Grassmann スキームと表現可能関手

Grassmann スキームと表現可能関手
@waheyhey
2013 年 12 月 22 日
概要
Ulrich G¨
ortz 先生の Algebraic Geometry I の表現可能関手の部分を自分なりに理解しようとまとめた
つもりになっている，よく分からないノートです．
[2014/5/19] やや加筆の上で内容充実を「計画」しました．
目次
1
表現可能関手
2
2
Grassmann 関手
4
3
準連接層の Grassmann 関手
6
4
Pl¨
ucker 埋め込み
7
1
1 表現可能関手
米田の補題より，圏 C とその上の前層の圏 C に対して，埋め込み
C −→ C
X −→ hX
が定まる．ここで，hX := Hom(−, X) である．
定義 1（表現可能関手）関手 F : C op → (Sets) は，ある C の対象 X と，同型 ξ : F ≃ hX が存在するとき，
表現可能であるという．
例 2 n ≥ 0 に対し，関手
(Sch)op −→ (Sets)
X → Γ(X, OX )n
は An = Spec Z[X1 , . . . , Xn ] で表現される．実際，
Hom(X, An ) ≃ Hom(Z[X1 , . . . , Xn ], Γ(X, OX )) ≃ Γ(X, OX )n
注意 3
C には常にファイバー積が存在する．実際，F, G, H ∈ C ，F → H, G → H が定まっていたとき，
C ∈ C に対して (F ×H G)(C) := F (C) ×H(C) G(C) とすれば，F ×H G は C の中でファイバー積の性質を
満たす．F, G, H ∈ C ，F → H, G → H が定まっていて，F, G, H はそれぞれ X, Y, Z ∈ C で表現されている
とすると，F ×H G が表現可能なら，C にファイバー積 X ×Z Y が存在して，F ×H G は X ×Z Y で表現さ
れる．
以下の命題は表現可能関手の一例を与えるとともに，スキームと表現可能関手の理論を展開する中でよく用
いる重要な命題でもある．
命題 4 S をスキーム，F を有限型な S 上の加群，v : E → F を S 上の準連接層の準同型とする．関手
F : (Sch/S)op → (Sets) を，S スキーム X に対し
F (X) := {f ∈ HomS (X, S) | f ∗ (v) は全射 }
で定めると，この関手 F は S の開部分スキームで表現される．
証明
ある開部分スキームが存在して，「X → S が U を経由する ⇔ Coker(f ∗ (v)) = 0」を示せば良
い．f ∗ は右随伴関手 f∗ を持つから右完全関手であり，Coker(f ∗ (v)) = f ∗ (Coker(v)) である．よって
U := S \ Supp(Coker(v)) が性質を満たす．（F が有限型より Coker(v) も有限型だからこれは開集合になる．）
定義 5（表現可能な射） F, G ∈ (Sch)，f : F → G を自然変換とする．任意のスキーム X と，自然変換
hX → G に対し，ファイバー積 F ×G hX が表現可能であるとき，f は表現可能であるという．
2
定義 6（表現可能な射の性質） P をスキームの射の性質で，
「性質 P を持つ射に同型射を右から合成しても左
から合成しても P が保たれる」ようなものとする．表現可能な射 f : F → G は，任意のスキーム X と自然変
換 hX → G に対して F ×G hX がスキーム Y で表現され，対応するスキームの射 Y → X が P を満たすと
き，f : F → G は P を満たすという．
注意 7
hY ≃ F ×G hX
/ hX
F
/G
表現可能関手の間の自然変換は表現可能である．一般に f : X → Y が P を満たしても hf : hX →
hY が P を満たすとは限らない．P が基底変換の下で安定な場合は正しい．
関手 F : (Sch/S)op → (Sets) と，スキームの開埋め込み j : U → X を考える．ξ ∈ F (X) に対し，
F (j)(ξ) ∈ F (U ) を（位相空間上の前層の制限写像のように）ξ|U で表す．
関手 F : (Sch/S)op → (Sets) は，任意の S スキーム X と任意の開被覆 X =
∪
i∈I
Ui に対して，次の条件
(Sh) を満たすとき，ザリスキ位相の層，または単にザリスキ層であるという．
(Sh) ξi ∈ F (Ui ) が各 i について与えられ，任意の i, j ∈ I に対し，ξi|Ui ∩Uj = ξj|Ui ∩Uj が成り立つならば，
ξ ∈ F (X) が一意に存在して，任意の i ∈ I に対して ξ|Ui = ξi が成り立つ．
