テーマ J03：終端速度の求め方 1．自由落下の式高校 - 埼玉工業大学

埼玉工業大学機械工学学習支援セミナー（小西克享）
テーマ J03：
終端速度の求め方－1/13
終端速度の求め方
１．自由落下の式
高校や大学では，図 1 のような自由落下する物体の運動方程式は，
d2y
g
dt 2
で表され，落下速度と落下距離は
v  gt  v0
y
(1)
(2)
1 2
gt  v0t  y0
2
(3)
となることを学習しました．
m
y
自然落下
v
図1
自由落下
(2)式によれば，落下速度は物体の重さや大きさとは無関係で，単に時間のみの関数とな
り，時間の増加に伴ってどんどん増加することになります．しかし，実際には空気が存在
するために落下速度は空気抵抗の影響を受けることになります．落下速度は無限に増加し
続けるのではなく，やがて重力と空気抵抗が平衡して一定速度で落下し続けることになる．
その後は等速度運動をします．物体が最終的に到達できる速度は終端速度と呼ばれます．
２．空気抵抗を受ける自由落下の式
終端速度を求めるには，空気抵抗を加味した運動方程式を考える必要があります．
d2y
 mg  D
dt 2
ただし，D は抗力です．
m
(4)
速度は
v
dy
dt
(5)
なので，(4)式の運動方程式は
m
dv
 mg  D
dt
と書くこともできます．
(6)
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終端速度の求め方－2/13
Newton の抵抗法則から，抗力は次式で表されます．
1
CD v 2 S
2
ただし， C D は抗力係数，S は物体の面積です．
D
(7)
球の場合，
S  r 2
球の抗力係数は，レイノルズ数 Re の範囲により異なり，以下のように分けられます．
（注：Re の範囲は CD 値が連続するようにした参考値です．）
層流領域（ Re  1 ）：
CD 
24
Re
(8)
24
Re
CD  0.44
遷移領域（ 1  Re  2975 ）： CD 
(9)
乱流領域（ Re  2975 ）：
(10)
ここで， CD 
24
のとき
Re
1
1 24 2
1 24
D  CD v 2 S 
v S 
v 2r 2  6rv
2
rv

2
2 Re
2
(11)

となります．これを Stokes の法則といいます．一般に，微粒子に適用することができます．
24
CD 
のとき
Re
D
1
1 24
1
CD v 2 S 
v 2 S 
2
2 Re
2
3
24
v 2r 2  6 2 r 3 v 2
2rv
(12)

CD  0.44 のとき
1
1
D  CD v 2 S  0.44 v 2r 2  0.22 r 2v 2
2
2
(13)
３．終端速度
3.1 CD 
24
のとき
Re
(6)式に(11)式を代入すると
m
dv
 mg  6 rv
dt
終端速度は，重力と抗力がつり合って，
mg  6 rv  0
よって
(14)
dv
 0 となった時の速度なので，(14)式より
dt
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v
3.2
mg
6 r
終端速度の求め方－3/13
(15)
24
のとき
Re
CD 
(6)式に(12)式を代入すると
3
dv
 mg  6 2 r 3 v 2
dt
終端速度は，
m
(16)
3
mg  6 2 r 3 v 2  0
より，

mg
v
 6 2 r 3

3.3
2
3



(17)
CD  0.44 のとき
(6)式に(13)式を代入すると
m
dv
 mg  0.22 r 2v 2
dt
(18)
終端速度は，
mg  0.22r 2v 2  0
より，
v
mg
0.22 r 2
(19)
レイノルズ数の範囲に応じて，終端速度の計算式が異なりますが，終端速度が分からない
とレイノルズ数も分からないという矛盾が生じます．終端速度を求めるには，まず，(15)，
(17)，(19)式を用いてすべての速度を計算し，さらにそれぞれの速度に対するレイノルズ数
を計算します．レイノルズ数が指定された範囲に適合するものを終端速度とします．
(15)式で計算された速度によるレイノルズ数は Re  1 ？ yes→(15)式を採用
no
↓
(17)式で計算された速度によるレイノルズ数は 1  Re  2975 ？ yes→(17)式を採用
no
↓
(19)式で計算された速度によるレイノルズ数は Re  2975 ？ yes→(19)式を採用
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終端速度の求め方－4/13
まとめ
Re  1 のとき， v 
mg
6 r

