを構築し，静特性を求めた．その結果，高圧力
3
なった．この流量の変化は圧力補償弁における噴
2
流の流出角度に大きく影響を受ける．そのため，
Q
o
[m 3 /s]
差における流量の変化を再現する事が可能と
より精度の高い解析を行うためには，流路の三次
7MPa ->5MPa
7MPa ->9MPa
1
元性等も考慮した流動解析を行う必要がある．ま
た，固有値解析より本システムは管路モードが不
0
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
安定になることを確認した．
Time [s]
Fig.8 Transition of flow rate Qo at Lu=0.3m,
Ld=1.0m and H0=0.22mm
参考文献
1) Danfoss, NessieTMTech. Note.
2) 竹中・浦田：油力学, 34/57，養賢堂 (1970)
互いの干渉により，どちらのモードであるかを特
定することは条件によって非常に困難となる．
Fig.7 に一例を示す．Fig.7 は，種々の Lu における，

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