VII. 量子もつれ（Quantum Entanglement） 1 量子力学的重ね合わせの特殊な状態として、量子もつれ状態がある。量子もつれは、量子力学の根幹的な性質に基づく奇妙な状態として、主に学問的興味から研究が行われた。最近では、量子コンピュータや量子通信への応用に向けた研究が進められている。本章では、この量子もつれについて述べる。光子の偏波状態量子もつれの説明に際しては、光子の偏波に関するもつれ状態が恰好の題材となる。そこで、まずは光子の偏波状態について。古典的には光は電磁波。電場・磁場は、伝播方向に対して垂直方向に振動しながら伝播する（横波）。垂直方向は２次元平面なので、振動方向には２次元の自由度がある。この垂直２次元平面内の振動に仕方を「偏波」という。通常、光の偏波状態は縦振動成分と横振動成分に分解して記述される。横直線偏波 y y 縦直線偏波 z：進行方向 x z：進行方向 ( E x , E y )  E0 (1,0)e it ( E x , E y )  E0 (0,1)e it x 右斜め45度直線偏波右廻り円偏波 Ey Ey Ex Ex (E x , E y )  E0 2 (1,1)e it 左斜め45度直線偏波 E E ( E x , E y )  0 (1, e i )e it  0 (1,1)e it 2 2 (E x , E y )  E0 2 (1, e i / 2 )e it  E0 2 (1, i )e it 左廻り円偏波 E E ( E x , E y )  0 (1, e  i / 2 )e it  0 (1,i )e it 2 2 直交する２つの振動成分は、偏波ビームスプリッタ（PBS)により分離される。偏波ビームスプリッタ（PBS）ところで、光子は光の最小単位なので、２つに分かれることはない。なので、２つの成分に分けることはできない。では、１光子の偏波状態はどう考えればよいか？１光子レベル減衰偏波ビームスプリッタ（PBS）ある時はPBS透過、ある時はPBS反射。透過であれば「横偏波光子」、反射であれば「縦偏波光子」としてよいであろう。つまり、ある時は横偏波、ある時は縦偏波、どちらであるかはPBS前は不明。これは、重ね合わせ状態に他ならない。 |V>：縦偏波光子状態 |H>：横偏波光子状態 |Y> = cH|H> + cV|V> 例えば、減衰前右斜め４５度直線 → １光子 1 1 | D  |H |V 2 2 左斜め４５度直線 → | D  1 右廻り円 → | R  1 左廻り円 → | L  1 2 2 2 |H 1 |H i |H i 2 2 2 |V |V |V 2 ところで、基底状態は着目している物理量によって決まる。 3 着目する物理量が異なれば、それぞれに基底状態が定義され、量子状態の表し方も違ってくる。 l/4板減衰 PBS |R> |Y> = cR|R> + cL|L> 観測物理量は｛|R>、|L>｝ |L> 量子もつれとは２つの光子をまとめてひとつの量子状態（掛け合わせ状態：product state）と見倣すとする。２光子系の偏波状態は、１光子について縦・横の２通りなので、２×２＝４通り。なので、一般には４状態の重ね合わせ。 | Y  c HH | H 1| H  2 c HV | H 1| V  2 c VH | V 1| H  2 c HH | V 1| V  2 |H>1|H>2：光子１が横偏波、かつ光子２が横偏波 |H>1|V>2：光子１が横偏波、かつ光子２が縦偏波 |V>1|H>2：光子１が縦偏波、かつ光子２が横偏波 |V>1|V>2：光子１が縦偏波、かつ光子２が縦偏波このうち、特殊な形態として、次式で表される重ね合わせ状態が考えられる。 1 1 | Y1  | H 1| H  2  | V 1| V  2 2 2 | Y2  1 | Y3  1 | Y4  1 2 2 2 | H 1| H  2  1 | H 1| V  2  1 | H 1| V  2  1 2 2 2 | V 1| V  2 | V 1| H  2 | V 1| H  2 このように表される状態を「量子もつれ」という。一般的には、 | Y  1 1 {| 1 a | 1  b  | 2 a | 2  b } または | Y  {| 1 a | 2  b  | 1 a | 2  b } 2 2 |1>、|2>：基底状態 4 量子もつれの性質観測前は重ね合わせ（確率状態）。観測すると、|H>1|H>2 または |V>1|V>2 のどちらかに確定（|Y1>の場合） ◆ 一方の光子だけをみていると、|H>か|V>か完全にランダム（確率1/2）。 ◆ ２光子の測定結果を照らし合わせると相関あり。光子１が|H>なら光子２も必ず|H> （但し、どちらの相関かは観測するまで不明）光子１が|V>なら光子２も必ず|V> ◆相関特性は２光子間の距離には依存せず。 ◆ 相関関係は基底系を変えても成立 1 (| H  i | V ) 2 1 | L  (| H  i | V ) 2 1 (| R   | L ) 2 i | V   (| R   | L ) 2 | R  | H  1 | Y  {| H 1| H  2  | V 1| V  2 } 2 1  {(| R 1  | L 1 )(| R  2  | L  2 )  (| R 1  | L 1 )(| R  2  | L  2 )} 2 2  1 2 2 {| R 1| R  2  | R 1| L  2  | L 1| R  2  | L 1| L  2  | R 1| R  2  | R 1| L  2  | L 1| R  2  | L 1| L  2 }  1 2 {| R 1| L  2  | L 1| R  2 } 光子１が|R>なら光子２は必ず|L> 光子１が|L>なら光子２も必ず|R> 古典相関との比較単に２光子の測定結果に相関があるというだけなら、次の系でも同様の結果を得ることは可能。