PDF版 - 富山大学理学部

2 次体の Dedekind zeta 関数の特殊値の可除性・非可除性
といくつかの応用
木村巌（富山大学理学部）
2004 年 5 月 12 日
目次
1
相対岩澤不変量が消える 4 次 CM 体の無限族
1
1.1
イントロダクション
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
問題・主結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
定理 1.12 の証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2
実 2 次体に対応する指標に関する一般化 Bernoulli 数の可除性
5
2.1
一つの言い替え . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2
小さな素数での可除性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1
相対岩澤不変量が消える 4 次 CM 体の無限族
1.1
イントロダクション
以下の記号を用いる．集合 S について、|S| は S の濃度．K/k が体の拡大の時、[K : k]
は拡大次数．Z で有理整数環を表し、Z≥0 で非負整数の全体を表す．
有理数体 Q ⊂ 有理数体の代数閉包（一つ固定）Q ⊂ 複素数体 C. 代数体といえば、有限
次無限次を問わず、Q の部分体とする．代数体 k に対して、D(k) で判別式、Cl(k) でイデ
アル類群、h(k) := |Cl(k)| で類数、OK で K の整数環を表す．
自然数 n に対して、ζn ∈ Q を 1 の原始 n 乗根とする．
代数体 k に対し、ζk (s) (s ∈ C) を Dedekind zeta 関数とする．
1
p を有理素数、Zp を p 進整数環とする．K/k が Zp 拡大のとき、自然数 n に対して、kn
で K/k の n-th layer, すなわち、閉部分群 pn Zp ⊂ Zp に Galois 理論で対応する、K/k の
中間体とする．k0 = k とする．[kn : k] = pn . An で kn のイデアル類群の p-Sylow 部分群
を表す．この時、よく知られた岩澤の定理は、次のとおり：
定理 1.1 （岩澤）. p: 素数、K/k: Zp 拡大とする．この時、λ, µ ∈ Z≥0 と、ν ∈ Z が存在
して、十分大きな任意の n ∈ Z≥0 について、
|An | = pλn+µp
n +ν
が成立．
定義 1.2.
1. 定理 1.1 の記号で、λp (K/k) = λ, µp (K/k) = µ と定義し、それぞれ、K/k
の岩澤 λ 不変量、岩澤 µ 不変量とよぶ．
2. 更に、K/k が、K ⊂
n k(ζpn ) を満たす Zp
拡大のとき、K/k を円分 Zp 拡大と呼び、
このときは λp (k) = λp (K/k), µp (k) = µp (K/k) と記す．
3. 有限次代数体 k が CM 体（つまり、総実代数体 k + 上 2 次の拡大体で、総虚なもの）
のとき、
+
λ−
p (k) = λp (k) − λp (k ),
+
µ−
p (k) = µp (k) − µp (k )
と定義し、それぞれ k の円分 Zp 拡大の相対岩澤 λ 不変量、相対岩澤 µ 不変量とよぶ．
例 1.3. 虚 2 次体 k が CM 体の一番簡単な例である．この時 k + = Q で、任意の素数 p に
ついて λp (Q) = µp (Q) = 0 であるから、
λ−
p (k) = λp (k),
1.2
µ−
p (k) = µp (k).
問題・主結果
問 1.4 （堀江［6］）. p を奇素数、F を有限次総実代数体とする．
Ωp (F ) := {k | k は CM 体で、k + = F , かつ下の (∗) を満たす },
(∗)
:
−
λ−
p (k) = µp (k) = 0
と定義する．この時、Ωp (F ) は、任意の奇素数 p と、任意の有限次総実代数体 F について
無限集合であるか？
2
事実 1.5. p を奇素数、k を CM 体とする．h− (k) で k の相対類数 h(k)/h(k + ) を表す．こ
のとき、次の二つは同値：
−
• λ−
p (k) = µp (k) = 0
• p h− (k) かつ、p の上にある k + の素点は k でどれも不分解．
よって、問 1.4 において、条件 (∗) は以下の条件 (∗ ) に言い替えられる：
Ωp (F ) = {k | k は CM 体で、k + = F , かつ下の (∗ ) を満たす },
(∗ )
p h− (k) かつ、p の上にある k + の素点は k でどれも不分解．
:
定理 1.6 （堀江［5］）. 任意の奇素数 p について、Ωp (Q) は無限集合．
更に詳しく、
定理 1.7 （Byeon［2］）. 任意の奇素数 p について、
|{k ∈ Ωp (Q)| |D(k)| < X}|
√
X
.
log X
定義 1.8. F を有限次総実代数体とする．このとき、次のように定義する．
pn(p) ,
wF := 2n(2)+1
n(p) := max{n| [F (ζpn ) : F ] ≤ 2},
ξ(F ) := wF ζF (−1).
p
定理 1.9 （Serre ［17］）. ξ(F ) ∈ Z.