次の命題はザリスキ層の定義より明らかである．
命題 8
任意の表現可能関手はザリスキ層である．
関手 F : (Sch/S)op → (Sets) に対し，
(i) F ′ : (Sch/S)op → (Sets) について，開埋め込み f : F ′ → F が存在するとき，F ′ は F の開部分関手で
あるという．
(ii) 開部分関手の族 {fi : Fi → F }i∈I は，任意の S スキーム X と g : hX → F に対して，Fi ×F hX を表
現する X の開部分スキームたちが X の開被覆をなすとき，F のザリスキ開被覆であるという．
定理 9
F : (Sch/S)op → (Sets) を，
(a) F はザリスキ層で，
(b) F は表現可能関手 Fi たちにより，ザリスキ開被覆 {fi : Fi → F } をもつ．
を満たすような関手とする．このとき，F は表現可能である．
証明（概要のみ） Fi たちを表現するスキームが貼り合わせ条件を満たすことを確かめ，それらを貼り合わせ
補題により張り合わせる．このスキームが F を表現することが分かる．
3
2 Grassmann 関手
体 k に対して，k 上の n 次元線形空間の d 次元線型部分空間全体をパラメーター付けるようなスキームを
構成したい．そのために，まずはアフィンスキーム Spec k に対し k 上の n 次元線形空間の d 次元部分空間全
体を対応させるような対応 Grassd,n を考える．すなわち，
Grassd,n (Spec k) := {V ⊂ k n | V は d 次元線形部分空間 }
となるように定める．体の拡大 Spec K → Spec k に対しては，係数拡大する写像を対応させれば確かに
Grassd,n は関手になる．この関手を一般のスキーム X にまで定義を拡張することを考える．このとき，”d 次
元線形部分空間”の適切な言い換えは何か．そのために次の命題を考える．
命題 10
S をスキーム，U を有限型の OS 加群，E を有限階数の局所自由層，ι : U → E を OS 加群の準同型
とする．このとき，以下は同値である．
(i) 任意のアフィン開集合 U ⊂ S に対し，π : E|U → U|U が存在して，π ◦ ι|U = id．
(ii) ι は単射で，E/ι(U) は局所自由層．
(iii) 任意の s ∈ S に対し，κ(s) ベクトル空間の射，ι ⊗ idS : U ⊗ κ(s) → E ⊗ κ(s) は単射．
(iv) 任意の f : T → S に対し，f ∗ ι : f ∗ U → f ∗ E は単射．
(v) U は有限階数の局所自由層で，ι∨ : E ∨ → U ∨ は全射．
証明
長くて面倒くさいです．やる気が出たら書きます．すみません．
包含写像 ι : U → E が命題 10 の同値条件をみたすための必要十分条件は，任意の s ∈ S に対し s の開近傍
V が存在して U|V が E|V の直和因子になることである．このとき，U を E の局所直和因子という．
系 11 S をスキーム，π : E → U を同じ有限の階数をもつ局所自由 OS 加群の準同型とする．このとき，次
が同値．
(a) π が同型．
(b) 任意の s ∈ S に対し，π ⊗ idκ(s) : E ⊗ κ(s) → U ⊗ κ(s) が全射．
証明
命題 10 で ι := π ∨ とすればよい．
”d 次元部分空間”を，”On /U が階数 n − d の局所自由層”と言い換え，
Grassd,n (S) := {U ⊂ OSn | OSn /U が階数 n − d の局所自由層 }
n
と定める．また，f : T → S に対して Grassd,n (f )(U) := f ∗ U で定める．命題 10 より，f ∗ U → f ∗ OS
= OTn
n
は単射になり，よって OTn /f ∗ U = f ∗ (OS
/U) は局所自由である．これにより Grassd,n は S スキームの圏か
ら集合の圏への反変関手である．この関手 Grassd,n を Grassmann 関手という．
さて，X の被覆をなすような開部分スキームたち {Ui } の上の加群の層 Fi たちは，Fi|Ui ∩Uj = Fj |Ui ∩Uj と
なるとき，開集合 U ⊂ X 上で
{
}
⊕
F(U ) := {si } ∈
Fi (U ∩ Ui ) | si|Ui ∩Uj ∩U = sj |Ui ∩Uj ∩U for all i, j
i
4
とすることで X 上の加群 F を定める．よって Grassd,n はザリスキ層であるから，表現可能関手による開被
覆ができれば定理 9 より Grassd,n は表現可能である．
