論文斜面流出における非線形効果に関する一考察荻原能男河西基（昭和51年8月31日受理） On the Nonlinear Effect for the Watershed Runoff YoshioOGIHARA MotoiKAWANISHI Abstract In the present report， we discuss the algorithm of an analysis applying the method of characteristics for the full momentum and continuity equations and show some examples of this numerical calculation for a single watershed as the assumptive basin． The primary object of this paper is to present the effect of nonlinearlity to which the complexity of r皿off phenomena is supposedly attributed． Uppon these analyses， it is shown that the effect of nonlinearlity on the peak discharge is qualitatively presented with variation of the rainfa11・intensity． Moreover， we are able to bring about a better qualitative understanding on the difference of runoff process between the supercritical and subcritical flow． M．Davisの研究6）があり，さらに非線型流出系の理 1．緒言論解析を行った日野らの一連の研究！）・2）などがある。降雨・流出系に関する研究は，決定論的解析および本論文では，開水路不定流の基礎方程式において慣確率統計論的解析の二つの立場に大別され，数多くの性項や降雨・横流入などすべての項を考慮したη。こ流出解析モデルが提案されている。また最近では，この結果，降雨強度の変化の影響による流出現象におけれらの両者を融合することにより新たな研究の発展性る非線型効果などを検討することが可能となった。を探ろうとする研究もある1）・2）。著者らは，非線型特性の指標としてピーク流量とピ一方，流出現象の複雑さの大きな要因として考えらーク到達時間の二点を考え，急勾配および緩勾配の斜れているのは現象の非線型性であり，この非線型系の面における流出に関して数値実験を試みた。解明が今日における重要な課題となっている。また，特性曲線法による図解法を進めるにあたって本論文では，単位図における非線型特性などの本質は，特性直線網整網からの乱れを防ぐために近似計算を解明する一つのアプローチとして，特性曲線法によによる格子点の移動修正を後述のように行って，整網る洪水追跡の手法を用いて，斜面の流れにおける流出が構成されるようにした7）。特性を検討した。特性曲線法の水文流出への応用は末石3）らによって 2．基礎方程式実用化され，現在では“Kinematic wave法”として本論文においては，一様な広矩形断面水路の流れを実用的に広く用いられている4）。この方法における理仮定して，次の運動方程式（1）と連続の方程式（2）を基礎論上の特徴は，”order”評価に基づいて流れを等流と式として用いる5）。仮定することによる近似解を用いることである5）。晋＋γ器＋・…θ怨また，単位図に関する最近の研究としては，有限要素法を適用したC．Taylor， G． Al−Mashidani and J．＊第31回年講，1976−10，にて概要発表一｛・イ＋2晋｝：一芸＋・・i・θ （・）嘉＋γ怨旬器一・ゴ＋誓（・）一62一斜面流出における非線型効果に関する一考察㌫1鶏；｝ここに，V：平均流速， y：水深，ア：降雨強度， f：浸透率，qL：水路単位長さあたりの横からの流入量， B：水路幅，τ。