B14. 代数方程式と超越方程式の解法 - 埼玉工業大学

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テーマ B14：
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
代数方程式と超越方程式の解法－1/5
代数方程式と超越方程式の解法
１．代数方程式
未知数 x を含む方程式 f x   0 には様々な形式があり，x を求め方は，次のようになりま
す．
(1) 1 次式 x  2  0 の解き方
次の①か②の方法で解くことができます（同じ意味になります）．
① 左辺の定数項 -2 を右辺に移項する．  x  0  (2)  x  2
② 両辺に 2 を加える．  x  2  2  0  2  x  2
例題
解答
2 x  6  0 を解け
左辺の定数項を移項して， 2 x  6
両辺を 2 で割って， x  3
(2) ax2  b  0 の解き方
ax2  b  0 を変形して ax 2  b ，さらに x 2 
b
b
．したがって， x  
となる．
a
a
注．記号±（プラスマイナスと読む）は，解 x が
例題
2 x2  1  0 を解け
解答
2 x2  1 より x 2 
b
b
と
の 2 つあることを示す．
a
a
1
1
．したがって， x  
2
2
(3) x  m  n  0 の解き方
2
x  m2  n  0 を変形して x  m2  n ，平方根を取ると， x  m  
n ．したがって，
x   n  m となる．
例題
x  22  3  0 を解け
解答
x  22  3 ，平方根を取ると， x  2  
3 ．したがって， x   3  2
(4) ax 2  bx  c  0 ， ax2  2bx  c  0 の解き方
① 次の根の公式を用いる．（方程式が因数分解できてもできなくても解くことができま
す．）
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ax 2  bx  c  0のとき x 
 b  b 2  4ac
2a
ax 2  2bx  c  0のとき x 
例題
解答
代数方程式と超越方程式の解法－2/5
 b  b 2  ac
a
x2  3x  2  0 を解け
 b  b 2  4ac   3 

2a
 x  1 or x  2
公式より， x 
 32  4 1 2
2 1

3 1
2
② 因数分解を行う．（因数分解できる場合に限られます．）
因数分解を行うには，次の関係
acx 2  ad  bc x  bd  0  ax  bcx  d   0
に着目し，定数 a, b, c, d を決定する必要があります．具体的には，2 次方程式の各係数
から次の「たすき掛け」の関係を満たす値を試行錯誤して見つけます．
a b
 bc
c d
 ad
 
bc  ad
ac bd
x2  3x  2  0 の例では，
1 1  1
1 2  2
 
3
1 2
より， a  1, b  1, c  1, d  2 となり
x 2  3x  2  x  1x  2  0
 x  1 or x  2
２．超越関数を含む方程式
超越関数である対数関数，指数関数，三角関数，逆三角関数を含む方程式は，方程式の
形により，解析的に解くことができる場合があります．
(1) 対数関数を含む方程式
① ln x  a の解き方
指数関数 x  e y の逆関数が，対数関数 y  ln x で表わされることから，
ln x  a から x  e a となります．
例題 1 ln x  2 を解け
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例題 2
② ln
代数方程式と超越方程式の解法－3/5
x  e2  7.389056
解答
解答
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ln
x
 2 を解け
3
x
 e2  x  3e2  22.16716
3
a
 b の解き方
x
ln
a
a
a
 b から  eb ，式を変形して x  b となります．
x
x
e
3
 2 を解け
x
例題
ln
解答
3
3
 e 2  x  2  0.4060058
x
e
③ a ln x 
c
 b
ln x
x  0 の解き方
t  ln x とおくと at 
c
 b
t
分母をはらうと， at 2  c  bt  at 2  bt  c  0
 b  b 2  4ac
根の公式から t 
2a
 b  b 2  4ac
ここで， t  ln x  0 より t 
2a
  b  b 2  4ac 

解は， x  e t  exp t   exp 


2a


例題
ln x 
1
1
ln x
x  0 を解け
1
2  22  4
t   2  t 2  2t  1  0 ．これより， t 
1
t
2
したがって， x  et  e1  2.718281
解答
(3) 三角関数を含む方程式
① sin x  a の解き方
逆三角関数を用いて， x  sin 1 a と表わされ，電卓で具体的な値を計算できます．
例題 sin x  0.5 を解け
解答単位を度かラジアンのどちらで表わすかによって，値が異なります．
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代数方程式と超越方程式の解法－4/5
x  sin 1 0.5  30 （単位は度）
x  sin 1 0.5  0.5235987 （単位はラジアン）
② sin ax  b の解き方
1
ax  sin 1 b  x  sin 1 b となります．
a
例題 sin 2 x  0.5 を解け
解答単位を度かラジアンのどちらで表わすかによって，値が異なります．
1
2 x  sin 1 0.5  x  sin 1 0.5  15 （単位は度）
2
1
2 x  sin 1 0.5  x  sin 1 0.5  0.2617993 （単位はラジアン）
2
③ sin
a
 b の解き方
x
a
a
 sin 1 b  x 
となります．
x
sin 1 b
例題
sin
2
 0.5 を解け
x
解答単位を度かラジアンのどちらで表わすかによって，値が異なります．
2
2
2
 sin 1 0.5  x 

 0.06666666 （単位は 1/度）
1
x
sin 0.5 30
2
2
 sin 1 0.5  x 
 3.81971 （単位は 1/ラジアン）
1
x
sin 0.5
３．超越方程式
解析的に解くことのできない超越方程式では，解を求めるには数値解法を用いなければ
なりません．数値解法にはニュートン法，はさみうち法など，いろいろな種類があります
が，いずれの場合も解を予想し，誤差を計算して値を補正し，正解に近づく（収束させる）
という手法を用います．ここでは，その仕組みを理解するため，簡単な超越方程式を例に，
値を補正しながら収束していく様子を解説します．
xe x  1 を解け．
解答右辺と左辺の差を f とすると，
例題
f  xe x  1  0
を満たす x を見つければ，そのときの x が解となります．そこで，適当な値から始めて試行錯誤を行い
ます（値を電卓で計算します）．f の符号が反転するとき x の値を目安にし，さらに x の桁数を増やして
いきます．結果は次のようになります．
x=10 のとき， f  220263.6
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代数方程式と超越方程式の解法－5/5
x=1 のとき， f  1.71821
x=0.1 のとき， f  0.889482
x=0.6 のとき， f  0.0932712
x=0.56 のとき， f  0.0196234
x=0.568 のとき， f  0.00236894
x=0.5671 のとき， f  0.000119617
x=0.56715 のとき， f  1.84502  10
5
x=0.567143 のとき， f  8.02467 10
7
：
となるので，10-7 のオーダー（位）の誤差を含む解として x=0.567143 が得られます．ちなみに，
x
超越関数である指数関数 e が含まれるため，誤差を限りなく小さくできても完全に 0 にすることは不可
能です．
このように手計算でも試行錯誤によって正解に到達することは可能ですが，大変な労力を必要とするの
で，コンピュータを用いてプログラミングする必要があります．
http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support/SupportPDF/Solving_Equation.pdf
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