物理学演習 B [発展コース] 問題解答例

物理学演習 B [発展コース] 問題解答例
担当栗本 ([email protected])
カノニカル分布とその応用
1. 系 B のエネルギーを EB と記すと EB = E − EA である．全系のエネルギーが E となる状態
数を W (E)，系 A のエネルギーが EA となる状態数を WA (EB )，系 B のエネルギーが EB と
なる状態数を WB (EB ) と記せば，系 A がエネルギー EA をとる確率は
WA (EA )WB (EB )
WA (EA )WB (E − EA )
=
W (E)
W (E)
に比例する．一方，系 B のエントロピーを SB とすれば SB = k ln WB なので，WB = exp[SB /k]．
これと EA
E から exp[SB (EB )/k] = exp[SB (E − EA )/k] をテーラー展開して一次までと
ると，
WB (EB ) = exp[
SB (E − EA )
SB (E)
1
∂SB
EA
] = exp[ {SB (E) −
EA )}] = exp[
] exp[− ]
k
k
∂EB
k
kT
∂S
1
SB (E)
=
を用いた．W (E) と exp[
] は EA に関して定
∂E
T
k
EA
数なので，求める確率は exp[−
] に比例する．
kT
ここで系が熱平衡にあることと，
2. エネルギーの平均値は以下で求められる．
∑
En e−En /(kT )
E = ∑ −En /(kT ) =
ne
n
∑
n
En e−En /(kT )
Z
ここで
En e−En /(kT ) = −
∂ −En /(kT )
∂
e−En /(kT ) = kT 2
e
∂(1/kT )
∂T
なので
E
1 ∑ 2 ∂ −En /(kT )
1 ∂ ∑ −En /(kT )
1 ∂Z
kT
e
= kT 2
( e
) = kT 2
Z n
∂T
Z ∂T n
Z ∂T
∂
∂
= kT 2
(ln Z) = −T 2
(−k ln Z)
∂T
∂T
=
が成立する．ただし，ここで微分と和の順序を入れ替えられることを用いた．
ちなみにヘルムホルツの自由エネルギー F と内部エネルギー U の関係式
U = −T 2
∂(F/T )
∂T
と比較して，−kT ln Z が F に対応することがわかる．
1
3. 1 つの調和振動子のとるエネルギーの値は (n + )¯
hω (n は 0 以上の整数) なので，一粒子の分
2
配関数 Z は
∞
∑
1
1
exp[−¯
hω/(2kT )]
Z=
exp[− (n + )¯
hω] =
kT
2
1 − exp[−¯
hω/(kT )]
n=0
調和振動子は互いに独立なので，全系の分配関数 ZN は Z N で与えられる．自由エネルギー F
は
[
]
exp[−¯
hω/(2kT )]
Nh
¯ω
F = −kT ln ZN = −N kT ln
+ N kT ln{1 − exp[−¯
hω/(kT )]}
=
1 − exp[−¯
hω/(kT )]
2
Nh
¯ω N
1
=
+ ln{1 − exp[−β¯
hω]} (β =
)
2
β
kT
これから内部エネルギー U は
[
]
∂ F
∂
∂F
U = −T
( ) =
(βF ) = F + β
∂T T
∂β
∂β
[
]
Nh
¯ω N
N
N h
¯ ω exp[−β¯
hω]
=
+ ln{1 − exp[−β¯
hω]} − β 2 ln{1 − exp[−β¯
hω]} + β
2
β
β
β 1 − exp[−β¯
hω]
Nh
¯ω
Nh
¯ω
Nh
¯ω
Nh
¯ω
=
+
=
+
exp[β¯
hω] − 1
2
exp[¯
hω/(kT )] − 1
2
2
比熱 C は
C =
dU
exp[¯
hω/(kT )]¯
hω/(kT 2 )
(¯
hω)2
exp[¯
hω/(kT )]
= Nh
¯ω
=
N
2
2
dT
(exp[¯
hω/(kT )] − 1)
kT (exp[¯
hω/(kT )] − 1)2
4. 一粒子の分配関数 Z は
Z = exp[
kT
] + exp[−
kT
] = 2 cosh(
kT
)
粒子は互いに独立なので，全系の分配関数 ZN は Z N で与えられる．自由エネルギー F は