：底面摩擦応力，ρ：水の密度，R：径深， g：重力の加速度，θ：水路の傾斜角，x：水路方向の a3）露：：＝：劉距離，t：時間である。 ⑭ 隠二㌃二lil㌫㌶；：1；1：劉なお，開水路流れにおける摩擦抵抗応力τ。は，エネルギー勾配Sfを用いて記述するとであり，添字は各水理量の格子点位置を表す。 τo ＝＝ pgRSf （3）（2）初期条件と境界条件である。本論文では，Manning則に従うと仮定して ⑮ 本論文においては，次のような条件を仮定した。 a）初期条件 Sf＝n2V2／R4／3 （4）を計算上で用いている。ここに，nはManning粗度係数である。まず，水路全域において一定の初期流量（基底流量）が与えられる場合を仮定し，水面形の数値計算によって各分割格子点における初期水深を決定する。ただ 3．特性曲線法についての適用理論し，初期の流れの状態が射流の場合には，上流端で等（1）計算基本方式流水深として下流側へ計算を進め，また常流の場合に上述の式（1）および（2）からつぎの特性方程式が得られは，下流端でほぼ限界水深を与えて上流側へ計算を行った。他の諸水理量の各点における初期値についてる8）。歴鴎蒜㌶㌶蒜｝（・）は，この水深の計算値から定められる。繁蹴1認㌶㌶｝（・）本論文では単一斜面の流れを対象として上の理論をここ b）上流端境界条件適用しており，上流端の境界条件として常に基底流量（Q＊）が与えられる場合を仮定した。この結果，次の h二；㌫鷲R）＋，、i。θ｝（・）計算式を得ることができる（図一2参照）。 yp＝｛−V『CB十㎡γcβ2十4Vg cosθんM・（Q＊／B）｝／である。さて，上式を差分化することによる特性曲線法にアルゴリズムは次のようになる。すなわち，図一1のように2つの既知点AとBでの諸水理量を用いて，未知点 Pの緒量が次の計算式から求まる。（2∼／豆cosθ／2／M）（16） Vp＝Q＊／（B・yp） a7） tp＝−XCB／BI）M as）ただし，流れの状態が射流である場合，特性曲線が下流側へ向くために上流端において交点が得られな tp ＝（XCB−XC．A）／（B乙1A−BDA）（8） κP＝（BU．・XCB−B1）B・XCA）／（BU．−BL）B）（9） τ yp＝（VCA−VCB）／（AYG十BYG）（1◎ P △κ Vp＝＝（VCA・B｝アG十「VCB・ノIYG）／（AYG十BYG） ⑪ ここ △1 ￥R亡願劃 ⑫ C一 ⊥ ●known point T Y ounkown point C＋、 △t A γu（A）」 γdCB） A A’ A △x B 劾Pl x キーム P γ（、1＝（ξ一η顧） B’B C−△t 図一2上流端ス T γu＝（ξ＋η、／9COSθ／y） P C＋ x M 駕＝0 △x P VCPi v X −一図一1基本計算スキーム一63一 GiillE｝y7−一 ll｝1＄−i＋L en．3下流端＿ム昭和51年12月山梨大学工学部研究報告い。このような場合には，上流端のさらに上流側にお第27号ア P いて仮想的な流路の延長を考え，この領域から特性直線を出すことにした。仮想延長流路の区間においては，降雨・浸透・横流入の影響がなく，常に基底流量が等流水深で流れていると仮定した。この場合の計算プロセスは，次章で述べる特性直線網の補正計算に従 A・∼一一一一一一≡≡ A” 一一一一一一一一，ゲ’ @ B” Cづニプ’ @ ’ 鼈黶ﾚ一＿ A’ B’ R 怦鼈鼈鼈鼈鼈鼈鼈黶怦鼈鼈鼈鼈一一ゲ7 @… ｿ一一・一一一一一●一一一一一一 f一一一一一一一怦鼇S一一一一一一 1 AA’ J B’B K う。 0 c）下流端境界条件ムユムユ x 図一4 特性曲線網の補正スキーム流れの状態が射流の場合には，中間点計算と同様に 2本の特性直線を用いて計算できるが，常流の場合に ζ、v 下流端の条件が必要となる。そこで，下流端境界条件 ζ（』として図一3のような支配断面の存在を仮定することにより，限界水深を与えることにする。特性直線C＋上の式（5）の関係から，次の計算式が得られる。 ’L−一一．．