mg
1  Re  2975 のとき， v  
 6 2 r 3

Re  2975 のとき， v 
2
3



mg
0.22 r 2
４．速度変化の式
4.1 CD 
24
のとき
Re
空気抵抗係数を
k1  6 r
とおくと，(14)式は
m
dv
 mg  k1v
dt
となります．変数分離して積分すると
1
m
g v
k1
m
k1
dv 
1
dv 
g v
 log
k1
dt
m
k1
dt
m
m
k
g v  1t c
k1
m
重力と抗力の関係は
mg  k1v
さらに，
k1  0
m
だから， g  v  0 ．よって
k1
m
 k
 log g  v   1 t  c
 k1
 m
初期条件を t  0 で， v  0 とすると
(20)
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終端速度の求め方－5/13
m
 k
m 
 log g  0   1  0  c  c   log g 
 k1
 m
 k1 
m
 k
m 
 log  g  v   1 t  log  g 
 k1
 m
 k1 
m

 g  v 
k
   k1 t
log  1
m
m 
 g 
 k1 
m

 g  v 
 k1
  exp   k1 t 


m 
 m 
 g 
 k1 
よって
v
m 
m
 k  mg 
 k1 
g   g  exp   1 t  
1  exp   t 
k1
 m  k1 
 m 
 k1 
(21)
終端速度は，時刻が無限大 t    のときの速度です．
 k 
 k

lim exp   1 t   exp   1     0
t 
 m 
 m

なので，
mg
mg
lim v 

t 
k1 6 r
となり，(15)式と同じ結果が得られます．
4.2
CD 
24
のとき
Re
空気抵抗係数を
k2  6 2 r 3
とおくと，(16)式は
3
dv
 mg  k2v 2
dt
となります．(22)式を変数分離して積分すると
m
(22)
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dv
m
g v
k2
m
k2
3
2

dv
g v
3
2
終端速度の求め方－6/13
k2
dt
m
k2
dt
m

より，初速度 0 の場合，v に関して次式が得られます．（導出は付録を参照してください）
2
 3 mg  3 mg
3 mg
2


2 v
 k   k v v
3 mg k
k2
6

2 
2

1
2
log

tan

3
t
2
3 mg
k2 m
3
3
 3 mg

3



v
 k

k2
2


残念ながら左辺の対数関数と三角関数の両方に v が含まれるため，これ以上 v について解
くことは不可能です．数値解法を用いる方が簡便です．
4.3
CD  0.44 のとき
空気抵抗係数を
k3  0.22r 2
とおくと，(18)式は
m
dv
 mg  k3v 2
dt
(23)
となります．(23)式を変数分離して積分すると
1
mg
 v2
k3
 mg
dv 
1
k3
k3
dt
m
dv 
 v2
k3
dt
m
より
mg
v
k3
1
k
log
 3tc
m
mg
mg
2
v
k3
k3
注．積分公式より
a
2
1
1
x 1
ax
dx  tanh1 
log
2
x
a
a 2a
ax
ここで，積分定数をまとめて c’とすれば
x
2
 a2

積分定数省略
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log
mg
v
k3
mg
v
k3
2
終端速度の求め方－7/13
k3 g
t  c'
m
初期条件を t  0 で， v  0 とすると
log
mg
k3
2
mg
k3
k3 g
 0  c'  c'  0
m
よって
mg
v
k3
 kg
 exp  2 2
m
mg

v
k3

t 

v に関して解くと，
 kg 
exp  2 3 t   1
m 
mg

v
k3
 kg 
exp  2 3 t   1
m 

 kg
さらに，分子分母を exp  2
 m

t  で割ると，

 kg 

k g 
exp  2 t   exp   2 t 
m 
 k g
mg
mg
 m 

v

tanh 2
k2
k2
 k g 

k g 
 m
exp  2 t   exp   2 t 
m 
 m 

となります．
時刻が無限大 t    のとき， lim tanh t  1 なので
t 
lim v 
t 
(24)
mg
mg

k2
0.22 r 2
となり，(19)式と同じ結果が得られます．

t 

(25)
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

終端速度の求め方－8/13


1 t
e  et
t
et  e  t
1  e  2t 1  0
e
注． lim tanh t  lim t

lim

lim

1
t 
t  e  e t
t  1
t  1  e  2t
1

0
t
t
e e
et
４．球の空気抵抗の計算方法
球の場合，面積は
S  r 2
(26)
となります．球の場合，密度を  s とすると，質量は
m
4
 sr 3
3
(27)
なので，終端速度は，
4
 sr 3 g 2  r 2 g
mg
3