]
[
F = −kT ln ZN = N kT ln 2 cosh(
kT
) =−
N
ln [2 cosh(β )]
β
これから内部エネルギー U は
F = F +β
N
N
N sinh(β )
∂F
= − ln[2 cosh(β )] + β 2 ln[2 cosh(β )] − β
∂β
β
β
β cosh(β )
= −N tanh(β ) = −N tanh(
比熱 C は
C=
kT
)
2
N
1
dU
=
2
2
dT
kT cosh ( /kT )
5. (a) 1 粒子の状態和を z として，とりうるネエルギーは 0,
1, 2
だけなので
z = e−0/kT + e− 1 /kT + e− 2 /kT = 1 + e− 1 /kT + e− 2 /kT
系は識別可能な同種粒子 N 個からなるので，全系の状態和を ZN として
ZN = z N = (1 + e− 1 /kT + e− 2 /kT )N
(b) 1 つの粒子がエネルギー 0 の状態にある確率は e0/kT /z ．よって N 個の粒子のうちエネル
N
ギー 0 の状態にある粒子数は N0 e−0/kT /z =
1 + e− 1 /kT + e− 2 /kT
同様にして N 個の粒子のうちエネルギー 1 の状態にある粒子数は
Ne
N e− 1 /kT
/z =
1 + e− 1 /kT + e− 2 /kT
の状態にある粒子数は
− 1 /kT
N 個の粒子のうちエネルギー
2
N e− 2 /kT /z =
N e− 2 /kT
1 + e− 1 /kT + e− 2 /kT
(c) 系のエネルギー平均値を E とすると，(b) の結果を用いて
E = 0 × N0 +
1
× N1 +
2
N ( 1 e− 1 /kT + 2 e− 2 /kT )
1 + e− 1 /kT + e− 2 /kT
× N2 =
(d) 比熱を C とすると，(c) の結果を T で微分して
N [ 21 e− 1 /kT + 22 e− 2 /kT + ( 1 − 2 )2 e−( 1 + 2 )/kT ]
dE
=
dT
kT 2
(1 + e− 1 /kT + e− 2 /kT )2
C =
6. (a) 考えている系には特別な位置や特別な方向が存在しない (系は一様性と等方性を持つ)．よっ
て位置エネルギーは関与しないので分子の位置 r には依存しないし，速度の方向にも依
存しない．
−
mv 2
(b) 単位体積当たりの分子数が f (v)d3 v = Ce 2kB T d3 v で与えられているので，これを全空間
と d3 v で積分すれば全粒子数になる．すなわち
∫ ∫
∫
f (v)d3 vd3 r = V
N=
2
Ce
mv
− 2k
T
B
d3 v
この右辺を計算すれば C を求めることができる．
(c) 上の計算を実行する．v 2 = vx2 + vy2 + vz2 なので
∫
N = VC
∫
2
e
mv
− 2k
T
B
3
d v =VC
3
√
∞
−∞
∫
∞
∫
−∞
∞
−∞
e
2
mvx
BT
− 2k
2
mvy
BT
− 2k
e
2
mvz
BT
− 2k
e
2kB T π 
= VC
m
C =
N
V
(
m
2πkB T
)3/2
(d) f (v)d3 v の角度部分を積分すると
∫
2π
0
∫
π
2
f (v)v 2 sin θdvdθdφ = 4πCe
mv
− 2k
T
B
v 2 dv
0
これが F (v)dv に相当するので
2
mv
− 2k
T
F (v) = 4πCe
B
v 2 = 4π
N
V
グラフの概形 (横軸が v):
(
m
2πkB T
)3/2
2
e
mv
− 2k
T
B
v2
dvx dvy dvz
(e)
(
)
[
]
3/2
dF (v)
N
m
mv − 2kmv2T
= 4π
2v − v 2
e B
dv
V 2πkB T
kB T
]
(
)3/2 [
2
N
m
mv 2
− mv
2−
= 4π
ve 2kB T
V 2πkB T
kB T
この微分値が 0 となる v で F (v) は極値をとる．グラフの形から，最大値を与える vmp は
√
vmp =
2kB T
m

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