I を n − d 個の元からなる {1, . . . , n} の部分集合として，Grassd,n の部分関手を
GrassId,n (S) := {U ∈ Grassd,n (S) | 合成 OSI → OSn
OSn /U が同型 }
I
≃ U ⊕ (OSn /U) ≃ OSn なる U たちを対応させる．
で定める．いいかえれば，GrassId,n は U ⊕ OS
包含から定まる自然変換を ιI : GrassId,n → Grassd,n とする．
補題 12
次が成り立つ．
(a) ιI は表現可能で，開埋め込みである．
(b) GrassId,n は Ad(n−d) で表現される．
(a) X をスキーム，g : hx → Grassd,n を自然変換で，（米田の補題によって）U ∈ Grassd,n (X) と
証明
対応しているようなものとする．スキーム S に対して定義から，
(GrassId,n ×Grassd,n hX )(S) = {f ∈ Hom(S, X) | f ∗ (U) ∈ GrassId,n (S)}
I
であるから，ある開集合 U ⊂ X が存在して「f : S → X が U を経由する ⇔ vf : OS
→ OS⊕n →
OS⊕n /f ∗ (U) が同型」を示せばよい．系 11 より vf が同型である必要十分条件は vf が全射であること
だから，命題 4 よりこれは X の開部分スキームで表現される．X と g は任意より，証明は完了した．
(b) S をスキーム，U ∈ GrassId,n (S) とする．このとき，ω : OSI → OS⊕n /U は定義より同型．uU : OS⊕n →
∼
OS⊕n /U −−
→ OSI の核は U で，uI : OSI → OS⊕n を自然な包含とすると，uU ◦ uI = idOSI となる．逆
−1
に，u :
ω
OS⊕n
→ OSI で u ◦ uI = idOSI なるものが与えられたとすると，Ker u ∈ GrassId,n (S) である．
⊕n
すなわち，F (S) := {u ∈ HomOS (OS
, OSI ) | u ◦ uI = idOSI } で定めたとき，
F (S) −→ GrassId,n (S)
u −→ Ker u
は全単射．これは S について functorial なので，関手の同型 F ≃ GrassId,n が定まる．J := {1, . . . , n}\
I として，F (S) → HomOS (OSJ , OSI ) を，u を OSJ に制限する写像として定めればこれも全単射で，
HomOS (OSJ , OSI ) ≃ Γ(S, OS )J×I ≃ Hom(S, AJ×I ) であるから，F ≃ Hom(−, Ad(n−d) ) となり示さ
れた．
定理 13
証明
Grassd,n は表現可能である．
定理 9 より {ιI : GrassId,n → Grassd,n }i∈I がザリスキ開被覆であることのみ示せばよい．
X をスキーム，g : hX → Grassd,n を自然変換とする．補題 12 より GrassId,n ×grassd,n hX は表現可能で，
⨿
これを表現する X の開部分スキームを U I とする．f : I U I → X が全射を示せば良い．
体 K に値をとる点 x : Spec K → X をとる．対応する表現可能関手の射と g と合成することにより
Grassd,n の K に値をとる点，さらにこれに対応する K n の線型部分空間 V を得る．しかし定義より，x が
Hom(Spec K, U I ) → Hom(Spec K, X) を経由する必要十分条件は，射が ιI (Spec K) : GrassId,n (Spec K) →
Grassd,n (Spec K) を経由する，すなわち K I ≃ K n /V となることである．V の標準基底を補って K n の標準
5
基底をとれば，このような I は必ず存在することがわかる．
Spec K
UI
/X
x
GrassId,n
g
ιI
/ Grassd,n
（上の図式はスキームとそれで表現される関手を同一視している．）
体 K は任意だから，以上より f :
⨿
I
U I → X は全射．よって {ιI : GrassId,n → Grassd,n }i∈I はザリスキ
開被覆である．
定義 14（Grassmann スキーム）関手 Grassd,n を表現するスキームを，Grassmann スキームという．
これで目標であった Grassmann スキームが構成できた．
例 15（射影空間）射影空間は d = 1 のときの Grassmann スキームである．
3 準連接層の Grassmann 関手
この節では，まず前節までの Grassmann の拡張を扱う．