 s
Re  1 のとき， v 
6 r
6r
9

mg
1  Re  2975 のとき， v  
 6 2 r 3





2
3
(28)
 4
 sr 3 g

 3
 6 2 r 3


2
3


 g
  s
 9




2
2r  3
 
3
4
 sr 3 g
mg
200  s rg
 3

Re  2975 のとき， v 
2
2
0.22 r
0.22 r
33 
(29)
(30)
乾燥空気の密度は，理科年表より

1.293
H
1  0.00367t 760
[kg/m3]
(31)
ただし，t は気温[℃]，H は気圧[torr=mmHg]
圧力 p[torr=mmHg]の水蒸気を含む空気の密度
p

(32)
 [kg/m3]
H

空気の粘性係数はいろいろな資料に掲載されており，代表例を下表に示します．
 w   1  0.378
表 1 標準大気圧下の空気の粘性係数（理科年表より）
気温[℃]
粘性係数[×10-6Pa s]
-25
0
25
15.9
17.1
18.2
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50
75
100
終端速度の求め方－9/13
19.3
20.5
21.6
計算例．直径が 0.01，0.1mm，1mm，10mm の水滴（球と仮定する）が標準大気圧下で 25℃
の空気中を落下するとき，それぞれの終端速度はいくらか？
解答
水の密度は
 s  1000 [kg/m3]
(31)式より，乾燥空気の密度は

1.293
760
 1.18 [kg/m3]
1  0.00367  25 760
表 1 より，空気の粘性係数は，   18.2  106 Pa s
終端速度とレイノルズ数を計算すると
① 直径 0.01mm の場合
2
 0.01

2  1000  
 103   9.81
2
2s r g
 2


 2.99  10 3 m/s
(28)式： v 
6
9
9  18.2  10
Re 
2rv

 g
(29)式： v   s
 9

Re 
2rv


2
0.01
 10 3  2.99  10 3  1.18
2
 1.94  10 3
18.2  10 6
2
2r  3
 
3

2
3

 0.01


2
 10 3 
 1000  9.81
 2



6
9
1.18  18.2  10



2
3


  0.0240 m/s



0.01
 10 3  0.0240  1.18
2
 0.0157
18.2  10 6
 0.01

1000  
 10 3   9.81
200  s rg
200
2



 0.502 m/s
(30)式： v 
33 
33
1.18
Re 
2rv


2
0.01
 10 3  0.502  1.18
2
 0.325
18.2  10 6
Re 数の適用範囲との比較から， (28) 式から算出した v  2.99  103 m/s=2.99mm/s
（ Re  1.94  103 ）がふさわしい値と言えます．
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終端速度の求め方－10/13
② 直径 0.1mm の場合
2
 0.1

2  1000  
 103   9.81
2
2 r g
 2

(28)式： v  s

 0.299 m/s
6
9
9  18.2  10
Re 
2rv


2
0.1
 10 3  0.299  1.18
2
 1.94
18.2  10 6

 0.1


2
 10 3 
 1000  9.81
 2



9
1.18  18.2  10 6



3
 g
(29)式： v   s
 9

Re 
2rv

2r 
 
3

2
2
3
2
3



  0.240 m/s



0.1
 10 3  0.240  1.18
2
 1.57
18.2  10 6
 0.1

1000  
 10 3   9.81
200  s rg
200
 2

(30)式： v 

 1.59 m/s
33 
33
1.18
Re 
2rv


2
0.1
 10 3  1.59  1.18
2
 10.3
18.2  10 6
Re 数の適用範囲との比較から，(29)式から算出した v  0.240 m/s（ Re  1.57 ）がふさわしい
値と言えます．
③ 直径 1mm の場合
2
1

2  1000    10 3   9.81
2
2 r g
2


 29.9 m/s
(28)式： v  s
6
9
9  18.2  10
1
2   10 3  29.9  1.18
2rv
2
Re 

 1940

18.2  10 6

1


2    10 3 
 1000  9.81
2



9
1.18  18.2  10 6



3
 g
(29)式： v   s
 9

2r 
 
3
2
3
1
2   10 3  2.40  1.18
2rv
2
Re 

 156

18.2  10 6
2
3



  2.40 m/s



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終端速度の求め方－11/13
1

1000    10 3   9.81
200  s rg
200
2

(30)式： v 

 5.02 m/s
33 
33
1.18
Re 
2rv

1
2   10 3  5.02  1.18
2

 325
18.2  10 6
Re 数の適用範囲との比較から，(29)式から算出した v  2.40 m/s（ Re  156 ）がふさわしい
値と言えます．
④ 直径 10mm の場合
2
 10