定理 1.10 （内藤［14］）. F を有限次総実代数体、p を奇素数で、p ξ(F ) なるものとす
る．この時、Ωp (F ) は無限集合．
すると、奇素数 p を固定して、F が有限次総実代数体のある族を動く時、条件 p ξ(F )
がどのくらい満たされるのかは興味のある所である．この問題について、次の Byeon の結
果がある．
√
√
定理 1.11 （Byeon ［3］）. p を奇素数とする．実 2 次体 Q( D) で、p ξ(Q( D)) を満
√
たすものが無数に存在する．よって特に、これらの実 2 次体については、Ωp (Q( D)) は無
限集合である．
p ξ(F ) という性質が、Zp 拡大の各 layer に遺伝することを注意する．
3
√
定理 1.12 （Kimura ［9］）. p を奇素数とする．この時、実 2 次体 F = Q( D) であっ
て、F の円分 Zp 拡大の各 n-th layerFn (n ≥ 0) についても Ωp (Fn ) が無限集合であるよう
なものが、無数に存在する．
注意 1.13. 任意の有限次総実代数体 F について、p = 3 の場合には、ξ(F ) が 3 で割れる割
れないに関わらず、Ω3 (F ) が無限集合であることが、Horie-Kimura ［7］で示されている．
1.3
定理 1.12 の証明
定理 1.12 は以下の事実から直ちに従う．
定理 1.14 （K. Komatsu［11］）. F を有限次総実代数体、p を素数、F /F を p 拡大と
する．µp (F (ζp )) = 0 を仮定する．このとき、もし [F (ζp ) : F ] = 2 で、F /F が p の外不分
岐ならば、次は同値：
• p||K2 (OF )|.
• p||K2 (OF )|.
ただし、K2 (OF ) は、F の整数環 OF の 2 番目の代数的 K 群．
√
p を固定しているので、ほとんどすべての実 2 次体 F = Q( D) について、[F (ζp ) :
√
F ] = 2. また、F (ζp ) = Q( D, ζp ) は Abel 体であるから、Ferrero-Washington［4］によ
り µp (F (ζp )) = 0.
一方、岩澤主予想の一つの帰結として、任意の奇素数 p について、次が示された1（Abel
体の場合 Mazur-Wiles ［13, Theorem 5］, 任意の総実代数体上の Abel 拡大体の場合は
Wiles ［22, Theorem 1.5］）
：
|K2 (OF )| ∼p ξ(F ) := w2 (F )ζF (−1),
（1）
ここで、任意の有理整数 a, b について、a ∼p b は a/b が p 進単数であるという意味．
これらの事実と、定理 1.11 とから、p を任意の奇素数としたとき、次の性質を満たす実
√
√
2 次体 Q( D) が無数にあることが分かった：F /Q( D) が p の外不分岐な p 拡大ならば、
p ξ(F ).
√
F = Q( D) の円分 Zp 拡大の各 layer Fn について、Fn /F は p の外不分岐な p 拡大であ
るから、これで定理が示された．
1
本来の Birch-Tate 予想は、任意の有限次総実代数体に対して |K2 (OF )| = |ξ(F )| を主張するもの．
4
有限次総実代数体 F について、Bp (F ) を次のように定義する：
Bp (F ) := {K| K は CM 体で F 上 (2, 2) 型の 4 次拡大で、更に次の (∗ ∗ ∗) を満たす },
(∗ ∗ ∗)
:
−
λ−
p (K) = µp (K) = 0.
√
系 1.15. p を奇素数とする．このとき、実 2 次体 F = Q( D) で、F の円分 Zp 拡大の各
n-th layer に Fn について、Bp (Fn ) が無限集合となるようなものが無限に存在する．
証明. K, K を同じ最大実部分体を持つ CM 体とすると、奇素数 p について
−
−
λ−
p (K · K ) = λp (K) + λp (K ),
−
−
µ−
p (K · K ) = µp (K) + µp (K ).