信号源偏波ビームスプリッタ偏波変調 |H> または |V> 1 2 偏波ビームスプリッタ偏波変調 |H> または |V> 作られる状態は、 5 | Y | H 1| H  2 または | Y | V 1| V  2 ◆ 一方だけでは、|H>か|V>かはランダム。 ◆ 両者を照らし合わせると相関あり。光子１が|H>なら光子２も|H> 光子１が|V>なら光子２も|V> （一見、量子もつれと同じ） But、第３の条件が満たされない。基底を換えると、 1 | Y  {| R 1| R  2  | R 1| L  2  | L 1| R  2  | L 1| L  2 } 2 または 1 | Y   {| R 1| R  2  | R 1| L  2  | L 1| R  2  | L 1| L  2 } 2 光子１が|R>の時、光子２は|R>と|L>どちらもあり。→ 無相関もつれ状態の確率振幅について量子もつれとなるためには、重ね合わせの係数（確率振幅）は以下である必要あり。｜確率振幅｜2＝ 1/2、かつ位相差が０またはπ 一般的に | Y  c1 | H 1| H  2 c2 | V 1| V  2 （|c1|2 + |c2|2 = 1）としてみる。これでも、「一方が |H> なら他方は必ず |V>」は成立。これを円偏波基底系へ書き換えると、 1 | Y  {c1 (| R 1  | L 1 )(| R  2  | L  2 )  c2 (| R 1  | L 1 )(| R  2  | L  2 )} 2 1  {(c1  c2 ) | R 1| R  2 (c1  c2 ) | R 1| L  2 2  (c1  c2 ) | L 1| R  2 (c1  c2 ) | L 1| L  2 } 量子もつれとなるには（規格化） c1 = c2： |Y> = c1 |R>1|L>2 + c1 |L>1|R>2  1 c1 = - c2： |Y> = c1 |R>1|R>2 + c1 |L>1|L>2  1 2 2 | R 1| L  2  | R 1| R  2  1 2 | L 1| R  2 1 2 | L 1| L  2 6 量子もつれ発生法量子もつれ状態の発生には、光非線形現象が用いられる。例えば、四光波混合または光パラメトリック増幅。四光波混合：周波数 fp のポンプ光と周波数 fs のシグナル光を同一偏波状態で入射すると、 2fp – fs の周波数位置に同一偏波の新たな光（アイドラー光）が発生する非線形現象。ポンプ光ポンプ光光非線形媒質シグナル光シグナル光アイドラー光光周波数光周波数光パラメトリック増幅：ポンプ光（fp）とシグナル光（fs）からアイドラー光（2fp – fs）が発生すると、ポンプ光とアイドラー光から2fp – (2fp – fs) = fs の周波数位置に新たな光が発生する。この光は、同位相でシグナル光に付け加わる。これによりシグナル光が増加。すなわち増幅。シグナル光が増幅されると、それに連れてアイドラー光も増加。 P S P 光非線形媒質 S I 光周波数光周波数ところで、光増幅現象には、必ず自然放出が伴う。光パラメトリック増幅も同様。 P P 光非線形媒質光周波数 S I 光周波数パラメトリック自然放出の源はポンプ光。光子で言うと、ポンプ光子からシグナル光子とアイドラー光子が発生。ここで、各光子のエネルギーは、ポンプ光子：hfp、シグナル光子： hfs 、アイドラー光子： h(2fp - fs) （h：プランク定数）エネルギー保存を考えると、ポンプ光子２個からシグナル光子とアイドラー光子が１個ずつ発生。 2×hfp = hfs + h(2fp – fs) つまり、シグナル光子とアイドラー光子は必ずペアで発生。かつ、その偏波状態はポンプ光と同一。この光子発生現象を利用して、下図の構成により、量子もつれ状態を実現する。 | H s | H i シグナル光子１ PBS アイドラー光子１非線形媒質1 ポンプ光 | V s | V i シグナル光子２アイドラー光子２非線形媒質2 PBS |Y １ペアの発生確率 = r とすると、非線形媒質のどちらか一方で光子ペア発生の確率： r(1-r) 両方で光子ペア発生の確率： r2 r：小だと、 r(1 – r) >> r2 ⇒ 両方で光子ペアが発生する確率は微小出力PBSから光子ペアが出力されたときに、媒質１で発生したペアであれば |H>s|H>i、媒質２で発生したペアであれば |V>s|V>i、どちらであるかは、観測しないと不明。 ⇒ 重ね合わせ状態 | Y  1 {| H s | H i  ei | V s | V i } 2 規格化定数媒質１で発生（ ：経路の位相差）媒質２で発生（ = 0 とすると） | Y  1 {| H s | H i  | V s | V i } 2 量子もつれの応用量子暗号量子コンピュータ量子テレポーテーション量子中継量子ネットワーク、など、、、、量子もつれ 7