“1。一一一」J Vp＝＝｛−1−｛一㎡1＋4β・VCA｝／（2β） ⑲ 2／P＝（VCA、−Vp）／Vg cosθ／YA ⑳ tp・＝（L−XCA）／BU． ⑳ 図一5 諸水理量の直線近似ある。ここに，L：水路長， β＝1／｛cosθ・∼／㌫｝ところで，以上の補正計算において，XA’あるいは？2） XB’が上流端よりもさらに上流側（x＜0）に求められである。た場合，t軸上における同様の近似補正により点A”， 4．特性直線網の乱れに対する補正処理について7） B”を新たな移動既知点とする。さて，上述のようにして移動既知点A’，B「などが上述のような特性曲線法においては，特に射流の場合などにおいて，特性直線網の乱れが大きくなる結果，計算上の困難を生じることがある。そこで，次の求められた場合，その点をはさむ隣接格子点間において図一5のような比例配分により諸水理量（ζ）を与える。たとえぽ，点A’については次式となる。ような通常行われる近似計算により，あらかじめ定め ζ…Ci＋（CJ一ζ・）（㌘三㌃）陶られた規則的な格子網を組むように図式計算を進める。上流端補正については点B，または下流端補正につ図式解法の1つのステップは，上流端→中間各点→ いては点Aの補正を考慮すれぽよく，これらの既知量下流端，の順序で構成されているが，代表的な中間点として第3章の計算式により未知量を求めて，計算スの補正計算を例として簡単にに述べる。テップを順次に進行させる。図一4のx−t座標平面において，規則的な整網格子点の未知座標位置をRとする。時刻tlにおける各格 5．解析の結果と考察子点の諸水理量は既知であり，これらの隣接する整網特性曲線法を実際の流出解析に適用する場合，流域格子点間の諸量が直線的に変化すると考える。をいくつかの部分流域に分割して，それらの流域構成すなわち，既知点AおよびBからまず未知点として Pが得られたとする。点Rに交差するように，点A，の段階的プロセスを結合する，いわゆる洪水追跡が行われる9）。 Bのそれぞれをはさむ格子点の間における特性直線勾配の比例配分によって点A’，B’を決定する。計算式としては，本論文においては，流域構成の基本的単位ともいえる図一6のような単一斜面を対象として，前述の理論を適用することにより単位図の非線型効果に関して検討 Q霊詰票蒜誓1≒評）閻 XBt一命送?｣；辮≧難宍）21i XA，一が得られる。ここにDTは時間ステップであり，精度と計算時間との関係において最適のものを選ぶ必要が一64一図一6 計算流域モデル斜面流出における非線型効果に関する一考察を行った。終了時において一様にピークに達し，非線型性はみら図一7は，降雨継続時間を1秒として余剰降雨：r＊れなかった。一方，後者の判断の目安として，図中の（この場合，r＊＝r一ア＋2qL／Bとして浸透，横流入も〔〕内にr＊−1000m3／hrの場合に対するr＊−2000，含めて考える）を3段階で増加させた場合の流出ハイ 3000m3／hrの場合におけるピーク流量比率の概算値をドログラフの計算結果例である。用いた諸定数につい示した。ある程度の計算誤差を考慮しなけれぽならなては，図中に記入してあり，2Vは水路の格子分割数でいが，降雨強度の倍増にともなってピーク流量がわずある。ここで，図のaは急勾配水路の場合に相当し，かずつ割高で増大しており，非線型効果が示されてい図のbは緩勾配水路としての例である。特に前者の計ると考える。図のaとbにおける比率がちょうど一致算においては，2Vが小さいほど計算値に不安定要素がしているが，ここにおいては偶然性によるところが大多くみられ，採用したN−400程度でほぼ安定化した ◆一一●：Q／Q＊結果が得られた。この場合には，流れの状態が射流で ●一一・一●：y／Vo あるので，C＋およびC一の両特性直線がいずれも下流 o……心：yん。側方向へ傾くことになり，その結果として格子点間隔・＊＝1000（mm／h・）一一一1・ec l／100 が大きくなり，計算の精度に影響が及ぶからであろう。 1．05 図一7のaとbを比較すると，ハイドログラフの逓減に 1．0 おいて両者の特徴がよく現れている。すなわち，急勾 1．