が成り立つ（cf. Horie-Kimura［7］）．従って K, K ∈ Ωp (Fn ) なら K · K ∈ Bp (Fn ) であ
る．
2
実 2 次体に対応する指標に関する一般化 Bernoulli 数の可除性
2.1
一つの言い替え
√
実 2 次体 Q( D) に対応する指標を χ とすると、χ(·) = (D/·) である．
√
D > 5 なら wQ(√D) = 23 · 3, よってξ(Q( D)) = wQ(√D) ζQ(√D) (−1) = B2,χ
√
によって、ξ(Q( D)) は容易に計算できる．
p
5
7
11
13
17
19
23
D
√
ξ(Q( D))
37
40
61
89
97
76
88
22 · 5
22 · 7
22 · 11
23 · 13
23 · 17
22 · 19
22 · 23
√
上の表は、素数 p について、p | ξ(Q( D)) となる D を探したものである．自然に次の
疑問が生じる：
√
√
問 2.1. 奇素数 p に対して、実 2 次体 Q( D) で、p|ξ(Q( D)) なるものが常に存在するか？
更に、そのような実 2 次体は無数に存在するか？
√
“p|ξ(Q( D))” という条件を、次のように言い替えることができる．
5
そのための準備として、次の記号を導入する．F (ζp∞ ) = ∪n≥1 F (ζpn ) とすると、F (ζp∞ )/F (ζp )
は円分 Zp 拡大である．M∞ を、 F (ζp∞ ) の p の外不分岐な最大 Abel p 拡大とする．X∞
を、次のように定義する：
X∞ = Gal(M∞ /F (ζp∞ )).
∆ = Gal(F (ζp )/F ) とすると、Gal(F (ζp∞ )/F ) = Gal(F (ζp∞ )/F (ζp )) × ∆ が X∞ に共役で
作用するから、∆ も X∞ に作用する．
冪等元 εi を、
εi := |∆|−1
ω i (δ)δ −1 ∈ Zp [∆]
δ∈∆
で定義する．ただし ω は p 進 Teichm¨
uller 指標．
√
命題 2.2. p を奇素数、F = Q( D) を実 2 次体とする．このとき、p|wF ζF (−1) = B2,χ と
ε2 X∞ = 0 とは同値．
n
証明. A∞ を F (ζp∞ ) の p-Sylow 部分群とする．つまり、A∞ = lim
−→n≥1 An , An は F (ζp ) の
イデアル類群の p-Sylow 部分群．すると、Gal(F (ζp∞ )/F ) の作用によって、A∞ も Zp [∆]
加群．
F ∩ Q(ζp ) = Q としてよいから、
∆∼
= Gal(Q(ζp )/Q) ∼
= (Z/pZ)× .
式（1）でみたように、p|w2 (F )ζF (−1) と p| K2 (OF ) とは同値．一方、Komatsu ［11］の
lemma 3 によると、p| K2 (OF ) と εp−2 A∞ = 0 とは同値．
T を、すべての p 冪乗根の（p 乗写像に関する）逆極限とし、
εi X∞ (−1) := εi X∞ ⊗Zp HomZp (T, Zp )
とする．Zp 拡大の岩澤理論と F (ζp∞ ) 上での Kummer 理論によって、i + j ≡ 1 (mod |∆|),
i は奇数、について、Zp [[Gal(F (ζp∞ )/F (ζp ))]] 加群として
εj X∞ (−1) ∼
= HomZp (εi A∞ , Qp /Zp )
を得る（cf. Iwasawa［8］, Washington［21, Proposition 13.32］）．i = p − 2 とすると、
主張を得る（Abel 群としては ε2 X∞ (−1) = ε2 X∞ ）．
6
2.2
小さな素数での可除性
p = 3, 5 については、上の問 2.1 について肯定的に答えることができる．
命題 2.3.
|{0 < D < X | 3 | |K2 (OQ(√D) )|}|
7
X 8 −ε .
証明.
√
定理 2.4 （Browkin［1］, Lu［12］, Queen［16］, Urbanowicz［19］）. F = Q( D)
を実 2 次体とする（D > 0）．このとき、次は同値：
3 | |K2 (OF )|
√
• 3 | h(Q( −3D)) もしくは D ≡ 6 (mod 9).
定理 2.5 （Soundararajan［18］）. g を自然数とする．Ng (X) を、
Ng (X)
:=
（☆）:
|{0 < d < X | d は平方自由で、条件（☆）を満たす }|,
√
Cl(Q( −d)) は位数 g の元を持つ．
と定義する．このとき、十分大きなすべての正の実数 X について

1
2

X 2 + g −ε if g ≡ 0 (mod 4),
Ng (X)
1
3

X 2 + g+2 −ε if g ≡ 2 (mod 4)
が成立する．
Ng (X) ≥ N2g (X) なので、上の定理から、g が奇数の場合の評価も導くことができる．
g = 3 の場合を考えると、
N3 (X) ≥ N6 (X)
7
X 8 −ε .
