確率・統計

確率・統計
解答（1）
1. c 変化無し
2. e Chi-squared
3. (1-0.03)*(1-0.02) = .9506
4.
Pr(機嫌良｜上手）= :9; Pr(機嫌良｜下手) = :3; Pr(上手) = :2
Pr(上手｜機嫌良) = Pr(機嫌良｜上手）／［Pr(上手)=(Pr(機嫌良｜上手）Pr(上手)
+Pr(機嫌良｜下手）Pr(下手)］
=0.9
× 0.2=(0.9×0.2 +0.3×0.8) = 0.18・0.42=0.42857
5.
Pr(X > 100) = Pr((X － 110)／ 10 > (100 － 110)／ 10) = Pr(Z >－ 1) = Pr(Z < 1) = :84
6.
a. 分布関数、 b. 平均、 c. 分散
n
7.
尤度関数=
i 1
f (x i | )
尤度関数のθに関する一次微分が 0 で二次微分が正であること。
8. 順序尺度水準の変数間の相関としては、積率相関係数では無く変数の順序情報のみを利用する順
位相関係数を計算すべきである。
9. たとえば、x が－ 5 < x < 5 の範囲で変化し、x と y との間に y = ｘ２ +error という関係があ
るような場合。
-1-
解答（２）
1)
1
(x
a
F (x )
1
E (x )
0
Var (x )
a
2
if x
0
a
a
) if
2
2
x
a
2
if x
a
2
a2
12
2)
if x
0
a
2
2x 2 2x 1
a
if
x 0
2
a
2
2
a
2x 2 2x 1
a
if 0 x
2
a
2
2
a
a
1
if x
2
0
F (x )
E (x )
Var (x )
a2
24
2.
exp(-xi)exp(-exp(-xi))
P(u1>u2)=
=
F (v 1
v2
x 1)f (x 1)dx 1
exp( exp( (v 1
v2
=(1/(exp(-(v1-v2))
=1/(exp(-(v1-v2))+1)
x 1)))exp( x 1)exp( exp( x 1))dx 1
1)
x -a/2 のとき F(x)=0,
-a/2<x<a/2 のとき F(x)=1/a(x+a/2),
a/2 x のとき F(x)=1
2)
E(x)=0, Var(x)=a2/12
x -a/2 のとき F(x)=0,
-a/2<x<0 のとき F(x)=2x2/a2 +2x/a+1/2
0 x<a/2 のとき F(x)=-2x2/ a2 +2x/a+1/2
a/2 x のとき F(x)=1 E(x)=0, Var(x)=a2/24
2.
exp(-xi)exp(-exp(-xi))
P(u1>u2)=
=
F (v 1
v2
x 1)f (x 1)dx 1
exp( exp( (v 1
v2
=(1/(exp(-(v1-v2))
=1/(exp(-(v1-v2))+1)
x 1)))exp( x 1)exp( exp( x 1))dx 1
解答例
（３－１）


確率変数 X が期待値 X 、分散 X の分布をしている。単調増加関数 f () を用いて新しい確
2


率変数Y  f (X ) を作った。この確率変数Y の期待値 Y と分散 Y をテイラー展開(1 階の
2
線形近似)を用いて、
X
、
2X
で表しなさい。
確率変数 X は期待値と誤差を用いて
X  X  
  (0, 2X )

と表すことができる。ゆえに新たな確率変数Y  f (X ) を確率変数 X の期待値 X の近傍
でテイラー展開し 1 階線形近似すると
Y  f (X )
 f (X  )
 f (X )  f (X )
と表せる。ゆえに、確率変数Y  f (X ) の期待値は
Y  E [Y ]
 E [ f (X )  f (X )]
 f (X )  f (X )E [ ]
 f (X )  E [ ]  0
とあらわせる。また確率変数Y  f (X ) の分散は
Y2  Var[Y ]
 E [(Y  E [Y ])2 ]
 E [{f (X )  f (X )  f (X )}2 ]
 E [{f (X )}2 ]
 f (X )2 E [ 2 ]
 f (X )2 2X
-1-
（３－２）
非線形の期待値に加法的に誤差をつける形式のモデルではなく、期待値と分散を別個にモ
デル化することにより、対数変換することで、線形の統計モデルに最小自乗法を適用しパ
ラメーター推定できることが示せること。
このとき、（３－１）の成果を利用し、対数変換により誤差の分散同質性が確保できるこ
とを示せること。
為替レートの期待値は
E [ X ]  M 
そして分散は
Var [X ]  (E [X ])2
 2X (M  )2
比例係数を2Xとする
 2X 2M 2
このような確率変数の自然対数をY とすると、その期待値は
E [Y ]  E [ln(X )]
 ln(M  )
 ln    ln M
とあらわせ、分散は
Var [Y ]  f (E [X ])2Var [X ]
1 2
1
) Var [X ]  f (E [X ]) 
(
E [X ]
E [X ]
1 2 2 2 2
) X  M
 E [X ]  M  , Var [X ]  2X 2M 2
(

M
 2X  const .
となり、分散同質性が確保されていることがわかる。ゆえに以下の統計モデル
ln X  ln    ln M  
 k   ln M  
  (0, 2 )
を単回帰分析し、以下の複合仮説
k  0
  0

を検定すれば良いことになる。
-2-

Download Report