05 配の場合において比較的急な減衰を示しているのに対 1．0 して，緩勾配においては急な減衰の後になだらかな減衰が続いている。また，ピーク流出量については，急 t＝15sec ．ロニづ8 ＿．’一’・・’〇 t二12 一＿，＿一一一◆ i”：’， 1．as t；8 ，一一．．一一“一一一一一’一〔o 1．0 一一一一一一一x −・＝一二1．： 9iニー一一一一一“一“’一一一● 勾配の方が緩勾配の場合よりも大きくなっている。と 1．05 ころで，流出ハイドログラフの非線型効果に関して， t＝5 著者らは，ピーク到達時刻とピーク流量の変化に注目 1．0 した。前老については，降雨強度の増大とともにピー 1．05 ’＝1 ク到達時刻が早まることを期待したが，いずれも降雨 1．0 2，； eL＝二＝8ニー＾二二二‡二＝＝9 1。。1．。L＿＿＿＿＿＿−x O L／4 L／2 3／41J L L−＿＿＿L＿＿＿一．一＿＿．一」一＿＿＿＿＿」＿一＿一一一一」 slope 2． 1・ l’ 三2・o 磨≠R000 B（mm／hr）図一8（a）諸水理量分布の時間的推移（急勾配）ノS：1（m）：10（m）》1． r＊−1000（mm／h・）一一1 sec，1／1000 ：O．Ol 亘 Q＊：10（mソhr）（ン 1．0 、’ 1．5 F400 0．5 ／、− 0．5」 024681012141618 T（sec） 1．5 t＝15 1．0 図一7（a）r＊と計算hydrographの関係（急勾配） o．5］／● ／＿一＿＿＿＿一一一x 、ro 1．5 ／ t＝10 B：1（m） L：10（m）主1．0 1．5 ／● t＝5 n：0．01 Q＊：10（mソhr）㌻ 5 t−1 ，IV：400 ge O．5 t・＝O 02468101214161820 ／ 1．0 、、0 0。5 r＊（mm／hr） 1．5 0 ／，t＝20sec 1．0 ／／；：：一・一・V iliトー…÷ iii ／三〇 L／4 L／2 3／4L L T（sec）図一7（b）r＊と計算hydrographの関係（緩勾配）図一8（b）諸水理量分布の時間的推移（緩勾配）一65一山梨大学工学部研究報告昭和51年12月第27号グラフのピーク流量が非線型的に増加する傾向は示さ 1／1000 れたと言えよう。 r。（mm／hr）以上のように，特性曲線法を用いて単位図の非線型特性に関する定性的な検討を行ったが，つぎのような duration of rainfal1 20 ：15sec 問題点を指摘しておく。まず，流れの状態が射流の場：25sec 合においては計算が不安定になる場合が多い，これに三15 対しては格子分割数を多くして計算を安定化すること ☆ 旦ができる。ただし，この種の計算においては計算時間くy 10 が長くかかるということも問題点の一つであり，無制限に分割数を大きくすることはできない。 5 また，本論文においてはr＊としてかなり大きな値を用いているのであるが，計算の対象流域を非常に小さく仮定したので，非線型効果などを議論する上で十 0481216202428323640 T（sec）分な流出流量を得るための必要性による。対象流域を図一9継続降雨と計算hydrographの関係（緩勾配）河道とすれば，r＊に横流入量が含まれるのである程度説明もつくし，実際の流域系を考慮する場合はこのよきいと思われる。次に，図一8においては，図一7のaおよびbに対応してr＊−1000mm／hrの場合における水深，’平均流速さらに流出流量の時間的推移の様子を示した。縦軸は各うにr＊を大きくとる必要はないと考える。ただし，結合された流域構成においては時間おくれなどの要素が流出現象にかなりの影響を及ぼすようになると考えられ，今後，方程式の無次元化などによりさらに研究水理量の上流端における初期値に対する割合を示し，また，横軸は水路の流下方向距離である。この図のa からは，急勾配水路において，上流端境界条件のみに束縛されて上流側から押し出されるように流出する様を発展させたい。一方，斜面流を河道流と同様に扱ういわゆる“rout・ ing”の問題も依然として残されている。