また、上記 Soundararajan の論文を見ると、実際には 3 が分岐する虚 2 次体のみを数えて
いることが分かる（loc. cit. p.683, 式（1.3）の下あたり）．すなわち 3|d.
よって、定理 2.4 と定理 2.5 から、命題 2.3 が従う．
注意 2.6. Kohnen［10］は、定理 2.4 の応用として、次のようなことを示している．f =
n≥1 an q
n を level
1, weight 2k の Hecke eigenform, その D ひねりを f ⊗χD =
n≥1 an χD (n)q
とする．このとき、f ⊗ χD の L 関数の central critical value が消えないような正の判別式
D の個数が、下から明示的に評価できる．
7
n
次に p = 5 の場合である．
√
命題 2.7. {Q( D) | 5 | |K2 (OQ(√D) )|} は無限集合．
証明. 4 頁の式（1）より、
√
|K2 (OQ(√D) )| ∼5 ξ(Q( D))
である．
一方、次の結果が知られている．
定理 2.8 （Yamamoto［23］）. S1 , S2 , S3 を有理素数の有限集合で、互いに交わりのな
いものとする：Si ∩ Sj = ∅. n ≥ 1 を自然数とすると、次の二条件を満たす虚（resp. 実）
2 次体 F が無数に存在する：
• Cl(F ) は Z/nZ ⊕ Z/nZ （resp. Z/nZ）に同型な部分群を含む．
• Si に含まれる有理素数はどれも F で、i = 1, 2, 3 に応じて、分解、惰性、分岐する．
定理 2.8 を、n = 25, S2 = {5} として適用すると、
（★）
：{ 実 2 次体 F | 25 | h(F ) かつ、5 が F で惰性 } は無限集合
が分かる．
Lu (loc. cit.) により、次の合同が示されている：
定理 2.9 （Lu）. 5 D0 , D0 > 0 とする．このとき、
√
( 5D0 ) (−1)
−12ζQ
≡
D0
5 K
1−
5
2h(D0 ) log5 ε0
√
D0
(mod 5),
√
ただし、ε0 は Q( D0 ) の基本単数、log5 は 5 進対数、(·/·)K は Kronecker 記号．
また、次の事実はよく知られている：
命題 2.10 （cf. Washington, loc. cit., Proposition 5.33.）. F/Q を有限次総実 Galois
拡大とし、素数 p の上にある F の素点は唯一で、p の分岐指数は高々p − 1 とする．この時、
[F : Q]Rp (F )
D(F )
≤ 1,
p
ただし Rp (F ) は F の p 進単数基準、| · |p は、|p|p = 1/p と正規化した p 進絶対値．
8
この事実から、上の（★）の F については、
2 log5 (ε0 )
D(F )
≤ 1.
5
5 は（★）の F では惰性するから、(D(F )/5)K = −1 で、
1−
D0
5 K
5
2h(D0 ) log5 ε
√
=
D0
1−
−1
5
h(D(F ))
2 log5 (ε0 )
D(F )
≡0
(mod 5)
が従う．すなわち、{ 実 2 次体 F | 25 | h(F ) かつ、5 が F で惰性 } の元である F の判別
√
√
式 D0 について、D = 5D0 とすれば、Q( D) ∈ {Q( D) | 5 | |K2 (OQ(√D) )|}.
注意 2.11. 上の証明では、類数の可除性のみならず、分岐についての条件も満たす 2 次体
の族の存在が必要だったので、定理 2.8 を引用した．可除性のみで良いならば、実 2 次体
の場合は、Yu［24］がある．
注意 2.12. なお、2 次体の類数、2 次体に対応する Dirichlet 指標に付随する一般化 Bernoulli
数、楕円曲線の Tate-Shafarevich 群の位数、modular form の L 関数の central critical values
の可除性、非可除性などについては、K. Ono［15］も見よ．
この講演では触れられなかった、2 次体の類数や、2 次体に付随する一般化 Bernoulli 数
の 2 巾に関する合同については、Urbanowicz and Williams［20］を参照のこと．
参考文献
［1］ Jerzy Browkin, On the divisibility by 3 of # K2 OF for real quadratic fields F ,
Demonstratio Math. 18 (1985), no. 1, 153–159. MR 87c:11115
［2］ Dongho Byeon, A note on basic Iwasawa λ-invariants of imaginary quadratic
fields and congruence of modular forms, Acta Arith. 89 (1999), no. 3, 295–299.