S をスキーム，E を S 上の準連接層，e ≥ 0 を整数とする．任意の S スキーム h : T → S に対して，
Grasse (E)(T ) := {U ⊂ h∗ (E) : OT 部分加群 | h∗ (E)/U は階数 e の局所自由層 }
で定める．任意の S 射 f : T ′ → T は，写像
Grasse (E)(T ) −→ Grasse (E)(T ′ )
U −→ f ∗ (U)
n
n
が定まる．特に，E = OS
かつ e = n − d とすることで，Grassn−d (OS
) = Grassd,n ×Z S を得る．また，任
意の全射 v : E1 → E2 は自然変換 iv : Grasse (E2 ) → Grasse (E1 ) を誘導する．
命題 16
次が成り立つ．
(i) E を S 上の準連接層，e ≥ 0 を整数とする．このとき，Grasse (E) は S スキームで表現される関手で
ある．
(ii) E1 , E2 を S 上の準連接層，v : E1 → E2 を全射とする．このとき，誘導される自然変換 iv : Grasse (E2 ) →
Grasse (E1 ) は閉埋め込みである．
上の命題を次の手順で示す．
補題 17
G ⊂ E を準連接部分層とする．Grasse (E) の部分関手 Grasse (E)G を，任意の S スキーム f : T → S
に対し，
Grasse (E)G (T ) := {U ∈ Grasse (E)(T ) | G → f ∗ E → f ∗ E/U が全射 }
により定める．このとき，自然変換 Grasse (E)G → Grasse (E) は表現可能で，開埋め込みである．
6
補題 18
Grasse は Zariski 層であり，よって Grasse (E) の表現可能性は S = Spec R と R 加群 E に対して
˜ である場合に帰着される．
E =E
補題 19
R を環，E を R 加群，I を有限生成部分 R 加群 G ⊂ E の集合とする．このとき，開部分関手
e
(Grass (E)G˜ )G∈I は Grasse の開被覆である．
■Grassmann の基底変換 S をスキームとする．E を S 上の準連接層，e ≥ 0 を整数とする．また，u : S → S ′
をスキームの射とすると，任意の S スキームは u との合成により S ′ と考えることもできる．T を S スキー
ムとすしたとき，自然な同型
HomS ′ (T, Grasse (E) ×S S ′ ) ≃ HomS (T, Grasse (E)) ≃ HomS ′ (T, Grasse (u∗ E))
があるので，米田の補題により Grasse (E) ×S S ′ ≃ Grasse (u∗ E) を得る．
任意のスキーム S に対して，
Grassd,n,S := Grassd,n ×Z S
で定める．このとき．
Grassd,n,S ≃ Grassn−d (OSn ) ≃ Grassd ((OSn )∨ )
となる．
■射影束と線型部分束 S をスキーム，E を S 上の準連接層とする．射影空間の場合と同様に，E から定まる
射影束を，
P(E) := Grass1 (E)
と定める．定義より，P(E) は，任意の S スキーム h : T → S に対し，ある T 上の可逆層 L ヘの全
射 h∗ E → L の同型類の集合 P(E) を対応させる関手を表現する．特に，構造射 p : P(E) → S に対し，
idP(E) ∈ Hom(P(E), P(E)) に対応する普遍全射 h∗ E → Luniv が存在する．
n+1
∨
特別な場合として，S = Spec Z かつ E = (OSpec
Z ) の場合を考えると，
1
n
n+1
n+1
n
∨
∨
n
P((OSpec
Z ) ) = Grass ((OSpec Z ) ) = Grass (OSpec Z ) ≃ Grass(n+1)−n,n+1 ≃ PZ
である．さらにスキームの射 u : S ′ → S に対して，S ′ スキームとしての同型，
P(E) ×S S ′ ≃ P(u∗ E)
が存在する．
■Grassmann の接空間
4 Pl¨ucker 埋め込み
参考文献
[1] R.Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer.
[2] U.G¨ortz, T.Wedhorn, Algebraic Geometry I, Vieweg+Teubner, 2010.
[3] B.Fantechi et al, Fundamental Algebraic Geometry - Grothendieck’s FGA Explained, American Mathematical Society, 2005.
7

Download Report