なお，本論文における数値計算は東京大学大型計算子が理解される。一方，bの緩勾配水路においては，上・下流端の両境界条件に影響されて，各水理量が非機セソターのHITAC8800・8700を利用した。常に緩慢な変化を示し，全体的にゆるやかな流出が続 6．結いている。後者については，いわゆる不定流効果が表語現されていると言えよう。著者らは，“full term”の運動方程式と連続の方程さらに，図一9においては，不定流効果の強い緩勾配式に関して特性曲線法の適用により解析を行った。本の場合について，降雨継続時間を長くすることによる論文においては，降雨強度の変化による単位図の非線非線型効果への影響をみようとした。図中の記号およ型特性について特に注目し，仮定した単一斜面を対象び諸定数については図一7のbと同じであり，降雨継続流域として計算を示した。時間が15秒と25秒の場合の下流端ハイドログラフをそこの結果，ピーク到達時刻に関しては非線型性が示れぞれ実線と破線とで示している。ピーク到達時刻にされなかったが，ピーク流出量について非線型効果のついては，1秒の場合と同様に非線型効果は示されなあることが定性的に示された。実際的な流出現象におかった。ピーク流量の伸び率については，15秒の場合いてこの非線型効果がどの程度影響するかについてが1秒の場合に比べて大きな割合であるのに対し，25 秒の場合では逆に小さな割合になっている。この場合，初期に降った雨が斜面長を流下するに要する時間は15 秒付近であり，降雨継続時間の相違によって図一9あるいは図一7のbにおけるハイドログラフもおのおの異なった特徴を示している。すなわち，降雨継続時間が斜面流達時間と同等程度である場合に，ピーク流量に関は，実際流域への適用あるいは“Kinematic wave法” などとの比較・検討によってさらに研究を発展させたいと考える。一方，急勾配と緩勾配の二つの場合におけるハイドログラフと諸水理量の変化の過程を示したグラフから，両者の流出プロセスの相異を理解することができする非線型性が最も強いことになるが，計算例の少なた。いことから，明確な傾向を論議することはできない。本論文においてはこのように降雨強度による流出のしかしながら，降雨強度の増加にともなってハイドロ非線型効果についてのみ議論を進めたが，これらの解一66一斜面流出における非線型効果に関する一考察析方法は，関係する水理学的条件や幾何形状条件が流出波形に及ぼす影響などに関する研究を行う上で有効であると考える。したがって，従来の解析方法によって明確な把握ができなかった個々の問題に関しても，一2 3）末石富太郎：特性曲線法による出水解析について，土木学会論文報告集No．29， pp．74∼87，1955−12 4）土木学会編：新版土木工学ハンドブック，技報堂， pp．490∼511， 1971 より水理学的な立場から新たな方向へ研究を進展させ 5）Eeagleson， P． S．：Dynamic Hydrology， Mc− ることが期待されよう。 Graw・Hill， pp．325∼357，1970 最後に，本研究を進めるにあたり山梨大学工学部水理研究室の各位に多くの御協力をいただいたことを記して謝意を表する。 2） ed Runoff， Jour． of Hydrology， VoL 21， pp． 231∼246， 1974 参考文献 1） 6）Taylor， C．， Al・Mashidai， G． and Davis， J． M．：AFinite Element Approach to Watersh・日野幹雄：流出の非線型性について一流出現象の質的 7）荻原能男・河西基：表面流出に関する一解析手法，第3回関東支部年講pp．155∼156，1976∼1 8）本間仁・安芸咬一：物部水理学，岩波書店，pp． 292 理解への寄与一，第16回水理講演会，pp．105∼110， ∼301， 1973 1972−2 日野幹雄：砂田憲吾・灘岡和夫：非線型流出系の理論編，サイエンス社，pp．98∼117，1974 解析について，第20回水理講演会，pp．15∼21，1976 一67一 9）土木学会編：土木工学における数値解析一流体解析