MR 1 691 858
［3］
, Indivisibility of special values of Dedekind zeta functions of real quadratic
fields, Acta Arith. 109 (2003), no. 3, 231–235. MR 1 980 259
［4］ Bruce Ferrero and Lawrence C. Washington, The Iwasawa invariant µp vanishes
for abelian number fields, Ann. of Math. (2) 109 (1979), no. 2, 377–395. MR
81a:12005
9
［5］ Kuniaki Horie, A note on basic Iwasawa λ-invariants of imaginary quadratic
fields, Invent. Math. 88 (1987), no. 1, 31–38. MR 88i:11073
［6］
, On CM-fields with the same maximal real subfield, Acta Arith. 67 (1994),
no. 3, 219–227. MR 95k:11140
［7］ Kuniaki Horie and Iwao Kimura, On quadratic extensions of number fields and
Iwasawa invariants for basic z3 -extensions, J. Math. Soc. Japan 51 (1999), no. 2,
387–402. MR 2000a:11157
［8］ Kenkichi Iwasawa, On zl -extensions of algebraic number fields, Ann. of Math. (2)
98 (1973), 246–326. MR 50 #2120
［9］ Iwao Kimura, Some implications of indivisibility of special values of zeta functions
of real quadratic fields, Math. J. Toyama Univ. 26 (2003), 85–91.
［10］ Winfried Kohnen, On the proportion of quadratic character twists of L-functions
attached to cusp forms not vanishing at the central point, J. Reine Angew. Math.
508 (1999), 179–187. MR 2000e:11070
［11］ Keiichi Komatsu, K-groups and λ-invariants of algebraic number fields, Tokyo J.
Math. 11 (1988), no. 2, 241–246. MR 90b:11126
［12］ Hong Wen Lu, Congruences for the class number of quadratic fields, Abh. Math.
Sem. Univ. Hamburg 52 (1982), 254–258. MR 85b:11096
［13］ B. Mazur and A. Wiles, Class fields of abelian extensions of Q, Invent. Math. 76
(1984), no. 2, 179–330. MR 85m:11069
［14］ Hirotada Naito, Indivisibility of class numbers of totally imaginary quadratic ex-
tensions and their Iwasawa invariants, J. Math. Soc. Japan 43 (1991), no. 1,
185–194. MR 92a:11131
［15］ Ken Ono, The web of modularity: arithmetic of the coefficients of modular forms
and q-series, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, vol. 102, Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC,
2004. MR 2 020 489
10
［16］ Clifford Queen, A note on class numbers of imaginary quadratic number fields,
Arch. Math. (Basel) 27 (1976), no. 3, 295–298. MR 53 #10760
［17］ Jean-Pierre Serre, Cohomologie des groupes discrets, Prospects in mathematics
(Proc. Sympos., Princeton Univ., Princeton, N.J., 1970), Princeton Univ. Press,
Princeton, N.J., 1971, pp. 77–169. Ann. of Math. Studies, No. 70. MR 52 #5876
［18］ K. Soundararajan, Divisibility of class numbers of imaginary quadratic fields, J.
London Math. Soc. (2) 61 (2000), no. 3, 681–690. MR 2001i:11128
［19］ Jerzy Urbanowicz, On the divisibility of generalized Bernoulli numbers, Applica-
tions of algebraic K-theory to algebraic geometry and number theory, Part I, II
(Boulder, Colo., 1983), Contemp. Math., vol. 55, Amer. Math. Soc., Providence,
RI, 1986, pp. 711–728. MR 88b:11012
［20］ Jerzy Urbanowicz and Kenneth S. Williams, Congruences for L-functions, Math-
ematics and its Applications, vol. 511, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht,
2000. MR 2001k:11209
［21］ Lawrence C. Washington, Introduction to cyclotomic fields, second ed., Springer-
Verlag, New York, 1997. MR 97h:11130
［22］ A. Wiles, The Iwasawa conjecture for totally real fields, Ann. of Math. (2) 131
(1990), no. 3, 493–540. MR 91i:11163
［23］ Yoshihiko Yamamoto, On unramified Galois extensions of quadratic number fields,
Osaka J. Math. 7 (1970), 57–76. MR 42 #1800
［24］ Gang Yu, A note on the divisibility of class numbers of real quadratic fields, J.
Number Theory 97 (2002), no. 1, 35–44. MR 2003m:11187
11

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