2  1000    10 3   9.81
2
2 r g
2


 2990 m/s
(28)式： v  s
9
9  18.2  10 6
Re 
2rv

 g
(29)式： v   s
 9

Re 
2rv


2
10
 10 3  2990  1.18
2
 1940000
18.2  10 6
2
2r  3
 
3

2
3

 10
3 

2    10 
 1000  9.81
2



6
9
1
.
18

18
.
2

10



2
3


  24.0 m/s



10
 10 3  24.0  1.18
2
 15600
18.2  10 6
 10

1000    10 3   9.81
200  s rg
200
2


 15.9 m/s
(30)式： v 
33 
33
1.18
Re 
2rv


2
10
 10 3  15.9  1.18
2
 10300
18.2  10 6
Re 数の適用範囲との比較から，(30)式から算出した v  15.9 m/s（ Re  10300 ）がふさわし
い値と言えます．
付録
m
k2
dv
g v
3
2

k2
dt を解くと，次のようになります．
m
埼玉工業大学
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
終端速度の求め方－12/13
左辺の積分を
I 
1
a v
3
3
2
dv
とおきます．ただし
a
m
g
k2
3
v  x とおくと v  x 2 , dv  2 xdx
よって
I 
2 xdx
 
a3  x
 2
3
2 2
 2
x
dx
a  x3
3
x
2  1
ax
dx 
 2

2

a  x  a  ax  x
3a  a  x  a  ax  x 2


2


dx



2  1
 a  2 x   3a 
2  1
a  2x
3a

dx 


dx


2
2 
2
2
2
2 


3a  a  x  2 a  ax  x 
3a  a  x  2 a  ax  x
2 a  ax  x 
2
1
1
a  2x
1

dx   2
dx   2
dx
2

3a a  x
3a a  ax  x
a  ax  x 2




 
右辺の各積分は
1
dx   log a  x
a  x 
a  2x
I2   2
dx  log a 2  ax  x 2
a  at  x 2
I1  


a
x
1
1
1
2
a  2x
1 2
I3   2
dt

dx

tan

tan 1
2
2

2
a  ax  x
3
3
3a
3a
 3  a

a
a


a


x


 2  2
2
2



なので
2
1
2
a  2x
log a  x  log a 2  ax  x 2 
tan 1
3a
3a
3a
3a
1
1
2
a  2x
2
  log a  x   log a 2  ax  x 2 
tan 1
3a
3a
3a
3a
I 





1
a 2  ax  x 2
2
a  2x
log

tan 1
2
3a
a  x 
3a
3a
x  v を代入すると
I
2
1
1
a2  a v  v2
2
a2 v
I1  I 2  I 3  log

tan 1
2
3a
3a
3a
3a
3a
a v



埼玉工業大学
さらに a 
3
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
終端速度の求め方－13/13
m
g を代入すると
k2
2
 3 mg  3 mg
3 mg
2

 
v

v
2 v
 k 
k2
k2
1
2
k
2 
1

log

tan
 2 tc
2
3 mg
3 mg
3 mg
m
 3 mg

3
3
3



v
 k

k2
k2
k2
2


初期条件， t  0 で v  0 を代入すると，積分定数は
2
 3 mg 
3 mg


 k 
k2
1
2
1
2
1
2 
log 

tan 1

log 1 
tan 1
2
3 mg
3 mg
3 mg
3 mg
3 mg
3
 3 mg 
3
3
3
3
3


 k 
k2
k2
k2
k2
k2
2 

1
2


0
c
3 mg
3 mg 6
3
3
k2
k2
より
c

3
3 3
mg
k2
と決定されます．よって
2
 3 mg  3 mg
3 m
2

 
v

v
g 2 v
 k 
k2
k2
1
2
k

2 
1

log

tan
 2t
2
3 mg
3 m
3 m
3 m
m
 3 mg

3
3
g
3
g
3 3
g



v
 k

k2
k2
k2
k2
2


2
 3 mg  3 mg
3 mg
2

 
v

v
2 v
 k 
3 mg k
k2
k2
6

2 
1

2
log

tan

3
t
2
3 mg
k2 m
3
3
 3 mg

3



v
 k

k2
2


となります．
http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support/SupportPDF/TerminalVelocity.pdf
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